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第10章《分式》考点+易错整理知识梳理重难点分类解析考点1 分式的概念及性质【考点解读】分式的概念主要内容包括分式的定义、分式有意义的条件、分式的值等;分式的性质包括分式的基本性质、通分和约分.中考中对该知识点要求较低，多以基础题的形式出现.例1 (2018·盐城)要使分式12x -有意义，则x 的取值范围是 . 分析:当分母20x -≠，即2x ≠时，分式12x -有意义.答案: 2x ≠【规律·技法】若分式有意义，则分母不等于零. 【反馈练习】 1.分式29x -在实数范围内有意义，则x 的取值范围是 . 点拨:当分母不为0时，分式有意义.2.在代数式21331,,,2x xy a x y mπ+++中，分式的个数有( ) A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 1个点拨:根据分式是分母中含有字母的式子进行判断即可. 考点2 分式的运算 【考点解读】分式的运算包括分式的加减和分式的乘除，分式的基本性质是解决分式运算问题的关键，在中考中分式的运算多以计算题出现，属于简单题.例2 (2018·泰州)化简: 22169(2)11x x x x x -++-÷+-. 分析:本题考查分式的化简，先算括号内的减法，把除式分子和分母中多项式因式分解，同时把除法变为乘法再约分化简. 解答:原式= 222(1)1(1)(1)3(1)(1)1[]11(3)1(3)3x x x x x x x x x x x x x x +-+-++---⋅=⋅=++++++【规律·技法】整式与分式进行运算时，常把整式化为分式形式后再进行通分. 【反馈练习】3.化简：11(2)()a a a a++÷-.点拨:先算括号内加减法，再利用除法法则把除法运算变为乘法运算，并且因式分解分式中复杂的因式最后约分化为最简分式. 4. (2018·淮安)先化简，再求值: 212(1)11a a a -÷+-，其中3a =-.点拨:先把括号中的式子通分，再把除法转化为乘法进行化简，最后把a 的值代入化简后的式子计算求值. 考点3 分式方程【考点解读】分式方程的解法主要利用转化的数学思想，即把分式方程转化为整式方程，再进行求解，转化过程中可能会出现增根，故在解分式方程时一定要检验.中考中常以简单的计算题出现，遗忘检验是失分的主要原因. 例3 (2018·镇江)解方程:2121x x x =++-. 分析:两边同时乘最简公分母，将分式方程转化为整式方程，然后解答，检验后确定方程的解.解答:两边同时乘(2)(1)x x +-，得(1)2(2)(2)(1)x x x x x -=+++-.去括号，得22242x x x x x -=+++-.移项、合开同类项，得42x =-.系数化为1,得12x =-.检验:当12x =-时，(2)(1)0x x +-≠.故12x =-是原分式方程的解.【规律·技法】分式方程的解法主要用到转化的数学思想，通过方程两边同乘最简公分母，把分式方程化为整式方程后再进行求解，检验是解分式方程必不可少的步骤. 【反馈练习】5.若关于x 的分式方程1244m xx x-=---有增根，则实数m 的值是 . 点拨:先去分母转化为整式方程，利用方程有增根，使分式方程的分母为0的x 的值，代入整式方程即可解决问题. 6.解方程:14555x x x-+=--.点拨:先去分母化为整式方程，再解方程，最后检验方程的根是否是增根. 考点4 列分式方程解决问题 【考点解读】列分式方程解决问题的关键是要找出问题的等量关系，根据等量关系列出方程从而解决问题，在解方程时要注意进行检验.例4 (2018·徐州)徐州至北京的高铁里程约为700 km ，甲、乙两人从徐州出发，分别乘坐“徐州号”高铁A 与“复兴号”高铁B 前往北京.已知A 车的平均速度比B 车的平均速度慢80 km/h, A 车的行驶时间比B 车的行驶时间多40%，两车的行驶时间分别为多少? 分析:解题关键是找出解决问题的等量关系列出方程.设B 车行驶的时间为t h ，则A 车行驶的时间为1.4t h ，根据速度=路程÷时间得出关于t 的分式方程，解此分式方程并检验即可得出结论.解答:设B 车行驶的时间为t h ，则A 车行驶的时间为1.4t h.由题意，得700700801.4t t-=，解得t = 2.5.经检验，t = 2.5是所列方程的解.则1.4t = 3.5.故A 车行驶的时间为3.5h ,B 车行驶的时间为2.5h .【规律·技法】行程问题的等量关系主要体现在速度、时间和路程的关系，如速度×时间=路程，路程÷时间=速度，路程÷速度=时间，掌握基本的等量关系是解题的关键. 【反馈练习】7.某漆器厂接到制作480件漆器的订单，为了尽快完成任务，该厂实际每天制作的件数比原 来每天多50%，结果提前10天完成任务，原来每天制作多少件?点拨:本题考查了分式方程的应用，解题的关键是根据题意列出符合等量关系的分式方程并正确求解检验。
第十章 中心对称图形——平行四边形一、知识结构梳理二、重点专题解析专题1 分式有意义的条件与分式的值例1：当x 时，分式xx112-有意义。
例2：若分式)3)(2(2-+-x x x的值为0,则x 的值为 专题2 分式的基本性质与化简 例3：化简：222n m mnn m n n m m --+--例4：如图①、图②，设图②中阴影部分的面积图①中阴影部分的面积=k 0＞＞b a ，则有（ ）A.k ＞2B.1＜k ＜2C.121＜＜k D.210＜＜k专题3 分式方程与增根 例5：已知关于x 的分式方程112=++x a 的解是非正数。
