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三角函数模型的简单应用 (共21张)

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5.7 三角函数的应用 课件(共26张PPT)

5.7 三角函数的应用 课件(共26张PPT)

5.7 三角函数的应用课件（共26张PPT）(共26张PPT)5.7三角函数的应用第五章学习目标学科素养1.了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型;2.会用三角函数模型解决简单的实际问题1.数学建模2.逻辑推理1自主学习函数y＝Asin(ωx＋φ)，A>0，ω>0中参数的物理意义Aωx＋φφ2经典例题题型一三角函数在物理中的应用解列表如下：2t＋0 π 2πts 0 4 0 －4 0描点、连线，图象如图所示.(2)小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是多少？解小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是4 cm和－4 cm.(3)经过多长时间小球往复振动一次？解因为振动的周期是π，所以小球往复振动一次所用的时间是π s.跟踪训练1已知电流I与时间t的关系为I＝Asin(ωt＋φ).∴ω≥300π>942，又ω∴N*，故所求最小正整数ω＝943.题型二三角函数在生活中的应用解三角函数应用问题的基本步骤跟踪训练2健康成年人的收缩压和舒张压一般为120～140 mmHg 和60～90 mmHg.心脏跳动时，血压在增加或减小.血压的最大值、最小值分别称为收缩压和舒张压，血压计上的读数就是收缩压和舒张压，读数120/80 mmHg为标准值.记某人的血压满足函数式p(t)＝115＋25sin(160πt)，其中p(t)为血压(mmHg)，t为时间(min)，试回答下列问题：(1)求函数p(t)的周期；(2)求此人每分钟心跳的次数；(3)求出此人的血压在血压计上的读数，并与正常值比较.解p(t)max＝115＋25＝140(mmHg)，p(t)min＝115－25＝90(mmHg)，即收缩压为140 mmHg，舒张压为90 mmHg.此人的血压在血压计上的读数为140/90 mmHg，在正常值范围内.3当堂达标√√√4.如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y＝3sin ＋k.据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为A.5B.6C.8D.10√解析根据图象得函数的最小值为2，有－3＋k＝2，k＝5，最大值为3＋k＝8.【课后作业】对应课后练习。

1.6三角函数模型的简单应用

1.6三角函数模型的简单应用
3
y 2 sin(2 x / 3)
例5. 如图,某地一天从6~14时的温度变化曲线近 y y A sin( x ) b 似满足函数 (1)求这一天6~14时的最大温差; 30 (2)写出这段曲线的函数解析式. 20
解:(1)由图可知,这段时间的最大温差是200C. (2)从图中可以看出,从6~14时的图象是 6 0 10 14 x 函数 y A sin( x ) b的半个周期 1 1 的图象， 所以，A 30 10 10, b 30 10 20 2 2 3 1 2 14 6 . 将x 6, y 10代入上式，解得＝ . 8 4 2
y 2
A


4
T
又T
2
(3) y 2 sin( x ) 2
A点的坐标为(
2sin(2

2

12
O
6
12
x
, 2)
2

12
) 2
sin( ) 1 6 2k , k Z
6 2

一般取：| |≤π 2k , k Z 3 y 2 sin( 2 x 2k )
1. 由图象求振幅A, b
y 2 sinx
y
5 4 向上平移3个单位长度 3 2 sin x 3 2 1
O
5 1 最大值 最小值 A 2 2 2 b 5 1 最大值 最小值 3 y A sinx b 的A, b
y
最 大 值 最 小 值 A 2 4 ( 2) 3 2
10
一般的，所求出的函数模型只能近似刻画 这天某个时刻的温度变化情况，因此应当特 别注意自变量的变化范围.

