人教版数学七年级下册第六章无限循环小数可以化成分数

把无限循环小数化成分数的方法如何将无限循环小数化成分数无限循环小数是指小数部分存在一个或多个重复的数字组合，无限重复下去的小数。

例如，0.3333...就是一个无限循环小数，因为小数部分的3无限重复下去。

将无限循环小数化成分数是一种常见的数学运算，可以使得无限循环小数变成一个有限的数值。

下面将介绍几种方法来实现这个转换。

方法一：设x为无限循环小数，将x乘以一个适当的倍数，使得小数点后的循环部分移到整数部分，然后用等式表示这个乘法，解方程求解x的值。

例如，将0.3333...乘以10，得到3.3333...。

然后用等式表示这个乘法：10x = 3.3333...。

接着，将等式两边减去原来的等式，得到9x = 3。

解这个方程，得到x = 1/3。

方法二：设x为无限循环小数，将x的循环部分移到整数部分后，设为y。

然后用等式表示这个移位操作，得到x = y + 1/10^n，其中n为循环部分的长度。

接着，将等式两边乘以10^n，得到10^n*x = 10^n*y + 1。

再将等式两边减去原来的等式，得到(10^n - 1)x = 10^n*y。

解这个方程，得到x = y/(10^n - 1)。

例如，将0.3333...的循环部分移到整数部分后，得到3。

然后用等式表示这个移位操作：0.3333... = 3 + 1/10^1。

接着，将等式两边乘以10，得到10*0.3333... = 10*3 + 1。

再将等式两边减去原来的等式，得到9*0.3333... = 3。

解这个方程，得到0.3333... = 3/9 = 1/3。

方法三：设x为无限循环小数，将x的循环部分移到整数部分后，设为y。

然后用等式表示这个移位操作，得到x = y + 1/10^n，其中n为循环部分的长度。

接着，将等式两边乘以10^n，得到10^n*x = 10^n*y + 1。

再将等式两边减去原来的等式，得到(10^n - 1)x = 10^n*y。

《无限循环小数化分数》教学案例XXXXXX1.案例背景在人教版七年级数学上册《一元一次方程》章节中，教材安排了一节实验与探究内容——《无限循环小数化分数》。

该部分在教材中是作为选学内容，放在《解一元一次方程（1）——合并同类项和移项》之后，但此部分内容的研究却有益于学生思维的拓展和数学探索发现能力的培养，对于方程思想的进一步深化理解也不无裨益。

新课程标准要求数学课程要能使学生掌握必备的基础知识和基本技能；培养学生的抽象思维和推理能力；培养学生的创新意识和实践能力；促进学生在情感、态度与价值观等方面的发展。

故而在教学中我安排了部分时间，采取学生自学和老师讲解相结合的方式对此部分内容进行了教学。

2.教学片断在新内容开始前我先带着学生回顾了之前研究的关于有理数的部分知识，并作为新课的引入。

[师]：我们之前在研究有理数时曾经提到过所有的有理数都可以写成什么形式啊？[生]：都可以写成分数的形式。

[师]：很好。

那我问大家，我们之前研究过的，无限循环小数是不是有理数啊？可不可以化为分数形式啊？[生]：无限轮回小数是有理数，可以化为分数形式。

[师]：那我举个例子，比如说0.3，它的分数形式应该怎么表示呢？[师]：很好，这是大家很早就认识的一个分数了，对它也比较了解。

那任意一个无限循环小数又如何去表示成分数呢？（学生们开始沉思）这就需要大家自己参照我们的课本好好探究了。

在教学中，我安排学生自主阅读教材探究这样一个问题，学生们带着问题去读书，注意力集中，兴趣也提高了。

在看到学生基本上通读过教材内容之后，我对于教材提出了相应的问题，布·置了简单的两个练，学生也很快按照课本上的方法做出了回覆。

练：将0.11和0.1写成分数的形式。

在这两个练的命题上我有自己的处理安排，而学生也很快有了自己的问题：[生]：0.11原本就是0.1，为什么教师要写两个轮回节标记呢？[师]：这位同学的问题很好，也确实如此，写成两个循环节符号是没有必要的。

无限循环小数化成分数的规律嘿，朋友们！今天咱来唠唠无限循环小数化成分数的规律，这可有意思啦！你说这无限循环小数，就像是个调皮的小精灵，一直在那循环个不停。

那怎么把它变成规规矩矩的分数呢？别急，且听我慢慢道来。

咱就拿常见的0.333……来说吧，这就是个典型的无限循环小数。

那它怎么变成分数呢？嘿，这就有个小窍门啦！设这个数为 x，那就是x=0.333……，然后呢，把这个等式两边同时乘以 10，就变成了10x=3.333……。

这时候你发现没，10x 比 x 多了个 3 呀！那用 10x 减去x，不就把那一直循环的部分给减掉了嘛！也就是 10x-x=3，算一下，9x=3，那 x 不就等于 1/3 嘛！你看，神奇不神奇？再比如说0.142857142857……这个无限循环小数，它的循环节是142857 这么一长串呢！那咱也不怕呀，还是用同样的方法。

设它为 y，1000000y-y 不就把循环节给去掉啦，然后就能算出 y 是多少啦。

这就好像我们解开一个神秘的谜题一样，每一步都充满了惊喜和乐趣。

你说这数学是不是很奇妙呀？它就像一个隐藏着无数宝藏的宝库，等着我们去探索呢！无限循环小数化成分数，不就是数学世界里的一扇奇妙之门嘛！通过这扇门，我们能看到更加精彩的数学风景。