则a 的取值范围是专题4 运用整体思想化繁为简 例6:设m ＞n ＞0，m 2+n 2=4mn ，则mnn m 22-的值为例7：如图实数满足x2+2x-3=0,那么代数式11)2`1(2+÷++x x x 的值为专题5 数学建模类型例8：甲乙两个工程队共同承担一项筑路任务，甲队单独施工完成此项任务比乙队单独施工完成此项任务多用10天，且甲队单独施工45天和乙队单独施工30天的工作量相同． （1）甲、乙两队单独完成此项任务需要多少天？（2）若甲、乙两队共同工作了3天后，乙队因设备检修停止施工，由甲队继续施工，为了不影响工程进度，甲队的工作效率提高到原来的2倍，要使甲队总的工作量不少于乙队的工作量的2倍，那么甲队至少再单独施工多少天？三、中考能力达标1.下列运算正确的是( )A.x 10÷x 5=x 2B.x -4·x=x -3C.x 3·x 2=x 6D.(2x -2)-3=-8x 62. 一件工作,甲独做a 小时完成,乙独做b 小时完成,则甲、乙两人合作完成需要( )小时. A.11a b + B.1ab C.1a b + D.aba b+ 3.化简a b a b a b --+等于( )A.2222a b a b +- B.222()a b a b +- C.2222a b a b -+ D.222()a b a b +- 4.若分式2242x x x ---的值为零,则x 的值是( )A.2或-2 B.2 C.-2 D.45.不改变分式52223x yx y -+的值,把分子、分母中各项系数化为整数,结果是( )A.2154x y x y -+ B.4523x y x y -+ C.61542x y x y -+ D.121546x yx y-+6.分式:①223a a ++,②22a b a b --,③412()a a b -,④12x -中,最简分式有( )A.1个 B.2个 C.3个 D.4个7.计算4222xx x x x x⎛⎫-÷⎪-+-⎝⎭的结果是( )A. -12x + B. 12x + C.-1 D.1 8.若关于x 的方程x a cb x d-=- 有解,则必须满足条件( ) A. a ≠b ，c ≠d B. a ≠b ，c ≠-d C.a ≠-b , c ≠d C.a ≠-b , c ≠-d9.若关于x 的方程ax=3x-5有负数解,则a 的取值范围是( )A.a<3 B.a>3 C.a ≥3 D.a ≤3 10.解分式方程2236111x x x +=+--,分以下四步,其中,错误的一步是( ) A.方程两边分式的最简公分母是(x-1)(x+1)B.方程两边都乘以(x-1)(x+1),得整式方程2(x-1)+3(x+1)=6C.解这个整式方程,得x=1D.原方程的解为x=111.把下列有理式中是分式的代号填在横线上 ．(1)－3x ；(2)y x ；(3)22732xy y x -；(4)－x 81；(5) 35+y ； (6)112--x x ；(7)－π-12m ； (8)5.023+m .12.当a 时，分式321+-a a 有意义． 13.若x=2-1,则x+x -1=__________. 14.某农场原计划用m 天完成A 公顷的播种任务,如果要提前a 天结束,那么平均每天比原计划要多播种_________公顷.15.计算1201(1)5(2004)2π-⎛⎫-+-÷- ⎪⎝⎭的结果是_________.16.已知u=121s s t -- (u ≠0),则t=___________. 17.当m=______时,方程233x mx x =---会产生增根. 18.用科学记数法表示:12.5毫克=________吨. 19.当x 时，分式xx--23的值为负数． 20.计算(x+y)·2222x y x y y x+-- =____________.2123651x x x x x+----; 22.2424422x y x y x x y x y x y x y ⋅-÷-+-+.23、（1）x x x x --=-+222； （2）41)1(31122=+++++x x x x（3）1131222=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x x x （4）3124122=---x x x x24、已知方程11122-+=---x x x m x x ，是否存在m 的值使得方程无解？若存在，求出满足条件的m 的值；若不存在，请说明理由。
八下第10章《分式》知识点与拓展训练一、分式的定义：一般地， 。
二、与分式有关的条件：①分式有意义： ；②分式无意义： ；③分式值为0： ；④分式值为正或大于0： ；⑤分式值为负或小于0： ；⑥分式值为1： ； ⑦分式值为-1： ；三、分式的基本性质：分式的 分式的值不变。
字母表示： 其中A 、B 、C 是整式，C ≠0。
拓展：分式的符号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变， 即：BB A B B --=--=--=AA A 注意：在应用分式的基本性质时，要注意C ≠0这个限制条件和隐含条件B ≠0。
四、分式的约分：1．定义： 叫做分式的约分。
2．步骤：把分式分子分母 ，然后约去分子与分母的 。
3．注意：①分式的分子与分母均为单项式时可直接约分，约去分子、分母系数的最大公约数，然后约去分子分母相同因式的最低次幂。
②分子分母若为多项式，先对分子分母进行因式分解，再约分。
4．最简分式的定义： ，叫做最简分式。
◆约分时。
分子分母公因式的确定方法：1)系数取分子、分母系数的 公约数作为公因式的系数. 2)取各个公因式的 次幂作为公因式的因式.3)如果分子、分母是多项式,则应先把分子、分母 因式,然后判断公因式.五、分式的通分：1．定义： 叫做分式的通分。
（依据：分式的基本性质！）2．最简公分母：取各分母所有因式的 次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母。
