2020-2021学年苏科版数学八年级下册 第10章 分式专题复习——分式方程的应用 教案

第10章《分式》考点+易错整理知识梳理重难点分类解析考点1 分式的概念及性质【考点解读】分式的概念主要内容包括分式的定义、分式有意义的条件、分式的值等;分式的性质包括分式的基本性质、通分和约分.中考中对该知识点要求较低，多以基础题的形式出现.例1 (2018·盐城)要使分式12x -有意义，则x 的取值范围是 . 分析:当分母20x -≠，即2x ≠时，分式12x -有意义.答案: 2x ≠【规律·技法】若分式有意义，则分母不等于零. 【反馈练习】 1.分式29x -在实数范围内有意义，则x 的取值范围是 . 点拨:当分母不为0时，分式有意义.2.在代数式21331,,,2x xy a x y mπ+++中，分式的个数有( ) A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 1个点拨:根据分式是分母中含有字母的式子进行判断即可. 考点2 分式的运算 【考点解读】分式的运算包括分式的加减和分式的乘除，分式的基本性质是解决分式运算问题的关键，在中考中分式的运算多以计算题出现，属于简单题.例2 (2018·泰州)化简: 22169(2)11x x x x x -++-÷+-. 分析:本题考查分式的化简，先算括号内的减法，把除式分子和分母中多项式因式分解，同时把除法变为乘法再约分化简. 解答:原式= 222(1)1(1)(1)3(1)(1)1[]11(3)1(3)3x x x x x x x x x x x x x x +-+-++---⋅=⋅=++++++【规律·技法】整式与分式进行运算时，常把整式化为分式形式后再进行通分. 【反馈练习】3.化简：11(2)()a a a a++÷-.点拨:先算括号内加减法，再利用除法法则把除法运算变为乘法运算，并且因式分解分式中复杂的因式最后约分化为最简分式. 4. (2018·淮安)先化简，再求值: 212(1)11a a a -÷+-，其中3a =-.点拨:先把括号中的式子通分，再把除法转化为乘法进行化简，最后把a 的值代入化简后的式子计算求值. 考点3 分式方程【考点解读】分式方程的解法主要利用转化的数学思想，即把分式方程转化为整式方程，再进行求解，转化过程中可能会出现增根，故在解分式方程时一定要检验.中考中常以简单的计算题出现，遗忘检验是失分的主要原因. 例3 (2018·镇江)解方程:2121x x x =++-. 分析:两边同时乘最简公分母，将分式方程转化为整式方程，然后解答，检验后确定方程的解.解答:两边同时乘(2)(1)x x +-，得(1)2(2)(2)(1)x x x x x -=+++-.去括号，得22242x x x x x -=+++-.移项、合开同类项，得42x =-.系数化为1,得12x =-.检验:当12x =-时，(2)(1)0x x +-≠.故12x =-是原分式方程的解.【规律·技法】分式方程的解法主要用到转化的数学思想，通过方程两边同乘最简公分母，把分式方程化为整式方程后再进行求解，检验是解分式方程必不可少的步骤. 【反馈练习】5.若关于x 的分式方程1244m xx x-=---有增根，则实数m 的值是 . 点拨:先去分母转化为整式方程，利用方程有增根，使分式方程的分母为0的x 的值，代入整式方程即可解决问题. 6.解方程:14555x x x-+=--.点拨:先去分母化为整式方程，再解方程，最后检验方程的根是否是增根. 考点4 列分式方程解决问题 【考点解读】列分式方程解决问题的关键是要找出问题的等量关系，根据等量关系列出方程从而解决问题，在解方程时要注意进行检验.例4 (2018·徐州)徐州至北京的高铁里程约为700 km ，甲、乙两人从徐州出发，分别乘坐“徐州号”高铁A 与“复兴号”高铁B 前往北京.已知A 车的平均速度比B 车的平均速度慢80 km/h, A 车的行驶时间比B 车的行驶时间多40%，两车的行驶时间分别为多少? 分析:解题关键是找出解决问题的等量关系列出方程.设B 车行驶的时间为t h ，则A 车行驶的时间为1.4t h ，根据速度=路程÷时间得出关于t 的分式方程，解此分式方程并检验即可得出结论.解答:设B 车行驶的时间为t h ，则A 车行驶的时间为1.4t h.由题意，得700700801.4t t-=，解得t = 2.5.经检验，t = 2.5是所列方程的解.则1.4t = 3.5.故A 车行驶的时间为3.5h ,B 车行驶的时间为2.5h .【规律·技法】行程问题的等量关系主要体现在速度、时间和路程的关系，如速度×时间=路程，路程÷时间=速度，路程÷速度=时间，掌握基本的等量关系是解题的关键. 【反馈练习】7.某漆器厂接到制作480件漆器的订单，为了尽快完成任务，该厂实际每天制作的件数比原 来每天多50%，结果提前10天完成任务，原来每天制作多少件?点拨:本题考查了分式方程的应用，解题的关键是根据题意列出符合等量关系的分式方程并正确求解检验。