就好像我们走在一条小路上，突然发现了一个通往美丽花园的入口，那里面有着各种奇花异草，让我们流连忘返。

大家想想，如果我们掌握了这个规律，那以后再遇到无限循环小数，不就可以轻松地把它变成分数啦！这多有成就感呀！而且，这还能帮助我们更好地理解数学的奥秘，让我们在数学的海洋里畅游得更自在。

所以呀，大家可别小瞧了这个规律，它可是我们探索数学世界的重要工具呢！让我们一起好好利用它，去发现更多数学的美妙之处吧！。

无限循环小数可以化成分数我们知道小数分为两大类：一类是有限小数，一类是无限小数．而无限小数又分为两类：无限循环小数和无限不循环小数．有限小数都可以表示成十分之几、百分之几、千分之几……，很容易化为分数．无限不循环小数即无理数，它是不能转化成分数的．但无限循环小数却可以化成分数，下面请看：探索（1）：把0.323232……（即0.3·2·）化成分数．分析：设x=3·2·=0.32+0.0032+0.000032+……①上面的方程两边都乘以100得100x=32+0.32+0.0032+0.000032+……②②-①得100x-x=3299x=32x= 32 99所以0323232……= 32 99用同样方法，我们再探索把0.5·，0.3·02·化为分数．可知0.5·= 59，0.3·02·=302999．我们把循环节从小数点后第一位开始循环的小数叫做纯循环小数，通过上面的探索可以发现，纯循环小数的循环节最少位数是几，化成分数的分母就有几个9组成，分子恰好是一个循环节的数字．探索（2）：把0.4777……和0.325656……化成分数分析：把小数乘以10得0.4777……×10=4.777……①再把小数乘以100得0.4777……×100=47.77……②②-①得0.4777……×100-0.4777……×10=47- 40.4777……×90=430.4777……= 43 90所以 0.4777……=4390再分析第二个数0.325656……化成分数．把小数乘以100得0.325656……×100=32.5656…… ①把小数×10000得0.325656……×10000=3256.56…… ②②-①得0.325656……×（10000-100）=3256-320.325656……×9900=3224∴0.325656……=32249900同样的方法，我们可化0.172·5·=17089900 ，0. 32·9·=326990 ． 我们把循环节不从小数点后第一位开始循环的小数叫做混循环小数．混循环小数化分数的规律是：循环节的最少位数是n ，分母中就有n 个9，第一个循环节前有几位小数，分母中的9后面就有几个0，分子是从小数点后第一位直到第一个循环节末尾的数字组成的数，减去一个循环节数字的差，例如0.172·5·化成分数的分子是1725-17=1708，0. 32·9·化成分数的分子是329-3=326．。

人教版七年级下册第六章实数知识点
实数是数学中非常重要的一个概念，其涉及到数学中的各个领域。

在七年级下册的第六章中，我们主要学习了实数的相关知识。

1. 实数的概念
实数是指所有可以表示成有限小数、无限循环小数或无限不循环小数的数。

简单来说，实数包括整数、分数、小数、无理数等。

2. 实数的分类
根据实数的性质，可以将实数分为有理数和无理数两类。

有理数是可以表示成分数形式的实数，包括整数、分数和循环小数。

无理数是不能表示成分数形式的实数，例如根号2、π等。

3. 实数的运算
实数的运算包括加、减、乘、除四种基本运算。

对于任意两个实数a和b，它们的和、差、积、商分别为：
a+b，a-b，ab，a÷b（b≠0）
此外还有实数的乘方运算，即a的n次方（n为正整数），表示a 连乘n次的结果。

