2018版高考数学理科(全国通用)总复习：压轴小题突破练1含解析

2018年高考理科数学全国卷二导数压轴题解析已知函数2()x f x e ax =-.（1） 若1a =，证明：当0x ≥时，()1f x ≥. （2） 若()f x 在(0,)+∞只有一个零点，求a . 题目分析：本题主要通过函数的性质证明不等式以及判断函数零点的问题考察学生对于函数单调性以及零点存在定理性的应用，综合考察学生化归与分类讨论的数学思想，题目设置相对较易，利于选拔不同能力层次的学生。

第1小问，通过对函数以及其导函数的单调性以及值域判断即可求解。

官方标准答案中通过()()x g x e f x -=的变形化成2()x ax bx c e C -+++的形式，这种形式的函数求导之后仍为2()x ax bx c e -++这种形式的函数，指数函数的系数为代数函数，非常容易求解零点，并且这种变形并不影响函数零点的变化。

这种变形思想值得引起注意，对以后导数命题有着很大的指引作用。

但是，这种变形对大多数高考考生而言很难想到。

因此，以下求解针对函数()f x 本身以及其导函数的单调性和零点问题进行讨论，始终贯穿最基本的导函数正负号与原函数单调性的关系以及零点存在性定理这些高中阶段的知识点，力求完整的解答该类题目。

题目解答：（1）若1a =，2()x f x e x =-，()2x f x e x '=-，()2x f x e ''=-.当[0,ln 2)x ∈时，()0f x ''<，()f x '单调递减；当(ln 2,)x ∈+∞时，()0f x ''>，()f x '单调递增； 所以()(ln 2)22ln 20f x f ''≥=->，从而()f x 在[0,)+∞单调递增；所以()(0)1f x f ≥=，得证. （2）当0a ≤时，()0f x >恒成立，无零点，不合题意.当0a >时，()2x f x e ax '=-，()2x f x e a ''=-.当[0,ln 2)x a ∈时，()0f x ''<，()f x '单调递减；当(ln 2,)x a ∈+∞时，()0f x ''>，()f x '单调递增；所以()(ln 2)2(1ln 2)f x f a a a ''≥=-.当02ea <≤时，()0f x '≥，从而()f x 在[0,)+∞单调递增，()(0)1f x f ≥=，在(0,)+∞无零点，不合题意.当2ea >时，易证2ln 2a a >. (0)10f '=>，(ln 2)0f a '<，由（1）可知，22(2)=(2)10a f a e a '->>.由零点存在性定理可知必然存在一点1(0,ln 2)x a ∈使得1()0f x '=，2(ln 22)x a a ∈，使得2()0f x '=；所以当1(0,)x x ∈时，()0f x '>，()f x 单调递增，12(,)x x x ∈，()0f x '<，()f x 单调递减，2(,)x x ∈+∞，()0f x '>，()f x 单调递增，即当2x x =时()f x 取得极小值2222()x f x e ax =-由2()0f x '=得222x e a x = 从而222222()(2)2x x e f x e ax x =-=-当22x =时，即24e a =时，极小值2()0f x =恰好成立，此时在()f x 在(0,)+∞只有一个零点2x =，满足题意.当224e e a <<时，即212x <<时（易证2xe x在(1,)+∞单调递增），极小值2()0f x >，此时在(0,)+∞无零点，不合题意.x当24e a >时，即22x >时，(0)10f =>，2()0f x <， 32(3)(3)0a f a e a a =-> （易证313x e x >恒成立），由零点存在性定理可知()f x 在区间2(0,)x 和2(,3)x a 各有一根，不合题意.综上所述，24e a =.。

