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高考试题研究心得感悟全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：高考试题是评价学生学习成果和能力的重要工具之一，对学生而言，高考试题更是一个关乎未来的重要关卡。
对高考试题进行研究是我们每个考生都必须要做的功课。
在我的学习过程中，我也不断地思考和总结关于高考试题研究的心得和感悟，希望通过这篇文章与大家分享。
高考试题研究需要理性和客观。
在面对高考试题时，我们不能被情绪和主观因素左右，而应该以理性和客观的态度去分析和解答。
只有客观地看待高考试题，才能更好地理解试题的出题意图和要求，找到解题的最佳路径。
在研究高考试题时，我们要学会分析问题，找准规律，抓住重点，做到理性思考，客观评价。
高考试题研究需要综合和灵活。
高考试题覆盖了多个学科和各种知识领域，考察内容也涉及多种解题方法和思维技巧。
我们在研究高考试题时，要注重综合运用各种学科知识，掌握多种解题技巧，培养综合分析和综合运用的能力。
我们还要具备灵活应变的能力，根据具体情况调整解题策略，灵活应对不同类型的试题。
高考试题研究需要坚持和持之以恒。
高考试题是一个长期积累和不断提高的过程，需要我们坚持不懈，持之以恒地学习和练习。
只有坚持下去，不断积累知识和经验，才能在高考中取得理想的成绩。
我们要保持学习的动力和热情，坚持不懈地进行高考试题研究，不断提升自己的学习能力和解题水平。
高考试题研究是一个需要耐心、细心、理性、客观、综合、灵活和坚持的过程。
通过不断地研究和总结，我们可以更好地理解和掌握高考试题的出题规律和解题技巧，提高自己的学习能力和解题水平，做到在高考中游刃有余，取得令人满意的成绩。
希望通过本文的分享，可以给大家在高考试题研究上提供一些帮助和启示，让我们一起努力，为美好的未来而奋斗！第二篇示例：高考是每个学子人生中的一次重要考验，也是对自身知识水平和能力的全面检验。
在备战高考的过程中，试题研究是至关重要的一环。
通过对历年高考试题的深入研究，可以更好地把握考试动向，提高应试能力，为取得优异成绩奠定坚实基础。
２０２４年１月上半月㊀试题研究㊀㊀㊀㊀一道高考圆锥曲线题的解法探究与反思◉安微省芜湖市无为县第二中学㊀高玉立㊀㊀高考数学真题是众多优秀命题专家精心设计出来的．其中解析几何压轴题,紧扣教材,立足考查学生的能力．１试题呈现试题㊀(２０２０全国I 卷理科２０题,文科２１题)已知A ,B 分别为椭圆E :x ２a２＋y ２＝１(a ＞１)的左㊁右顶点,G 为E 的上顶点,A G ң G B ң＝８,P 为直线x ＝６上的动点,P A 与E 的另一个交点为C ,P B 与E 的另一交点为D ．(１)求E 的方程;(２)证明:直线C D 过定点．２解法探究第(１)问常规解法,过程略．答案为x ２９＋y ２＝１．下面只对第(２)问的解法作多角度探索．图１思路一:如图１,注意到k P B ＝３k P A ,以及A ,B 是椭圆的左㊁右顶点,从而可以借助椭圆第三定义,利用k A C 与k A D 关系进行求解．解法１:利用椭圆的第三定义将非对称式转化为对称式问题．设P (６,t ),C (x １,y １),D (x ２,y ２)．(ⅰ)若t ʂ０,设直线C D :x ＝m y ＋n (－３＜n ＜３),则有k A C ＝k P A ＝t ９,k B D ＝k P B ＝t ３,ìîíïïïï可得k B D ＝３k A C ．又由椭圆的第三定义,知k A D k B D ＝－１９,所以k A C k A D ＝－１２７,即㊀㊀㊀㊀y １x １＋３ y ２x ２＋３＝－１２７．①将x ＝m y ＋n 代入x ２９＋y ２＝１,得(m ２＋９)y ２＋２m n y ＋n ２－９＝０．所以y １＋y ２＝－２m n m ２＋９,y １y ２＝n ２－９m ２＋９,ìîíïïïï可得x １＋x ２＝m y １＋n ＋m y ２＋n ＝１８n m ２＋９,x １x ２＝(m y １＋n )(m y ２＋n )＝９n ２－９m ２m ２＋９,ìîíïïïï代入①,化简可得２n ２＋３n －９＝０．解得n ＝３２或n ＝－３(舍去)．所以直线C D 的方程为x ＝m y ＋３２,即直线C D 过定点(３２,０)．(ⅱ)若t ＝０,则直线C D 的方程为y ＝０,过点(３２,０)．综上,直线C D 过定点(３２,０)．评注:本解法通过椭圆的第三定义巧妙得到直线A C 和A D 的斜率之积为常数,从而转化为我们熟悉的斜率之积问题．图２思路二:如图２,注意到k P B ＝３k P A ,利用椭圆的方程实现斜率的转换,建立k A C 与k A D 的关系进行求解．解法２:利用椭圆的方程将非对称式转化为对称式问题．设P (６,t ),C (x １,y １),D (x ２,y ２)．(ⅰ)若t ʂ０,设直线C D :x ＝m y ＋n (－３＜n ＜３),则㊀㊀㊀k A C ＝k P A ＝t ９＝y １x １＋３,k B D ＝k P B ＝t ３＝y ２x ２－３．ìîíïïïï②由点C 在椭圆E 上,得x ２１９＋y ２１＝１,则有y ２１＝－(x ２１－９)９＝－(x １＋３)(x １－３)９,３６试题研究２０２４年１月上半月㊀㊀㊀即y １x １＋３＝－x １－３９y １,代入②,得㊀㊀㊀３y １y ２＝－(x １－３)(x ２－３)．③将x ＝m y ＋n 代入x ２９＋y ２＝１,得(m ２＋９)y ２＋２m n y ＋n ２－９＝０．