三角函数模型及其应用

三角函数模型的简单应用
一、引言
三角函数是数学中重要的概念之一，广泛应用于各个领域。

本文将介
绍三角函数模型在实际问题中的简单应用，包括振动、音乐、天文等方面。

二、振动模型
振动是物理学中常见的现象，三角函数模型可以很好地描述振动的特性。

例如，在弹簧振子中，物体在平衡位置附近偏离并摆动，可以用正弦
函数描述振动的过程。

振动的周期、频率和振幅等因素可以通过三角函数
进行计算和预测。

三、音乐模型
音乐是艺术与科学的结合，三角函数模型在音乐中也有着重要的应用。

音乐的基本要素包括音高、音长和音色等。

三角函数可以帮助我们理解和
创建不同音调的声音，例如正弦函数可以生成纯音，而复杂的乐曲可以通
过多个三角函数的叠加来表示。

四、天文模型
三角函数模型在天文学中也扮演着重要的角色。

例如，我们可以使用
正弦函数来描述地球公转和自转的运动规律。

通过对三角函数模型的运用，我们可以计算出日出、日落以及季节变化等现象，并预测天文事件的发生
时间和位置。

五、结论
三角函数模型的简单应用涵盖了振动、音乐和天文等多个领域。

通过
对三角函数的理解和运用，我们可以更好地理解和解释各种现象，并进行
相关问题的计算和预测。

在实际应用中，对三角函数模型的灵活运用将有
助于我们解决各类问题。

三角函数模型的简单应用一周强化一、知识结构二、重难点知识概述1、用三角函数模型解决一些具有周期性变化规律的实际问题，将所发现的规律抽象为恰当的的三角函数模型．2、选择恰当的三角函数模型刻画数据所蕴含的规律，能根据问题的实际意义，利用模型解释有关实际问题，为决策提供依据．3、研究的方法是利用收集到的数据分析分析问题中的数量关系，通过作出散点图，根据散点图进行函数拟合，得到函数模型．4、三角函数模型的应用包括（1）根据图象建立解析式；（2）根据解析式作出图象；（3）根据实际问题处理数据，作出图象进行函数拟合，将实际问题抽象为与三角函数有关的简单函数模型．5、建立数学模型解决实际问题，所得的模型一般是近似的，并且得到的解也是近似的，所以需要根据实际背景及问题的条件，注意考虑实际意义，对问题的解进行具体分析．三、例题讲解例1、如图所示，单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置O的距离S厘米和时间t秒的函数关系式为：，那么单摆从最高点开始来回摆动一次所需的时间为（）A．2π秒B．π秒C．0.5秒D．1秒分析：本题已给出了单摆离开平衡位置O的距离S厘米和时间t秒的函数关系式，单摆从最高点开始来回摆动一次所需的时间即为此函数的一个周期．解：∵ω=2π，∴．故选D．说明：客观世界中很多物理现象的数量之间存在着三角函数关系，熟练掌握三角函数的图象与性质及有关结论，有助于解决此类问题．例2、如图，某大风车的半径为2m，每12s旋转一周，它的最低点O离地面0.5m．风车圆周上一点A从最低点O开始，运动t(s)后与地面的距离为h(m)．(1)求函数h=f(t)的关系式；(2)画出函数h=f(t)的图象．解析：本小题主要考查三角函数的图象和性质及恒等变换知识，以及由数到形的转化思想和作图技能；考查运算能力和解决实际问题的能力．解：(1)如图，以O为原点，过点O的圆的切线为x轴，建立直角坐标系．设点A的坐标为(x,y)，则h=y＋0.5．设∠OO1A=θ，则又，即，所以(2)函数的图象如下例3、下表是某地一年中10天测量的白昼时间统计表(时间近似到0.1小时)日期1月1日2月28日3月21日4月27日5月6日6月21日8月13日9月20日10月25日12月21日日期位置序号x1 59 80 117 126 172 225 263 298 356白昼时间y（小时）5.6 10.2 12.4 16.4 17.3 19.4 16.4 12.48.5 5.4(I)以日期在365天中的位置序号x为横坐标，白昼时间y为纵坐标，在给定坐标系中画出这些数据的散点图；(Ⅱ)试选用一个形如y=Asin(ωx＋)+t的函数来近似描述一年中白昼时间y与日期位置序号x之间的函数关系．(注：①求出所选用的函数关系式；②一年按365天计算)(Ⅲ)用(Ⅱ)中的函数模型估计该地一年中大约有多少天白昼时间大于15.9小时．解：（I）画散点图见下面．（II）由散点图知白昼时间与日期序号之间的函数关系近似为y=Asin(ωx＋)＋t，由图形知函数的最大值为19.4，最小值为5.4，即y max=19.4，y min=5.4，由19.4－5.4=14，得A=7；由19.4＋5.4=24.8，得t=12.4；又T=365，∴，例4、在长江汽车渡口，马力不足或装货较重的汽车上岸时，采用沿着坡面斜着成S形的方向向上升，这是为什么？解析：在汽车马力恒定的情况下，行驶单位路程内，垂直上升高度愈大，汽车愈费“力”，当“力”所不及时，就会发生危险．日常经验告诉我们，走S形可减少这种危险．从数学的角度看，如图所示，AB表示笔直向上行走的路线，(AB⊥CA)，α表示它与水平面所成的夹角，CB表示斜着向上所行走的路线，β表示它与水平面所成的夹角，它们所达到的高度都是BD．现在的问题就是要研究α和β这两个角哪个大．在Rt△BAD中，，①在Rt△BCD中，，②比较①与②，因为AB、CB分别是Rt△ABC的直角边和斜边，也就是说AB＜CB，所以，所以sinα＞sinβ．又因为α、β都是锐角，所以α＞β．因此，汽车沿着CB方向斜着向上开要省力．说明：山区修筑的公路，采取盘山而上的方法，也就是这个道理．另外实际问题中也要碰到利用三角函数来比较大小的问题．。

三角函数的模型及应用三角函数是数学中一个重要的分支，它涉及到角的度量和关系，以及角在几何图形中的应用。

三角函数的模型是用来描述角度和边长之间的关系，而三角函数的应用则广泛涉及到几何、物理、工程等领域。

首先，我们来讨论三角函数的模型。

最常见的三角函数有正弦函数、余弦函数和正切函数。

它们的定义如下：正弦函数：sin(x) = 对边/ 斜边余弦函数：cos(x) = 邻边/ 斜边正切函数：tan(x) = 对边/ 邻边其中，对边、邻边和斜边指的是一个直角三角形中与角度x相关的边长。

这些三角函数的定义基于一个特殊的直角三角形，即单位圆上的一条半径与x轴和y 轴夹角为x的射线。

三角函数的模型可以进一步扩展到一般的三角形中，通过在单位圆上做垂线，我们可以将非直角三角形的边长和角度联系起来。

例如，根据正弦定理和余弦定理，可以得到以下关系：正弦定理：a / sin(A) = b / sin(B) = c / sin(C)余弦定理：c^2 = a^2 + b^2 - 2abcos(C)这些模型提供了计算三角形各边长和角度的方法，非常有用。

