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高考数学直线的参数方程知识点在高中数学的学习中，直线是一个重要的概念。
直线的表示形式有很多种，其中参数方程是一种常见的表达方式。
在高考数学中，直线的参数方程是一个常考的知识点。
本文将围绕直线的参数方程展开讨论，介绍其相关概念以及解题方法。
一、什么是直线的参数方程？直线的参数方程是通过引入参数来表示直线上各个点的坐标关系的一种方法。
通常情况下，直线的参数方程由两个参数和两个参数函数组成。
其中，参数函数表示直线上点的横坐标与参数的关系，另一个参数函数表示直线上点的纵坐标与参数的关系。
具体地说，对于直线上任意一点P(x, y)，我们可以用参数t来表示这个点的位置。
假设直线上某一点为A(x1, y1)，那么直线上任意一点P(x, y)的坐标可以通过下面的关系式计算得到：x = x1 + aty = y1 + bt其中，a和b是直线的方向向量。
二、直线的参数方程与一般方程的转换在解题过程中，我们有时需要将直线的参数方程转换成一般方程，或者将一般方程转换成参数方程。
下面我们分别介绍这两种转换方式。
1. 参数方程转换成一般方程将直线的参数方程转换成一般方程的关键在于消去参数t。
假设直线的参数方程为：x = x1 + aty = y1 + bt我们可以通过以下步骤将其转换成一般方程：（1）将t表示出来，得到t的表达式：t = (x - x1) / a（2）将t的表达式代入另一个参数函数，得到关于y的表达式：y = y1 + b((x - x1) / a)（3）整理化简，即可得到一般方程。
2. 一般方程转换成参数方程将一般方程转换成参数方程的关键在于引入参数t，并根据直线上任意一点P(x, y)与已知点A(x1, y1)的坐标关系，建立参数方程。
假设一般方程为Ax + By + C = 0，直线上已知点为A(x1, y1)。
我们可以通过以下步骤将其转换成参数方程：（1）建立关于x和t的参数方程：x = x1 + t（2）根据一般方程，将y用x和t表示出来：y = y1 - (A / B)(x1 + t)（3）整理化简，即可得到参数方程。
高中数学直线知识总结归纳直线是几何学中最基础的图形之一，它在高中数学中有着重要的作用。
本文将对高中数学直线知识进行总结归纳，帮助同学们更好地理解和掌握直线的相关概念、性质和应用。
1. 直线的基本概念直线是由无限多个点组成的，它没有宽度和长度；直线上的任意两个点可以确定一条直线。
2. 直线的表示方法在直角坐标系中，直线可以用解析式表示。
一般地，直线的解析式可以表示为y = kx + b，其中k为斜率，b为截距。
当k=0时，直线为水平线；当k不存在时，直线为垂直线。
3. 直线的斜率直线的斜率用来描述其倾斜程度。
斜率的计算公式为k = (y₂-y₁)/(x₂-x₁)，其中(x₁, y₁)和(x₂, y₂)为直线上的两个点。
斜率可以用来判断直线的方向、倾斜程度以及与其他直线的关系。
4. 直线的截距直线在坐标系中与坐标轴的交点称为截距。
直线与x轴的交点的纵坐标为y轴截距，与y轴的交点的横坐标为x轴截距。
通过截距可以确定直线在坐标系中的位置和方向。
5. 直线的性质（1）平行线的性质：平行线具有相同的斜率，不会相交。
（2）垂直线的性质：垂直线的斜率之积为-1，两直线相交成直角。
（3）相交线的性质：两条直线相交于一点，则它们的斜率不相等。
6. 直线的方程（1）一般式方程：直线的一般式方程为Ax + By + C = 0，其中A、B、C为常数，且A和B不全为零。
（2）截距式方程：直线的截距式方程为x/a + y/b = 1，其中a为x轴截距，b为y轴截距。
（3）点斜式方程：已知直线上一点P(x₁, y₁)和直线的斜率k，则可得到直线的点斜式方程为y-y₁ = k(x-x₁)。
（4）斜截式方程：已知直线的斜率k和与y轴的截距b，可以得到直线的斜截式方程为y = kx + b。
7. 直线的应用直线在几何学和实际问题中有广泛的应用。
其中包括直线的长度计算、直线的位置判断、直线的平移和旋转、直线的交点计算等等。
总结一下，高中数学中直线的知识点较为基础但也是重要的。
高考直线知识点总结高考是中国学生十分重要的考试，其中数学是高考的一门必考科目。
直线作为数学中的基础知识，是高考数学中的重点考查内容之一。
本文将对高考直线知识点进行总结，以帮助考生更好地备考和应对高考数学考试。