所以y １＋y ２＝－２m n m ２＋９,y １y ２＝n ２－９m ２＋９,ìîíïïïï可得x １＋x ２＝m y １＋n ＋m y ２＋n ＝１８n m ２＋９,x １x ２＝(m y １＋n )(m y ２＋n )＝９n ２－９m ２m ２＋９,ìîíïïïï代入③,化简可得２n ２＋３n －９＝０．解得n ＝３２或n ＝－３(舍去)．所以直线C D 的方程为x ＝m y ＋３２,即直线C D 过定点(３２,０)．(ⅱ)若t ＝０,则直线C D 的方程为y ＝０,过点(３２,０)．综上,直线C D 过定点(３２,０)．评注:本解法通过椭圆的方程,将非对称性韦达定理转化成传统的对称性韦达定理,从而通过基础联立使问题得到解决．思路三:注意到k A C ＝１３k B D ,两次利用斜率建立对偶式,从而实现不联立方程使问题得到解决．解法３:利用椭圆的方程构造对偶式．设P (６,t ),C (x １,y １),D (x ２,y ２)．(ⅰ)若t ʂ０,设直线C D :x ＝m y ＋n (－３＜n ＜３),则㊀㊀㊀㊀k A C ＝k P A ＝t ９＝y １x １＋３,k B D ＝k P B ＝t ３＝y ２x ２－３,ìîíïïïï④从而有３ y １x １＋３＝y ２x ２－３,即㊀㊀㊀x １y ２＋３y ２＝３x ２y １－９y １．⑤由点C 在椭圆E 上,得x ２１９＋y ２１＝１,从而有y ２１＝－(x ２１－９)９＝－(x １＋３)(x １－３)９,即y １x １＋３＝－x １－３９y １．同理,有y ２x ２－３＝－x ２＋３９y ２．所以３ x １－３９y １＝x ２＋３９y ２,即㊀㊀㊀３x １y ２－９y ２＝x ２y １＋３y １．⑥由对偶式⑤⑥,解得n ＝x １y ２－x ２y １y ２－y １＝３２,即直线C D 过定点(３２,０)．(ⅱ)若t ＝０,则直线C D 的方程为y ＝０,过点(３２,０)．综上,直线C D 过定点(３２,０)．评注:本解法通过两次使用椭圆方程得到斜率的两个对称式,真正实现了设而不求,大大简化了计算．思路四:从题干中的构图顺序,按图索骥,逐个计算出各个点的坐标,从而使问题得到解决．解法４:从构图顺序逐点计算．设P (６,t ),C (x １,y １),D (x ２,y ２)．(ⅰ)若t ʂ０,设直线C D :x ＝m y ＋n (－３＜n ＜３)．易知直线P A 的方程为y ＝t ９x ＋t３．联立y ＝t ９x ＋t ３,x ２９＋y ２＝１,ìîíïïïï消去y ,得(t ２＋９)x ２＋６t ２x ＋９t ２－８１＝０,从而有－３＋x １＝－６t ２t ２＋９,－３x １＝９t ２－８１t ２＋９,ìîíïïïï解得x １＝－３t ２＋２７t ２＋９,y １＝６t t ２＋９,即点C 的坐标为(－３t ２＋２７t ２＋９,６tt ２＋９)．同理,可得点D 的坐标为(３t ２－３t ２＋１,－２tt ２＋１)．解得n ＝x １y ２－x ２y １y ２－y １＝３２．所以直线C D 过定点(３２,０)．(ⅱ)若t ＝０,则直线C D 的方程为y ＝０,过点(３２,０)．综上,直线C D 过定点(３２,０)．４６２０２４年１月上半月㊀试题研究㊀㊀㊀㊀评注:本解法依据题干中图形的形成顺序,从直线P A 与椭圆方程联立求出点C 坐标,再从直线P B 与椭圆方程联立求出点D 坐标,进而求出直线C D 的方程,这种思路更加自然,不足之处是运算量比较大,因此需要学生平常反复训练计算．３思路总结对于上述四种思路,前三种思路都是直接从直线C D :x ＝m y ＋n 出发．思路一利用了椭圆的第三定义k D A k B D ＝e ２－１将非对称式x １y ２＋３y ２＝３x ２y １－９y １转化成了对称式．思路二利用了椭圆方程x ２１９＋y ２１＝１的变形形式y １x １＋３＝－x １－３９y １将非对称式x １y ２＋３y ２＝３x ２y １－９y １转化成了对称式．思路三两次利用了椭圆方程x ２１９＋y ２１＝１,x ２２９＋y ２２＝１的变形形式得到两个非对称式x １y ２＋３y ２＝３x ２y １－９y １,３x １y ２－９y ２＝x ２y １＋３y １构成的对偶式,从而确定定点．思路四是基于图形的形成顺序,依次算出C ,D 两点的坐标,然后求出C D 的方程,最后算出定点坐标．四种思路的关联如图３所示:直线C D 过定点㊀㊀设出C D :x ＝m y ＋n 思路一:通过第三定义实现非对称式化对称式思路二:通过椭圆方程将非对称式化为对称式思路三:通过椭圆方程得到两个非对称式构成的对偶式ìîíïïïïïïï思路四:分别通过直线PA ,PB 求出C ,D 的坐标 写出直线C D的方程得到定点ìîíïïïïïï图３韦达定理是解决直线与圆锥曲线相交问题的常见工具,可以有效解决x １＋x ２,x ２１＋x ２２,１x １＋１x ２之类的式子,而像本题中出现的３ y １x １＋３＝y ２x ２－３,由于对应的变量前的系数是不相等的非对称结构,就可以采用本文中的思路进行非对称转化．下面提供的一道练习题,就可以采用本文中的思路去解决．练习㊀已知F 为椭圆E :x ２４＋y２３＝１的右焦点,A ,B 分别为其左㊁右顶点,过点F 作直线l 与椭圆交于M ,N 两点(不与A ,B 重合),记直线AM 与B N 的斜率分别为k １,k ２,证明:k １k ２为定值．４解后反思４．１注意条件的转化很多学生之所以认为解析几何问题较难,是因为不会使用题中的条件．