【精品】复变函数与积分变换答案(马柏林、李丹横、晏华辉)修订版,习题8

一、将下列复数用代数式、三角式、指数式表示出来。

(1) i 解：2cossin22ii e i πππ==+(2) -1解：1cos sin i e i πππ-==+ (3)1+解：()/3122cos /3sin /3i e i πππ+==+ (4) 1cos sin i αα-+ 解：2221cos sin 2sin 2sincos2sin(sincos )2222222sincos()sin()2sin 222222i i i i i e πααααααααααπαπαα⎛⎫- ⎪⎝⎭-+=+=+⎛⎫=-+-= ⎪⎝⎭(5) 3z解：()3333cos3sin3i z r e r i θθθ==+ (6) 1i e +解：()1cos1sin1i i e ee e i +==+(7)11ii-+ 解：3/411cos3/4sin 3/411i i i i e i i i πππ--==-==+++二、计算下列数值(1) 解：1ar 21ar 21ar 2 b i ctg k a bi ctg abi ctgaπ⎛⎫+ ⎪⎝⎭==⎧⎪=⎨⎪⎩(2)解：6226363463222i k i i i i e i ee e iπππππππ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎧=+⎪⎪⎪⎨====-+⎪⎪⎪=-⎩(3) i i 解：()2222ii k k i i e eππππ⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭==(4)解：()1/2222ii k k eeππππ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭==(5) cos5α解：由于：()()552cos5i i e e ααα-+=，而：()()()()()()()()5555555555cos sin cos sin cos sin cos sin nni nn nni n n e i C i e i C i αααααααααα-=--==+==-=-∑∑所以：()()()()()()()()()()()555505555043253543251cos5cos sin cos sin 21 cos sin 112 5cos sin cos sin cos 5cos sin 10cos sin cos n n n nn n n n nn n C i i C i i C i ααααααααααααααααα--=--=⎡⎤=+-⎣⎦⎡⎤=+-⎣⎦=++=-+∑∑(6) sin5α解：由于：()()552sin 5i i ee ααα--=，所以：()()()()()()()()()()()()55550555505234245552341sin 5cos sin cos sin 21 cos sin 1121 sin cos sin sin cos sin 10cos sin 5sin cos n n n nn n n n nn n C i i i C i i i C i C i iααααααααααααααααα--=--=⎡⎤=--⎣⎦⎡⎤=--⎣⎦=++=-+∑∑ (7) cos cos2cos n ααα+++L L 解：()()221cos cos 2cos ()()2(1)1(1)11(1)(1)1 21122(1cos )1 2i i in i i in i in i i in i i in i in i i i n e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e ααααααααααααααααααααααα----------⎡⎤+++=+++++++⎣⎦⎡⎤--+--⎡⎤--⎢⎥=+=⎢⎥---⎢⎥⎣⎦⎣⎦+=L L L L L L (1)(1)22(1cos )12cos 22cos(1)2cos cos 1cos(1)cos 22(1cos )2(1cos )1sin()sin22 2sin2i i n i n in in e e e e n n n n n ααααααααααααααααα+-+-⎡⎤---++⎢⎥-⎣⎦⎡⎤--++--++==⎢⎥--⎣⎦+-=(8) sin sin 2sin n ααα+++L L 解：()()221sin sin 2sin ()()2(1)1(1)11(1)(1)1 21122(1cos )1 2i i in i i in i in i i in i i in i in i i i n e e e e e e i e e e e e e e e e e i e e i e i αααααααααααααααααααααα---------⎡⎤+++=+++-+++⎣⎦⎡⎤-----⎡⎤--⎢⎥=-=⎢⎥---⎢⎥⎣⎦⎣⎦=L L L L L L (1)(1)112(1cos )12sin 2sin(1)2sin sin sin(1)sin 22(1cos )2(1cos )1cos()cos22 2sin2i n in i i n in e e e e e i i n i n n n i n αααααααααααααααααα+--+-⎡⎤--+-++-⎢⎥-⎣⎦⎡⎤-++-++==⎢⎥--⎣⎦-++=1.2 复变函数1、试证明函数f (z )=Arg(z ) (-π<Arg(z) ≤π)，在负实轴上(包括原点)不连续。

复变函数与积分变换同步练习参考答案中北大学复变函数教研室编印1复变函数同步练习第一章参考答案三、作业题1、(1)设23412i z i +⎛⎞=⎜⎟−⎝⎠，则z = 5 ，辐角主值为4arctan()3π−。

(2)设55(1)1(1)1i z i −−=++，则其实部为125−，虚部为3225−。

提示：本题注意到2(1)2i i −=−，2(1)2i i +=。

则52225222(1)1[(1)](1)1(2)(1)1132(1)1[(1)](1)1(2)(1)12525i i i i i z i i i i i i −−−−−−−−====−−+++++++ 。

(3)一复数对应的向量按逆时针方向旋转23π时对应的复数为1i +，则原复数为1122−+−+。

提示：本题相当于解23111(1)()(1)2222i z ei i i i π−−+−=+=−−+=+。

(4)设1z =2z i =−，则12z z 的指数式i122e π，12zz 的三角式为 155[cos sin 21212i ππ+。

(5)2122lim1z zz z z z →+−−=−32。

提示：211122(2)(1)23limlim lim 1(1)(1)12z z z zz z z z z z z z z z →→→+−−+−+===−−++。

(6)设复数z 满足arg(2)3z π+=，5arg(2)6z π−=，那么z=1−+。

提示：（利用复数的几何意义）向量2z −与向量2z +夹角为5632πππ−=，在复平面上，代表复数2z −、z 、2z +的点在平行于x 轴的直线上（由于此三点的虚轴没有发生变2化）。

