非线性回归分析(教案)

回归分析的初步应用（教案）——探究非线性回归模型一、教材分析1. 教材的地位与作用：“回归分析的初步应用”是人民教育出版社A版《数学选修2-3》统计案例一章的内容，是《必修3》“线性回归分析”的延伸。

根据高中课程标准，这里准备安排4个课时，本次说课的内容为第3课时。

虽然线性回归分析具有广泛的应用，但是大量实际问题的两个变量不一定都呈线性相关关系，所以有必要探究如何建立非线性回归模型，进行更有效的数据处理。

2. 教学重点、难点：教学重点：探究用线性回归模型研究非线性回归模型。

教学难点：如何选择不同的模型建模，以及如何将非线性回归模型转化为线性回归模型。

二、学情分析教学对象是高二的学生，通过前面的学习，具有一定的线性回归分析、相关指数和残差分析的知识，这为探究非线性模型奠定了良好的基础，但由于学生较少接触数学建模的思想，思路不够开阔，为模型间的转化带来了一定的困难。

三、教学目标知识与技能目标：能根据散点图的特点选择回归模型，通过函数变换，借助线性回归模型研究非线性回归模型。

过程与方法目标：经历非线性回归模型的探索过程，掌握建立非线性模型的基本步骤，体会统计方法的特点。

情感、态度与价值观：以探究问题为中心，感受研究非线性回归模型的必要意义，体验数学的文化内涵，形成学习数学的积极态度。

四、教学方法1. 教法分析主要采用“引导发现，合作探究”的教学方法，通过组织学生观察、分析、计算、交流、归纳，让学生在探究学习的过程中经历知识形成的全过程。

利用多媒体辅助教学，优化了教学过程，大大提高了课堂教学效率。

2.学法分析重点指导学生通过观察思考、类比联想，形成“自主探究、合作交流”的学习形式，培养学生从“学会知识”到“会学知识”。

五、教学过程（一）知识回顾首先以07年广东的一道高考题引入新课：下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量（吨）与相应的生产能耗（吨标准煤）的几组对照数据：（1）请画出上表数据的散点图；=+；（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程ˆy bx a（3）已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤．试根据（2）求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？师：回忆并叙述建立线性回归模型的基本步骤？生：选取变量、画散点图、选择模型、估计参数、分析与预测。

非线性回归问题教学设计引言：非线性回归是统计学和机器学习中的一个重要概念。

与线性回归不同，非线性回归模型的自变量和因变量之间的关系不是线性的，而是可以通过非线性函数来描述。

非线性回归问题具有很高的实际应用价值，例如在金融、经济学、生物学等领域中，非线性回归模型可以更好地拟合数据，进行预测和分析。

本文将介绍非线性回归问题的基本概念和方法，并设计一套教学方案，帮助学生理解和应用非线性回归模型。

一、非线性回归问题的基本概念1.1 非线性回归模型的定义非线性回归模型是指自变量和因变量之间的关系不能通过线性函数来描述的回归模型。

通常情况下，非线性回归模型可以表示为：y = f(x; θ) + ε，其中y表示因变量，x表示自变量，f(x; θ)表示非线性函数，θ表示待估计的参数，ε表示噪声项。