因此,教师需要引导学生加强用代数运算的方式解决几何曲线问题这一思想的渗透,用合理的代数方式转化条件中的几何表述,在注重积累的基础上提高条件转化的合理性．比如,本题中通过椭圆定义的使用,将非对称的韦达定理问题转化成对称性的韦达这理问题,从而简化了计算．４．２注重计算能力的训练数学运算是指在明晰运算对象的基础上,依据法则解决数学问题的素养[１]．高考试题是为了选拔适合高校并为将来社会服务的人才,因此对计算能力的要求很高．在平常的教学中,要加强学生计算能力的培养,让学生在遇到复杂运算时不畏惧并保持高度的细心,这也是今后从事科研工作所不可或缺的品质．４．３注重微专题的变式精讲这类非对称的定点与定值问题,其实并不是全新的问题,这就要求我们在日常教学中对于一些典型性问题要精编精整理,以微专题的形式实现知识方法的串联㊁整合,由易到难,层次分明,循序渐进,力求贴近学生的知识经验和能力基础,贴近学生的情感态度与思维水平,使得学生的技能水平自然而然得到提高．４．４注重学生思维能力的培养,适应新高考要求高考是选拔性考试,是为了给高等学校尤其是高水平大学挑选合适的人才．我们的数学教学也要培养学生的思维能力,能够创新性地解决问题．通过对一道题的多角度㊁多方法的思考,不断提升数学学科素养,以适应时代发展的要求．当然,本题也涉及到极点㊁极线的背景,对于一些学有余力的学生,在日常教学中也不妨给他们适当补充点课外知识,激发他们的兴趣．教师要让学生尽可能完成 跳一跳 可以完成的任务[２]．总之,这道高考题内容丰富,解法多样,立足基础,又能充分发挥学生的创新性,让人回味无穷,实在是一道好题!参考文献:[１]中华人民共和国教育部．普通高中数学课程标准(２０１７年版)[S ]．北京:人民教育出版社,２０１８．[２]波利亚．怎样解题[M ]．北京:科学出版社,１９８２．Z ５６。
一道高考题的多种解法评析及其教学反思高考是中国学生们备受关注的重要考试，它在学生们的学业生涯中扮演着至关重要的角色。
高考题是学生们检验知识掌握和思维能力的重要工具，让我们来评析一道高考题的多种解法，并思考如何在教学中提供更好的辅导与指导。
下面，我们将分析一道数学高考题：已知某数列的通项公式为an = n^3 - 2n，求数列的前n项和Sn。
这道题要求求解数列的前n项和，对于学生来说，有多种解法可以得到正确答案。
下面我将列举几种常见的解法，并对这些解法进行评析。
解法一：逐项计算法这种解法是最直观的方式，即从第一项开始逐个计算直到第n项，并将它们求和。
例如，当n=4时，数列的前4项分别为1，6，15，28，将它们求和可得50。
这种解法的优点是容易理解和操作，对于初学者来说较为友好。
然而，当n较大时，手工计算将变得极为繁琐和耗时，容易出错。
解法二：数学归纳法数学归纳法是一种常用的数学证明方法，也可以用来解决这道题。
首先，我们可以通过观察数列的前几项，猜测出数列的前n项和的通项公式为Sn = (n^2)(n-1)^2/4。
接下来，我们可以通过数学归纳法来证明这个猜测。
首先，当n=1时，显然数列的前1项和为1；其次，假设当n=k时，数列的前k项和的通项公式成立。
那么我们只需要证明当n=k+1时，数列的前k+1项和的通项公式也成立。
通过展开数列的前k+1项，并利用归纳假设，我们可以得到Sn+1 = (k^2)(k-1)^2/4 + (k+1)^3 - 2(k+1) = [(k^2)(k-1)^2 + 4(k+1)^3 - 8(k+1)]/4 = [(k-1)^2(k^2 + 4k + 4) + 4(k+1)(k+1)(k+1) - 8(k+1)]/4 = [(k-1)^2(k+2)^2 + 4(k+1)(k+1)(k+1) - 8(k+1)]/4 = [(k+2)^2(k-1)^2 + 4(k+1)(k+1)(k+1) -8(k+1)]/4 = [(k+2)^2(k-1)^2 + 4(k+1)(k+1)(k+1) - 8(k+1)(k+1)]/4 =[(k+2)^2(k-1)^2 + 4(k+1)(k+1)(k+1 - 2(k+1))]/4 = [(k+2)^2(k-1)^2 +4(k+1)(k+1)(k-1)]/4 = (k+2)^2(k-1)^2/4 + (k+1)(k+1)(k-1) =[(k+1)^2(k+2)^2 - (k+1)(k-1) + (k+1)(k-1)]/4 = [(k+1)^2(k+2)^2 - (k+1)(k-1)]/4 = [(k+1)(k+2)(k+1)(k+2) - (k+1)(k-1)]/4 = [(k+1)(k+2)(k+1)(k+2 -k+1)]/4 = [(k+1)(k+2)(k+2)(k+1)]/4 = (k+1)^2(k+2)^2/4 = (k+1)^2((k+1)-1)^2/4。
一道练习题的教学片段及反思习题：已知a第三象限角，a/2则所在的象限是_______教学回放：在学生探究后，笔者通过投影仪，展示了学生甲的解题过程：先求出的范围，，然后通过讨论的奇偶性，为第二或第四象限角。
点评完后，笔者注意到角落里，学生乙高举左手、双眼放光（笔者跟学生约定过：回答问题举右手，发现问题举左手），根据经验，好戏即将上演，果然，在笔者的鼓励下，学生乙现场生成了精彩的方法2：先作图（如图所示），当为正角时，逆时针将其从中间一分为二，发现落在第二象限；当为负角时，顺时针将其从中间一分为二，发现落在第四象限，综上可知，为第二或第四象限角。
随后，笔者提出思考：“当为其他象限角时，情况又如何呢？”同学们兴趣盎然，一部分运用学生乙的方法进行求解，一部分运用学生甲的方法进行验证，发现其他情况也完全适用，登时，掌声雷动，学生乙自信自豪之情溢于言表。
