高中高考中的抽象函数专题重点学习学习练习.docx

专题8 抽象函数一、单选题1．函数()f x 是R 上的增函数，点()0,1A −，()3,1B 是其图象上的两点，则()11f x +<的解集为（ ） A ．()[),14,−∞−+∞ B ．()[) ,12,−∞−+∞ C ．1,2D ．()1,42．已知函数()f x 在定义域R 上单调，且(0,)x ∈+∞时均有(()2)1f f x x +=，则(2)f −的值为（ ） A ．3B ．1C ．0D ．1−3．单调增函数()f x 对任意,x y R ∈满足()()()f x y f x f y +=+，若()()33920x x xf k f ⋅+−−<恒成立，则k 的取值范围是（ ）A ．()1− B ．()1−∞C ．(1⎤⎦D ．)1,⎡+∞⎣4．定义在R 上的奇函数()f x 满足()()2f x f x −=，当(]0,1x ∈，()2log f x x x =−，则20212f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ）A ．32B ．12C ．12−D ．32−5．已知定义在R 上的函数()f x 满足()()()f x y f x f y −=−，且当0x <时，()0f x >，则关于x 的不等式()()()()2222f mx f m f m x f x +>+（其中0m << ）A ．2x m x m ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭B ．{|x x m <或2}x m > C ．2x x m m ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭D ．{|x x m >或2}x m<6．已知函数()f x 是R 上的偶函数，且()f x 的图象关于点()1,0对称，当[]0,1x ∈时，()22xf x =−，则()()()()0122020f f f f ++++的值为（ ）A ．2−B ．1−C ．0D ．17．已知奇函数()f x 的定义域为R ，若()2f x +为偶函数，且()11f −=−，则()()20172016f f += A ．2−B ．1−C ．0D ．18．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()2f x x x =+，则不等式()()ln 1f x f <−的解集为（ ） A ．()0,e B ．1,e ⎛⎫−∞ ⎪⎝⎭C ．(10,e ⎛⎫⎪⎝⎭D ．1,e⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭二、多选题9．已知函数()f x 满足x R ∀∈，有()(6)f x f x =−，且(2)(2)f x f x +=−，当[1,1]x ∈−时，)()lnf x x =，则下列说法正确的是（ ）A ．(2021)0f =B ．(2020,2022)x ∈时，()f x 单调递增C ．()f x 关于点(1010,0)对称D ．(1,11)x ∈−时，方程()sin 2f x x π⎛⎫=⎪⎝⎭的所有根的和为30 10．已知()f x 是定义在R 上的偶函数，()()11f x f x −=−+，且当[]0,1x ∈时，()22f x x x =+−，则下列说法正确的是（ ）A ．()f x 是以4为周期的周期函数B ．()()201820212f f +=−C ．函数()2log 1y x =+的图象与函数()f x 的图象有且仅有3个交点D ．当[]3,4x ∈时，()2918f x x x =−+11．已知函数()f x 的定义域为R ，且在R 上可导，其导函数记为()f x '.下列命题正确的有（ ） A ．若函数()f x 是奇函数，则()f x '是偶函数 B ．若函数()'f x 是偶函数，则()f x 是奇函数 C ．若函数()f x 是周期函数，则()f x '也是周期函数 D ．若函数()f x '是周期函数，则()f x 也是周期函数12．已知函数()y f x =是R 上的奇函数，对于任意x ∈R ，都有(4)()(2)f x f x f +=+成立，当[)0,2x ∈时，()21=−x f x ，给出下列结论，其中正确的是（ ）A ．(2)0f =B ．点(4,0)是函数()y f x =的图象的一个对称中心C ．函数()y f x =在[6,2]−−上单调递增D ．函数()y f x =在[6,6]−上有3个零点 三、填空题13．写出一个满足()()2f x f x =−的奇函数()f x =______.14．已知函数()f x 是R 上的奇函数，且()y f x =的图象关于1x =对称，当[0,1]x ∈时，()21x f x =−，计算(0)(1)(2)(3)(2021)f f f f f +++++＝________．15．函数()f x 为定义在R 上的奇函数，且满足()(2)f x f x =−，若(1)3f =，则(1)(2)(50)f f f +++=__________．16．设()f x 是定义在R 上的函数，且()()2f x f x =+，在区间[)1,1−上，(),102,015x a x f x x x +−≤<⎧⎪=⎨−≤<⎪⎩，其中a ∈R .若5922f f ⎛⎫⎛⎫−= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()5f a 的值是________.四、解答题17．已知定义在R 上的函数()f x ，()g x 满足： ①()01f =；②任意的x ，R y ∈，()()()()()f x y f x f y g x g y −=−.（1）求()()22f xg x −的值；（2）判断并证明函数()f x 的奇偶性.18．已知函数()f x 满足对,x y R ∀∈，都有()()()f x y f x f y +=+，且(1)2f =． （1）求(0)f 与(2)f −的值；（2）写出一个符合题设条件的函数()f x 的解析式（不需说明理由），并利用该解析式解关于x 的不等式(21)1()1f x f x +≥−．19．如果存在一个非零常数T ，使得对定义域中的任意的x ，总有f x Tf x 成立，则称()f x 为周期函数且周期为T .已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且()y f x =的图象关于直线x a =（0a ≠，为常数）对称，证明：()f x 是周期函数.20．已知函数()()y f x x =∈R ．（1）若()f x 满足(1)y f x =+为R 上奇函数且(1)=−y f x 为R 上偶函数，求(3)(5)f f −+的值；（2）若函数()()y g x x =∈R 满足1(3)2g x +=x ∈R 恒成立，函数()()()h x f x g x =+，求证：函数()h x 是周期函数，并写出()h x 的一个正周期；（3）对于函数()y f x =，()()y k x x =∈R ，若(())()f k x f x =对x ∈R 恒成立，则称函数()y f x =是“广义周期函数”， ()k x 是其一个广义周期，若二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠的广义周期为()k x （()k x x =不恒成立），试利用广义周期函数定义证明：对任意的12,x x ∈R ，12x x ≠，()()12f x f x =成立的充要条件是12b x x a+=−．参考答案1．C【解析】解法一：因为()f x 是R 上的增函数，()0,1A −，()3,1B 是其图象上的两点，所以函数()f x 的草图如图所示.由图象得，()()11111013f x f x x +<⇔−<+<⇔<+<，即12x −<<.解法二：因为()f x 是R 上的增函数，()0,1A −，()3,1B 是其图象上的两点，所以当03x ≤≤时，()11f x −≤≤.又已知()11f x +<，即()111f x −<+<， 所以013x <+<，解得12x −<<. 故选：C2．A【解析】根据题意，函数()f x 在定义域R 上单调，且(0,)x ∈+∞时均有(()2)1f f x x +=， 则()2f x x +为常数，设()2f x x t +=，则()2f x x t =−+，则有()21f t t t =−+=，解可得1t =−，则()21f x x =−−，故(2)413f −=−=； 故选：A. 3．B【解析】因为()()()f x y f x f y +=+，所以()()3392(3392)0x x x x x xf k f f k ⋅+−−=⋅+−−<又对任意,x y R ∈满足()()()f x y f x f y +=+， 所以(0)(0)(0)f f f =+， 解得(0)0f =，由()f x 为R 上单调增函数可得33920x x x k ⋅+−−<，令30x t =>，即2(1)20k t t +−−<恒成立， 即21k t t+<+，而2t t +≥，当且仅当2t t=，即t =所以1k +<1k <， 故选：B 4．D【解析】因为()f x 满足()()2f x f x −=，所以()f x 的图像关于x=1对称. 又()f x 为定义在R 上的奇函数，所以()()()22f x f x f x =−=−−， 所以()()()42f x f x f x +=−+=， 所以()f x 为周期函数，且周期T =4. 所以2021552524222f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，而25511132log 222222f f f⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=−=−=−−− ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 所以20212f ⎛⎫= ⎪⎝⎭32−.故选：D 5．A【解析】任取12x x <，由已知得()120f x x −>，即()()120f x f x −>，所以函数()f x 单调递减．由()()()()2222f mx f m f m x f x +>+可得()()()()2222f mx f x f m x f m −>−，即()22f mx x f −>()22m x m −，所以2222mx x m x m −<−，即()22220mx m x m −++<，即()()20mx x m −−<，又因为0m << 所以2m m>，此时原不等式解集为2x m x m ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭．故选：A 6．D【解析】因为()f x 是R 上的偶函数，所以()()f x f x −=， 又()f x 的图象关于点()1,0对称，则()(2)f x f x =−−，所以()(2)f x f x −=−−，则()(2)f x f x =−+，得(4)(2)()f x f x f x +=−+=， 即(4)()f x f x +=−，所以()f x 是周期函数，且周期4T =，由[]0,1x ∈时，()22xf x =−，则(0)1,(1)0f f ==，(2)(0)1f f =−=−，(3)(3)(1)0f f f =−==，则(0)(1)(2)(3)0f f f f +++=， 则()()()()0122020f f f f ++++(0)5050(0)1f f =+⨯==故选：D 7．D【解析】奇函数()f x 的定义域为R ，若(2)f x +为偶函数， (0)0f ∴=，且(2)(2)(2)f x f x f x −+=+=−−，则(4)()f x f x +=−，则(8)(4)()f x f x f x +=−+=， 则函数()f x 的周期是8，且函数关于2x =对称， 则(2017)(25281)f f f =⨯+=（1）(1)(1)1f =−−=−−=，(2016)(2528)(0)0f f f =⨯==，则(2017)(2016)011f f +=+=， 故选D ． 