分式复习教学目标：1.了解分式和最简分式的概念，能利用分式的基本性质进行约分和通分；2.能进行简单的分式加、减、乘、除运算重难点：熟练掌握分式的化简求值考点要求：分式这节内容在历年中考中主要考查分式的概念、分式的意义、分式的性质及运算，以选择题、填空题居多，分式的化简求值是重点考查内用，主要以解答题的形式出现。

一、基础知识梳理：★知识点一：分式的概念：整式A除以整式B，可以表示成的形式，如果除式B中含有，那么称为分式．其中A称为分式的分子，B称为分式的分母。

★知识点二：分式有关的条件：①若，则分式有意义；②若，则分式无意义；③若，则分式的值＝0.◆小练习一：1.在代数式中，分式共有_____个2、当x 时，分式x-13有意义。

3、分式)3)(1(12---x x x 有意义的条件是_________，值为零的条件是 。

4.当x 时，分式 无意义。

5、若分式 无意义，则x= 。

★知识点三：分式的基本性质：分式的分子与分母都乘以（或除以） ，分式的 ．用式子表示为 .★知识点四：1.约分：把一个分式的分子和分母的 约去，这种变形称为分式的约分．约分的依据是2.约分的结果是：________________3.约分时要注意：（1）要找出分子分母的公因式；242--x x 1-x x（2）分子、分母是多项式的要先分解因式再约分； （3）约分要彻底。

★知识点五：最简分式 ：分子与分母中不含_____________的分式◆小练习二：1、下列分式中是最简分式的是（ ）12.2+x x A x B 24. 11.2--x x C 11.--x x D2.化简下列分式：164)2(22--x x x想一想：如何进行约分？ 约分的技巧：1.如果分式的分子、分母都是单项式，先找出分子和分母的__ ______，然后直接约去。

2.如果分式的分子、分母中含有多项式，往往先把多项式进行____________，再约去公因式。

第十章 中心对称图形——平行四边形一、知识结构梳理二、重点专题解析专题1 分式有意义的条件与分式的值例1：当x 时，分式xx112-有意义。

例2：若分式)3)(2(2-+-x x x的值为0,则x 的值为 专题2 分式的基本性质与化简 例3：化简：222n m mnn m n n m m --+--例4：如图①、图②，设图②中阴影部分的面积图①中阴影部分的面积=k 0＞＞b a ，则有（ ）A.k ＞2B.1＜k ＜2C.121＜＜k D.210＜＜k专题3 分式方程与增根 例5：已知关于x 的分式方程112=++x a 的解是非正数。

则a 的取值范围是专题4 运用整体思想化繁为简 例6:设m ＞n ＞0，m 2+n 2=4mn ，则mnn m 22-的值为例7：如图实数满足x2+2x-3=0,那么代数式11)2`1(2+÷++x x x 的值为专题5 数学建模类型例8：甲乙两个工程队共同承担一项筑路任务，甲队单独施工完成此项任务比乙队单独施工完成此项任务多用10天，且甲队单独施工45天和乙队单独施工30天的工作量相同． （1）甲、乙两队单独完成此项任务需要多少天？（2）若甲、乙两队共同工作了3天后，乙队因设备检修停止施工，由甲队继续施工，为了不影响工程进度，甲队的工作效率提高到原来的2倍，要使甲队总的工作量不少于乙队的工作量的2倍，那么甲队至少再单独施工多少天？三、中考能力达标1.下列运算正确的是( )A.x 10÷x 5=x 2B.x -4·x=x -3C.x 3·x 2=x 6D.(2x -2)-3=-8x 62. 一件工作,甲独做a 小时完成,乙独做b 小时完成,则甲、乙两人合作完成需要( )小时. A.11a b + B.1ab C.1a b + D.aba b+ 3.化简a b a b a b --+等于( )A.2222a b a b +- B.222()a b a b +- C.2222a b a b -+ D.222()a b a b +- 4.若分式2242x x x ---的值为零,则x 的值是( )A.2或-2 B.2 C.-2 D.45.不改变分式52223x yx y -+的值,把分子、分母中各项系数化为整数,结果是( )A.2154x y x y -+ B.4523x y x y -+ C.61542x y x y -+ D.121546x yx y-+6.分式:①223a a ++,②22a b a b --,③412()a a b -,④12x -中,最简分式有( )A.1个 B.2个 C.3个 D.4个7.计算4222xx x x x x⎛⎫-÷⎪-+-⎝⎭的结果是( )A. -12x + B. 12x + C.-1 D.1 8.若关于x 的方程x a cb x d-=- 有解,则必须满足条件( ) A. a ≠b ，c ≠d B. a ≠b ，c ≠-d C.a ≠-b , c ≠d C.a ≠-b , c ≠-d9.若关于x 的方程ax=3x-5有负数解,则a 的取值范围是( )A.a<3 B.a>3 C.a ≥3 D.a ≤3 10.解分式方程2236111x x x +=+--,分以下四步,其中,错误的一步是( ) A.方程两边分式的最简公分母是(x-1)(x+1)B.方程两边都乘以(x-1)(x+1),得整式方程2(x-1)+3(x+1)=6C.解这个整式方程,得x=1D.原方程的解为x=111.把下列有理式中是分式的代号填在横线上 ．(1)－3x ；(2)y x ；(3)22732xy y x -；(4)－x 81；(5) 35+y ； (6)112--x x ；(7)－π-12m ； (8)5.023+m .12.当a 时，分式321+-a a 有意义． 13.若x=2-1,则x+x -1=__________. 14.某农场原计划用m 天完成A 公顷的播种任务,如果要提前a 天结束,那么平均每天比原计划要多播种_________公顷.15.计算1201(1)5(2004)2π-⎛⎫-+-÷- ⎪⎝⎭的结果是_________.16.已知u=121s s t -- (u ≠0),则t=___________. 17.当m=______时,方程233x mx x =---会产生增根. 18.用科学记数法表示:12.5毫克=________吨. 19.当x 时，分式xx--23的值为负数． 20.计算(x+y)·2222x y x y y x+-- =____________.2123651x x x x x+----; 22.2424422x y x y x x y x y x y x y ⋅-÷-+-+.23、（1）x x x x --=-+222； （2）41)1(31122=+++++x x x x（3）1131222=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x x x （4）3124122=---x x x x24、已知方程11122-+=---x x x m x x ，是否存在m 的值使得方程无解？若存在，求出满足条件的m 的值；若不存在，请说明理由。