4. 实数的比较
实数之间可以进行大小比较。

对于任意两个实数a和b，若a>b，则a称为大于b，b称为小于a。

若a=b，则a与b相等。

若a<b，则a称为小于b，b称为大于a。

5. 实数的表示
实数可以用数轴上的点表示。

数轴是一条直线，上面的每个点都
与一个实数一一对应。

数轴上的原点表示0，向右表示正数，向左表示负数。

以上就是七年级下册第六章实数的相关知识点。

实数是数学中非常基础的概念，掌握好实数的相关知识对于后续的学习非常重要。

2020人教版七年级数学下学期第6章实数单元综合评价试卷含解析姓名座号题号一二三总分得分考后反思（我思我进步）：一．选择题（共12小题）1．7的平方根是（）A．±B．C．D．142．16的算术平方根是（）A．8 B．﹣8 C．4 D．±43．正方体的体积为7，则正方体的棱长为（）A．B．C．D．734．利用教材中的计算器依次按键下：则计算器显示的结果与下列各数中最接近的一个是（）A．2.5 B．2.6 C．2.8 D．2.95．下列四个数中，是负数的是（）A．|﹣3| B．﹣（﹣3）C．（﹣3）2D．﹣6．在实数，，π，0.1010010001中，是无理数的是（）A．B．C．πD．0.10100100017．当式子的值取最小值时，a的取值为（）A．0 B．C．﹣1 D．18．|1﹣|的值为（）A．1﹣B．1+C．﹣1 D．+19．下列说法中①正数和负数互为相反数；②有限小数都是有理数；③无限小数都是无理数；④绝对值最小的数是0；其中说法正确的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个10．点A的位置如图，点A所表示的数可能是（）A．﹣2.6 B．C．D．1.411．计算+的结果是（）A．﹣4 B．0 C．4 D．812．阅读理解：我们知道，引进了无理数后，有理数集就扩展到实数集：同样，如果引进“虚数”实数集就扩展到“复数集”现在我们定义：“虚数单位”，其运算规则是：i l＝i，i2＝﹣1，i3＝﹣i，i4＝1，i5＝i，i6＝﹣1，i7＝﹣i，则i2019＝（）A．1 B．﹣1 C．i D．﹣i二．填空题（共6小题）13．某个数的一个平方根是﹣5，则这个数是．14．已知一个正数x的两个平方根分别是和m，则m＝，x＝．15．写出一个满足＜a＜的整数a的值为．16．比较大小：3．17．已知+＝0，那么（a+b）2007的值为．18．实数a、b在数轴上的位置如图所示，则化简2|a+b|﹣|a﹣b|的结果为．三．解答题（共6小题）19．课堂上，老师让同学们从下列数中找一个无理数：﹣，，|﹣|，0，2π，﹣0.6，﹣其中，甲说“﹣”，乙说“”，丙说“2π”．（1）甲、乙、丙三个人中，说错的是．（2）请将老师所给的数字按要求填入下面相应的区域内：20．在数轴上表示下列各数，再用“＜”号把它们连接起来．|﹣4|，0，﹣1.5，21．解方程（1）（x﹣2）2＝9（2）8（x+1）3＝27．22．已知a﹣1的算术平方根是3，b是的整数部分，求a﹣b的值．23．我们都知道无限不循环小数是无理数，而无限循环小数是可以化成分数的，例如0.333……（3为循环节）是可以化成分数的，方法如下：令a＝0.333……①则10a＝3.333……②②﹣①得：10a﹣a＝3，即9a＝3，解得a＝请你阅读上面材料完成下列问题：（1）0.化成分数是．（2）0.化成分数是．（3）请你将3.3化成分数（写出过程）24．大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．又例如：∵，即，∴的整数部分为2，小数部分为．请解答：（1）如果的小数部分为a，的整数部分为b，求的值；（2）已知：，其中x是整数，且0＜y＜1，求：①x、y的值；②x﹣y的相反数．参考答案与试题解析一．选择题（共12小题）1．7的平方根是（）A．±B．C．D．14 【分析】根据平方根的定义即可求解．【解答】解：7的平方根是：±．故选：A．2．16的算术平方根是（）A．8 B．﹣8 C．4 D．±4 【分析】根据算术平方根的定义求解可得．【解答】解：∵（±4）2＝16，∴16的算术平方根是4，故选：C．3．正方体的体积为7，则正方体的棱长为（）A．B．C．D．73【分析】由立方根的定义可得正方体的棱长为．【解答】解：正方体的体积为7，则正方体的棱长为，故选：B．4．利用教材中的计算器依次按键下：则计算器显示的结果与下列各数中最接近的一个是（）A．2.5 B．2.6 C．2.8 D．2.9 【分析】利用计算器得到的近似值即可作出判断．【解答】解：∵≈2.646，∴与最接近的是2.6，故选：B．5．下列四个数中，是负数的是（）A．|﹣3| B．﹣（﹣3）C．（﹣3）2D．﹣【分析】根据小于0的是负数即可求解．【解答】解：|﹣3|＝3，﹣（﹣3）＝3，（﹣3）2＝9，∴四个数中，负数是﹣．故选：D．6．在实数，，π，0.1010010001中，是无理数的是（）A．B．C．πD．0.1010010001【分析】由于无理数就是无限不循环小数，利用无理数的概念即可判定选择项．【解答】解：A.是分数，属于有理数；B.，是整数，属于有理数；C．π是无理数；D.0.1010010001是有限小数，属于有理数．故选：C．7．当式子的值取最小值时，a的取值为（）A．0 B．C．﹣1 D．1【分析】根据2a+1≥0，求出当式子的值取最小值时，a的取值为多少即可．【解答】解：∵2a+1≥0，∴当式子的值取最小值时，2a+1＝0，∴a的取值为﹣．故选：B．8．|1﹣|的值为（）A．1﹣B．1+C．﹣1 D．+1【分析】计算绝对值要根据绝对值的定义求解．第一步列出绝对值的表达式；第二步根据绝对值定义去掉这个绝对值的符号．绝对值的性质，负数的绝对值是其相反数．【解答】解：|1﹣|的值为﹣1．故选：C．9．下列说法中①正数和负数互为相反数；②有限小数都是有理数；③无限小数都是无理数；④绝对值最小的数是0；其中说法正确的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】根据无理数与有理数的概念即可求出答案．