概率统计

简述概率的统计定义概率是统计学中的一个重要概念，它是用来描述某个事件发生的可能性大小的数值。

在统计学中，概率是指一个事件在所有可能事件中发生的可能性大小。

概率的统计定义是通过统计实验的结果来计算得出的。

统计学中的概率可以通过频率来估计。

频率是指在一系列重复的独立试验中，某个特定结果出现的次数与试验总次数之比。

例如，如果我们想要计算抛掷一枚硬币正面朝上的概率，我们可以进行多次试验，记录正面朝上的次数，然后将正面朝上的次数除以总的试验次数。

当试验次数趋近于无穷大时，频率将逐渐接近真实概率。

概率的统计定义可以通过大数定律来解释。

根据大数定律，当试验次数足够大时，频率将趋近于真实概率。

这意味着通过多次重复试验，我们可以逐渐准确地估计出某个事件发生的概率。

因此，通过统计实验的结果，我们可以得到概率的统计定义。

在实际应用中，概率的统计定义被广泛用于估计和预测。

例如，在医学研究中，研究人员可以通过对大量患者进行观察和统计，来估计某种疾病的患病率。

在金融领域，投资者可以通过分析过去的股市数据，来预测未来的股票价格变动。

这些都是基于概率的统计定义来进行的。

除了频率法外，还有其他方法来计算概率。

例如，基于概率论的方法可以使用数学模型来计算概率。

概率论是一门数学分支，它研究了随机事件的概率和统计规律。

基于概率论的方法可以更加准确地计算概率，但通常需要更多的数学知识和计算能力。

概率是统计学中的一个重要概念，它用来描述某个事件发生的可能性大小。

概率的统计定义是通过统计实验的结果来计算得出的。

通过频率和大数定律，我们可以逐渐准确地估计出某个事件发生的概率。

概率的统计定义在实际应用中有着广泛的应用，可以用于估计和预测。

除了频率法外，还可以使用基于概率论的方法来计算概率。

无论是哪种方法，概率的统计定义都是统计学中不可或缺的内容。

高中数学统计与概率1、概率的定义随机事件A的概率是频率的稳定值；频率是概率的近似值。

2、等可能事件的概率如果一次试验中可能出现的结果有n个，且所有结果出现的可能性都相等，那么，每一个基本事件的概率都是1/n，如果某个事件A包含的结果有m个，那么事件A的概率为P(A)=m/n。

3、互斥事件不可能同时发生的两个事件叫互斥事件。

如果事件A、B互斥，那么事件A+B发生（A、B中有一个发生）的概率，等于事件A、B分别发生的概率和，即P(A+B)=P(A)+P(B)。

4．抽签法和随机数表法（1）抽签法①优点：简单易行；②缺点：当总体容量非常大时，操作比较麻烦；若抽取前搅拌不均匀，可能导致抽取的样本不具有代表性.（2）随机数表法随机数表是由水技术（通常为自然数）形成的数表，表中的每一位置出现的数都是随机的.随机数表法的一般步骤：第一步：对总体进行编号；第二步：任意指定一个开始选取的位置，位置的确定可以闭着眼用手指随机确定，也可以用其他方法；第三步：按照一定规则选取编号；第四步：按照得到的编号找出对应的个体.【注释】①规则一经确定，就不能更改；②选取过程中，遇到超过编号范围或已经选取了的数字，应该舍弃.5．分层抽样一般地，如果相对于要考察的问题来说，总体可以分为有明显差别的，互不重叠的几部分时，每一部分可称为层，在各层中按层在总体中所占比例进行随机抽样的方法称为分层随机抽样（简称分层抽样）.【注释】分层抽样得到的样本，一般更具有代表性，可以更准确地反映总体的特征，尤其是在层内个体相对同质而层间差异较大时更是如此.分层抽样在各层中抽样时，还可根据各层的特点灵活选用不同的随机抽样方法.。

习题一 （A ）1.写出下列随机试验的样本空间： （1）一枚硬币连抛三次；（2）两枚骰子的点数和；（3）100粒种子的出苗数；（4）一只灯泡的寿命。

2. 记三事件为C B A ,,。

试表示下列事件：（1）C B A ,,都发生或都不发生；（2）C B A ,,中不多于一个发生；（3）C B A ,,中只有一个发生；（4）C B A ,,中至少有一个发生； （5）C B A ,,中不多于两个发生；（6）C B A ,,中恰有两个发生；（7）C B A ,,中至少有两个发生。

3.指出下列事件A 与B 之间的关系：（1）检查两件产品，事件A =“至少有一件合格品”，B =“两件都是合格品”； （2）设T 表示某电子管的寿命，事件A ={T >2000h }，B ={T >2500h }。

4.请叙述下列事件的互逆事件：（1）A =“抛掷一枚骰子两次，点数之和大于7”； （2）B =“数学考试中全班至少有3名同学没通过”； （3）C =“射击三次，至少中一次”；（4）D =“加工四个零件，至少有两个合格品”。

5.从一批由47件正品,3件次品组成的产品中,任取一件产品,求取得正品的概率。

6.电话号码由7个数字组成,每个数字可以是9,,1,0 中的任一个,求：（1）电话号码由完全不相同的数字组成的概率；（2）电话号码中不含数字0和2的概率；（3）电话号码中4至少出现两次的概率。