1.2 非线性回归模型的特点与线性回归模型相比，非线性回归模型具有以下特点：- 非线性回归模型的参数估计更加复杂，通常需要使用优化算法进行求解。

- 非线性回归模型的预测能力更强，可以更好地拟合复杂的数据。

- 非线性回归模型的解释性较差，因为非线性函数的形式通常比较复杂，难以直观地解释。

二、非线性回归问题的解决方法2.1 非线性回归模型的建立为了解决非线性回归问题，需要选择合适的非线性函数来描述自变量和因变量之间的关系。

一般情况下，非线性函数可以通过以下方式来选择：- 根据经验和领域知识选择合适的非线性函数形式。

- 根据拟合效果和模型评估指标选择最优的非线性函数形式。

2.2 参数估计和模型评估确定非线性函数形式之后，需要使用合适的方法来估计模型参数。

常用的参数估计方法包括最小二乘法、最大似然估计和梯度下降法等。

估计得到模型参数之后，还需要进行模型评估，评估模型的拟合效果和预测能力。

常用的模型评估指标包括均方误差、残差分析和决定系数等。

三、非线性回归问题的教学设计基于以上理论基础，我们设计了以下教学方案，帮助学生理解和应用非线性回归模型：3.1 理论讲解首先，我们将对非线性回归问题的基本概念和特点进行理论讲解。

非线性回归分析(教案)第一章：非线性回归分析简介1.1 非线性回归的定义与意义1.2 非线性回归与线性回归的比较1.3 非线性回归分析的应用领域1.4 本章小结第二章：非线性回归模型建立2.1 非线性回归模型的形式2.2 非线性回归模型的建立方法2.3 非线性回归模型的参数估计2.4 模型检验与优化2.5 本章小结第三章：非线性回归分析软件介绍3.1 非线性回归分析软件的选择3.2 非线性回归分析软件的操作步骤3.3 非线性回归分析软件的应用案例3.4 本章小结第四章：非线性回归在实际问题中的应用4.1 非线性回归在生物医学领域的应用4.2 非线性回归在经济学领域的应用4.3 非线性回归在环境科学领域的应用4.4 本章小结第五章：非线性回归分析的扩展与改进5.1 非线性回归模型的扩展5.2 非线性回归分析方法的改进5.3 非线性回归分析的发展趋势5.4 本章小结第六章：非线性回归模型的选择与评估6.1 模型选择的原则与方法6.2 模型评估指标6.3 模型选择的实际案例6.4 本章小结第七章：非线性回归分析的编程实现7.1 非线性回归分析的编程基础7.2 常见非线性回归模型的编程实现7.3 非线性回归分析的编程实践7.4 本章小结第八章：非线性回归分析在数据挖掘中的应用8.1 数据挖掘与非线性回归分析8.2 非线性回归分析在数据挖掘中的案例分析8.3 非线性回归分析在数据挖掘中的挑战与应对8.4 本章小结第九章：非线性回归分析在多变量分析中的应用9.1 多变量分析与非线性回归分析9.2 非线性回归分析在多变量数据分析中的方法与应用9.3 非线性回归分析在多变量分析中的案例研究9.4 本章小结第十章：非线性回归分析的未来展望10.1 非线性回归分析的发展趋势10.2 非线性回归分析在科学研究中的潜在应用10.3 非线性回归分析的教育与培训10.4 本章小结重点和难点解析一、非线性回归的定义与意义：理解非线性回归的基本概念，掌握非线性回归与线性回归的本质区别，以及非线性回归在实际问题中的应用场景。