【解答】解：①正负号相反的两个数互为相反数，故①错误；②有限的小数都是有理数，故②正确；③无限不循环小数称为无理数，故③错误；④绝对值最小的数是0，故④正确；故选：B．10．点A的位置如图，点A所表示的数可能是（）A．﹣2.6 B．C．D．1.4【分析】先根据数轴判断出点A表示的数的范围，再结合各选项逐一判断可得．【解答】解：由数轴知，点A表示的数大于﹣2，且小于﹣1，∵，∴点A所表示的数可能是．故选：B．11．计算+的结果是（）A．﹣4 B．0 C．4 D．8【分析】原式利用平方根、立方根定义计算即可求出值．【解答】解：原式＝+＝﹣4+4＝0，故选：B．12．阅读理解：我们知道，引进了无理数后，有理数集就扩展到实数集：同样，如果引进“虚数”实数集就扩展到“复数集”现在我们定义：“虚数单位”，其运算规则是：i l＝i，i2＝﹣1，i3＝﹣i，i4＝1，i5＝i，i6＝﹣1，i7＝﹣i，则i2019＝（）A．1 B．﹣1 C．i D．﹣i【分析】根据已知得出变化规律进而求出答案．【解答】解：∵i l＝i，i2＝﹣1，i3＝﹣i，i4＝1，i5＝i，i6＝﹣1，i7＝﹣i，∴每4个数据一循环，∵2019÷4＝504…3，∴i2019＝i3＝﹣i．故选：D．二．填空题（共6小题）13．某个数的一个平方根是﹣5，则这个数是25 ．【分析】根据平方根的定义即可求出答案．【解答】解：这个数为（﹣5）2＝25，故答案为：2514．已知一个正数x的两个平方根分别是和m，则m＝﹣，x＝ 5 ．【分析】根据正数平方根的性质，求出m，再利用平方计算出x的值．【解答】解：因为一个正数的两个平方根互为相反数，所以+m＝0，解得，m＝﹣．因为2＝5，所以x＝5．故答案为：﹣，5．15．写出一个满足＜a＜的整数a的值为答案不唯一，如：2 ．【分析】根据算术平方根的概念得到1＜＜2，4＜＜5，根据题意解答．【解答】解：∵1＜＜2，4＜＜5，a为整数，∴2≤a＜5，∴满足＜a＜的整数a的值可以为2，故答案为：2（答案不唯一）．16．比较大小：＜3．【分析】求出3═，再根据实数的大小比较法则比较即可．【解答】解：∵3＝＞，∴＜3，故答案为：＜．17．已知+＝0，那么（a+b）2007的值为﹣1 ．【分析】根据非负数的性质列式求出a、b的值，然后代入代数式进行计算即可得解．【解答】解：由题意得，a﹣2＝0，b+3＝0，解得a＝2，b＝﹣3，所以，（a+b）2007＝（2﹣3）2007＝﹣1．故答案为：﹣1．18．实数a、b在数轴上的位置如图所示，则化简2|a+b|﹣|a﹣b|的结果为﹣3a﹣b．【分析】在数轴上，右边的数总大于左边的数．原点右边的表示正数，原点左边的表示负数．【解答】解：由图可知：﹣3＜b＜﹣2＜0＜a＜1，∴a+b＜0，a﹣b＞0，可得：2|a+b|﹣|a﹣b|＝﹣2a﹣2b﹣a+b＝﹣3a﹣b，故答案为：﹣3a﹣b．三．解答题（共6小题）19．课堂上，老师让同学们从下列数中找一个无理数：﹣，，|﹣|，0，2π，﹣0.6，﹣其中，甲说“﹣”，乙说“”，丙说“2π”．（1）甲、乙、丙三个人中，说错的是甲．（2）请将老师所给的数字按要求填入下面相应的区域内：【分析】（1）根据无理数的定义解答即可；（2）根据有理数的分类解答即可．【解答】解：（1）因为“﹣”是负分数，属于有理数；“”是无理数，“2π”是无理数．所以甲、乙、丙三个人中，说错的是甲．故答案为：甲（2）整数有：0、；负分数有：、﹣0.6．故答案为：0、；、﹣0.6．20．在数轴上表示下列各数，再用“＜”号把它们连接起来．|﹣4|，0，﹣1.5，【分析】首先在数轴上确定各数的位置，再根据在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大用“＜”号把它们连接起来．【解答】解：如图：，﹣1.5＜0＜＜|﹣4|．21．解方程（1）（x﹣2）2＝9（2）8（x+1）3＝27．【分析】（1）根据平方根的定义，即可解答；（2）根据立方根的定义，即可解答．【解答】解：（1）（x﹣2）2＝9，x﹣2＝±3，x＝5或﹣1；（2）8（x+1）3＝27，（x+1）3＝，x+1＝，x＝．22．已知a﹣1的算术平方根是3，b是的整数部分，求a﹣b的值．【分析】由已知可得a﹣1＝9，b＝3，进而求出a、b值代入即可．【解答】解：∵a﹣1的算术平方根是3，∴a﹣1＝9，∴a＝10，∵b是的整数部分，∴b＝3，∴a﹣b＝10﹣3＝7．23．我们都知道无限不循环小数是无理数，而无限循环小数是可以化成分数的，例如0.333……（3为循环节）是可以化成分数的，方法如下：令a＝0.333……①则10a＝3.333……②②﹣①得：10a﹣a＝3，即9a＝3，解得a＝请你阅读上面材料完成下列问题：（1）0.化成分数是．（2）0.化成分数是．（3）请你将3.3化成分数（写出过程）【分析】（1）根据阅读材料设0.＝x，方程两边都乘10，转化为7+x＝10x，求出其解即可；（2）根据阅读材料设0.＝x，方程两边都乘100，转化为23+x＝100x，求出其解即可；（3）根据阅读材料化混循环小数为：×33.，再由材料转化为整数与另一无限循环小数的和，依次化简可得结论．【解答】解：（1）设0.＝x，即x＝0.777…，将方程两边都×10，得10x＝7.777…，即10x＝7+0.777…，又因为x＝0.777…，所以10x＝7+x，7所以9x＝1，即x＝，所以0.＝．故答案为：；（2）设0.＝x，100x＝23.100x＝23+xx＝，∴0.＝，故答案为：；（3）解：3.3＝（33+0.）＝+×＝．24．大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．又例如：∵，即，∴的整数部分为2，小数部分为．请解答：（1）如果的小数部分为a，的整数部分为b，求的值；（2）已知：，其中x是整数，且0＜y＜1，求：①x、y的值；②x﹣y的相反数．【分析】（1）先估算出，的范围，求出a、b的值，再代入求出即可；（2）先估算出的范围，求出x、y的值，再代入求出即可．【解答】解：（1）根据题意得：a＝﹣2，b＝3，则a+b﹣＝1；（2）①∵x为整数，10+＝x+y，且0＜y＜1，∴x＝11，y＝﹣1；②x﹣y的相反数为﹣（x﹣y）＝﹣x+y＝﹣12．。