连接0，2z +，2z −的三角形为Rt Δ。

因此推出向量2z =，2arg 3z π=，即1z =−+。

本题也可以利用代数法来做。

2、把复数πααα≤≤+−=0,sin cos 1i z 化为三角表示式与指数表示式，并求z 的辐角主值。

习题一1. 用复数的代数形式a +ib 表示下列复数π/43513;;(2)(43);711i i e i i i i i -++++++.①解：i 4πππe cos isin 442222-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-=+-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭②解： ()()()()35i 17i 35i 1613i 7i 11+7i 17i 2525+-+==-++- ③解： ()()2i 43i 834i 6i 510i ++=-++=+④解： ()31i 1335=i i i 1i 222-+-+=-+2.求下列各复数的实部和虚部(z =x +iy )(z a a z a -∈+); 333;;;.n z i①解： ∵设z =x +iy 则 ()()()()()()()22i i i i i i x a y x a y x y a x a y z a z a x y a x a y x a y-++-⎡⎤⎡⎤+--+-⎣⎦⎣⎦===+++++++∴()22222Re z a x a y z a x a y ---⎛⎫= ⎪+⎝⎭++, ()222Im z a xy z a x a y -⎛⎫= ⎪+⎝⎭++． ②解： 设z =x +iy∵()()()()()()()()323222222223223i i i 2i i 22i33iz x y x y x y x y xy x y x x y xy y x y x y x xy x y y =+=++=-++⎡⎤=--+-+⎣⎦=-+- ∴()332Re 3z x xy =-, ()323Im 3z x y y =-．③解：∵(()(){}33232111313188-+⎡⎤⎡⎤==--⋅-⋅+⋅-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎝⎭()180i 18=+=∴Re 1=⎝⎭, Im 0=⎝⎭． ④解：∵()()(()2332313131i 8⎡⎤--⋅-⋅+⋅-⎢⎥⎣⎦=⎝⎭ ()180i 18=+=∴Re 1=⎝⎭, Im 0=⎝⎭．⑤解： ∵()()1,2i 211i,k n k n k k n k ⎧-=⎪=∈⎨=+-⋅⎪⎩．∴当2n k =时，()()Re i 1k n =-，()Im i 0n =；当21n k =+时，()Re i 0n =，()()Im i 1k n =-．3.求下列复数的模和共轭复数12;3;(2)(32);.2i i i i +-+-++①解：2i -+== 2i 2i -+=-- ②解：33-= 33-=-③解：()()2i 32i 2i 32i ++=++()()()()()()2i 32i 2i 32i 2i 32i 47i++=+⋅+=-⋅-=-④解：1i1i 22++== ()1i 11i222i ++-⎛⎫== ⎪⎝⎭4、证明：当且仅当z z =时，z 才是实数．证明：若z z =，设i z x y =+，则有 i i x y x y +=-，从而有()2i 0y =，即y =0∴z =x 为实数．若z =x ，x ∈，则z x x ==． ∴z z =． 命题成立． 5、设z ,w ∈，证明： z w z w ++≤ 证明：∵()()()()2z w z w z w z w z w +=+⋅+=++()()22222Re z z z w w z w w z zw z w wz wz w =⋅+⋅+⋅+⋅=++⋅+=++⋅ ()2222222z w z wz w z w z w ++⋅=++⋅=+≤ ∴z w z w ++≤． 6、设z ,w ∈，证明下列不等式．()2222Re z w z z w w +=+⋅+()2222Re z w z z w w -=-⋅+ ()22222z w z w z w ++-=+并给出最后一个等式的几何解释． 证明：()2222Re z w z z w w +=+⋅+在上面第五题的证明已经证明了．下面证()2222Re z w z z w w -=-⋅+．∵()()()()222z w z w z w z w z w z z w w z w -=-⋅-=--=-⋅-⋅+()222Re z z w w =-⋅+．从而得证． ∴()22222z w z w z w ++-=+几何意义：平行四边形两对角线平方的和等于各边的平方的和．7.将下列复数表示为指数形式或三角形式3 352π2π;;1;8π(1);.cos sin7199ii ii+⎛⎫--+⎪+⎝⎭①解：()()()()35i17i35i7i117i17i+-+=++-3816i198ie5025iθ⋅--===其中8πarctan19θ=-．②解：e iiθ⋅=其中π2θ=．π2e ii=③解：ππi i1e e-==④解：()28π116ππ3θ-==-.∴()2πi38π116πe--=⋅⑤解：32π2πcos isin99⎛⎫+⎪⎝⎭解：∵32π2πcos isin199⎛⎫+=⎪⎝⎭．∴322πiπ.3i932π2πcos isin1e e99⋅⎛⎫+=⋅=⎪⎝⎭8.计算：(1)i的三次根；(2)-1的三次根；的平方根.⑴i的三次根．()13ππ2π2πππ22cos sin cos isin0,1,22233++⎛⎫+=+=⎪⎝⎭k ki k∴1ππ1cos isin i662=+z．2551cosπisinπi662=+=z3991cosπisinπi662=+=z⑵-1的三次根()()132π+π2ππcosπisinπcos isin0,1,233k kk++=+=∴1ππ1cos isin332=+=z2cosπisinπ1=+=-z3551cosπisinπ332=+=-z的平方根．解：πi4e⎫=⎪⎪⎝⎭)()1π12i44ππ2π2π44e6cos isin0,122k kk⎛⎫++⎪=⋅+=⎪⎝⎭∴π11i8441ππ6cos isin6e88⎛⎫=⋅+=⋅⎪⎝⎭z911πi8442996cosπisinπ6e88⎛⎫=⋅+=⋅⎪⎝⎭z．9.设2πe,2inz n=≥. 证明：110nz z-+++=证明：∵2πie nz⋅=∴1nz=，即10nz-=．∴()()1110nz z z--+++=又∵n≥2．∴z≠1从而211+0nz z z-+++=11.设Γ是圆周{:},0,e.iz r r a c rz cα=>=+-令:Im0z aL zbβ⎧-⎫⎛⎫==⎨⎬⎪⎝⎭⎩⎭,其中e ibβ=.求出Lβ在a切于圆周Γ的关于β的充分必要条件.解：如图所示．因为Lβ={z: Imz ab-⎛⎫⎪⎝⎭=0}表示通过点a且方向与b同向的直线，要使得直线在a处与圆相切，则CA⊥Lβ．过C作直线平行Lβ，则有∠BCD=β，∠ACB=90°故α-β=90°所以Lβ在α处切于圆周T的关于β的充要条件是α-β=90°．12.指出下列各式中点z所确定的平面图形，并作出草图.(1)argπ;(2);1(3)1|2;(4)Re Im;(5)Im1 2.zz zz iz zz z==-<+<>><且解：(1)、argz=π．表示负实轴．(2)、|z-1|=|z|．表示直线z=12．(3)、1<|z+i|<2解：表示以-i为圆心，以1和2为半径的周圆所组成的圆环域。

习题 七1.证明：如果f (t )满足傅里叶变换的条件，当f (t )为奇函数时，则有⎰+∞⋅=0d sin )()(ωωωt b t f其中()⎰+∞⋅=0tdt sin π2)(ωωt f b当f (t )为偶函数时，则有⎰+∞⋅=0cos )()(ωωtd w a t f其中⎰+∞⋅=02tdt c f(t))(ωωos a证明：因为ωωωd G t f t i ⎰+∞∞-=e )(π21)(其中)(ωG 为f (t )的傅里叶变换()()()(cos sin )i tG f t edt f t t i t dt ωωωω+∞+∞--∞-∞==⋅-⎰⎰()cos ()sin f t tdt i f t tdt ωω+∞+∞-∞-∞=⋅-⋅⎰⎰当f (t )为奇函数时，t cos f(t)ω⋅为奇函数，从而⎰+∞∞-=⋅0tdt cos f(t)ωt sin f(t)ω⋅为偶函数，从而⎰⎰+∞∞-+∞⋅=⋅0.sin f(t)2tdt sin f(t)tdt ωω故.sin f(t)2)(0tdt iG ωω⋅-=⎰+∞有)()(ωωG G -=-为奇数。