3-5三角函数模型的简单应用PPT课件

3-5三角函数模型的简单应用PPT课件

考基联动
考向导析
限时规范训练
考向一 作函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象
【例 1】 已知函数 y＝2sin2x＋π3，
(1)求它的振幅、周期、初相； (2)用“五点法”作出它在一个周期内的图象；
(3)说明 y＝2sin2x＋π3的图象可由 y＝sin x 的图象经过怎样的变换而得到． 解：(1)y＝2sin2x＋π3的振幅 A＝2，周期 T＝22π＝π，初相 φ＝π3. (2)令 X＝2x＋π3，则 y＝2sin2x＋π3＝2sin X.
答案：B
考基联动
考向导析
限时规范训练
4．设
ω＞0，函数
y＝sinωx＋π3
＋2
的图象向右平移4π个单位后与原图 3
象重合，则 ω 的最小值是
(
A.
2 3
B.43
C.32
D．3
解析：依题意知：平移后
y1＝sinωx－
4π 3
＋π3
＋2
＝sinωx＋3π－43πω＋2.
又 y 与 y1 的图象重合， 则－43πω＝2kπ(k∈Z)
(1)求 ω 和 φ 的值； (2)在给定坐标系中作出函数 f(x)在[0，π]上的图象；
(3)若 f(x)＞ 2，求 x 的取值范围． 2
解：(1)周期 T＝2ωπ＝π，∴ω＝2，
∵fπ4＝cos2×π4＋φ＝cosπ2＋φ＝－sin
φ＝
3， 2
∵－π＜φ＜0，∴φ＝－π.
2
3
考基联动
考向导析
限时规范训练
基础自查
1．用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个特征点
如下表所示
x
0－φ ω
π2－φ ω

2024-2025学年高一数学必修第一册(配湘教版)教学课件5.5三角函数模型的简单应用

2024-2025学年高一数学必修第一册(配湘教版)教学课件5.5三角函数模型的简单应用

解得
π
φ=2kπ-12 ,k∈Z.
π
π
由- <φ< ,
2
2
所以
π
φ=- .
12
所以
π
f(x)=2sin(2x-12 ),故选
C.
规律方法
给出y=Asin(ωx+φ)的图象的一部分,确定A,ω,φ的方法
(1)逐一定参法:先通过图象确定A和ω,再选取“第一零点”(即“五点法”作图
中的第一个点)的数据代入“ωx+φ=0”(要注意正确判断哪一点是“第一零
应用三角函数模型解决问题,首先要把实际问题抽象为数学问题,通过分析
它的变化趋势,确定它的周期,从而建立起适当的三角函数模型,解决问题
的一般程序如下:
(1)审题,先审清楚题目条件、要求、理解数学关系.
(2)建模,分析题目特性,选择适当的三角函数模型.
(3)求解,对所建立的三角函数模型进行分析研究得到数学结论.
2π
又||=12,取
则有
又
π
ω=6 ,
π
h=Asin6 t,
π
h(3)=Asin2 =A=-6,
故所求解析式为
π
h=-6sin6 t.
重难探究·能力素养速提升
探究点一 由y=Asin(ωx+φ)的图象确定其解析式(或参数值)
【例 1】 函数
π
π
f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,-2 <φ<2 )的部分图象如图所示,
A.x轴上
B.最低点
C.最高点
D.不确定
解析 相邻的最大值与最小值之间间隔半个周期,故乙移至最高点.
1 2 3 4 5