第十章分式单元综合测试一．选择题1．在中，是分式的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个2．若分式有意义，则x满足的条件是（）A．x＝5B．x≠5C．x＝0D．x≠03．下列分式中，最简分式是（）A．B．C．D．4．下列约分正确的是（）A．＝x3B．＝0C．＝x+y D．＝x﹣y5．如果把分式中的x，y同时扩大为原来的4倍，那么该分式的值（）A．不变B．扩大为原来的4倍C．缩小为原来的D．缩小为原来的6．化简+的结果是（）A．x+y B．x﹣y C．D．7．化简÷的结果是（）A．x+3B．x﹣3C．3﹣x D．﹣6x8．如果a2+a﹣1＝0，那么代数式（1﹣）÷的值是（）A．3B．1C．﹣1D．﹣39．为有效解决交通拥堵问题，营造路网微循环，某市决定对一条长860m的道路进行拓宽改造．为了减轻施工对城市交通造成的影响，实际施工时，每天改造道路的长度比原计划增加10%，结果提前6天完成任务．求实际每天改造道路的长度与实际施工天数．珍珍同学根据题意列出方程﹣＝6；文文同学根据题意列出方程＝×（1+10%）．已知两人的答案均正确，则下列说法正确的是（）A．x，y代表相同的含义B．x表示实际每天改造道路的长度C．y表示实际施工天数D．表示实际每天改造道路的长度10．如果关于x的不等式组有且只有四个整数解，且关于x的分式方程＝﹣8的解为非负数，则符合条件的所有整数a的个数为（）A．1B．2C．3D．4二．填空题11．若分式的值为0，则x＝．12．化简：＝．13．分式与的最简公分母为．14．计算：＝．15．计算：＝．16．计算的结果等于．17．方程＝﹣2的解是．18．要使的值和的值互为相反数，则x的值是．19．如果方程+＝0不会产生增根，那么k的取值范围是．20．某校要建立两个计算机教室，为此要购买相同数量的A型计算机和B型计算机．已知一台A 型计算机的售价比一台B型计算机的售价便宜400元，如果购买A型计算机需要224000元，购买B型计算机需要240000元．求一台A型计算机和一台B型计算机的售价分别是多少元．设一台B型计算机的售价是x元，依题意列方程为．三．解答题21．已知x＝﹣4时，分式无意义，x＝2时，此分式的值为零，求分式的值．22．约分：（1）（2）23．计算：．24．计算下列各式：（1）•；（2）÷（x﹣2）•．25．解方程：＝1．26．某超市用4000元购进某种牛奶，面市后供不应求，超市又用1万元购进第二批这种牛奶，所购数量是第一批的2倍，但单价贵了2元．（1）第一批牛奶进货单价为多少元？（2）超市销售两批牛奶售价相同，两批全部售完后要求获利不少于4000元，则售价至少为多少元？27．我们定义：如果两个分式A与B的差为常数，且这个常数为正数，则称A是B的“雅中式”，这个常数称为A关于B的“雅中值”．如分式A＝，B＝，A﹣B＝﹣（）＝＝＝2，则A是B的“雅中式”，A关于B的“雅中值”为2．（1）已知分式C＝，D＝，判断C是否为D的“雅中式”，若不是，请说明理由，若是，请证明并求出C关于D的“雅中值”；（2）已知分式P＝，Q＝，P是Q的“雅中式”，且P关于Q的“雅中值”是2，x为整数，且“雅中式”P的值也为整数，求E所代表的代数式及所有符合条件的x的值之和；（3）已知分式M＝，N＝（a，b，c为整数），M是N的“雅中式”，且M关于N的“雅中值”是1，求a﹣b+c的值．参考答案一．选择题1．解：的分母中含有字母，属于分式，其他的属于整式．故选：B．2．解：∵分式有意义，∴x﹣5≠0，∴x≠5，故选：B．3．解：A、＝，所以A选项不符合；B、＝，所以B选项不符合；C、＝＝，所以C选项不符合；D、为最简分式，所以D选项符合．故选：D．4．解：A、原式＝x4，所以A选项错误；B、原式＝1，所以B选项错误；C、为最简分式，所以C选项错误；D、原式＝＝x﹣y，所以D选项正确．故选：D．5．解：x，y同时扩大为原来的4倍，则有＝＝•，∴该分式的值是原分式值的，故选：D．6．解：原式＝﹣＝＝＝x﹣y．故选：B．7．解：原式＝•＝x﹣3．故选：B．8．解：原式＝（﹣）÷＝•＝＝，∵a2+a﹣1＝0，∴a2+a＝1，则原式＝＝3，故选：A．