ωωωωπωωπωd t i t G d e G t f t i )sin (cos )(21)(21)(+⋅=⋅=⎰⎰+∞∞-+∞∞-=01()sin d ()sin d 2ππi G i t G t ωωωωωω+∞+∞-∞⋅=⋅⎰⎰ 所以，当f(t)为奇函数时，有2()b()sin d .b()=()sin dt.πf t t f t t ωωωωω+∞+∞=⋅⋅⎰⎰其中同理，当f(t)为偶函数时，有()()cos d f t a t ωωω+∞=⋅⎰.其中02()()cos πa f t tdt ωω+∞=⋅⎰ 2.在上一题中，设()f t =21,0,1t t t ⎧<⎪⎨≥⎪⎩.计算()a ω的值.解:1200111220012012011200222()()cos d cos d 0cos d πππ221cos d d(sin )ππ122sin sin 2d 0ππ2sin 4(cos )π2sin 4cos cos π2sin 4co a f t t t t t t t t t t t t t t t t t tt d t t t tdt ωωωωωωωωωωωωωωπωωωωωπωωπω+∞+∞=⋅=⋅+⋅=⋅=⋅=⋅⋅-⋅=⋅+⋅⎡⎤=+⋅-⎢⎥⎣⎦=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰23s 4sin ωωπωπω-3.计算函数sin ,6π()0,6πt t f t t ⎧≤⎪=⎨≥⎪⎩的傅里叶变换. 解:[]6π6π6π6π6π02()()d sin d sin (cos sin )d 2sin sin d sin 6ππ(1)i t i t F f f t e t t e tt t i t ti t t t i ωωωωωωωω+∞---∞--=⋅=⋅=⋅-=-⋅=-⎰⎰⎰⎰4.求下列函数的傅里叶变换 (1)()tf t e -=解： []||(||)0(1)(1)2F f ()()d d d 2d d 1i t t i t t i t t i t i f te t e e t e te t e t ωωωωωωω+∞+∞+∞----+-∞-∞-∞+∞--+-∞==⋅==+=+⎰⎰⎰⎰⎰(2)2()t f t t e-=⋅解：因为22222/4F[].()(2)2.t t t t e ee e t t e ω-----==⋅-=-⋅而所以根据傅里叶变换的微分性质可得224()F()tG t e e ωω--=⋅=(3)2sin π()1tf t t =- 解：222202200sin π()F()()d 1sin π(cos sin )d 11[cos(π)cos(π)]sin πsin 2d 2d 11cos(π+)cos(π-)d d ()11sin ,||π20,|i tt G f e t t tt i t t t t t t t i t i t t t t t i t i t t t iωωωωωωωωωωωωω+∞--∞+∞-∞+∞+∞-∞+∞+∞==⋅-=⋅---+--⋅=-=---=----≤=⎰⎰⎰⎰⎰⎰利用留数定理当当|π.⎧⎪⎨⎪≥⎩(4)41()1f t t=+ 解:4444401cos sin ()d d d 111cos cos 2d d 11i tt t G e t t i t t t t t t t t t t ωωωωωω+∞+∞+∞--∞-∞-∞+∞+∞-∞==-+++==++⎰⎰⎰⎰⎰令41R(z)=1z +，则R(z)在上半平面有两个一级极1)i i +-+. R()d 2π[R())]2π[R()1)]i t i z i z t e t i Res z e i i Res z e i ωωω+∞-∞⋅=⋅⋅++⋅⋅-+⎰故.|244cos ||||d Re[d ]sin )1122i t t e t t t t ωωωωω+∞+∞--∞-∞=+++⎰⎰(5) 4()1tf t t =+ 解:4444()d 1sin cos d d 11sin d 1i t tG e t t t t t t t i t t t t t i tt ωωωωω+∞--∞+∞+∞-∞-∞+∞-∞=⋅+⋅=⋅-++⋅=-+⎰⎰⎰⎰ 同(4).利用留数在积分中的应用,令4R()=1zz z +则44|sin d ()Im(d )11sin22i tt tt e i t i t t t ie ωωωω+∞+∞-∞-∞-⋅⋅-=-++=-⋅⋅⎰⎰.5.设函数F (t )是解析函数，而且在带形区域Im()t δ<内有界.定义函数()L G ω为/2/2()()e d .L i t L L G F t t ωω--=⎰证明当L →∞时，有1p.v.()e d ()2πi t L G F t ωωω∞-∞→⎰ 对所有的实数t 成立.(书上有推理过程) 6.求符号函数 1,0sgn 1,0||t t t t t -<⎧==⎨>⎩的傅里叶变换. 解: 因为1F (())π().u t i δωω=+⋅把函数sgn()t 与u(t)作比较.不难看出 sgn()()().t u t u t =-- 故：[]11F[sgn()]F(())F(())π()[π()]π()22π()()t u t u t i i i i δωδωωδωδωωω=--=+⋅-+⋅--=+--=7.已知函数()f t 的傅里叶变换()00F()=π()(),ωδωωδωω++-求()f t解:[]000-100000001()F (F())=π()()d 2πF(cos )=cos d d 2π[()()]()cos i ti t i t i t i tf t e t t e te e e tf t tωωωωωωδωωδωωωωωδωωδωωω+∞-∞+∞--∞-+∞--∞=⋅++-⋅+=⋅=++-=⎰⎰⎰而所以8.设函数f (t )的傅里叶变换()F ω，a 为一常数. 证明1[()]().f at F a a ωω⎛⎫=⎪⎝⎭1F[()]()()d ()d()i t i t f at f at e t f at e at a ωωω+∞+∞---∞-∞=⋅=⋅⎰⎰解:当a >0时,令u=at .则11F[()]()()d u i a f at f u e u F a a a ωωω-+∞-∞⎛⎫=⋅= ⎪⎝⎭⎰当a <0时,令u=at ,则1F[()]()F()f at a aωω=-. 故原命题成立.9.设()[]();F F f ωω=证明()()[]()F f t ωω=--F .证明：()[]()()()()()[]()[]()()[]()()e d e d e d e d e d .i t i u i i u u i t F f t f uf t u t f u f uu u f t F t ωωωωωωω+∞+∞--∞-∞+∞+∞--⋅-⋅--∞-∞+∞-⋅--∞=⋅=-⋅--=⋅=⋅=⋅=-⎰⎰⎰⎰⎰10.设()[]()F F f ωω=，证明：()[]()()()0001cos 2F f t F F t ωωωωωω⋅=-++⎡⎤⎣⎦以及()[]()()()0001sin .2F f t F F t ωωωωωω⋅=--+⎡⎤⎣⎦ 证明：()[]()()()()()0000000e +e cos 21e e 22212i t i t i t i t F f t F t f t F F f f t t F F ωωωωωωωωω--⎡⎤⋅=⋅⎢⎥⎣⎦⎧⎫⎡⎤⎡⎤=+⋅⋅⎨⎬⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎩⎭=-++⎡⎤⎣⎦同理：()[]()()(){}()()0000000e e sin 21e e 212i t i t i t i t Ff t F f t t i F F f f t t i F F i ωωωωωωωωω--⎡⎤-⋅=⋅⎢⎥⎣⎦=-⎡⎤⎡⎤⋅⋅⎣⎦⎣⎦=--+⎡⎤⎣⎦ 11.设()()π0,0sin ,0t 200e ,t t t f g t t t -⎧<⎧≤≤⎪==⎨⎨≥⎩⎪⎩，其他计算()*f g t . 解：()())*(d f y g y t f g t y +∞-∞-=⎰当t y o -≥时，若0,t <则()0,f y =故()*f g t =0.若0,0,2t y t π<≤<≤则()()()0()d sin d *t ty f y g y e y t f g t y t y -=⋅--=⎰⎰若,0..222t t y t y t πππ>≤-≤⇒-≤≤则()()2sin d *ty t e y t f g y t π--⋅-=⎰故()()()20,01,0sin cos e *221e .1e 22t t t t t t f g t t πππ--<⎧⎪⎪<≤-+=⎨⎪⎪>+⎩12.设()u t 为单位阶跃函数，求下列函数的傅里叶变换.()()()0e sin 1at f t u t t ω-=⋅()()()()()()()00000000002002e sin e e sin e e e e e 211e d d d d e 2d 2at i t at i t i t i t ati ta i t a i t ttG F t u f t t t i i i t t a i ωωωωωωωωωωωωωωωω+∞-∞+∞+∞+∞+--------+--++⎡⎤⎡⎤⎣∞⎣⎦⎦=====-=⋅⋅⋅⋅⋅-⋅⋅++⎰⎰⎰⎰⎰解：习题八1.求下列函数的拉普拉斯变换.(1)()sin cos f t t t =⋅，(2)4()etf t -=，(3)2()sin f t t= (4)2()f t t =， (5)()sinh f t bt=解: (1) 1()sin cos sin 22f t t t t =⋅=221121(())(sin 2)2244L f t L t s s ==⋅=++(2)411(())(e )24tL f t L s -==+(3)21cos 2()sin 2t f t t -==221cos21111122(())()(1)(cos2)222224(4)t L f t L L t s s s s -==-=⋅-⋅=++(4)232()L t s = (5)22e e 111111(())()(e )(e )22222bt bt bt bt bL f t L L L s b s b s b ---==-=⋅-⋅=-+-2.求下列函数的拉普拉斯变换.（1）2,01()1,120,2t f t t t ≤<⎧⎪=≤<⎨⎪≥⎩(2)cos ,0π()0,πt t f t t ≤<⎧=⎨≥⎩解: (1) 1220011(())()e 2e e (2e e )st st st s s L f t f t dt dt dt s +∞-----=⋅=⋅+=--⎰⎰⎰(2)πππ2011e (())()e cos e (1e )1s ststsL f t f t dt t dt s s -+∞---+=⋅=⋅=+++⎰⎰3.设函数()cos ()sin ()f t t t t u t δ=⋅-⋅,其中函数()u t 为阶跃函数, 求()f t 的拉普拉斯变换.解:20222(())()e cos ()e sin ()e cos ()e sin e 11cos e 1111st st st st st stt L f t f t dt t t dt t u t dtt t dt t dts t s s s δδ+∞+∞+∞---+∞+∞---∞-==⋅=⋅⋅-⋅⋅=⋅⋅-⋅=⋅-=-=+++⎰⎰⎰⎰⎰4.求图8.5所表示的周期函数的拉普拉斯变换解：2()e 1(())1e (1e )Tst T T as as f t dt as aL f t s s ---⋅+==---⎰5. 求下列函数的拉普拉斯变换.(1)()sin 2tf t lt l=⋅ (2)2()e sin5t f t t -=⋅(3)()1e t f t t =-⋅ (4)4()e cos4t f t t-=⋅(5()(24)f t u t =- (6()5sin 23cos 2f t t t =-(7) 12()e t f t t δ=⋅ (8) 2()32f t t t =++解:(1)222222221()sin [()sin ]221()(())(sin )[()sin ]22112()22()()tf t lt t lt l lt F s L f t L lt L t lt l ll ls s l s l l s l s l =⋅=--⋅==⋅=--⋅-'=-=-⋅=+++(2)225()(())(e sin 5)(2)25t F s L f t L t s -==⋅=++21(3)()(())(1e )(1)(e )(e )1111()1(1)t t t F s L f t L t L L t L t ss s s s ==-⋅=-⋅=+-⋅'=+=--- (4)424()(())(ecos 4)(4)16ts F s L f t L t s -+==⋅=++ (5)1,2(24)0,t u t >⎧-=⎨⎩其他22()(())((24))=(24)e 1=e =e st stsF s L f t L u t u t dtdt s∞-∞--==--⋅⎰⎰(6)222()(())(5sin 23cos2)5(sin 2)3(cos2)210353444F s L f t L t t L t L t s ss s s ==-=--=⋅-⋅=+++ (7)12332213(1)()22()(())(e )()()t F s L f t L t s s δδδΓ+Γ==⋅==-- (8)2221()(())(32)()3()2(1)(232)F s L f t L t t L t L t L s s s ==++=++=++6.记[]()()L f s F s =，对常数0s ，若00Re()s s δ->，证明00[e ]()()s t L f s F s s ⋅=-证明:00000()()00[e ]()e ()e ()e()e ()s t s tsts s ts s t L f s f t dtf t dt f t dt F s s ∞-∞∞---⋅=⋅⋅=⋅=⋅=-⎰⎰⎰7 记[]()()L f s F s =，证明:()()[(t)()]()n nF s L f t s =-⋅证明：当n=1时,0()()e st F s f t dt +∞-=⋅⎰0()[()e ][()e ]()e (())st stst F s f t dt f t dt t f t dt L t f t s+∞--+∞+∞-''=⋅∂⋅==-⋅⋅=-⋅∂⎰⎰⎰所以，当n=1时, ()()[(t)()]()n nFs L f t s =-⋅显然成立。