#用归纳方法把有限小数与无限循环小数化成分数：如何把循环小数（纯循环小数、混循环小数、）有限小数、带小数化成分数：1、有感于小数0.126与0.˙126˙二者之间的数值差异，数值差异是多少？突发“奇想”、“异想天开”：令0.126=126/1000=126/（999+1）假设：0.126=126/1000=126/（999+1）=[（126/999）+X]=（0.˙126˙+X）——（1）式，移项、通分得：126/1000=126/（999+1）=[（126/999）+X]X=(126/1000)-（126/999）X=（126*999）/（1000*999）-（126*1000）/（999*1000）X =(125874/999000)-(126000/999000)=-126/999000X=-126/999000=-0.000˙126˙，0.126=126/1000与0.˙126˙=126/999的数值差异是：-0.000˙126˙=-126/999000，把X=-0.000˙126˙=-126/999000，并代入（1）式得：（126/999）-（126/999000）=126/1000=0.126因为0.˙126˙=126/999所以（0.˙126˙-0.000˙126˙）=0.126，通过验算后正确；同时我们还得到了:126/999=0.˙126˙、0.˙126˙=126/999、-0.˙126˙=-126/999-0.000˙126˙=-126/999000、0.000˙126˙=126/999000，0.126=126/10002、由上述同理可得：0.˙126˙=126/999=126/（1000-1）令：126/（1000-1）=[（126/1000）+X]假设：126/999=[（126/1000）+X] ——（2）式，或：0.˙126˙=（0.126+X）移项、通分得：126/（1000-1）=[（126/1000）+X]，即：126/999=[（126/1000）+X]X=(126×1000)/(999×1000)-(126×999)/(1000×999)X =(126000/999000)- (125874/999000)=126/999000X=126/999000=0.000˙126˙，X=126/999000=0.000˙126˙，0.˙126˙=126/999与0.126=126/1000的数值差异是：0.000˙126˙=126/999000，并把X=126/999000=0.000˙126˙代入126/999=[（126/1000）+X] ——（2）式，126/999=[（126/1000）+126/999000] ——（2）式，126/999=[（126/1000）+126/999000]= 0.˙126˙通过验证后正确；同时还得到了：0.˙126˙=126/999，0.000˙126˙=126/999000，0.126=126/1000 注：数字左右上方带点的小数均表示无限循环小数，譬如：1415926/10000000=0.1415926，=1415926/（9999999+1），假设：1415926/10000000=[1415926/（9999999）+X]=（0.˙1415926˙+X）——（1式）所以X= [（1415926*9999999）/10000000*9999999]-（1415926*10000000）/（9999999*10000000）=（14159258584074/99999990000000）-（14159260000000/99999990000000）=-1415926/99999990000000=-0.0000000˙1415926˙（特表示无限循环小数）X=-0.0000000˙1415926˙带入（1式）验证正确，同时还得到了：0.1415926=1415926/10000000，0.˙1415926˙=1415926/9999999，0.0000000˙1415926˙=1415926/99999990000000根据以上运算结果由此归纳为：任一（无限）循环小数都可以化成分数，纯循环小数化成分数后的分子就是一个循环节的数字所组成的数，分母各位数字都是9，其个数与一个循环节位数相同，混循环小数化成分数的分子就是第2个循环节前面的数字，分母的头几位数字是9，末几位是0，9的个数与一个循环节位数相同，0的个数与不循环节的部分位数相同，统称为归纳方法，由于上述有限小数、无限循环小数化为分数比较简单直观，混循环小数化成分数还有一种情况比较复杂：3、把混循环小数化成分数（比较复杂、有点难度）：譬如：把混循环小数0.228˙化为分数：解：0.228˙=[（228/1000）+8/9000）]=228/（900+100）+8/9000=[（228/900）-（228/9000）]+（8/9000）=（228/900）+[（8/9000）-（228/9000）]=（228/900）-（22/900）=（228-22）/900=206/900=103/450=0.228˙；譬如：把混循环小数0.126˙化成分数：解：0.126˙=（0.126+0.0006˙）=（126/1000）+（6/9000）=[126/（900+100）+（6/9000）]=[126/1000+（6/9000）]=[（126/900）-（126）/（9000）]+（6/9000）=（126/900）+[（6/9000）-（126/9000）]=（126/900）-（12/900）=（126-12）/900=114/900=57/450=0.126˙，譬如：把混循环小数0.123˙68˙化成分数：解：0.123˙68˙=(0.12368+0.00000˙68˙)=(12368/100000)+（68/9900000）=[（12368/99000）-（12368/990000）]+（68/9900000）=（12368/99000）+[（68/9900000）-（12368/9900000）]=（12368/99000）+[（68/9900000）-（12368/9900000）]=（12368/99000）-（12300/9900000）=(12368-123)/99000=12245/99000=2449/19800；其他混循环小数依次类推；说明：上式中的0.228˙表示0.228888...，0.126˙表示0.126666...,0.123˙68˙混循环小数，把以上运算特征归纳为：混循环小数化成分数的分子就是第2个循环节前面的数字组成的数减去不循环部分数字组成的数之差，分母的头几位数字是9，末几位是0，9的个数与一个循环节位数相同，0的个数与不循环节的部分位数相同, 统称为归纳方法，譬如：0.228˙=（228-22）/900=206/900=103/450、0.126˙=（126-12）/900=114/900=57/450,0.123˙68˙=(12368-123)/99000=12245/99000=2449/19800；能约分的要化简。