1.3非线性回归问题,知识目标：通过典型案例的探究，进一步学习非线性回归模型的回归分析。

能力目标：会将非线性回归模型通过降次和换元的方法转化成线性化回归模型。

情感目标：体会数学知识变化无穷的魅力。

教学要求：通过典型案例的探究，进一步了解回归分析的基本思想、方法及初步应用.教学重点：通过探究使学生体会有些非线性模型通过变换可以转化为线性回归模型，了解在解决实际问题的过程中寻找更好的模型的方法.教学难点：了解常用函数的图象特点，选择不同的模型建模，并通过比较相关指数对不同的模型进行比较. 教学方式：合作探究 教学过程：一、复习准备：对于非线性回归问题,并且没有给出经验公式,这时我们可以画出已知数据的散点图,把它与必修模块《数学1》中学过的各种函数（幂函数、指数函数、对数函数等）的图象作比较,挑选一种跟这些散点拟合得最好的函数,然后采用适当的变量代换,把问题转化为线性回归问题,使其得到解决. 二、讲授新课：1. 探究非线性回归方程的确定：1. 给出例1：一只红铃虫的产卵数y 和温度x 有关，现收集了7组观测数据列于下表中，试建立y 与x 之间的/y 个2. 讨论：观察右图中的散点图，发现样本点并没有分布在某个带状区域内，即两个变量不呈线性相关关系，所以不能直接用线性回归方程来建立两个变量之间的关系.① 如果散点图中的点分布在一个直线状带形区域，可以选线性回归模型来建模；如果散点图中的点分布在一个曲线状带形区域，就需选择非线性回归模型来建模.② 根据已有的函数知识，可以发现样本点分布在某一条指数函数曲线y =2C 1e x C 的周围（其中12,c c 是待定的参数），故可用指数函数模型来拟合这两个变量.③ 在上式两边取对数，得21ln ln y c x c =+，再令ln z y=，则21ln z c x c =+，可以用线性回归方程来拟合.④ 利用计算器算得 3.843,0.272ab =-=，z 与x 间的线性回归方程为0.272 3.843z x =-，因此红铃虫的产卵数对温度的非线性回归方程为0.272 3.843x y e -=.⑤ 利用回归方程探究非线性回归问题，可按“作散点图→建模→确定方程”这三个步骤进行.其关键在于如何通过适当的变换，将非线性回归问题转化成线性回归问题. 三、合作探究例 2.：炼钢厂出钢时所用的盛钢水的钢包,在使用过程中,由于钢液及炉渣对包衬耐火材料的侵蚀,使其容积不断增大,请根据表格中的数据找出使用次数x 与增大的容积y 之间的关系.【解】先根据试验数据作散点图,如图所示：z ＝a ′＋bt ，t 、z 的数值对应表为：【题后点评】作出散点图，由散点图选择合适的回归模型是解决本题的关键，在这里线性回归模型起了转化的作用.例2：一只红铃虫的产卵数y 和温度x 有关，现收集了7组观测数据列于下表中，试建立y 与x 之间的回归方程./y 个 2、讨论：观察右图中的散点图，发现样本点并没有分布在某个带状区域内，即两个变量呈非线性相关关系，所以不能直接．．．．用线性回归方程来建立两个变量之间的关系. ① 如果散点图中的点分布在一个直线状带形区域，可以选线性回归模型来建模；如果散点图中的点分布在一个曲线状带形区域，就需选择非线性回归模型．．．．．．．来建模. ② 根据已有的函数知识，可以发现样本点分布在某一条指数函数曲线y =2C 1e x C 的周围（其中12,c c 是待定的参数），故可用指数函数模型来拟合这两个变量.z ＝a ′＋bt ，t 、z 的数值对应表为：从图中可以看出x 与y 之间不存在线性相关关系． 但仔细分析一下，知道钢包开始使用时侵蚀速度快， 然后逐渐减慢．显然，钢包容积不会无限增大，它必 有一条平行于x 轴的渐近线．于是根据这一特点，我们试设指数型函数曲线y ＝a e bx.对它两边取对数得ln y ＝ln a ＋bx .令z ＝ln y ，t ＝1x，a ′＝ln a ，则上式可写为线性方程：③ 在上式两边取对数，得21ln ln y c x c =+，再令ln z y =，则21ln z c x c =+，而z 与x 间的关系如下：观察z 与x以用线性回归方程来拟合.④ 利用计算器算得 3.843,0.272a b =-=，z 与x 间的线性回归方程为0.272 3.843z x =-，因此红铃虫的产卵数对温度的非线性回归方程为0.272 3.843x y e -=.⑤ 利用回归方程探究非线性回归问题，可按“作散点图→建模→确定方程”这三个步骤进行. 其关键在于如何通过适当的变换，将非线性回归问题转化成线性回归问题. 2. 小结：用回归方程探究非线性回归问题的方法、步骤. 3、常见的非线性回归模型 ⑴ 幂函数曲线 y=ax b处理方法：两边取自然对数得：lny=lna+blnx; 再设{yy x x ln ln ,,==则原方程变成 y ′=lna+bx ′,再根据一次线性回归模型的方法得出lna 和b ⑵ 指数曲线 y=ae bx处理方法: 两边取自然对数得：lny=lna+bx; 再设{yy x x ln ,,==则原方程变成 y ′=lna+bx ′,再根据一次线性回归模型的方法得出lna 和b⑶ 倒指数曲线 xb ae y =处理方法：两边取自然对数得：lny=lna+x b; 再设⎩⎨⎧==y y xx ln 1,,则原方程变成 y ′=lna+bx ′,再根据一次线性回归模型的方法得出lna 和b ⑷ 对数曲线 y=a+blnx 处理方法：设{yy xx ==,,ln 则原方程变成 y ′=a+bx ′,再根据一次线性回归模型的方法得出a 和b三、巩固练习：为了研究某种细菌随时间x 变化，繁殖的个数，收集数据如下： 1）用天数作解释变量，繁殖个数作预报变量，作出这些数据的散点图；2）试求出预报变量对解释变量的回归方程.（答案：所求非线性回归方程为0.69 1.112ˆy=e x +.） 四、作业布置：课本第13页的练习题。