复变函数与积分变换（修订版）主编：马柏林（复旦大学出版社）——课后习题答案习题一1. 用复数的代数形式a +ib 表示下列复数π/43513;;(2)(43);711i i e i i i i i-++++++.①解i 4πππe cos isin 44-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ②解： ()()()()35i 17i 35i 1613i7i 11+7i 17i 2525+-+==-++-③解： ()()2i 43i 834i 6i 510i ++=-++=+ ④解：()31i 1335=i i i 1i 222-+-+=-+2.求下列各复数的实部和虚部(z =x +iy )(z a a z a -∈+); 333;;;.n z i ①：∵设z =x +iy则()()()()()()()22i i i i i i x a y x a y x y a x a y z a z a x y a x a y x a y -++-⎡⎤⎡⎤+--+-⎣⎦⎣⎦===+++++++ ∴()22222Re z a x a y z a x a y ---⎛⎫= ⎪+⎝⎭++,()222Im z a xy z a x a y -⎛⎫= ⎪+⎝⎭++． ②解： 设z =x +iy∵()()()()()()()()323222222223223i i i 2i i 22i33iz x y x y x y x y xy x y x x y xy y x y x y x xy x y y =+=++=-++⎡⎤=--+-+⎣⎦=-+- ∴()332Re 3z x xy =-, ()323Im 3z x y y =-．③解：∵(()(){}33232111313188-+⎡⎤⎡⎤==--⋅-⋅+⋅-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎝⎭()180i 18=+=∴Re 1=⎝⎭, Im 0=⎝⎭． ④解：∵()()(()2332313131i 8⎡⎤--⋅-⋅+⋅-⎢⎥⎣⎦=⎝⎭()180i 18=+=∴Re 1=⎝⎭, Im 0=⎝⎭．⑤解： ∵()()1,2i 211i,knkn k k n k ⎧-=⎪=∈⎨=+-⋅⎪⎩． ∴当2n k =时，()()Re i 1k n =-，()Im i 0n =；当21n k =+时，()Re i 0n =，()()Im i 1kn =-．3.求下列复数的模和共轭复数12;3;(2)(32);.2ii i i +-+-++①解：2i -+=2i 2i -+=--②解：33-=33-=-③解：()()2i 32i 2i 32i ++=++=()()()()()()2i 32i 2i 32i 2i 32i 47i ++=+⋅+=-⋅-=-④解：1i 1i 22++==()1i 11i222i ++-⎛⎫== ⎪⎝⎭4、证明：当且仅当z z =时，z 才是实数．证明：若z z =，设i z x y =+，则有 i i x y x y +=-，从而有()2i 0y =，即y =0 ∴z =x 为实数．若z =x ，x ∈ ，则z x x ==． ∴z z =．命题成立．5、设z ,w ∈ ，证明： z w z w ++≤证明∵()()()()2z w z w z w z w z w +=+⋅+=++()()22222Re z z z w w z w wz zw z w w z wz w =⋅+⋅+⋅+⋅=++⋅+=++⋅()2222222z w z wz w z w z w ++⋅=++⋅=+≤∴z wz w ++≤．6、设z ,w ∈ ，证明下列不等式． ()2222Re z w z z w w +=+⋅+ ()2222Re z w z z w w -=-⋅+()22222z w z w z w++-=+并给出最后一个等式的几何解释．证明：()2222Re z w z z w w +=+⋅+在上面第五题的证明已经证明了． 下面证()2222Re z w z z w w -=-⋅+．∵()()()()222z w z w z w z w z w z z w w z w-=-⋅-=--=-⋅-⋅+()222Re z z w w =-⋅+．从而得证．∴()22222z w z w z w++-=+几何意义：平行四边形两对角线平方的和等于各边的平方的和． 7.将下列复数表示为指数形式或三角形式3352π2π;;1;8π(1);.cos sin 7199i i i i +⎛⎫--+ ⎪+⎝⎭ ①解：()()()()35i 17i 35i 7i 117i 17i +-+=++-3816i 198i e 5025i θ⋅--===其中8πarctan 19θ=-． ②解：e i i θ⋅=其中π2θ=．π2e ii =③解：ππi i 1e e -==④解：()28π116ππ3θ-==-.∴()2πi 38π116πe--+=⋅⑤解：32π2πcos isin 99⎛⎫+ ⎪⎝⎭解：∵32π2πcos isin 199⎛⎫+= ⎪⎝⎭．∴322πi π.3i 932π2πcos isin 1e e 99⋅⎛⎫+=⋅= ⎪⎝⎭8.计算：(1)i 的三次根；(2)-1的三次根；(3)的平方根. ⑴i 的三次根．解：()13ππ2π2πππ22cos sin cosisin 0,1,22233++⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭k k i k∴1ππ1cos isin i 662=+=+z ． 2551cos πisin πi 662=+=z3991cos πisin πi 662=+=-z⑵-1的三次根 解：()()132π+π2ππcos πisin πcosisin 0,1,233k k k ++=+=∴1ππ1cos isin 332=+=z2cos πisin π1=+=-z3551cos πisin π332=+=-z的平方根．πi 4e ⎫⎪⎪⎝⎭)()1π12i44ππ2π2π44e6cos isin 0,122k k k ⎛⎫++ ⎪=⋅+= ⎪⎝⎭∴π11i 8441ππ6cos isin 6e 88⎛⎫=⋅+=⋅ ⎪⎝⎭z911πi 8442996cos πisin π6e 88⎛⎫=⋅+=⋅ ⎪⎝⎭z ．9.设2πe,2inz n =≥. 证明：110n z z -+++=证明：∵2πi e nz ⋅= ∴1n z =，即10n z -=．∴()()1110n z z z --+++=又∵n ≥2． ∴z ≠1从而211+0n z z z -+++=11.设Γ是圆周{:},0,e .i z r r a c r z c α=>=+-令:Im 0z a L z b β⎧-⎫⎛⎫==⎨⎬⎪⎝⎭⎩⎭, 其中e i b β=.求出L β在a 切于圆周Γ的关于β的充分必要条件. 解：如图所示．因为L β={z : Im z a b -⎛⎫⎪⎝⎭=0}表示通过点a 且方向与b 同向的直线，要使得直线在a 处与圆相切，则CA⊥L β．过C 作直线平行L β，则有∠BCD =β，∠ACB =90° 故α-β=90°所以L β在α处切于圆周T 的关于β的充要条件是α-β=90°．12.指出下列各式中点z 所确定的平面图形，并作出草图.(1)arg π;(2);1(3)1|2;(4)Re Im ;(5)Im 1 2.z z z z i z z z z ==-<+<>><且解：(1)、argz =π．表示负实轴．(2)、|z -1|=|z |．表示直线z =12．(3)、1<|z +i|<2解：表示以-i 为圆心，以1和2为半径的周圆所组成的圆环域。

1. 复级数1nn a∞=∑与1nn b∞=∑都发散,则级数1()nn n ab ∞=±∑和1n n n a b ∞=∑发散.这个命题是否成立?为什么?答.不一定．反例: 2211111111i ,i n n n n n n a b n n n n ∞∞∞∞=====+=-+∑∑∑∑发散但2112()i n n n n a b n ∞∞==+=⋅∑∑收敛 112()n nn n ab n∞∞==-=∑∑发散 241111[()]n n n n a b n n∞∞===-+∑∑收敛.2. 下列复数项级数是否收敛,是绝对收敛还是条件收敛?(1)2111i n n n +∞=+∑ (2)115i ()2nn ∞=+∑ (3) π1ei nn n∞=∑ (4) 1i ln nn n∞=∑ (5)cosi 2n n n ∞=∑解 (1) 211111i 1(1)i 1(1)i n n nn n n n n n n +∞∞∞===++-⋅-==+⋅∑∑∑ 因为11n n ∞=∑发散,所以2111i n n n +∞=+∑发散(2)1115i 2nnn n ∞∞==+=∑∑发散 又因为15i 15lim()lim(i)0222n nn n →∞→∞+=+≠ 所以115i()2nn ∞=+∑发散(3)πi11e 1nn n n n ∞∞===∑∑发散,又因为π111ππcosisin e 1ππ(cos isin )i nn n n n n n n n n n ∞∞∞===+==+∑∑∑收敛,所以不绝对收敛. (4)11i 1ln ln n n n n n∞∞===∑∑ 因为11ln 1n n >- 所以级数不绝对收敛.又因为当n=2k 时, 级数化为1(1)ln 2kk k∞=-∑收敛当n=2k+1时, 级数化为1(1)ln(21)kk k ∞=-+∑也收敛所以原级数条件收敛(5) 0000cosi 1e e 1e 11()()2222222n n n nnn n n n n n e -∞∞∞∞====+=⋅=+∑∑∑∑ 其中0e ()2nn ∞=∑ 发散,01()2n n e ∞=∑收敛 所以原级数发散.3.证明:若Re()0n a ≥,且1nn a∞=∑和21nn a∞=∑收敛,则级数21nn a∞=∑绝对收敛.证明:设2222i ,(i )2i n n n n n n n n n n a x y a x y x y x y =+=+=-+ 因为1nn a∞=∑和21nn a∞=∑收敛所以21111,,(),n nnn n n n n n n x y xy x y ∞∞∞∞====-∑∑∑∑收敛又因为Re()0n a ≥,所以0n x ≥且2lim lim 0n n n n x x →∞→∞== 当n 充分大时, 2n n x x <所以21nn x∞=∑收敛2222222()n n n n n n a x y x x y =+=--而212nn x∞=∑收敛，221()n n n xy ∞=-∑收敛所以21nn a∞=∑收敛，从而级数21nn a∞=∑绝对收敛.4.讨论级数1()n n n zz ∞+=-∑的敛散性解 因为部分和110()1nk k n n k s zz z ++==-=-∑，所以，1,1n z s <→-当时1,0n z s =→当时，1,n z s =-当时不存在.当i e z θ=而0θ≠时（即1,1z z =≠），cosn θ和sinn θ都没有极限,所以也不收敛．,n z s →∞当>1时.故当1z =和1z <时, 1()n n n zz ∞+=-∑收敛.5.幂级数(2)nnn C z ∞=-∑能否在z=0处收敛而在z=3处发散.解： 设1limn n nC C ρ+→∞=，则当12z ρ-<时，级数收敛，12z ρ->时发散.若在z=0处收敛,则12ρ>若在z=3处发散, 则11ρ<显然矛盾,所以幂级数0(2)nnn C z ∞=-∑不能在z=0处收敛而在z=3处发散6.下列说法是否正确?为什么?(1)每一个幂级数在它的收敛圆周上处处收敛.(2) 每一个幂级数的和函数在它的收敛圆内可能有奇点.答: (1) 不正确,因为幂级数在它的收敛圆周上可能收敛,也可能发散. (2) 不正确,因为收敛的幂级数的和函数在收敛圆周内是解析的.7.若0nn n C z ∞=∑的收敛半径为R,求0nn n n C z b ∞=∑的收敛半径。