2018年普通高等学招生全国统一考试（全国一卷）理科数学参考答案与解析一、选择题：本题有12小题,每小题5分，共60分. 1、设z=，则|z ｜=A 、0B 、C 、1D 、【答案】C【解析】由题可得i z =+=2i ）i -（,所以|z ｜=1【考点定位】复数2、已知集合A=｛x|x 2-x —2〉0｝,则A =A 、{x|—1<x 〈2｝B 、{x|—1x 2｝C 、｛x|x 〈-1｝∪｛x|x>2}D 、｛x|x -1}∪｛x|x 2｝ 【答案】B【解析】由题可得C R A={x|x 2-x —2≤0｝，所以｛x|-1x 2｝【考点定位】集合3、某地区经过一年的新农村建设,农村的经济收入增加了一倍，实现翻番,为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况,统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：则下面结论中不正确的是：A 、新农村建设后，种植收入减少。

B 、新农村建设后，其他收入增加了一倍以上.C 、新农村建设后，养殖收入增加了一倍。

D 、新农村建设后,养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半. 【答案】A【解析】由题可得新农村建设后，种植收入37%＊200%=74%>60％，【考点定位】简单统计4、记S n为等差数列｛a n}的前n项和，若3S3=S2+S4，a1=2,则a5=A、—12B、—10C、10D、12【答案】B【解析】3*（a1+a1+d+a1+2d）=（a1+a1+d) (a1+a1+d+a1+2d+a1+3d),整理得:2d+3a1=0；d=—3 ∴a5=2+（5—1）＊(—3)=—10【考点定位】等差数列求和5、设函数f（x）=x3+（a—1)x2+ax,若f（x）为奇函数，则曲线y=f(x)在点（0,0）处的切线方程为：A、y=-2xB、y=-xC、y=2xD、y=x【答案】D【解析】f(x）为奇函数,有f（x）+f(-x）=0整理得：f（x)+f（—x)=2*（a—1)x2=0 ∴a=1f（x)=x3+x求导f‘（x）=3x2+1f‘(0)=1 所以选D【考点定位】函数性质：奇偶性;函数的导数6、在ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点,则=A、-—B、-—C、—+D、—【答案】A【解析】AD 为BC 边∴上的中线 AD=AC 21AB 21+ E 为AD 的中点∴AE=AC 41AB 41AD 21+= EB=AB-AE=AC 41AB 43）AC 41AB 41（-AB -=+= 【考点定位】向量的加减法、线段的中点7、某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如右图,圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为11A ，圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B ，则在此圆柱侧面上，从M 到N 的路径中，最短路径的长度为 A 、B 、C 、3D 、2 【答案】B【解析】将圆柱体的侧面从A 点展开：注意到B 点在41圆周处.∴最短路径的长度为AB=【考点定位】立体几何：圆柱体的展开图形，最短路径8。