（此后，该生学习积极性高涨，能力进一步提高。
）教学反思：1、学生的创造性是学生潜能突发的外在表现，因此，教师一定要加以适当的引导，尤其是课堂上一些精彩的现场生成，更应大力支持、给予赞赏，但，创造要鼓励，证明更要严谨，只有经过严格论证的“创造”，才是真正的学生智慧的闪光。
2、审视近几年的高考数学，不难发现，命题专家们正致力于研制一系列新颖的、富有时代气息的新型考题，例如：探索题、开放题、信息迁移题、组合题等。
高考数学试题正经历着一个从“知识立意”到“问题立意”再发展为以“能力立意”的过程，目的是突出考查学生的能力，并发掘学生潜能，以符合新时代的人才要求，但千变万变，本质不变，如何教导学生从数学的角度出发，突破层层表象的封锁，抓住隐含的数学本质问题呢？笔者认为：首先就是要感悟编者的创意，转变学生的理念，再结合教师的细化点拨，来提高学生的思维能力。
3、在新理念的指导方针下，新题型难度并不大，只是年龄和心态决定了学生在面对新事物、新概念时，或多或少都有一点畏惧，因此我们首先要做的就是要感悟编者的创意，转变学生的理念，排除学生对新事物的恐惧，树立他们战胜新题型的信心。
对一道高考数学题解法的探讨及感悟作者：蒋健来源：《中学生数理化·学研版》2014年第02期2012年浙江高考数学（理）第17题：设a∈R，若x>0，均有a-1x-1（x2-ax-1）≥0，则a=.我们审题后可以将题目理解成恒成立的问题.一般来说这类题目难度系数比较大，但注意到题中条件，对任意x>0，该不等式恒成立，那么可以尝试用特殊值法解决问题.解（特殊值法）：因为当x>0时不等式恒成立，所以不妨取x=1，由（a-2）（-a）≥00≤a≤2，再取x=2，由（2a-3）（-2a+3）≥0.所以a=32.反思：特殊值法简洁合理快捷，是解决选择题和填空题行之有效的一种好方法，但若本题不是客观题，则又该如何解决呢？对于不等式问题，我们常常将其转化为函数问题，利用函数思想解决不等式问题.另解1：利用函数思想分类讨论.设f（x）=（a-1）x-1，g（x）=x2-ax-1，则原问题即为：当x>0时，f（x）g（x）≥0恒成立.这两个函数都含有参数a，其中函数f（x）是一次型函数不好确定，故首先考虑函数g （x）=x2-ax-1.因为其判别式Δ=a2+4>0，所以g（x）=0有两个异号根，不妨设x1而当a≤1时，有f（x）0使f（x）*g（x）≥0不恒成立.所以a>1，那么f（x）=a-1x-1，当x>0时，有个零点.x2=1a-1g（x）=0时，有x1+x2=a，x1·x2=-1.则x1=-（a-1），x2=1a-1.所以由1a-1-（a-1）=a，得a=32.反思：一个复杂函数往往是由若干个简单函数构成，所以适当转化就能将一个复杂函数的函数问题转化为若干个简单函数问题然后结合应用函数与方程的思想，数形结合思想，化归思想，往往能巧妙合理地解决相关问题.而这对学生的综合能力提出了更高的要求，对于本题是否还有更为简洁的解法.另解：分类讨论与数形结合.高中数学学习中数形结合是解决问题的一种重要方法.设f（x）=x2-ax-1，其Δ>0，即f（x）=0必有两根.不妨设f（x）=x2-ax-1=（x-x1）（x-x2），则问题转化为a-1x-1（x-x1）（x-x2）≥0.令g（x）=a-1x-1（x-x1）（x-x2）.当a=1为开口向下的抛物线.结论明显不成立.设x1当a结论明显不成立.当a>1时图像为也无法使得不等式成立.所以后续解法参照解法2.相对于基础一般的学生来说比较容易想到了，入手点比较低，但如果对题目的理解不够透彻，容易造成“无解”的错误认识.此时我们可以发现上面两种方法都可以处理本题.但相对过程较为冗长，叙述较为烦琐，且易造成遗漏，因此笔者考虑是否还有其他方法.对于有2个或2个a=x+1x=x2-1x以上未知量的数学问题，若能a=32突破字母（符号）的思维定势，讲已知范围的变量作为主元，以“参数”反串“主元”常常可以回避讨论.含参问题多出现在函数，导数，最值，不等式等问题中是近年数学高考的一个热点和难点，大多数学生在遇到含参问题事往往会一筹莫展，思路混乱，花费了很多时间和精力却无功而返.那么在平时的教学过程中要如何的渗透.教师要意识到不是题目讲的多就可以解决的，要的是对问题进行多角度的思维理解和剖析或者同一思维方法用不同思维背景问题重现.（2011年浙江卷文）设函数f（x）=a2lnx-x2+ax，a>0.（1）求f（x）的单调区间；（2）求所有的实数a，使得作者单位：湖南省道县一中。
一道高考题的探索历程及感悟题目 若函数22()(1)()f x x x ax b =-++的图像关于直线2x =-对称，则()f x 的最大值为 .分析 这是一道函数综合题,且是填空题的压轴题,带着好奇与兴趣,我决定试一试.计划求解过程分两段,第一段先求出参数,a b 的值,第二段再求最值.第一段:求参数思路一:取特殊值.利用对称,可以用特殊值来求解.首先想到的值是0,即0与4-关于2-对称,再取1-与3-关于2-对称,则有(0)(4)(1)(3)f f f f =-⎧⎨-=-⎩,即3915460a b a b -=⎧⎨-=⎩,解得815a b =⎧⎨=⎩,则22()(1)(815)f x x x x =-++. 思路二:利用偶函数的性质最熟悉的轴对称图形便是偶函数的图像,利用图像平移可以转化为偶函数.