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第2章统计2.4线性回归方程学习目标1•了解两个变量之间的相关关系并与函数通过对己有数量的分析、运算培养学生数据分析、数学运算的核心素养.知1^嘗L匚新盹探V1.变量之间的两类常见关系在实际问题中，变量之间的常见关系有如下两类：一类是确定性函数关系,变量之间的关系可以用函数表示.另一类是相关关系，变量之间有1定的联系，但不能完全用函数表不.2.相关关系的分类相关关系分线性相关和非线性相关两种.3.线性回归方程系数公式能用直线方程$=加+。
近似表示的相关关系叫做线性相关关系, 该方程叫线性回归方程・给岀一组数据馆，（助乃），…，仇，％）,线性回归方程中的系数°, b满足I ni=\、/匸1、/n^Xiy— E)1//=!上式还可以表示为n n ——》(x-x)(y-y)匸初试身手二笞案i= 1 i= 1a-y-bx.1.有下列关系：①人的年龄与其拥有的财富之间的关系；②曲线上点与该点的坐标之间的关系；③苹果的产量与气候之间的关系；④森林中的同一树木，其横截面直径与高度之间的关系;⑤学生与其学号之间的关系.其中具有相关关系的是_____ ・①③④[②⑤为确定关系不是相关关系.]2. 下面四个散点图中点的分布状态，直观上判断两个变量之间具有线性相关关系的是 _____③[散点图①中的点无规律的分布，范围很广，表明两个变量之 间的相关程度很小；②中所有的点都在同一条直线上，是函数关系； ③中点的分布在一条带状区域上，即点分布在一条直线的附近，是线 性相关关系；④中的点也分布在一条带状区域内，但不是线性的，而是一条曲线附近，所以不是线性相关关系，故填④③・]3. ____________________ 工人工资y（元）依劳动生产率x（千元）变化的线性回归方程为$ =50+80%,下列判断正确的是___________________________ ・①劳动生产率为1 000元时，工资为130元；②劳动生产率提高1 000元时，工资提高80元；③劳动生产率提高1 000元时，工资提高130元；④当月工资为250元时，劳动生产率为2 000元.②[回归直线斜率为80,所以x每增加1, $增加80,即劳动生产率提高1 000元时，工资提高80元.]4.下表是广告费用与销售额之间的一组数据:销售额y（千元）与广告费用兀（千元）之间有线性相关关系，回归方程为$=2.3兀+a@为常数），现要使销售额达到6万元，估计广告费用约为_______ 千元.15 [x-1, y=41.6,则a二$-2.3；=41.6-2.3X7=25.5. 当y=6万元=60千元时，60=2.3x+25.5,解得x=15（千元）.]F严严护变量间相关关系的判断【例1】在下列两个变量的关系中，具有相关关系的麴①正方形边长与面积之间的关系；②作文水平与课外阅读量之间的关系；③人的身高与年龄之间的关系；④降雪量与交通事故发生率之间的关系.②④两变量之间的关系有两种:函数关系与带有随机性的相关关系.①正方形的边长与面积之间的关系是函数关系.②作文水平与课外阅读量之间的关系不是严格的函数关系，但是具有相关性，因而是相关关系.③人的身高与年龄之间的关系既不是函数关系，也不是相关关系，因为人的年龄达到一定时期身高就不发生明显变化了，因而他们不具备相关关系.④降雪量与交通事故的发生率之间具有相关关系・]-fB律方誌-------------------------------------------1.函数关系是1种确定的关系，而相关关系是非随机变量与随机变量的关系.函数关系是一种因果关系，而相关关系不一定是因果关系，也可能是伴随关系.2.准确理解变量间的相关关系是解答本题的关键.要准确区分两个变量间的相关关系和函数关系，事实上，现实生活中相关关系是处处存在的，从某种意义上讲，函数关系可以看作一种理想的关系模型，而相关关系是一种普遍的关系.两者区别的关键点是“确定性” 还是“不确定性”.餌踪洲练.1.