接下来，我们来探讨三角函数的应用。

三角函数在几何学中有广泛的应用。

例如，在解决三角形的边长和角度问题时，可以使用三角函数求解未知量。

三角函数还可以被用来计算几何图形的面积和体积，例如圆的面积和球的体积等。

此外，三角函数在物理学中也有广泛的应用。

例如，在运动学中，三角函数可以用来描述物体在直线上的运动，如加速度、速度和位移之间的关系。

另外，在力学中，三角函数可以用来计算力的分解，例如对一个斜面上的物体施加的力的分解等。

在工程学中，三角函数也被广泛应用。

例如，在建筑设计中，可以使用三角函数计算斜塔的高度和角度。

在航海中，可以使用三角函数来计算航线和船只的位置等。

总结起来，三角函数是数学中一个重要的分支，其模型描述了角度和边长之间的关系，应用于几何学、物理学和工程学等领域。

通过使用三角函数的模型和公式，我们可以解决各种与角度和边长相关的问题，推导出相应的计算方法，丰富了数学的应用领域。

三角函数12345模型三角函数是高中数学中的一个重要概念，通过它可以描述数学中的各种周期性现象。

在三角函数中常见的有正弦函数、余弦函数和正切函数等。

接下来，我将详细介绍这些三角函数及其模型。

1. 正弦函数（sin）：正弦函数是一个周期为2π的函数，数学表达式为y = sin(x)。

其中，x表示自变量，y表示因变量。

正弦函数的最值在[-1, 1]之间，当自变量x自增时，正弦函数值会在[-1, 1]之间变化。

正弦函数的图像呈现一种波浪形状，可表示许多自然现象，如波浪、声音和光的传播等。

例如，在机械振动中，质点做周期性的振动，其位移与正弦函数呈正相关关系。

2. 余弦函数（cos）：余弦函数也是一个周期为2π的函数，数学表达式为y = cos(x)。

余弦函数的图像与正弦函数非常相似，但在水平方向上平移了π/2、余弦函数的最值也在[-1, 1]之间。

余弦函数在数学和物理学中都有广泛的应用。

在三角函数的应用中，余弦函数通常用于描述旋转、波动等周期性现象，比如天体运动和电路中的交流电信号。

3. 正切函数（tan）：正切函数是一个以π为周期的函数，数学表达式为y = tan(x)。

正切函数的图像在π/2, 3π/2, 5π/2等位置上有无穷大的间断点。

正切函数的值可以取任意实数，它的变化具有较大幅度的剧烈性。

正切函数在物理学、工程学等方面的应用也很广泛。

例如，在房屋设计中，正切函数可以用来计算房顶的坡度；在电子学中，正切函数可以描述电流和电压的关系。

4. 反正弦函数（arcsin）：反正弦函数是正弦函数的反函数，数学表达式为y = arcsin(x)。

反正弦函数的定义域为[-1, 1]，值域为[-π/2, π/2]。

它表示对于一个给定的y值，通过反函数可以找到对应的x值。

反正弦函数在解三角形的问题中经常被使用。

例如，已知一个直角三角形的斜边和一个角度，可以使用反正弦函数来计算其他两个边的长度。

5. 反余弦函数（arccos）：反余弦函数是余弦函数的反函数，数学表达式为y = arccos(x)。

§4.8 三角函数模型及解三角形应用举例解三角形应用题的一般步骤(1)阅读理解题意，弄清问题的实际背景，明确已知与未知，理清量与量之间的关系． (2)根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形问题的模型． (3)根据题意选择正弦定理或余弦定理求解．(4)将三角形问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等．题型一 测量距离、高度问题例1(2013·江苏)如图，游客从某旅游景区的景点A 处下山至C 处有两种路径．一种是从A 沿直线步行到C ，另一种是先从A 沿索道乘缆车到B ，然后从B 沿直线步行到C .现有甲、乙两位游客从A 处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50m /min.在甲出发2 min 后，乙从A 乘缆车到B ，在B 处停留1 min 后，再从B 匀速步行到C .假设缆车匀速直线运动的速度为130 m/min ，山路AC 长为1260m ，经测量cos A ＝1213，cos C ＝35.①求索道AB 的长；②问：乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？③为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？题型二测量角度问题例2如图，在海岸A处发现北偏东45°方向，距A处(3－1)海里的B处有一艘走私船．在A处北偏西75°方向，距A处2海里的C处的我方缉私船奉命以103海里/小时的速度追截走私船，此时走私船正以10海里/小时的速度，以B处向北偏东30°方向逃窜．问：缉私船沿什么方向行驶才能最快截获走私船？并求出所需时间．题型三利用三角函数模型求最值例3如图，在直径为1的圆O中，作一关于圆心对称、邻边互相垂直的十字形，其中y>x>0.(1)将十字形的面积表示为θ的函数；(2)θ满足何种条件时，十字形的面积最大？最大面积是多少？变式如图为一个缆车示意图，该缆车半径为4.8米，圆上最低点与地面距离为0.8米，且60秒转动一圈，图中OA与地面垂直，以OA为始边，逆时针转动θ角到OB，设B点与地面间的距离为h.(1)求h与θ间关系的函数解析式；(2)设从OA开始转动，经过t秒后到达OB，求h与t之间的函数关系式，并求缆车到达最高点时用的最少时间是多少？课堂练习：1．已知△ABC ，C 为坐标原点O ，A (1，sin α)，B (cos α，1)，α∈⎝⎛⎦⎤0，π2，则当△OAB 的面积达到最大值时，α＝______.2．某人向正东方向走x km 后，向右转150°，然后朝新方向走3km ，结果他离出发点恰好是3km ，那么x 的值为________． 3．如图所示，位于A 处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B 处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°且相距20海里的C 处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向即沿直线CB 前往B 处救援，则cos θ等于________．4.8三角函数模型及解三角形应用举例作业1．如图为一半径是3m的水轮，水轮的圆心O距离水面2m．已知水轮每分钟旋转4圈，水轮上的点P到水面的距离y(m)与时间x(s)满足函数关系y＝A sin(ωx＋φ)＋2(ω>0，A>0)，则ω＝________，A＝________.2．甲、乙两楼相距20米，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60°，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°，则甲、乙两楼的高分别是________________．3.如图所示，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个观测点C与D，测得∠BCD＝15°，∠BDC＝30°，CD＝30m，并在点C处测得塔顶A的仰角为60°，求塔高AB.4．某渔船在航行中不幸遇险，发出呼叫信号，我海军舰艇在A处获悉后，立即测出该渔船在方位角为45°，距离为10nmile的C处，并测得渔船正沿方位角为105°的方向，以10nmile/h的速度向某小岛B靠拢，我海军舰艇立即以103nmile/h的速度前去营救，求舰艇的航向和靠近渔船所需的时间．5.某运输装置如图所示，其中钢结构ABD 是AB ＝BD ＝l ，∠B ＝π3的固定装置，AB 上可滑动的点C 使CD 垂直于地面(C 不与A ，B 重合)，且CD 可伸缩(当CD 伸缩时，装置ABD 随之绕D 在同一平面内旋转)，利用该运输装置可以将货物从地面D 处沿D →C →A 运送至A 处，货物从D 处至C 处运行速度为v ，从C 处至A 处运行速度为3v .为了使运送货物的时间t 最短，需在运送前调整运输装置中∠DCB ＝θ的大小．(1)当θ变化时，试将货物运行的时间t 表示成θ的函数(用含有v 和l 的式子表示)； (2)当t 最小时，C 点应设计在AB 的什么位置？6某港口O 要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上．在小艇出发时，轮船位于港口O 北偏西30°且与该港口相距20海里的A 处，并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶．假设该小艇沿直线方向以v 海里/小时的航行速度匀速行驶，经过t 小时与轮船相遇．(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？ (2)假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时，试设计航行方案(即确定航行方向和航行速度的大小)，使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由．§4.8 三角函数模型及解三角形应用举例解三角形应用题的一般步骤(1)阅读理解题意，弄清问题的实际背景，明确已知与未知，理清量与量之间的关系． (2)根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形问题的模型． (3)根据题意选择正弦定理或余弦定理求解．(4)将三角形问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等．题型一 测量距离、高度问题例1(2013·江苏)如图，游客从某旅游景区的景点A 处下山至C 处有两种路径．一种是从A 沿直线步行到C ，另一种是先从A 沿索道乘缆车到B ，然后从B 沿直线步行到C .现有甲、乙两位游客从A 处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50m /min.在甲出发2 min 后，乙从A 乘缆车到B ，在B 处停留1 min 后，再从B 匀速步行到C .假设缆车匀速直线运动的速度为130 m/min ，山路AC 长为1260m ，经测量cos A ＝1213，cos C ＝35.①求索道AB 的长；②问：乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？③为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？ (1)答案 30＋30 3解析 在△P AB 中，∠P AB ＝30°，∠APB ＝15°，AB ＝60，sin15°＝sin(45°－30°)＝sin45°cos30°－cos45°sin30°＝22×32－22×12＝6－24，由正弦定理得PB sin30°＝ABsin15°，∴PB ＝12×606－24＝30(6＋2)，∴树的高度为PB ·sin45°＝30(6＋2)×22＝(30＋303)m.(2)解 ①在△ABC 中，因为cos A ＝1213，cos C ＝35，所以sin A ＝513，sin C ＝45.从而sin B ＝sin [π－(A ＋C )]＝sin(A ＋C ) ＝sin A cos C ＋cos A sin C＝513×35＋1213×45＝6365. 由正弦定理AB sin C ＝ACsin B ，得AB ＝AC sin B ×sin C ＝1 2606365×45＝1 040(m)．所以索道AB 的长为1040m.②假设乙出发t 分钟后，甲、乙两游客距离为d ，此时，甲行走了(100＋50t )m ，乙距离A 处130t m ，所以由余弦定理得d 2＝(100＋50t )2＋(130t )2－2×130t ×(100＋50t )×1213＝200(37t 2－70t ＋50)，由于0≤t ≤1040130，即0≤t ≤8，故当t ＝3537min 时，甲、乙两游客距离最短．③由正弦定理BC sin A ＝ACsin B ，得BC ＝AC sin B ×sin A ＝12606365×513＝500(m)．乙从B 出发时，甲已走了50×(2＋8＋1)＝550(m)，还需走710m 才能到达C .设乙步行的速度为v m/min ，由题意得－3≤500v －71050≤3，解得125043≤v ≤62514，所以为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3min ，乙步行的速度应控制在⎣⎡⎦⎤125043，62514(单位：m/min)范围内． 