一、将下列复数用代数式、三角式、指数式表示出来。

(1) i 解：2cossin22ii e i πππ==+(2) -1解：1cos sin i e i πππ-==+ (3)1+解：()/3122cos /3sin /3i e i πππ+==+ (4) 1cos sin i αα-+ 解：2221cos sin 2sin 2sincos2sin(sincos )2222222sincos()sin()2sin 222222i i i i i e πααααααααααπαπαα⎛⎫- ⎪⎝⎭-+=+=+⎛⎫=-+-= ⎪⎝⎭(5) 3z解：()3333cos3sin3i z r e r i θθθ==+ (6) 1i e +解：()1cos1sin1i i e ee e i +==+(7)11ii-+ 解：3/411cos3/4sin 3/411i i i i e i i i πππ--==-==+++二、计算下列数值(1) 解：1ar 21ar 21ar 2 b i ctg k a bi ctg abi ctgaπ⎛⎫+ ⎪⎝⎭==⎧⎪=⎨⎪⎩(2)解：6226363463222i k i i i i e i ee e iπππππππ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎧=+⎪⎪⎪⎨====-+⎪⎪⎪=-⎩(3) i i 解：()2222ii k k i i e eππππ⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭==(4)解：()1/2222ii k k eeππππ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭==(5) cos5α解：由于：()()552cos5i i e e ααα-+=，而：()()()()()()()()5555555555cos sin cos sin cos sin cos sin nni nn nni n n e i C i e i C i αααααααααα-=--==+==-=-∑∑所以：()()()()()()()()()()()555505555043253543251cos5cos sin cos sin 21 cos sin 112 5cos sin cos sin cos 5cos sin 10cos sin cos n n n nn n n n nn n C i i C i i C i ααααααααααααααααα--=--=⎡⎤=+-⎣⎦⎡⎤=+-⎣⎦=++=-+∑∑(6) sin5α解：由于：()()552sin 5i i ee ααα--=，所以：()()()()()()()()()()()()55550555505234245552341sin 5cos sin cos sin 21 cos sin 1121 sin cos sin sin cos sin 10cos sin 5sin cos n n n nn n n n nn n C i i i C i i i C i C i iααααααααααααααααα--=--=⎡⎤=--⎣⎦⎡⎤=--⎣⎦=++=-+∑∑ (7) cos cos2cos n ααα+++L L 解：()()221cos cos 2cos ()()2(1)1(1)11(1)(1)1 21122(1cos )1 2i i in i i in i in i i in i i in i in i i i n e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e ααααααααααααααααααααααα----------⎡⎤+++=+++++++⎣⎦⎡⎤--+--⎡⎤--⎢⎥=+=⎢⎥---⎢⎥⎣⎦⎣⎦+=L L L L L L (1)(1)22(1cos )12cos 22cos(1)2cos cos 1cos(1)cos 22(1cos )2(1cos )1sin()sin22 2sin2i i n i n in in e e e e n n n n n ααααααααααααααααα+-+-⎡⎤---++⎢⎥-⎣⎦⎡⎤--++--++==⎢⎥--⎣⎦+-=(8) sin sin 2sin n ααα+++L L 解：()()221sin sin 2sin ()()2(1)1(1)11(1)(1)1 21122(1cos )1 2i i in i i in i in i i in i i in i in i i i n e e e e e e i e e e e e e e e e e i e e i e i αααααααααααααααααααααα---------⎡⎤+++=+++-+++⎣⎦⎡⎤-----⎡⎤--⎢⎥=-=⎢⎥---⎢⎥⎣⎦⎣⎦=L L L L L L (1)(1)112(1cos )12sin 2sin(1)2sin sin sin(1)sin 22(1cos )2(1cos )1cos()cos22 2sin2i n in i i n in e e e e e i i n i n n n i n αααααααααααααααααα+--+-⎡⎤--+-++-⎢⎥-⎣⎦⎡⎤-++-++==⎢⎥--⎣⎦-++=1.2 复变函数1、试证明函数f (z )=Arg(z ) (-π<Arg(z) ≤π)，在负实轴上(包括原点)不连续。

习题一答案之马矢奏春创作1． 求下列复数的实部、虚部、模、幅角主值及共轭复数：（1）132i+ （2）(1)(2)i i i -- （3）131i i i -- （4）8214i i i -+- 解：（1）1323213i z i -==+， 因此：32Re , Im 1313z z ==-， （2）3(1)(2)1310i i i z i i i -+===---， 因此，31Re , Im 1010z z =-=， （3）133335122i i i z i i i --=-=-+=-， 因此，35Re , Im 32z z ==-， （4）82141413z i i i i i i =-+-=-+-=-+因此，Re 1, Im 3z z =-=，2． 将下列复数化为三角表达式和指数表达式：（1）i （2）1-+ （3）(sin cos )r i θθ+（4）(cos sin )r i θθ- （5）1cos sin (02)i θθθπ-+≤≤解：（1）2cos sin 22ii i e πππ=+= （2）1-+23222(cos sin )233i i e πππ=+= （3）(sin cos )r i θθ+()2[cos()sin()]22i r i re πθππθθ-=-+-=（4）(cos sin )r i θθ-[cos()sin()]i r i re θθθ-=-+-=（5）21cos sin 2sin 2sin cos 222i i θθθθθ-+=+ 3． 求下列各式的值： （1）5)i - （2）100100(1)(1)i i ++-（3）(1)(cos sin )(1)(cos sin )i i i θθθθ+-- （4）23(cos5sin5)(cos3sin3)i i ϕϕϕϕ+- （5（6解：（1）5)i -5[2(cos()sin())]66i ππ=-+- （2）100100(1)(1)i i ++-50505051(2)(2)2(2)2i i =+-=-=-（3）(1)(cos sin )(1)(cos sin )i i i θθθθ-+-- （4）23(cos5sin5)(cos3sin3)i i ϕϕϕϕ+- （5=（6= 4．设12 ,z z i ==-试用三角形式暗示12z z 与12z z 解：12cos sin , 2[cos()sin()]4466z i z i ππππ=+=-+-，所以 12z z 2[cos()sin()]2(cos sin )46461212i i ππππππ=-+-=+， 5． 解下列方程：（1）5()1z i += （2）440 (0)z a a +=>解：（1）z i+=由此25k iz i e iπ=-=-，(0,1,2,3,4)k=（2）z==11[cos(2)sin(2)]44a k i kππππ=+++，当0,1,2,3k=时，对应的4(1),(1),1),(1)i i i i+-+---6．证明下列各题：（1）设,z x iy=+z x y≤≤+证明：首先，显然有z x y=≤+；其次，因222,x y x y+≥固此有2222()(),x y x y+≥+从而z=≥。