8．C【解析】因为当0x >时，()2f x x x =+，且函数()f x 是定义在R 上的奇函数，所以0x <时，()()()()22f x f x x x x x ⎡⎤=−−=−−+−=−+⎣⎦， 所以()22,0,0x x x f x x x x ⎧−+<=⎨+>⎩，作出函数图象：所以函数()f x 是()+−∞∞，上的单调递增， 又因为不等式()()ln 1f x f <−，所以ln 10x x <−⎧⎨>⎩，即10x e <<，故选：C. 9．CD【解析】由题设知：2221()ln(1)lnln(1)()1f x x x x x f x x x−=++==−+−=−+−，故()f x 在[1,1]x ∈−上为奇函数且单调递减，又(2)(4)(2)f x f x f x +=−=−，即关于21x k =+、(2,0)k ，k Z ∈对称，且最小周期为4， A ：(2021)(50541)(1)ln(21)0f f f =⨯+==−≠，错误；B ：(2020,2022)x ∈等价于(0,2)x ∈，由上易知：(0,1)上递减，(1,2)上递增，故()f x 不单调，错误；C ：由上知：()f x 关于(2,0)k 对称且k Z ∈，所以()f x 关于(1010,0)对称，正确；D ：由题意，只需确定()f x 与sin 2xy π=在(1,11)x ∈−的交点，判断交点横坐标的对称情况即可求和，如下图示，∴共有6个交点且关于5x =对称，则16253410x x x x x x +=+=+=， ∴所有根的和为30，正确. 故选：CD 10．ACD【解析】对于A 选项，由已知条件可得()()()()1113f x f x f x f x +=−−=−−=−， 所以，函数()f x 是以4为周期的周期函数，A 选项正确；对于B 选项，()()()2018202f f f ==−=，()()202110f f ==，则()()201820212f f +=，B 选项错误；对于C 选项，作出函数()2log 1y x =+与函数()f x 的图象如下图所示：当[]0,1x ∈时，()[]221922,024f x x x x ⎛−=+⎫−=−∈− ⎪⎝⎭，结合图象可知，()22f x −≤≤.当3x >时，()2log 12x +>，即函数()2log 1y x =+与函数()f x 在()3,+∞上的图象无交点， 由图可知，函数()2log 1y x =+与函数()f x 的图象有3个交点，C 选项正确； 对于D 选项，当[]3,4x ∈时，[]41,0x −∈−，则[]40,1x −∈，所以，()()()()()2244442918f x f x f x x x x x =−=−=−+−−=−+，D 选项正确. 故选：ACD. 11．AC【解析】解：由导数的定义：()()()=lim x f x x f x f x x ∆→+∆−∆'选项A ：()()()()()()00=lim=lim=x x f x x f x f x f x x f x f x xx∆→∆→−+∆−−−−∆∆∆''−，即()f x '是偶函数，故A 正确；选项B ：如()sin 1f x x =+不是奇函数，而()cos f x x '=为偶函数；故B 错误， 选项C ：()()()()()()00=lim=limx x f x T x f x T f x x f x f x T f x xx∆→∆→++∆−++∆−=∆∆''+即()f x '也是周期函数，故C 正确；选项D ：如()sin f x x x =+不是周期函数，但()1cos f x x '=+是周期函数；故D 错误， 故选：AC. 12．AB【解析】在(4)()(2)f x f x f +=+中，令2x =−，得(2)0f −=，又函数()y f x =是R 上的奇函数，所以(2)(2)0f f =−=，(4)()f x f x +=，故()y f x =是一个周期为4的奇函数，因(0,0)是()f x 的对称中心，所以(4,0)也是函数()y f x =的图象的一个对称中心，故A 、B 正确；作出函数()f x 的部分图象如图所示，易知函数()y f x =在[6,2]−−上不具单调性，故C 不正确；函数()y f x =在[6,6]−上有7个零点，故D 不正确. 故选：AB 13．πsin2x （答案不唯一） 【解析】取()sin2f x x π=，下面为证明过程：显然，其定义域为R ； 由()sin sin ()22f x x x f x ππ⎛⎫⎛⎫−=−=−=− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故()sin 2f x x π=为奇函数；又()(2)sin 2sin sin ()222f x x x x f x ππππ⎡⎤⎛⎫−=−=−== ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭.故答案为：sin 2x π（答案不唯一）.14．1【解析】由题意，()()f x f x −=−且(2)()f x f x −=，∴()(2)()(2)(2)f x f x f x f x f x −=+=−=−−=−，即()(4)f x f x =+， ∴()f x 是周期为4的函数.令10x −≤<，则01x <−≤，而[0,1]x ∈时()21x f x =−，∴1()()(21)12xxf x f x −=−−=−−=−， ∴(0)(2)0,(1)1,(3)(1)1f f f f f ====−=−，即(0)(1)(2)(3)0f f f f +++=， 而(0)(1)(2)(3)(2021)505[(0)(1)(2)(3)]f f f f f f f f f +++++=⨯+++(5054)f +⨯(50541)f +⨯+(0)(1)1f f =+=.故答案为：115．3【解析】()(2)f x f x =−，(2)()f x f x ∴+=−，又()f x 为奇函数，(2)()(),(4)(2)()f x f x f x f x f x f x ∴+=−=−+=−+=()f x ∴是周期为4的周期函数，()f x 是定义在R 上的奇函数，(0)0,(4)(0)0f f f ∴=∴==，(2)(0)0,(3)(1)(1)3f f f f f ===−=−=−(1)(2)(3)(4)0f f f f ∴+++=，()()()()()12...50012123f f f f f ∴+++=⨯++=.故答案为：3．16．25− 【解析】因为()()2f x f x =+， 所以511222f f a ⎛⎫⎛⎫−=−=−+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，9112210f f ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以11210a −+=，解得35a =， 所以()()()25315f a f f ==−=−. 故答案为：25− 17．（1）1；（2）偶函数，证明见解析.【解析】（1）依题意，()()()()()()22f x g x f x f x g x g x −=−()()01f x x f =−==.（2）由（1）知()()22001f g −=，∴()()220010g f =−=，即()00g =，∴()()()()()()()000f x f x f f x g g x f x −=−=−=，又因为()f x 的定义域为R ，所以函数()f x 为偶函数.18．（1）(0)0f =，(2)4f −=−；（2）31(,](,)22−∞−+∞（答案不唯一）. 【解析】（1）由()()()f x y f x f y +=+，令0x y ==，得(0)2(0)f f =，所以(0)0f =，令1,1x y ==−，得(0)(1)(1)f f f =+−，因为(1)2f =，所以(1)2f −=−，令1x y ==−，得(2)(1)(1)4f f f −=−+−=−，（2）答案不唯一，例如：()2f x x =满足条件.由(21)1()1f x f x +≥−，得2(21)2(21)23110212121x x x x x x +++≥⇔−=≥−−−， 解得：32x ≤−或12x >， 故解集为31(,](,)22−∞−+∞ 19．证明见解析【解析】∵()f x 是定义在R 上的奇函数，∴()()f x f x −=−，∵()y f x =的图象关于直线x a =（0a ≠，为常数）对称，所以()()f a x f a x +=−，∴(2)[()][()]()()f a x f a a x f a a x f x f x +=++=−+=−=−.从而(4)(2)()f a x f a x f x +=−+=.∴()f x 是周期函数，且周期为4a .20．（1）0；（2）证明见解析，正周期为24；（3）证明见解析．【解析】（1）因为()f x 满足(1)y f x =+为R 上奇函数，所以(1)(1)f x f x −=−+，所以()(2)0f x f x −++=，又因为()f x 满足(1)=−y f x 为R 上偶函数，所以(1)(1)f x f x −−=−，所以()(2)f x f x −=−，所以有(2)(2)0f x f x −++=，所以(2)(2)f x f x +=−−，所以(4)()f x f x +=−，所以(8)(4)()f x f x f x +=−+=，所以()f x 的一个周期为8，所以(3)(5)2(5)f f f −+=，在()(2)0f x f x −++=中令1x =−，得(1)(1)0f f +=，所以(1)0f =，在(4)()f x f x +=−中令1x =，得(5)(1)f f −=，所以(5)(1)0f f =−=，所以(3)(5)0f f −+=；（2）因为11(3)22g x +=≥，所以1(6)2g x +=12=因为[]11(3)1(3)122g x g x ⎡⎡+−+=+−⎢⎢⎣⎣ 21()()4g x g x =−+ 21()2g x ⎡⎤=−⎢⎥⎣⎦，所以111(6)()222g x g x +==+−()g x =，所以函数()g x 的一个周期为6，因为()()()h x f x g x =+，所以(24)(83)(64)()()()h x f x g x f x g x h x +=+⨯++⨯=+=，所以()h x 是周期函数，一个正周期为24；（3）充分性：当12b x x a +=−时，12b x x a=−−， 此时()()221222222b b b f x f x a x b x c ax bx c f x a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=−−=−−+−−+=++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 所以充分性满足；必要性：因为二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠的广义周期为()k x ，所以(())()f k x f x =，所以22(())()a k x bk x c ax bx c ++=++，所以22()[()]0a k x x b k x x ⎡⎤−+−=⎣⎦，又因为()k x x =不恒成立，所以[()]0a k x x b ++=，所以()b k x x a =−−，又因为()()12f x f x =，且()()()11f k x f x =，所以()()()21f k x f x =，因为12x x ≠，所以1212()b b k x x x x a a +=−−+≠−， 所以()12k x x =，即12b x x a −−=，也即12b x x a +=−， 所以必要性满足．所以：对任意的12,x x ∈R ，12x x ≠，()()12f x f x =成立的充要条件是12b x x a +=−．。