题型二 测量角度问题例2 如图，在海岸A 处发现北偏东45°方向，距A 处(3－1)海里的B 处有一艘走私船．在A 处北偏西75°方向，距A 处2海里的C 处的我方缉私船奉命以103海里/小时的速度追截走私船，此时走私船正以10海里/小时的速度，以B 处向北偏东30°方向逃窜．问：缉私船沿什么方向行驶才能最快截获走私船？并求出所需时间．思维点拨 设缉私船t 小时后在D 处追上走私船，确定出三角形，先利用余弦定理求出BC ，再利用正弦定理求出时间．解 设缉私船应沿CD 方向行驶t 小时，才能最快截获(在D 点)走私船，则CD ＝103t (海里)，BD ＝10t (海里)，在△ABC 中，由余弦定理，有 BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC cos ∠BAC ＝(3－1)2＋22－2(3－1)·2·cos120°＝6. ∴BC ＝6(海里)．又∵BC sin ∠BAC ＝ACsin ∠ABC，∴sin ∠ABC ＝AC ·sin ∠BAC BC ＝2·sin120°6＝22，∴∠ABC ＝45°，∴B 点在C 点的正东方向上， ∴∠CBD ＝90°＋30°＝120°，在△BCD 中，由正弦定理，得BD sin ∠BCD ＝CDsin ∠CBD，∴sin ∠BCD ＝BD ·sin ∠CBD CD ＝10t ·sin120°103t ＝12.∴∠BCD ＝30°，∴缉私船沿北偏东60°的方向行驶．又在△BCD 中，∠CBD ＝120°，∠BCD ＝30°， ∴D ＝30°，∴BD ＝BC ，即10t ＝ 6. ∴t ＝610小时≈15(分钟)． ∴缉私船应沿北偏东60°的方向行驶，才能最快截获走私船，大约需要15分钟． 思维升华 测量角度问题的一般步骤(1)在弄清题意的基础上，画出表示实际问题的图形，并在图形中标出有关的角和距离； (2)用正弦定理或余弦定理解三角形；(3)将解得的结果转化为实际问题的解．题型三 利用三角函数模型求最值例3 如图，在直径为1的圆O 中，作一关于圆心对称、邻边互相垂直的十字形，其中y >x >0.(1)将十字形的面积表示为θ的函数；(2)θ满足何种条件时，十字形的面积最大？最大面积是多少？ 思维点拨 由题图可得：x ＝cos θ，y ＝sin θ.列出面积函数后，利用三角函数性质求解，注意θ的范围． 解 (1)设S 为十字形的面积，则S ＝2xy －x 2＝2sin θcos θ－cos 2θ (π4<θ<π2)；(2)S ＝2sin θcos θ－cos 2θ＝sin2θ－12cos2θ－12＝52sin(2θ－φ)－12，其中tan φ＝12， 当sin(2θ－φ)＝1，即2θ－φ＝π2时，S 最大．所以，当θ＝π4＋φ2(tan φ＝12)时，S 最大，最大值为5－12.思维升华 三角函数作为一类特殊的函数，可利用其本身的值域来求函数的最值．变式 如图为一个缆车示意图，该缆车半径为4.8米，圆上最低点与地面距离为0.8米，且60秒转动一圈，图中OA 与地面垂直，以OA 为始边，逆时针转动θ角到OB ，设B 点与地面间的距离为h . (1)求h 与θ间关系的函数解析式； (2)设从OA 开始转动，经过t 秒后到达OB ，求h 与t 之间的函数关系式，并求缆车到达最高点时用的最少时间是多少？解 (1)以圆心O 为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，则以Ox为始边，OB 为终边的角为θ－π2，故点B 的坐标为(4.8cos(θ－π2)，4.8sin(θ－π2))， ∴h ＝5.6＋4.8sin ⎝⎛⎭⎫θ－π2. (2)点A 在圆上转动的角速度是π30弧度/秒，故t 秒转过的弧度数为π30t ，∴h ＝5.6＋4.8sin ⎝⎛⎭⎫π30t －π2，t ∈[0，＋∞)．到达最高点时，h ＝10.4米．由sin ⎝⎛⎭⎫π30t －π2＝1，得π30t －π2＝π2，∴t ＝30秒， ∴缆车到达最高点时，用的最少时间为30秒．课堂练习：1．已知△ABC ，C 为坐标原点O ，A (1，sin α)，B (cos α，1)，α∈⎝⎛⎦⎤0，π2，则当△OAB 的面积达到最大值时，α＝______.答案 π2解析 ∵S ＝1－12×1×sin α－12×1×cos α－12(1－cos α)(1－sin α)＝12－12sin αcos α ＝12－14sin2α. ∴当α＝π2时，S 取到最大值．3．某人向正东方向走x km 后，向右转150°，然后朝新方向走3km ，结果他离出发点恰好是3km ，那么x 的值为________． 答案 3或2 3解析 如图所示，设此人从A 出发，则AB ＝x ，BC ＝3，AC ＝3，∠ABC ＝30°， 由余弦定理得(3)2＝x 2＋32－2x ·3·cos30°，整理，得x 2－33x ＋6＝0，解得x ＝3或2 3.4．如图所示，位于A 处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B 处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°且相距20海里的C 处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向即沿直线CB 前往B 处救援，则cos θ等于________．答案 2114解析 在△ABC 中，AB ＝40，AC ＝20，∠BAC ＝120°，由余弦定理，得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos120°＝2800，所以BC ＝207. 由正弦定理，得sin ∠ACB ＝AB BC ·sin ∠BAC ＝217.由∠BAC ＝120°，知∠ACB 为锐角，故cos ∠ACB ＝277.故cos θ＝cos(∠ACB ＋30°)＝cos ∠ACB cos30°－sin ∠ACB sin30°＝2114.4.8 三角函数模型及解三角形应用举例作业1．如图为一半径是3m 的水轮，水轮的圆心O 距离水面2m ．已知水轮每分钟旋转4圈，水轮上的点P 到水面的距离y (m)与时间x (s)满足函数关系y ＝A sin(ωx ＋φ)＋2(ω>0，A >0)，则ω＝________，A ＝________.答案 2π153 解析 每分钟转4圈，每圈所需时间T ＝604＝15. 又T ＝2πω＝15，∴ω＝2π15，A ＝3. 2．甲、乙两楼相距20米，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60°，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°，则甲、乙两楼的高分别是________________．答案 203米、4033米 解析 如图，依题意有甲楼的高度为AB ＝20·tan60°＝203(米)，又CM＝DB ＝20(米)，∠CAM ＝60°，所以AM ＝CM ·1tan60°＝2033(米)，故乙楼的高度为CD ＝203－2033＝4033(米)． 3.如图所示，测量河对岸的塔高AB 时，可以选与塔底B 在同一水平面内的两个观测点C 与D ，测得∠BCD ＝15°，∠BDC ＝30°，CD ＝30m ，并在点C 处测得塔顶A 的仰角为60°，求塔高AB .解 在△BCD 中，∠CBD ＝180°－15°－30°＝135°，由正弦定理，得BC sin ∠BDC ＝CD sin ∠CBD，所以BC ＝30sin30°sin135°＝15 2 (m)． 在Rt △ABC 中，AB ＝BC ·tan ∠ACB ＝152tan60°＝15 6 (m)．所以塔高AB 为156m.4．某渔船在航行中不幸遇险，发出呼叫信号，我海军舰艇在A 处获悉后，立即测出该渔船在方位角为45°，距离为10nmile 的C 处，并测得渔船正沿方位角为105°的方向，以10nmile/h 的速度向某小岛B 靠拢，我海军舰艇立即以103nmile/h 的速度前去营救，求舰艇的航向和靠近渔船所需的时间．解 如图所示，设所需时间为t 小时，则AB ＝103t ，CB ＝10t .在△ABC 中，根据余弦定理，则有AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos120°，可得：(103t )2＝102＋(10t )2－2×10×10t cos120°.整理得：2t 2－t －1＝0，解得t ＝1或t ＝－12(舍去)． 所以舰艇需1小时靠近渔船，此时AB ＝103，BC ＝10. 在△ABC 中，由正弦定理得：BC sin ∠CAB ＝AB sin120°， 所以sin ∠CAB ＝BC ·sin120°AB ＝10×32103＝12. 所以∠CAB ＝30°.所以舰艇航行的方位角为75°.5.某运输装置如图所示，其中钢结构ABD 是AB ＝BD ＝l ，∠B ＝π3的固定装置，AB 上可滑动的点C 使CD 垂直于地面(C 不与A ，B 重合)，且CD 可伸缩(当CD 伸缩时，装置ABD 随之绕D 在同一平面内旋转)，利用该运输装置可以将货物从地面D 处沿D →C →A 运送至A 处，货物从D 处至C 处运行速度为v ，从C 处至A 处运行速度为3v .为了使运送货物的时间t 最短，需在运送前调整运输装置中∠DCB ＝θ的大小．(1)当θ变化时，试将货物运行的时间t 表示成θ的函数(用含有v 和l 的式子表示)；(2)当t 最小时，C 点应设计在AB 的什么位置？解 (1)在△BCD 中，∵∠BCD ＝θ，∠B ＝π3，BD ＝l ， ∴BC ＝l sin (2π3－θ)sin θ，CD ＝3l 2sin θ， ∴AC ＝AB －BC ＝l －l sin (2π3－θ)sin θ， 则t ＝AC 3v ＋CD v ＝l 3v －l sin (2π3－θ)3v sin θ＋3l 2v sin θ(π3<θ<2π3)． (2)t ＝l 6v (1－3cos θsin θ)＋3l 2v sin θ＝l 6v ＋3l 6v ·3－cos θsin θ. 令m (θ)＝3－cos θsin θ，θ∈(π3，2π3)，则m ′(θ)＝1－3cos θsin 2θ. 令m ′(θ)＝0，得cos θ＝13，设cos θ0＝13，θ0∈(π3，2π3)， 则θ∈(π3，θ0)时，m ′(θ)<0；当θ∈(θ0，2π3)时，m ′(θ)>0，∴当cos θ＝13时，m (θ)取得最小值22，此时BC ＝6＋48l . 故当BC ＝6＋48l 时货物运行时间最短. 6某港口O 要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上．在小艇出发时，轮船位于港口O 北偏西30°且与该港口相距20海里的A 处，并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶．假设该小艇沿直线方向以v 海里/小时的航行速度匀速行驶，经过t 小时与轮船相遇．(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？(2)假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时，试设计航行方案(即确定航行方向和航行速度的大小)，使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由．规范解答解 (1)设相遇时小艇的航行距离为S 海里， 则S ＝900t 2＋400－2·30t ·20·cos (90°－30°) ＝900t 2－600t ＋400＝900(t －13)2＋300.[4分] 故当t ＝13时，S min ＝103，v ＝10313＝30 3.[6分] 即小艇以303海里/小时的速度航行，相遇小艇的航行距离最小．[7分](2)设小艇与轮船在B 处相遇．则v 2t 2＝400＋900t 2－2·20·30t ·cos(90°－30°)，故v 2＝900－600t ＋400t2.[9分] ∵0<v ≤30，∴900－600t ＋400t 2≤900，即2t 2－3t ≤0，解得t ≥23.[10分] 又t ＝23时，v ＝30， 故v ＝30时，t 取得最小值，且最小值等于23.[12分] 此时，在△OAB 中，有OA ＝OB ＝AB ＝20.故可设计航行方案如下：航行方向为北偏东30°，航行速度为30海里/小时．[14分]。