◆通分时，最简公分母的确定方法：1．系数取各个分母系数的 公倍数作为最简公分母的系数. 2．取各个公因式的 次幂作为最简公分母的因式.3．如果分母是多项式,则应先把每个分母 因式,然后判断最简公分母.六、分式的四则运算与分式的乘方：① 分式的乘除法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的 ， 的积作为积的分母。
式子表示为：db ca d cb a ••=•分式除以分式：把除式的 、 颠倒位置后，与被除式相乘。
式子表示为：cc ••=•=÷b da db a dc b a ② 分式的乘方：把 、 分别乘方。
分式知识点和典型例习题【知识网络】第一讲 分式的性质【知识要点】1.分式的概念以及基本性质;2.与分式运算有关的运算法则3.分式的化简求值(通分与约分)4.幂的运算法则【主要公式】1.同分母加减法则:()0b c b c a a a a±±=≠ 2.异分母加减法则:()0,0b d bc da bc daa c a c ac ac ac±±=±=≠≠;3.分式的乘法与除法:b d bd a c ac •=,b c b d bda d a c ac÷=•=4.同底数幂的加减运算法则:实际是合并同类项5.同底数幂的乘法与除法;a m ● a n =a m+n ; a m ÷ a n =a m －n 6.积的乘方与幂的乘方:(ab)m = a m b n , (a m )n = a mn 7.负指数幂: a -p =1p aa 0=1 8.乘法公式与因式分解:平方差与完全平方式 (a+b)(a-b)= a 2-b 2 ;(a ±b)2= a 2±2ab+b 2（一）、分式定义及有关题型题型一：考查分式的定义【例1】下列代数式中：yx yx y x y x b a b a y x x -++-+--1,,,21,22π，是分式的有： .题型二：考查分式有意义的条件【例2】当x 有何值时，下列分式有意义 （1）44+-x x （2）232+x x （3）122-x （4）3||6--x x（5）xx 11-题型三：考查分式的值为0的条件【例3】当x 取何值时，下列分式的值为0.（1）31+-x x（2）42||2--x x （3）653222----x x x x题型四：考查分式的值为正、负的条件【例4】（1）当x 为何值时，分式x -84为正； （2）当x 为何值时，分式2)1(35-+-x x为负；（3）当x 为何值时，分式32+-x x 为非负数. 练习：1．当x 取何值时，下列分式有意义： （1）3||61-x（2）1)1(32++-x x （3）x111+2．当x 为何值时，下列分式的值为零：（1）4|1|5+--x x（2）562522+--x x x3．解下列不等式 （1）012||≤+-x x （2）03252>+++x x x（二）分式的基本性质及有关题型1．分式的基本性质：MB MA MB M A B A ÷÷=⨯⨯= 2．分式的变号法则：bab a b a b a =--=+--=-- 题型一：化分数系数、小数系数为整数系数【例1】不改变分式的值，把分子、分母的系数化为整数. （1）y x yx 41313221+- （2）ba ba +-04.003.02.0题型二：分数的系数变号【例2】不改变分式的值，把下列分式的分子、分母的首项的符号变为正号. （1）yx y x --+- （2）ba a---（3）ba---题型三：化简求值题【例3】已知：311=+yx ，求y xy x y xy x +++-2232的值.【例4】已知：21=-x x ，求221x x +的值.【例5】若0)32(|1|2=-++-x y x ，求yx 241-的值.练习：1．不改变分式的值，把下列分式的分子、分母的系数化为整数.（1）yx yx 5.008.02.003.0+-（2）b a ba 10141534.0-+2．已知：31=+x x ，求1242++x x x 的值.3．已知：311=-b a ，求aab b b ab a ---+232的值.4．若0106222=+-++b b a a ，求ba ba 532+-的值.5．如果21<<x ，试化简xx --2|2|x x x x |||1|1+---.第二讲 分式的运算1．确定最简公分母的方法：①最简公分母的系数，取各分母系数的最小公倍数； ②最简公分母的字母因式取各分母所有字母的最高次幂.2．确定最大公因式的方法：①最大公因式的系数取分子、分母系数的最大公约数；②取分子、分母相同的字母因式的最低次幂.题型一：通分【例1】将下列各式分别通分. （1）cb ac a b ab c 225,3,2--； （2）a b b b a a 22,--；（3）22,21,1222--+--x x x x xx x ； （4）aa -+21,2题型二：约分【例2】约分： （1）322016xy y x -； （3）n m m n --22； （3）6222---+x x x x .题型三：分式的混合运算【例3】计算：（1）42232)()()(abc ab c c b a ÷-⋅-；（2）22233)()()3(xy x y y x y x a +-÷-⋅+；（3）mn mn m n m n n m ---+-+22；（4）112---a a a ；（5）874321814121111x x x x x x x x +-+-+-+--； （6）)5)(3(1)3)(1(1)1)(1(1+++++++-x x x x x x ；（7）)12()21444(222+-⋅--+--x x x x x x x题型四：化简求值题【例4】先化简后求值（1）已知：1-=x ，求分子)]121()144[(48122x x x x -÷-+--的值；（2）已知：432z y x ==，求22232zy x xz yz xy ++-+的值；（3）已知：0132=+-a a ，试求)1)(1(22a a a a --的值.