一、直线的一般方程直线的一般方程一般形式为Ax + By + C = 0，其中A、B、C为常数，并且A和B不同时为0。
直线的一般方程具有以下特点：1. 直线的斜率为-m，其中m为直线的斜率，m = -A/B。
2. 直线在坐标系中的截距为(-C/A, 0)和(0, -C/B)。
二、直线的点斜式直线的点斜式一般形式为y - y₁ = m(x - x₁)，其中(x₁, y₁)为直线上已知的一点，m为直线的斜率。
直线的点斜式具有以下特点：1. 直线的斜率为m。
2. 直线过已知点(x₁, y₁)。
三、直线的斜截式直线的斜截式一般形式为y = mx + c，其中m为直线的斜率，c为直线在y轴上的截距。
直线的斜截式具有以下特点：1. 直线的斜率为m。
2. 直线与y轴的交点为(0, c)。
3. 直线过点(1, m + c)。
四、直线的两点式直线的两点式一般形式为(y - y₁)/(x - x₁) = (y₂ - y₁)/(x₂ - x₁)，其中(x₁, y₁)和(x₂, y₂)为直线上的两个已知点。
直线的两点式具有以下特点：1. 直线过已知点(x₁, y₁)和(x₂, y₂)。
2. 直线的斜率为(y₂ - y₁)/(x₂ - x₁)。
五、直线的垂直与平行关系两条直线的斜率满足以下关系时，它们之间具有特殊的垂直或平行关系：1. 如果两条直线的斜率相等，且不为无穷大，则它们互相平行。
2. 如果两条直线的斜率乘积为-1，则它们互相垂直。
六、直线的角平分线和垂直平分线直线的角平分线和垂直平分线具有以下特点：1. 直线的角平分线将角平分为两个相等的角。
2. 直线的垂直平分线将线段平分为两个相等的部分。
3. 直线的角平分线和垂直平分线的交点即为对应的角的角平分点和线段的中点。
高考数学直线知识点总结归纳直线是高考数学中的基础知识点，是解析几何的重要组成部分。
掌握直线的性质和相关的应用是高考数学考试的关键。
本文将对高考数学中直线的相关知识点进行总结和归纳，帮助同学们更好地备考和应对考试。
1. 直线的基本概念直线是由无数个点按一定方向延伸而成的，没有宽度和厚度。
直线可以用直线上的两个点表示，也可以用解析式表示。
例如，直线AB可以用两点坐标表示为：AB: y-y₁ = (y₂-y₁)/(x₂-x₁) (x-x₁) 或 y=kx+b。
直线的方程可以是一次函数，一次函数的图像是直线。
2. 直线的斜率和倾斜角直线的斜率可以用来表示直线的倾斜程度，斜率的绝对值越大，直线越陡峭。
斜率的计算公式为：k = (y₂-y₁)/(x₂-x₁)。
斜率的倾斜方向与直线与x轴的夹角有关。
夹角为α时，tanα=k，所以α的计算公式为：α=arctan(k)。
3. 直线与坐标轴的交点直线与x轴的交点可以通过令y=0解直线方程得到。
直线与y轴的交点可以通过令x=0解直线方程得到。
这些交点的坐标分别是直线方程的解。
4. 直线的特殊情况4.1 平行于坐标轴的直线如果直线与x轴平行，斜率为0；如果与y轴平行，斜率为无穷大。
4.2 垂直于坐标轴的直线如果直线与x轴垂直，斜率为无穷大；如果与y轴垂直，斜率为0。
4.3 重合的直线如果两条直线方程相同，或者解方程得到的斜率相同，那么这两条直线是重合的。
5. 直线的性质和定理5.1 直线的点斜式和一般式直线的点斜式是指通过直线上一点P和直线的斜率k来表示直线的方程。
点斜式的表达式为：y-y₁ = k(x-x₁)。
直线的一般式是指通过直线方程Ax+By+C=0来表示直线。
两者可以相互转化。
5.2 直线的截距式和斜截式直线的截距式是指通过直线与x轴和y轴的截点坐标来表示直线的方程。
截距式的表达式为：x/a + y/b = 1。
直线的斜截式是指通过直线在y轴上的截距和直线的斜率来表示直线的方程。
高中数学知识点：-直线
直线是数学中最基本的概念，它是一种无限长的线条，它没有弯曲的地方。
它可以是
水平的或垂直的，也可以有斜率，并且在图形记号中可以用箭头表示。
任意两点间都可以
确定一条直线，两点是直线的端点，它们将一直连接在一起，而不会改变。
此外，直线也
可以用一组方程式来描述，其方程式形如 y＝ax＋b。
直线是数学中最重要的几何体之一，它几乎在所有几何和计算操作中都有重要的作用，它也反映了生活中几乎所有事物的直接联系。
它的平面坐标中的X轴和Y轴被广泛使用，
并被认为是数学的基准，通常用于描述和分析几何形状，进行数据分析，建立图表等。
例如，在学校的课堂上，学生们可以学习如何通过直线的垂直线，水平线，斜率及其
极限来解决数学问题，它可以用于计算几何，解决角度和距离等。