教学方案精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。

读沙漠，读出了它坦荡豪放的胸怀；读太阳，读出了它普照万物的无私；读春雨，读出了它润物无声的柔情。

读大海，读出了它气势磅礴的豪情。

读石灰，读出了它粉身碎骨不变色的清白。

2、幸福幸福是“临行密密缝，意恐迟迟归”的牵挂；幸福是“春种一粒粟，秋收千颗子”的收获. 幸福是“采菊东篱下，悠然见南山”的闲适；幸福是“奇闻共欣赏，疑义相与析”的愉悦。

幸福是“随风潜入夜，润物细无声”的奉献；幸福是“夜来风雨声，花落知多少”的恬淡。

幸福是“零落成泥碾作尘，只有香如故”的圣洁。

幸福是“壮志饥餐胡虏肉，笑谈渴饮匈奴血”的豪壮。

幸福是“先天下之忧而忧，后天下之乐而乐”的胸怀。

幸福是“人生自古谁无死，留取丹心照汗青”的气节。

3、大自然的语言丰富多彩：从秋叶的飘零中，我们读出了季节的变换；从归雁的行列中，我读出了集体的力量；从冰雪的消融中，我们读出了春天的脚步；从穿石的滴水中，我们读出了坚持的可贵；从蜂蜜的浓香中，我们读出了勤劳的甜美。

4、成功与失败种子，如果害怕埋没，那它永远不能发芽。

鲜花，如果害怕凋谢，那它永远不能开放。

矿石，如果害怕焚烧（熔炉），那它永远不能成钢（炼成金子）。

蜡烛，如果害怕熄灭（燃烧），那它永远不能发光。

航船，如果害怕风浪，那它永远不能到达彼岸。

5、墙角的花，当你孤芳自赏时，天地便小了。

井底的蛙，当你自我欢唱时，视野便窄了。

笼中的鸟，当你安于供养时，自由便没了。

山中的石！当你背靠群峰时，意志就坚了。

水中的萍！当你随波逐流后，根基就没了。

空中的鸟！当你展翅蓝天中，宇宙就大了。

空中的雁！当你离开队伍时，危险就大了。

地下的煤！你燃烧自己后，贡献就大了6、朋友是什么？朋友是快乐日子里的一把吉它，尽情地为你弹奏生活的愉悦；朋友是忧伤日子里的一股春风，轻轻地为你拂去心中的愁云。

朋友是成功道路上的一位良师，热情的将你引向阳光的地带；朋友是失败苦闷中的一盏明灯，默默地为你驱赶心灵的阴霾。