三角函数模型的简单应用课件

三角函数模型的简单应用课件

思考2 上述的数学模型是怎样建立的？ 答 解决问题的一般程序是： 1°审题：逐字逐句的阅读题意，审清楚题目条件、要求、理解 数学关系； 2°建模：分析题目变化趋势，选择适当函数模型； 3°求解：对所建立的数学模型进行分析研究得到数学结论； 4°还原：把数学结论还原为实际问题的解答.
思考3 怎样处理搜集到的数据？ 答 画出散点图，分析它的变化趋势，确定合适的函数模型. 小结 利用三角函数模型解决实际问题的具体步骤如下： (1)收集数据，画出“散点图”； (2)观察“散点图”，进行函数拟合，当散点图具有波浪形的 特征时，便可考虑应用正弦函数和余弦函数模型来解决； (3)注意由第二步建立的数学模型得到的解都是近似的，需要 具体情况具体分析.
y＝Acos(ωx＋φ) (ω≠0)的周期是T＝ |ω| ； π
y＝Atan(ωx＋φ) (ω≠0)的周期是T＝ |ω| .
2.函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k (A>0，ω>0)的性质
(1)ymax＝ A＋k ，ymin＝ －A＋k .
(2)A＝
ymax－ymin 2
，k＝
ymax＋ymin 2
跟踪训练1 求下列函数的周期：
(1)y＝|sin 2x|； (2)y＝sin12x＋π6＋13； (3)y＝|tan 2x|. 解 (1)T＝π2；(2)T＝21π＝4π；(3)T＝π2.
2
探究点二 三角函数模型的应用
思考1 数学模型是什么，什么是数学模型的方法？ 答 简单地说，数学模型就是把实际问题用数学语言抽象概括， 再从数学角度来反映或近似地反映实际问题时，所得出的关于 实际问题的数学描述.数学模型的方法，是把实际问题加以抽象 概括，建立相应的数学模型，利用这些模型来研究实际问题的 一般数学方法.

三角函数模型的简单应用

三角函数模型的简单应用

正切函数的定义与性质
正切函数的定义
正切函数（tangent function） 是三角函数中的一种，通常用 tan(x)表示，其定义是邻边与对边 之比值。
正切函数的性质
正切函数具有周期性、奇偶性、 单调性等性质。
正切函数的图象与公式
正切函数的图象
正切函数的图象是一个周期函数，其周期为π（派），即每隔π的角度其函数值 重复。
余弦函数的图象与公式
余弦函数的图象
余弦函数的图象是一个连续的曲线，形状类似于波浪。在一 个周期内，余弦函数从-1变化到1，再从1变化到-1，如此往 复。图象上的每个点都代表一个角度，对应一个余弦值。
余弦函数的公式
余弦函数有一些基本的公式，如和差角公式、积化和差公式 等。这些公式是余弦函数应用的基础，可以用于简化复杂的 三角函数表达式。
反三角函数的图象与公式
图象
反三角函数的图象是连续的，具有明显的波动形状。它们的形状和大小取决于其参数的取值范围。
公式
反三角函数有多种计算公式，如反正弦公式、反正切公式和反余弦公式等。这些公式可以用于求解三 角函数的反函数。
反三角函数的应用场景
三角函数方程的求解
当需要求解三角函数方程时，可以使用反三角函数来找到方程的 解。
余弦函数的应用场景
振动分析
余弦函数可以用于描述周期性的振动 现象，如机械振动、电磁振荡等。通 过对振荡过程进行分析，可以了解系 统的动态特性。
信号处理
在通信、声音、图像等信号处理领域 ，余弦函数经常被用于对信号进行调 制和解调。通过对信号进行处理和分 析，可以提取出有用的信息。
04
正切函数及其应用
02
正弦函数及其应用
正弦函数的定义与性质