将函数()f x 的图像向右平移2个单位,得解析式为22(2)[1(2)][(2)(2)]f x x x a x b -=---+-+,化简得432(2)(8)(623)(11428)6312f x x a x a b x a b x a b -=-+-+--+-+++--由题意知此函数为偶函数,所以80114280a a b -=⎧⎨-++=⎩,解得815a b =⎧⎨=⎩,则22()(1)(815)f x x x x =-++ 第二段:求函数的最大值.认真审视解析式,注意到可以因式分解得到()(1)(1)(3)(5)f x x x x x =--+++,就可以的到该函数的所有零点,即5,3,1,1---.因为更熟悉二次函数,之前我们学过指数函数或对数函数与二次函数的复合函数,通常用换元法处理.基于此,此时的()f x 是不是也是二次函数的复合函数,若是,职能是二次函数与二次函数的复合了.若将22()(1)(815)f x x x x =-++中后面括号内的直接看成两个二次函数,则不利于换元,无法得到一个二次函数.但若将()(1)(1)(3)(5)f x x x x x =--+++中的四个一次因式重新两两组合,即22()[(1)(5)][(1)(3)](45)(43)f x x x x x x x x x =--+++=-+-++,此时再换元转化,便是水到渠成的事了.即令24(4)t x x t =+≥-,则()f x 转化为函数2(5)(3)215y t t t t =--+=-++,当1(t =即2x =-时,y 取得最大值16.反思1 第一阶段求参数的过程是否可以简化呢?思路一是利用特殊值,其实还可以将特殊值取得再”特殊”些.因为从函数的零点视角出发,一下便可得到22()(1)()f x x x ax b =-++的两个零点1,1-,又因为函数()f x 的图像关于直线2x =-对称,则3,5--也是函数的零点,即(3)0,(5)0f f -=-=,同样可以求出,a b .但是,既然得到3,5--是函数的零点,也即方程2x ax b ++的两个根,可以用韦达定理求解,即(3)(5),(3)(5)a b -+-=--⋅-=,这样可以更快的得到8,15a b ==.当然,尽然已经想到这了,还可以继续简化过程,即利用两次函数的表示方式”双根式”,由3,5--是方程20x ax b ++=的两根,则2(3)(5)x ax b x x ++=+=,这样就省去了求,a b 的过程,直接得到()(1)(1)(3)(5)f x x x x x =--+++.反思2 求最值的换元过程还可以精细化在得到22()(45)(43)f x x x x x =-+-++后,不难发现后面括号内因式之和为定值8,则可设241(5)t x x t =+-≥-,且有2(4)(4)16y t t t =-+=-.所以当0t =时,y 取得最大值16,即()f x 的最大值为16.当然,也可以不换元,紧抓定值特征直接利用基本不等式,即22222()(45)(43)(45)(43)[]162f x x x x x x x x x =-+-++--++++≤= 当且仅当224543x x x x --+=++即2x =-.几点感悟(1)高考题也并非“高深莫测”、“高不可攀”,也可以下放到高一、高二;(2)审题,要充分利用题目信息,特别是题中的隐含信息,如本题中的函数零点1,1-;(3)若仅满足将一道题解出来,如“进宝山而空还”，没有任何问题是可以解决得十全十美的，总剩下些工作要做.必要时要进行解题回顾、反思,经过充分的探讨与钻研,我们能够改进这个解答,而且在任何情况下,我们总能提高自己对这个问题的理解水平.。
2020年高考数学江苏卷第18题属于中档题，主要考查的知识点是椭圆定义、向量数量积运算、点到直线的距离公式和直线与椭圆的位置关系，运用的思想方法是数形结合、转化与化归和坐标法.该题满分16分，但平均分只有10分左右，不少学生由于不能理解问题的本质，在第（2）小题中选择了烦琐或错误的途径导致“失分”.针对此类状况，教师应该深入反思平时的教学过程，及时作出调整与改进.一、试题再现及常见解法题目在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆E ：x 24+y 23=1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点A 在椭圆E 上且在第一象限内，AF 2⊥F 1F 2，直线AF 1与椭圆E 相交于另一点B .（1）求△AF 1F 2的周长；（2）在x 轴上任取一点P ，直线AP 与椭圆E 的右准线相交于点Q ，求 OP ·QP 的最小值；（3）设点M 在椭圆E 上，记△OAB 与△MAB 的面积分别是S 1，S 2，若S 2=3S 1，求点M 的坐标.第（1）小题和第（3）小题解法略.对于第（2）小题有以下四种解法.解法1：椭圆E ：x 24+y23=1的右准线为x =4.设P ()x ，0，Q ()4，y ，则 OP =()x ，0，QP =()x -4，-y .所以 OP · QP =x ()x -4=()x -22-4.所以当x =2时， OP ·QP 取到最小值，最小值为-4.解法2：椭圆E ：x 24+y 23=1的右准线为x =4.设点P ()t ，0.又因为A æèöø1，32，所以直线AP 的方程为y =32()1-t ()x -t .令x =4，得y Q =12-3t 2()1-t ，即Q æèçöø÷4，12-3t 2()1-t .所以 QP =æèçöø÷t -4，-12-3t 2()1-t .所以 OP ·QP =t ()t -4.