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拉氏积分变换L

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三角函数拉氏变换常用公式

三角函数拉氏变换常用公式

三角函数拉氏变换常用公式
拉氏变换（Laplace transform）是应用数学中常用的一种积分变换，其符号为L[f(t)]。

拉氏变换是一个线性变换，可将一个有实数变数的函数转换为一个变数为复数s的函数：
拉氏变换在大部份的应用中都是对射的，最常见的f(t)和F(s)组合常印制成表，方便查阅。

拉氏变换和傅立叶变换有关，不过傅立叶变换将一个函数或是信号表示为许多弦波的叠加，属于「频域变换」；而拉氏变换则是将一个函数表示为许多矩的叠加，属于「时域变换」。

拉氏变换的好处就是能够将复杂的积分与微分的问题，变换成比较容易计算的代数方法，为什么要进行变换？因为很多时候频域变换比时域变换直观得多。

因此，拉氏变换较多被用于解决：
(1).常数系数的线性微分或积分方程式；
(2).分析线性非时变系统的输入输出信号。

实务上，拉氏变换在物理及工程上常用来分析线性非时变系统，可用来分析电子电路、谐振子、光学仪器及机械设备，在这些分析中，拉氏变换可以作时域和频域之间的转换，在时域中输入和输出都是时间的函数，在频域中输入和输出则是复变角频率的函数。

拉氏积分变换L

拉氏积分变换L

s
s
而时域函数f (0)与s无关，得：lim f (t) lim s F (s)
t 0
s
6)证明：拉氏变换定义：L[
f
' (t )]



0
f
'(t) est
dt
由微分定理：L[ f '(t)] s F (s) f (0)



f
'(t) est
将式F (s) A1s A2 A3 An
(s s1)(s s2 ) s s3
s sn
两边同乘(s s1)(s s2 )，并令s s1或s s2 ,得
F (s)(s s1)(s s2 ) ss1或ss2 A1s A2 ss1或ss2 此式为复数相等，令其实部、虚部分别相等
u
C
dt
定义复域容抗：Z
c

U (s) I (s)

1 sC
i
u L di(t) 拉氏变换U (s) L s I (s)
u
L
dt
定义复域感抗：Z
L

U (s) I (s)

sL
sL
Ui（s）
R
1 sC
Uo（s）
求解uo (t)时，将电路变换到复域，有：
1
U o (s) sC U i (s) sL R
复变函数F (s)。
2、拉氏变换性质
1)线性性质(叠加定理 ) :
f F f 若 (t) 1
(s),
1
2 (t) F2 (s),
则：af
(t) b
1
f

拉式变换(增补)

拉式变换(增补)
f (t) = f1(t) + f2(t) +⋅ ⋅ ⋅ + fn(t)
象函数的一般形式： 象函数的一般形式：
N(s) a0s + a1s +⋅ ⋅ ⋅ + am F(s) = (n≥ m) = n n−1 D s) b s + b s +⋅ ⋅ ⋅ + bn ( 0 1
m m−1
n 设 > m F(s)为 分 ， 真 式
e-αtε(t)
e-αt sinω ε(t) t
e-αttnε(t)
s s2 +ω2
1 s +α
ω 2 2 (s +α) +ω
−st0
n ! (s +α)n+1
L f (t −t0 )ε(t −t0 )] = e F(s) [
三、拉普拉斯反变换的部分分式展开
用拉氏变换求解线性电路的时域响应时， 用拉氏变换求解线性电路的时域响应时，需要 把求得的响应的拉氏变换式反变换为时间函数。 把求得的响应的拉氏变换式反变换为时间函数。 由象函数求原函数的方法： 由象函数求原函数的方法：
[ f (t)] = F(s) +e−sTF(s) + e−2sTF(s) +⋅ ⋅ ⋅ 1 1 1
= F(s)[e 1
−sT
+e
−2sT
+e
−3sT
1 F(s) +⋅ ⋅ ⋅] = 1 −sT 1−e
1 [ f (t)] = F(s) 1 −sT 1−e
T 本 中 f1(t) = ε(t) − ε(t − ) 例 ： 2
f (t) =ε(t)
F(s) = [ε(t)] = ∫ ε(t)e dt =