数学中的抽象函数问题练习题在数学的学习中，抽象函数问题常常让同学们感到困惑和棘手。

抽象函数没有给出具体的解析式，需要我们通过题目所给的条件和性质，运用逻辑推理和数学方法来求解。

下面为大家准备了一些典型的抽象函数问题练习题，让我们一起来挑战一下吧！一、函数的单调性问题例 1：已知函数$f(x)＄对于任意的实数$x_1$，＄x_2$，都有$f(x_1＋ x_2) ＝ f(x_1) ＋ f(x_2)＄，且当$x ＞ 0$时，＄f(x) ＞ 0$，判断函数$f(x)＄的单调性。

分析：要判断函数的单调性，我们可以设$x_1 ＜ x_2$，然后通过变形得出$f(x_2) f(x_1)＄的正负性。

解：设$x_1 ＜ x_2$，则$x_2 x_1 ＞ 0$，因为当$x ＞ 0$时，＄f(x) ＞ 0$，所以$f(x_2 x_1) ＞ 0$。

＄f(x_2) ＝ f(x_1 ＋（x_2 x_1)）＝ f(x_1) ＋ f(x_2 x_1)＄所以$f(x_2) f(x_1) ＝ f(x_2 x_1) ＞ 0$，即$f(x_2) ＞ f(x_1)＄因此，函数$f(x)＄在其定义域上是增函数。

练习 1：设函数$f(x)＄对任意实数$x$，＄y$都有$f(x ＋ y) ＝ f(x)＋ f(y)＄，且当$x ＜ 0$时，＄f(x) ＜ 0$，＄f(1) ＝ 2$，求$f(x)＄在区间$－3, 3$上的最大值和最小值。

二、函数的奇偶性问题例 2：已知函数$f(x)＄的定义域为$R$，且对于任意的实数$x$，都有$f(x) ＝ f(x)＄，当$x ＞ 0$时，＄f(x) ＝ x^2 ＋ 1$，求$f(x)＄的解析式。

分析：因为函数是奇函数，所以$f(0) ＝ 0$，然后利用奇函数的性质求出$x ＜ 0$时的解析式。

解：因为$f(x) ＝ f(x)＄，所以$f(0) ＝ 0$当$x ＜ 0$时，＄x ＞ 0$，所以$f(x) ＝（x)＾2 ＋ 1 ＝ x^2 ＋ 1$因为$f(x) ＝ f(x)＄，所以$f(x) ＝ f(x) ＝（x^2 ＋ 1) ＝ x^2 1$所以$f(x) ＝＼begin{cases} x^2 ＋ 1, ＆ x ＞ 0 ＼＼ 0, ＆ x ＝ 0 ＼＼x^2 1, ＆ x ＜ 0 ＼end{cases}＄练习 2：已知函数$f(x)＄对任意实数$x$，＄y$都有$f(x ＋ y) ＋ f(x y) ＝ 2f(x)f(y)＄，且$f(0) ＼neq 0$，判断函数$f(x)＄的奇偶性。