它也可以用于计算求和线，画图，求导等基本计算概念，从而帮助学生掌握基本数学技能，进一步深入学习以及
解决实际问题。
此外，在复杂的数学概念中，直线也可以结合椭圆，双曲线，抛物线及高次函数等更
多的几何形状，以辅助解决许多复杂的数学问题，并给人带来更多的科学解释和加深印象。
总的来说，直线是数学中最基本的概念之一，它不仅贯穿着各种手绘几何形状，更贯
穿了数学概念的推理，并且在解决实际数学问题中起到了关键作用。
它也是数学学习和使
用的核心组成部分，可以帮助学生掌握基本的数学技巧，并为今后的学习和应用打下坚实
的基础。
高三数学直线知识点直线是平面几何中的基本概念之一，也是数学学科中的重要内容。
在高三阶段，学生需要深入了解直线的性质和相关定理，以在数学考试中取得优异的成绩。
本文将为您详细介绍高三数学直线的知识点。
1. 直线的定义和性质直线是由无限多个点按照一定规律排列而成的，在平面上具有无限延伸性。
直线上的任意两点可以确定一条唯一的直线。
直线没有起点和终点，也没有厚度和宽度。
2. 直线的表示方法直线可以通过两点确定，也可以通过一点和方向确定。
如果已知直线上两点A(x₁, y₁)和B(x₂, y₂)，可以通过计算斜率来判断直线的特性。
斜率的计算公式为：k=(y₂-y₁)/(x₂-x₁)。
3. 直线的方程直线的方程可以有多种形式，如一般式、截距式、点斜式和斜截式等。
其中，一般式的表示形式是Ax+By+C=0，A、B、C为常数，A和B不同时为0。
截距式的表示形式是x/a+y/b=1，a和b分别表示直线在x轴和y轴上的截距。
4. 直线的倾斜和平行关系直线的倾斜程度可以通过斜率来判断。
当斜率为正值时，直线上的点从左下方斜向右上方增加；当斜率为负值时，直线上的点从左上方斜向右下方减少。
斜率为0时，直线水平；斜率不存在时，直线垂直。
如果两条直线的斜率相等且不相交，则它们是平行的。
平行直线的斜截式方程中斜率相同，截距不同。
5. 直线的垂直关系如果两条直线的斜率的乘积为-1，则它们互相垂直。
垂直直线的斜率为互为相反数。
6. 直线的交点和距离两条直线的交点可以通过求解它们的方程组的解来确定。
设两条直线的方程分别为L₁: a₁x+b₁y+c₁=0和L₂: a₂x+b₂y+c₂=0，若它们的交点为P(x₀, y₀)，则P满足方程组：a₁x₀+b₁y₀+c₁=0和a₂x₀+b₂y₀+c₂=0。
直线上两点的距离可以通过距离公式来计算。
设直线上的两点为A(x₁, y₁)和B(x₂, y₂)，则点A到点B的距离为√((x₂-x₁)²+(y₂-y₁)²)。
直线知识点总结一、直线的定义和性质1. 直线的定义在几何学中，直线是由无数个点组成的轨迹，它是一个无限延伸的线段。
直线的宽度可以忽略不计，因此在几何中通常把直线看作是一个维度较低的图形。
2. 直线的特点（1）直线上的任意两点可以确定一条直线。
（2）直线没有宽度和厚度，只有长度。
（3）直线是无限延伸的，没有起点和终点。
3. 直线的表示在平面坐标系中，直线可以用方程、坐标、斜率等多种方法来表示。
常见的直线表示方法有：（1）一般式方程：Ax + By + C = 0（2）点斜式方程：y - y1 = k(x - x1)（3）斜截式方程：y = kx + b（4）两点式方程：(y - y1)/(x - x1) = (y2 - y1)/(x2 - x1)4. 直线的平行和垂直关系两条直线平行的条件是它们的斜率相等，而两条直线垂直的条件是它们的斜率乘积为-1。
这些性质是直线的重要性质，也是在几何计算中经常用到的知识点。
5. 直线的距离和角度（1）直线上点到点的距离：利用两点间距离公式可以计算。
（2）直线与坐标轴的位置关系：直线与x轴和y轴的夹角可以用斜率的正负来判断。
6. 直线的方程和图像直线的方程表示了直线的位置和特点，通过方程可以得到直线的图像，了解直线的走向和斜率等信息。
二、直线的应用1. 几何形状在几何学中，直线是最基本的图形之一，它可以构成多边形、图形等更加复杂的几何形状。
直线的性质对于解题和计算都有着十分重要的作用。
2. 函数和方程直线是一元一次函数的图像，因此在代数学中也有着很广泛的应用。
直线方程可以表示函数关系，帮助我们理解数学中的复杂关系和规律。
3. 物理学和工程学直线的概念在物理学和工程学中也有很多应用，例如在力学中的力的作用线、在建筑学中的结构线等。
4. 统计学和经济学直线的斜率和截距等概念在统计学和经济学中有很多应用，例如线性回归模型等都是基于直线的性质和特点。