积分变换第二章拉氏变换

积分变换第二章拉氏变换
第二章 Laplace 变换
第一节 Laplace变换概念 第二节 Laplace变换性质 第三节 Laplace逆变换
第一节 Laplace变换的概念

引入
傅里叶变换的前提 绝对可积 在整个数轴上面有意义 工程上用到的函数的特点 非绝对可积 t<0，无意义
第一节 Laplace变换的概念

引入
为了克服傅里叶变换的缺点
考虑两个函数u (t )和e t
对于任意函数(t )
(t ) u (t ) 积分区间(-,+)
(t ) e
t
衰减函数使(t )绝对可积
第一节 Laplace变换的概念

引入
函数(t )先乘以u (t )e ，再取Fourier变换
t


f (t )e dt f (t )e dt
st st 0
0
£+[f(t)]
这样，我们定义拉氏变换时，严格上应为：
F (s) - f (t )e dt （Re(s) 0）
- st 0 ¥
例4 求单位脉冲函数的拉氏变换
f( t)
1
p77
t
第二节 Laplace变换的性质
类似地，可得象函数的积分性质：
£[
f (t )] F (s)ds s t
f (t ) ds F ( s )ds 一般地，£ n s s t n
性质4（位移性质） ： 若，F (s) = £ [f (t)],则，
£ [ eat f (t ) ] = F(s-a) ( Re(s-a)>c)

Laplace变换的性质
性质1（线性性质）：设， F1(s)= £ [f1(t)] 和 F2(s) = £[f2(t)]

拉氏积分变换L

拉氏积分变换L
代入初始条件，得：
X ( s) = 1 s +8 s−2 (s + 2 ) X ( s ) + 2Y ( s ) = s − 2 解得： Y ( s ) = 3 − 2 X ( s ) + ( s + 1)Y ( s ) = 3s + 1 s−2 s−2 作反变换，得：x(t ) = e 2t , y (t ) = 3 ⋅ e 2t
其中 k i = F ( s ) ⋅ ( s − pi ) | s = p i ，则：f (t ) = k1 e p1t + k 2 e p 2t + .... + k n e p nt 2，当解出s等于一对共轭复根，即 s = p1,2 = σ ± jw ，则： 1 1 1 F (s) = = = ( s − p1)( s − p 2) s 2 − ( p1 + p 2) s + p1 p 2 s 2 − 2σs + (σ 2 + w2)
拉氏变换公式表
f (t ) = −u (t ) + t + e−t = −1 + t + e−t , (t ≥ 0 )
若F(s)不是有理真分式，则化为 多项式与真分式之和。
例2：已知 F (s ) =
as + b c 解：令F (s ) = 2 + (s + 2s + 3) s + 2
(s2 + 2s + 3)(s + 2) ，求其反变换。
1 f (t )满足divichlet条件。 ） 2）若f (t )是指数阶函数，则必须存在M > 0，使当t > t 0 时， (t ) ≤ M ⋅ ect f

积分变换第二章拉氏变换

积分变换第二章拉氏变换
1.线性性质:
La1 f1(t ) a2 f2(t ) a1F1(s) a2F2(s), L1 b1F1(s) b2F2(s) b1 f1(t ) b2 f2(t )
6
例3 求 f (t)=sinkt (k为实数) 的拉氏变换
解 L[sin kt] sin kt estd t 0 1 (ejkt e jkt )e std t 2j 0
f(t)
f(tt)
O
t
t
14
例7
解
求函数 u(t
已知 L[u(t
t)
)] 1 ,
0 1
t t t t
的拉氏变换.
根据延迟性质
s
L[u(t t )] 1 est
s
(Re s 0)
u(tt)
1
O
t
t
15
5.位移性：L f (t) F(s)Re s c,则
10 4
dtL 40 4 2
40
f (t)dt } 4 43