无限循环小数化成分数的一般规律示例文章篇一：《无限循环小数化成分数的一般规律》我呀，在数学的世界里就像一个小小的探险家。

有一天，我遇到了一个特别神奇的东西，那就是无限循环小数。

你们知道吗？这无限循环小数就像是一个调皮的小精灵，老是在数字的世界里不停地转圈儿，怎么看都觉得很神秘。

我先给你们举个例子吧，像0.3333……这个数，它的3一直在循环。

我当时就想，这么个一直转下去的数，怎么能变成我们熟悉的分数呢？我就跑去问我的数学老师。

老师笑着跟我说：“你看啊，这个0.3333……，我们可以设它为x。

”我当时眼睛就瞪大了，啥？设这个数为x？这怎么想出来的呢？老师接着说：“那10x是多少呢？10x就等于3.3333……呀。

”我就有点明白了，好像有个什么东西在我脑袋里开始亮起来了。

老师又说：“那10x - x是多少呢？”我赶紧在纸上算起来，10x - x就等于3.3333…… - 0.3333……，这不就等于3嘛。

我兴奋得差点跳起来，那x不就是3÷9 = 1/3嘛。

哇，原来0.3333……就是1/3啊。

我就像发现了新大陆一样，又去琢磨其他的无限循环小数。

比如说0.121212……这个数。

我就按照老师教的方法，设这个数为x，那100x就是12.121212……。

然后100x - x就等于12.121212…… - 0.121212……，这就等于12啦。

那x就等于12÷99，约分一下就是4/33。

这时候我的同桌凑过来问我：“你在干嘛呢？神神秘秘的。

”我就把我的发现一股脑儿地告诉了他。

他皱着眉头说：“这好复杂啊，我都晕了。

”我拍拍他的肩膀说：“其实不复杂啦。

你看，如果循环节是一位数，像0.3333……，我们就乘以10，要是循环节是两位数，像0.121212……，我们就乘以100。

然后用乘完后的数减去原来的数，就可以把那个无限循环的部分去掉，剩下的就好算了。

”同桌眼睛一亮说：“哦，我好像懂了。

那要是0.234234234……这样的呢？”我笑嘻嘻地说：“那我们就设这个数为x，因为循环节是三位数，所以我们乘以1000，1000x就等于234.234234……。

无限循环小数化分数
无限循环小数化分数（InfiniteRepeatingDecimals）是指以无
限循环小数表示的分数，是分数和有限小数之间的一种特殊表示方式，也是数学中有趣而重要的一类概念。

无限循环小数化分数表示中，一个数字不断以某种规律重复，而它们的准确含义和有效性是一个值得探究的科学概念，也是现代数学研究中主要的课题之一。

有限小数和无限循环小数是不同的数学概念，无限循环小数可以视为一种特殊的有限小数，但它的组成要求又有所不同。

无限循环小数化分数中，一个数字不断以某种规律重复，就形成了极端的无限循环小数。

无限循环小数化分数具有许多独特性质，它们可以表示某些特殊的分数，它们的有效性也只能表现在无限循环小数中。

虽然多数情况下，无限循环小数的含义只能用几行话表达完好，但也有许多复杂的情况，比如在多元函数中，无限循环小数化分数的含义显得尤为重要。

实际上，无限循环小数的准确定义可以通过“分母”和“余数”的概念实现，其中“分母”是确定小数的重复周期的重要参数，而“余数”则是在重复完成之后，小数所剩余的最后一位数字。

无限循环小数是数学中非常有趣而又重要的概念，它们可以用于证明各种数学定理，以及由此产生的复杂数学运算。

另外，无限循环小数也可以用来表示数字的特定属性，例如质数性质。

此外，无限循环小数也用于表示某种特殊的分数乘积。

有时，一
个数字的乘积可以表示为一个无限循环小数，这样就可以很方便地求出乘积的值，从而解决更复杂的数学问题。

总的来说，无限循环小数是数学中的一种重要的概念，可以帮助我们更好地理解更复杂的数学问题。

此外，它们也可以帮助我们实现数学运算，解决数学定理等问题。

无限循环小数化为分数一般规律和方法1 将无限循环小数化为分数将无限循环小数化为分数，是数学中很有价值的一项工作。

它们比较典型，经常出现在数学、物理、化学和其他领域的计算中，涉及到很多数学知识，因此，学习者在研究它们时需要多积极准备。

2 将无限循环小数转换为分数要转换无限循环小数为分数，一般采取的是将每个定点数均匀进位的方法。

具体来说，我们需要将每个定点数向上取整并取余，构成一个分数。

譬如，0.123(456)，即它的整数部分为0，123456为它的循环部分，此时，将123456向上取整、取余就可以得到一个分数：5179/41320，即0.123(456)等价于5179/41320。

3 无限循环小数的化简方法如果一个无限循环小数能够化简成最简分数，则它的分母必然是最大的循环小数单位，也就是最高位的位数乘以10的几倍，用科学计数法表达为10ⁿ，其中n为循环部分的位数。

比如，0.12(34)的循环部分的最高位是3，所以分母为10²个小数位，即1000，此时，将循环部分本身取余，得到一个分数：123/1000，即0.12(34)等价于123/1000。

4 除法求最简分数如果一个无限循环小数不能进行化简，那么需要利用有理数的除法运算，一步步求出最简分数。

其中，除数是一个循环小数的最高位的位数乘以10的几次方，作为分母；被除数是小数本身的取余，作为分子；进位制是将每一步的商作为下一步运算的被除数，进行多次相除，最终当余数为0时，表示求得了最简分数。