5. 实际生活中直线在我们的日常生活中也有很多应用，例如地图上的直线距离、公路和铁路的走向、建筑物的结构等。
直线知识点归纳总结高中一、直线的定义和性质1. 直线的定义：直线是由无穷多个点排列在一起形成的，它没有宽度和厚度，只有长度。
2. 直线方程：直线的方程可以用斜截式、点斜式、两点式、截距式等形式表示，其中最常见的是点斜式和一般式。
3. 直线的性质：a. 两点确定一条直线：通过两点可以确定一条唯一的直线。
b. 直线的斜率：直线上的任意两点的连线的斜率是相等的。
c. 平行直线的斜率：平行的两条直线的斜率相等。
d. 垂直直线的斜率：垂直的两条直线的斜率之积为-1。
二、直线的相关定理和推论1. 直线的倾斜角定理：直线与x轴正方向的夹角称为直线的倾斜角，通过斜率和倾斜角的关系可以得到直线的倾斜角公式。
2. 直线的截距定理：直线在坐标轴上的截距的值与直线的斜率和方程的系数有一定的关系。
三、直线的平行与垂直关系1. 平行直线：两条直线的斜率相等即为平行。
2. 垂直直线：两条直线的斜率之积为-1即为垂直。
四、直线之间的位置关系1. 两直线相关的位置关系：直线间的位置关系有相交、平行、重合等情况。
2. 直线间的夹角关系：相邻角、对顶角、内错角、同旁内角的性质。
五、直线与曲线的关系1. 直线与圆的关系：直线与圆有切线和割线两种情况，切线的定义和性质，割线的定义和性质。
2. 直线与抛物线的关系：直线与抛物线的相交性质，以及直线在抛物线上的位置关系。
六、解集相关问题1. 直线方程的解集：直线的点斜式、一般式方程与x轴和y轴相交的解集问题。
2. 直线方程组的解集：两条直线方程组的解交问题。
七、直线与向量1. 直线的向量方程：直线的向量方程与参数方程的关系。
2. 直线的几何性质：直线的方向向量、点向量、平移、旋转、拉伸等操作。
这是对于高中直线知识点的一些归纳总结，主要包括直线的定义和性质、相关定理和推论、直线的平行与垂直关系、直线之间的位置关系、直线与曲线的关系、解集相关问题以及直线与向量等内容。
希望对你的学习有所帮助。
高中直线和圆数学知识点(详细)高中直线和圆数学知识点1.直线倾斜角与斜率的存在性及其取值范围;直线方向向量的意义(或)及其直线方程的向量式((为直线的方向向量)).应用直线方程的点斜式、斜截式设直线方程时，一般可设直线的斜率为k，但你是否注意到直线垂直于x轴时，即斜率k不存在的情况?2.知直线纵截距，常设其方程为或;知直线横截距，常设其方程为(直线斜率k存在时，为k的倒数)或知直线过点，常设其方程为.(2)直线在坐标轴上的截距可正、可负、也可为0.直线两截距相等直线的斜率为-1或直线过原点;直线两截距互为相反数直线的斜率为1或直线过原点;直线两截距绝对值相等直线的斜率为或直线过原点.(3)在解析几何中，研究两条直线的位置关系时，有可能这两条直线重合，而在立体几何中一般提到的两条直线可以理解为它们不重合.3.相交两直线的夹角和两直线间的到角是两个不同的概念：夹角特指相交两直线所成的较小角，范围是。
而其到角是带有方向的角，范围是4.线性规划中几个概念：约束条件、可行解、可行域、目标函数、最优解.5.圆的方程：最简方程 ;标准方程 ;6.解决直线与圆的关系问题有“函数方程思想”和“数形结合思想”两种思路，等价转化求解，重要的是发挥“圆的平面几何性质(如半径、半弦长、弦心距构成直角三角形，切线长定理、割线定理、弦切角定理等等)的作用!”(1)过圆上一点圆的切线方程如果点在圆外，那么上述直线方程表示过点两切线上两切点的“切点弦”方程.如果点在圆内，那么上述直线方程表示与圆相离且垂直于(为圆心)的直线方程， (为圆心到直线的距离).7.曲线与的交点坐标方程组的解;过两圆交点的圆(公共弦)系为，当且仅当无平方项时，为两圆公共弦所在直线方程.高考数学答题有什么策略1.调适心理，增强信心(1)合理设置考试目标，创设宽松的应考氛围，以平常心对待高考;(2)合理安排饮食，提高睡眠质量;(3)保持良好的备考状态，不断进行积极的心理暗示;(4)静能生慧，稳定情绪，净化心灵，满怀信心地迎接即将到来的考试。