高一抽象函数练习题高一抽象函数练习题高一数学课程中，抽象函数是一个重要的概念。

它是一种特殊的函数，其自变量和因变量都可以是函数。

抽象函数的引入，使得数学问题的描述和解决更加灵活和简洁。

为了帮助同学们更好地理解和掌握抽象函数，以下将给出一些高一抽象函数练习题，希望能够对同学们的学习有所帮助。

1. 已知函数f(x) = x^2 + 3x - 2，求抽象函数g(x) = f(f(x))的表达式。

解析：首先，我们需要求出f(f(x))的表达式。

根据抽象函数的定义，我们可以将f(f(x))展开为f(x^2 + 3x - 2)。

将f(x) = x^2 + 3x - 2代入，得到f(f(x)) = (x^2 +3x - 2)^2 + 3(x^2 + 3x - 2) - 2。

化简后，得到g(x) = x^4 + 7x^3 + 16x^2 +13x - 6。

2. 已知函数f(x) = 2x - 1，求抽象函数g(x) = f^3(x)的表达式。

解析：根据抽象函数的定义，我们需要求出f^3(x)的表达式。

f^3(x)表示f(f(f(x)))，即将f(x)连续作用三次。

根据给定的函数f(x) = 2x - 1，我们可以计算出f(f(x))和f(f(f(x)))的表达式，进而得到g(x) = 8x - 9。

3. 已知函数f(x) = x^2 + 2x，求抽象函数g(x) = f(f^2(x))的表达式。

解析：根据抽象函数的定义，我们需要求出f(f^2(x))的表达式。

f^2(x)表示f(f(x))，即将f(x)连续作用两次。

根据给定的函数f(x) = x^2 + 2x，我们可以计算出f(f(x))的表达式，进而得到g(x) = (x^2 + 2x)^2 + 2(x^2 + 2x)。

通过以上练习题，我们可以看到抽象函数的运用非常灵活。

在解题过程中，我们需要将给定的函数代入到抽象函数的定义中，然后进行计算和化简，最终得到所求的抽象函数表达式。

高考一轮专练——抽象函数1. 已知函数y = f (x )(x ∈R ，x ≠0)对任意的非零实数1x ，2x ，恒有f (1x 2x )=f (1x )+f (2x ),试判断f (x )的奇偶性。

2 已知定义在[-2，2]上的偶函数，f (x )在区间[0，2]上单调递减，若f (1-m )<f (m ),求实数m 的取值范围3. 设f(x)是R 上的奇函数，且f(x+3) =-f(x)，求f(1998)的值。

4. 设函数()f x 对任意121,[0,]2x x ∈,都有1212()()()f x x f x f x +=⋅,()2f x = 已知(1)2f =，求1()2f ,1()4f 的值.5. 已知f （x ）是定义在R 上的函数，且满足：f （x+2）[1－f （x ）]=1+f （x ），f （1）=1997，求f （2001）的值。

6. 设f （x ）是定义R 在上的函数，对任意x ，y ∈R ，有 f （x+y ）+f （x-y ）=2f （x ）f （y ）且f （0）≠0.（1）求证f （0）=1；（2）求证：y=f （x ）为偶函数.7. 已知定义在R 上的偶函数y=f(x)的一个递增区间为（2，6），试判断（4，8）是y=f(2-x)的递增区间还是递减区间？8. 设f （x ）是定义在R 上的奇函数，且对任意a ，b ，当a+b ≠0，都有ba b f a f ++)()(＞0（1）若a ＞b ，试比较f （a ）与f （b ）的大小；（2）若f （k )293()3--+⋅xxxf ＜0对x ∈[－1，1]恒成立，求实数k 的取值范围。

9.已知函数()f x 是定义在（-∞，3]上的减函数，已知22(sin )(1cos )f a x f a x -≤++对x R ∈恒成立，求实数a 的取值范围。

10．已知函数(),f x 当,x y R ∈时，恒有()()()f x y f x f y +=+. （1）求证: ()f x 是奇函数;（2）若(3),(24)f a a f -=试用表示.11．已知()f x 是定义在R 上的不恒为零的函数，且对于任意的，都满足: ()()()f a b af b bf a ∙=+. （1）求(0),(1)f f 的值;（2）判断()f x 的奇偶性，并证明你的结论;（3）若(2)2f =,*(2)()nn f u n N n-=∈，求数列{n u }的前n 项和n s .12．已知定义域为R 的函数()f x 满足22(()))()f f x x x f x x x -+=-+. （1）若(2)3,(1);(0),();f f f a f a ==求又求（2）设有且仅有一个实数0x ，使得00()f x x =，求函数()f x 的解析表达式.13．已知函数()f x 的定义域为R ，对任意实数,m n 都有1()()()2f m n f m f n +=++，且1()02f =，当12x >时, ()f x >0.（1）求(1)f ;（2）求和(1)(2)(3)...()f f f f n ++++*()n N ∈; （3）判断函数()f x 的单调性，并证明.14．函数()f x 的定义域为R ，并满足以下条件：①对任意x R ∈,有()f x >0；②对任意,x y R ∈,有()[()]y f xy f x =；③1()13f >.（1）求(0)f 的值;（2）求证: ()f x 在R 上是单调减函数; （3）若0a b c >>>且2b ac =，求证：()()2()f a f c f b +>.15．已知函数()f x 的定义域为R,对任意实数,m n 都有()()()f m n f m f n +=∙,且当0x >时,0()1f x <<.（1）证明:(0)1,0f x =<且时,f(x)>1;（2）证明: ()f x 在R 上单调递减;（3）设A=22{(,)()()(1)}x y f x f y f ∙>,B={(,)(2)1,x y f ax y a R -+=∈},若AB =Φ,试确定a 的取值范围.16．已知函数()f x 是定义在R 上的增函数,设F ()()()x f x f a x =--. （1）用函数单调性的定义证明:()F x 是R 上的增函数; （2）证明:函数y =()F x 的图象关于点(,0)2a成中心对称图形.17．已知函数()f x 是定义域为R 的奇函数，且它的图象关于直线1x =对称. （1）求(0)f 的值；（2）证明： 函数()f x 是周期函数;（3）若()(01),f x x x =<≤求当x R ∈时，函数()f x 的解析式，并画出满足条件的函数()f x 至少一个周期的图象。