KS5U2018全国卷Ⅰ高考压轴卷理科数学本试卷共23题（含选考题）。

全卷满分150分。

考试用时120分钟。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合{}z x x x x A ∈≤-+=，022，{}z k k x x B ∈==，2，则B A 等于()A ．{}10，B ．{}24--，C ． {}01，-D ．{}02，- 2. 设,a b ∈R ，则“a b >”是“a a b b >”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件 3. 为得到)63sin(2π+=x y 的图象,只需把函数x y sin 2=的图象上所有的点 ( ) A 、向左平移6π个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的31倍(纵坐标不变)B 、向右平移6π个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的31倍(纵坐标不变)C 、向左平移6π个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变)D 、向右平移6π个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变)4.展开式中任取一项，则所取项是有理项的概率为（ ） A．B．C．D．5. 已知函数2|21|,1()log (),1x x f x x m x +<⎧=⎨->⎩，若123()()()f x f x f x ==（1x 、2x 、3x 互不相等），且123x x x ++的取值范围为(1,8)，则实数m 的值为（ ）．A ．0B ．－1C ．1D ．26. 如图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ） A．．．3 D．37. 设函数()2ln 2f x x x x =-+，若存在区间[]1,,2a b ⎡⎫⊆+∞⎪⎢⎣⎭，使()f x 在[],a b 上的值域为()()2,2k a k b ++⎡⎤⎣⎦，则k 的取值范围是（ ） A ．92ln 21,4+⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．92ln 21,4+⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C. 92ln 21,10+⎛⎤ ⎥⎝⎦ D ．92ln 21,10+⎡⎤⎢⎥⎣⎦8. 执行如图所示的程序，若输入的3x =，则输出的所有x 的值的和为A ．243B ．363C ．729D ．10929. 已知抛物线2:4M y x =，圆()()222:10N x y r r -+=>.过点()1,0的直线l 交圆N 于,C D 两点，交抛物线M 于,A B 两点，且满足AC BD =的直线l 恰有三条，则r 的取值范围为（ ）A ．30,2r ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦ B ．(]1,2r ∈ C ．()2,r ∈+∞ D ．3,2r ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭10. 函数32)2()44ln()(-+-=x x x x f 的图象可能是（ ） A ． B ．C ．D ．11. 若0,0,a b >>且函数32()422f x x ax bx =--+在2x =处有极值，则ab 的最大值等于A ．121B ．144C ．72D ．8012. 已知双曲线的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是A. B ． C ．D ． [)∞+，2二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2018年高考数学压轴题小题一．选择题1（2018年1卷理11题）已知双曲线2213x C y ：-=，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M ，N . 若OMN △为直角三角形，则||MN =A ．32B ．3C ．23D ．4 2（2018年1卷理12题）已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为A ．33B ．23C ．32D ．33(中档题 2018年3卷理11．）设F 1，F 2是双曲线C: x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左，右焦点，O 是坐标原点．过F 2作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P ．若|PF 1|=6|OP|，则C 的离心率为( )A ． 5B ．2C ． 3D ． 24.2018年3卷理12）设a=log 0.20.3，b=log 20.3，则( )A ．a+b<ab<0B ．ab<a+b<0C ．a+b<0<abD ．ab<0<a+b5.（2018年1卷文12）12．设函数()201 0x x f x x -⎧=⎨>⎩，≤，，则满足()()12f x f x +<的x 的取值范围是（ ） A ．(]1-∞-， B ．()0+∞， C ．()10-， D ．()0-∞，6.（2018年3卷文12）．设A ，B ，C ，D 是同一个半径为4的球的球面上四点，ABC ∆为等边三角形且其面积为93，则三棱锥D ABC -体积的最大值为A ．123B ．183C ．243D ．5437.（2018•新课标Ⅱ）已知f （x ）是定义域为（﹣∞，+∞）的奇函数，满足f （1﹣x ）=f （1+x ），若f（1）=2，则f （1）+f （2）+f （3）+…+f （50）=（ ）A ．﹣50B ．0C ．2D ．508.（2018•新课标Ⅱ）已知F 1，F 2是椭圆C ：=1（a ＞b ＞0）的左、右焦点，A 是C 的左顶点，点P 在过A 且斜率为的直线上，△PF 1F 2为等腰三角形，∠F 1F 2P=120°，则C 的离心率为（ ）A ．B ．C ．D ．9.（2018•上海）设D 是函数1的有限实数集，f （x ）是定义在D 上的函数，若f （x ）的图象绕原点逆时针旋转后与原图象重合，则在以下各项中，f （1）的可能取值只能是（ ）A ．B ．C ．D ．010.（2018•浙江）已知，，是平面向量，是单位向量．若非零向量与的夹角为，向量满足﹣4•+3=0，则|﹣|的最小值是（ ） A ．﹣1 B ．+1 C ．2 D ．2﹣11.（2018•浙江）已知四棱锥S ﹣ABCD 的底面是正方形，侧棱长均相等，E 是线段AB 上的点（不含端点）．设SE 与BC 所成的角为θ1，SE 与平面ABCD 所成的角为θ2，二面角S ﹣AB ﹣C 的平面角为θ3，则（ ）A ．θ1≤θ2≤θ3B ．θ3≤θ2≤θ1C ．θ1≤θ3≤θ2D ．θ2≤θ3≤θ112.（2018•浙江）函数y=2|x |sin2x 的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题 1.（2018年1卷理16题）已知函数()2sin sin 2=+f x x x ，则()f x 的最小值是 .2.（2018年2卷理16题）已知圆锥的顶点为S ，母线SA ，SB 所成角的余弦值为78，SA 与圆锥底面所成角为45°，若SAB △的面积为515，则该圆锥的侧面积为__________．3(2018年3卷理16）已知点M(-1,1)和抛物线C:y 2=4x ，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A,B 两点．若∠AMB=900，则k=________．4.（2018年1卷文16）△ABC 的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，已知sin sin 4sin sin b C c B a B C +=，2228b c a +-=，则△ABC 的面积为________ 5.(2018年2卷文16）已知圆锥的顶点为S ，母线SA ，SB 互相垂直，SA 与圆锥底面所成角为30︒，若SAB △的面积为8，则该圆锥的体积为__________．6.(2018年2卷文16）．已知函数()()2ln 11f x x x =--+，()4f a =，则()f a -=________．7．（2018•江苏）在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线﹣=1（a ＞0，b ＞0）的右焦点F （c ，0）到一条渐近线的距离为c ，则其离心率的值为 ．8．（2018•江苏）若函数f （x ）=2x 3﹣ax 2+1（a ∈R ）在（0，+∞）内有且只有一个零点，则f （x ）在[﹣1，1]上的最大值与最小值的和为 ．9．（2018•天津）已知a ＞0，函数f （x ）=．若关于x 的方程f （x ）=ax 恰有2个互异的实数解，则a 的取值范围是 ．10．（2018•北京）已知椭圆M ：+=1（a ＞b ＞0），双曲线N ：﹣=1．若双曲线N 的两条渐近线与椭圆M 的四个交点及椭圆M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M 的离心率为 ；双曲线N 的离心率为 ．11．（2018•上海）已知实数x 1、x 2、y 1、y 2满足：x 12+y 12=1，x 22+y 22=1，x 1x 2+y 1y 2=，则+的最大值为 ． 12．（2018•上海）已知常数a ＞0，函数f （x ）=的图象经过点P （p ，），Q （q ，）．若2p +q =36pq ，则a= ．13．（2018•浙江）已知λ∈R ，函数f （x ）=，当λ=2时，不等式f （x ）＜0的解集是 ．若函数f （x ）恰有2个零点，则λ的取值范围是 ．14．（2018•浙江）已知点P （0，1），椭圆+y 2=m （m ＞1）上两点A ，B 满足=2，则当m= 时，点B 横坐标的绝对值最大．15．（2018•浙江）从1，3，5，7，9中任取2个数字，从0，2，4，6中任取2个数字，一共可以组成 个没有重复数字的四位数．（用数字作答）2018年高考数学压轴题小题参考答案与试题解析一．选择题1.（2018年1卷11题）已知双曲线2213x C y ：-=，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M ，N . 若OMN △为直角三角形，则||MN =解：OF=22.（2018年1卷12题）已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为B ．334 B ．233C ．324D ．32 解：首先利用正方体的棱是3组每组有互相平行的4条棱，所以与12条棱所成角相等，只需与从同一个顶点出发的三条棱所成角相等即可，从而判断出面的位置，截正方体所得的截面为一个正六边形，且边长是面的对角线的一半。