7.从0,1,2,3这四个数字中任取三个进行排列,求“取得的三个数字排成的数是三位数且是偶数”的概率。

8.从一箱装有40个合格品,10个次品的苹果中任意抽取10个,试求：（1）所抽取的10个苹果中恰有2个次品的概率；（2）所抽取的10个苹果中没有次品的概率。

9.设A ,B 为任意二事件,且知4.0)()(==B p A p ,28.0)(=B A p ,求)(B A p ⋃；)(A B p 。

10.已知41)(=A p ，31)(=AB p ，21)(=B A p ，求)(B A p ⋃。

概率与统计【题集】1. 条件概率与相互独立事件1.盒子中有个白球和个红球，现从盒子中依次不放回地抽取个球，那么在第一次抽出白球的条件下，第二次抽出红球的概率是 ．【答案】【解析】设事件为第一次抽取的为白球；设事件为第二次抽到红球，∴；∴第一次抽到白球条件下，第二次抽到红球的概率为．故答案为：．【标注】【知识点】超几何分布；条件概率A.B.C.D.2.甲、乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛．若赛完局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛．假设每局甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，各局比赛结果相互独立．则甲在局以内（含局）赢得比赛的概率为（ ）．【答案】A【解析】用表示“甲在局以内（含局）赢得比赛”，表示“第局甲胜”，表示“第局乙胜”，则，，，，，，，∴．故选项．【标注】【知识点】相互独立事件的概率乘法公式；互斥事件的概率加法公式2. 离散型随机变量的分布列、期望与方差A.B.C.D.3.设是一个服从两点分布的离散型随机变量，其分布列为：则的值为（）．【答案】A 【解析】，∴，∴．故选．【标注】【知识点】离散型随机变量的数学期望；离散型随机变量的分布列A.B.C.D.4.已知随机变量的分布列如表（其中为常数）则等于（ ）．【答案】C【解析】由概率之和等于可知，∴．故选．【标注】【知识点】离散型随机变量的分布列；概率的基本性质5.若随机变量的概率分布如表，则表中的值为 ．【答案】【解析】由随机变量的概率分布表得：，解得．故答案为：．【标注】【知识点】概率的基本性质；互斥事件的概率加法公式A. B.C.D.6.设离散型随机变量的分布列为（）．若离散型随机变量满足，则下列结果正确的有（ ）．【答案】AC【解析】由离散型随机变量的分布列的性质得︰，则，，即，离散型随机变量满足，∴，故结果正确的有．故选．【标注】【知识点】期望与方差的性质3. 两点分布7.已知随机变量服从两点分布，且，设，那么．【答案】【解析】∵随机变量服从两点分布，且，∴，∴，设，则．【标注】【知识点】离散型随机变量的数学期望；两点分布A. B. C. D.8.设某项试验的成功率是失败率的倍，用随机变量去描述次试验的成功次数，则（）．【答案】C【解析】设失败率为，则成功率为．∴的分布列为：则“”表示试验失败，“”表示试验成功，∴由，得，即．故选．【标注】【知识点】离散型随机变量的分布列9.若的分布列为：其中，则，．【答案】 ;【解析】，，故答案为：，．【标注】【知识点】离散型随机变量的分布列A.和 B.和 C.和 D.和10.若随机变量服从两点分布，其中，则和的值分别是（）．【答案】D【解析】∵随机变量服从两点分布，且，∴，∴，，∴，．故选．【标注】【知识点】离散型随机变量的数学期望；离散型随机变量的方差A. B. C. D.11.某电视台夏日水上闯关节目中的前三关的过关率分别为，，，只有通过前一关才能进入下一关，且通过每关相互独立．一选手参加该节目，则该选手只闯过前两关的概率为（）．【答案】D【解析】某电视台夏日水上闯关节目中的前三关的过关率分别为，，，只有通过前一关才能进入下一关，且通过每关相互独立．一选手参加该节目，则该选手只闯过前两关的概率为：．故选：．【标注】【知识点】两点分布；离散型随机变量的分布列；相互独立事件的概率乘法公式4. 次独立重复实验与二项分布A.，B.，C.，D.，12.已知随机变量服从二项分布，即，且，，则二项分布的参数，的值为（）．【答案】D【解析】由二项分布的期望和方差公式，，则，∴，，∴，∴．故选．【标注】【知识点】n次独立重复试验与二项分布A. B. C. D.13.已知服从二项分布的随机变量满足，则（）的值为（）．【答案】B【解析】．故选．【标注】【知识点】n次独立重复试验与二项分布14.一批产品的次品率为，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取次，表示抽到的次品件数，则．【答案】【解析】∵一批产品的次品率为，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取次，表示抽到的次品件数，∴，∴，故答案为：．【标注】【知识点】n次独立重复试验与二项分布15.某大厦的一部电梯从底层出发后只能在第，，层停靠，若该电梯在底层载有位乘客，且每位乘客在这三层的每一层下电梯的概率均为，用表示这位乘客在第层下电梯的人数，则．【答案】【解析】服从二项分布，即，∴．【标注】【知识点】n次独立重复试验与二项分布A. B. C. D.16.新冠肺炎病毒可以通过飞沫传染，佩戴口罩可以预防新冠肺炎病毒传染，已知，，三人与新冠肺炎病人甲近距离接触，由于，，三人都佩戴了某种类型的口罩，若佩戴了该种类型的口罩，近距离接触病人被感染的概率为，记，，三人中被感染的人数为，则的数学期望（）．【答案】B【解析】，，，，故．故选．【标注】【知识点】n 次独立重复试验与二项分布；离散型随机变量的数学期望（1）（2）17.