三角函数模型的简单应用 课件

三角函数模型的简单应用 课件

已知电流 I＝Asin(ωt＋φ)A＞0，ω＞0，|φ|＜2π在 一个周期内的图象如图．
(1)根据图中数据求 I＝Asin(ωt＋φ)的解析式； (2)如果 t 在任意一段1150秒的时间内，电流 I＝Asin(ωt ＋φ)都能取得最大值和最小值，那么 ω 的最小正整数值是多 少？
• 【思路点拨】对于(1)，由于解析式的类型已经确定，只需根据图象确 定参数A，ω，φ的值即可．其中A可由最大值与最小值确定，ω可由周 期确定，φ可通过特殊点的坐标，解方程求得．对于(2)可利用正弦型 函数的图象在一个周期中必有一个最大值和一个最小值点来解．
三角函数模型的简单应用
• 三角函数的应用
• 1．根据实际问题的图象求出函数解析式．
• 2．将实际问题抽象为与三角函数有关的简单函数模型． • 3．利用搜集的数据作出 散点图 ，并根据 散点图 进行函数拟合，从
而得到函数模型．
• 在建模过程中，散点图的作用是什么？
• 提示：利用散点图可以较为直观地分析两个变量之间的某种关系，然 后利用这种关系选择一种合适的函数去拟合这些散点，从而避免因盲 目选择函数模型而造成的不必要的失误．
12分
• 【题后总结】由于三角函数是周期函数，只有相关数据呈周期性变化， 才考虑用三角函数来拟合，并根据散点图的大致形态，选择适当类型
的三角函数，再利用已知数据结合图象，确定函数解析式中的参数
值．对实际问题的求解，需仔细审题，将问题转化为三角函数模型来 解决(如本例中将实际问题转化为解三角不等式)，并回到实际情景作 答．
故所求的解析式为
I＝300sin150π
t＋6π.
(2)依题意，周期 T≤1510， 即2ωπ≤1510(ω＞0)， 所以 ω≥300π＞942， 故 ω 的最小正整数值为 943.

三角函数模型的简单应用 课件

三角函数模型的简单应用 课件

(2)设转第 1 圈时，第 t0 分钟时距地面 60.5 米，由 60.5＝40.5－
40cos π6t0，得 cosπ6t0＝－12，所以π6t0＝23π或π6t0＝43π，解得 t0＝4
或 t0＝8. 所以 t＝8(分钟)时，第 2 次距地面 60.5 米，故第 4 次距离地面
60.5 米时，用了 12＋8＝20(分钟)．
[思路探索] (1)依题意可知应建立余弦型函数模型解题，由摩天 轮的转动周期是 12 分钟，振幅是 40，当 t＝0 时，y＝0.5，可 求得函数解析式；(2)将 y＝60.5 代入(1)中求出的函数解析式， 即可求出第 1 个周期内满足题意的时间，再加上周期即可．
解 (1)由已知可设 y＝40.5－40cos ωt，t≥0，由周期为 12 分钟 可知，当 t＝6 时，摩天轮第 1 次到达最高点，即此函数第 1 次 取得最大值，所以 6ω＝π，即 ω＝π6. 所以 y＝40.5－40cos π6t(t≥0)．
类型三 构建函数模型解题 【例 3】 如图，游乐场中的摩天轮匀速 转动，每转一圈需要 12 分钟，其中圆心 O 距离地面 40.5 米，半径为 40 米．如果 你从最低处登上摩天轮，那么你与地面的 距离将随时间的变化而变化，以你登上摩 天轮的时刻开始计时，请解答下列问题： (1)求出你与地面的距离 y(米)与时间 t(分钟)的函数关系式； (2)当你第 4 次距离地面 60.5 米时，用了多长时间？
(1)如图所示的是 I＝Asin(ωt＋φ)(ω>0，|φ|<π2)在一个周期内的图 象，根据图中数据求 I＝Asin(ωt＋φ)的解析式； (2)如果 t 在任意一段1150秒的时间内，电流 I＝Asin(ωt＋φ)都能 取得最大值和最小值，那么 ω 的最小正整数值是多少？