泄露天机2018高考押题卷理科数学(一) 2018年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（一）注意事项：1.在答题卡上填写姓名和准考证号。

2.选择题用铅笔在答题卡上标记选项，非选择题在答题卡上作答。

3.考试结束后将试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分。

1.复数z=a+ai(a∈R)的共轭复数为z，满足z=1，则复数z 为（）A。

2+iB。

2-iC。

1+iD。

i解析】根据题意可得，z=a-ai，所以z^2=a^2+1=1，解得a=0，所以复数z=i。

2.集合A={θ|0＜θ＜π/2.2＜sinθ≤1}，B={φ|4/5＜φ＜1}，则集合AB={θ|π/4＜θ＜π/2.4/5＜sinθ≤1}。

解析】A可以化为{θ|π/6＜θ＜π/2}，所以AB为{θ|π/4＜θ＜π/2.4/5＜sinθ≤1}。

3.从有2对不同表征的小鼠（白色斑块和短鼻子野生小鼠各一对）的实验箱中每次拿出一只，不放回地拿出2只，则拿出的野生小鼠不是同一表征的概率为3/4.解析】分别设一对白色斑块的野生小鼠为A，a，另一对短鼻子野生小鼠为B，b，从2对野生小鼠中不放回地随机拿出2只，所求基本事件总数为4×3=12种，拿出的野生小鼠不是同一表征的事件为(A,a)，(a,A)，(B,b)，(b,B)，所以概率为3/4.1.将函数f(x)=2sin(ωx+ϕ)的图像向左平移π/6个单位长度后得到函数y=sin2x+3cos2x的图像，求ϕ的可能值。