例谈初中数学有关三角函数应用题的四个模型
1.求正弦定理：利用正弦定理可以解决三角形对边求角的问题，同
时也常用来求三角形内角与外角之和的问题，如：已知ABC三角形，
A = 105°，
B = 30°，求C角的度数。

解：由正弦定理：
A:B:C=sinA:sinB:sinC,可得：C = 45°。

2.求余弦定理：余弦定理可以用来求三角形的面积，如果知道三条边的长度，则可以求出三角形的面积。

如：已知ABC三角形的两条边的长
度分别为a = 8cm、b = 9cm，夹角C的度数为30°，求ABC三角形的
面积。

解：利用余弦定理，即a² = b² + c²– 2bc⁺cosC,得出：c = 8.11cm，三角形ABC的面积S = ab/2 sinC = 63.07cm²。

3.求正切定理：正切定理常用于求夹角的正切值。

如：已知ABC三角形，A = 30°，∠B = 60°，求tanB的值，解：由正切定理：
tanA:tanB:tanC = a:b:c,可以得出tanB = 1/√3∶1.
4.求正割定理应用：正割定理常用于夹角的正割值的求解，如：已知ABC三角形，A = 45°，B = 60°，求cosA的值，解：由正割定理：cosA:cosB:cosC = a:b:c,可以得出cosA = √3∶2.。