题型五：求待定字母的值【例5】若111312-++=--x Nx M x x ，试求N M ,的值. 练习：1．计算（1）)1(232)1(21)1(252+-++--++a a a a a a ；（2）ab abb b a a ----222；（3）ba c cb ac b c b a c b a c b a ---++-+---++-232；（4）ba b b a ++-22；（5）)4)(4(ba abb a b a ab b a +-+-+-； （6）2121111x x x ++++-；（7）)2)(1(1)3)(1(2)3)(2(1--+-----x x x x x x .2．先化简后求值（1）1112421222-÷+--⋅+-a a a a a a ，其中a 满足02=-a a .（2）已知3:2:=y x ，求2322])()[()(yxx y x y x xy y x ÷-⋅+÷-的值.3．已知：121)12)(1(45---=---x Bx A x x x ，试求A 、B 的值.4．当a 为何整数时，代数式2805399++a a 的值是整数，并求出这个整数值.第三讲 分式方程【知识要点】1.分式方程的概念以及解法;2.分式方程产生增根的原因3.分式方程的应用题【主要方法】1.分式方程主要是看分母是否有外未知数;2.解分式方程的关健是化分式方程为整式方程;方程两边同乘以最简公分母.3.解分式方程的应用题关健是准确地找出等量关系,恰当地设末知数.（一）分式方程题型分析题型一：用常规方法解分式方程【例1】解下列分式方程 （1）x x 311=-； （2）0132=--x x ； （3）114112=---+x x x ； （4）x x x x -+=++4535提示易出错的几个问题：①分子不添括号；②漏乘整数项；③约去相同因式至使漏根；④忘记验根. 题型二：求待定字母的值【例4】若关于x 的分式方程3132--=-x mx 有增根，求m 的值.【例5】若分式方程122-=-+x ax 的解是正数，求a 的取值范围. 提示：032>-=ax 且2≠x ，2<∴a 且4-≠a .。
分式知识点1：分式的概念分式：一般地，如果A 、B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么代数式BA叫做分式，其中A 是分式的分子，B 是分式的分母. 提醒：1.分式是表示两个整式相除的式子，分数线起到除号和括号的作用.2.分式的分母必须含有字母，分子中可以含字母也可以不含子母.3.看形式，不看化简结果.例1：下列代数式中，哪些是分式？aa b a a y x a y x b a 2,21,82,34,,527π+--+知识点二：分式有意义、无意义或等于零的条件 1. 分式有意义的条件：分式的分母不能等于零； 2. 分式无意义的条件：分式的分母等于零；3. 分式的值等于零的条件：分式的分子等于零且分式的分母不等于零.例2：当x 时，分式3-x x有意义；基础巩固：1. 已知分式1)2)(1(2-+-x x x 的值为0，那么x 的值是 . 2. 若分式13-x 有意义，则x 的取值范围是 .3. 一列数n a a a a ⋅⋅⋅,,,321，其中1111,21--==n n a a a （n 为不小于2的整数），则100a 等于 .4. 使分式121-+x x 的值为零的条件是 . 5. 当=x 时，分式135-+x x 无意义；当=x 时，这个分式的值为零.6. 下面是按一定规律排列的一列数：⋅⋅⋅197,125,73,41，那么第n 个数是 .3-x分式的基本性质知识点一：分式的基本性质文字语言表述：分式的分子和分母都乘（或除以）同一个不等于0的整数，分式的值不变. 符号语言表述：CB CA B A C B C A B A ÷÷=⨯⨯=,（A 、B 、C 都是整式，且B 中含有字母，B ≠0，C ≠0）. 例1：填空：（1）);0()(1≠=-y xy x x （2）)0()(22≠+-=-+y x yx y x y x知识点二：约分1. 分式的约分：根据分式的基本性质，把一个分式的分子和分母分别除以它们的公因式，叫做分式的约分.2. 最简分式：分式与分母只有公因式1的分式叫做最简分式.例2：约分：y xy x 242+-；知识点三：通分1. 分式的通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式变形成同分母的分式，叫做分式的通分.2. 最简公分母：如果几个分式的分母都是单项式，那么各分母系数（都是整数）的最小公倍数与所有字母的最高次幂的积叫做这几个分式的最简公分母.例3：通分：（1）;25,103,54222ac b b a c c b a - （2）.24,412xxx --知识点四：分式的恒等变形分式的变号：分式的符号也是根据分式的基本性质进行的一种恒等变形.我们主要考查分子、分母所有负号的个数，当有奇数个负号时，整个分式的符号为负；当有偶数个负号时，整个分式的符号例4：不改变分式的值，使下列分式分子、分母的第一项系数为正. （1）=--+-yx yx 3 . （2）=+---12232x x y x .拓展例题拓展点一：利用分式中最高项系数的符号例1：利用分式的基本性质，不改变分式的值，使分式的分子与分母的最高项的系数为正数. （1）a b a 3422+-； （2）y x145--； （3）x x x x x 2542.0215.1322----.拓展点二：化简并带入求值例2：若02≠=b a ，则aba b a --222的值为 .