__________ 下列两个变量中具有相关关系的是（填写相应的序号）.①正方体的棱长和体积；②单产为常数时，土地面积和总产量；③日照时间与水稻的亩产量.③[正方体的棱长X和体积y 存在着函数关系y=『；单产为常数a公斤/亩，土地面积x（亩）和总产量y（公斤）之间也存在着函数关系y二狀日照时间长，则水稻的亩产量高，这只是相关关系, 应选③.]2.下列命题：①任何两个变量都具有相关关系;②圆的周长与该圆的半径具有相关关系;③某商品的需求量与该商品的价格是-种非确定性关系；④根据散点图求得的回归直线方程可能是没有意义的；⑤两个变量间的相关关系可以通过回归直线，把非确定性问题转化为确定性问题进行研究.其中正确的命题为_____ •W2y 散点图的画法及应用③④⑤［两个变量不一定是相关关系，也可能是确定性关系，故①错误；圆的周长与该圆的半径具有函数关系，故②错误；③④⑤都正确.【例2】现有5个同学的数学和物理成绩如下表:利用散点图判断它们是否具有线性相关关系？如果有线性相关关系，是正相关还是负相关?W2y 散点图的画法及应用思路点拨：本题涉及两个变量（数学成绩与物理成绩），以兀轴表示数学成绩、y轴表示物理成绩，可得相应的散点图，再观察散点怪得岀结论.懈］把数学成绩作为横坐标，把相应的物理成绩作为纵坐标，在平面直角坐标系中描点(从刃)(匸1,2, •••, 5).从图中可以直观地看出数学成绩和物理成绩具有线性相关关系，且当数学成绩减小时, 物理成绩也由大变小，即它们正相关.72 70 68 66 64 62 60 y20 40 60 80 100 xd®律方进----------------------------------------- ・■' t w* M9 t * f V*h判断两个变量X和y之间是否具有线性相关关系，常用的简便方法就是绘制散点图，如果图上发现点的分布从整体上看大致在一条直线附近，那么这两个变量就是线性相关的，注意不要受个别点的位置的影响.如果变量的对应点分布没有规律，我们就可以认为这两个变量不具有相关关系.2.正相关、负相关正相关是指两个变量具有相同的变化趙势，即从整体上来看，一个变量会随另一个变量变大而变大.从散点图上看，因变量随自变量的增大而增大，图中的点分布在左下角到右上角的区域.负相关是指两个变量具有相反的变化趋势，即从整体上来看，一个变量会随另一个变量变大而变小.从散点图上看，因变量随自变量的增大而减小，图中的点分布在左上角到右下角的区域.提醒:画散点图时应注意合理选择单位长度，避免图形过大或偏小, 或者是点的坐标在坐标系中画不准，使图形失真，导致得岀错误结论.3.如图是两个变量统计数据的散点图，判断两个变量之间是否具有相关关系？y0.40.2 .■0.1 •• •0 2 4 6 8 10 %思路点拨：观察图中点的分布情况作出判断.从散点图上看，点的分布散乱无规律，故不具有相关关系.懈］不具有相关关系，因为散点散乱地分布在坐标平面内，不呈线形.4.有个男孩的年龄与身高的统计数据如下:画岀散点图，并判断它们是否有相关关系？如果有相关关系，是正相关还是负相关？思路点拨:描点(1,78), (2,87), (3,98), (4,108),(5,115), (6,120).观察点的分布，作岀判断.蒯作岀散点图如亂1101009080700 12 3 图可见，具有线性相关关系,线性回归方程的求法及应用4 5 6年龄且是正相关.【例3】某产品的广告支岀x(单位：万元)与销售收入y(单位: 万元)之间有下表所对应的数据.(1)11岀表中数据的散点图；(2)求出y对兀的回归直线方^y-bx+a,并解释0的意义;线性回归方程的求法及应用(3)若广告费为9万元，则销售收入约为多少万元？解］⑴散点图如图.“万元60-50-40-30-20-10-01234 〃万元(2)观察散点图可知各点大致分布在一条直线附近，列岀下列表格，以便计算回归系数a, B._ 5 - 69 4 4 4于是x=y D=30，828,》x〃i=418,/-I iT i=l4 _加一4x i=[ 代入公式得， -----------4 -川-存匸15 69 418—4X^7 ?330-4X故y对x的回归直线方程为匸殳-2,其中回归系数戶?