第八章 解析几何第46讲 直线的倾斜角与斜率、直线的方程1．直线的倾斜角(1)定义：当直线l 与x 轴相交时，取x 轴作为基准，x 轴正向与直线l __向上方向__之间所成的角叫做直线l 的倾斜角，当直线l 与x 轴__平行或重合__时，规定它的倾斜角为0°.(2)范围：直线l 倾斜角的范围是__[0，π)__. 2．直线的斜率(1)定义：若直线的倾斜角θ不是90°，则斜率k ＝__tan_θ__.(2)计算公式：若由A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)确定的直线不垂直于x 轴，则k ＝__y 2－y 1x 2－x 1__.3．直线方程的五种形式1．思维辨析(在括号内打“√”或“×”)．(1)根据直线的倾斜角的大小不能确定直线的位置．( √ ) (2)坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率．( × ) (3)当直线l 1和l 2斜率都存在时，若k 1＝k 2，则l 1∥l 2.( × ) (4)在平面直角坐标系下，任何直线都有点斜式方程．( × ) (5)任何直线方程都能写成一般形式．( √ )解析 (1)正确．直线的倾斜角仅反映直线相对于x 轴的倾斜程度，不能确定直线的位置． (2)错误．当直线的倾斜角为90°时，其斜率不存在． (3)错误．当k 1＝k 2时，两直线可能平行，也可能重合．(4)错误．当直线与x 轴垂直(斜率不存在)时，不能用点斜式方程表示． (5)正确．无论依据哪种形式求解，最后直线方程都能写成一般形式． 2．直线x ＋3y ＋m ＝0(m ∈R )的倾斜角为( C ) A ．30° B ．60° C ．150° D ．120°解析 由k ＝tan α＝－33，α∈[0°，180°)得α＝150°. 3．已知直线l 过点P (－2,5)，且斜率为－34，则直线l 的方程为( A )A ．3x ＋4y －14＝0B ．3x －4y ＋14＝0C ．4x ＋3y －14＝0D ．4x －3y ＋14＝0解析 由y －5＝－34(x ＋2)，得3x ＋4y －14＝0.4．过点M (－2，m )，N (m,4)的直线的斜率等于1，则m 的值为( A ) A ．1 B ．4 C ．1或3D ．1或4解析 由1＝4－mm ＋2，得m ＋2＝4－m ，m ＝1.5．若点A (4,3)，B (5，a )，C (6,5)三点共线，则a 的值为__4__. 解析 k AC ＝5－36－4＝1，k AB ＝a －35－4＝a －3.由于A ，B ，C 三点共线，所以a －3＝1，即a ＝4.一 直线的倾斜角与斜率由斜率求倾斜角的范围的注意点直线的倾斜角范围是[0，π)，而这个区间不是正切函数的单调区间，因此根据斜率求倾斜角的范围时，要分k ≥0与k <0两种情况讨论．当斜率k ∈[0，＋∞)时，α∈⎣⎡⎭⎫0，π2；当斜率k ∈(－∞，0)时，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π；当斜率不存在时，α＝π2. 【例1】 (1)直线2x cos α－y －3＝0⎝⎛⎭⎫α∈⎣⎡⎦⎤π6，π3的倾斜角的取值范围是( B ) A ．⎣⎡⎦⎤π6，π3 B ．⎣⎡⎦⎤π4，π3 C ．⎣⎡⎦⎤π4，π2 D ．⎣⎡⎦⎤π4，2π3 (2)直线l 过点P (1,0)，且与以A (2,1)，B (0，3)为端点的线段有公共点，则直线l 斜率的取值范围是解析 (1)直线2x cos α－y －3＝0的斜率k ＝2cos α，因为α∈⎣⎡⎦⎤π6，π3，所以12≤cos α≤32，因此k ＝2cos α∈[1，3]． 设直线的倾斜角为θ，则有tan θ∈[1，3]． 又θ∈[0，π)，所以θ∈⎣⎡⎦⎤π4，π3， 即倾斜角的取值范围是⎣⎡⎦⎤π4，π3. (2)如图，∵k AP ＝1－02－1＝1，k BP ＝3－00－1＝－3，∴k ∈(－∞，－3]∪[1，＋∞)．二 直线方程的求法求直线方程的注意点(1)用斜截式及点斜式时，直线的斜率必须存在．(2)两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，截距式不能表示与坐标轴垂直或经过原点的直线，故在解题时，若采用截距式，注意分类讨论，判断截距是否为零．【例2】 根据所给条件求直线的方程． (1)直线过点(－4,0)，倾斜角的正弦值为1010； (2)直线过点(－3,4)，且在两坐标轴上的截距之和为12； (3)直线过点(5,10)，且到原点的距离为5. 解析 (1)设倾斜角为α，则sin α＝1010(0<α<π)， 从而cos α＝±31010，则k ＝tan α＝±13.故所求直线方程为y ＝±13(x ＋4)．即x ＋3y ＋4＝0或x －3y ＋4＝0.