在天猫进行大促期间，某店铺统计了当日所有消费者的消费金额（单位：元），如图所示：人数消费金额元将当日的消费金额超过元的消费者称为“消费达人”，现从所有“消费达人”中随机抽取人，求至少有位消费者，当日的消费金额超过元的概率．该店铺针对这些消费者举办消费返利活动，预设有如下两种方案：方案：按分层抽样从消费金额在不超过元，超过元且不超过元，元以上的消费者中总共抽取位“幸运之星”给予奖励金，每人分别为元、元和元．方案：每位会员均可参加线上翻牌游戏，每轮游戏规则如下：有张牌，背面都是相同的喜羊羊头像，正面有张笑脸、张哭脸，将张牌洗匀后背面朝上摆放，每次只能翻一张且每翻一次均重新洗牌，共翻三次．每翻到一次笑脸可得元奖励金．如果消费金额不超过元的消费者均可参加轮翻牌游戏；超过元且不超过元的消费者均可参加轮翻牌游戏；元以上的消费者均可参加轮翻牌游戏（每次、每轮翻牌的结果相互独立）．以方案的奖励金的数学期望为依据，请你预测哪一种方案投资较少？并说明理由．【答案】（1）（2）．方案投资较少；证明见解析．【解析】（1）记“在抽取的人中至少有位消费者消费超过元”为事件，由图可知，去年消费金额在内的有人，在内的有人，消费金额超过元的“消费达人”共有（人），从这人中抽取人，共有种不同方法，其中抽取的人中没有位消费者消费超过元，（2）共有种不同方法，所以．方案按分层抽样从消费金额在不超过元，超过元且不超过元，元以上的消费者中总共抽取位“幸运之星”，则“幸运之星”中的人数分别为：，，，按照方案奖励的总金额为：（元），方案设表示参加一轮翻牌游戏所获得的奖励金，则的可能取值为，，，，由题意，每翻牌次，翻到笑脸的概率为：，所以，，，，所以的分布列为：数学期望为：（元），按照方案奖励的总金额为：（元），因为由，所以施行方案投资较少．【标注】【知识点】组合；离散型随机变量的分布列；n次独立重复试验与二项分布；古典概型18.（1）（2）（3）年月，我国武汉地区爆发了新冠肺炎疫情，为了预防疫情蔓延，全国各地的学校都推迟年的春季线下开学，并采取了“停课不停学”的线上授课措施，某校为了解学生对线上课程的满意程度，随机抽取了学校中的名学生对线上课程进行评价打分，其得分情况的频率分布直方图如下：若根据频率分布直方图得到的评分不低于分的概率估计值为．频率组距评分求直方图中的，值，若评分的平均值不低于分视为满意，判断该校学生对线上课程是否满意？并说明理由．若采用分层抽样的方法，从评分在和内的学生中共抽取人，再从这人中随机抽取人检验他们的网课学习效果，求抽取到的人中至少一人评分在内的概率．若从该校学生中随机抽取人，记评分标准在的人数为，用频率估计概率，求随机变量的分布列与数学期望．【答案】（1）（2）（3）满意，证明见解析．．的分布列为：．【解析】（1）（2）由已知得，解得，又，∴，评分的平均值为：，因此该校学生对线上课程满意．由题知评分在和内的频率分别为和，则抽取的人中，评分在内的为人，评分在的有人，记评分在的位学生为 , , ，（3）评分在内的位学生为，，则从人中任选人的所有可能结果为：，，，，，，，，，，共种，其中，评分在内的可能结果为，，，共种，∴这人中至少一人评分在的概率为．学生在分的频率为，用频率估计概率，则每个学生评分在分的概率为，据题意知，的可能取值为，，，，所以，，，，，那么的分布列为：则数学期望，或知．【标注】【知识点】离散型随机变量的分布列；n次独立重复试验与二项分布；离散型随机变量的数学期望；古典概型；用样本的数字特征估计总体的数字特征问题；众数、中位数、平均数；频率分布直方图；分层随机抽样19.改革开放年来，体育产业蓬勃发展反映了“健康中国”理念的普及．下图是我国年至年体育产业年增加值及年增速图．其中条形图为体育产业年增加值（单位：亿元），折线图为体育产业年增长率（）．（1）（2）（3）体育产业增加值体育产业年增长率从年至年随机选择年，求该年体育产业年增加值比前一年的体育产业年增加值多亿元以上的概率．从年至年随机选择年，设是选出的三年中体育产业年增长率超过的年数，求的分布列与数学期望．由图判断，从哪年开始连续三年的体育产业年增长率方差最大？从哪年开始连续三年的体育产业年增加值方差最大？（结论不要求证明）【答案】（1）（2）（3）．分布列为：期望值．从年或年开始连续三年的体育产业年增长率方差最大．从年开始连续三年的体育产业增加值方差最大．【解析】（1）（2）设表示事件“从年至年随机选出年，该年体育产业年增加值比前一年的体育产业年增加值多亿元以上”．由题意可知，年，年，年，年满足要求，故．由题意可知，的所有可能取值为，，，，且；；；．（3）所以的分布列为：故的期望值．从年或年开始连续三年的体育产业年增长率方差最大．从年开始连续三年的体育产业增加值方差最大．【标注】【知识点】离散型随机变量的数学期望；离散型随机变量的分布列（1）（2）20.已知某同学每次投篮的命中率为，且每次投篮是否命中相互独立，该同学投篮次．求至少有次投篮命中的概率．设投篮命中的次数为，求的分布列和期望．【答案】（1）（2）．的分布列为：．【解析】（1）（2）设次投篮至少有次投篮命中为事件，则，∴至少有次投篮命中的概率为．由题意知的可能取值为，，，，，，，，，，，，∴的分布列为：∵，∴．【标注】【知识点】离散型随机变量的分布列；n次独立重复试验与二项分布；离散型随机变量的数学期望5. 超几何分布A. B. C. D.21.某小组有名男生，名女生，从中任选名同学参加活动，若表示选出女生的人数，则（）．【答案】C【解析】名男生，名女生中任选名参加活动，则女生人数为人时，女生人数为人时，，∴，∴故答案选．【标注】【素养】数学运算；逻辑推理【知识点】超几何分布（1）（2）22.已知箱中装有个白球和个黑球，且规定：取出一个白球得分，取出一个黑球得分．现从该箱中任取（无放回，且每球取到的机会均等）个球，记随机变量为取出球所得分数之和．