所以当t =2时， OP ·QP 取到最小值，最小值为-4.解法3：因为直线AP 与椭圆E 的右准线相交于点Q ，点P 在x 轴上，A æèöø1，32，如下图所示.收稿日期：2020-12-17作者简介：王波凤（1978—），女，中学高级教师，主要从事高中数学教学研究.由一道高考试题的“失分”解法引起的教学思考王波凤摘要：对2020年高考数学江苏卷第18题的几种解法进行比较，分析学生在考场上的“失分”原因，并给出应对策略及教学思考.关键词：高考试题；失分解法；应对策略；教学思考··70所以设直线AP 的方程为y =k ()x -1+32.令x =4，得y Q =3k +32，即Q æèöø4，3k +32.令y =0，得x p =1-32k ，即P æèöø1-32k ，0.则 OP =æèöø1-32k ，0，QP =æèöø-32k-3，-3k -32.则 OP · QP =æèöø32k +12-4.所以当k =-32时， OP ·QP 取到最小值，最小值为-4.解法4：根据平面向量数量积的定义和几何意义，设椭圆右准线与x 轴的交点为R ，则 OP · QP =-|| OP |PR .而|| OP +|| PR =||OR =4，由基本不等式，得OP · QP =-|| OP |PR ≥-æèççöø÷÷|| OP +|| PR 22=-4.当且仅当|| OP =||PR =2时等号成立，即点P 的坐标为()2，0时， OP ·QP 取到最小值，最小值为-4.二、解法比较及“失分”原因1.解法比较解法1透过直线与椭圆这一载体，抓住向量数量积运算的本质，关注到OP 的纵坐标为0，直接设出点P 和点Q 的坐标，过程简洁明了.经抽样调查，考场上用解法1的学生占了四分之一左右.解法2比解法1绕了一步，先设出点P 的坐标，再用点P 的坐标表示出直线AP 的方程，然后与准线方程联立算出点Q 的坐标，从而得出所求数量积的目标函数表达式（与解法1的形式一样）.实际上，由于OP 的纵坐标为0， OP ·QP 的值与点Q 的纵坐标无关，所以这种解法联立直线方程求出点Q 的纵坐标实则多余.解法3把直线AP 的斜率k 作为参数，表示出直线AP 的方程，再用k 表示出点P 与点Q 的坐标，最后得出向量数量积的函数表达式.这种解法也没有关注到OP 的纵坐标为0，目标函数的表达式在形式上也比解法1和解法2的目标函数表达式复杂得多，既浪费了时间又容易算错.从运算的角度来看，没有解法1和解法2简便.解法4对平面向量数量积的概念有深刻的理解，利用向量数量积的几何意义，把向量数量积的运算转化为线段长的乘积的运算，最后利用基本不等式求解最值，解法巧妙，运算简单.虽然思维要求高，但运算量小，考场上用解法4的学生寥寥无几.正所谓“想得多而算得少，想得少而算得多”，那么解法4是如何想到的呢？其实只要回到数量积定义 OP · QP =|| OP | QP cos OP ，QP就能发现|| QP cos OP ， QP =-||PR ，即两个向量的数量积等于其中一个向量的模与其在另一个向量方向上的投影的乘积.2.“失分”原因学生答题时为什么会“失分”？其原因在哪里？第一个原因是审题时不加思考就动笔做，运算能力欠缺.用解法2或解法3的学生人数很多，即使运算过程全对，在考场上多用时间就是“隐性失分”.而且用解法3的学生在用斜率k 表示数量积的函数表达式时出错的很多，即使表达式正确，换元配方后求最值结果正确的也不多，还有部分学生用导数方法求最值（解法2和解法3相关分式的分母中有字母，还需要进一步分类讨论），做得麻烦又表述不清，相关步骤一分未得，真是令人痛心！第二个原因是对于数学概念理解不够深刻，没有掌握问题的本质.例如，本文高考题第（2）小题，点A是定点，影响 OP ·QP 的关键要素就是动点P 的位置，而且只与横坐标有关，抓住这一点就能够寻找到合理的解题途径.从本文高考题的多种解法中可以看出，选择解法2和解法3的学生被问题中的“直线AP 与椭圆E 的右准线相交于点Q ”蒙蔽了双眼，看到“直线”两字就马上设出直线方程联立方程组求解.事实上，无论以哪种图形为背景，向量数量积的坐标运算中有时往往只涉及某个坐标.解法4就是在深刻理解向量数量积的概念和几何意义的基础上抓住问题本质的好方法.··71三、应对策略1.教概念本质，重理解能力为什么多数学生想不到解法4？这与教师教学中“轻概念，重解题”有关.波利亚在《怎样解题》一书中指出，你把题目中所有关键的概念都考虑到了吗？你是怎样应用这些概念的？你用到它的意义、它的定义了吗？回到定义上去是一项重要的思维活动，教师在概念课的教学中要杜绝“一滑而过”的现象，千万不要重记忆、轻理解，不仅要让学生理解概念产生的必要性，还要让学生抓住概念的本质，深刻理解概念，灵活运用概念解题.2.重视解题方法的选择和归纳教学中，有时我们觉得学生就某一知识和方法应该掌握了，也就不再深入分析了，解题方法没有总结到位，学生虽然表面会了，但是一考就错.所以教师在平时的课堂教学中一定要重视解题方法的总结和归纳，指导学生解题前一定要有预判，要有选择和比较，这样就可减少不必要的运算，从而提高解题速度，避免“失分”.3.注重知识间的联系，创造性地改编练习题教材是试题之源，教学中要用好教材，重视教材中知识的联系.例如，本文高考题考查的是解析几何和向量的综合知识，教学中一味孤立地教某个知识和某个方法就僵化了学生的思维.虽然教材是按章节安排内容的，每章内容后的习题也是与相关知识对应的，但是教师在平时的教学中要创造性地改编练习题，综合各种背景知识灵活运用.