sn
F (s)
n次
例6
求
f

t


t
0
cos
t
dt
的拉氏变换.
解
L

t 0
cos
tdt


1 s
L cos
t


1 s
s2
s
1

1 s2 1
13
4.平移性(延迟性)：设L f (t) F(s) ,则
L f (t t ) est L f (t) est F (s) Re s c
(s

拉普拉斯积分变换


由位移性质得
L eat
sin kt
k (s a)2
k2
27
5. 延迟性质 若 L f (t) F(s)，又t 0 时 f (t) 0 则对于任一非负实数 τ 有
L f (t τ ) esτ F (s),
或
L1 esτ F (s) f (t τ )
证
L f (t τ )
f (t τ ) est dt
此性质使我们有可能将 f (t)的微分方程转化为F(s)的 代数方程，因此它对分析线性系统有着重要的作用。
15
例 求函数 f (t) coskt 的拉氏变换。
解 由于
f (0) 1, f (0) 0, f (t) k 2 cos kt
由微分性质有
L k 2 cos kt L f (t) s2 L f (t) sf (0) f (0)
在半平面 Re(s) c上一定存在，右端的积分在 Re(s) c1 c 上绝对收敛而且一致收敛，并且在 Re(s) c 的半平面内，F(s)为解析函数。
8
例3 求正弦函数 f (t) sin kt（k为实数）的拉
氏变换。
解 Lsin kt sin ktestdt 0
e st s2 k2
20
重复应用积分性质可得：
L
t
dt
t
dt
0
0
n次

t 0
f
(t)dt
1 sn
F (s)
此外，由拉氏变换存在定理，还可以得到象函数 的积分性质：
L
f
(t) t
F (s)ds
s
或
f
(t)
tL1
s
F
(s)ds

拉氏变换

确定。可对应于平面上的点 (x, y)，这样表示复数的
平面称为复平面或 z 平面。其中 x 轴称为实轴，y
轴称为虚轴。
y
Z（a，b）
z=a+bi uuur OZ (a,b)
O
x
复数的表示
• 代数形式： z x iy
• 三角形式： z r(cos i sin ) r | z | Arg z
例1
求 : f (t) sin( t)的象函数
解
F(s)
sin(t )

1

2
j
(e j t

e j t
)

1 2j

S
1
j

S
1
j


S2 2
注：欧拉公式 re jt r[cos(t) sin(t)]
2）. 微分性质
➢ 斜坡信号（Ramp Function）
r(t)

R

t

u(t)

Rt 0
r（t）
t0 t0
u(t)-----单位阶跃函数
Rt t g（）=R

时间 t
斜坡信号为匀速信号，适于测试匀速系统。
➢抛物线信号（Parabolic Function）
r
(t
)

0.5R

t
2

u(t
)

0.5R 0
t
s0
f (0 ) lim f (t) lim SF (S)
t0
s
证：
df (t) dt

sF (s)

补充：拉氏变换


du (t ) (t ) dt
可用于测试系统抗冲击能力
: 设任意函数(x)在x = 0点连续, 则
( x) 0, x 0 ( x) ( x)dx (0) -
(x)称为检验函数.
-函数的图示:
(x)
1 0
(x,y)
1
y
x
0
0

正变换
反变换
st

F ( S ) 0 f ( t )e dt 0 f ( t )e dt 0 f ( t )e st dt
st
在t＝0 至t＝0＋ f(t)=(t)时此项 0
2
象函数F(s) 用大写字母表示,如I(s)，U(s)。 原函数f(t) 用小写字母表示，如 i(t), u(t)。
t


1 f ( t )dt ] F ( s ) s
应用微分性质
d t [ f ( t )] 0 f (t )dt dt t F ( s ) sφ( s ) 0 f (t )dt t 0


F ( s) φ( s ) s
例
求 : f (t ) tu( t )和f (t ) t 2u(t )的象函数
脉冲信号（Pulse Function）
定义1.
( x) 0, x 0 ( x)dx 1 -
t=0 t0
(t) -----单位脉冲函数
r（t） A
理想情况: r（t）= ( t ) =
0
A/h 0 <= t <= h
实际情况:
h
r（t）= 0 t < 0, t > h