(2)由题设知截距不为0，设直线方程为x a ＋y12－a ＝1，又直线过点(－3,4)，从而－3a ＋412－a ＝1，解得a ＝－4或a ＝9.故所求直线方程为4x －y ＋16＝0或x ＋3y －9＝0； (3)当斜率不存在时，所求直线方程为x －5＝0；当斜率存在时，设为k ，则所求直线方程为y －10＝k (x －5)， 即kx －y ＋(10－5k )＝0.由点线距离公式，得|10－5k |k 2＋1＝5，解得k ＝34.故所求直线方程为3x －4y ＋25＝0.综上知，所求直线方程为x －5＝0或3x －4y ＋25＝0.三 直线方程的综合应用(1)含有参数的直线方程可看作直线系方程，这时要能够整理成过定点的直线系，即能够看出“动中有定”．(2)求解与直线方程有关的最值问题，先求出斜率或设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值．【例3】 已知直线l 过点P (3,2)，且与x 轴、y 轴的正半轴分别交于A ，B 两点，如图所示，求△ABO 的面积的最小值及此时直线l 的方程．解析 依题意设直线l 的方程为y －2＝k (x －3)(k <0)，且有A ⎝⎛⎭⎫3－2k ，0，B (0,2－3k )， ∴S △ABO ＝12(2－3k )⎝⎛⎭⎫3－2k ＝12⎣⎡⎦⎤12＋(－9k )＋4(－k ) ≥12⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＋2(－9k )·4(－k )＝12×(12＋12) ＝12.当且仅当－9k ＝4－k，即k ＝－23时，等号成立，即△ABO 的面积的最小值为12. 此时直线l 的方程为2x ＋3y －12＝0.1．直线x ＋(a 2＋1)y ＋1＝0的倾斜角的取值范围是( B ) A ．⎣⎡⎦⎤0，π4 B ．⎣⎡⎭⎫3π4，π C ．⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎝⎛⎦⎤π2，π D ．⎣⎡⎭⎫π4，π2∪⎣⎡⎭⎫3π4，π解析 直线的斜截式方程为y ＝－1a 2＋1x －1a 2＋1，所以斜率tan α＝－1a 2＋1，所以－1≤tan α<0，解得3π4≤α<π，即倾斜角的取值范围是⎣⎡⎭⎫3π4，π.故选B ．2．与直线x ＋3y －1＝0垂直的直线的倾斜角为__π3__.解析 直线x ＋3y －1＝0的斜率为－33， 所以与其垂直的直线的斜率k ＝3，故所求直线的倾斜角为π3.3．当k ＞0时，两直线kx －y ＝0,2x ＋ky －2＝0与x 轴围成的三角形面积的最大值为4__.解析 因为2x ＋ky －2＝0与x 轴交于点(1,0)，由⎩⎪⎨⎪⎧kx －y ＝0，2x ＋ky －2＝0，解得y ＝2k k 2＋2，所以两直线kx －y ＝0,2x ＋ky －2＝0与x 轴围成的三角形面积为12×1×2k k 2＋2＝1k ＋2k .又因为k >0，所以k ＋2k ≥2k ·2k＝22， 故三角形面积的最大值为24.4．已知直线x ＋2y ＝2分别与x 轴、y 轴相交于A ，B 两点，若动点P (a ，b )在线段AB 上，则ab 的最大值为__12__.解析 直线方程可化为x2＋y ＝1，故直线与x 轴的交点为A (2,0)，与y 轴的交点为B (0,1)．由动点P (a ，b )在线段AB 上，可知0≤b ≤1，且a ＋2b ＝2，从而a ＝2－2b ，故ab ＝(2－2b )b ＝－2b 2＋2b ＝－2⎝⎛⎭⎫b －122＋12. 由于0≤b ≤1，故当b ＝12时，ab 取得最大值12.易错点 忽略直线方程的适用范围错因分析：当使用直线方程协助解题时，如果不能确定直线是否与x 轴垂直，则需要讨论．【例1】 已知圆M ：(x －1)2＋(y －1)2＝4，直线a 过点C (2,3)且与圆M 交于A ，B 两点，且||AB ＝23，求直线a 的方程．解析 ∵圆M 的半径r ＝2，||AB ＝23， ∴圆心M (1,1)到直线a 的距离为1. 当直线a 垂直于x 轴时，符合题意． 当直线a 不垂直于x 轴时，设其方程为y －3＝k (x －2)，即kx －y ＋(3－2k )＝0， ∴||k －1＋3－2k k 2＋1＝1，∴k ＝34，∴y －3＝34(x －2)，即3x －4y ＋6＝0.综上可知，直线a 的方程为x ＝2或3x －4y ＋6＝0.