解析：将函数y=sin2x+3cos2x=2sin(2x+π/3)的图像向右平移π/6个单位长度，得到函数y=2sin2x的图像。

因此，ϕ=π/6.2.在XXX墓中发掘出堆积如山的“汉五铢”铜钱，假设把2000余缗铜钱放在一起码成一堆，摆放规则如下：底部并排码放70缗，然后一层一层往上码，每层递减一缗，最上面一层为31缗，则这一堆铜钱的数量为多少？解析：构成一个以首项为70缗，末项为31缗，项数为40层，公差为1的等差数列，则和为S=40×(70+31)=2020缗，这一堆铜钱的数量为2020×1000=2.02×106枚。

压轴大题突破练1.导 数1.(2017·安徽“皖南八校”联考)已知函数f (x )＝e x －ax 2－2ax －1. (1)当a ＝1时，求曲线y ＝f (x )在点(－1，f (－1))处的切线方程； (2)当x ＞0时，f (x )＞0恒成立，求实数a 的取值范围. 解 (1)当a ＝1时，f (x )＝e x －x 2－2x －1，f (－1)＝1e ，所以切点坐标为⎝⎛⎭⎫－1，1e ，f ′(x )＝e x －2x －2， 所以f ′(－1)＝1e，故曲线y ＝f (x )在点(－1，f (－1))处的切线方程为y －1e ＝1e []x －(－1)，即y ＝1e x ＋2e .(2)f (x )＝e x －ax 2－2ax －1求导得f ′(x )＝e x －2ax －2a ， 令g (x )＝f ′(x )＝e x －2ax －2a ，则g ′(x )＝e x －2a (x ＞0). ①当2a ≤1，即a ≤12时，g ′(x )＝e x －2a ＞1－2a ≥0，所以g (x )＝f ′(x )＝e x －2ax －2a 在(0，＋∞)上为增函数， g (x )＞g (0)＝1－2a ≥0，即g (x )＝f ′(x )≥0，所以f (x )＝e x －ax 2－2ax －1在(0，＋∞)上为增函数， 所以f (x )＞f (0)＝1－0－0－1＝0，故a ≤12时符合题意.②当2a ＞1，即a ＞12时，令g ′(x )＝e x －2a ＝0，得x ＝ln 2a ＞0，当x ∈(0，ln 2a )时，g (x )＜g (0)＝1－2a ＜0，即f ′(x )＜0，所以f (x )在(0，ln 2a )上为减函数，所以f (x )＜f (0)＝0，与条件矛盾，故舍去. 综上，a 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，12. 2.(2017·广东惠州调研)已知函数f (x )＝x 2－(a －2)x －a ln x (a ∈R ). (1)求函数y ＝f (x )的单调区间；(2)当a ＝1时，证明：对任意的x ＞0，f (x )＋e x ＞x 2＋x ＋2. (1)解 函数f (x )的定义域是(0，＋∞)，f ′(x )＝2x －(a －2)－a x ＝2x 2－(a －2)x －a x ＝(x ＋1)(2x －a )x.当a ≤0时，f ′(x )＞0对任意x ∈(0，＋∞)恒成立， 所以函数f (x )在区间(0，＋∞)上单调递增. 当a ＞0时，由f ′(x )＞0，得x ＞a2，由f ′(x )＜0，得0＜x ＜a2，所以函数f (x )在区间⎝⎛⎭⎫a 2，＋∞上单调递增，在区间⎝⎛⎭⎫0，a2上单调递减. (2)证明 当a ＝1时，f (x )＝x 2＋x －ln x ，要证明f (x )＋e x ＞x 2＋x ＋2， 只需证明e x －ln x －2＞0，设g (x )＝e x －ln x －2， 则问题转化为证明对任意的x ＞0，g (x )＞0， 令g ′(x )＝e x －1x ＝0，得e x ＝1x，容易知道该方程有唯一解，不妨设为x 0，则x 0满足0e x ＝1x 0，当x 变化时，g ′(x )和g (x )的变化情况如下表：g (x )min ＝g (x 0)＝0x e －ln x 0－2＝1x 0＋x 0－2，因为x 0＞0，且x 0≠1，所以g (x )min ＞21－2＝0，因此不等式得证. 3.