，它的意义是：广告支岀每增加1万元，销售收入y平均增加学万元.73(3)当尸9万元时，侣§X9—2=129.4(万元)，即若广告费为9万元，则销售收入约为129.4万元.规律方誌------------------------------1」求样本如据的线性回归方程，可按下列步骤进行: 第一步,计算平均数X, y；n n第二步，求和»必，彷f；i= 1 i= 1n —_ n一一X(x-xB-y) Ex^-/u yi=\ i=l _ _第三步，计算0= ---------- = ---------- , a=y~bx\n _ n —匸 1 i=l第四步，写出线性回归方程$=办+化2.对于任意一组样本数据，利用上述公式都可以求得“回归方程”，如果这组数据不具有线性相关关系，即不存在回归直线，那么所得的“回归方程”是没有实际意义的.因此，对一组样本数据，应先作散点图，在具有线性相关关系的前提下再求回归方程.提醒：⑴对一组数据进行线性回归分析时，应先画岀其散点图, 判断变量之间是否线性相关，再由系数0的计算公式，计算出a, 0,由于计算量较大，在计算时应借助计算器，仔细计算，以防岀现错误.(2)为了方便，常制表对应算岀刼门以便于求和.(3)研究变量间的相关关系，求得回归直线方程能帮助我们发现事物发展的一些规律，估计、预测某些数据，为我们的判断和决策提供依据.餌踪洲练.5.如图是我国2012年至2018年生活垃圾无害化处理量（单位:亿吨）的折线图.注：年份代码1—7分别对应年份2012-2018.⑴由折线图看岀，可用线性回归模型拟合y与/的关系，请用相关系数加以说明；⑵建立y关于t的回归方程（系数精确到0.01）,预测2018年我国生活垃圾无害化处理量.7 77参考数据：E沪9.32, E切=40.17,F1 /=1后2.646.J (trt)(yry) A 参考公式:相关系数尸J J ”,回归方程:尸\ 工(y~y)2\l 1=1 1=1a + bt中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为b =n _ _匚J ---- 2—, a=y~b t./=1--------------- 1确宗---------------- 思路点拨：(1)利用相关系数的大小y与/的线性相关程度(2)求岀回归方程一利用方程进行估计解］⑴由折线图中的数据和附注中的参考数据得_ 7 _ t =4? E （（厂（）2=28, /-17 _ 7 7E （右—f ）（y 厂y ）二工伽—t Z j/—40.17 4X9.32—2.89,i=\ i=\ i=\因为y 与f 的相关系数近似为0.99,说明y 与f 的线性相关7 _ 力仞一川=0・55,/-I2.890.55X2X2.64~0・99・程度相当大，从而可以用线性回归模型拟合y与f的关系.-9 32(2) y— y 1.331 及⑴得7 _ _工(“一”仞一刃QOQb=------------ =^0.103.工(E 28/-Ia=y-b ^1.331-0.103X4^0.92.所以y关于t的回归方程为$=0.92+0.10t・。
2.4《线性回归方程》教案(1)教学目标:（1）收集现实问题中两个有关联变量的数据作散点图，利用散点图直观认识变量间的相关关系；（2）在两个变量具有线性相关关系时，在散点较长中作出线性直线，用线性回归方程进行预测；（3）理解最小二乘法的含义及思想,能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程。
教学重点:散点图的画法，回归直线方程的求解方法。
教学难点:回归直线方程的求解方法。
教学过程:一、问题情境问题1：客观事物是相互联系的，存在着一种确定性关系，过去研究的大多数是因果关系，但实际上更多存在的是一种非因果关系即非确定性关系——相关关系。