三角函数模型的简单应用_PPT

三角函数模型的简单应用_PPT

令 10sin(π8x－54π)＋20＝25，可得 sin(π8x－54π)＝12，而 x∈ [4,16]，所以 x＝334. 故在这段时间内，该细菌的存活时间为334－236＝83(小时)．
解：(1)当 t＝0 时，E＝220 3sinπ6＝110 3(伏)，即开始时的电 压为 110 3伏． (2)T＝120π0π＝510秒，即电压重复出现一次的时间间隔为 0.02 秒．
题型二 三角函数模型的实际应用 例2 某港口的水深y(米)是时间t(0≤t≤24，单位：小
时)的函数，下面是水深数据：
典题例证技法归纳
题型探究
题型一 函数解析式的应用 例1 弹簧挂着的小球做上下振动，它在时间 t(s)内离开平衡
位置(静止时的位置)的距离 h(cm)由下面的函数关系式表 示：h＝3sin(2t＋π4)． (1)求小球开始振动的位置； (2)求小球第一次上升到最高点和下降到最低点时的位置； (3)经过多长时间小球往返振动一次？
解：(1)以圆心O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，
则以 Ox 为始边，OB 为终边的角为 θ－π2，故点 B 的坐标为 (4.8cos(θ－π2)，4.8sin(θ－π2))， ∴h＝5.6＋4.8sin(θ－π2)．
(2)点 A 在圆上转动的角速度是3π0， 故 t 秒转过的弧度数为3π0t， ∴h＝5.6＋4.8sin(3π0t－π2)，t∈[0，＋∞)． 到达最高点时，h＝10.4 m. 由 sin(3π0t－π2)＝1 得3π0t－π2＝π2，∴t＝30. ∴缆车 A 点到达最高点时，用的时间最少为 30 秒．
【名师点评】 已知实际问题的函数解析式解决相关问 题，题目一般很容易，只需将具体的值代入计算即可． 三角函数模型中函数解析式的应用主要是对相关量物理 意义的考查．
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6
根据这个函数模型，求出各整点时水深的近似值吗？（精 确到0.001）
.
时刻 水深 时刻 水深 时刻 水深 时刻 水深
0：00 1：00 2：00 3：00 4：00 5：00 5.000 6.250 7.165 7.500 7.165 6.250 6：00 7：00 8：00 9：00 10：00 11：00 5.000 3.754 2.835 2.500 2.835 3.754 12：00 13：00 14：00 15：00 16：00 17：00 5.000 6.250 7.165 7.500 7.165 6.250 18：00 19：00 20：00 21：00 22：00 23：00 5.000 3.754 2.835 2.500 2.835 3.754
.
思考6：一条货船的吃水深度（船底与水面的距离）为 4米，安全条例规定至少要有1.5米的安全间隙（船底 与洋底的距离），该船何时能进入港口？在港口能
A
4
2
CD
0
5
. 10 15
x
y 8
6
B
4A
CD
2
o
5
10 15
x
货船可以在0时30分左右进港，早晨5时30分左右出港； 或在中午12时30分左右进港，下午17时30分左右出港.每 次可以在港口停留5小时左右.
描述，并利用三角函数的图象和性质解决相
应的实际问题.
.
问题探究
【背景材料】如图，某地一天从6～14时 的温度变化曲线近似满足函数:
yA si n x ()b T/℃
思考1：这一天6～14
30
时的最大温差是多少？
20
10
思考2：函数式中A、b的值分别 是多少？
o 6 10 14 t/h
.
yA si n x ()b T/℃ 30
(12 分)
.
【变式 1】 如图，点 P 是半径为 r cm 的砂轮边缘上的一个质点，它从初始位 置 P0 开始，按逆时针方向以角速度 ω rad/s 做圆周运动，求点 P 的纵坐标 y 关于时间 t 的函数关系，并求 点的运动周期和频率． 解 当质点 P 从点 P0 转到点 P 位置时，点 P 转过的角度为 ωt， 则∠POx＝ωt＋φ. 由任意角的三角函数得点 P 的纵坐标为 y＝rsin(ωt＋φ)，即为所求的函数关系式． 点 P 的运动周期为 T＝2ωπ，频率 f＝T1＝2ωπ.