习题三1. 计算‎积分2()d Cx y ix z -+⎰,其中C 为从原‎点到点1+i 的直线段‎.解 设直线段的方‎程为y x =,则z x ix =+. 01x ≤≤‎故 ()()12212310()11(1)(1)(1)333Cx y ix dz x y ix d x ix i i ix i dx i i x i -+=-++-=+=+⋅=+=⎰⎰⎰2‎. 计算积分(1)d Cz z -⎰，其中‎积分路径C 为(1)‎ 从点0到点1+i 的‎直线段;(2) 沿‎抛物线y =x 2，从点‎0到点1+i 的弧段.‎解 (1)设z x ix =+. ‎ 01x ≤≤()()111()Cz d z x i x dx i x i-=-++=⎰⎰ (2)‎设2z x ix =+. 01x ≤≤()()122211()3Ciz dz x ix d x ix -=-++=⎰⎰ ‎3. 计算积分d Cz z ⎰，其‎中积分路径C 为(1‎) 从点-i 到点i 的‎直线段;(2) 沿‎单位圆周|z |=1的‎左半圆周，从点-i 到‎点i ;(3) 沿单‎位圆周|z |=1的右‎半圆周，从点-i 到点‎i .解 (1)设‎z iy =. 11y -≤≤1111Cz dz ydiy i ydy i --===⎰⎰⎰(2‎)设i z e θ=. θ从32π到2π‎22332212i i Cz dz de i de i ππθθππ===⎰⎰⎰(3) 设i z e θ=.‎ θ从32π到2π23212i Cz dz de i πθπ==⎰⎰‎6. 计算积分()sin zCz ez dz -⋅⎰ ,其‎中C 为0za =>.解()sin sin zzCCCz ez dz z dz e zdz -⋅=-⋅⎰⎰⎰‎∵sin ze z ⋅在z a =所围的区域内‎解析∴sin 0zCezdz ⋅=⎰从而()2022sin 0z i CCi z e z dz z dz adae a i e d πθπθθ-⋅====⎰⎰⎰⎰ ‎故()sin 0zCz ez dz -⋅=⎰7. 计算‎积分21(1)Cdz z z +⎰,其中积分路径‎C 为（1）11:2C z =‎（2）23:2C z =（3）31:2C z i +=‎（4）43:2C z i -= 解：‎（1）在12z =所围的区域‎内，21(1)z z +只有一个奇点0z =‎. 12111111()2002(1)22CC dz dz i i z z z z i z i ππ=-⋅-⋅=--=+-+⎰⎰ （2）在2C 所‎围的区域内包含三个奇‎点0,z z i ==±.故22111111()20(1)22CC dz dz i i i z z z z i z iπππ=-⋅-⋅=--=+-+⎰⎰ （3）‎在2C 所围的区域内包含‎一个奇点z i =-,故32111111()00(1)22C C dz dz i i z z z z i z i ππ=-⋅-⋅=--=-+-+⎰⎰‎（4）在4C 所围的区域‎内包含两个奇点0,z z i ==,故‎42111111()2(1)22C C dz dz i i i z z z z i z i πππ=-⋅-⋅=-=+-+⎰⎰10.利用‎牛顿-莱布尼兹公式计‎算下列积分. ‎(1)20cos 2izdz π+⎰(2‎)z ie dz π--⎰ (3)21(2)iiz dz +⎰‎(4) 1ln(1)1iz dz z ++⎰ (5‎)1sin z zdz ⋅⎰(6)211tan cos izdz z +⎰‎解 (1)2201cos sin21222iiz z dz ch ππ++==⎰(2‎)2zz iiedz e ππ----=-=-⎰(3)22311111111(2)(2)(2)(2)333ii ii iz dz iz d iz iz i i +=++=⋅+=-+⎰⎰ (‎4) 222111ln(1)11ln(1)ln(1)ln (1)(3ln 2)1284ii iz dz z d z z z π+=++=+=-++⎰⎰ (5)11110000sin cos cos cos sin1cos1z zdz zd z z z zdz ⋅=-=-+=-⎰⎰⎰‎(6) 222112111221tan 1sec sec tan tan cos 2111tan1tan 1t 122ii i i iz dz zdz z zdz tanz z z ith h +=+=+⎛⎫=-+++ ⎪⎝⎭⎰⎰⎰11.‎ 计算积分21zCe dz z +⎰,其中C ‎为 (1) 1z i -= (‎2) 1z i += (3) ‎2z =解 (1)221()()z z ziz iC C e e e dz dz i e z z i z i z iππ===⋅=++-+⎰⎰ ‎(2)221()()z z zi z iC C e e e dz dz i e z z i z i z iππ-=-==⋅=-++--⎰⎰(3)‎122222sin1111z z z i iC C C e e e dz dz dz e e i z z z πππ-=+=-=+++⎰⎰⎰16. ‎求下列积分的值,其中‎积分路径C 均为|z |‎=1.(1) 5zC e dz z ⎰ ‎ (2) 3cos C z dz z ⎰(3)‎ 020tan12,()2C zdz z z z <-⎰ 解 (1) (4)52()4!12z z z C e i idz e z ππ===⎰ ‎(2)(2)3cos 2(cos )2!z C z i dz z i z ππ===-⎰(3)‎ 0'220tan22(tan )sec ()2z z C zz dz i z i z z ππ===-⎰17. 计‎算积分331(1)(1)C dz z z -+⎰ ,其中积分路‎径C 为(1)中心位‎于点1z =,半径为2R <的正‎向圆周(2) 中心‎位于点1z =-,半径为2R <的‎正向圆周解：(‎1) C内包含了奇点‎1z =∴(2)13331213()(1)(1)2!(1)8z C i idz z z z ππ===-++⎰ (2) C‎内包含了奇点1z =-,∴‎(2)13331213()(1)(1)2!(1)8z C i i dz z z z ππ=-==--+-⎰19. 验证下‎列函数为调和函数.‎3223(1)632;(2)e cos 1(e sin 1).x xx x y xy y y i y ωω=--+=+++解(1) 设w u i υ=+,‎3223632u x x y xy y=--+ 0υ=∴223123u x xy y x ∂=--∂ 22666ux xy y y∂=--+∂ ‎22612u x y x∂=-∂ 22612ux y y ∂=-+∂ 从而有22220u ux y ∂∂+=∂∂‎,w 满足拉普拉斯方程‎,从而是调和函数. ‎(2) 设w u i υ=+,cos 1x u e y =⋅+ ‎sin 1x e y υ=⋅+∴cos x u e y x ∂=⋅∂ s i n x ue y y∂=-⋅∂ 22cos x u e y x ∂=⋅∂ ‎ 22cos x u e y y∂=-⋅∂ 从而有22220u ux y∂∂+=∂∂,u ‎满足拉普拉斯方程,从‎而是调和函数. sin x e y x υ∂=⋅∂ ‎ cos x e y yυ∂=⋅∂ 22sin xe y x υ∂=⋅∂ 22s i n x y e yυ∂=-⋅∂ 22220x yυυ∂∂+=∂∂,‎υ满足拉普拉斯方程,‎从而是调和函数.‎20.证明:函数22u x y =-,‎22xx yυ=+都是调和函数,但()f z u i υ=+‎不是解析函数证明:‎ 2u x x ∂=∂ 2u y y ∂=-∂ 222u x ∂=∂ 222u y∂=-∂ ‎∴22220u ux y ∂∂+=∂∂,从而u 是调和函‎数. 22222()y x x x y υ∂-=∂+ 2222()xy y x y υ∂-=∂+ 223222362()xy x x x y υ∂-+=∂+ ‎ 223222362()xy x y x y υ∂-=∂+ ∴22220x yυυ∂∂+=∂∂,从而υ是‎调和函数. 但∵u x y υ∂∂≠∂∂ ‎ u yx υ∂∂≠-∂∂ ∴不满足C-R ‎方程,从而()f z u i υ=+不是解析‎函数.22.由下‎列各已知调和函数,求‎解析函数()f z u i υ=+ (1)22u x y xy =-+‎(2)22,(1)0yu f x y ==+ 解 (‎1)因为 2u x y x y υ∂∂=+=∂∂ 2u y x y xυ∂∂=-+=-∂∂ ‎ 所以22(,)(,)(2)(2)(2)00(0,0)(0,0)222u u x y x y y x dx dy C y x dx x y dy C xdx x y dy C y xx y xy Cυ∂∂=-++=-+++=-+++⎰⎰⎰⎰∂∂=-+++2222()i(2)22x y f z x y xy xy C =-++-+++令y ‎=0,上式变为22()i()2x f x x C =-+‎从而22()i i 2z f z z C =-⋅+(2)2222()u xy x x y ∂=-∂+ ‎ 22222()u x y y x y ∂-=∂+ 用线积分法，取‎（x 0,y 0）为(1‎,0)，有2(,)4222(1,0)122222()0()1110x y x u u x y ydx dy C dx x dy Cy x x x y x x yC x x y x y υ∂∂=-++=-+⎰∂∂+=-+=-+++⎰⎰ 2222()i(1)y xf z C x y x y=+-+++ ‎由(1)0.f =，得C=0 ()11f i z z ⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭‎23.设12()()()()n p z z a z a z a =--- ,其中(1,2,,)i a i n = ‎各不相同，闭路C 不通‎过12,,,n a a a ,证明积分1()d 2π()C p z z i p z '⎰ ‎等于位于C 内的p(z ‎)的零点的个数.‎证明: 不妨设闭路C ‎内()P z 的零点的个数为k ‎, 其零点分别为12,,...k a a a‎1112312121()()()...()...()1()12πi ()2πi ()()...()111111...2πi 2πi 2πi 111111...1...2πi 2πi nnk k n k k C Cn C C C nC C k n k z a z a z a z a z a P z dz dzP z z a z a z a dz dz dz z a z a z a dz d z a z a -==+-+--+--'=---=+++---=++++++--∏∏⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰个z k=24.试证明下‎述定理(无界区域的柯‎西积分公式): 设f ‎(z )在闭路C 及其外‎部区域D 内解析，且lim ()z f z A →∞=≠∞‎，则(),,1()d ,.2πC f z A z D f A z G i z ξξξ-+∈⎧=⎨∈-⎩⎰ 其中G 为C ‎所围内部区域.证‎明：在D 内任取一点Z ‎，并取充分大的R ，作‎圆C R : R z =，将C 与‎Z 包含在内则f(z ‎)在以C 及RC 为边界的‎区域内解析，依柯西积‎分公式，有R 1()()()[-]2πi C C f f f z d d z zζζζζζζ=--⎰⎰ 因为‎()f z zζζ-- 在R ζ>上解析，且‎()1lim lim ()lim ()11f f f z z ζζζζζζζζζ→∞→∞→∞=⋅==--所以，当Z 在C 外‎部时，有1()()2πi C f f z A d z ζζζ=--⎰即1()()2πi C f d f z A zζζζ=-+-⎰ ‎设Z 在C 内，则f(z ‎)=0，即 R 1()()0[]2πi C C f f d d zz ζζζζζζ=---⎰⎰ 故有‎：1()2πi C f d A z ζζζ=-⎰ ‎。