例如，以下两道题就可以作为本文高考题的变式.变式1：在平面直角坐标系xOy 中，若椭圆E ：x 24+y 23=1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点A 在椭圆E 上并满足AF 2⊥F 1F 2，若点P 是椭圆E 上的动点， F 1P ·F 2A的最大值是.该题可以用坐标法得出向量的数量积，与点P 的横坐标无关，由点P 的纵坐标的范围得出最大值.变式2：在直角梯形ABCD 中，AB =4，CD =2，AB ∥CD ，AB ⊥AD ，E 是BC 的中点，则 AB ·()AC +AE的值为.该题可以通过建系用坐标法得出向量的数量积，与线段AD 的长度无关.学生在平时多练练类似的题目，到考场上就减少“失分”了.四、几点思考在平时的教学中，以下几点“功夫”教师必须做到位.1.培养学生的审题能力不少学生由于平时作业多、时间紧，往往省去了认真审题这一重要环节，养成了拿到题目就做的习惯，结果一做就错.想好了才做，是选择正确方法的前提.平时教学中要指导学生如何审题，布置作业时要精而少，这样学生才有时间养成良好的审题习惯.2.训练学生规范表达的能力培养学生会用数学语言准确、简洁、严谨地表达和书写，卷面字迹清楚，逻辑推理严密.例如，本文中高考题的解法，求点A 的坐标前要说明点A 的位置（第一象限），写直线方程时要交代斜率是否存在，等等.只有规范、严谨地表达，才能避免“会而不对”“对而不全”导致的失分.3.加强学生的运算能力为何选择同样方法的学生运算时所用时间和运算结果不一样？还是运算能力有差异.要提升运算素养，平时的作业练习尽量要求学生不用计算器，对遇到的烦琐的运算要细心、耐心和有信心.要让学生学会感受和比较不同的解法，在教学过程中教师要适时地介绍一些常规和简化的运算方法，培养学生的运算技能，让学生珍惜每一次运算机会.总之，教师应该做到“在埋头拉车的同时还要抬头看路”，多反思平时的教学，多了解学生的学习情况，把以上几点“功夫”做扎实了，学生在考场上就不会“无谓失分”了.参考文献：［1］徐永忠.重视基础查素质，关注创新考能力：2017年高考数学江苏卷评析及启示［J ］.中小学课堂教学研究，2017（10）：49-54.··72。
２０２３年８月上半月㊀解法探究㊀㊀㊀㊀一道高考参数方程题的解法分析及教学反思◉海南省昌江黎族自治县昌江中学㊀林瑞记㊀㊀摘要:参数方程是高考数学考查的重要模块,本文中结合一道高考参数方程题解法的深入研究,依托高考试题反思教师日常教学,总结不同题型的解法特点,以在教学时真正做到因材施教,进一步落实对学生数学学科核心素养的培养．关键词:参数方程;解法研究;教学反思㊀㊀知过去,才能谋未来．我们的高中生从来都不缺乏练习题㊁高考题的训炼,但大多都浅尝辄止,缺乏上下求索的学习态度,导致各个数学知识点之间的联系没有得到很好的构建,知识的外延也没能得到很好的拓展．实际上,很多高考题具有很强的教学意义和研究价值．笔者曾参与海南省２０１８年高考阅卷工作,现试着从２０１８年全国Ⅱ卷第２２题关于参数方程问题的研究出发,剖析该参数方程题的不同解法,归纳解该类题目的思想方法．首先介绍考生的常见解题思路,并分析不同考生解法的思维特点,然后进一步研究不同的解法,最后揭示不同数学思维水平的考生该如何在考场中 扬长避短 ,以及教师在教学中如何做到 因材施教 ,落实新课标提出的高中数学学科六大核心素养[１]．１试题呈现(２０１８年全国Ⅱ卷第２２题)在直角坐标系x O y中,曲线C 的参数方程为x ＝２c o s θ,y ＝４s i n θ{(θ为参数),直线l 的参数方程为x ＝１＋t c o s α,y＝２＋t s i n α{(t 为参数)．(１)求C 和l 的直角坐标方程;(２)若曲线C 截直线l 所得线段中点的坐标为(１,２),求l 的斜率．答案:(１)C :x ２４＋y２１６＝１．当c o s αʂ０时,l :y ＝ta n α x ＋２－t a n α;当c o s α＝０时,l :x ＝１．(２)直线l 的斜率为－２．２参数方程问题的解题策略分析该题在高考中属于选考题,因为其主要考查的内容是三角函数和解析几何,属学生较为熟悉的知识点,故而在高考考场上选择的考生颇多．第(１)问主要考查学生将极坐标方程转化为直角坐标方程㊁参数方程转化为普通方程的能力,尽管该问较为简单,但是直线l 的转换出错较多．对于第(２)问,学生的解法主要是将直线l 的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程中去求解,思维的切入点不同,解题的方法往往就大相径庭[２]．解析:(１)由x ＝２c o s θ,y ＝４s i n θ,{得x ２＝c o s θ,y ４＝s i n θ,ìîíïïïï将两式分别平方再相加,得曲线C 的直角坐标方程为x２４＋y ２１６＝１．当c o s αʂ０时,直线l 的直角坐标方程为y ＝t a n α x ＋２－t a n α;当c o s α＝０时,直线l 的直角坐标方程为x ＝１．第(１)问总体来说较简单,失分的同学往往是因为忽略了c o s α＝０这种特殊情况．当然,如果考生将直线l 的直角坐标方程写为y c o s α＝s i n α x ＋２c o s α－s i n α,阅卷时也可以得满分,但是如果l 的直角坐标方程写为x －１c o s α＝y －２s i n α,则至少扣一分．(２)解法１:把x ＝１＋t c o s α,y ＝２＋t s i n α{代入x ２４＋y ２１６＝１,得(１＋t c o s α)２４＋(２＋t s i n α)２１６＝１,整理为(１＋３c o s ２α)t ２＋４(２c o s α＋s i n α)t －８＝０．