你能举出一些这样的事例吗？问题2：某小卖部为了了解热茶销售量与气温之间的关系，随机统计并制作了某6天卖出热茶的杯数与当天气温的对照表：-0C，你能根据这些数据预测这天小卖部卖出热茶的杯数吗？如果某天的气温是5二、学生活动为了了解热茶销量与气温的大致关系，我们以横坐标x表示气温，纵坐标y表示热茶销量，建立直角坐标系，将表中数据构成的6个数对所表示的点在坐标系内标出，得到下图，今后我们称这样的图为散点图(scatterplot).从右图可以看出.这些点散布在一条直线的附近,故可用一个线性函数近似地表示热茶销量与气温之间的关系.选择怎样的直线近似地表示热茶销量与气温之间的关系?我们有多种思考方案:(1)选择能反映直线变化的两个点,例如取(4,50),(18,24)这两点的直线； （2）取一条直线,使得位于该直线一侧和另一侧的点的个数基本相同；（3）多取几组点,确定几条直线方程,再分别算出各条直线斜率、截距的平均值,作为所求直线的斜率、截距； ……………… 怎样的直线最好呢? 三、建构数学 1、最小平方法：用方程为ˆybx a =+的直线拟合散点图中的点，应使得该直线与散点图中的点最接近.那么怎样衡量直线ˆybx a =+与图中六个点的接近程度呢？ 我们将表中给出的自变量x 的六个值代入直线方程,得到相应的六个值：26,18,13,10,4,b a b a b a b a b a b a +++++-+它们与表中相应的实际值应该越接近越好.所以,我们用类似于估计平均数时的思想,考虑离差的平方和22222222(,)(2620)(1824)(1334)(1038)(450)(64)12866140382046010172Q a b b a b a b a b a b a b a b a ab b a =+-++-+-++-++-+-+-=++--+ (,)Q a b 是直线ˆybx a =+与各散点在垂直方向(纵轴方向)上的距离的平方和,可以用来衡量直线ˆybx a =+与图中六个点的接近程度。
2.4 线性回归方程第2课时导入新课在上一节课中问题1：将汽油以均匀的速度注入桶里，注入的时间t与注入的油量y如下表：从表里数据得出油量y与时间t之间的函数关系式为y=2x(x≥0).并且在直角坐标系里很容易作出它们的图象，我们知道各点在同一条直线上.再看下面的问题（即上一节课的练习2）：某小卖部为了了解热茶销售量与气温之间的关系，随机统计并制作了某6天卖出热茶的杯数与当天气温的对比表：请大家动手作出热茶销售量与气温的坐标图，说说它的特点，能得到什么规律？分析：该图中所有点不像第一个问题中函数关系的图象对应的点在同一条直线上，但是分布也是很有规律，它们散布在从左上角到右下角的区域，因此，可以得到规律是随着气温的增加，热茶卖出的杯数在减少.但究竟以什么样的方式在减少呢？这就是今天要继续学习的内容——线性回归方程.推进新课新知探究以横坐标x表示气温，纵坐标y表示热茶销量，建立平面直角坐标系，将表中数据构成的6个数对所表示的点在坐标系内标出，得到上图，今后我们称这样的图为散点图.1.散点图（scatterplot）：表示具有相关关系的两个变量的一组数据的图形叫做散点图.散点图形象地反映了各对数据的密切程度.粗略地看，散点分布具有一定的规律.在本图中这些点散布的位置也是值得注意的，它们散布在从左上角到右下角的区域，对于这种相关关系，我们称它为负相关.如果点散布在从左下角到右上角的区域.对于这种相关关系，我们称它为正相关.请学生举例：两个变量之间是正相关的关系.例如：某小卖部卖的冷饮销售量与气温之间的关系.再看上节课的练习 1.在一次对人体脂肪含量和年龄关系的研究中，研究人员获得了一组样本数据：如果作出散点图如右图，它是散布在从左下角到右上角的区域,也是正相关的关系.回到解热茶销售量与气温之间的关系的散点图来，从图中可以得到规律是随着气温的增加，热饮的销售量在减少，究竟以什么样的方式减少呢？分析：分布情况是在从左上角到右下角的区域的某条直线附近摆动.