求的分布列；求的数学期望．【答案】（1）（2）分布列为．【解析】（1）（2）的可能取值有：45．，故所求的分布列为所求的数学期望为．【标注】【知识点】超几何分布，，，（1）（2）23.某学校组织一项益智游戏，要求参加该益智游戏的同学从道题目中随机抽取道回答，至少答对道可以晋级．已知甲同学能答对其中的道题．设甲同学答对题目的数量为，求的分布列及数学期望．求甲同学能晋级的概率．【答案】（1）（2）的分布列为数学期望．．【解析】（1）（2）可取，，，，则，，，，的分布列为．甲同学能晋级的概率．【标注】【知识点】离散型随机变量的数学期望；离散型随机变量的分布列（1）（2）24.在某年级的联欢会上设计一根摸奖游戏，在一个口袋中装有个红球和个白球，这些球除颜色外完全相同，一次从中摸出个球，表示摸出红球的个数．求的分布列．（用数字作答）至少摸到个红球就中奖，求中奖的概率．（用数字作答）【答案】（1）（2）．【解析】（1）（2）的取值为，，，，设摸出个红球的概率为，，，，．中奖的概率为．【标注】【知识点】超几何分布；离散型随机变量的数学期望；离散型随机变量的分布列25.年突如其来的新冠疫情，不仅是一场危机，更是一场考验，给人民的生命财产，身体健康和经济社会发展都带来了巨大的挑战．在党中央的坚强领导下，国内疫情防控取得了阶段性的成果．某企业在此期间积极应对疫情带来的影响，拓展线上经营业务，创造就业机会．该企业招聘员工，其中、、、、五种岗位的应聘人数、录用人数和录用比例（精确到）如下：岗位男性应聘人数男性录用人数男性录用比例女性应聘人数女性录用人数女性录用比例（1）（2）（3）总计从表中所有应聘人员中随机选择人，试估计此人被录用的概率．从应聘岗位的人中随机选择人．记为这人中被录用的人数，求的分布列和数学期望．表中、、、、各岗位的男性、女性录用比例都接近（二者之差的绝对值不大于），但男性的总录用比例却明显高于女性的总录用比例．研究发现，若只考虑其中某四种岗位，则男性、女性的总录用比例也接近，请写出这四种岗位．（只需写出结论）【答案】（1）（2）（3）．的分布列为：．，，，【解析】（1）（2）（3）由表可得：应聘人员总数为：，被录用的人数为：，所以从表中所有应聘人员中随机选择人，此人被录用的概率为：．可能的取值为，，，∵岗位的人中，被录用的有人，未被录用的有人，∴，，，∴的分布列为：∴．取掉岗位，男性录用比例为：，女性录用比例为：，∴去掉岗位后，男女比例接近，∴这四种岗位是：，，，．【标注】【知识点】离散型随机变量的分布列；古典概型；分层随机抽样频率组距重量克（1）（2）（3）26.某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上的件产品作为样本并称出它们的重量（单位：克），重量的分组区间为，，，，，由此得到样本的频率分布直方图，如图所示．求的值．在上述抽取的件产品中任取件，设为重量超过克的产品数量，求的分布列．用这件产品组成的样本中各组产品出现的频率估计概率，现在从流水线上任取件产品，求恰有件产品的重量超过克的概率．【答案】（1）（2）（3）．．【解析】（1）（2）频率分布直方图中每个矩形面积之和为，可得，解得．件产品中任取件重量超过克的产品数量为：，的所有取值为，，；，（3），，从流水线上任取件产品，重量超过克的概率为，重量不超过克的概率为，恰有件产品的重量超过克的概率．【标注】【知识点】离散型随机变量的分布列；n 次独立重复试验与二项分布；频率分布直方图（1）（2）27.从名演员中选人参加表演．求甲在乙前表演的概率．若甲参加表演，门票收入会增长万元，若乙参加表演，门票收入会增长万元，若甲乙都参加演出，门票收入会增加万元，记门票增长为（万元），求的分布列和数学期望．【答案】（1）（2）．．【解析】（1）（2）记“甲在乙前表演”为事件，∴，∴甲在乙前表演的概率是．可能取值有，，，，∴，，，，∴的分布列为：∴．【标注】【知识点】离散型随机变量的数学期望；古典概型（1）（2）（3）28.新生婴儿性别比是指在某段时间内新生儿中男婴人数与女婴人数的比值的倍．下表是通过抽样调查得到的某地区年到年的年新生婴儿性别比．年份新生婴儿性别比根据样本数据，估计从该地区年的新生儿中随机选取人为女婴的概率（精确到）．从年到年这五年中，随机选取两年，用表示该地区的新生婴儿性别比高于的年数，求的分布列和数学期望．根据样本数据，你认为能否否定“生男孩和生女孩是等可能的”这个判断？并说明理由．【答案】（1）（2）（3）．的分布列为的数学期望.可以否定，证明见解析；不能否定，证明见解析；无法判断，证明见解析．【解析】（1）（2）设“从该地区年的新生儿中随机选取人为女婴”为事件，则．的可能取值为，，，，，，所以的分布列为（3）所以的数学期望.答案一：可以否定；从样本数据看这五年的男婴在新生儿中的比例都高于，由样本估计总体，所以可以否定“生男孩和生女孩是等可能的”这个判断；答案二：不能否定；尽管从样本数据看这五年的男婴在新生儿中的比例都高于，但由于抽样调查本身存在一定的随机性，且从数据上看，男女婴在新生儿中的比例都近似于，所以不能否定“生男孩和生女孩是等可能的”这个判断；答案三：无法判断；由于样本容量未知，如果样本容量较小，那么通过样本数据不能“否定生男孩和生女孩是等可能的”这个判断，如果样本容量足够大，那么根据样本数据，可以否定“生男孩和生女孩是等可能的”这个判断．【标注】【知识点】古典概型；离散型随机变量的数学期望；超几何分布；离散型随机变量的分布列（1）（2）（3）29.年月份，我国湖北武汉出现了新型冠状病毒，人感染后会出现发热、咳嗽、气促和呼吸困难等，严重的可导致肺炎甚至危及生命．为了增强居民防护意识，增加居民防护知识，某居委会利用网络举办社区线上预防新冠肺炎知识答题比赛，所有居民都参与了防护知识网上答卷，最终甲、乙两人得分最高进入决赛，该社区设计了一个决赛方案：①甲、乙两人各自从个问题中随机抽个．