福建省高职高专升本科入学考试
高等数学 练习卷
一、单项选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分） 1.下列各对函数()f x 与()g x 表示相同的函数是（ ）
A ．(1)(3)
()(1)
x x f x x -+=
-，()(3)g x x =+
B
．()f x
()g x = C
．()()23f x g x x ==- D ．2()lg(2),()2lg(2)f x x g x x =+=+
2. 当20x x →时，下列函数中能成为的等价无穷小的是（ ） A.1cos x - B.2
1x e -
1 D.()2ln 1x -
3. 设()2y f x y '=是可导函数，则=( )
A. ()22xf x '
B. ()22x f x '
C. ()2xf x '
D. ()22f x ' 4. 已知()f x 在点0x 可导，且0
001
lim
,(2)()4
h h f x h f x →=--则0()f x '=（ ）
A. 4-
B. 4
C. 2
D. 2- 5. 曲线0x y x e x =+=在处的切线方程是（ ）
A.210y x --=
B.220y x --=
C.10y x --=
D.20y x --=
6. 下列函数在[]1,1-上满足罗尔定理条件的是（ ）.
A. 1
y x
=
B. 1y x =+
C. ()21y x =-
D. 1y x =-
7. 设函数()f x 在(),a b 内恒有()()0,0,f x f x '''><则曲线在(),a b 内（ ）
A. 单调上升且是凹的
B. 单调上升且是凸的
C. 单调下降且是凹的
D. 单调下降且是凸的 8. 下列等式正确的是（ ）
A . ()()d
f x dx f x dx dx
=⎰ B. ()()df x f x =⎰
C. ()()f x dx f x c '=+⎰
D. ()()()d
f x dx f x =⎰
9. 空间点()1,32-，
关于坐标面x yoz 、轴对称的点的坐标是（ ）. A.()()13,21,3,2---，、
B. ()()13,21,3,2，、---
C. ()()13,21,3,2-，、
D. ()()13,21,3,2，、-- 10. 微分方程430y y y '''++=的通解是（ ） A. 312x x y c e c e =+ B.312x x y c e c e -=+ C. 312x x y c e c e -=+ D. 312x x y c e c e --=+ 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）
11. 若函数223y x ax =++在1x =处取得极小值，则a =_________
12. 设42lim 1,kx
x e x -→∞
⎛⎫
+= ⎪⎝⎭
则=k _____________
13. 参数方程()()
sin 1cos x a t t y a t =-⎧⎪⎨=-⎪⎩(其中a 为常数)，则dy dx =__________
14. ()4
sin
1x x dx π
π
-+=⎰
__________
15. 广义积分0
1
x
x e dx e -∞+⎰=____________
16. 已知215
lim
tan(1)
x x ax b x →+-=-，则常数,a b 值为
三、计算下列各题（本大题共8小题，每小题7分，共56分）
17. 求极限sin 0
20
ln(1)lim
(1)tan x
x x t dt
e x
→+-⎰.
18. 已知()sin 000
x x f x x a x
a x x ⎧<⎪
==⎨⎪+≥⎩在处连续，求.
19. 设函数()y y x =由方程1y y xe =-确定，求dy dx
.
20. 求1
21. 求经过()220-，，且与平面2103210x y y z -+=-+=及都平行的直线方程.
22. 求方程()11x
e y y y e x x
'+⋅==的通解及满足条件的特解.
四、应用题（本大题共2小题，每小题11分，共22分）
29. 欲做一个容积为V 立方的无盖圆柱形蓄水池，已知池底单位造价为侧面单位造价的2倍，问蓄水池底圆的半径r 和侧面高h 各为多少时，总造价最低？ 30.（1）求由1,1,3xy y x S ===所围成图形的面积； （2）求由此图形绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积V.
五、证明题（本大题6分）
31.设()(),f x -∞+∞是内连续的偶函数，试证()()()02x
F x x t f t dt
=-⎰为偶函数.
专升本《高等数学》练习卷参考答案
二、填空题
11. 4- 12. 2- 13. sin 1cos t
t
- 14. 2π
15. ln 2 16. 4,6a b == 三、计算题
17.解： sin sin sin 0
22
ln(1)ln(1)ln(1)lim
lim
lim
(1)tan 22x
x
x
x x x x t dt
t dt t dt e x
x x
x →→→+++==-⋅⎰⎰⎰
00ln(1sin )cos cos 1
lim
lim 444
x x x x x x x x →→+⋅⋅===.
18. 解：(
)()()0
sin lim lim ,lim lim 1x x x x x
f x a x a
f x x
++
--
→→→→=+=== 已知函数()01f x x a ==在处连续，所以.
19. 解：1y
y xe =- ()12y y
y y
y e e y e xe y y xe y
--'''=-+⋅⇒==+-或
20. ,t =则2
1,2x t dx tdt =-=-
所以
1
00112222211tdt dt t t -⎛⎫==--= ⎪
--⎝⎭⎰⎰()012
22ln 1t t --- =1
12ln 12ln 22
+=-.
21.解：由题意可知，所求直线的方向向量为()2,4,6l = 故所求的直线方程为
22123
x y z
-+==. 22.解： 1(),()x
e P x Q x x x
== 代入一阶非齐次线性微分方程的解的公式得