能画出这条直线吗？请大家一起想一想，该怎么办，才能作出这条直线呢？请大家设计方案，可以互相讨论.方案1：采用测量的方法：先画一条直线，测量出各点到它的距离，然后移动直线，达到一个使距离之和最小的位置，测量出此时直线的斜率和截距，就得到回归方程.分析：这个想法很好，但是操作起来有一定难度，因为我们画符合条件的直线不能直接画出.还有什么新的办法能解决这个问题？方案2：在图中选取两点画直线，使得直线两侧的点的个数基本相同.分析：画直线时使得直线两侧的点的个数基本相同的直线能画无数多条，这样符合条件的直线就不唯一了，再仔细考虑一下，我们究竟应当怎样作出.方案 3：在散点图中多取几组点，确定几条直线的方程，分别求出各条直线的斜率和截距，将这两个平均数作为回归直线方程的斜率和截距.分析：如果有6个散点,按照方案3的办法,将要作15条直线,这样计算15条直线的斜率和截距分别求出的计算量是一个很大的工程，由此可见,该方案不具有可行性,那么怎样才能作出 “从整体上看各点与此直线距离最小”的直线呢？用方程y ˆ=bx+a 的直线拟合散点图中的点，应使得该直线与散点图中的点最接近，那么，怎样衡量yˆ=bx+a 与图中的点最接近程度呢？ 我们将表中给出的自变量x 的六个值代入直线方程，得到相应的六个yˆ的值： 26b+a,18b+a,13b+a,10b+a,4b+a,-b+a.这六个数值与表中相应的六个yˆ的实际值应该越接近越好.所以，我们用类似于估计总体平均数时的思想，考虑离差平方和Q(a,b)=(26b+a-20)2+(18b+a-24)2+(13b+a-34)2+(10b+a-38)2+(4b+a-50)2+(-b+a-64)2=1 286b 2+6a 2+140ab-3 280b-460a+10 172.Q(a,b)是直线yˆ=bx+a 与各个散点在垂直方向（纵轴方向）上的距离的平方和，可以用来衡量直线yˆ=bx+a 与图中6个点的接近程度，所以，设法取a ，b 的值，使Q(a,b)达到最小值.先把a 看作是常数，那么Q 是关于b 的二次函数.用配方法可得，当b=-128623820140⨯-a 时，Q 取得最小值.同理，把b 看作是常数，那么Q 是关于a 的二次函数.用配方法可得，当a=-12460140-b 时，Q 取得最小值. 因此,当b=-128623820140⨯-a ，a=-12460140-b 时, Q 取得最小值,由此解得b≈-1.647 7,a≈57.556 8.所以所求的直线方程为yˆ=-1.647 7x+57.556 8.像这样能用直线方程yˆ=bx+a 近似表示的相关关系叫做线性相关关系. 人们经过长期的实践与研究,已经得出了从数量关系的角度来计算回归直线方程的斜率与截距的一般公式为: ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-=---=∑∑==xb y a x x y y x x b n i i n i i i 11)())((, 从而得到回归直线方程为y ˆ=bx+a. 下面我们一起来探究一下这个公式. 设已经得到具有线性相关关系的变量的一组数据：(x 1,y 1),(x 2,y 2),…，(x n ,y n ),设所求的回归直线方程为yˆ=bx+a ，其中a ，b 是待定的系数，当变量x 取x 1,x 2,…,x n 时，可以得到i yˆ=bx i +a(i=1,2,…，n).它与实际收集到的y i 之间的偏差是y i -i yˆ=y i -(bx i +a)(i=1,2,3,4,…,n).这样用这n 个偏差的和来刻画“各点与此直线的整体偏差”是比较合适的.但是,由于y i -i yˆ=y i -(bx i +a)(i=1,2,3,4,…,n)的值可正可负,可以相互抵消,而且若取其绝对值,考虑用∑=n i 1=|y i -Y i |来代替,但是,由于它含有绝对值运算不太方便,因此我们可以模仿方差的计算方法取其偏差的平方最小值. 表示n 个点与相应直线在整体上的接近程度.