三角函数模型教案的实践应用案例一、教学目标1. 让学生理解三角函数的概念和性质。

2. 培养学生运用三角函数解决实际问题的能力。

3. 提高学生对数学知识的兴趣和应用意识。

二、教学内容1. 三角函数的定义与基本性质。

2. 三角函数在实际问题中的应用。

三、教学重点与难点1. 重点：三角函数的概念、性质及应用。

2. 难点：运用三角函数解决实际问题。

四、教学方法1. 采用问题驱动法，引导学生主动探究三角函数的性质。

2. 利用案例分析法，让学生学会将三角函数应用于实际问题。

3. 开展小组讨论，培养学生的合作交流能力。

五、教学过程1. 导入：通过生活实例，引入三角函数的概念。

2. 新课：讲解三角函数的定义与基本性质，引导学生探究其内在联系。

3. 案例分析：分析实际问题，引导学生运用三角函数解决问题。

4. 练习：布置相关习题，巩固所学知识。

5. 总结：回顾本节课的主要内容，强调三角函数在实际中的应用。

六、教学案例案例一：测量山峰的高度背景：登山队需要测量一座山峰的高度，他们携带了一个雷达测距仪，可以测量山脚到山峰的垂直距离。

已知雷达测距仪在水平方向上的误差为±1%，要求确定山峰的高度。

解决方案：1. 假设雷达测距仪在水平方向上的误差为±1%，即测量的距离在实际距离的正负1%范围内。

2. 假设地球的曲率为平面的3次方，即地球表面每上升1米，水平距离增加约0.00018米。

3. 利用三角函数，结合雷达测距仪的测量数据和地球曲率的影响，建立数学模型计算山峰的高度。

案例二：设计吊车臂背景：工程师需要设计一个吊车臂，该吊车臂能够将货物从地面抬起到指定的高度。

已知吊车臂的仰角和长度，需要确定吊车臂的俯仰角和旋转半径。

解决方案：1. 利用三角函数，建立吊车臂的仰角和俯仰角之间的关系。

2. 根据吊车臂的长度和仰角，计算旋转半径。

3. 利用三角函数，建立旋转半径和俯仰角之间的关系。

4. 通过求解方程组，确定吊车臂的俯仰角和旋转半径。

1．6.1 三角函数模型的简单应用【学习目标】1.通过实例明白应用三角函数模型所解决的实际问题的基本特征——周期性；2.通过教材几个实例的分析概括三角函数模型应用基本步骤，并能迁移运用；3.利用收集到的数据作出散点图，并根据散点图进行函数拟合，从而得到函数模型，提高学生数据收集和处理能力；4.通过三角函数模型的应用分析，理解数学解决实际问题的基本思想——数学建模，领会数学的作用． 【学习重点】运用三角函数相关知识解决实际问题，掌握三角函数模型应用基本步骤及迁移运用.【难点提示】灵活运用三角函数相关知识解决实际问题，知识与方法的迁移能力. 【学法提示】1.请同学们课前将学案与教材6071P -结合进行自主学习（对教材中的文字、图象、表格、符号、观察、思考、说明与注释、例题及解答、阅读与思考、小结等都要仔细阅读）、小组讨论，积极思考提出更多、更好、更深刻的问题，为课堂学习做好充分的准备；2.在学习过程中用好“十二字学习法”即：“读”、“挖”、“举”、“联”、“用”、“悟”、“听”、“问”、“通”、“总”、“研”、“会”，请在课堂上敢于提问、敢于质疑、敢于讲解与表达. 【学习过程】 一．学习准备前面我们学习了三角函数等相关知识，请同学们感悟下面的知识网络，你还有更好的构 建方法吗？同时，将不很熟悉的各知识内容填写在横线上或空白处：在生活中有哪些三角函数模型的问题，如何运用三角函数相关知识来解决这些问题呢？这就是本节课我们要研究的问题！二、典例赏析例1.（教材60页例1，请同学们先做在看教材的解答） 解：正余弦型函数图象变换正切函数图象、性质正弦函数图象、性质余弦函数图象、性质正余弦函数图象的“五点法”周期函数 概念三角函数线六组诱导公式口诀三角函数的基本关系式三角函数值所在象限的符号角α的三角函数定义任意角三角函数解后反思 该题的题型怎样？你的解法与教材的解法相同吗？有哪些区别？教材是怎么书写表达的？变式练习 如图表示电流 I 与时间t 的函数关系式：sin()I A t ωϕ=+（ω＞0，||2πϕ<）在同一周期内的图象． （1）根据图象写出I =Asin(t )ω+ϕ的解析式； （2）为了使I =Asin(t )ω+ϕ中t 在任意－段1100秒的时间内电流I 能同时取得最大值和最小值，那么正整数ω的最小值是多少？解：例2（教材P61页例3，请同学们先做在看教材的解答）思路启迪 仔细审题，弄清题意，哪些是已知，需要求什么量？用实物摆放或作图分 析，建立怎样三角函数模型求解！（链接1） 解：解后反思 该题的题型怎样？求解的关键点在哪里？你的解法与教材的解法相同吗？有哪些区别？教材是怎么书写表达的？求解该题用到了哪些知识？（链接2）变式练习 一半径为3m 的水轮如右图所示,水轮圆心O 距离水面2m,已知水轮每分钟转动4圈,如果当水轮上P 点从水中浮现时(图中P 0)（1）求P 点相对于水面的高度h(m)与时间t(s)（2）P 点第一次达到最高点约要多长时间? 解：例3（教材62页例4，请同学们先做在看教材的解答） 思路启迪 要仔细审题，如何处理这些数据，并从中发现 规律，找准入手点，理清求解问题的步骤：（1）数据的初步处理：作出统计图象(散点图)（2）散点图的观察分析：；（3）选定拟合函数模型： ；（4）函数模型求解：实际问题分析1：给出整点时的水深的近似数值(精确到0．001)．时刻0:00 1:00 2:00 3:00 4:00 5:00 6:00 7:00 8:00 9:00 10:0 11:0 水深时刻12:013:014:015:016:017:018:019:020:021:022:023:0水深实际问题分析2：一条货船的吃水深度(船底与水面的距离)为4米，安全条例规定至少要有1．5米的安全间隙(船底与洋底的距离) ，该船何时能进入港口？在港口能呆多久？实际问题分析3：若某船的吃水深度为4米，安全间隙为1．5米，该船在2:00开始卸货，吃水深度以每小时0．3米的速度减少，那么该船在什么时间必须停止卸货，将船驶向较深的水域？解：●解后反思该题的题型怎样？你的解法与教材的解法相同吗？有哪些区别？教材是怎么书写表达的？求解的步骤是怎样的？应注意什么问题？（链接3）变式练习（教材P65页练习第3题，可做在书上）解：三、学习反思1.本节课我们学习了哪些数学知识、数学思想方法，你的任务完成了吗？你讲的怎样？你提问了吗？我们的学习目标达到了吗？如：本节课有哪些题型？运用了哪些数学思想方法求解的？求解应用问题的基本步骤怎样？有哪些需要我们注意的？2.通过本节课的学习与课前的预习比较有哪些收获？有哪些要改进和加强的呢？3.对本节课你还有独特的见解吗？本节课的数学知识与生活有怎样的联系？感受到本节课数学知识与方法的美在哪里？四、学习评价1.（09年莱阳一中学段检测）车流量被定义为单位时间内通过十字路口的车辆数，单位为辆／分，上班高峰期某十字路口的车流量由函数F(t)=50+4sin (其中0≤t≤20)给出，F(t)的单位是辆／分，t的单位是分，则在下列哪个时间段内车流量是增加的A[0，5] B[5，10] C[10，15] D[15，20]2 设()y f t =是某港口水的深度关于时间t(时)的函数，其中024t ≤≤,下表是该港口某一经长期观察，函数()y f t =的图象可以近似地看成函数sin()y k A t ωϕ=++的图象． 根据上述数据，函数()y f t =的解析式为（ ） A.123sin,[0,24]6ty t π=+∈ ； B.123sin(),[0,24]6ty t ππ=++∈C.123sin ,[0,24]12t y t π=+∈ ；D.123sin(),[0,24]122t y t ππ=++∈ 2．如图所示，为了测量该工件上面凹槽的圆弧半 径R ，由于没有直接的测量工具，工人用三个 半径均为r （r 相对R 较小）的圆柱棒123,,O O O 放在如图与工件圆弧相切的位置上，通过深度卡 尺测出卡尺水平面到中间量棒2O 顶侧面的垂直深度h ，若10,4r mm h mm ==时，则R 的值为（ ）A.25mm ；B.50mm ；C.60mm ；D.15mm.3.从高出海面hm 的小岛A 处看正东方向有一只船B ，俯角为30看正南方向的一船C 的俯角为45，则此时两船间的距离为（ ）．A.2hm ； ； ； D. .4.一根为Lcm 的线，一端固定，另一端悬挂一个小球，组成一个单摆，小球摆动时，离开平衡位置的位移s(单位：cm)与时间t(单位：s)的函数关系是),0[,6sin 3+∞∈⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=t t l g s π，（1）求小球摆动的周期和频率；（2）已知g=980cm/s 2，要使小球摆动的周期恰好是1秒，线的长度L 应当是多少？ 解：5.已知定义域为实数集R 的奇函数f （x ）在R 上是减函数，且2(sin 2)(42cos )(0)f f m m f θθ--+-<，（1）求证：f （0）=0； （2）当m=12时，求cos θ的取值范围；（3）是否存在这样的实数m 使2(sin 2)(42cos )(0)f f m m f θθ--+-<对所有的0,2πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦均成立？若存在，则求出所有适合条件的实数m ，若不存在，说明理由.解：6.在生活中有很多现象具有周期性，大家学过的三角函数就是描述周期现象的一种重要的数学模型，假设游乐场中的摩天轮匀速旋转，其中心O 距离地面30．5m ，半径30m ．若从最低点P 处登上摩天轮，从你登上摩天轮开始计时，那么你与地面的距离h 将随时间t 变化，并且经过6min 到达最高点，请完成下列问题：（1）填写表格：()min t 0 3 6 9 12()h m（2）求h 与t 之间的函数关系式()h h t =；（3）当你在摩天轮上转第一圈，并且距离地面15．5m 时，所用时间是多少？当你在摩天轮上转第()*n n N ∈圈，并且距离地面15．5m ，所用时间是多少？解：7.已知函数()()sin 0,0,||2f x A x A πωθωθ⎛⎫=+>><⎪⎝⎭的图象与y 轴交于点 30,2⎛⎫⎪⎝⎭，它在y 轴右侧的第一个最大值点和最小值点分别为()0,3x ，()02,3x π+-， （1）求函数()y f x =的解析式；（2）说明)(x f 的图象依次经过哪些变换而得到函数)42sin(21)(π-+=x x g 的图象． （3）在给出的直角坐标系中，画出函数)(x g y =在区间]2,2[ππ-上的图象．解：8.教材P66习题1.6A 组第3题（作在书上）； 解：（选做题）如果前面的楼房距你家要买的楼房15m ，两幢楼的高都是21m ，每层楼高3m ，为了使正午的太阳全年不被遮挡，你应该挑选哪几层的房子？（你自己拟定一个纬度数和太阳的直射纬度求解）解：【学习链接】链接1.例1补充图，帮助同学们分析问 题；链接2.该题的题型是跨学科三角函数实际 运用题；求解的关键点弄清题意，该题本质上是求高楼在地面的射影；用到三角函数与地理相关知识，运用了数形结合的思想.；链接3.该题是一道开放性问题，该题是一种重要的函数应用模型的题型，求解该题的基本步骤:(1)根据图象建立解析式; (2)根据解析式作出图象; (3)将实际问题抽象为与三角函数有关的简单函数模型；求解的关键点是：利用收集到的数据作出散点图，并根据散点图进行大胆猜想函数拟合，从而得到函数模型（有时拟合的函数模型不止一种，但应选择最适合的、最佳的那个）；同时，我们在实际问题解决中，还要注意考虑实际意义.如：关于课本第64页的 “思考”问题，实际上，在货船的安全水深正好与港口水深相等时停止卸货将船驶向较深的水域是不行的，因为这样不能保证船有足够的时间发动螺旋桨．【补充典例】1.sincos tan 256575πππ，，从小到大的顺序是___________. 解：2.已知函数f x x x a ()sin sin =-++2，当f x ()=0有实数解时，求a 的取值范围. 解：3.已知：cos sin sin x x x=+--112，求tan x 的值.解：4.已知π<α<3π2，求1＋sin α1＋cos α－1－cos α＋1－sin α1＋cos α＋1－cos α的值.解：5.（2006年安徽卷）如果111A BC ∆的三个内角的余弦值分别等于222A B C ∆的三个内角的正弦值，则（ ） A ．111A B C ∆和222A B C ∆都是锐角三角形； B ．111A B C ∆和222A B C ∆都是钝角三角形；C ．111A B C ∆是钝角三角形，222A B C ∆是锐角三角形；D ．111A B C ∆是锐角三角形，222A B C ∆是钝角三角形. 解：6.（2005辽宁）ω是正实数，设{|()cos(())S f x x ωθωθ==+是奇函数}，若对每一个实数,(,1)a S a a ω+的元素不超过2个，且有a 使(,1)S a a ω+含有2个元素，则ω的取值范围是 ；解：7.（2006四川文、理）下列函数中，图像的一部分如右图所示的是( )（A ）sin()6y x π=+ （B ）cos(2)6y x π=- （C ）cos(4)3y x π=- （D ）sin(2)6y x π=-解：8.把函数y=cos(x+34π)的图象向右平移φ个单位，所得的图象正好关于y 轴对称，则φ的最小正值为 ；解：9.关于函数f(x)=4sin(2x+π3) (x ∈R)，有下列命题：（1）y=f(x )的表达式可改写为y=4cos(2x-π6 );（2）y=f(x )是以2π为最小正周期的周期函数；（3）y=f(x ) 的图象关于点(-π6 ,0)对称;（4）y=f(x ) 的图象关于直线x=-π6 对称; 其中正确的命题序号是___________．解：10.已知函数f(x)=1-2a-2acosx –2sin 2x 的最小值为g(a),a R ∈，（1）求g(a )； （2）若g(a)=21,求此时f(x)的最大值. 解：11.已知)sin()(ϕω+=x x f ⎪⎭⎫⎝⎛<∈2||,πϕωR ，满足)2()(π+-=x f x f ，21)0(=f ，则)cos(2)(ϕω+=x xg 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π上的最大值与最小值之和为 . 解：12.函数())(0)f x x ωϕω=+>的部分图象如图所示，若23ABC π∠=，则 ω等于（ ）A ．6π B ．4πC ．3π D ． 12π 解：13.设函数()()sin cos sin cos 2x x x xf x x R +--=∈，若在区间[]0,m 上方程()2f x =-恰有4个解，则实数m 的取值范围是 . 解：。