9．解：若设原计划每天改造道路x米，则实际每天改造道路（1+10%）x米，根据题意，可列方程﹣＝6；若设实际施工天数为y天，则原计划施工的天数为（y+6）天，根据题意，可列方程＝×（1+10%）；所以x，y代表不同的含义，表示计划每天改造道路的长度．故选：C．10．解：，不等式组化简为，由不等式组有且只有四个整数解，得到，2＜解得：6≤a＜10，即整数a＝6，7，8，9，，分式方程去分母得：ax﹣28＝﹣8（4﹣x）解得：x＝，由分式方程的解为非负数以及分式有意义的条件，a﹣8＜0，解得：a＜8，故a＝6和7．故选：B．二．填空题11．解：由题意得：x2﹣1＝0，且1﹣x≠0，解得：x＝﹣1．故答案为：﹣1．12．解：原式＝＝．故答案为．13．解：分式与的分母为2x2y和6xy2，系数的最小公倍数是6，再取x2和y2，可得最简公分母为6x2y2，故答案为6x2y2．14．解：原式＝+＝+＝+＝＝．故答案为：．15．解：原式＝[﹣]•＝﹣•＝﹣•＝﹣2（a+3）＝﹣2a﹣6．故答案为：﹣2a﹣6．16．解：原式＝•＝．故答案为：．17．解：去分母得：2x＝3﹣2（2x﹣2），去括号得：2x＝3﹣4x+4，移项合并得：6x＝7，解得：x＝，检验：把x＝代入得：2x﹣2＝﹣2＝≠0，则x＝是分式方程的解．故答案为：x＝．18．解：根据题意可得：+＝0，去分母得：x﹣5+2x﹣4＝0，解得：x＝3，经检验，x＝3是原分式方程的解，故答案为3．19．解：+＝0，去分母得，2k+x＝0，当x＝﹣2时，会产生增根，把x＝﹣2代入整式方程得，2k﹣2＝0，解得k＝1，∴解方程+＝0时，不会产生增根，实数k的取值范围为k≠1．故答案是：k≠1．20．解：设一台B型计算机的售价是x元，则一台A型计算机的售价是（x﹣400）元，依题意得：＝．故答案为：＝．三．解答题21．解：∵分式无意义，∴2x+a＝0即当x＝﹣4时，2x+a＝0．解得a＝8∵分式的值为0，∴x﹣b＝0，即当x＝2时，x﹣b＝0．解得b＝2∴．22．解：（1）＝；（2）原式＝＝．23．解：原式＝＝＝＝．24．解：（1）原式＝；（2）原式＝••＝．25．解：方程两边同乘以（x+3）（x﹣1）得：2x（x﹣1）﹣24＝（x+3）（x﹣1），整理得：2x2﹣2x﹣24＝x2+2x﹣3，则x2﹣4x﹣21＝0，（x﹣7）（x+3）＝0，解得：x1＝7，x2＝﹣3，检验：当x＝﹣3时，（x+3）（x﹣1）＝0，故x＝﹣3是方程的增根，当x＝7时，（x+3）（x﹣1）≠0，故x＝7是原方程的根．26．解：（1）设第一批牛奶进货单价为x元，则第二批牛奶进货单价为（x+2）元，依题意可得：＝2×，解得x＝8．经检验x＝8是方程的解，答：第一批牛奶进货单价为8元；（2）设售价为y元，依题意可得：×（y﹣8）+2××（y﹣10）≥4000，解得y≥12．答：售价至少为12元．27．（1）C是D的“雅中式”，理由如下，＝＝．即：C不是D的“雅中式”．（2）．∵P是Q的雅中式．又∵P关于Q的雅中值为2．∴E﹣2x2﹣6x＝2（9﹣x2）．∴E＝6x+18．∴P＝＝＝．∵P的值也为整数，且分式有意义．故3﹣x＝±1，或3﹣x＝±2，或者3﹣x＝±3，或3﹣x＝±6，∴x的值为：﹣3，0，1，2，4，5，6，9．∵x≠±3．∴x的值为：﹣3，0，1，2，4，5，6，9．符合条件的x的值之和为：0+1+2+4+5+9＝27．（3）∵M是N的“雅中式”，且M关于N的“雅中值”是1．＝1．整理得：（﹣b﹣c+a+4）x+bc﹣5a＝0．由上式子恒成立，则：．消去a得：bc﹣5b﹣5c+20＝0．∴b（c﹣5）﹣5（c﹣5）＝5．∴（b﹣5）（c﹣5）＝5．∵a、a、c的整数．∴b﹣5、c﹣5也是整数．当b﹣5＝1、c﹣5＝5时，b＝5，c＝10，此时a＝12．∴a﹣b+c＝16．当b﹣5＝5、c﹣5＝1时，b＝10，c＝6，此时a＝12．∴a﹣b+c＝8．当b﹣5＝﹣1、c﹣5＝﹣5时，b＝4，c＝0，此时a＝0．∴a﹣b+c＝﹣4．当b﹣5＝﹣5、c﹣5＝﹣1时，b＝0，c＝4，此时a＝0．∴a﹣b+c＝4．综上：a﹣b+c的值为：16或8或﹣4或4．。

