专题6 简单的幂函数与函数的奇偶性【知识回顾】一、简单的幂函数1．幂函数的定义 如果一个函数， 是自变量x ， 是常量α，即y ＝x α，这样的函数称为幂函数．2．简单的幂函数的图像和性质函数y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝x 12，y ＝x－1在同一平面直角坐标系中的图像如图所示：二、函数的奇偶性1、一般地，函数图像关于原点对称函数叫做 ，有 ；反之，若满足 的函数y=f(x)一定是奇函数。
2、函数图像关于y 轴对称函数叫做 ，有 ；反之，若满足 的函数y=f(x)一定是偶函数。
【典例应用】考点1 幂函数的概念例1 下列所给出的函数中，是幂函数的是______（填序号）.①3y x =-；①3y x -=；①32y x =；①31y x =-【答案】①【解析】【分析】由幂函数的定义，排除不是幂函数的选项【详解】根据幂函数的定义可知，形如()y f x x α==的函数是幂函数①中，3x 的系数不为1；①中，=-3α的幂函数；①中，3x 的系数不为1；①中，3x 之后不能加常数项；故答案为①【点睛】本题考查了幂函数的定义，判断函数是否为幂函数，注意x α的系数为1且不含常数项，属于基础题.练习：已知幂函数2223(1)mm y m m x --=--⋅，求此幂函数的解析式，并指出其定义域. 【答案】3y x -=或0y x =，{|0}x x ≠.【解析】【分析】由幂函数的概念求解．【详解】2223(1)m m y m m x --=--为函数，211m m ∴--=，解得2m =或1m =-.当2m =时，2233m m --=-，则3y x -=，且有0x ≠； 当1m =-时，2230m m --=，则0y x =，且有0x ≠.故所求幂函数的解析式为3y x -=或0y x =，它们的定义域都是{|0}x x ≠.【点睛】本题考查幂函数的概念与性质，属于基础题．考点2 幂函数的图像例2 如图，给出四个幂函数的图像，则图像与函数大致对应的是（ ）① ① ① ①A ．①12y x =；①2y x ；①3y x =；①1y x -=B ．①3y x =；①12y x =；①2y x ；①1y x -=C ．①2y x ；①3y x =；①12y x =；①1y x -=D ．①3y x =；①2y x ；①12y x =；①1y x -= 【答案】D【解析】【分析】利用幂函数的奇偶性、单调性、定义域等来分析判断图象得解.【详解】3y x =是奇函数，且在R 上递增，对应题图①；2y x 是偶函数，对应题图①；12y x =的定义域为[)0,+∞，对应题图①；1y x -=的定义域为()(),00,-∞⋃+∞，对应题图①．故选D ．【点睛】本题主要考查幂函数的定义域、单调性和奇偶性，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.练习：幂函数24m m y x =－（m Z ∈）的图象如图所示，则m 的值为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】C【解析】【分析】 由给出的幂函数的图象，得到幂指数小于0，且幂函数为偶函数，然后逐一代入验证即可得到答案．【详解】解：由函数图象可知，幂函数为偶函数，且幂指数小于0，当0m =时，240m m -=，不合题意；当1m =时，243m m -=-，幂函数为奇函数，不合题意；当2m =时，244m m -=-，满足幂函数为偶函数，且幂指数小于0，符合题意； 当3m =时，243m m -=-，幂函数为奇函数，不合题意．①m 的值为2．故选C ．【点睛】本题考查了幂函数的图象，考查了幂函数的性质，训练了代入验证法，是基础题． 考点3 利用幂函数的特点求参数的值例3 已知幂函数()()23m f x m x -=-在()0,∞+为单调增函数，则实数m 的值为（ ）AB ．2±C ．2D ．2-【答案】D【解析】【分析】 根据()f x 为幂函数，求得m 的可能取值，再由()f x 在()0,∞+上的单调性，求得m 的值.【详解】由于()f x 为幂函数，所以231,2m m -==±，当2m =时，()2f x x -=在()0,∞+上递减，不符合题意，当2m =-时()2f x x =在()0,∞+上递增，符合题意. 