北邮信号与系统本科教学课件04

⎧右 相移 ωt 0 ⎨ ⎩左 − ωt 0 ωt 0
2.例题
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第
例3-7-8
求图(a)所示函数的傅里叶变换。
引入辅助信号 f1 (t ), 如图 (b ).
f (t )
1 ↔ 2πδ (ω ) = F (ω )
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第
五.尺度变换性质
1.性质 2.证明 3.意义 (1) 0<a<1 时域扩展，频带压缩。 (2) a>1 时域压缩，频域扩展a倍。
( 3) a = −1
1 ⎛ω ⎞ 若 f ( t ) ↔ F (ω ), 则 f (at ) ↔ F ⎜ ⎟ , a为非零函数 a ⎝a⎠
∵ ∴
∞
−∞
−∞
δ ′(t )e − j ω t dt ∫
∞
=− e
[
−jω t
]
′
t =0
= − (− jω ) = jω
求冲激偶和单位阶跃函数傅立叶变换的其 它方法见书上P121-122,请自阅。
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三.单位阶跃函数
1
0
2 t
1
1 1 u(t ) = + sgn(t ) 2 2 1 u(t ) (t ) sgn 1 2
2 0
t −1 2
0
t
1 ↔ πδ (ω ) 2
1 1 sgn(t ) ↔ 2 jω
1 ∴ u( t ) ↔ πδ (ω ) + jω F (ω )
(π )
0
ω
0
ω
(π )
0
ω
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§3.7 傅立叶变换的性质
主要内容 对称性质 奇偶虚实性 尺度变换性质 频移特性 重点 难点
BUPT EE 退出 开始
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第
六.时移特性
1.性质
若f ( t ) ↔ F (ω ),
23 页
则f ( t − t 0 ) ↔ F (ω )e
jφ ( ω )
− jω t 0
;
若F (ω ) = F (ω ) e
则f ( t − t 0 ) ↔ F (ω ) ⋅ e
j [Φ (ω ) −ω t 0 ]
幅度频谱无变化，只影响相位频谱，
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第 22 页
( 3) a = −1
f (t ) → f (− t ), F (ω ) → F (− ω ) = F * (ω )
当 f (t )为实函数时 , F (− ω ) = F * (ω )共轭
Q R(ω )为偶函数, X (ω )为奇函数
= R(ω ) − jX (ω ) = F * (ω ) F ( −ω ) = R( −ω ) + jX ( −ω )
1
而u(t)不满足绝对可积条件，不能用定义求。
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比较
δ (t ) ↔ 1
f (t ) F (ω )
1
(1)
O
t
O
1 f (t ) 2π
ω
1 δ (ω ) ↔ 2π
F (ω )
(1)
O
ω
O
t
对称性质
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二.冲激偶的傅里叶变换
Q ∫ f (t )δ ′(t )dt = − f ′(0)
∴ F [δ ′(t )] =
1
1
1
t
2
(1)
t
dt
o
o
o
退出
t
第
2.频域微分性质
（1）性质
若f ( t ) ↔ F (ω ), 则tf ( t ) ↔ jdF (ω ) dω − jtf ( t ) ↔ d F (ω ) dω d n F (ω ) f (t ) ↔ dω n
15 页
(− jt )n
或
t
n
( j )n F n (ω ) f (t ) ↔
一般情况下 f ( n ) ( t ) ↔ ( jω ) n F (ω ) 若已知 F f (t ) ，则F (ω ) =
n
9 页
[
]
F f n (t )
（2）证明 （3）物理意义 （4）例题 （5）注意
( jω )n
[
]
⎧幅度乘 ω F [ f ′( t )] = jωF (ω ) : ⎨ 相位增加, j → 900 ⎩
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第
证明
1 f (t ) = 2π 1 f ′(t ) = 2π