5 精确转换法精确转换法是将无限循环小数转换为最简分数的一种快速方法，它本质上是一种“把循环小数乘以倍数，然后取整”的方式。

具体来说，将无限循环小数乘以10的n次方，使无限循环小数变为非循环小数，然后用整数四舍五入的方式取整，最后再除以10的n次方，得到一个简单的分数。

6 总结无限循环小数化为分数通常可以采取将每个定点数均匀进位法和有理数除法等多种方法。

无限循环小数化成分数公式
无限循环小数化成分数公式是一种数学公式，用来把无限循环小
数转换为分数形式。

它在基本数学中十分重要，为人们把不可存储或
者难以记忆的小数转换为便于表示和理解的分数形式提供了一种有效
途径。

无限循环小数化成分数公式可以求解出无限循环小数的确切分数
形式，它是一种有效的计算方法。

例如，在0.5454545…的无限循环小数中，可以使用公式求出这个小数的分数形式为45/82。

当将这个式子中的所有小数表示成分数形式时，其结果就会是一个确定的分数形式。

从数学上讲，无限循环小数化成分数公式是有益的，能够帮助人们更
好地理解小数形式、进行精确的计算以及求取小数的分数形式。

无限循环小数被广泛用于数学统计学的计算中，因此，使用无限
循环小数化成分数公式来表示小数可以使抽样统计更加准确、更精确。

例如，当中国的人口数据由小数的形式表示，使用无限循环小数化成
分数公式将其转换为分数形式，就可以更容易地进行分析和抽样，从
而更准确地估计和测算人口过多或过少的情况。

总之，无限循环小数化成分数公式在数学领域是一个相当重要的
公式，它不仅可以帮助人们有效表达小数形式，而且可以用于的各种
数学抽样统计中，也是比较有用的。

循环小数0.xxx…化成分数1. 了解循环小数的概念循环小数是指小数部分出现的数字序列是一个无限循环的情况。

0.3333…和0.xxx…这样的小数都属于循环小数。

2. 确定循环节的位置对于循环小数0.xxx…，我们可以观察到循环节“45”是从小数点后第三位开始出现循环的。

我们可以确定循环节的位置为从第三位开始。

3. 设x=0.xxx…接下来，我们设x=0.xxx…，然后通过数学方法将其转化成分数的形式。

4. 乘10消去小数点我们将x乘以10，得到10x=7.xxx…。

5. 再次观察循环节观察得知，10x的小数部分也以“xxx…”循环。

6. 用10x减去x我们用10x减去x，得到9x=7.24。

这一步的目的是消去循环节前的数字，将循环节单独提出来。

7. 求得x的值通过简单的代数运算，我们可以求得x=7.24÷9=0.xxx…。

8. 确定循环节长度观察新的循环小数0.xxx…可以得知，循环节“4”是从小数点后第二位开始出现循环的。

循环节的长度为1。

9. 化成分数根据循环节长度的特点，我们可以将0.xxx…化成分数。

具体方法是，将循环节的数字作为分子，分母为循环节长度所对应的位数的“9”加“0.”。

0.xxx…化成分数的形式为“4/9”。

10. 总结通过以上的步骤，我们成功地将循环小数0.xxx…化成了分数的形式，结果为“4/9”。

这个过程涉及了一些代数运算和对循环小数的观察，希望读者能够通过这篇文章加深对循环小数与分数之间关系的理解。

循环小数是数学中的一个重要概念，涉及到分数的转化和循环节的观察。

我们已经通过前面的步骤将循环小数0.xxx…化成了分数的形式“4/9”，接下来，我们可以进一步探讨循环小数与分数之间的关系，以及一些相关的数学知识。

11. 循环小数与分数的关系循环小数和分数其实是可以相互转化的。

对于一个循环小数a.bbb…，可以将其化成分数的形式c/d。

其中，c为循环节的数字，d为循环节长度对应的位数的“9”加“0.”，c/d为该循环小数所对应的分数。

把循环小数1.27化成分数的方法一、循环小数的奇妙之处。

1.1 循环小数就像数学里的小调皮鬼，总是有着无限循环的数字，让人又爱又恨。

就拿1.27这个循环小数来说吧，它看似简单，可要是把它化成分数，这里面的门道还真不少。

这就好比要把一个调皮捣蛋的小鬼驯化成听话的小乖乖，得费一番功夫。

1.2 对于很多人来说，看到1.27这样的循环小数，可能就会挠头，心里想这可咋整呢？其实啊，这里面是有规律可循的，就像在迷宫里找出口一样，只要找到正确的路，就很容易啦。

