一道高考题的推广与引申(田彦武)
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参考文献 :
[ 1] 叶军 . 数 学奥 林匹克 竞赛 典型 试题 剖析 . 长沙 : 湖南师范大学出版社 , 2002 . ( 收稿日期 : 2006 - 06 - 11)
| x - ai | , 则
2006 年第 18 期
数学通讯
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1) 当 n = 2k, k ∃ N 时 ,
n k
11 | ! m 恒成立的 m 的最大值为 18; ai ;
i= 1
f ( x ) m in =
i = k+ 1
ai -
函数 y = | x 1 | + | x 1 - 3 | + | x 1 - 2 | + | x 1 - 9 | + | x 1 - 5 | 的最小值为 12 . 3 试题引申 以上所讨论的函数中 x 的系数均为 1, 如 果 x 的系数不为 1, 最小值又该怎么求呢 ? 比 如, 如何求函数 f ( x ) = | 2x - 1 |+ | x - 1 | + | x - 2 | 的最小值呢? 进一步地, 如何求函数 f ( x) = | 2x - 1 | + | 3 x - 2 | + | x - 1 | + | x 2 | 的最小值呢?我们以后者为例加以说明. 事实上,
2) 当 n = 2k + 1 , k ∃ N 时,
Байду номын сангаасn k
f ( x ) m in =
i = k+ 2
ai i= 1
ai .
显然 , 我们只证推广 2 即可. 证明 1) 当 n = 2k, k ∃ N 时, 由已知 条件及不等式 | x | ! x , 有
n
f (x) =
i= 1 k
| x - ai |
由推广易知 f ( x ) =
n= 1
192 - 1 值为 = 90, 故高考题的答案应选( C) . 4 同理函数 f ( x ) = | x + 1 | + | x + 2 | + | x + 3 | + | x + 4 | + | x + 5 | 的最小值为 6; 使 | x - 1 | + | x - 2 | + | x - 10 | + | x -
!
i= 1 n
( x - ai ) +
k
=
i= k + 1
ai i= 1
ai ,
等号成立当且仅当 ak # x # a k+ 1 . 2) 当 n = 2k + 1, k ∃ N 时, 由已知条件 及不等式 | x | ! x , 有
n
| x - 1 |+ | x - 2| , 所以当 x = 2 时, 其最小值为( 2 + 1 + 3 3 2) - ( 1 + 1 + 2 ) = 2. 2 2 3
n
=
i= 1 k
| x - ai | +
n = k+ 1 n
| ai - x | ( ai - x )
i= k+ 1
f ( x ) = | 2x - 1 | + | 3x - 2 | + | x - 1 |+ | x - 2| = | x - 1 |+ | x - 1 |+ 2 2 | x2 2 2 |+ | x |+ | x |+ 3 3 3
同时 , 这类题也为我们解决一些实际问 题提供了数学模型, 如 1996 年荆州市高中数 学竞赛试题中有一道题如下: 某城镇沿环行路有五所小学, 依次为一 小、 二小、 三小、 四小、 五小, 它们分别有电脑 15、 7、 11、 3、 14 台 , 现在为使各校电脑台数相 等, 各调出几台给邻校: 一小给二小、 二小给三 小, 三小给四小 , 四小给五小, 五小给一小. 若 甲小给乙小 - 3 台, 即为乙小给甲小 3 台, 要使 电脑移动的总台数最小, 应作怎样的安排.
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数学通讯
2006 年第 18 期
一道高考题的推广与引申
田彦武
( 银川市第九中学 , 宁夏 750001)
2006 年高考数学试题全国卷
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理科第
简析
用 A , B , C, D, E 顺时针排列依
12 题是: 函数 f ( x ) =
n= 1
| x - n | 的最小值 ( )
次表示 一至五 所小 学, 且顺 次向 邻校 调出 x 1 , x 2 , x 3 , x 4 , x 5 台电脑 , 则由题意有: 7 + x 1 - x 2 = 11 + x 2 - x 3 = 3+ x 3 - x 4 = 14 + x 4 - x 5 = 15 + x 5 - x 1 = 1 ( 15 + 7 + 11 + 3 + 14) , 5 所以 x 2 = x 1 - 3, x 3 = x 1 - 2, x 4 = x 1 - 9, x 5 = x 1 - 5, 根据题意 , 从而问题转化为求函数 y = | x 1 | + | x 2 | + | x 3 | + | x 4 | + | x 5 | 的最小值 , 即求函数 y = | x 1 | + | x 1 - 3 | + | x 1 - 2 | + | x 1 - 9 | + | x 1 - 5 | 的最小值 . 这类题一般根据绝对值的几何意义, 或 利用分段函数的图象 , 或用绝对值不等式进 行求解. 下面我们先给出几个一般情形 . 2 试题推广
n
f (x) =
i= 1 k
| x - ai | = | x - ak+ 1 | +
n
| x - ai | +
i= 1 k n i= k+ 2
| ai - x | (
i
一般地, 对于函数 f ( x ) =
i=1
|
i
x - ai |
!
i= 1 n
( x - ai ) +
i= k+ 2 k
( ai - x )
n
为 ( A) 190. 1 ( B) 171. ( C) 90 .
( D) 45 .
试题背景及分析 这类题 更多 地出 现在 竞 赛当 中 , 比如
1989 年北京市中学生数学竞赛试题中有如 下一道题 : 设 x 是实数 , 且 f ( x ) = | x + 1 | + | x + 2 | + | x + 3 |+ | x + 4 | + | x + 5 | , 求 f ( x ) 的 最小值. 1993 年浙江 省高中数学联 赛中也出现 过一道类似的题目: 对于全体实数 x , 使 | x - 1 | + | x - 2 | + | x - 10 | + | x - 11 | ! m 恒成立 , 则 m 的 最大值为 .
% 0,
i
∃ N, i = 1, 2 , ∀, n) , 我们总可以
变形成:
m
=
i= k + 2
ai i= 1
ai , f (x) =
| x - bi | ( b1 # b2 # ∀ #
i= 1
等号成立当且仅当 x = ak+ 1 .
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bm , m ! n, m ∃ N* ) , 然后按前面方法求出最 | x - n | 的最小 小值 .
推广 1
函数 f ( x ) =
i= 1
| x - i | (i =
1, 2, ∀, n) 的最小值为 n 2 , n 为偶数且 n # x # n + 1, 4 2 2 n2 - 1 n+ 1 , n 为奇数且 x = . 4 2 推广 2
n
设{ a n } 是递增数列, 函数 f ( x )
=
i= 1