.
(4 分) (6 分)
(2)点 A 在圆上转动的角速度是3π0，故 t 秒转过的弧度数为3π0t，
∴h＝5.6＋4.8sin3π0t－2π，t∈[0，＋∞)． 到达最高点时 h＝10.4 m.
(10 分)
由 sin3π0t－2π＝1 得3π0t－2π＝π2.∴t＝30. ∴缆车到达最高点时，用的时间最少为 30 秒．
.
问题探究
【背景材料】 海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象 叫潮.一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐.在通常情况下，船在涨潮时驶 进航道，靠近码头；卸货后，在落潮时返回海洋.下面是某港口在 某季节每天的时间与水深关系表：
时刻 0 3
6
9 12 15 18 21 24
水深/米 5.0 7.5 5.0 2.5 5.0 7.5 5.0 2.5 5.0
y 8 6 4 2
o
6 12 18 24 x
yA si n x. ()h
y 8 6 4 2
o
6 12 18 24 x
思考4：用函数 yAsi n x ()h 来刻画水深和
时间之间的对应关系，如何确定解析式中的参数值？
A2.5,h5,T1, 2 . 0, 6
思考5：这个港口的水深与时间的关系可
用函数 y2.5sinx5 近似描述，你能
第一章 三角函数 1.6 三角函数模型的简单应用
.
温故知新
1.函数 yAsi nx ()中的参数 A,, 对图
象有什么影响？三角函数的性质包括哪些基 本内容？
2.我们已经学习了三角函数的概念、图象与
性质，其中周期性是三角函数的一个显著性
质.在现实生活中，如果某种变化着的现象
具有周期性，那么它就可以借助三角函数来
思考3：如何确定函数式中和 20
的值? 10 o 6 10 14 t/h
思考4：这段曲线对应的函数是什么？
思考5：这一天12时的温度大概是多少 （℃）？
.
【例 2】 已知电流 I 与时间 t 的关系为 I＝Asin(ωt＋φ)．
(1)如图所示的是 I＝Asin(ωt＋φ)(ω>0，|φ|<π2)在一个周期内的图 象，根据图中数据求 I＝Asin(ωt＋φ)的解析式； (2)如果 t 在任意一段1150秒的时间内，电流 I＝Asin(ωt＋φ)都能 取得最大值和最小值，那么 ω 的最小正整数值是多少？
解析式，并求缆车第一次到达最高点时用的最少时间是多少？
审题指导 分析题目 → 列出函数解析式 → 应用求解
.
[规范解答] (1)以圆心 O 为原点，建立
如图所示的坐标系，则以 Ox 为始边，OB
为终边的角为 θ－2π，故 B 点坐标为
4.8cosθ－2π，4.8sinθ－π2.
∴h＝5.6＋4.8sinθ－π2.
.
思考7：若某船的吃水深度为4米，安全间隙为1.5米，该 船在2：00开始卸货，吃水深度以每小时0.3米的速度减少， 那么该船在什么时间必须停止卸货，将船驶向较深的水域？
货船最好在6.5时
y
之前停止卸货，将
8
y=2.5sinpx+5 船驶向较深的水域.
6
6
4
y=-0.3x+6.1
.
问题 2 构建函数模型 【例 3】 如图为一个缆车示意图， 该缆车半径为 4.8 m，圆上最低点 与地面距离为 0.8 m,60 秒转动一圈， 图中 OA 与地面垂直，以 OA 为始边，逆时针转动 θ 角到 OB，设 点 B 与地面距离为 h. (1)求 h 与 θ 间的函数关系式； (2)设从 OA 开始转动，经过 t 秒后到达 OB，求 h 与 t 之间的函数
.
思考1：观察表格中的数据，每天水深的变化具有什么规 律性？
呈周期性变化规律.
.
思考2：设想水深y是时间x的函数，作出表中的数据对 应的散点图，你认为可以用哪个类型的函数来拟合这些 数据？
y 8 6 4 2
o
6 12 18 24 x
.
思考3: 用一条光滑曲线连结这些点，得到一个函数图象， 该图象对应的函数解析式可以是哪种形式？