积分变换第6讲----拉氏变换的性质


(2.3)
证 根据分部积分公式和拉氏变换公式
b
u
a
d
v
uv
|ba
-
b
vdu
a
L [ f (t)] f (t) e-std t e-std f (t)
0
0
e-st
f (t) -
f (t) de-st
0
0
- f (0) s f (t) e-std t sL [ f (t)] - f (0) 0
1
-
1 e
-
st
(Re(s) c)
23
例9 求如图所示的单个半正弦波f(t)的拉氏变换
f1(t)
f(t)
E
E
OT
T
t
2
O
Tt 2
f2(t) E
O TT
t
2
24
由前图可知, f(t)=f1(t)+f2(t), 所以
L [ f (t)] L [ f1(t)] L [ f2 (t)]
EL
sin
0
f (t) d t
1 sL
f (t) 1 F (s)
s
11
重复应用(2.8)式, 就可得到:
{ } L
t
dt
t dt
t
f (t) d t
0 0 0
1 sn F(s)
(2.9)
n次
12
由拉氏变换存在定理, 还可得象函数积分性质:
若L [f(t)]=F(s), 则
F(s)d s
33
例11 若 L [ f (t)] 1 ,求f (0), f (). sa
根据初值定理和终值定理,
f (0) lim sF (s) lim s 1
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, 式中 f 1 ( t ) f ( t ) dt
f (t )
dt
n
f
1
(0 )
s
n

f
2
(0 )
s
n t0
n 1
.....
f
n
(0) s
，
f
n
( 0 ) ...
n 重积分
f (t )
n
dt
b )若
f
(0 )
f
2
( 0 ) ......
u(t) 1
L [ ( t )] 1
2)单位阶跃信号 a) 数学表达式
0
1 u (t ) 0
b) 拉氏变换
t0 t0
t
L [ u ( t )]
1 s
3)单位斜坡/速度信号 a) 数学表达式
xi(t)
t xi (t ) 0
b) 拉氏变换
t0 t0
1
0
1
t
L [ x i ( t )]
n 1
( 0 ) 0，
f
n
(t )
s
n
F (s)
4）积分定理： L [ f ( t ) dt ]
推论： a ) L ... n 重积分 式中
1
F (s) s

f 1 ( 0 )
s
F (s) n s



e
0
[ f ( t ) dt ]
0

1 s
d ( e st )
e st 0
[ f ( t ) dt ]
f
1
e
st

s

0
s
d [ f ( t ) dt ]

(0)

F (s) s
s
3 ) 证明 : L [ f ' ( t )]
s s1 或 s s 2
A1 s A 2
s s1 或 s s 2
此式为复数相等，令其 可求 A1、 A 2。
实部、虚部分别相等
3、A(s)=0有重根（略）
利用部分分式法求复杂函数原函数的方法： （1）分析A(s)=0根的情况，并将A(s)分解因式； （2）据A(s)=0情况，将F(s)展开为部分分式，即 多个简单分式和的形式； （3）将每个分式化为常见函数的象函数形式； （4）查表和应用叠加定理写出f(t)的表达式。
n
f
( 0 ) 0，
则 L ... n 重积分
f (t )
dt
F (s) n s
5）初值定理：
lim t 0
lim t
f ( t ) lim sF ( s )
s
6）终值定理：
f ( t ) lim sF ( s )
s 0
定条件下，将实数域 等价的
f ( t ) 变换为在复数域内与之
复变函数 F ( s )。
2、拉氏变换性质
1) 线性性质 ( 叠加定理 ) : 若
f
(t )
1
F
( s ), 1
f
2
( t ) F 2 ( s ),
则： af
(t ) b
1
f
(t ) a
2
F
1
( s ) bF 2 ( s )
s s (t ) d (t ) e f (t ) e 0 s sx dx s F ( s ) e e f (x) e 0 4 ) 证明： L [ f ( t ) dt ] [ f ( t ) dt ] st dt 令 x t
2 s 1


3
2 s 1

10 s
2 s 9

2
2 s 4

2s
2 s 9
x ( t ) sin t sin 2 t 2 cos 3 t
例3：
ui
L
R
C
u0
1, t 0 , u 已知： i 0 , else
求uo。
解：
解：首先求电路中各元件的复域电抗ZR，ZL，ZC。零初态时，有：
s
a0 an
）