已知这个问题中，甲能正确回答其中的个，而乙能正确回答每个问题的概率均为，甲、乙两人对每个问题的回答相互独立、互不影响；②答对题目个数多的人获胜，若两人答对题目个数相同，则由乙再从剩下的道题中选一道作答，答对则判乙胜，答错则判甲胜．求甲、乙两人共答对个问题的概率．试判断甲、乙谁更有可能获胜？并说明理由．求乙答对题目数的分布列和期望．【答案】（1）（2）（3）．乙胜出的可能性更大，证明见解析．分布列为：期望．【解析】（1）（2）（3）推出两人共答题，甲答对个，乙答对个，两人共答题，甲答对个，乙答对个．然后求解甲、乙两名学生共答对个问题的概率．甲、乙共答对个问题分别为：两人共答题，甲答对个，乙答对个，两人共答题，甲答对个，乙答对个，所以甲、乙两名学生共答对个问题的概率﹔．故答案为：．设甲获胜为事件，则事件包含“两人共答题甲获胜”和“两人共答题甲获胜”两类情况，其中第一类包括甲乙答对题个数比为，，，，，六种情况，第二类包括前三题甲乙答对题个数比为，，三种情况，然后求解概率；设乙获胜为事件，则，为对立事件，求出的概率，得到结论．设甲获胜为事件，则事件包含“两人共答题甲获胜”和“两人共答题甲获胜”两类情况，其中第一类包括甲乙答对题个数比为，，，，，六种情况，第二类包括前三题甲乙答对题个数比为，，三种情况，所以甲胜的概率，设乙获胜为事件，则，为对立事件，所以，，所以乙胜出的可能性更大．设学生乙答对的题数为，则的所有可能取值为，，，，，求出概率，得到随机变量的分布列，然后求解期望．设学生乙答对的题数为，则的所有可能取值为，，，，，，，，，，所以随机变量的分布列为：所以期望．【标注】【知识点】离散型随机变量的分布列；离散型随机变量的数学期望；古典概型的概率计算（涉及计数原理）6. 正态分布A. B. C. D.30.已知随机变量，若，，则=（）．【答案】D【解析】根据题意，，∵随机变量，∴，故选：．【标注】【知识点】正态分布31.已知随机变量服从正态分布，若，则．【答案】【解析】因为，所以．【标注】【知识点】正态分布A.B.C.D.32.下列有关说法正确的是（ ）．的展开式中含项的二项式系数为的展开式中含项的系数为已知随机变量 服从正态分布，，则已知随机变量 服从正态分布，，则【答案】ACD【解析】、选项：对于二项式的展开式中项为，∴系数为，二次项系数为，故正确，错误；、选项：对于随机变量服从正态分布，∵，∴，∴，又∵对于随机变量服从正态分布且正态分布为∴，故正确、正确．故选．【标注】【知识点】求二项式展开式的特定项；求项的系数或二项式系数；正态分布33.在某市年月份的高三质量检测考试中，所有学生的数学成绩服从正态分布，现任取一名学生，则他的数学成绩在区间内的概率为 ．（附：若，则，．)【答案】【解析】∵学生的数学成绩服从正态分布，∴，．故答案为．【标注】【知识点】正态分布A.B.C.D.34.在一次数学测验中，学生的成绩服从正态分布，其中分为及格线，分为优秀线．下面说法正确的是（ ）．附：；；．学生数学成绩的期望为学生数学成绩的标准差为学生数学成绩及格率超过学生数学成绩不及格的人数和优秀的人数大致相等【答案】AC 【解析】，，∴，显然正确，错误；．，故正确；．，故错误．故选．【标注】【知识点】正态分布35.已知随机变量，，其正态分布的密度曲线如图所示，则下列说法错误的是（ ）．A.B.C.D.的取值比的取值更集中于平均值左右两支密度曲线与轴之间的面积均为【答案】B【解析】A 选项：B 选项：C 选项：D 选项：因为，，故正确；由图可知，故错误；因为正态分布曲线越瘦高，数据越集中，故正确；根据正态分布曲线的性质可知，故正确．故选 B .【标注】【知识点】正态分布（1）（2）（3）36.某市需对某环城快速道路进行限速，为了调查该道路的车速情况，于某个时段随机对辆车的速度进行取样，根据测量的车速制成下表：车速频数经计算，样本的平均值，标准差，以频率作为概率的估计值．已知车速过慢与过快都被认为是需矫正速度，现规定车速小于或车速大于需矫正速度．从该快速车道上的所有车辆中任取辆，求该车辆需矫正速度的概率．从样本中任取辆车，求这辆车均需矫正速度的概率．从该快速车道上的所有车辆中任取辆，记其中需矫正速度的车辆数为．求的分布列和数学期望．【答案】（1）．（2）（3）．分布列：，．【解析】（1）（2）（3），，∴小于有辆，大于有辆，∴所求概率．．，，，∴，，，∴分布列：，∴．【标注】【知识点】正态分布；离散型随机变量的数学期望；古典概型（1）1（2）37.为了解某市高三数学复习备考情况，该市教研机构组织了一次检测考试，并随机抽取了部分高三理科学生数学成绩绘制如图所示的频率分布直方图：分数频率组距根据频率分布直方图，估计该市此次检测理科数学的平均成绩．精确到个位）研究发现，本次检测的理科数学成绩近似服从正态分布（，约为），按以往的统计数据，理科数学成绩能达到自主招生分数要求的同学约占．2估计本次检测成绩达到自主招生分数要求的理科数学成绩大约是多少分？（精确到个位）从该市高三理科学生中随机抽取人，记理科数学成绩能达到自主招生分数要求的人数为，求的分布列及数学期望．（说明：表示的概率．参考数据（，）【答案】（1）12（2）．．分布列为：∴．【解析】（1）12（2）．设本次检测成绩达到自主招生分数要求的理科数学成绩为，则，∴，∴，解得．由题意可知，∴，，，，，，∴的分布列为：∴．【标注】【知识点】n 次独立重复试验与二项分布；离散型随机变量的数学期望38.《山东省高考改革试点方案》规定：从年秋季高中入学的新生开始，不分文理科；年高考总成绩由语数外三门统考科目和物理，化学等六门选考科目组成，将每门选考科目的考生原始成绩从高到低划分为、，，，、、、共个等级，参照正态分布原则，确定各等级人。