专题7 抽象函数的单调性和奇偶性-高一数学必修一专题复习训练含答案一、选择题1．设()f x 是定义在(),-∞+∞上的单调递减函数，且()f x 为奇函数.若()11f =-，则不等式()121f x -≤-≤的解集为A . []1,1-B ． []0,4C ． []2,2-D ． []1,3【答案】D2．若函数()f x 的定义域为()32,1a a -+，且函数()1f x -为奇函数，则实数a 的值为（ ）A . 2B . 4C . 6D . 8【答案】C【解析】函数()f x 的定义域为()32,1a a -+，且函数()1f x -为奇函数，则函数()f x 的图象关于点()1,0对称，故有()132{3212a a a a +>--++＝，求得2a =，故选A .3．已知()f x 是偶函数，它在[)0,+∞上是减函数，若()()lg 1f x f > ，则x 的取值范围是（ ） A . 1,110⎛⎫⎪⎝⎭ B . 1,1010⎛⎫ ⎪⎝⎭ C . ()10,1,10⎛⎫⋃+∞ ⎪⎝⎭D . ()()0,110,⋃+∞ 【答案】B【解析】试题分析：偶函数()f x 在[)0,+∞上是减函数，则在(],0-∞上为增函数，由()()lg 1f x f >可知，得，故选项B 正确．考点：偶函数的单调性及其运用．【易错点睛】解答本题时考生容易错误的理解为：偶函数在整个定义域上的单调性是一致的，而列出不等式，解得，没有正确的选项可选．偶函数的图象关于y 轴对称，则其在原点两侧对称区间的单调性也是不同的，即一侧为单调增函数，则对称的另一侧为单调减函数．只有清楚了函数的单调性，才能正确的列出不等式，进而求出正确的解．4．已知函数()y f x =是R 上的偶函数，且在[)0+∞，上单调递增，则下列各式成立的是（ ）A . ()()()201f f f ->>B . ()()()102f f f >>-C . ()()()210f f f ->>D . ()()()120f f f >->【答案】A【解析】因为函数()y f x =是R 上的偶函数，所以()()22f f -= ，又因为()f x 在[)0+∞，上单调递增，所以()()()201f f f >>，故()()()201f f f ->>. 本题选择A 选项. 5．已知定义域为R 的偶函数在上是减函数，且，则不等式的解集为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】6．已知偶函数f （x ）在[0，+∞）单调递增，若f （2）=﹣2，则满足f （x ﹣1）≥﹣2的x 的取值范围是 （ ） A ． （﹣∞，﹣1）∪（3，+∞） B ． （﹣∞，﹣1]∪[3，+∞） C ． [﹣1，﹣3] D ． （﹣∞，﹣2]∪[2，+∞） 【答案】B 【解析】根据题意，偶函数在单调递增，且，可得，若，即有， 可得，解可得： 即的取值范围是；故选：B ．7．若偶函数()f x 在(],0-∞上单调递减, ()()3224log 3,log 5,2a f b f c f ⎛⎫=== ⎪⎝⎭,则满足( )A . a b c <<B . b a c <<C . c a b <<D . c b a <<【答案】B8．已知函数()f x 为定义在[]2,1b b -上的偶函数，且在[]0,1b -上单调递增，则()()1f x f ≤的解集为（ ）A . []1,2B . []3,5C . []1,1-D . 13,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】C【解析】由函数奇偶性的定义可知2101b b b +-=⇒=-，所以函数()f x 在[]0,2单调递增，则不等式可化为1{1102x x x ≤⇒-≤≤≤≤，应选答案C .9．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，在(],0-∞上有单调性，且()()21f f -<，则下列不等式成立的是 （ ）A . ()()()123f f f -<<B . ()()()234f f f <<-C . ()()1202f f f ⎛⎫-<< ⎪⎝⎭D . ()()()531f f f <-<-【答案】D【解析】根据函数为偶函数，有()()()221f f f -=<，故函数在[)0,+∞上递减，所以()()()()()()10123452f f f f f f f ⎛⎫>>>>>> ⎪⎝⎭，故选D .10.若是奇函数，且在内是增函数，又，则的解集是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】11.定义在的函数，已知是奇函数，当时，单调递增，若且，且值（ ）．A ． 恒大于B ． 恒小于C ． 可正可负D ． 可能为【答案】A【解析】由是奇函数，所以图像关于点对称，当时，单调递增，所以当时单调递增，由，可得，，由可知，结合函数对称性可知12.已知是定义在上的奇函数，对任意的，均有.当时，，则（）A． B． C． D．【答案】C【解析】f（）=f（）=14，∵＜＜，二、填空题13．设f（x）是R上的偶函数，且在[0，+∞）上单调递增，则f（–2），f（–π），f（3）的大小顺序是__________．【答案】f（–π）>f（3）>（–2）【解析】由已知是上的偶函数，所以有，，又由在上单调增，且，所以有，所以π），故答案为：.14.已知偶函数在区间上单调增加，则满足的的取值范围是__________．【答案】【解析】∵是偶函数，15.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数, 在区间(),0-∞上单调递减，且()10f =. 若实数a 满足()515log log f a f a ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭, 则实数a 的取值范围是____________．【答案】][10,1,55⎛⎤⋃ ⎥⎝⎦【解析】因为函数()f x 是定义在R 上的奇函数, 在区间(),0-∞上单调递减， 根据对称性，所以函数()f x 在区间()0,+∞上也单调递减．又易推出()()()1100f f f -===．从而根据函数()f x 的性质作出图象, 即可求得()0f x ≥的解集为][(,10,1⎤-∞-⋃⎦．()515log log f a f a ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭等价于()5log 0f a ≥，故5log 1a ≤-或50log 1a ≤≤，解得105a <≤或15a ≤≤． 16.定义在区间[]2,2-上的偶函数()g x ,当0x ≥时()g x 单调递减,若()()1g m g m -<，则实数m 的取值范围是____________．【答案】1 1,2⎡⎫-⎪⎢⎣⎭【解析】不等式等价于：212 {221mmm m-≤-≤-≤≤->，求解关于实数m的不等式组可得实数m的取值范围是1 1,2⎡⎫-⎪⎢⎣⎭.17．设偶函数在上为减函数，且，则不等式的解集为_________；【答案】【解析】18．已知函数是定义在区间上的偶函数，它在区间上的图像是如图所示的一条线段，则不等式的解集为__________.【答案】【解析】 由题意，函数过点，，∴，又因为是偶函数，关于轴对称，所以，即，又作出函数在上的图像，当的时候，的图像恒在的上方，当的时候，令，，即当的时候，满足，即.故答案为：. 19．定义在上的奇函数是增函数，且，则的取值范围为__________．【答案】【解析】20.已知定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x -=，且对于任意1x ， [)20,x ∈+∞， 12x x ≠，均有()()21120f x f x x x ->-.若1132f ⎛⎫-=⎪⎝⎭， 182log 1f x ⎛⎫< ⎪⎝⎭，则x 的取值范围为__________． 【答案】()10,2,2⎛⎫⋃+∞ ⎪⎝⎭【解析】定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x -=，且对于任意1x ， [)20,x ∈+∞， 12x x ≠，均有()()21120f x f x x x ->-， ()f x ∴ 在()0,+∞ 上递减，在(),0-∞ 上递增，12811112log ,log 2333f x f f x f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫<=--<- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ，因为()f x 是偶函数，所以2211log ,log 133x x ->->或2log 1x <- ，可得2x >或102x << ，故答案为()10,2,2⎛⎫⋃+∞ ⎪⎝⎭.三、解答题21.已知函数()y f x =是定义在()0,+∞上的增函数，对于任意的0,0x y >>，都有()()()f xy f x f y =+，且满足()21f =.（1）求()()14f f 、的值；（2）求满足()()32f x f x +->的x 的取值范围. 【答案】（1）()10f =， ()42f =；（2）4x >. 【解析】22.定义在R 上的函数()y f x =对任意的,x y R ∈，满足条件： ()()()1f x y f x f y +=+-，且当0x >时， ()1f x >. （1）求()0f 的值；（2）证明：函数()f x 是R 上的单调增函数；（3）解关于t 的不等式()221f t t -<.【答案】(Ⅰ) ()01f =；(Ⅱ)见解析；（Ⅲ） 10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭. 【解析】23.若()f x 是定义在()0,+∞上的增函数，且对一切x ， 0y >，满足()()x f f x f y y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭． （1）求()1f 的值；（2）若()61f =，解不等式()1323f x f ⎛⎫+-< ⎪⎝⎭． 【答案】（1）0；（2）()3,9- 【解析】24.已知()f x 是定义在[]1,1-上的奇函数，且()11f =，若m ， []1,1n ∈-， 0m n +≠时，有()()0f m f n m n+>+.（1）证明()f x 在[]1,1-上是增函数； （2）解不等式1121f x f x ⎛⎫⎛⎫+< ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭； （3）若()221f x t at ≤-+对任意[]1,1x ∈-， []1,1a ∈-恒成立，求实数t 的取值范围. 【答案】（1）增函数；（2）3,12⎡⎫--⎪⎢⎣⎭；（3）0t =或2t ≥或2t ≤-． 【解析】∵()f x 在[]1,1-上是增函数∴()()max 11f x f == ∴2221120t at t at -+≥⇒-≥对任意[]1,1a ∈-恒成立． 令()22g a at t =-+，则0{00t =≥恒成立或()20{120t g t t >=-+≥或()20{120t g t t <-=+≥，∴0t =或2t ≥或2t ≤-∴实数t 的取值范围为0t =或2t ≥或2t ≤-．25.函数()f x 的定义域为{|0}D x x =≠，且满足对任意12,x x D ∈，有()()1212f x x f x x ⋅=+）（. （1）求()1f 的值；（2）判断()f x 的奇偶性并证明你的结论；（3）如果()41f =， ()12f x -<，且()f x 在()0,+∞上是增函数，求x 的取值范围. 【答案】（1）()10f =；（2）见解析：（3）()()15,11,17-⋃. 【解析】点睛：本题给出抽象函数，求特殊的函数值、讨论函数的奇偶性，并依此解关于x 的不等式．着重考查了函数的单调性、奇偶性和绝对值不等式的解法等知识，属于中档题．运用“赋值法”进行求值和化简，是解决抽象函数问题的一般方法.26.设函数()y f x =是定义在R 上的函数，并且满足下面三个条件：①对任意正数,x y ，都有()()()f xy f x f y =+；②当1x >时， ()0f x <；③()31f =-.（1）求()1f ， 19f ⎛⎫⎪⎝⎭的值；（2）证明()f x 在()0,+∞上是减函数；（3）如果不等式()()22f x f x +-<成立，求x 的取值范围.【答案】（Ⅰ）2;（Ⅱ）见解析; （Ⅲ）(1,133-+）. 【解析】点晴：本题属于对函数单调性的证明和单调性应用的考察，若函数()f x 在区间上单调递增，则()()1212,,x x D f x f x ∈>且时，有12x x >，事实上，若12x x ≤,则()()12f x f x ≤，这与()()12f x f x >矛盾，类似地，若()f x 在区间上单调递减，则当()()1212,,x x D f x f x ∈>且时有12x x <；据此可以解不等式，由函数值的大小，根据单调性就可以得自变量的大小关系. 27.已知函数的定义域为，若对于任意的实数，都有，且时，有.（1）判断并证明函数的奇偶性； （2）判断并证明函数的单调性；（3）设，若对所有，恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）奇函数，（2）单调递增函数，（3）或.【解析】（1）奇函数，证明如下：由题意知，令，得，所以；点睛：抽象函数单调性的证明绝大多数情况下都是用“定义法”去证，其步骤是：（1）取值：在给定区间上任取，且；（2）作差：将变形整理为其结果为因式乘积的形式或能够判断的符号的形式；（3）判断的符号；（4）根据定义得出结论.28．已知函数是定义在上的不恒为零的函数，对于任意非零实数满足，且当时，有.（Ⅰ）判断并证明的奇偶性；（Ⅱ）求证：函数在上为增函数，并求不等式的解集.【答案】(1)见解析;(2).【解析】分析：⑴先求出，继而，令代入得⑵构造，然后利用已知代入证明详解：（Ⅰ）是偶函数。