八下第10章《分式》知识点与拓展训练一、分式的定义：一般地， 。

二、与分式有关的条件：①分式有意义： ；②分式无意义： ；③分式值为0： ；④分式值为正或大于0： ；⑤分式值为负或小于0： ；⑥分式值为1： ； ⑦分式值为-1： ；三、分式的基本性质：分式的 分式的值不变。

字母表示： 其中A 、B 、C 是整式，C ≠0。

拓展：分式的符号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变， 即：BB A B B --=--=--=AA A 注意：在应用分式的基本性质时，要注意C ≠0这个限制条件和隐含条件B ≠0。

四、分式的约分：1．定义： 叫做分式的约分。

2．步骤：把分式分子分母 ，然后约去分子与分母的 。

3．注意：①分式的分子与分母均为单项式时可直接约分，约去分子、分母系数的最大公约数，然后约去分子分母相同因式的最低次幂。

②分子分母若为多项式，先对分子分母进行因式分解，再约分。

4．最简分式的定义： ，叫做最简分式。

◆约分时。

分子分母公因式的确定方法：1)系数取分子、分母系数的 公约数作为公因式的系数. 2)取各个公因式的 次幂作为公因式的因式.3)如果分子、分母是多项式,则应先把分子、分母 因式,然后判断公因式.五、分式的通分：1．定义： 叫做分式的通分。

（依据：分式的基本性质！）2．最简公分母：取各分母所有因式的 次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母。

◆通分时，最简公分母的确定方法：1．系数取各个分母系数的 公倍数作为最简公分母的系数. 2．取各个公因式的 次幂作为最简公分母的因式.3．如果分母是多项式,则应先把每个分母 因式,然后判断最简公分母.六、分式的四则运算与分式的乘方：① 分式的乘除法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的 ， 的积作为积的分母。