必修四三角函数模型的简单应用(附答案)三角函数模型的简单应用[学习目标] 1.了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，并会用三角函数模型解决一些简单的实际问题.2.实际问题抽象为三角函数模型．知识点一利用三角函数模型解释自然现象在客观世界中，周期现象广泛存在，潮起潮落、星月运转、昼夜更替、四季轮换，甚至连人的情绪、体力、智力等心理、生理状况都呈现周期性变化，而三角函数模型是刻画周期性问题的最优秀的数学模型．利用三角函数模型解决实际问题的具体步骤如下：(1)收集数据，画出“散点图”；(2)观察“散点图”，进行函数拟合，当散点图具有波浪形的特征时，便可考虑应用正弦函数和余弦函数模型来解决；(3)注意由第二步建立的数学模型得到的解都是近似的，需要具体情况具体分析．思考1三角函数的周期性y＝A sin(ωx＋φ) (ω≠0)的周期是T＝2π|ω|；y＝A cos(ωx＋φ) (ω≠0)的周期是T＝2π|ω|；y＝A tan(ωx＋φ) (ω≠0)的周期是T＝π|ω|.思考2如图，某地一天从6～14时的温度变化曲线近似满足函数y＝A sin(ωx＋φ)＋b.根据图象可知，一天中的温差是；这段曲线的函数解析式是y＝答案 20℃ 10sin(π8x ＋3π4)＋20，x ∈[6,14] 知识点二 三角函数模型在物理学中的应用 在物理学中，当物体做简谐运动时，可以用正弦型函数y ＝A sin(ωx ＋φ)来表示运动的位移y 随时间x 的变化规律，其中：(1)A 称为简谐运动的振幅，它表示物体运动时离开平衡位置的最大位移；(2)T ＝2πω称为简谐运动的周期，它表示物体往复运动一次所需的时间；(3)f ＝1T ＝ω2π称为简谐运动的频率，它表示单位时间内物体往复运动的次数．题型一 三角函数模型在物理中的应用例1 已知电流I 与时间t 的关系为I ＝A sin(ωt＋φ)．(1)如图所示的是I ＝A sin(ωt ＋φ)(ω>0，|φ|<π2)在一个周期内的图象，根据图中数据求I ＝A sin(ωt ＋φ)的解析式；(2)如果t 在任意一段1150秒的时间内，电流I ＝A sin(ωt ＋φ)都能取得最大值和最小值，那么ω的最小正整数值是多少？解 (1)由图知A ＝300，设t 1＝－1900，t 2＝1180， 则周期T ＝2(t 2－t 1)＝2⎝⎛⎭⎪⎪⎫1180＋1900＝175. ∴ω＝2πT ＝150π.又当t ＝1180时，I ＝0，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫150π·1180＋φ＝0，而|φ|<π2，∴φ＝π6. 故所求的解析式为I ＝300sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫150πt ＋π6. (2)依题意，周期T ≤1150，即2πω≤1150(ω>0)， ∴ω≥300π>942，又ω∈N *，故所求最小正整数ω＝943.跟踪训练1 一根细线的一端固定，另一端悬挂一个小球，小球来回摆动时，离开平衡位置的位移S (单位：cm)与时间t (单位：s)的函数关系是：S ＝6sin(2πt ＋π6)． (1)画出它的图象；(2)回答以下问题：①小球开始摆动(即t ＝0)，离开平衡位置是多少？少？③小球来回摆动一次需要多少时间？解(1)周期T＝2π2π＝1(s)．列表：t 01651223111212πt＋π6π6π2π3π22π2π＋π66sin(2πt＋π6)360－60 3描点画图：(2)①小球开始摆动(t＝0)，离开平衡位置为3 cm.③小球来回摆动一次需要1 s(即周期)．题型二三角函数模型在生活中的应用例2某港口水深y(米)是时间t (0≤t≤24，单位：小时)的函数，下面是水深数据：t(小时)03691215182124y(米)10.13.9.97.10.13.10.17.10.据上述数据描成的曲线如图所示，经拟合，该曲线可近似的看成正弦函数模型y＝A sin ωt＋B的图象．(1)试根据数据表和曲线，求出y＝A sin ωt＋B的解析式；(2)一般情况下，船舶航行时船底与海底的距离不小于4.5米是安全的，如果某船的吃水度(船底与水面的距离)为7米，那么该船在什么时间段能够安全进港？若该船欲当天安全离港，它在港内停留的时间最多不能超过多长时间？(忽略离港所用的时间)解 (1)从拟合的曲线可知，函数y ＝A sin ωt ＋B的一个周期为12小时，因此ω＝2πT ＝π6.又y min ＝7，y max ＝13，∴A ＝12(y max －y min )＝3， B ＝12(y max ＋y min )＝10. ∴函数的解析式为y ＝3sin π6t ＋10 (0≤t ≤24)． (2)由题意，得水深y ≥4.5＋7，即y ＝3sin π6t ＋10≥11.5，t ∈[0,24]，∴sin π6t ≥12，π6t ∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2k π＋π6，2k π＋5π6，k ＝0,1， ∴t ∈[1,5]或t ∈[13,17]，所以，该船在1∶00至5∶00或13∶00至17∶00能安全进港．若欲于当天安全离港，它在港内停留的时间最多不能超过16小时．跟踪训练2 如图为一个缆车示意图，该缆车半径为4.8 m ，圆上最低点与地面距离为0.8 m,60秒转动一圈，图中OA 与地面垂直，以OA 为始边，逆时针转动θ角到OB ，设B 点与地面距离为h .(1)求h 与θ之间的函数关系式；(2)设从OA 开始转动，经过t 秒后到达OB ，求h 与t 之间的函数解析式，并求缆车第一次到达最高点时用的最少时间是多少？解 (1)以圆心O 为原点，建立如图所示的坐标系，则以Ox 为始边，OB 为终边的角为θ－π2.故B 点坐标为(4.8cos(θ－π2)，4.8sin(θ－π2))．∴h ＝5.6＋4.8sin(θ－π2)，θ∈[0，＋∞)．(2)点A 在圆上转动的角速度是π30，故t 秒转过的弧度数为π30t ，∴h ＝5.6＋4.8sin(π30t －π2)，t ∈[0，＋∞)．到达最高点时，h ＝10.4 m. 由sin(π30t －π2)＝1.得π30t －π2＝π2，∴t ＝30.∴缆车到达最高点时，用的时间最少为30秒．利用三角函数线证明三角不等式例3心脏跳动时，血压在增加或减少，血压的最大值、最小值分别称为收缩压、舒张压，血压计上的读数就是收缩压、舒张压，读数120/80 mmHg为标准值，设某人的血压满足方程式P(t)＝115＋25sin(160πt)，其中P(t)为血压(mmHg)，t为时间(min)，试回答下列问题：(1)求函数P(t)的周期；(2)求此人每分钟心跳的次数；(3)画出函数P(t)的草图；(4)求出此人的血压在血压计上的读数，并与标准值进行比较分析(1)利用周期公式可以求出函数P(t)的周期；(2)每分钟心跳的次数即频率；(3)用“五点法”作出函数的简图；(4)此人的收缩压、舒张分别是函数P(t)的最大值和最小值，故可求出此人的血压在血压计上的计数．解(1)由于ω＝160π，代入周期公式T＝2πω，可得T＝2π160π＝180(min)，所以函数P(t)的周期为180min.(2)函数P(t)的频率f＝1T＝80(次/分)，即此人每分钟心跳的次数为80.(3)列表：t/min0132011603320180P(t)/mmHg 11514011590115描点、连线并左右扩展得到函数P(t)的简图如图所示．(4)此人的收缩压为115＋25＝140(mmHg)，舒张压为115－25＝90(mmHg)，与标准值120/80 mmHg 相比较，此人血压偏高．1．函数y ＝|sin 12x ＋13|的最小正周期为( )A ．2πB ．πC ．4π D.π22．一根长l cm 的线，一端固定，另一端悬挂一个小球，小球摆动时离开平衡位置的位移s (cm)与时间t (s)的函数关系式为s ＝3cos ⎝⎛⎭⎪⎫g l t ＋π3，其中g 是重力加速度，当小球摆动的周期是1 s 时，线长l ＝ cm.3．某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数y ＝a ＋A cos ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤π6(x －6) (x＝1,2,3，…，12，A >0)来表示，已知6月份的月平均气温最高，为28℃，12月份的月平均气温最低，为18℃，则10月份的平均气温值为 ℃.4．如图所示，一个摩天轮半径为10 m ，轮子的底部在地面上2 m 处，如果此摩天轮按逆时针转动，每30 s 转一圈，且当摩天轮上某人经过点P 处(点P 与摩天轮中心高度相同)时开始计时．(1)求此人相对于地面的高度关于时间的关系式； (2)在摩天轮转动的一圈内，约有多长时间此人相对于地面的高度不小于17 m.一、选择题1.