用部分分式法将F(s)分解成若干个简单有理分式之 和，分以下三种情况：
1、A(s)=0的根为各不相同的实数
此时F(s)可分解为：
F (s) A1 s s1 A2 s s2 An s sn

n
Ai s si
i 1
其中 A i 为待定系数，求法为： A i F ( s )( s s i )

1 sC
u L
u
di ( t ) dt
U (s) L s I (s)
ZL
拉氏变换
L
定义复域感抗：
U (s) I (s)
sL
sL
R
Ui（s）
1 sC
Uo（s）
求解 u o ( t )时，将电路变换到复域 1
U o (s) U i (s)
，有：

sC sL R 1 sC
初始条件： x ( 0 ) 2 , x ( 0 ) 3


解： L [ x ( t ) ] s 2 X ( s ) sx ( 0 ) x ( 0 ) s 2 X ( s ) 2 s 3
s2 X (s) 2s 3 4 X (s) X (s) 1
7）位移定理： 设 L [ f ( t )] F ( s ), a 为常数，则 L[e
at
f ( t )] F ( s a )
3、典型信号拉氏变换 1)单位脉冲信号 a)单位脉冲信号数学表达式
1 xi (t ) 0 0t t 0, t
f(t) 1/ε



0
f ' ( t ) e st dt s F ( s ) f ( 0 ) s 极限 :
i
u i R U (s) R I (s)
u
拉氏变换
R
定义复域阻抗：
ZR
U (s) I (s)
R
i
iC
u
du ( t ) dt
I ( s ) C s U ( s )
Zc
拉氏变换
Cs) I (s)
1 s
2
4)单位加速度信号 a) 数学表达式
xi(t)
1 2 t xi (t ) 2 0
b) 拉氏变换
t0 t0
0
t
L [ x i ( t )]
1 s
3
5)指数函数信号 a) 数学表达式 b) 拉氏变换
f (t ) e
at
L [ f ( t )]
b) 拉氏变换
用拉氏变换求解微分方程： （1）对线性微分方程中的每一项进行拉氏变换， 使微分方程变成s的代数方程——变换方程； （2）解变换方程，求出系统输出变量的象函数表 达式； （3）利用部分分式法，结合查表，进行拉氏反变 换，得到微分方程的时域解。
例2：求解微分方程 x ( t ) 4 x ( t ) 3 sin t 10 cos 3 t ；


f (t )e
st
dt
0
式中： （1） F ( s ) 为复数 s 的函数，程复变函数； 其中， s j ，其量纲为时间的倒数 （ 2）

。
e
st
dt — — Laplace 积分； f ( t ) 为 F ( s )的原函数
0
（ 3）称 F ( s ) 为 f ( t )的象函数， （ 4）拉氏变换实质：在一 中的实变函数
a n s a n 1 s
n m
设 s1、 s 2、 s 3 ... s n 为 A ( s ) 0的根，则
F (s) a（ s n
n
B (s) a n 1 an B (s) a（ s s1）（ s s 2） （ s s n） n s
n 1
...
a1 an
1 2 j

j
j
F ( s ) e ds
st
2、部分分式法 基本思想：复杂象函数F(s)→若干简单有理分式之 和→查表求简单有理分式原函数→F(s)原函数
F(s)一般式：
F (s) B (s) A(s) bm s
m n
b m 1 s
m 1 n 1
... b1 s b 0 ... a 1 s a 0
拉普拉斯变换
1、定义：设 f ( t ) 为定义在 [ 0 , ) 上的实值函数 ,
t 为实变量，若对于复变

量 s jw ，线性积分
F (s)

0
f (t ) e
st
dt 存在，
则称 F ( s ) 为 f ( t )的拉氏变换。
记为： F ( s ) 或 L [ f ( t )]，即 F ( s ) L [ f ( t )]
0
f ( t ) e st dt s F ( s ) f ( 0 )
st dt 定义 : L [ f ' ( t )] f ' ( t ) e 5 ) 证明： 0 微分定理 : L [ f ' ( t )] s F ( s ) f ( 0 )