式子表示为：db ca d cb a ••=•分式除以分式：把除式的 、 颠倒位置后，与被除式相乘。

式子表示为：cc ••=•=÷b da db a dc b a ② 分式的乘方：把 、 分别乘方。

2021年度苏科版八年级数学下册《第10章分式》章末综合知识点分类训练（附答案）一．分式的定义1．下列式子中是分式的是（）A．B．C．D．2．在有理式﹣π，中，分式有个．3．阅读材料，完成下列任务：部分分式分解我们知道，将一个多项式转化成若干整式的积的形式，叫做分解因式．分解因式的结果中，每一个因式的次数都低于原来多项式的次数．而有一些特殊的分式可以分解成若干分式的和的形式，我们称之为部分分式分解．例如：将部分分式分解的方法如下：因为x2﹣9＝（x+3）（x﹣3），所以设＝+．去分母，得6＝A（x﹣3）+B（x+3）．整理，得6＝（A+B）x+3（B﹣A）．所以，解得．所以＝+，即＝﹣．显然，部分分式分解的结果中，各分母的次数都低于原分式分母的次数．任务：（1）将部分分式分解；（2）已知部分分式分解的结果是+，则M+N的值为．二．分式有意义的条件4．若分式在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是（）A．x≠1B．x≠﹣1C．x≥1D．x＞﹣15．要使有意义，则x的取值范围是．三．分式的值为零的条件6．若分式的值为0，则x的值为（）A．﹣3B．2C．3D．0 7．当x的值为时，分式的值为0．8．当x为何值时，分式的值为0？四．分式的值9．若5a﹣6b＝0，且ab≠0，则的值等于（）A．B．C．1D．﹣1 10．若分式的值大于0，则x满足的条件是．11．已知实数x，y，a，b满足a﹣b＝x﹣y＝3，ax+by＝7．（1）求ay+bx的值；（2）求的值．五．分式的基本性质12．下列变形一定正确的是（）A．B．C．D．13．若成立，则x的取值范围是．14．在括号内填上适当的数：＝．六．约分15．化简分式的结果是（）A．B．C．y+1D．16．化简：＝．17．约分：（1）；（2）；（3）．七．通分18．把，通分，下列计算正确是（）A．＝，＝B．＝，＝C．＝，＝D．＝，＝19．，，的最简公分母是．20．把、和通分，并比较它们的大小．八．最简分式21．下列分式中是最简分式的是（）A．B．C．D．22．下列4个分式：①；②；③；④，中最简分式有个．九．最简公分母23．分式与的最简公分母是（）A．12xy2B．24xy2C．6y2D．4xy24．分式与的最简公分母是．十．分式的乘除法25．化简的结果是（）A．y B．C．D．26．已知：×2＝+2，×3＝+3，×4＝+4，…，若×10＝+10（a、b都是正整数），则a+b的值是．27．计算：÷．十一．分式的加减法28．化简：＝（）A．1B．0C．x D．﹣x29．计算+的结果是．30．计算：﹣．十二．分式的混合运算31．下列计算正确的是（）A．1+＝B．C．a÷b•＝a D．32．计算：（+）÷（）＝．33．计算：（1）a（a﹣2b）﹣（a+b）2；（2）÷（﹣x+2）．十三．分式的化简求值34．若a＝1，则的值为（）A．2B．﹣2C．D．35．如图，若x＝，则表示÷（1﹣）的值的点落在．（填序号）36．先化简，再求值：（1﹣）÷，其中a＝（2021﹣π）0．十四．列代数式（分式）37．某河两地相距s千米，船在静水中的速度为a千米/时，水流速度为b千米/时，船往返一次所用的时间为（）小时A．B．C．+D．+38．一艘轮船在静水中的速度为a千米/时，若A、B两个港口之间的距离为50千米，水流的速度为b千米/时，轮船往返两个港口之间一次需小时．十五．分式方程的定义39．下列方程是分式方程的是（）A．B．C．x2﹣1＝0D．2x+1＝3x十六．分式方程的解40．若分式方程＝无解，则实数a的值为（）A．1B．1或C．D．1或241．关于x的分式方程＝﹣1的解是负数，则m的取值范围是．十七．解分式方程42．解分式方程2﹣＝，去分母得（）A．2（2﹣6x）﹣1＝1B．2（2﹣6x）﹣2＝1C．2（2﹣6x）+2＝1D．2（2﹣6x）+2＝﹣143．对于两个不相等的实数a、b，我们规定符号min{a，b}表示a、b中的较小值，如：min{1，2}＝1，按照这个规定，方程min{x，﹣x}＝的解为．十八．换元法解分式方程44．用换元法解方程，设＝y，那么换元后，方程可化为整式方程正确的是（）A．3y+＝B．2y2﹣7y+2＝0C．3y2﹣7y+1＝0D．6y2﹣7y+2＝0 45．用换元法解方程﹣＝3时，如果设＝y，那么原方程化成以y为“元”的方程是．十九．分式方程的增根46．方程﹣＝增根为（）A．1B．±1C．﹣1D．047．如果在解关于x 的分式方程+＝2时出现了增根x＝1，那么常数k的值为．二十．由实际问题抽象出分式方程48．2020年5月1日，北京市正式实施《北京市生活垃圾管理条例》，生活垃圾按照厨余垃圾，可回收物，有害垃圾，其他垃圾进行分类．小红所住小区5月和12月的厨余垃圾分出量和其他三种垃圾的总量的相关信息如下表所示：月份5月12月类别厨余垃圾分出量（千克）6608400其他三种垃圾的总量（千克）x x如果厨余垃圾分出率＝×100%（生活垃圾总量＝厨余垃圾分出量+其他三种垃圾的总量），且该小区12月的厨余垃圾分出率约是5月的厨余垃圾分出率的14倍，那么下面列式正确的是（）A．×14＝B．×14＝C．＝×14D．×14＝49．某工厂生产一批零件，计划20天完成，若每天多生产5个，则16天完成且还多生产8个．设原计划每天生产x个，根据题意可列分式方程为．二十一．分式方程的应用50．某班在植树节时需完成一批植树任务，若由全班学生一起完成每人需植树8棵；若由女生单独完成每人需植树12棵，则由男生单独完成每人需植树棵．参考答案1．解：A、它的分母中不含有字母，是整式，故本选项不符合题意；B、它的分母中不含有字母，是整式，故本选项不符合题意；C、它是分式，故本选项符合题意；D、它是分数，故本选项不符合题意；故选：C．2．解：分式有，，，共3个，故答案为：3．3．解：（1）∵x2﹣4x＝x（x﹣4），∴设，去分母，得8＝A（x﹣4）+Bx，整理，得8＝（A+B）x﹣4A，所以，，解得，，所以，，即．（2）＝＝，∵，∴，∴M+N＝1，故答案为：1．