习题八1. 求下列函数的拉普拉斯变换.(1)()sin cos f t t t =⋅，(2)4()etf t -=，(3)2()sin f t t=(4)2()f t t =， (5)()sinh f t bt= 解: (1)1()sin cos sin 22f t t t t =⋅=221121(())(sin 2)2244L f t L t s s ==⋅=++(2)411(())(e )24t L f t L s -==+(3)21cos 2()sin 2tf t t -==221cos 21111122(())()(1)(cos 2)222224(4)tL f t L L t s s s s -==-=⋅-⋅=++(4) 232()L t s = (5)22e e 111111(())()(e )(e )22222bt btbt bt b L f t L L L s bs bs b ---==-=⋅-⋅=-+-2. 求下列函数的拉普拉斯变换.(1)2,01()1,120,2t f t t t ≤<⎧⎪=≤<⎨⎪≥⎩(2)cos ,0π()0,πt t f t t ≤<⎧=⎨≥⎩解: (1) 122011(())()e 2e e (2e e )st st st s s L f t f t dt dt dt s+∞-----=⋅=⋅+=--⎰⎰⎰(2) πππ2011e (())()e cos e (1e)1s ststsL f t f t dt t dt ss -+∞---+=⋅=⋅=+++⎰⎰3. 设函数()cos ()sin ()f t t t t u t δ=⋅-⋅,其中函数()u t 为阶跃函数, 求()f t 的拉普拉斯变换. 解:20222(())()e cos ()e sin ()e cos ()e sin e 11cos e1111st st st st st stt L f t f t dt t t dt t u t dtt t dt t dt s t s s s δδ+∞+∞+∞---+∞+∞---∞-==⋅=⋅⋅-⋅⋅=⋅⋅-⋅=⋅-=-=+++⎰⎰⎰⎰⎰4. 求图8.5所表示的周期函数的拉普拉斯变换解：2()e 1(())1e (1e )Tst T T asas f t dt as a L f t s s ---⋅+==---⎰5. 求下列函数的拉普拉斯变换.(1)()sin 2t f t lt l=⋅ (2)2()esin 5tf t t-=⋅(3)()1e t f t t =-⋅(4)4()e cos 4tf t t-=⋅(5)()(24)f t u t =- (6()5sin 23cos 2f t t t =-(7) 12()e t f t t δ=⋅ (8) 2()32f t t t =++ 解:(1)222222221()sin [()sin ]221()(())(sin )[()sin ]22112()22()()t f t lt t lt ll t F s L f t L lt L t lt l lllssl s l l s l s l =⋅=--⋅==⋅=--⋅-'=-=-⋅=+++(2)225()(())(esin 5)(2)25tF s L f t L t s -==⋅=++21(3)()(())(1e )(1)(e )(e )1111()1(1)t t t F s L f t L t L L t L t ss s s s ==-⋅=-⋅=+-⋅'=+=---(4)424()(())(ecos 4)(4)16ts F s L f t L t s -+==⋅=++(5)1,2(24)0,t u t >⎧-=⎨⎩其他22()(())((24))=(24)e 1=e =e st st sF s L f t L u t u t dtdt s∞-∞--==--⋅⎰⎰(6)222()(())(5sin 23cos 2)5(sin 2)3(cos 2)210353444F s L f t L t t L t L t s s s s s ==-=--=⋅-⋅=+++(7)12332213(1)()22()(())(e )()()t F s L f t L t s s δδδΓ+Γ==⋅==-- (8)2221()(())(32)()3()2(1)(232)F s L f t L t t L t L t L s s s==++=++=++6.记[]()()L f s F s =，对常数0s ，若00Re()s s δ->，证明00[e ]()()s t L f s F s s ⋅=-证明:00000()()00[e ]()e ()e ()e()e ()s t s t st s s ts s t L f s f t dtf t dt f t dt F s s ∞-∞∞---⋅=⋅⋅=⋅=⋅=-⎰⎰⎰7 记[]()()L f s F s =，证明:()()[(t)()]()n n F s L f t s =-⋅证明：当n=1时,()()e st F s f t dt +∞-=⋅⎰()[()e ][()e ]()e (())st st st F s f t dt f t dt t f t dt L t f t s+∞--+∞+∞-''=⋅∂⋅==-⋅⋅=-⋅∂⎰⎰⎰所以，当n=1时, ()()[(t)()]()n n Fs L f t s =-⋅显然成立。