拓展点三：分式系数化为整数例3：不改变下列分式的值，将其分式与分母的各项系数都化为整数.（1）;65214331y x yx +- （2）.2.05.003.02y x y x +-基础巩固：1.下列计算正确的是（ ）.A.323m m m =+B.623m m m =⋅C.1)1)(1(2-=+-m m mD.12)1(24-=--m m2.下列运算错误的是（ ）.A.1)()(22=--a b b a B.1=+--b a b a C.b a b a b a b a 321053.02.05.0-+=-+ D.a b a b b a b a +-=+-A. 1B. 2C. 3D. 4 4.若c b a 432==，且0≠abc ，则bc ba 2-+的值是（ ）. A. 2 B. -2 C. 3 D. -35.已知311=-y x ，求yxy x yxy x ----2353的值.分式的加减知识点二：同分母分式加减文字语言表述：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减.符号语言表述：.,a cb ac a b a c b a c a b -=-+=+ 例1：计算：=+++1212x x x .知识点二：异分母分式相加减文字语言表示：异分母分式相加减，先通分，再加减.符号语言表示：ac ad bc ac ad ac bc c d a b ac ad bc ac ad ac bc c d a b -=-=-+=+=+,. 例2：化简：=---xx x 2111 .拓展例题拓展点一：整式与分式的加减例1：化简：ba b a b a ++--2)(.拓展点二：分式加减在生活中的运用再用v 2的速度到达B 地，则下列结论中正确的是（ ）. A. 甲、乙同时到达B 地 B. 甲先到达B 地 C. 乙先到达B 地D. 谁先到达B 地与速度v 有关基础巩固：1.计算a a a a 2422+-+的结果是 （ ）. A.a 2 B.2-a C.a a 2- D.aa a 242+- 2.计算222---x x x 的结果是（ ）. A. 0 B. 1 C. -1 D. x3.化简xxx x -+-112的结果是（ ）. A.1+x B. 1-x C.x - D. x 4.计算：ba ba b a b a ++-++33. 5.化简：2122442--++-a a a . 6.若1212)12)(12(1++-=+-n bn a n n 对任意自然数n 都成立，则=a ，=b ；计算：=⨯+⋅⋅⋅⨯+⨯+⨯=21191751531311m .7.x x x x x -++++12112.分式乘除知识点一：分式乘除 1.分式乘除法则：用文字语言表示：分式乘分式，用分子的积做分子，分母的积做分母.用符号表示：acbdc d a b =⋅.2.分式的除法法则：用文字语言表述：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘. 用符号语言表示：adbc d c a b c d a b =⋅=÷. 3.分式的乘方法则：用文字语言表述：分式的乘方，把分子、分母分别乘方.用符号语言表示：m mm a b a b =)(（m 是整数）.例1：化简：=-+-÷--4122122x x x x x . 知识点二：分式的混合运算分式的加、减、乘、除、乘方的混合运算，与分数混合运算类似，其运算顺序是：先乘方，再乘除，最后加减；若有括号，则先进行括号内的运算.例2：先化简，再求值：2121112+-+-⋅-x x x x ，其中3=x .拓展分析拓展点一：先化简分式再求值例1：若,1=+y x 且0≠x ，则xyx x y xy x +÷++)2(2的值为 .拓展点二：探究分式的运算例2：有这样一道题：“计算x xx x x x x ÷+-÷-+-)1112(222的值，其中2013=x ”一个同学把2013-=x ，但他的计算结果也是正确的，这是怎么回事？基础巩固1.化简)121(1212-+÷+-+a a a a 的结果（ ）.A.11-aB.11+aC.112-aD.112+a 2.计算：2322nmm n m n ÷÷-的结果为（ ）.A.22n mB.22nm - C.4m n - D.n -3.计算：ba aab a b a +÷---)12(222.4.先化简，在求值：)1(3)111(2+÷-+a aa ，其中4=a ；6.先化简：144)113(2++-÷+-+x x x x x ，然后从21≤≤-x 中选一个合适的整数做为x 的值代入求值.7.先化简22)221(2x x x x -⋅--，再从0,1,2中选取一个合适的x 的值代入求值.分式方程知识点一：分式方程的概念分母中含有未知数的方程叫做分式方程. 例1：下列方程中，是分式方程的有（ ）.①143=-a ；②23=a ；③3151=++y y ；④152=-x x ；⑤2112=+-x x . A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 知识点二：解分式方程1. 解分式方程的基本思路是将分式方程化为整式方程，具体的做法是“去分母”，即方程的两边同时乘最简公分母，这也是解分式方程的一般思路和做法.2. 解可化为一元一次方程的分式方程的基本步骤：（1）去分母，方程两边同乘各分式的最简公分母，把分式方程转化为整式方程； （2）解整式方程，求出整式方程的解；（3）检验，经常用的方法是把求出的整式方程的解带入最简公分母，使最简公分母不等于0的解是原方程的解；使最简公分母等于0的解是原方程增根，此时，原方程无解，也可以把求出的整式方程的解代入原方程的左边和右边，如果左边和右边相等，那么这个解就是原方程的解；如果这个解使得原方程的分母等于0，那么这个解是原方程的增根. 例2：解方程：123-=x x .