二．分式有意义的条件4．解：若分式在实数范围内有意义，则x+1≠0，解得：x≠﹣1．故选：B．5．解：由题意得，2x﹣3≠0，解得，．故答案为：．三．分式的值为零的条件6．解：∵分式的值为0，∴x+3＝0，x﹣2≠0，解得，x＝﹣3，故选：A．7．解：由题意得：x+4＝0，且x≠0，解得：x＝﹣4，故答案为：﹣4．8．解：∵分式的值为0，∴，解得x＝0且x≠3，∴x＝0．∴当x＝0时，分式的值为0．四．分式的值9．解：∵5a﹣6b＝0，∴5a＝6b，∴＝＝＝．故选：B．10．解：∵＞0，∴x﹣1＞0，∴x＞1，∵x﹣1≠0，∴x≠1；故答案为：x＞1．11．解：（1）∵a﹣b＝x﹣y＝3，∴a＝3+b，x＝3+y，∵ax+by＝7，∴（3+b）（3+y）+by＝7，∴3b+3y+2by＝﹣2，∵ay+bx＝y（3+b）+b（3+y）＝3y+3y+2by＝﹣2；（2）原式＝＝＝＝﹣．五．分式的基本性质12．解：A、分式的分子分母都乘减去2，分式的值改变，故A错误；B、分式的分子分母都乘以同一个不为零的整式，分式的值不变，而c可能为0，故B错误；C、分式的分子分母都乘以同一个不为零的整式，分式的值不变，而x不为0，故C正确；D、分子分母都平方，分式的值可能改变，故D错误；故选：C．13．解：由题意可知：x﹣1≠0，∴x≠1，故答案为：x≠114．解：＝＝．故答案为：12．六．约分15．解：＝＝，故选：B．16．解：原式＝＝．故答案为：．17．解：（1）原式＝＝；（2）原式＝＝m；（3）原式＝＝．七．通分18．解：两分式的最简公分母为3a2b2，A、通分后分母不相同，不符合题意；B、＝，＝，符合题意；C、通分后分母不相同，不符合题意；D、通分后分母不相同，不符合题意，故选：B．19．解：，，的公分母是12（x﹣y）x2y．故答案为：12（x﹣y）x2y．20．解：＝，＝，＝，∵＜＜，∴＜＜．八．最简分式21．解：A、，分式的分子和分母（除1外）没有其它的公因式，是最简分式，故本选项符合题意；B、，不是最简分式，故本选项不符合题意；C、，不是最简分式，故本选项不符合题意；D、，不是最简分式，故本选项不符合题意；故选：A．22．解：①是最简分式；②＝＝，不是最简分式；③＝，不是最简分式；④是最简分式；最简分式有①④，共2个；故答案为：2．九．最简公分母23．解：6和4的最小公倍数是12，则分式与的最简公分母是12xy2，故选：A．24．解：分式与的最简公分母是2a2b2c．故答案为2a2b2c．十．分式的乘除法25．解：原式＝（﹣）÷＝•＝，故选：C．26．解：∵×2＝+2，×3＝+3，×4＝+4，…，若×10＝+10（a、b都是正整数），∴a＝10，b＝10﹣1＝9，∴a+b＝19．故答案为：19．27．解：原式＝÷＝•＝．十一．分式的加减法28．解：原式＝＝＝x，故选：C．29．解：原式＝﹣＝＝＝，故答案为：．30．解：原式＝﹣＝＝＝﹣．十二．分式的混合运算31．解：（A）原式＝，故A错误．（B）原式＝+＝，故B错误．（C）原式＝aו＝，故C错误．故选：D．32．解：原式＝[﹣]÷＝•＝﹣．故答案为：﹣．33．解：（1）原式＝a2﹣2ab﹣a2﹣2ab﹣b2＝﹣4ab﹣b2；（2）原式＝÷＝÷＝•＝﹣．十三．分式的化简求值34．解：原式＝＝＝a﹣3，当a＝1时，原式＝1﹣3＝﹣2，故选：B．35．解：原式＝÷＝•＝x﹣1，当x＝时，原式＝﹣1≈2.235﹣1＝1.235，则表示÷（1﹣）的值的点落在③．故答案为：③．36．解：（1﹣）÷＝•＝•＝，当a＝（2021﹣π）0＝1时，原式＝＝﹣．十四．列代数式（分式）37．解：∵船在静水中的速度为a千米/时，水流速度为b千米/时，∴船顺流航行的速度是：（a+b）千米/时，船逆流航行的速度是：（a﹣b）千米/时，∵两地相距s千米，∴船顺流航行的时间是小时，船逆流航行的时间是小时，∴船往返一次所用的时间为+小时；故选：D．38．解：由题意可得，假设A到B顺流，则B到A逆流，轮船往返两个港口之间需要的时间为：＝小时，故答案为：．十五．分式方程的定义39．解：A、该方程属于一元一次方程，不符合题意．B、该方程属于分式方程，符合题意．C、该方程属于一元二次方程，不符合题意．D、该方程属于一元一次方程，不符合题意．故选：B．十六．分式方程的解40．解：＝，去分母得：x﹣2＝ax﹣3，（a﹣1）x＝1，∵分式方程＝无解，∴把x＝2代入得：2（a﹣1）＝1，解得：a＝；或a﹣1＝0，解得：a＝1．故实数a的值为1或．故选：B．41．解：∵＝﹣1，∴x＝﹣2m﹣1，∵关于x的分式方程＝﹣1的解是负数，∴﹣2m﹣1＜0，解得：m＞﹣0.5，当x＝﹣2m﹣1＝﹣1时，方程无解，∴m≠0，∴m的取值范围是：m＞﹣0.5且m≠0．故答案为：m＞﹣0.5且m≠0．十七．解分式方程42．解：方程两边都乘以（2﹣6x），去分母得：2（2﹣6x）+2＝1．故选：C．43．解：当x＞﹣x，即x＞0时，方程变形得：﹣x＝，整理得：x2+2x+1＝0，即（x+1）2＝0，解得：x1＝x2＝﹣1，不符合题意，舍去；当x＜﹣x，即x＜0时，方程变形得：x＝，方程整理得：x2﹣2x＝1，即（x﹣1）2＝2，解得：x1＝1+（不符合题意，舍去），x2＝1﹣，经检验x＝1﹣是分式方程的解，综上，方程的解为x＝1﹣．十八．换元法解分式方程44．解：，设＝y，则原方程化为3y+＝，即6y2﹣7y+2＝0，故选：D．45．解：﹣＝3时，如果设＝y，那么原方程化成以y为“元”的方程是y﹣＝3，故答案为：y﹣＝3．十九．分式方程的增根46．解：方程两边都乘以（x+1）（x﹣1）得：12﹣6（x+1）＝x﹣1，解得：x＝1，经检验x＝1不是原方程的根，是原方程的增根，故选：A．47．解：分式方程去分母得：x﹣k＝2x﹣2，解得：x＝2﹣k，由分式方程的增根为x＝1，得到2﹣k＝1，解得：k＝1，故答案为：1二十．由实际问题抽象出分式方程48．解：根据题意知，×14＝．故选：B．49．解：设原计划每天生产x个，根据题意可列分式方程为，故答案为：．二十一．分式方程的应用50．解：设单独由男生完成，每人应植树x棵．那么根据题意可得出方程：+＝，解得：x＝24．检验得x＝24是方程的解．因此单独由男生完成，每人应植树24棵．故答案为：24．。