(2017·荆、荆、襄、宜四地七校联考)已知函数f (x )＝ln x －x . (1)求函数f (x )的单调区间；(2)若方程f (x )＝m (m ＜－2)有两个相异实根x 1，x 2，且x 1<x 2，证明：x 1·x 22＜2. (1)解 f (x )＝ln x －x 的定义域为(0，＋∞)， f ′(x )＝1x －1＝1－x x＝0⇒x ＝1，当x ∈(0，1)时，f ′(x )＞0，所以y ＝f (x )在(0，1)上单调递增， 当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )＜0，所以y ＝f (x )在(1，＋∞)上单调递减. (2)证明 由(1)可知，f (x )＝m 的两个相异实根x 1，x 2满足ln x －x －m ＝0， 且0＜x 1＜1，x 2＞1，ln x 1－x 1－m ＝ln x 2－x 2－m ＝0，由题意可知ln x 2－x 2＝m ＜－2＜ln 2－2，又由(1)可知f (x )＝ln x －x 在(1，＋∞)上单调递减， 故x 2＞2，所以0＜x 1＜1，0＜2x 22＜1.令g (x )＝ln x －x －m ，则g (x 1)－g ⎝⎛⎭⎫2x 22＝(ln x 1－x 1)－⎝⎛⎭⎫ln 2x 22－2x 22＝(ln x 2－x 2)－(ln2x 22－2x 22)＝－x 2＋2x 22＋3ln x 2－ln 2， 令h (t )＝－t ＋2t2＋3ln t －ln 2(t ＞2)，则h ′(t )＝－1－4t 3＋3t ＝－t 3＋3t 2－4t 3＝－(t －2)2(t ＋1)t 3.当t ＞2时，h ′(t )＜0，h (t )在(2，＋∞)上单调递减，所以h (t )＜h (2)＝2ln 2－32＜0.所以当x 2＞2时，g (x 1)－g ⎝⎛⎭⎫2x 22＜0，即g (x 1)＜g ⎝⎛⎭⎫2x 22， 因为0＜x 1＜1，0＜2x 22＜1，g (x )在(0，1)上单调递增，所以x 1＜2x 22，故x 1·x 22＜2. 综上所述，x 1·x 22＜2.4.(2017届重庆市一中月考)已知函数f (x )＝a ln x －ax －3(a ∈R ). (1)当a ＞0时，求函数f (x )的单调区间；(2)若函数y ＝f (x )的图象在点(2，f (2))处的切线的倾斜角为45°，且函数g (x )＝12x 2＋nx ＋mf ′(x )(m ，n ∈R )，当且仅当在x ＝1处取得极值，其中f ′(x )为f (x )的导函数，求m 的取值范围.解 (1)f ′(x )＝a (1－x )x(x ＞0)，当a ＞0时，令f ′(x )＞0，得0＜x ＜1， 令f ′(x )＜0，得x ＞1，故函数f (x )的单调递增区间为(0，1)，单调递减区间为(1，＋∞). (2)因为函数y ＝f (x )的图象在点(2，f (2))处的切线的倾斜角为45°， 则f ′(2)＝1，即a ＝－2， 所以g (x )＝12x 2＋nx ＋m ⎝⎛⎭⎫2－2x ，所以g ′(x )＝x ＋n ＋2m x 2＝x 3＋nx 2＋2mx 2，因为g (x )在x ＝1处有极值，故g ′(1)＝0，从而可得n ＝－1－2m ， 则g ′(x )＝x 3＋nx 2＋2m x 2＝(x －1)(x 2－2mx －2m )x 2，又因为g (x )仅在x ＝1处有极值，所以x 2－2mx －2m ≥0在(0，＋∞)上恒成立，当m ＞0时，－2m ＜0，易知∃x 0∈(0，＋∞)，使得x 20－2mx 0－2m ＜0， 所以m ＞0不成立，故m ≤0，当m ≤0且x ∈(0，＋∞)时，x 2－2mx －2m ≥0恒成立， 所以m ≤0.综上，m 的取值范围是(－∞，0].5.(2017·湖北沙市联考)已知函数f (x )＝e －x (ln x －2k )(k 为常数，e ＝2.718 28…是自然对数的底数)，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与y 轴垂直. (1)求f (x )的单调区间；(2)设g (x )＝1－x (ln x ＋1)e x，对任意x ＞0，证明：(x ＋1)·g (x )<e x ＋e x －2. (1)解 因为f ′(x )＝1x－ln x ＋2k e x (x ＞0)，由已知得f ′(1)＝1＋2k e ＝0，所以k ＝－12.