如图所示，单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置O 的距离s cm 和时间t s 的函数关系式为s ＝6sin(100πt ＋π6)，那么单摆来回摆一次所需的时间为( )A.150 sB.1100 s C ．50 s D ．100 s2．电流强度I (A)随时间t (s)变化的关系式是I ＝5sin(100πt ＋π3)，则当t ＝1200 s 时，电流强度I为( )A ．5 AB ．2.5 AC ．2 AD ．－5 A3.如图所示，设点A 是单位圆上的一定点，动点P 从点A 出发在圆上按逆时针方向旋转一周，点P 所旋转过的弧AP 的长为l ，弦AP 的长为d ，则函数d ＝f (l )的图象大致是( )4．电流强度I (安)随时间t (秒)变化的函数I ＝A sin(ωt ＋φ)(A >0，ω>0,0<φ<π2)的图象如图所示，则当t ＝1100秒时，电流强度是( )A ．－5安B ．5安C ．5 3 安D ．10安5．如图，质点P 在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为P 0(2，－2)，角速度为1，那么点P 到x 轴距离d 关于时间t 的函数图象大致为( )二、填空题6．函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫m 3x ＋π3的最小正周期在⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫23，34内，则正整数m 的值是 ． 7.设偶函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示，△KLM 为等腰直角三角形，∠KML ＝90°，KL ＝1，则f (16)的值为 ．8．某时钟的秒针端点A 到中心点O 的距离为5 cm ，秒针均匀地绕点O 旋转，当时间t ＝0时，点A 与钟面上标12的点B 重合，将A 、B 两点的距离d (cm)表示成t (s)的函数，则d ＝ ，其中t ∈[0,60]．9．已知f (x )＝sin(ωx ＋π3)(ω>0)，f (π6)＝f (π3)，且f (x )在区间(π6，π3)上有最小值，无最大值，则ω＝ . 三、解答题10.如图所示，某地夏天从8～14时的用电量变化曲线近似满足函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (0<φ<π2)．(1)求这一天的最大用电量及最小用电量； (2)写出这段曲线的函数解析式．11.如图，一个水轮的半径为4 m，水轮圆心O距离水面2 m，已知水轮每分钟转动5圈，如果当水轮上点P从水中浮现时(图中点P0)开始计算时间．(1)将点P距离水面的高度z(m)表示为时间t(s)的函数；(2)点P第一次到达最高点大约需要多少时间？12．已知某海滨浴场海浪的高度y(米)是时间t(0≤t≤24，单位：小时)的函数，记作：y＝f(t)，下表是某日各时的浪高数据：t(时)03691215182124y(米)1.51.0.51.1.51.0.50.991.5经长期观测，y＝f(t)的曲线可近似地看成是函数y＝A cos ωt＋b.(1)根据以上数据，求函数y＝A cos ωt＋b的最小正周期T，振幅A及函数表达式；(2)依据规定，当海浪高度高于1米时才对冲浪爱好者开放，请依据(1)的结论，判断一天内的上午8∶00时至晚上20∶00时之间，有多少时间可供冲浪者进行运动？当堂检测答案1．答案 A 2．答案 g4π2 解析 T ＝2πg l ＝1，∴g l ＝2π，∴l ＝g 4π2. 3．答案 20.5解析 由题意得⎩⎨⎧ a ＋A ＝28，a －A ＝18， ∴⎩⎨⎧a ＝23，A ＝5，∴y ＝23＋5cos ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤π6(x －6)，当x ＝10时，y ＝23＋5×⎝⎛⎭⎪⎪⎫－12＝20.5.4．解 (1)设在t s 时，摩天轮上某人在高h m处．这时此人所转过的角为2π30 t ＝π15 t ，故在t s时，此人相对于地面的高度为h ＝10sin π15 t ＋12(t ≥0)．(2)由10sin π15t ＋12≥17，得sin π15t ≥12，则52≤t ≤252.故此人有10 s 相对于地面的高度不小于17 m.课时精练答案一、选择题 1.答案 A 2．答案 B解析当t＝1200时，I＝5sin(π2＋π3)＝5cosπ3＝2.5.3.答案 C解析d＝f(l)＝2sin l 2.4．答案 A解析由图象知A＝10，T2＝4300－1300＝1100，∴ω＝2πT＝100π，∴I＝10sin(100πt＋φ)．(1300，10)为五点中的第二个点，∴100π×1300＋φ＝π2.∴φ＝π6，∴I＝10sin(100πt＋π6)，当t＝1100秒时，I＝－5安．5．答案 C解析∵P0(2，－2)，∴∠P0Ox＝π4，按逆时针转时间t后得∠POP0＝t，∠POx＝t－π4，此时P点纵坐标为2sin(t－π4)，∴d＝2|sin(t－π4)|.当t＝0时，d＝2，排除A、D；当t＝π4时，d＝0，排除B.二、填空题6．答案26,27,28解析∵T＝6πm，又∵23<6πm<34，∴8π<m<9π，且m∈Z，∴m＝26,27,28.7.答案3 4解析取K，L中点N，则MN＝1 2，因此A＝12.由T＝2得ω＝π.∵函数为偶函数，0<φ<π，∴φ＝π2，∴f(x)＝12cos πx，∴f(16)＝12cosπ6＝34.8．答案10sin πt 60解析将解析式可写为d＝A sin(ωt＋φ)的形式，由题意易知A＝10，当t＝0时，d＝0，得φ＝0；当t＝30时，d＝10，可得ω＝π60，所以d＝10sin πt 60.9．答案14 3解析 依题意，x ＝π6＋π32＝π4时，y 有最小值，∴sin(π4·ω＋π3)＝－1，∴π4ω＋π3＝2k π＋3π2(k ∈Z)． ∴ω＝8k ＋143(k ∈Z)，因为f (x )在区间(π6，π3)上有最小值，无最大值，所以π3－π4<πω，即ω<12，令k ＝0，得ω＝143.三、解答题10.解 (1)最大用电量为50万kW·h ， 最小用电量为30万kW·h.(2)观察图象可知从8～14时的图象是y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b 的半个周期的图象，∴A ＝12×(50－30)＝10，b ＝12×(50＋30)＝40. ∵12×2πω＝14－8， ∴ω＝π6.∴y ＝10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π6x ＋φ＋40. 将x ＝8，y ＝30代入上式，又∵0<φ<π2，∴解得φ＝π6. ∴所求解析式为y ＝10sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫π6x ＋π6＋40，x ∈[8,14]．11.解 (1)如图所示建立直角坐标系，设角φ⎝⎛⎭⎪⎪⎫－π2<φ<0是以Ox 为始边，OP 0为终边的角．OP 每秒钟内所转过的角为5×2π60＝π6.则OP 在时间t (s)内所转过的角为π6t . 由题意可知水轮逆时针转动，得z ＝4sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫π6t ＋φ＋2. 当t ＝0时，z ＝0，得sin φ＝－12，即φ＝－π6. 故所求的函数关系式为z ＝4sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫π6t －π6＋2. (2)令z ＝4sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫π6t －π6＋2＝6， 得sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫π6t －π6＝1， 令π6t －π6＝π2，得t ＝4， 故点P 第一次到达最高点大约需要4 s.12．解 (1)由表中数据知周期T ＝12，∴ω＝2πT ＝2π12＝π6，由t ＝0，y ＝1.5，得A ＋b ＝1.5.由t ＝3，y ＝1.0，得b ＝1.0.∴A ＝0.5，b ＝1，∴y ＝12cos π6t ＋1. (2)由题意知，当y >1时才可对冲浪者开放， ∴12cos π6t ＋1>1， ∴cos π6t >0，∴2k π－π2<π6t <2k π＋π2，k ∈Z ， 即12k －3<t <12k ＋3，k ∈Z.①∵0≤t ≤24，故可令①中k 分别为0,1,2， 得0≤t <3或9<t <15或21<t ≤24.∴在规定时间上午8∶00至晚上20∶00之间，有6个小时时间可供冲浪者运动，即上午9∶00至下午3∶00.。