知识点三：分式方程的增根如果由变形后的方程求得的根不适合原方程，那么这种跟叫做原方程的增根；去分母时，方程两边同乘的最简公分母是含有字母的式子，这个式子有可能为0，对于整数方程来说，求出的根成立，而对于原分式方程来说，分式无意义，所以这个跟是原分式方程的增根，在解分式方程时，必须验根.例3：解方程：23112-+=--x x x x .拓展点一：运用分式方程增根求未知数的值. 例1：若关于x 的分式方程2332=-++-xm x x 有增根，则m 的值是 .拓展点二：探索分式方程无解求值 例2：若关于x 的方程1242+-=-x x ax 无解，则a 的值为 .基础巩固：1. 若关于x 的方程0111=----x xx m 有增根，则m 的值是 . 2. 分式方程xx 223=-的解是 . 3. 若关于x 的分式方程131=---xx a x 无解，则a = . 4. 解方程： （1）2112-=-x x ； （2）212242-=++-x x x x .。
夯实基础融会贯通 苏教版八年级数学第十章知识点与典题精准训练提升能力 姓 名第一节 分式一、知识点1、分式的概念一般地，如果A 、B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么代数式BA 叫做分式，其中A 是分式的分子，B 是分式的分母。
2、分式有意义的条件为：分母不等于0。
3、分式无意义的条件为：分母等于0。
4、分式的值为0的条件：分母不等于0，分子为0.二、典题1、请选择一个你喜欢的a 的值，求分式23+-a a 值。
2、当x 取什么值时，分式142-+x x (1)没有意义？（2）有意义？（3）值为零。
3、当a 取什么值时，分式132+-a a 的值是正数 ？ 4、当x 取何值时，分式242--x x 的值为零？ 5、若不论x 取何实数时，分式22a x x a-+总有意义，则a 的取值范围是 ( ) A ．a ≥1 B ．a >1 C ．a ≤1 D ．a <1第二节分式的基本性质一、知识点1、分式的基本性质：分式的分子和分母都乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变。
用式子表示就是MB M A B A ⨯⨯=，)0(的整式是不等于其中M M B M A B A ÷÷=。
2、分式的约分：根据分式的基本性质，把一分式的分子和分母分别除以它们的公因式，叫做分式的约分3、分子与分母没有公因式的分式，叫做最简分式。
4、约分的要求：把分式化成最简分式或整式。
5、约分的步聚：（1）把分子、分母分解因式；（2）约去分子、分母相同因式的最低次幂；（3）尽量把分子、分母的最高次项的系数化为正数。
6、根据分式的基本性质，把几个异分母的分式化成同分母的分式，叫做分式的通分。
7、异分母的分式通分时，取各分母所有因式的最高次幂的积作为公分母，这样的公分母叫做最简公分母。
二、典题1、填空：（1）a b =()ab （2）()2212a b a b ++=()22a b+ （3）())0(663≠=+b ab a a （4）())32(2323-≠+=-x x x （5）()y x x y x 2422+=- （6）)(b a ab a -=-3262 2、将3a a b- 中的a 、b 都变为原来的3倍,则分式的( ) A.不变 B.扩大3倍 C.扩大9倍 D.扩大6倍 3、把分式yx 中的字母x 的值变为原来的2倍，而y 缩小到原来的一半，则分式的值（ ）A. 不变B. 扩大2倍C. 扩大4倍D.是原来的一半4、使等式27+x =xx x 272+自左到右变形成立的条（ ） A ．x<0 B.x>0 C.x ≠0 D.x ≠0且x ≠75、约分：（1）db ac b a 102535621- （2）343123ab c b a - （3）44422-+-x x x （4）222123xx x x +-+- 6、先化简，再求值2222)1()1()1(-+-x x x ，其中x=21-； 7、已知3x =4y =6z ≠0，求z y x z y x +--+的值。
八下第10章《分式》知识点与拓展训练一、分式的定义：一般地， 。
二、与分式有关的条件：①分式有意义： ；②分式无意义： ；③分式值为0： ；④分式值为正或大于0： ；⑤分式值为负或小于0： ；⑥分式值为1： ；⑦分式值为-1： ；三、分式的基本性质：分式的 分式的值不变。
字母表示： 其中A 、B 、C 是整式，C ≠0。
拓展：分式的符号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变， 即：BB A B B --=--=--=A A A注意：在应用分式的基本性质时，要注意C≠0这个限制条件和隐含条件B≠0。
四、分式的约分：1．定义：叫做分式的约分。
2．步骤：把分式分子分母，然后约去分子与分母的。
3．注意：①分式的分子与分母均为单项式时可直接约分，约去分子、分母系数的最大公约数，然后约去分子分母相同因式的最低次幂。
②分子分母若为多项式，先对分子分母进行因式分解，再约分。
4．最简分式的定义：，叫做最简分式。
◆约分时。
分子分母公因式的确定方法：1)系数取分子、分母系数的公约数作为公因式的系数.2)取各个公因式的次幂作为公因式的因式.3)如果分子、分母是多项式,则应先把分子、分母因式,然后判断公因式.五、分式的通分：1．定义：叫做分式的通分。
（依据：分式的基本性质！）2．最简公分母：取各分母所有因式的次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母。