故选：D【点睛】本小题主要考查根据函数为幂函数求解析式，考查幂函数的单调性，属于基础题.练习：若函数()223()1m m f x m m x +-=--是幂函数且在(0,)+∞是递减的，则m =（ ）A ．-1B ．2C ．-1或2D ．3 【答案】A【解析】【分析】 根据幂函数的定义和性质列方程和不等式，求解即可．【详解】解：函数()223()1m m f x m m x +-=--是幂函数且在(0,)+∞是递减的，则221130m m m m ⎧--=⎨+-<⎩，解得1m =-． 故选：A ．【点睛】本题考查幂函数的定义和性质，是基础题．考点4：函数奇偶性例4.已知函数f (x )是定义域为R 的奇函数，当x ＞0时，f (x )＝x 2－2x .(1)求出函数f (x )在R 上的解析式；(2)在如图所示的平面直角坐标系中画出函数f (x )的图像．练习：已知f (x )是定义在R 上的偶函数，在(－∞，0]上是减小的，且f (3)＝0，则使f (x )<0的x 的范围为________．【等级过关练】1．幂函数()y f x =图象过点11(,)42，则[(9)]f f =（ ）A B ．3 C ．13 D2．已知幂函数223()m m f x x --=（m ∈Z ）是偶函数，且112⎛⎫> ⎪⎝⎭f ，则m 的值是（ ） A ．－1 B ．0 C ．1D ．2 3．下列幂函数中过点)0,0(，)1,1(的偶函数是（ ）A ．21x y = B ．4x y = C ．1y x -= D ．3y x =4．已知一个偶函数的定义域为{}2,1,,m n -,则m n +的值为（ ）A ．1-B ．1C ．0D ．25．判断下列函数的奇偶性; (1)1()f x x x=+;(2)()2||f x x =-;(3)()1x f x x =-. 参考答案1．A【解析】【分析】用待定系数法求出幂函数的解析式，然后用代入法进行求解即可.【详解】设()y f x x α==，因为幂函数()y f x =图象过点11(,)42， 所以有11()24α=，解得12α=，所以12()y f x x ===因为(9)3f ==，所以[(9)](3)f f f ==故选：A【点睛】本题考查了幂函数解析式的求法，考查了求函数值问题，考查了数学运算能力.2．C【解析】【分析】 先化简112⎛⎫> ⎪⎝⎭f 得到实数m 的范围，再检验即得解. 【详解】 因为112⎛⎫> ⎪⎝⎭f ，所以2230211(),31()230,122m m m m m -->-=-∴-<∴<<. 因为m ∈Z ，所以0,1,2m =.经检验，当1m =时，函数是偶函数，当0,2m =时，函数是奇函数.故选：C【点睛】本题主要考查幂函数的图象和性质，考查指数函数的单调性，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.3．B【解析】试题分析：根据幂函数nx y =的性质，当0>n 时，图象过)1,1()0,0(、点，在第一象限部分图象为增函数；当0<n 时，图象过点)1,1(，在第一象限部分图象为减函数；排除C ，而D B A 、、中只有B 是偶函数，因此选B .考点：1.幂函数图象和性质;2.函数的奇偶性；4．B【解析】【分析】根据偶函数的定义域关于原点对称可得结果．【详解】解：如果一个偶函数的定义域为{}2,1,,m n -,则210m n -+++=，得1m n +=，故选：B ．【点睛】本题考查奇偶函数的性质，奇偶函数的图像不仅自身具有对称性，定义域也必须要关于原点对称，本题难度不大．5．(1)奇函数.(2)偶函数.(3)非奇非偶函数.【解析】【分析】利用函数的奇偶性的定义判断得解.【详解】解:(1)函数()f x 的定义域是{|R x x ∈且0x ≠},关于原点对称,11()()f x x x f x x x ⎛⎫-=-+=-+=- ⎪-⎝⎭,()f x ∴为奇函数. (2)函数()f x 的定义域为R ,关于原点对称,()2||2||()f x x x f x -=--=-=,()f x ∴为偶函数.(3)①函数()f x 的定义域为{|R x x ∈且1x ≠},显然不关于原点对称, ()f x ∴为非奇非偶函数.【点睛】本题主要考查函数的奇偶性的判断，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.。