【跟踪训练1】 过点M (－3,5)且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为__5x ＋3y ＝0或x －y ＋8＝0__.解析 当直线过原点时，直线方程为y ＝－53x ，即5x ＋3y ＝0；当直线不过原点时，设直线方程为x a ＋y－a ＝1，即x －y ＝a ，代入点(－3,5)，得a ＝－8，即直线方程为x －y ＋8＝0.课时达标 第46讲[解密考纲]考查直线的倾斜角与斜率、直线的方程常以选择题、填空题出现，或者在直线与圆锥曲线的位置关系中进行考查．一、选择题1．设直线l 的方程为x ＋y cos θ＋3＝0(θ∈R )，则直线l 的倾斜角α的范围是( C ) A ．[0，π) B ．⎣⎡⎭⎫π4，π2C ．⎣⎡⎦⎤π4，3π4D ．⎣⎡⎭⎫π4，π2∪⎝⎛⎦⎤π2，3π4解析 当cos θ＝0时，方程变为x ＋3＝0，其倾斜角为π2；当cos θ≠0时，由直线方程可得斜率k ＝－1cos θ.∵cos θ∈[－1,1]且cos θ≠0， ∴k ∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)， 即tan α∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)， 又α∈[0，π)，∴α∈⎣⎡⎭⎫π4，π2∪⎝⎛⎦⎤π2，3π4. 由上知，倾斜角的范围是⎣⎡⎦⎤π4，3π4，故选C ．2．如图中的直线l 1，l 2，l 3的斜率分别为k 1，k 2，k 3，则( D )A ．k 1<k 2<k 3B ．k 3<k 1<k 2C ．k 3<k 2<k 1D ．k 1<k 3<k 2解析 直线l 1的斜率角α1是钝角，故k 1＜0，直线l 2与l 3的倾斜角α2与α3均为锐角，且a 2＞a 3，所以0＜k 3＜k 2，因此k 1＜k 3＜k 2，故选D ．3．若k ，－1，b 三个数成等差数列，则直线y ＝kx ＋b 必经过定点( A ) A ．(1，－2) B ．(1,2) C ．(－1,2)D ．(－1，－2)解析 因为k ，－1，b 三个数成等差数列，所以k ＋b ＝－2，即b ＝－2－k ，于是直线方程化为y ＝kx －k －2，即y ＋2＝k (x －1)，故直线必过定点(1，－2)．4．(2018·浙江嘉兴模拟)如果AC <0，且BC <0，那么直线 Ax ＋By ＋C ＝0不通过( C ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析 直线Ax ＋By ＋C ＝0的斜率k ＝－A B ＜0，在y 轴上的截距为－CB＞0，所以，直线不通过第三象限．5．将直线l 沿x 轴的负方向平移a (a >0)个单位，再沿y 轴正方向平移a ＋1个单位得直线l ′，此时直线l ′与l 重合，则直线l ′的斜率为( D )A ．a a ＋1B ．－aa ＋1C ．a ＋1aD ．－a ＋1a解析 设P (x ，y )是l 上任意一点，由题意知Q (x －a ，y ＋a ＋1)也在直线l 上，所以l 的斜率为k PQ ＝a ＋1－a，故选D ． 6．设点 A (－2,3)，B (3,2)，若直线 ax ＋y ＋2 ＝ 0 与线段 AB 没有交点，则a 的取值范围是( B )A ．⎝⎛⎦⎤－∞，－52∪⎣⎡⎭⎫43，＋∞ B ．⎝⎛⎭⎫－43，52 C ．⎣⎡⎦⎤－52，43 D ．⎝⎛⎦⎤－∞，－43∪⎣⎡⎭⎫52，＋∞ 解析 直线ax ＋y ＋2＝0恒过点M (0，－2)，且斜率为－a ， ∵k MA ＝3－(－2)－2－0＝－52，k MB ＝2－(－2)3－0＝－43，由图可知－a ＞－52且－a ＜43，∴a ∈⎝⎛⎭⎫－43，52.二、填空题7．(2018·黑龙江哈尔滨模拟)一条直线经过点A (－2,2)，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为1，则此直线的方程为__x ＋2y －2＝0或2x ＋y ＋2＝0__.解析 设所求直线的方程为x a ＋yb ＝1，∵A (－2,2)在直线上，∴－2a ＋2b ＝1，①又因直线与坐标轴围成的三角形面积为1， ∴12|a |·|b |＝1.②由①②可得(1)⎩⎪⎨⎪⎧ a －b ＝1，ab ＝2或(2)⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＝－1，ab ＝－2. 