二、具体转化步骤。

2.1 我们先设1.27（27循环）为x，这就像是给这个调皮鬼取了个名字，方便我们对它进行操作。

那x = 1.272727……，这时候我们可以把这个等式两边同时乘以100，为啥是100呢？因为循环节是27，是两位数字，这就叫“对症下药”。

乘以100后就得到100x = 127.272727……。

这就好比把这个小调皮放大了，让它的特点更明显。

2.2 然后我们用100x减去x，也就是100x x = 127.272727…… 1.272727……。

这一步就像是把这个调皮鬼的伪装去掉，露出它的真面目。

计算一下就得到99x = 126。

这时候你看，原本复杂的循环小数，经过这么一折腾，就变成了一个简单的等式。

2.3 最后呢，我们求解x，x = 126÷99，化简这个分数，就像给一个乱糟糟的房间整理一样，分子分母同时除以9，得到x = 14/11。

这就把循环小数1.27（27循环）成功地化成分数啦，就像把一个野孩子教育成了有礼貌的好孩子，心里那叫一个成就感满满。

三、总结与启示。

3.1 把循环小数化成分数这个事儿，就告诉我们在数学的世界里，很多看似复杂的东西，只要我们掌握了正确的方法，就像庖丁解牛一样，游刃有余。

不要被它的表象吓倒，要勇于去探索和尝试。

3.2 而且这也让我们看到数学的美，就像把一块粗糙的石头打磨成精美的玉石一样，从循环小数到分数的转化过程充满了奇妙的变化。

0.306的循环化成分数采用极限逼近的方法，把无限循环小数化为一个等比数列的前n项和，求出n趋于∞时的极限即为原数真值0.306306306...=0.306+0.306*10^-3+0.306*10^-6+...+0.306*10^-n (n→∞)=0.306*(1+10^-3+16^-6+...+10^-n)=0.306*1*(1-10^-3n)/(1-10^-3)=0.306/(1-10^-3)=0.306/0.999=103/333将循环小数化为分数的方法是通过数学运算进行转换。

以下是具体步骤和原理的详细描述：1.循环小数的定义和表示循环小数是指小数部分存在一段重复的数字或数字序列，可以用上方有一条横线的数字来表示。

例如，0.333...表示为0.3。

2.基本思路和步骤将循环小数转化为分数的基本思路是构建一个等式，通过求解这个等式来得到分数形式。

具体步骤如下：将循环部分除以一个适当的倍数，使得小数点右侧的循环部分恰好成为整数。

用一个变量表示循环部分，再用另一个变量表示非重复部分。

构建一个等式，将循环部分和非重复部分与原始循环小数相加。

解方程，得到分数形式的结果。

3.举例说明例如，将循环小数0.666...化为分数：将循环部分6除以9倍，得到66/99。

用x 表示6，用y表示非重复部分0，构建等式x/99+y=0.666...扩展等式，得到100x +9y=66。

解方程，得到x=2，y=0。

最终结果为2/3。

4.原理解释和推导将循环小数转换为分数的原理是利用等式的性质和解方程的方法。

通过构建一个等式，将循环部分和非重复部分分别表示为变量，再利用方程求解的方法得到分数形式的结果。

这种转换可以理解为反运算，将小数转换为有理数。

用猜想验证的方法化循环小数为分数把循环小数化成分数的方法,可以用移动循环节的过程来推导，也可以用无限递缩等比数列的求和公式计算得到。

下面我们运用猜想验证的方法来推导。

（一）化纯循环小数为分数大家都知道：一个有限小数可以化成分母是10、100、1000 ……的分数。

那么,一个纯循环小数可以化成分母是怎样的分数呢？我们先从简单的循环节是一位数字的纯循环小数开始。

如:＠①、＠②……化成分数时，它们的分母可以写成几呢？想一想：可能是10吗？不可能。

因为1/10＝0.1〈@①，3/10＝0.3>＠②；可能是8吗?不可能。

因为1/ 8＝0.125〉＠①，3/8＝0。

375〉＠②；那么，可能是几呢？因为1/10〈@①〈1/8，3/10〈＠②〈3/8,所以分母可能是9。

下面我们来验证一下自己的猜想：1/9＝1÷9＝0.111……＝＠①;3/9＝1/3＝1÷3＝0.333……＝@②。

计算结果说明我们的猜想是对的.那么,所有循环节是一位数字的纯循环小数都可以写成分母是9的分数吗？让我们根据自己的猜想, 把＠③、＠④化成分数后再验证一下。

@③＝4/9 验证:4/9＝4÷9＝0.444……@④＝6/9＝2/3 验证：2/3＝2÷3＝0。

666……经过上面的猜想和验证，我们可以得出这样的结论:循环节是一位数字的纯循环小数化成分数时,用一个循环节组成的数作分子,用9 作分母；然后，能约分的再约分。

循环节是两位数字的纯循环小数怎样化成分数呢？如：＠⑤、＠⑥……化成分数时，它们的分母又可以写成多少呢？想一想：可能是100吗？不可能。

因为12/100＝0。

12〈＠⑤,13/100＝0。

13〈＠⑥。

可能是98吗？不可能。

因为12/98≈0.1224〉＠⑤，13/98≈0。

1327〉＠⑥；可能是多少呢？因为12/100<@⑤〈12/98，13/100〈＠⑥〈13/98,所以分母可能是99。

循环小数化成分数的方法
循环小数化成分数是一种数学上比较有趣又能够启发我们思考的方法。

它可以将一个小数转化成一个等价的分数。

首先，我们要明白一个小数可以表示为分数的形式。

例如，0.25可以写成1/4，0.75可以写成3/4，而0.5可以写成1/2。

这也就意味着小数可以用分数来表示，将小数化成分数也就不再是一件困难的事情。

其次，循环小数化成分数的方法也不难。

首先，将小数乘以10，得到小数后面有一位数字的形式，然后将它们写成分数。

例如，0.36可以写成36/100，0.75可以写成75/100，而0.25可以写成25/100。

之后，我们可以利用一些数学知识来进一步简化这个分数。

例如，36/100可以简化为9/25，75/100可以简化为3/4，而25/100可以简化为1/4。

最后，我们可以再次利用一些数学知识来把这个分数转化成一个循环小数的形式。

例如，9/25可以转化为0.36，3/4可以转化为0.75，而1/4可以转化为0.25。

总之，循环小数化成分数是一种有趣又有趣的方法，不仅可以让我们了解到小数可以用分数表示，而且还能够帮助我们进一步深入理
解数学中的知识。