◆通分时，最简公分母的确定方法：1．系数取各个分母系数的公倍数作为最简公分母的系数.2．取各个公因式的次幂作为最简公分母的因式.3．如果分母是多项式,则应先把每个分母因式,然后判断最简公分母.六、分式的四则运算与分式的乘方：①分式的乘除法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的 ， 的积作为积的分母。
式子表示为：db c a d c b a ••=• 分式除以分式：把除式的 、 颠倒位置后，与被除式相乘。
式子表示为：cc ••=•=÷bd a d b a d c b a ② 分式的乘方：把 、 分别乘方。
第10章 分式1. 分式的定义：如果A 、B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子BA叫做分式。
2. 分式有意义、无意义的条件：分式有意义的条件：分式的分母不等于0； 分式无意义的条件：分式的分母等于0。
3. 分式值为零的条件：当分式的分子等于0且分母不等于0时，分式的值为0。
（分式的值是在分式有意义的前提下才可以考虑的，所以使分式AB 为0的条件是A ＝0，且B ≠0.）（分式的值为0的条件是：分子等于0，分母不等于0，二者缺一不可。
首先求出使分子为0的字母的值，再检验这个字母的值是否使分母的值为0.当分母的值不为0时，就是所要求的字母的值。
）4. 分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变。
用式子表示为 （0≠C ），其中A 、B 、C 是整式 注意：（1）“C 是一个不等于0的整式”是分式基本性质的一个制约条件； （2）应用分式的基本性质时，要深刻理解“同”的含义，避免犯只乘分子（或分母）的错误；（3）若分式的分子或分母是多项式，运用分式的基本性质时，要先用括号把分子或分母括上，再乘或除以同一整式C ；（4）分式的基本性质是分式进行约分、通分和符号变化的依据。
5.分式的通分：和分数类似，利用分式的基本性质，使分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，把几个异分母分式化成相同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分。
通分的关键是确定几个式子的最简公分母。
几个分式通分时，通常取各分母所有因式的最高次幂的积作为公分母，这样的分母就叫做最简公分母。
求最简公分母时应注意以下几点：C B C A B A ⋅⋅=C B C A B A ÷÷=（1）“各分母所有因式的最高次幂”是指凡出现的字母（或含字母的式子）为底数的幂选取指数最大的；（2）如果各分母的系数都是整数时，通常取它们系数的最小公倍数作为最简公分母的系数；（3）如果分母是多项式，一般应先分解因式。
6.分式的约分：和分数一样，根据分式的基本性质，约去分式的分子和分母中的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分。
约分后分式的分子、分母中不再含有公因式，这样的分式叫最简公因式。
约分的关键是找出分式中分子和分母的公因式。
（1）约分时注意分式的分子、分母都是乘积形式才能进行约分；分子、分母是多项式时，通常将分子、分母分解因式，然后再约分；（2）找公因式的方法：① 当分子、分母都是单项式时，先找分子、分母系数的最大公约数，再找相同字母的最低次幂，它们的积就是公因式；②当分子、分母都是多项式时，先把多项式因式分解。
易错点：（1）当分子或分母是一个式子时，要看做一个整体，易出现漏乘（或漏除以）；（2）在式子变形中要注意分子与分母的符号变化，一般情况下要把分子或分母前的“—” 放在分数线前；（3）确定几个分式的最简公分母时，要防止遗漏只在一个分母中出现的字母；7.分式的运算：1）分式乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。
2）分式除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。
用式子表示是： bcad c d b a d c b a bd ac d c b a =⋅=÷=⋅;提示：（1）分式与分式相乘，若分子、分母是单项式，可先将分子、分母分别相乘，然后约去公因式，化为最简分式；若分子、分母是多项式，先把分子、分母分解公因式，看能否约分，然后再相乘；（2）当分式与整式相乘时，要把整式与分式的分子相乘作为积的分子，分母不变（3）分式的除法可以转化为分式的乘法运算；（4）分式的乘除混合运算统一为乘法运算。
①分式的乘除法混合运算顺序与分数的乘除混合运算相同，即按照从左到右的顺序，有括号先算括号里面的；②分式的乘除混合运算要注意各分式中分子、分母符号的处理，可先确定积的符号；③分式的乘除混合运算结果要通过约分化为最简分式（分式的分子、分母没有公因式）或整式的形式。
3）分式乘方法则：分式乘方要把分子、分母各自乘方。
用式子表示是：（其中n是正整数）注意：（1）乘方时，一定要把分式加上括号；（2）分式乘方时确定乘方结果的符号与有理数乘方相同，即正分式的任何次幂都为正；负分式的偶次幂为正，奇次幂为负；（3）分式乘方时，应把分子、分母分别看做一个整体；（4）在一个算式中同时含有分式的乘方、乘法、除法时，应先算乘方，再算乘除，有多项式时应先分解因式，再约分。
4）分式的加减法则：法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减。
用式子表示为：ab±cb＝a±cb法则：异分母的分式相加减，先通分，转化为同分母分式，然后再加减。
用式子表示为：ab±cd＝adbd±bcbd＝ad±bcbdnnnbaba)(注意：（1）“把分子相加减”是把各个分子的整体相加减，即各个分子应先加上括号后再加减，分子是单项式时括号可以省略；（2）异分母分式相加减，“先通分”是关键，最简公分母确定后再通分，计算时要注意分式中符号的处理，特别是分子相减，要注意分子的整体性；（3）运算时顺序合理、步骤清晰； （4）运算结果必须化成最简分式或整式。