即Q=(y 1-bx 1-a)2+(y 2-bx 2-a)2+…+(y n -bx n -a)2来刻画n 个点与回归直线在整体上的偏差.这样,问题,就归结为:当a ，b 取什么值时,Q 的取值最小,即总体偏差最小?上述式子展开后，是一个关于a 、b 的二次三项式，应用配方法，可求出使Q 为最小值时的a 、b 的值.即Q=na 2+∑=n i 1=1x i 2b 2+∑=n i 1=1y i 2-2∑=n i 1=1bx i y i +2∑=n i 1=1abx i -2∑=n i 1=1ay i . (*)上述式子展开后，是一个关于a 、b 的二次三项式，我们可以把(*)式看成以a 为变量的二次三项式,应用配方法可得，当 (1)时，Q 取得最大值；因为（1）式中还含有变量a ，我们无法求出b 的数值，那么我们如何求出斜率b 与截距a 的一般公式为: 从而得到回归直线方程为yˆ=bx+a 呢？ 我们还可以把(*)式看成以b 为变量的二次三项式,应用配方法可得，当a= (2) 时，Q 取得最大值.观察(1)、(2)两个式子,因为(1)、(2)两个式子中都是含有a 、b 的二元一次方程，我们可以由(1)(2)解得：从而得到相应的直线叫做回归直线yˆ=bx+a，对两个变量所进行的上述统计分析叫做回归分析.这种求出斜率b与截距a的方法叫做最小平方法（method of least square）（又称最小二乘法）.说明:一元线性回归分析也是研究两个变量的线性相关性，但比相关分析的应用更为广泛，它不仅可以说明两个变量是否一起变化，还可以计算出预测方程以预计这两个变量是如何一起变化的.预测方程的形式为：yˆ=bx+a ，通常叫作回归方程.y 叫做因变量，x 叫做自变量，其中a 是常数项，b 叫一元回归系数.1.对回归直线方程只要求会运用它进行具体计算a、b，求出回归直线方程即可.不要求掌握回归直线方程的推导过程.2.求回归直线方程，首先应注意到，只有在散点图大致呈线性时，求出的回归直线方程才有实际意义，否则，求出的回归直线方程毫无意义.因此，对一组数据作线性回归分析时，应先看其散点图是否成线性.3.求回归直线方程，关键在于正确地求出系数a、b，由于求a、b的计算量较大，计算时仔细谨慎、分层进行，避免因计算产生失误.4.回归直线方程在现实生活与生产中有广泛的应用.应用回归直线方程可以把非确定性问题转化成确定性问题，把“无序”变为“有序”，并对情况进行估测、补充.因此，学过回归直线方程以后，应增强学生应用回归直线方程解决相关实际问题的意识.应用示例例1 在一次对人体脂肪含量和年龄关系的研究中，研究人员获得了一组样本数据：根据上述数据，人体脂肪含量和年龄之间有怎样的关系？分析：上节课已给出此问题，并作了回答但没有说明理由，这次补充完整.解：观察表中的数据，大体上来看，随着年龄的增加，人体中脂肪的百分比也在增加.为了确定这一关系的细节，我们需要进行数据分析.我们假设人的年龄影响体内脂肪含量，于是，按照习惯，以x轴表示年龄，以y轴表示脂肪含量，得到相应的散点图.从散点图我们可以看出，年龄越大，体内脂肪含量越高，图中点的趋势表明两个变量之间确实存在一定的关系，这个图支持了我们从数据表中得出的结论.经计算可得到回归直线的回归方程为yˆ=0.577x-0.448. 点评：使前后产生较强的联系性，使学生意识到学数学等于师生在共同编导连续剧，每节课都应参与，不然会掉队.例 2 下表为某地近几年机动车辆数与交通事故数的统计资料,请判断机动车辆数与交通事故数之间是否具有线性相关关系,如果具有线性相关关系,求出线性回归方程;如果不具有线性相关关系,请说明理由.分析：一般地，用回归直线进行拟合的一般步骤为：（1）作出散点图，判断散点是否在一条直线附近；（2）如果散点在一条直线附近，用公式求出a,b.解：在直角坐标系中作出所给数据的散点图，并写出线性回归方程.从散点图我们可以直观判断散点在某条直线附近，这说明两个变量是相关关系.