抽象函数单调性和奇偶性1. 抽象函数的图像判断单调性例1．如果奇函数f x ()在区间[]37，上是增函数且有最小值为5，那么f x ()在区间[]--73，上是( )A. 增函数且最小值为-5B. 增函数且最大值为-5C. 减函数且最小值为-5D. 减函数且最大值为-5 分析：画出满足题意的示意图，易知选B 。

2、抽象函数的图像求不等式的解集例2、已知定义在R 上的偶函数f (x)满足f (2)0=，并且f (x)在(,0)-∞上为增函数。

若(1)(a)0a f ->，则实数a 的取值范围 .二、抽象函数的单调性和奇偶性 1.证明单调性 例3．已知函数f(x)=1)(1)(+-x g x g ,且f(x),g(x)定义域都是R,且g(x)>0, g(1) =2,g(x) 是增函数. (m)(n)(m n)(m,n )g g g R =+∈ . 求证： f(x)是R 上的增函数.解:设x 1>x 2因为，g(x)是R 上的增函数, 且g(x)>0。

故g(x 1) > g(x 2) >0。

g(x 1)+1 > g(x 2)+1 >0，⇒1)(22+x g >1)(21+x g >0⇒1)(22+x g -1)(21+x g >0。

5 O-7 -3 3 7 x -5f(x 1)- f(x 2)=1)(1)(11+-x g x g - 1)(1)(22+-x g x g =1-1)(21+x g -(1-1)(22+x g )=1)(22+x g -1)(21+x g >0。

可以推出：f(x 1) >f(x 2)，所以f(x)是R 上的增函数。

例4．已知f x ()对一切x y ，，满足f f x y f x f y ()()()()00≠+=⋅，，且当x <0时，f x ()>1，求证：（1）x >0时，01<<f x ()；（2）f x ()在R 上为减函数。