复变函数与积分变换（修订版）主编：马柏林（复旦大学出版社）—课后习题答案习题一1. 用复数的代数形式a +ib 表示下列复数π/43513;;(2)(43);711i i e i i i i i-++++++.①解i πππe cos isin 44-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ②解： ()()()()35i 17i 35i 1613i7i 11+7i 17i 2525+-+==-++-③解： ()()2i 43i 834i 6i 510i ++=-++=+ ④解： ()31i 1335=i i i 1i 222-+-+=-+2.求下列各复数的实部和虚部(z =x +iy )(z a a z a -∈+); 33311;;;.22n z i ⎛⎛-+-- ⎝⎭⎝⎭① ：≧设z =x +iy则()()()()()()()22i i i i i i x a y x a y x y a x a y z a z a x y a x a y x a y-++-⎡⎤⎡⎤+--+-⎣⎦⎣⎦===+++++++ ≨()22222Re z a x a y z a x a y ---⎛⎫= ⎪+⎝⎭++,()222Im z a xy z a x a y-⎛⎫= ⎪+⎝⎭++． ②解： 设z =x +iy ≧()()()()()()()()323222222223223i i i 2i i 22i33iz x y x y x y x y xy x y x x y xy y x y x y x xy x y y =+=++=-++⎡⎤=--+-+⎣⎦=-+- ≨()332Re 3z x xy =-,()323Im 3z x y y =-．③解：≧(()(){}33232111313188-+⎡⎤⎡⎤==--⋅-⋅+⋅-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎝⎭()180i 18=+=≨Re 1=⎝⎭, Im 0=⎝⎭． ④解：≧()()(()2332313131i 8⎡⎤--⋅-⋅+⋅-⎢⎥⎣⎦=⎝⎭()180i 18=+=≨Re 1=⎝⎭, Im 0=⎝⎭． ⑤解： ≧()()1,2i 211i,kn kn k k n k ⎧-=⎪=∈⎨=+-⋅⎪⎩．≨当2n k =时，()()Re i 1k n =-，()Im i 0n =；当21n k =+时，()Re i 0n =，()()Im i 1kn =-．3.求下列复数的模和共轭复数12;3;(2)(32);.2ii i i +-+-++①解：2i -+2i 2i -+=--②解：33-=33-=-③解：()()2i 32i 2i 32i ++=++()()()()()()2i 32i 2i 32i 2i 32i 47i ++=+⋅+=-⋅-=-④解：1i 1i 22++==()1i 11i222i ++-⎛⎫== ⎪⎝⎭4、证明：当且仅当z z =时，z 才是实数．证明：若z z =，设i z x y =+，则有 i i x y x y +=-，从而有()2i 0y =，即y =0 ≨z =x 为实数．若z =x ，x ∈ ，则z x x ==． ≨z z =．命题成立．5、设z ,w ∈ ，证明： z w z w ++≤证明≧()()()()2z w z w z w z w z w +=+⋅+=++()()22222Re z z z w w z w wz zw z w w z wz w =⋅+⋅+⋅+⋅=++⋅+=++⋅()2222222z w z wz w z w z w ++⋅=++⋅=+≤≨z w z w ++≤．6、设z ,w ∈ ，证明下列不等式． ()2222Re z w z z w w +=+⋅+ ()2222Re z w z z w w -=-⋅+()22222z w z w z w++-=+并给出最后一个等式的几何解释．证明：()2222Re z w z z w w +=+⋅+在上面第五题的证明已经证明了．下面证()2222Re z w z z w w -=-⋅+．≧()()()()222z w z w z w z w z w z z w w z w-=-⋅-=--=-⋅-⋅+()222Re z z w w =-⋅+．从而得证．≨()22222z w z w z w++-=+几何意义：平行四边形两对角线平方的和等于各边的平方的和．7.将下列复数表示为指数形式或三角形式3352π2π;;1;8π(1);.cos sin 7199i i i i +⎛⎫--+ ⎪+⎝⎭ ①解：()()()()35i 17i 35i 7i 117i 17i +-+=++-3816i 198i e 5025i θ⋅--===其中8πarctan 19θ=-． ②解：e i i θ⋅=其中π2θ=．π2e i i =③解：ππi i 1e e -==④解：()28π116ππ3θ-==-.≨()2πi 38π116πe--+=⋅⑤解：32π2πcos isin 99⎛⎫+ ⎪⎝⎭ 解：≧32π2πcos isin 199⎛⎫+= ⎪⎝⎭．≨322πi π.3i 932π2πcos isin 1e e 99⋅⎛⎫+=⋅= ⎪⎝⎭8.计算：(1)i 的三次根；(2)-1的三次根；(3) 的平方根.⑴i 的三次根． 解：()13ππ2π2πππ22cos sin cosisin 0,1,22233++⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭k k i k≨1ππ1cosisin i 662=+=+z ．2551cos πi sin πi 662=+=z3991cos πi sin πi 662=+=-z ⑵-1的三次根 解：()()132π+π2ππcos πisin πcosisin 0,1,233k k k ++=+=≨1ππ1cos i sin 332=+=+z2cos πisin π1=+=-z3551cos πi sin π332=+=-z的平方根．πi 4e ⎫=⎪⎪⎝⎭≨)()1π1i ππ2π2π44e6cos isin 0,122k k k ⎛⎫++ ⎪=⋅+= ⎪⎝⎭≨π11i 8441ππ6cos isin 6e 88⎛⎫=⋅+=⋅ ⎪⎝⎭z911πi 8442996cos πisin π6e 88⎛⎫=⋅+=⋅ ⎪⎝⎭z ．9.设2πe,2inz n =≥. 证明：110n z z -+++=证明：≧2πi e nz ⋅= ≨1n z =，即10n z -=．≨()()1110n z z z --+++=又≧n ≥2． ≨z ≠1从而211+0n z z z -+++=11.设Γ是圆周{:},0,e .i z r r a c r z c α=>=+-令:Im 0z a L z b β⎧-⎫⎛⎫==⎨⎬⎪⎝⎭⎩⎭, 其中e i b β=.求出L β在a 切于圆周Γ的关于β的充分必要条件.解：如图所示．因为L β={z : Im z a b -⎛⎫⎪⎝⎭=0}表示通过点a 且方向与b 同向的直线，要使得直线在a 处与圆相切，则CA ⊥L β．过C 作直线平行L β，则有∠BCD =β，∠ACB =90°故α-β=90°所以L β在α处切于圆周T 的关于β的充要条件是α-β=90°．12.指出下列各式中点z 所确定的平面图形，并作出草图.(1)arg π;(2);1(3)1|2;(4)Re Im ;(5)Im 1 2.z z z z i z z z z ==-<+<>><且解：(1)、argz =π．表示负实轴．(2)、|z -1|=|z |．表示直线z =12．(3)、1<|z +i|<2解：表示以-i 为圆心，以1和2为半径的周圆所组成的圆环域。

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习题二1. 求映射1w z z=+下圆周||2z =的像. 解：设i ,i z x y w u v =+=+则 因为224x y +=,所以53i 44u iv x y +=+ 所以 54u x =,34v y =+ 所以()()2253442u v+=即()()222253221u v +=，表示椭圆.2. 在映射2w z =下，下列z 平面上的图形映射为w 平面上的什么图形，设e i w ϕρ=或i w u v =+.（1）π02,4r θ<<=； （2）π02,04r θ<<<<; (3) x=a, y=b .(a, b 为实数) 解：设222i ()2i w u v x iy x y xy =+=+=-+所以22,2.u x y v xy =-=(1) 记e i w ϕρ=，则π02,4r θ<<=映射成w 平面内虚轴上从O 到4i 的一段，即 (2) 记e i w ϕρ=，则π0,024r θ<<<<映成了w 平面上扇形域，即π04,0.2ρϕ<<<< (3) 记w u iv =+，则将直线x =a 映成了22,2.u a y v ay =-=即2224().v a a u =-是以原点为焦点，张口向左的抛物线将y =b 映成了22,2.u x b v xb =-=即2224()v b b u =+是以原点为焦点，张口向右抛物线如图所示.3. 求下列极限.(1) 21lim 1z z →∞+; 解：令1z t=,则,0z t →∞→. 于是22201lim lim 011z t t z t →∞→==++. (2) 0Re()lim z z z→; 解：设z =x +y i ，则Re()i z x z x y=+有 显然当取不同的值时f (z )的极限不同所以极限不存在.（3） 2lim (1)z i z i z z →-+；解：2lim (1)z i z i z z →-+=11lim lim ()()()2z i z i z i z i z z i z i z →→-==-+-+. （4） 2122lim 1z zz z z z →+---. 解：因为222(2)(1)2,1(1)(1)1zz z z z z z z z z z +--+-+==-+-+ 所以2112223limlim 112z z zz z z z z z →→+--+==-+. 4. 讨论下列函数的连续性： (1) 22,0,()0,0;xy z x yf z z ⎧≠⎪+=⎨⎪=⎩ 解：因为220(,)(0,0)lim ()limz x y xy f z x y →→=+, 若令y =kx ,则222(,)(0,0)lim1x y xy k x y k →=++, 因为当k 取不同值时，f (z )的取值不同，所以f (z )在z =0处极限不存在. 从而f (z )在z =0处不连续，除z =0外连续. (2) 342,0,()0,0.x y z f z x y z ⎧≠⎪=+⎨⎪=⎩ 解：因为33422022x y x x y x y x y ≤≤=+, 所以342(,)(0,0)lim 0(0)x y x y f x y →==+ 所以f (z )在整个z 平面连续.5. 下列函数在何处求导？并求其导数.(1) 1()(1)n f z z -=- (n 为正整数)；解：因为n 为正整数，所以f (z )在整个z 平面上可导.1()(1)n f z n z -'=-. (2) 22()(1)(1)z f z z z +=++. 解：因为f (z )为有理函数，所以f (z )在2(1)(1)0z z ++=处不可导.从而f (z )除1,i z z =-=±外可导. (3) 38()57z f z z +=-. 解：f (z )除7=5z 外处处可导，且223(57)(38)561()(57)(57)z z f z z z --+'==---. (4) 2222()i x y x y f z x y x y +-=+++.解：因为2222222i()i i(i )(i )(1i)(1i)1i ()x y x y x y x y x y z f z x y x y x y z z ++--+--+++=====+++. 所以f (z )除z =0外处处可导，且2(1i)()f z z +'=-. 6. 试判断下列函数的可导性与解析性.(1) 22()i f z xy x y =+; 解：22(,),(,)u x y xy v x y x y ==在全平面上可微. 所以要使得u v x y ∂∂=∂∂， u v y x∂∂=-∂∂, 只有当z =0时,从而f (z )在z =0处可导，在全平面上不解析.(2) 22()i f z x y =+.解：22(,),(,)u x y x v x y y ==在全平面上可微.只有当z =0时,即(0,0)处有u v x y ∂∂=∂∂,u v y y∂∂=-∂∂. 所以f (z )在z =0处可导，在全平面上不解析.(3) 33()23i f z x y =+;解：33(,)2,(,)3u x y x v x y y ==在全平面上可微.=时，才满足C-R 方程.从而f (z )0=处可导，在全平面不解析. (4) 2()f z z z =⋅.解：设i z x y =+，则23232()(i )(i )i()f z x y x y x xy y x y =-⋅+=+++所以只有当z =0时才满足C-R 方程.从而f (z )在z =0处可导，处处不解析.7. 证明区域D 内满足下列条件之一的解析函数必为常数.(1) ()0f z '=;证明：因为()0f z '=，所以0u u x y ∂∂==∂∂,0v v x y∂∂==∂∂. 所以u ,v 为常数，于是f (z )为常数. (2) ()f z 解析. 证明：设()i f z u v =-在D 内解析,则而f (z )为解析函数，所以,u u u v x y y x ∂∂∂∂==-∂∂∂∂ 所以,,v v v v x x y y ∂∂∂∂=-=-∂∂∂∂即0u u v v x y x y∂∂∂∂====∂∂∂∂从而v 为常数，u 为常数，即f (z )为常数.(3) Re f (z )=常数.证明：因为Re f (z )为常数，即u =C 1, 0u u x y∂∂==∂∂ 因为f (z )解析，C-R 条件成立。