10 页
∫−∞ ∫−∞
∞
∞
F (ω )e jωt dω F (ω ) jωe jωt dω
∴ f ′( t ) ↔ F (ω ) jω = jωF (ω )
即
F [ f ′( t )] = jωF (ω )
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第
例3-7-5
求三角函数的频谱密度函数
例3-7-7
（2）例3-7-6
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第
例3-7-6
已知f ( t ) ↔ F (ω )，求F [(t − 2 ) f (t )] = ？
16 页
解：
F [(t − 2 ) f (t )] = F [tf (t ) − 2 f (t )] dF (ω ) = j − 2 F (ω ) d (ω )
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f (t )
11 页
Eτ 2
F (ω )
E
−τ 2 o
τ 2
t
− 4π τ o
4π τ
ω
分析
求解
退出
分析
E
f (t )
第 12 页
−τ 2 o
三角形函数 ⎯求导→ 方波 ⎯ ⎯
−τ 2 o
f ′(t )
τ 2
t
2E
τ τ 2
t
方波 ⎯⎯ → 冲激函数 ⎯
求导
f ′′(t )
(2 E τ )
−τ 2 o
2 4
2
第
注意
如果f(t)中有确定的直流分量，应先取出单独求傅里 变换，余下部分再用微分性质。 ⎫ u(t ) ↔ F (ω ) 直流 1 ↔ πδ (ω ) ⎪ 2
14 页
⎪ 1 1 1 ⎪ 余下部分 f 2 ( t ) = u( t ) − = sgn( t ),⎬ u(t ) ↔ πδ (ω ) + 2 2 jω ⎪ 1 ⎪ ( 微分 f 2 (t ) = δ (t ) ↔ 1), f 2 ( t ) ↔ jω ⎪ ⎭ d [u(t ) − f1 (t )] u(t ) f (t )
(2E τ )
τ 2
t
(4E τ )
退出
第
解 F [ f ′′(t )] = ∫
=
⎡ 2E ⎛ τ ⎞ 4E 2 E ⎛ τ ⎞ ⎤ − jω t δ⎜t + ⎟ − δ (t ) + δ ⎜ t − ⎟ ⎥ e dt −∞ ⎢ τ τ ⎝ 2 ⎠⎦ 2⎠ τ ⎝ ⎣
∞
13 页
2E
τ
1
e
jω τ
2
−
4E
τ
+
2E
τ
e
− jω τ
2
= ( jω ) F (ω ) = −ω 2 F (ω )
2
⎡ 2 E jω τ 2 4 E 2 E − jω τ 2 ⎤ − + ∴ F (ω ) = e e 2 ⎢ ⎥ τ τ −ω ⎣ τ ⎦
2 E ⎡ jω τ 2 − jω τ ⎤ 2 = −2+e e ⎥ ⎣ ⎦ −ω2 τ ⎢ 1 − 2E ⎡ = e 2 ⎢ τω ⎣
退出
第
3.意义
f (t )
F (ω ) Eτ
20 页
E
−
τ
2
o
τ
2
⎛t⎞ f⎜ ⎟ ⎝ 2⎠
t
−
2π o 2π
ω
τ
τ
(1) 0<a<1 时域扩展，频带压缩。
2 Eτ
−
2F (2ω )
E
t
π τ
−τ
o
τ
o
π τ
ω
脉冲持续时间增加a倍，变化慢了，信号在频域的频 带压缩a倍。高频分量减少，幅度上升a倍。
关于ω 的奇函数 X (ω ) = − X (− ω )
∴ F (− ω ) = F ∗ (ω )
已知F [ f (− t )] = F (− ω )
∴ F [ f (− t )] = F ∗ (ω )
退出
第
四.微分性质
时域微分性质 频域微分性质
若f ( t ) ↔ F (ω ), 则tf ( t ) ↔ jdF (ω ) dω − jtf ( t ) ↔ d F (ω ) dω
3 页
证明自阅P123
2. 意义
( 若F ( t )形状与 F (ω )相同， ω → t )
则F ( t )的频谱函数形状与 f (t )形状相同， (t → ω ), 幅度差2π
3.例题
退出
第
例3-7-1
δ (t ) ↔ 1 , F (t ) = 1 ↔ 2πδ (ω )
4 页
例3-7-2
2 已知F [sgn( t )] = , jω 2 则 ↔ 2π sgn( −ω ) jt 1 即 ↔ − jπ sgn(ω ) t
∫
∞
−∞
f ( − t )e
−jω t
dt =
∫
∞
−∞
f ( u)e − j (−ω
)u
du = F ( −ω )
若f ( t ) ↔ F (ω )，则f ( − t ) ↔ F ∗ (ω )
证明
退出
第
证明
设f(t)是实函数（为虚函数或复函数情况相似，略）
F (ω ) = ∫