高考中的抽象函数专题练习1、下列结论：①函数y 和2y =是同一函数；②函数(1)f x -的定义域为[1,2]，则函数2(3)f x 的定义域为；③函数22log (23)y x x =+-的递增区间为(1,)-+∞；④若函数(21)f x -的最大值为3，那么(12)f x -的最小值就是3-其中正确的个数为 ( )A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个 2.定义在R 上的函数()f x 满足1(0)0,()(1)1,()()52x f f x f x ff x =+-==，且当1201x x ≤<≤时，12()()f x f x ≤，则1()2007f 等于（ ） A. 12 B. 116 C. 132 D. 1643.已知()f x 是定义在R 上的函数，且3()[1()]1()2f x f x f x +-=+，(2)2f =，则()2009f 值为（ ）A. 2B. 22 D. 2-4.已知(1)(1),()(2)f x f x f x f x +=-=-+，方程()0f x =在[0,1]内有且只有一个根12x =，则()0f x =在区间[]0,2013内根的个数为（ ） A. 2011 B. 1006 C. 2013 D. 10075.已知函数()f x 对任意实数x ，y 满足()()()f x y f x f y +=+，且(1)2f ≥.若存在整数m ，使得2(2)40f m m ---+= ，则m 取值的集合为______.6.定义在R 上的函数()f x 满足：(2)()0f x f x ++=，且函数(1)f x +为奇函数，对于下列命题：①函数()f x 满足(4)()f x f x +=；②函数()f x 图象关于点(1,0)对称；③函数()f x 的图象关于直线2x =对称；④函数()f x 的最大值为(2)f ；⑤(2009)0f =.其中正确的序号为_________.7.已知函数()f x 定义在(1,1)-上，对于任意的,(1,1)x y ∈-，有()()()1x yf x f y f xy++=+，且当0x <时，()0f x >.(1)验证函数1()ln1xf x x-=+是否满足这些条件； (2)若()1,()211a b a bf f ab ab +-==+-，且||1,||1a b <<，求(),()f a f b 的值．(3)若1()12f -=，试解关于x 的方程1()2f x =-．8.已知函数()()f x x R ∈满足：对于任意实数,x y ，都有1()()()2f x y f x f y +=++恒成立，且当0x >时，1()2f x >-恒成立； (1)求(0)f 的值，并例举满足题设条件的一个特殊的具体函数； (2)判定函数()f x 在R 上的单调性，并加以证明；(3)若函数2()(max{,2})()1F x f x x x f k =--+-+(其中,()max{,},()a a b a b b a b ≥⎧=⎨<⎩)有三个零点123,,x x x ，求123123()u x x x x x x =+++⋅⋅的取值范围．9.已知函数()f x 满足对任意实数,x y 都有()()()1f x y f x f y +=++成立，且当0x >时，()1f x >-，(1)0f =.(1)求(5)f 的值；(2)判断()f x 在R 上的单调性，并证明；(3)若对于任意给定的正实数ε，总能找到一个正实数σ，使得当0||x x σ-<时，0|()()|f x f x ε-<，则称函数()f x 在0x x =处连续. 试证明：()f x 在0x =处连续.10.已知函数()f x 满足对一切12,x x R ∈都有1212()()()2f x x f x f x +=+-，且(1)0f =，当1x >时有()0f x <.(1)求(1)f -的值；(2)判断并证明函数()f x 在R 上的单调性；(3)解不等式：222[(2)]2(21)120f x x f x x -+---<.11.定义在R 上的函数()f x ，(0)0f ≠，当0x >时，()1f x >，且对任意实数,a b ，有()()()f a b f a f b +=⋅，求证：(1)(0)1f =(2)证明：()f x 是R 上的增函数；(3)若2()(2)1f x f x x ⋅->，求x 的取值范围.12.已知函数()f x 对任意实数x ，y 都有()()()f x y f x f y +=+，且当0x >时，()0f x >，(1)2f -=-，求()f x 在[2,1]-上的值域.13.已知()f x 是定义在(0,)+∞上的增函数，且满足 ()()()f xy f x f y =+， 1()12f =-(1)求证：(2)1f =(2)求不等式()(3)1f x f x -->的解集.答案和解析1.答案：A分析：因为函数y =的定义域为R，2y =的定义域为[0,)x ∈+∞所以①不成立. 由函数(1)f x -的定义域为[1,2]，所以011x ≤-≤所以函数2(3)f x 要满足2031x ≤≤，所以函数2(3)f x 的定义域为[33-故②不成立，因为函数22l o g (23)y x x =+-的定义域为2230,3x x x +->∴<-或1x >所以递增区间为(1,)-+∞不正确，所以③不成立.因为函数(21)y f x =-与函数(12)y f x =-的图像关于y 轴对称，所以④不正确.故选A 2.答案：C分析：由(0)0,()(1)1f f x f x =+-=，得11()22f =，(1)1f =，又()1()52x f f x =，11()52f ∴=，41()52f =，又1201x x ≤<≤时，()()12f x f x ≤，所以若14[,]55x ∈，1()2f x =，1()()52x f f x =，则在14[,]55n n 区间上1()2n f x =，又55114[,]200755∈，11()200732f ∴=.3.答案：A分析：∵3()[1()]1()2f x f x f x +-=+，31()()21()f x f x f x +∴+=-，令32x x =+代入上式得，1()311()11()2(3)31()()1()121()f x f x f x f x f x f x f x f x ++++-+====-+-+--，令3x x =+代入上式得，1(6)()(3)f x f x f x +=-=+，∴函数的周期6T =，1(2009)(63345)(5)2(2)f f f f ∴=⨯+==-==+A . 4.答案：C分析：(1)(1)()(2)f x f x f x f x +=-⇒=+∴()f x 是一个周期为2的函数；()(2)()f x f x f x =-+=- ∴()f x 是一个偶函数；∵()0f x =在[0,1]内有且只有一个根12x =， 则()0f x =在[1,0]-内有且只有一个根12x =-又∵()f x 周期为2，∴()f x 在[1,2]内有且只有一个根32x =[0,2]为()f x 的一个周期函数，有2根；201310061T =+[2012,2013]等价于[0,1]也只有1根；故[0,2013]内根的个数为2013个 5.答案：{1,0}-分析：6.答案：①②③⑤分析：由(2)()0f x f x ++=得(2)()f x f x +=-，则[(2)2](2)()f x f x f x ++=-+=，所以()f x 的周期为4，则①对，由(1)f x +为奇函数得()f x 的图像关于点(1,0)对称，则②对，由(1)f x +为奇函数得(1)(1)f x f x -+=-+，令1x x =-得(2)()f x f x -+=-，又(2)()f x f x +=-，(2)(2)f x f x ∴-=+，则③对，由(1)(1)f x f x -+=-+得(1)0f =，故(2009)(1)0f f ==.7.答案：见解析分析：(1)由101xx->+可得11x -<<，即其定义域为(1,1)- 又1111()()ln ln ln()1111x y x yf x f y x y x y----+=+=⋅++++ 111ln ln ()1111x y x y xy x y xy f x y x y xy xy xy+---+++===+++++++又当0x <时，110x x ->+>，∴111x x ->+，∴1ln 01xx->+故1()ln 1xf x x-=+满足这些条件.(2)令0x y ==，∴(0)0f =，令y x =-，有()()(0)0f x f x f -+==， ∴()f x 为奇函数由条件得()()1()()2f a f b f a f b +=⎧⎨-=⎩，解得31(),()22f a f b ==-.(3)设1211x x -<<<，则121212120,10,01x xx x x x x x --<-><-，则1212121212()()()()()0,()()01x x f x f x f x f x f f x f x x x --=+-=>->-， ∴()f x 在(1,1)-上是减函数∵1()12f -=，∴1()12f =-原方程即为2212()1()()()()12x f x f x f x f f x =-⇔+==+，∴2221410212x x x x x =⇔-+=⇔=+又∵(1,1)x ∈-，∴2x =-故原方程的解为2x =8.答案：(1)1()2f x x =-；(2)函数()f x 在R 上单调递增；(3)02u << 分析：(1)取0x y ==代入题设中的式得： 11(00)(0)(0)(0)22f f f f +=++⇒=-特例： 1()2f x x =-(验证1111111(),(),()()()()()2222222f x x f y y f x y x y x y f x f y =-=-+=+-=-+-+=++)(2)判定：()f x 在R 上单调递增 证明：任取12,,x x R ∈且12x x <，则21211121111()()(())()()()()2f x f x f x x x f x f x x f x f x -=-+-=-++-211()0(2f x x =-+>∵210x x ->，∴211()).2f x x ->-∴12()()f x f x <，所以函数()f x 在R 上单调递增(3)由2()0(max{,2})()10F x f x x x f k =⇔--+-+=211(max{,2})()22f x x x f k ⇔--+-+=-又由(2)知()f x 在R 上单调递增，所以22(max{,2}())(0)max{,2}()0f x x x k f x x x k --+-=⇔--+-= 2max{,2}k x x x ⇔=--．构造2()max{,2},g x x x x =--由220x x x x ->-⇔<或3x >，∴2,(,0)(3,)()2,[0,3]x x g x x x x -∈-∞⋃+∞⎧=⎨-∈⎩，于是，题意等价于： y k =与()y g x =的图象有三个不同的交点(如上图，不妨设这三个零点123x x x <<)，则 12301,,,k x k x x <<=-为22x x k -=的两根，即23,x x 是一元二次方程220x x k -+=的两根，∴23232x x x x k+=⎧⎨⋅=⎩，∴2123123()2()2u x x x x x x k k k k k =+++=-+-=--，01k <<(变量归一法)，由22912()42u k k k =--=-+在(0,1)k ∈上单调递减，于是可得：02u <<．9.答案：见解析分析：(1)(1)()1f x f x +=+，(5)(1)44f f ∴=+= ；(2)设12x x >，则 11222()()()11()1f x f x x f x f x =-++>-++，12()()f x f x ∴>.()f x ∴在R 上单调递增；(3)令0y =，得()()(0)1f x f x f =++ ，(0)1f ∴=-，对任意*n N ∈,1112(1)()()12()()2n n f f f f f n n n n --=++=++=11()(0)()1nf f n nf n n n=++=+-，11()1f n n∴=-，()(1)1(2)2(1)11f n f n f n f n n =-+=-+=+-=-，又(0)()()1f f x f x =+-+，()2()f x f x ∴-=--，要证000|()()||()1|1()1f x f x f x x f x x εεεε-<⇔-+<⇔--<-<-，对任意0ε>，当*N ε∈时，取σε=，则当0||x x σ-<即0x x εε-<-<时，由()f x 单增可得0()()()f f x x f εε-<-<即02(1)()1f x x εε---<-<-；当*N ε∉时，必存在*,m N n N ∈∈使得111m m n n ε+≤<++，取11m n σ=++，则当0||x x σ-<即01111m x x m n n --<-<+++时，有011()()()11f m f x x f m n n --<-<+++，而11()1111f m m n n ε+=+-≤-++，11()1111f m m n n ε--=---≥--++01()1f x x εε∴--<-<-，综上，()f x 在0x x =处连续.10.答案：(1)(1)4f -=；(2)见解析；(3){|10x x -<<，或23}x << 分析：(1)令120x x ==，得(0)(0)(0)2f f f =+-，(0)2f =， 再令121,1x x =-=，得(11)(1)(1)2f f f -+=-+-， 即2(1)2f =--，从而(1)4f -=.(2)任取121221,,,0x x R x x x x x ∈<∆=->，2111()()()()()2y f x f x f x x f x f x ∆=-=+∆-=∆-(1(1))2(1)(1)4(1)f x f x f f x =∆++--=∆++--=∆+. ∵0x ∆>，10,(1)0x f x ∴+∆>∴+∆<，即0y ∆<. ()f x ∴在R 上是减函数.(3)由条件知，(1)()(1)2()2f x f x f f x +=+-=-，设221t x x =--，则2(1)2()120f t f t ++-<，即2[()2]2()120f t f t -+-<，整理，得2()2()80f t f t --<，2()4f t -<<，而22(1)(1)(2),4(1)f f f f -=-++==-，不等式即为(2)()(1)f f t f <<-， 又因为()f x 在R 上是减函数，12t ∴-<<，即21212x x -<--<，2220230x x x x ⎧->⎨--<⎩，从而所求不等式的解集为{|10x x -<<，或23}x <<.11.答案：见解析分析：(1)令0,a b ==则[]2(0)(0)f f =∵(0)0f ≠∴(0)1f =(2)任取21x x >，则212()0,()0f x f xx x>>->∴221211()()()()1()f x f x f x f x x f x =⋅-=-> ∴ 21()()f x f x > ∴()f x 在R 上是增函数8(3)()222()(2)(2)3f x x x f x x x f x x ⎡⎤-=+-=-+⎣⎦又1(0)f =，()f x 在R 上递增∴ 由2(3)(0)f x x f ->得：2003x x x ->∴<<12.答案：见解析分析：设 ,x x R ∈，且 12x x <，则 120x x ->，由条件当0x >时，()0f x > ，所以21()0f x x ->又 12112111() [()] () ()()f x f x x x f x x f x f x =-+=-+>，所以()f x 为增函数. 令y x =-，则(0)()()f f x f x =+-又令0x y == 得(0)0f = ，所以()()f x f x -=-.即()f x 为奇函数. 所以(1)(1)2,(2)2(1)4f f f f =--=-=-=- 所以()f x 在[2,1]-上的值域为[4,2]-.13.答案：(1)见解析(2){}|36x x <<分析：(1)由题意得(1)(11)(1)(1)2f f ff f =⨯=+=(1)0f ∴=，进一步得到11(1)(2)(2)()022f f f f =⋅=+=.(2)不等式化为()(3)1f x f x >-+∵(2)1f =∴()()(3)2(26)f x f x f f x >-+=-∵()f x 是(0,)+∞上的增函数∴解得{}|36x x <<。