①因为曲线C 截得直线l 所得线段的中点(１,２)在C 内,所以方程①有两解,设为t １,t ２,根据参数t 的含义,有t １＋t ２＝０．又t １＋t ２＝－４(２c o s α＋s i n α)１＋３c o s ２α,所以２c o s α＋s i n α＝０,故直线l 的斜率为k ＝t a n α＝－２．具体策略分析:解法１在阅卷中属于司空见惯的,由于其解题思路清晰及步骤操作偏模式化,因此有很多考生青睐这种解法,也体现了这类考生数学运算素养较强．因此,在教学中针对这类学生,教师应当着重加强计算能力和运算技巧的训练,这样才能做到有的放矢地教学,这应该也算是数学学科的 因材施教 吧!解法２:(ⅰ)当c o s α＝０时,曲线C 截直线l 所得线段的中点为(１,０),不合题意．９７Copyright ©博看网. All Rights Reserved.解法探究２０２３年８月上半月㊀㊀㊀(ⅱ)当c o s αʂ０时,由x ２４＋y ２１６＝１,y ＝xt a n α＋２－t a n α,{得x ２４＋(x t a n α＋２－t a n α)２１６＝１．整理得(４＋t a n ２α)x ２＋２t a n α(２－t a n α)x ＋t a n ２α－４t a n α－１２＝０．设方程的两个根分别为x １,x ２,则由韦达定理可得x １＋x ２＝－２t a n α(２－t a n α)４＋t a n ２α．又曲线C 截直线l 所得线段的中点坐标为(１,２),所以x １＋x ２２＝１,于是－t a n α (２－t a n α)４＋t a n ２α＝１,解得t a n α＝－２．故直线l 的斜率为－２．具体策略分析:解法２较之解法１,在思维上走的弯路较少,联立后整理得到的方程的解本身就是题目所求,没必要牵涉到参数t 的含义,所以考场上运用解法２的考生也较多．但是,很多学生运用该解法总是拿不到满分,原因是没有考虑c o s α＝０的情况,即直线l 的斜率不存在的情况．针对这类学生,课堂上教师应该有意识地培养他们的数学抽象素养．解法３:设直线l 与椭圆x ２４＋y ２１６＝１相交于点A(x １,y １),B (x ２,y ２),则有x ２１４＋y ２１１６＝１,x ２２４＋y ２２１６＝１,ìîíïïïï两式相减,得(x １＋x ２)(x １－x ２)４＋(y １＋y ２)(y １－y ２)１６＝０．因为A B 的中点坐标为(１,２),所以x １＋x ２＝２,y １＋y ２＝４,则x １－x ２２＋y １－y ２４＝０．当x １ʂx ２时,线段A B 的斜率k ＝y １－y ２x １－x ２＝－２;当x １＝x ２时,线段A B 的中点坐标为(１,０),不符合题意．故直线l 的斜率为－２．具体策略分析:解法３是常用于解圆锥曲线问题的点差法,思想就是未知参量设而不求,最后直接整理得斜率的表达式并求解．考场上运用该解法的学生思路清晰,基本都能拿满分,不过也有部分学生忽略了x １＝x ２时斜率不存在的情况,导致被扣两分．从侧面来看,用解法３还出错的学生表现出其逻辑推理及直观想象素养不够强,教师在教学中应当见微知著,有目的地补齐这类学生的短板．解法４:(ⅰ)当直线l 的斜率存在时,设l 的方程为y －２＝k (x －１)．联立x ２４＋y ２１６＝１,y ＝k (x －１)＋２,{整理可得(４＋k ２)x ２＋２k (２－k )x ＋k ２－４k －１２＝０．设该方程的两个根分别为x １,x ２,则由韦达定理可得x １＋x ２＝－２k (２－k )４＋k２．又曲线C 截直线l 所得线段中点坐标为(１,２),则x １＋x ２２＝１,即－k (２－k )４＋k２＝１,解得k ＝－２．(ⅱ)当直线l 垂直于x 轴,即直线l 的斜率不存在时,曲线C 截得直线l 所得线段的中点坐标为(１,０),不符合题意．具体策略分析:解法４与解法２有着异曲同工之妙,都是将两方程联立并整理,再应用韦达定理和线段的中点坐标求解．这类解法在考场上较为罕见,主要原因是设直线方程再联立求解,其中的运算量较大,很多考生都望而却步．因此,在日常教学中,教师要有意识地强化学生的数学运算素养,只有夯实基础才能更上一层楼．图１解法５:如图１,曲线C 是中心在原点㊁焦点在y 轴上㊁长轴长２a ＝８㊁短轴长２b ＝４的椭圆,上顶点为A (０,４),右顶点为B (２,０),线段A B 的中点为(１,２),所以直线A B 满足题目要求．故直线l 的斜率为－２．具体策略分析:解法５鲜为考生所知,能用该法解决第(２)问的考生体现了其较强的数学抽象和直观想象素养,在争分夺秒的高考考场上思维仍能做到简明扼要㊁抽丝剥茧,的确令人激赏．总之,参数方程问题的求解不仅要掌握参数方程中参数的含义,有时还需运用数形结合思想来思考和解答问题．通过这道参数方程题来审视我们的教学效果,确实还有很多需要改进的地方,很多素养需要加强．教师只有终身学习才能站好三尺讲台的岗,对以往高考题解法的回顾,能让思维得到锻炼和发散,能厘清知识间千丝万缕的联系．作为人民教师的我们,应生命不息教与学不止．参考文献:[１]中华人民共和国教育部．普通高中数学课程标准(２０１７年版)[S ]．北京:人民教育出版社,２０１７．[２]汪生芳． 极坐标系与参数方程 的教学研究[D ]．武汉:华中师范大学,２０１８．Z ０８Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。