5）分式的混合运算:分式的混合运算，关键是弄清运算顺序，与分数的加、减、乘、除及乘方的混合运算一样，先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号要先算括号里面的，计算结果要化为整式或最简分式。
8. 任何一个不等于零的数的零次幂等于1， 即)0(10≠=a a ；当n 为正整数时，nn a a 1=- （)0≠a 注意：当幂指数为负整数时，最后的计算结果要把幂指数化为正整数。
9. 整数指数幂：若m 、n 为正整数，a ≠0，a m÷am ＋n＝a m a m .a n ＝ 1an 又因为a m ÷a m ＋n ＝a m －﹙m ＋n ﹚＝a －n ,所以a －n ＝1a n一般地，当n 是正整数时，a－n＝1an （a ≠0），即a －n （a ≠0）是a n 的倒数，这样指数的取值范围就推广到全体整数。
整数指数幂可具有下列运算性质：(m,n 是整数)（1）同底数的幂的乘法：n m n m a a a +=⋅； （2）幂的乘方：mn n m a a =)(; （3）积的乘方：n n n b a ab =)(；（4）同底数的幂的除法：n m n m a a a -=÷( a ≠0)；（5）商的乘方：n nn ba b a =)( ；(b ≠0)规定：a 0＝1（a ≠0），即任何不等于0的零次幂都等于1.10. 分式方程：含分式，并且分母中含未知数的方程叫做分式方程。
1）分式方程的解法：（1）解分式方程的基本思想方法是：分式方程 －－－－－→ 整式方程. （2）解分式方程的一般方法和步骤：①去分母：即在方程的两边都同时乘以最简公分母，把分式方程化为整式方程，依据是等式的基本性质；②解这个整式方程；③检验：把整式方程的解代入最简公分母，使最简公分母不等于0的解是原方程的解，使最简公分母等于0的解不是原方程的解，即说明原分式方程无解。
注意：① 去分母时，方程两边的每一项都乘以最简公分母，不要漏乘不含分母的项；② 解分式方程必须要验根，千万不要忘了！2）解分式方程的步骤 ：(1)能化简的先化简；(2)方程两边同乘以最简公分母，化为整式方程；(3)解整式方程；(4)验根． 3）分式方程检验方法：将整式方程的解带入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解。
11.含有字母的分式方程的解法：在数学式子的字母不仅可以表示未知数，也可以表示已知数，含有字母已知数的分式方程的解法，也是去分母，解整式方程，检验这三个步骤，需要注意的是要找准哪个字母表示未知数，哪个字母表示未知数，还要注意题目的限制条件。
计算结果是用已知数表示未知数，不要混淆。
12.列分式方程解应用题的步骤是：(1)审：审清题意；(2)找: 找出相等关系；(3)设：设未知数；(4)列：列出分式方程；(5)解：解这个分式方程；(6)验：既要检验根是否是所列分式方程的解，又要检验根是否符合题意；(7)答：写出答案。
应用题有几种类型；基本公式是什么？基本上有五种：去分母转化(1)行程问题 基本公式：路程=速度×时间 而行程问题中又分相遇问题、追及问题．(2)数字问题：在数字问题中要掌握十进制数的表示法． (3)工程问题 基本公式：工作量=工时×工效． (4)顺水逆水问题v 顺水=v 静水+v 水． v 逆水=v 静水-v 水．10.1分式的乘除基础训练 1．填空：（1）=-2)2(ab （2）=•23)43()32(x y y x（3）=-•-32)()(ab a ab b a 2．化简ab ab 3232÷-等于（ ）A ．b a 292-B ．22b -C ．292ab - D ．222b a - 3．下列分式中，最简分式是（ ）A ．a b b a --B ．yx y x ++22 C ．242--x x D ．222-++a a a4．计算yx xx y x y x +•+÷+222)(的结果是（ ） A ．yx x +22 B ．y x +2C ．y 1D ．y +115．计算：（1）cd b c b a 2322432-（2）22221106532x y x y yx ÷•（3）32)43()32(x y y x •（4）22)2(4y x y x -÷6．小明参加爬山运动，上山的速度为x km/h ，下山的速度为y km/h ，则小明上、下山的平均速度为 7．计算)111()111(2-+÷-+x x 的结果为（ ） A ．1 B ．1+x C ．x x 1+ D ．11-x 8．计算xxx x x x -÷+--24)22(的结果是（ ） A ．21+x B ．21+-x C ．1- D ．1 9．化简)1()1(xy y x -÷-的结果是（ ） A ．1 B ．y xC ．xy D ．1- 10．化简ba a ab a -•-)(2的结果是（ ） A ．b a - B ．b a + C ．b a -1 D ．ba +111．先化简，再求值：)2(42442+•-+-x x x x ，其中5=x 12．已知2=a ，1-=b ，求aab a b a 11222÷--+的值。
13．先化简，再求值：121111122+-+÷--+x x x x x ，其中13-=x 16．某苹果批发商店存有两种苹果，甲种苹果有a kg ，售价为每千克2元，乙种苹果有b kg ，售价为每千克4元，现在商店负责人想把这两种苹果混合在一起卖，你能确定混合后的单价是多少吗？若把单价定为每千克3元，你认为合理吗？17．已知实数x 、y 满足0423212=+-++-y x y x ，求代数式22224421y xy x y x y x y x +--÷---的值。