计算相应的数据之和为:∑=n i i x1=95+110+112+120+129+135+150+180=1 031， ∑=n i i x1=6.2+7.5+7.7+8.5+8.7+9.8+10.2+13=71.6， ∑=n i i x12=137 835， ∑=n i i x1x i y i =9 611.7，代入公式（*）计算得b≈0.077 4,a=-1.024 1，所以,所求的线性回归方程为yˆ=0.774x-1.024 1.点评：要知道：在并不具有相关关系的情况下，对应的线性回归方程虽然也可以求出，但它并无实际意义，同时也要注意，在散点图中显示线性相关的一组数据不一定具有相关关系.这部分内容会在选修1-2中再次有所体现.例3 一般地，(x,y)的n组观察数据：若它的回归直线方程为yˆ=a+bx，则直线yˆ=a+bx恒过的定点是什么？分析：如果没有前面的推导背景，此题有点困难，但由于黑板上的板书还在，所以有学生能发现结论.解：由线性回归方程的推导，可知方程的系数a,b满足条件：，a=y-b x.由此不难发现，点(x,y)的坐标满足直线yˆ=a+bx的方程.所以，由点与直线的位置关系可得点(x,y)在直线yˆ=a+bx上，即直线yˆ=a+bx恒过点(x,y).这里x=, y=.点评：刚推导过线性回归方程，所以此题比较适合趁热打铁，可提前做例1；此结论在以后的解题中经常出现，因此可以让学生记忆.例4 工人工资（元）以劳动生产率（千元）变化的回归方程yˆ=50+80x，下列判断正确的是（）A.劳动生产率为1 000元时，工资为130元B.劳动生产率提高1 000元时，工资大约提高80元C.劳动生产率提高1 000元时，工资提高大约130元D.当月工资250元时，劳动生产率为2 000元分析：满足回归方程是指：工人工资（元）以劳动生产率（千元）之间具有相关关系，但不是确定的函数关系，所以选项A用的肯定语气是错的，其他的选项通过函数关系式的代入发现，只有选项B是正确的.答案：B点评：体会回归方程的应用.知能训练1.线性回归方程yˆ=kx+a所表示的直线使得（）A.散点图中的点到直线的距离之和最小B.散点图中的点到直线的距离的平方和最小C.散点图中的点与直线相同横坐标处对应的纵坐标的距离之和最小D.散点图中的点与直线相同横坐标处对应的纵坐标的距离的平方和最小2.如果有一组成对数据，求出回归直线的方程是y=2.0x+10，那么（）A.这条回归直线总是有意义的B.这条回归直线总是可以用来预测y值C.在散点图中的点都在这条直线附近时，这条回归直线才有意义D.x=10时，y的预测值为20，说明在x=10时，y的值一定等于20解答：1.D 2.C课堂小结(让学生进行小结，谈谈体会，帮助他们回顾反思、归纳概括.)1. 变量间相关关系的散点图以及正相关和负相关；2. 如何利用“最小二乘法”思想求直线的回归方程；3. 学会用回归思想考察现实生活中变量之间的相关关系.作业课本习题2.4 1、2、3.设计感想通过对气温和热饮销量的关系散点图的分析，引入描述两个变量之间关系的线性回归方程（模型），使学生通过探索用多种方法确定线性回归直线，学会类比寻求新的突破方法，体会最小二乘法的思想，掌握计算回归方程的斜率与截距的方法，求出回归直线方程.通过典型的求解，强化回归思想的建立，理解回归直线与观测数据的关系. 通过引导学生感受生活中实际问题转化为数学问题，学会类比寻求新的突破方法，体会最小二乘法的思想，培养学生的创新精神，不断收取信息，学会用统计知识对实际问题进行数学分析.本节课在理解最小二乘法的时候所用时间较多，在推导线性回归方程时，计算量特别大，所以费时也较多，建议分一点内容到上一节课协调一下.习题详解习题2.41.（1）散点图如下：（2）线性回归方程为yˆ=5.2x+24.2.（1）散点图如下：（2）根据散点图，这些点在一条直线的附近，x与y具有线性相关关系，线性回归方程为yˆ=0.305 21x+9.990 32.3.（1）散点图如下：（2）x与y之间的线性回归方程为yˆ=14.090 91x-13.227 27.4.略.。