概率统计知识点总结概率统计是一门研究随机现象规律性的数学学科，主要研究随机变量的分布、参数估计、假设检验、方差分析等内容。

下面是对概率统计中的一些重要知识点的总结：1. 随机事件与概率：随机事件是指试验中可能发生也可能不发生的结果，概率是描述随机事件发生可能性的数值。

概率由经典概率、几何概率和统计概率三类组成。

2. 随机变量与概率分布：随机变量是一个能随机变化的量，可以分为离散随机变量和连续随机变量。

概率分布指的是随机变量各个取值及其相应的概率。

3. 期望与方差：期望是统计量中的一个重要概念，描述了随机变量在一次试验中平均取值的大小。

方差则是描述随机变量取值分散程度的一个指标。

4. 大数定律与中心极限定理：大数定律指的是当样本容量足够大时，样本平均值会趋近于理论期望。

中心极限定理则是指当样本容量足够大时，样本均值的分布会趋近于正态分布。

5. 参数估计与假设检验：参数估计是通过样本数据来估计总体参数的值，可以分为点估计和区间估计。

假设检验则是通过样本数据来判断总体参数的假设是否成立。

6. 方差分析与回归分析：方差分析是根据不同因素对总体均值的影响进行推断的一种方法。

回归分析则是研究因变量与自变量之间关系的一种方法，可以进行线性回归和非线性回归。

7. 相关分析与统计推断：相关分析是研究两个变量之间关系的一种方法，可以通过计算相关系数来确定两个变量之间的线性关系强度和方向。

统计推断是利用样本数据对总体进行推断的一种方法，可以由样本推断出总体特征。

8. 非参数统计方法：非参数统计方法是在对总体分布形态不做假设的情况下，利用样本统计量进行推断的方法。

它包括了秩和检验、符号检验、分布自由检验等方法。

以上只是概率统计中的一部分重要知识点总结，概率统计的内容非常广泛，应用领域也十分广泛。

希望能够通过学习以上知识点，对概率统计有一个初步的了解。

概率和统计的基本概念知识点总结概率和统计是数学中的两个重要分支，被广泛应用于各个领域，包括自然科学、社会科学和工程学等。

本文将对概率和统计的基本概念进行总结和阐述，并提供一些实际应用案例。

1. 概率的基本概念概率是描述事件发生可能性的数值，通常用一个介于0和1之间的数表示。

概率的计算可以根据事件的性质和概率空间来进行。

1.1 事件与样本空间事件是指在一次试验中可能发生的一种或几种结果。

样本空间是指试验的所有可能结果的集合。

事件是样本空间的子集。

1.2 随机试验与概率空间随机试验是指具有以下特点的实验：可以在相同的条件下重复进行，并且每次试验的结果无法提前确定。

概率空间包括样本空间和概率函数。

1.3 概率函数概率函数是一个将样本空间的事件映射到实数区间[0,1]的函数。

它满足以下条件：对于任意样本空间的事件A，概率函数P(A)具有非负性、规范性和可列可加性。

2. 统计学的基本概念统计学是研究收集、整理、分析和解释数据的方法和技术的学科。

统计学分为描述统计和推断统计两个方面。

2.1 描述统计描述统计是用图表、统计量等方法对数据进行总结和描述的过程。

常用的描述统计方法包括平均数、中位数、众数、方差、标准差等。

2.2 推断统计推断统计是通过对样本数据进行分析，得出关于总体的结论或推断的过程。

推断统计方法包括假设检验、置信区间估计等。

3. 概率与统计的应用案例概率和统计的理论在实际生活和科学研究中有着广泛的应用。

以下是几个典型的案例：3.1 风险评估概率与统计能够用于评估风险和制定保险政策。

根据历史统计数据和概率模型，可以估计某种风险发生的可能性，并制定相应的保险费率。

3.2 质量控制概率与统计可以用于质量控制中的过程监控和产品检验。

通过收集数据并进行统计分析，可以判断生产过程是否处于控制状态，以及产品是否符合质量标准。

3.3 经济预测概率与统计可以应用于经济领域的预测和决策。

通过对历史数据进行分析，可以建立经济模型并做出相应的预测，帮助政府和企业做出合理决策。

概率统计公式
概率统计公式是用来估算系统或者过程中可能出现的事件和结果
的专业词汇。

概率统计公式有很多，如望概率定理、贝叶斯定理、马
尔可夫过程等。

望概率定理可以帮助研究人员从可能的假设中推断出可能的结果，这可以用来决定怎样的方式最有效地实现一个目标。

望概率定理可以
使用P(A)，P(B)，P(C)，P(D)等表示不同假设的概率，其中P代表概率，A，B，C，D等分别代表某些未知变量。

公式为：P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B) 。

贝叶斯定理说明，当已知某事件发生的概率时，可以确定其发生
的条件的概率。

其公式为：P(A|B) = P(B|A) × P(A) / P(B)。

马尔可夫过程是一种连续的随机过程，可用来描述不断变化的系
统及其行为。

它可被用于推断系统的变化规律，预测可能的未来情况，以及解决系统的动态问题。

该过程的概率状态可通过以下公式表示：
P[kt] = αxP[k-1,t-1] + βyP[k - 1,t] + γzP[k + 1,t]。

总之，概率统计公式包括望概率定理、贝叶斯定理和马尔可夫过
程等，都可以应用于不同的场合以推断系统中可能发生的事件和结果，从而帮助研究人员决定最有效的方式来解决系统问题。

高中数学概率与统计知识点1、概率的定义随机事件A的概率是频率的稳定值；频率是概率的近似值。

2、等可能事件的概率如果一次试验中可能出现的结果有n个，且所有结果出现的可能性都相等，那么，每一个基本事件的概率都是1/n，如果某个事件A包含的结果有m个，那么事件A的概率为P(A)=m/n。

3、互斥事件不可能同时发生的两个事件叫互斥事件。

如果事件A、B互斥，那么事件A+B发生（A、B中有一个发生）的概率，等于事件A、B 分别发生的概率和，即P(A+B)=P(A)+P(B)。

4、对立事件对立事件是指两个事件必有一个发生的互斥事件。

例如:从1~52张扑克牌中任取一张抽到“红桃”与抽到“黑桃”互为互斥事件，因为其中一个不可能同时发生，但又不能保证其中一个必然发生，故不是对立事件。

而抽到“红色牌”与抽到“黑色牌”互为对立事件，因为其中一个必发生。

对立事件的性质:1)对立事件的概率和等于1:P(A)+P(Ä)=P(A+A)=1。

2)互为对立的两个事件一定互斥，但互斥不一定是对立事件。

5、相互独立事件事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件。

两个相互独立事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积，即P(A·B)=P(A)·P(B)。

相互独立事件的性质:1)如果事件A与B相互独立，那么A与B,A与B，A与B也都相互独立。

2)必然事件与任何事件都是相互独立的。

3)独立事件是对任意多个事件来讲，而互斥事件是对同一实验来讲的多个事件，且这多个事件不能同时发生，故这些事件相互之间必然影响，因此互斥事件一定不是独立事件。

6、独立重复试验若n次重复试验中，每次试验结果的概率都不依赖于其他各次试验的结果，则称这n次试验是独立的。

如果在一次试验中某事件发生的概率为P，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k 次的概率:P…(k)=CP*(1-P)"-*7、两个事件之间的关系对任何两个事件都有P(A+B)=P(A)+P(B)-P(A·B)。