三角函数在物理模型中的应用物理模型是对真实世界的抽象和描述，通过使用数学工具来解决和预测各种物理问题。

其中，三角函数是物理模型中广泛应用的重要数学工具之一。

本文将探讨三角函数在物理模型中的应用，并以实际案例来说明其重要性。

一、三角函数的定义与性质在讨论三角函数在物理模型中的应用之前，我们首先需要了解三角函数的定义与性质。

1. 正弦函数（Sine function）：在直角三角形中，对于某一锐角，正弦函数的值等于该角的对边长度与斜边长度的比值。

记为sin(x)。

2. 余弦函数（Cosine function）：在直角三角形中，对于某一锐角，余弦函数的值等于该角的邻边长度与斜边长度的比值。

记为cos(x)。

3. 正切函数（Tangent function）：在直角三角形中，对于某一锐角，正切函数的值等于该角的对边长度与邻边长度的比值。

记为tan(x)。

二、力学模型中的三角函数应用力学是物理的一个重要分支，描述了物体的运动和受力。

在力学模型中，三角函数可以应用于以下几个方面：1. 周期性运动的描述周期性运动是指在一定时间间隔内反复重复的运动，如振动、波动等。

这类运动可以使用正弦函数或余弦函数来进行描述。

例如，在描述弹簧振子的运动时，可以使用正弦函数来描述其位移随时间变化的规律。

2. 分解力的分析在一个斜面被一个力施加的情况下，可以使用三角函数来分解该力的大小和方向。

通过将该力分解成沿斜面和垂直斜面的分力，可以更好地进行力的分析和计算。

3. 动量和速度的分析在动量和速度的分析中，三角函数可以用来描述物体的速度方向。

例如，在一个斜面上下滑动的物体，其速度可以分解为沿斜面和垂直斜面的分量，这些分量与斜面的角度有关，可以通过三角函数来计算。

三、电磁学模型中的三角函数应用电磁学是研究电荷与电荷之间、电流与电流之间、电荷与电流之间相互作用的学科。

在电磁学模型中，三角函数可以应用于以下几个方面：1. 交流电路中的振荡交流电路中电流和电压的变化具有周期性，可以使用正弦函数或余弦函数来表示电流和电压随时间变化的规律。

三角函数在经济学中的应用周期性趋势和模型三角函数在经济学中的应用：周期性趋势和模型在经济学中，周期性趋势和模型对于预测和分析经济现象至关重要。

三角函数作为数学中的重要工具，广泛应用于经济学中的周期性趋势和模型分析中。

本文将探讨三角函数在经济学中的应用，并介绍常见的周期性趋势模型。

一、周期性趋势的定义和背景周期性趋势是经济学中一种重要的现象，指的是经济变量在一定时间范围内出现周期性波动的趋势。

例如，商品价格、经济指数、消费者支出等经济变量都表现出周期性波动。

对周期性趋势进行分析有助于我们了解经济变量的长期走势和周期性反复。

二、三角函数在周期性趋势中的应用1. 正弦函数模型正弦函数是最常用的描述周期性趋势的函数之一。

它的数学表达式为y = A*sin(ωt + φ)，其中A表示振幅，ω表示角频率，t表示时间，φ表示初相位。

正弦函数模型可以用于描述经济变量在时间上的周期性波动。

例如，在宏观经济中，GDP、劳动力市场等经济指标通常呈现出周期性变动。

我们可以用正弦函数模型来拟合这些经济指标的周期性变动，并进行预测和分析。

2. 余弦函数模型余弦函数也是一种常用的周期性趋势模型。

它的数学表达式为y = A*cos(ωt + φ)，其中A表示振幅，ω表示角频率，t表示时间，φ表示初相位。

余弦函数模型同样适用于描述经济变量的周期性波动。

例如，在股票市场中，股票价格通常呈现出周期性变动。

我们可以利用余弦函数模型对股票价格进行建模，并进行预测和分析。

3. 高阶三角函数模型除了正弦函数和余弦函数，高阶三角函数（如正切函数、余切函数等）也可以用于描述经济变量的周期性趋势。

高阶三角函数模型更加灵活，可以更好地拟合复杂的周期性波动。

三、周期性趋势模型在经济学中的应用案例1. 季节性调整季节性是经济变量中一种特殊的周期性趋势。

季节性调整是一种常用的数据处理方法，通过去除季节性趋势，使经济变量呈现出更加稳定的趋势。

2. 经济周期预测周期性趋势模型可以用于经济周期的预测。

三角函数在经济学模型中的应用与分析在经济学中，数学方法广泛应用于经济模型的建立与分析。

三角函数作为数学的重要分支，也在经济学中发挥着重要的作用。

本文将探讨三角函数在经济学模型中的应用与分析，并举例说明其在实际经济问题中的运用。

一、周期性现象的建模与分析周期性现象在经济学中非常常见，如经济周期、季节性波动等。

而三角函数中的正弦函数正是一个周期性函数，在经济学模型中被广泛应用。

以经济周期为例，经济的波动往往呈现出周期性的特征，即有一定的周期，如繁荣期、衰退期等。

这种波动可以使用正弦函数进行建模。

假设经济周期的长度为T，周期性现象可以表示为y = A*sin(2πt/T)，其中A为振幅，t为时间。

通过对历史数据的分析，我们可以利用三角函数拟合出具体的周期函数，从而对未来的经济发展趋势进行预测与分析。

二、波动的幅度和周期的分析在经济模型中，我们不仅关注波动的周期，还关注波动的幅度。

三角函数的振幅正是描述波动的幅度的重要指标。

以物价指数的波动为例，我们常常使用三角函数来拟合物价指数随时间变化的函数。

通过对振幅的分析，我们可以判断物价波动的幅度，从而制定相应的经济政策。

例如，如果振幅较大，说明物价波动较为剧烈，政府可以采取相关措施来平抑物价的上涨或下降。

三、经济数据的平滑处理与预测在经济学分析中，经济数据的平滑处理与预测是非常重要的一环。

而三角函数在数据平滑处理和预测中发挥了重要作用。

以季节性调整为例，季节性波动对经济数据的影响往往比较明显，为了剔除这种季节性影响，我们可以使用三角函数对数据进行平滑处理。

通过对历史数据的拟合，我们可以得到一个去除季节性影响后的趋势线，从而更好地分析数据的长期趋势。

此外，三角函数还可以用于经济数据的预测。

通过对历史数据的拟合，我们可以建立一个数据的波动模型，并利用该模型对未来的数据进行预测。

这种方法对于经济预测具有一定的参考价值。

四、求解经济学问题中的几何关系三角函数的特性使其可以描述经济学问题中的几何关系，如角度、距离等。