由(1)解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－2，方程组(2)无解．故所求的直线方程为x 2＋y 1＝1或x －1＋y－2＝1，即x ＋2y －2＝0或2x ＋y ＋2＝0为所求直线的方程．8．已知A (3,0)，B (0,4)，直线AB 上一动点P (x ，y )，则xy 的最大值是__3__. 解析 ∵直线AB 的方程为x 3＋y4＝1，易知x ＞0，y ＞0时xy 才能取最大值， ∴1＝x 3＋y 4≥2|xy |12，∴|xy |≤3，∴(xy )max ＝3， 当且仅当x 3＝y 4＝12，即当P 点的坐标为⎝⎛⎭⎫32，2时，xy 取最大值3. 9．若 ab >0，且 A (a,0)，B (0，b )，C (－2，－2)三点共线，则ab 的最小值为__16__. 解析 根据A (a,0)，B (0，b )确定直线的方程为x a ＋yb ＝1，又C (－2，－2)在该直线上，故－2a ＋－2b ＝1，所以－2(a ＋b )＝ab .又ab ＞0，故a ＜0，b ＜0.根据基本不等式ab ＝－2(a ＋b )≥4ab ，从而ab ≤0(舍去)或ab ≥4，故ab ≥16，当且仅当a ＝b ＝－4时取等号，即ab 的最小值为16. 三、解答题10．过点P (3,0)作一直线，使它夹在两直线l 1：2x －y －2＝0与l 2：x ＋y ＋3＝0之间的线段AB 恰被点P 平分，求此直线的方程．解析 设点A (x ，y )在l 1上，点B (x B ，y B )在l 2上． 由题意知⎩⎨⎧x ＋xB 2＝3，y ＋yB2＝0，则点B (6－x ，－y )，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －2＝0，(6－x )＋(－y )＋3＝0，得⎩⎨⎧x ＝113，y ＝163，则k ＝163－0113－3＝8.故所求的直线方程为y ＝8(x －3)，即8x －y －24＝0. 11．已知点A (3,4)，求满足下列条件的直线方程． (1)经过点A 且在两坐标轴上截距相等；(2)经过点A 且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形． 解析 (1)设直线在x ，y 轴上的截距均为a . ①若a ＝0，即直线过点(0,0)及(3,4)． ∴直线的方程为y ＝43x ，即4x －3y ＝0.②若a ≠0，设所求直线的方程为x a ＋ya ＝1，又点(3,4)在直线上，∴3a ＋4a ＝1，∴a ＝7.∴直线的方程为x ＋y －7＝0.综合①②可知所求直线的方程为4x －3y ＝0或x ＋y －7＝0. (2)由题意可知，所求直线的斜率为±1. 又过点(3,4)，由点斜式得y －4＝±(x －3)． 所求直线的方程为x －y ＋1＝0或x ＋y －7＝0. 12．已知直线l ：kx －y ＋1＋2k ＝0(k ∈R )． (1)证明：直线l 过定点；(2)若直线不经过第四象限，求k 的取值范围；(3)若直线l 交x 轴负半轴于A ，交y 轴正半轴于B ，△AOB 的面积为S (O 为坐标原点)，求S 的最小值并求此时直线l 的方程．解析 (1)证明：直线l 的方程是 k (x ＋2)＋(1－y )＝0，令⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2＝0，1－y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝1，故无论k 取何值，直线总经过定点(－2,1)．(2)由方程知，当k ≠0时直线在x 轴上的截距为－1＋2k k ，在y 轴上的截距为1＋2k ，要使直线不经过第四象限，则必须有⎩⎪⎨⎪⎧－1＋2k k ≤－2，1＋2k ≥1，解之得k ＞0；当k ＝0时，直线为y ＝1，符合题意，故k ≥0.即k 的取值范围是[0，＋∞)．(3)由l 的方程，得A ⎝⎛⎭⎫－1＋2k k ，0，B (0,1＋2k )． 依题意得⎩⎪⎨⎪⎧－1＋2k k ＜0，1＋2k ＞0，解得k ＞0. ∵S ＝12·|OA |·|OB |＝12·⎪⎪⎪⎪1＋2k k ·|1＋2k |＝12·(1＋2k )2k ＝12⎝⎛⎭⎫4k ＋1k ＋4≥12×(2×2＋4)＝4， 等号成立的条件是k ＞0且4k ＝1k ，即k ＝12， ∴S min ＝4，此时直线l 的方程为x －2y ＋4＝0. 古今中外有学问的人，有成就的人，总是十分注意积累的。