概率与统计的基本概念概率和统计是数学中涉及处理不确定性和随机性的重要分支。

概率是研究随机事件发生的可能性的数学方法，而统计是通过对数据的收集、整理、分析和解释来推断总体特征的学科。

这两个学科在各个领域中起着至关重要的作用，无论是科学研究、经济决策还是社会调查等都离不开概率和统计的应用。

一. 概率的基本概念概率是用来描述事件发生可能性的一种数值指标。

它的取值范围在0到1之间，0表示不可能事件，1表示必然事件。

概率的计算一般基于概率公式：P(A) = N(A) / N(S)，其中P(A)表示事件A发生的概率，N(A)表示事件A的样本空间中的样本数，N(S)表示样本空间中的总样本数。

概率的计算可以依据事件的基本性质和运算法则来进行。

1. 事件的独立性与互斥性事件的独立性是指事件A和事件B的发生与否互不影响，其中一个事件的发生不影响另一个事件的发生。

在概率计算中，如果两个事件是独立的，则它们的联合概率等于各自事件概率的乘积。

而互斥事件则是指两个事件不能同时发生，它们的联合概率为0。

2. 随机变量与概率分布随机变量是取决于随机实验结果的一种变量。

随机变量可以分为离散型随机变量和连续型随机变量。

离散型随机变量的取值有限或可数，如掷骰子的点数；而连续型随机变量的取值范围是一个区间，如身高、体重等。

随机变量的分布可以通过概率质量函数（密度函数）来描述，如离散型随机变量的概率质量函数和连续型随机变量的概率密度函数。

二. 统计学的基本概念统计学是通过对数据的收集、整理、分析和解释来推断总体特征的科学。

在统计学中，主要涉及两个方面：描述统计和推断统计。

1. 描述统计描述统计是对数据进行分类、整理、概括和表达总结性的方法。

其中最常用的统计指标有：平均数、中位数、众数、标准差等。

平均数是一组数据的总和除以数据的个数，用来表示数据的集中趋势；中位数是一组数据按大小排列后的中间值，适用于数据存在离群值的情况；众数是一组数据中出现次数最多的值，常用于描述数据的类型与分布。