八下第10章《分式》知识点与拓展训练一、分式的定义：一般地， 。

二、与分式有关的条件：①分式有意义： ；②分式无意义： ；③分式值为0： ；④分式值为正或大于0： ；⑤分式值为负或小于0： ；⑥分式值为1： ；⑦分式值为-1： ；三、分式的基本性质：分式的 分式的值不变。

字母表示： 其中A 、B 、C 是整式，C ≠0。

拓展：分式的符号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变， 即：BB A B B --=--=--=A A A注意：在应用分式的基本性质时，要注意C≠0这个限制条件和隐含条件B≠0。

四、分式的约分：1．定义：叫做分式的约分。

2．步骤：把分式分子分母，然后约去分子与分母的。

3．注意：①分式的分子与分母均为单项式时可直接约分，约去分子、分母系数的最大公约数，然后约去分子分母相同因式的最低次幂。

②分子分母若为多项式，先对分子分母进行因式分解，再约分。

4．最简分式的定义：，叫做最简分式。

◆约分时。

分子分母公因式的确定方法：1)系数取分子、分母系数的公约数作为公因式的系数.2)取各个公因式的次幂作为公因式的因式.3)如果分子、分母是多项式,则应先把分子、分母因式,然后判断公因式.五、分式的通分：1．定义：叫做分式的通分。

（依据：分式的基本性质！）2．最简公分母：取各分母所有因式的次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母。

◆通分时，最简公分母的确定方法：1．系数取各个分母系数的公倍数作为最简公分母的系数.2．取各个公因式的次幂作为最简公分母的因式.3．如果分母是多项式,则应先把每个分母因式,然后判断最简公分母.六、分式的四则运算与分式的乘方：①分式的乘除法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的 ， 的积作为积的分母。

式子表示为：db c a d c b a ••=• 分式除以分式：把除式的 、 颠倒位置后，与被除式相乘。

式子表示为：cc ••=•=÷bd a d b a d c b a ② 分式的乘方：把 、 分别乘方。