所以f ′(x )＝1x －ln x －1e x，设k (x )＝1x －ln x －1，则k ′(x )＝－1x 2－1x ＜0在(0，＋∞)上恒成立， 即k (x )在(0，＋∞)上单调递减，由k (1)＝0知，当0＜x ＜1时，k (x )＞0，从而f ′(x )＞0， 当x ＞1时，k (x )＜0，从而f ′(x )<0.综上可知，f (x )的单调递增区间是(0，1)，单调递减区间是(1，＋∞).(2)证明 因为x ＞0，要证原式成立即证g (x )e x ＜1＋e－2x ＋1成立.当x ≥1时，由(1)知g (x )≤0＜1＋e－2成立；当0＜x ＜1时，e x ＞1，且由(1)知，g (x )＞0，所以g (x )＝1－x ln x －xe x ＜1－x ln x －x ，设F (x )＝1－x ln x －x ，x ∈(0，1)，则F ′(x )＝－(ln x ＋2)， 当x ∈(0，e －2)时，F ′(x )＞0，当x ∈(e －2，1)时，F ′(x )＜0，所以当x ＝e－2时，F (x )取得最大值F (e －2)＝1＋e －2，所以g (x )＜F (x )≤1＋e －2，即当0＜x ＜1时，g (x )＜1＋e －2.①综上所述，对任意x ＞0，g (x )＜1＋e －2恒成立.令G (x )＝e x －x －1(x ＞0)，则G ′(x )＝e x －1＞0恒成立，所以G (x )在(0，＋∞)上单调递增， G (x )＞G (0)＝0恒成立，即e x ＞x ＋1＞0， 即0＜1e x ＜1x ＋1.②当x ≥1时，有g (x )e x ≤0＜1＋e －2x ＋1；当0＜x ＜1时，由①②式，g (x )e x ＜1＋e－2x ＋1.综上所述，当x ＞0时，g (x )e x ＜1＋e－2x ＋1成立，故原不等式成立.6.(2017·西安模拟)已知函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫k ＋4k ln x ＋4－x2x ，其中常数k ＞0. (1)讨论f (x )在(0，2)上的单调性；(2)当k ∈[4，＋∞)时，若曲线y ＝f (x )上总存在相异的两点M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，使曲线y ＝f (x )在M ，N 两点处的切线互相平行，试求x 1＋x 2的取值范围. 解 (1)由已知得，f (x )的定义域为(0，＋∞)，且f ′(x )＝k ＋4k x －x 2＋4x 2＝－x 2－⎝⎛⎭⎫k ＋4k x ＋4x 2＝－(x －k )⎝⎛⎭⎫x －4k x 2(k ＞0). ①当0＜k ＜2时，4k ＞k ＞0，且4k＞2，所以x ∈(0，k )时，f ′(x )＜0；x ∈(k ，2)时，f ′(x )＞0. 所以函数f (x )在(0，k )上是减函数，在(k ，2)上是增函数； ②当k ＝2时，4k ＝k ＝2，f ′(x )＜0在区间(0，2)内恒成立，所以f (x )在(0，2)上是减函数； ③当k ＞2时，0＜4k ＜2，k ＞4k，所以当x ∈⎝⎛⎭⎫0，4k 时，f ′(x )＜0；x ∈⎝⎛⎭⎫4k ，2时，f ′(x )＞0， 所以函数在⎝⎛⎭⎫0，4k 上是减函数，在⎝⎛⎭⎫4k ，2上是增函数. (2)由题意，可得f ′(x 1)＝f ′(x 2)，x 1x 2＞0且x 1≠x 2， 即k ＋4k x 1－4x 21－1＝k ＋4k x 2－4x 22－1，化简得，4(x 1＋x 2)＝⎝⎛⎭⎫k ＋4k x 1x 2. 由x 1x 2＜⎝⎛⎭⎫x 1＋x 222，得4(x 1＋x 2)＜⎝⎛⎭⎫k ＋4k ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 222，即(x 1＋x 2)＞16k ＋4k对k ∈[4，＋∞)恒成立，令g (k )＝k ＋4k ，则g ′(k )＝1－4k 2＝k 2－4k2＞0对k ∈[4，＋∞)恒成立.所以g (k )在[4，＋∞)上是增函数，则g (k )≥g (4)＝5， 所以16k ＋4k ≤165，所以(x 1＋x 2)＞165，故x 1＋x 2的取值范围为⎝⎛⎭⎫165，＋∞.。