专题 抽象函数一、求抽象函数定义域1.已知函数f （21x -）定义域为[]1,3-, 求f （x ）的定义域2．函数f(x)的定义域为[0,2]，则函数f(x ＋1)的定义域是________．3.已知函数f [ 0，3 ]，求f （x ）的定义域二.求抽象函数解析式求函数解析式的常用方法：待定系数法、配凑法、换元法、方程组、特殊值法（1）若f [ f （x ）] = 4x+3，求一次函数f （x ）的解析式（2）已知f （x ）= 22x x -，求f （1x -）的解析式(3) 已知f （x ）-2 f （-x ）= x ，求函数f （x ）的解析式（4）设对任意数x ，y 均有()()222233f x y f y x xy y x y +=++-++，求f （x ）的解析式.练习：1.已知f （x ）是二次函数，且()()211244f x f x x x ++-=-+，求f （x ）2.已知2 f （x ）- f （-x ）= x+1 ，求函数f （x ）的解析式3．已知2 f （x ）-f 1x ⎛⎫⎪⎝⎭ = 3x ，求函数f （x ）的解析式4.已知对一切x ，y ∈R ，()()()21f x y f x x y y -=--+都成立，且f （0）=1，求f （x ）的解析式.5.若x x f x f 4)1()(3=-，则)(x f =_____________________三、解抽象不等式1.已知：f (x)是定义在[-1，1]上的增函数，且f(x-1)<f(x 2-1),求x 的取值范围.2.已知f(x)是定义在(0,)+∞上的函数，满足条件f(x y)=f(x)+f(y)；f(2)=1。

求：(1)证(8)3f = ；（2）求不等式()(2)3f x f x -->的解集。

3.函数()f x 对任意的,a b R ∈，都有()()()1f a b f a f b +=+-，并且当0x >时()1f x >.（1）求证：()f x 是R 上的增函数；（2）若(4)5f =，解不等式2(32)3f m m --<专题 函数的奇偶性【知识梳理】1. 偶函数定义：一般地，设函数)(x f y =的定义域为A ，如果对于任意的A x ∈，都有，那么称函数)(x f y =是偶函数。