离散型随机变量及其分布列1.随机变量的有关概念(1)随机变量:随着试验结果不同而①变化的变量，常用字母x,Yg,n,...表示.(2)离散型随机变量:所有取值可以②一一列出的随机变量.2.离散型随机变量分布列的概念及性质(1)概念:若离散型随机变量X可能取的不同值为X],x2,…些,...,x n,X取每一个值X i(i=1,2,...,n)的概率P(X=x i)=p i以表格的形式表示如下：Xx1x2…x i…x nPp1p2.p i.p n则此表称为离散型随机变量X的概率分布列，简称为X的分布列，有时也用等式卩以=即=卩」=1,2,...』表示X的分布列.(2)分布列的性质(i)P i③>0,i=1,2,3,.,n;n,(ii)》耳1.i13.常见的离散型随机变量的概率分布(1)两点分布X01P④1-Pp若随机变量X的分布列具有上表的形式，则称X服从两点分布，并称卩二⑤P(x=1)为成功概率.(2)超几何分布在含有M件次品的N件产品中,任取n件,其中恰有X件次品,则P(X=k)=,k=0,1,2,...,m,其中m=min{M,n},且n<N,M<N,n,M,N G N*.若随机变量X的分布列具有上表的形式,则称随机变量X服从超几何分布.⑦c M c N-M⑧q M^N-M一C N一-CN C m C n-mMN-MC n二项分布1.条件概率(1)定义对于任何两个事件A和B,在已知事件A发生的条件下，事件B发生的概率叫做①条件概率，用符号②P(BIA)来表示，其公式为P(BIA)=③巴也P⑷(P(A)>0).在古典概型中，若用n(A)表示事件A中基本事件的个数，则P(BIA)=丛也.n(A)(2)性质(i)④O W P(BIA於1;(ii)如果B和C是两个互斥事件，那么P(B U CIA)=⑤P(BIA)+P(CIA).2.相互独立事件(1)对于事件A、B，若A的发生与B的发生互不影响,则称⑥A、B是相互独立事件.⑵若A与B相互独立，则P(BIA)=⑦P(B)，P(AB)=P(BIA)・P(A)=⑧P(A)P(B).⑶若A与B相互独立，则⑨A与P，⑩万与Bj A^B_也都相互独立.⑷若P(AB)=P(A)P(B)，则：A与B相互独立.3•独立重复试验与二项分布(1)独立重复试验是指在相同条件下可重复进行的，各次之间相互独立的一种试验，在这种试验中每一次试验只有两种结果，即要么发生，要么不发生，且任何一次试验中事件发生的概率都是一样的(2)在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率为p，则P(X=k)=⑭心p k(1-p)n-k(k=0，1，2，...，n)，此时称随机变量X服从二项分布，记为峪X〜B(n，p)，并称p为成功概率.离散型随机变量的均值与方差、正态分布1.离散型随机变量的均值与方差若离散型随机变量X的分布列为Xx1x2.xi.x nPp1p2.p i.p n⑴均值:称EX=©x1p1+x2p2+.+x i p i+.+x n p n为随机变量X的均值或数学期望,它反映了离散型随机变量取值的②平均水平.(2)称DX=I(x.-EX)2p.为随机变量X的方差，它刻画了随机变量X与其均值i1 EX的平均程度,其算术平方根畑为随机变量X的标准差.平均数的性质(1)若一组数据X],x2,...,x n的平均数为无，则aX],ax2,...,ax n的平均数为a x.(2)若一组数据X],x2,...,x n的平均数为无，则aX]+b,ax2+b,...,ax n+b的平均数为a 无+b.(3)若M个数的平均数是X,N个数的平均数是Y,则这(M+N)个数的平均数是MXNY,若两组数据xx2,...,x n和y1,y2,.,y n的平均数分别是x和歹,则MN12n12nX i+y i，x2+y2,...,x n+y n的平均数是无+歹.2.均值与方差的性质(1)E(aX+b)=®aEX+b(a,b为实数).(2)D(aX+b)=®a2DX(a,b为实数).(3)E(k)=k(k为常数).(4)E(X1+X2)=E(X1)+E(X2).(5)D(X)=E(X2)-(E(X))2.(5)D(X)=E(X2)-(E(X))2.(6)若X1,X2相互独立，则E(X1X2)=E(X1)^E(X2).(7)D(k)=0(k为常数).(8)若给定一组数据X],x2,...,x n，其方差为S2,则aX],ax2,...,ax n的方差为a2s2.(9)若给定一组数据X],x2,...,x n，其方差为s2,则aX]+b,ax2+b,...,ax n+b的方差为a2s2,特别地，当a=1时，有X]+b,x2+b,...,x n+b的方差为s2,这说明将一组数据的每一个数据都加上一个相同的常数,方差是不变的,即不影响数据的波动性.(10)方差的一个简化公式是s2=i[(%2+%2+.+%2)-n%2]=%2-无2,此公式只要把方差公式展开进行重组即可证明.3.两点分布与二项分布的均值、方差X X服从两点分布X~B(n，P)EX⑥p(p为成功概率)⑦npDX⑧P(1-P)⑨np(l-p)4.正态曲线的特点(1)曲线位于X轴⑩上方，与x轴不相交；(2)曲线是单峰的，它关于直线H x=y对称；(3)曲线在I二x=u处达到峰值i；：-4:;a^2n——(4)曲线与X轴之间的面积为卜1;⑸当O—定时，曲线的位置由卩确定，曲线随着卩的变化而沿X轴平移；⑹当卩一定时，曲线的形状由O确定Q越小，曲线越"-高瘦”，表示总体的分布越集中越大，曲线越“⑯矮胖”,表示总体的分布越⑰分散.用样本估计总体1.常用统计图表(1)频率分布表的画法:第一步:求①极差，决定组数和组距，组距二②极差；组数—第二步:③分组，通常对组内数值所在区间取左闭右开区间，最后一组取闭区间;第三步:登记频数，计算频率，列出频率分布表.(2)频率分布直方图:反映样本频率分布的直方图.横轴表示样本数据，纵轴表示④频率，每个小矩形的面积表示样本落在该组-组距—内的⑤频率.(3)茎叶图的画法:第一步:将每个数据分为茎(高位)和叶(低位)两部分;第二步:将各个数据的茎按⑥大小次序排成一列；数字定义与求法特征盘一组数据中出现次数最多的数特点通常用于描述出现把一组数据按⑦大小顺序排誥列,处在⑧最中间位置的一个数据(或最中间两个数据的平均数)中位数是样本数据所占频率的等分线,它不受少数极端值的影响平均數如果有n个数据X］,x2,...,x n,那么这n个数的平均数x=⑨一1(x1+x2+.+X n)平均数和每一个数据都有关,可以反映样本数据全体的信息,但平均数受数据中极端值的影响较大,故平均数在估计总体时可靠性降低第三步:将各个数据的叶依次写在其茎的右(左)侧.2.样本的数字特征(1)众数、中位数、平均数(2)标准差、方差(i)标准差:s=@_j1[(%1-T)2+(%2-T)2+…+(q-无)2].(ii)方差:标准差的平方S2叫做方差.S2=d1［（X匚无）2+（x2-无）2+...+（x n-无）2］，其中X i（i=l,2,3,...,n）是⑫样本数据，n n是样本容量，无是I样本平均数.变量间的相关关系、统计案例l.两个变量的线性相关(1)正相关在散点图中,点散布在从①左下角到②右上角的区域，对于两个变量的这种相关关系,我们将它称为正相关.nI x.y.-nry=i=1''I %2-nx 21=11(1)回归分析是对具有⑧相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用n —I 叫儿-n%⑶相关系数:r=(2)负相关在散点图中,点散布在从③左上角到④右下角的区域，对于两个变量的这种相关关系,我们将它称为负相关.(3) 线性相关关系、回归直线如果散点图中点的分布从整体上看大致在⑤一条直线附近,那么就称这 两个变量之间具有线性相关关系,这条直线叫做回归直线.(5)回归方程方程y =b x+a 是具有线性相关关系的两个变量的一组数据A A(x 1,y 1),(x 2,y 2),^,(x n ,y n )的回归方程，其中a ,b 是待定参数.A I (叫立)(y厂刃b =I (%.-X )2i=10=⑦y-bx .2.回归分析方法.(2)样本点的中心对于一组具有线性相关关系的数据(x 1,y 1),(x 2,y 2),^,(x n ,y n ),x=-I x.,y=ni=11Iy.f ⑨(无，刃为样本点的中心.ni=11 Jn2n 2(I x^-nx 2)(I y?-ny 2)i=1L i=1L当r>0时，表明两个变量⑩正相关; 当r<0时,表明两个变量r 负相关.r 的绝对值越接近于1,表明两个变量的线性相关性；越强.r 的绝对值越接近于0,表明两个变量之间几乎不存在线性相关关系.通常Irl 大于或等于0.75时，认为两个变量有很强的线性相关性.3.独立性检验(1)分类变量:变量的不同“值”表示个体所属的濮不同类别，像这样的变量称为分类变量.(2)列联表:列出的两个分类变量的儿频数表，称为列联表.一般地,假设有两个分类变量X和Y,它们的可能取值分别为｛X],X2｝和｛y],y2｝,其样本频数列联表(称为2x2列联表)为总计y1y2X1a b a+bc d c+dX2总计a+c b+d a+b+c+d则可构造一个随机变量K2=V：W"c)2,其中n=~(ab')(cd)(ac)(bd)~a+b+c+d(3)独立性检验利用独立性假设、随机变量::K2来确定是否有一定的把握认为“两个分类变量一.有关系”的方法称为两个分类变量的独立性检验。