2018全国卷II 高考压轴卷理科数学本试卷共23题（含选考题）。

全卷满分150分。

考试用时120分钟。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知U={y|y=log 2x ，x ＞1}，P={y|y=，x ＞2}，则∁U P=（ ） A ．[21，+∞） B ．（0，21） C ．（0，+∞） D ．（﹣∞，0）∪（21，+∞） 2. “0a >”是“函数3()(0,)f x x ax =++∞在区间上是增函数”的 A ．必要而不充分条件 B ．充分而不必要条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3. 已知函数2010sin (01)()log (1)x x f x x x π≤≤⎧=⎨>⎩，若,,a b c 互不相等，且()()()f a f b f c ==，则a b c ++的取值范围是( ) A ．(1,2010)B ．(1,2011)C ．(2,2011)D ．[2,2011]4. 设S n 是等差数列{a n }的前n项和，若=，则=（ ）A． B． C ．4 D ．55. 在△ABC 中，AN =41NC ，P 是直线BN 上的一点，若=m +52AC ，则实数m 的值为（ ） A ．﹣4 B ．﹣1 C ．1D ．46. 在四棱锥P ﹣ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为正方形，PA=AB ，该四棱锥被一平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（ ）A ．B ．C ．D ．7.秦九韶是我国南宋时期著名的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法．如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入x 的值为3，每次输入a 的值均为4，输出s 的值为484，则输入n 的值为（ ）A ．6B ．5C ．4D ．38. 已知圆C ：x 2+y 2=4，点P 为直线x+2y ﹣9=0上一动点，过点P 向圆C 引两条切线PA 、PB ，A 、B 为切点，则直线AB 经过定点（ ）A ．B ．C ．（2，0）D ．（9，0）9. 椭圆x 2+=1（0＜b ＜1）的左焦点为F ，上顶点为A ，右顶点为B ，若△FAB 的外接圆圆心P （m ，n ）在直线y=﹣x 的左下方，则该椭圆离心率的取值范围为（ ）A ．（，1） B ．（，1） C ．（0，） D ．（0，）10. 在区间[﹣1，1]上任取两数s 和t ，则关于x 的方程x 2+2sx+t=0的两根都是正数的概率为( ) A ．B ．C ．D ．11. 已知12ea dx x=⎰，则()()4x y x a ++展开式中3x 的系数为（ ） A ．24 B ． 32 C. 44 D ．56 12. 已知正数x 、y 、z 满足xyzzS z y x 21,1222+==++则的最小值为（ ）A ．3B ．1)2C ．4D ．1)二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。