积分平均法与偶数阶带阻尼项非线性微分方程的振动准则

一类具有阻尼项的分数阶偏微分方程解的振动性李伟年【摘要】通过建立分数阶微分不等式,研究了一类具有阻尼项的分数阶偏微分方程解的振动性,并举例说明了主要结果的应用.【期刊名称】《滨州学院学报》【年(卷),期】2016(032)004【总页数】7页(P32-38)【关键词】分数阶偏微分方程;阻尼项;振动性【作者】李伟年【作者单位】滨州学院数学系,山东滨州256603【正文语种】中文【中图分类】O175众所周知，分数阶微分方程在工程、金融、应用数学以及非线性控制等领域都有着非常重要的应用。

近年来，分数阶微分方程理论研究取得了很大的进展，详细情况可参见专著[1-5]。

最近，关于分数阶偏微分方程的研究非常活跃，有关这方面的结果，可参见文献[6-10]及其相应的参考文献。

但是，涉及分数阶偏微分方程解的振动性的研究结果却不多，目前仅有文献[11-17]。

本文考虑以下具有阻尼项的分数阶偏微分方程解的振动性。

其中，Ω是Rn中具有逐片光滑区域∂Ω的有界区域，R+=(0,+∞),α∈(0,1)是一常数，(x,t)是u(x,t)关于t的α阶Liouville分数阶右导数，Δ是Rn上的Laplace变换。

边值条件为或者其中N是∂Ω的单位外法向量，g(x,t)是∂Ω×R+上的非负连续函数。

对于方程(1)，约定下列条件总是成立：(A1) a∈C([0,∞);[0,∞)),p∈C([0,∞);[0,∞));(A2) q(x,t)。

问题(1)～(2)(或者(1)～(3))的解是指函数u(x,t)在上满足方程(1)和边界条件(2)(或者(3))。

问题(1)～(2)(或者(1)～(3))的解u(x,t)称为在上是振动的，如果它既不最终为正也不最终为负。

否则，就称为是非振动的。

定义1[2] 称为函数y(t):R+→R的α阶Liouville分数阶右积分，如果(4)式的右端在R+上是逐点定义的。

这里，α>0为一常数，Γ是通常的Γ函数。

《非线性振动》学习报告2010年3月至6月在北京学习期间，中科院并没有开设相同或者类似的课程，所以我只能以自学的方式完成课程。

我每周的学习时间保持在3小时左右，使用的课本是《非线性振动》（刘延柱陈立群编），根据绪论的内容，以及今后可能遇到的实际问题，我重点阅读的章节为前四章。

本文内容，尤其是前几章的内容，主要以我在看书时的勾画和笔记。

本文全部由我自己输入，在完成过程中，没有十分注意排版的问题，所以板式可能比较混乱希望老师谅解。

第一章非线性振动的定性分析方法1.1 稳定性理论的基本概念特定的运动成为系统的未受干扰的运动，简称为稳态运动，而受扰运动则是偏离稳态运动的系统的运动。

李雅普诺夫关于稳定性的定义有：稳定的、渐进稳定、不稳定李雅普诺夫直接方法的理论基础由三个定理组成：（1）若能够早可谓征订函数V(x)，使得沿扰动方程解曲线计算的全导数V为半负定或等于零，则系统的未扰运动稳定。

（2）若能构造可微正定函数V(x)，使得沿扰动方程解曲线计算的全导数V为负定，则系统的未扰运动渐进稳定。

（3）若能构造可微正定、半正定函数V(x)，使得沿扰动方程解曲线计算的全导数V为正定，则系统的未扰运动不稳定。

定理：若保守系统的势能在平衡状态处有孤立极小值，则平衡状态稳定。

对于复杂的非线性系统，可以以近似的线性系统代替可以根据一次近似方程的稳定性，判断原方程的稳定性：（1）若一次方程的所有本征实部均为负，则原方程的零解渐进稳定（2）若一次近似方程至少有一本征实部为正，则原方程的零解不稳定（3）若一次近似方程存在零实部的本征值，其余根的实部为负，则不能判断原方程的零解的稳定性1.2相平面、相轨迹和奇点与系统的运动状态一一对应的像平面上的点称为系统的相点，相点的移动轨迹称为相轨迹。

像平面内能使方程右边分子分母同时为零的特殊点称为相轨迹的奇点。

保守系统的相轨迹有以下特点：（1）相轨迹曲线相对横坐标对称；（2）势能曲线z=V(x)与横坐标轴的平行线z=E交点的横坐标C1，C2，C3，处，相轨迹与横坐标轴相交；（3）横坐标轴上与势能曲线的驻点相对应的点S1，S2，S3，为奇点，因为他们满足几点的定义；（4）在势能取极小值处，设E>V（S1），则在x= S1的某个小领域内都有E大于等于V（x）。

偶数阶中立型阻尼偏微分方程解的振动性研究的开题报告题目：偶数阶中立型阻尼偏微分方程解的振动性研究一、选题背景和研究意义偏微分方程是自然科学和工程技术领域中常见的数学模型，研究其解的振动性质具有重要意义。

中立型阻尼偏微分方程在描述许多复杂的现象和问题时都具有显著的优势，在动力学、物理学、生物学等领域有广泛的应用。

因此，对于中立型阻尼偏微分方程解的振动性研究不仅有着理论上的意义，而且对实际问题的解决具有很大的帮助。

二、研究内容和目标本文的研究内容是偶数阶的中立型阻尼偏微分方程的解的振动性研究。

通过对其解的振动性质进行分析和研究，探究其中蕴含的规律和特点。

本文还将研究其波动性、稳定性和长期行为，并探讨偶数阶中立型阻尼偏微分方程的解在不同条件下的振动稳定性和振动模式。

三、研究方法和技术路线本文将运用数学分析，特别是函数分析和偏微分方程的理论方法，并基于数值模拟的结果来深入研究中立型阻尼偏微分方程的解及其振动特性。

具体来说，本文将采用对称性分析、变分法、半群理论等数学工具来研究该方程的解的振动性质。

此外，本文将采用数值方法，如有限差分、有限元等方法，来模拟偶数阶中立型阻尼偏微分方程解的行为，从而进一步验证分析结果。

四、论文结构和初步思路本文的论文结构包括：绪论、方法和理论基础、数学分析、数值模拟、结论和展望等部分。

在方法和理论基础部分，本文将介绍本文所用到的数学工具和技术，并对中立型阻尼偏微分方程的相关概念和理论进行阐述。

在数学分析部分，本文将对偶数阶中立型阻尼偏微分方程的解的振动性质进行深入研究。

在数值模拟部分，本文将进行数值模拟，以验证数学分析结果。

在结论和展望部分，对本文的研究结果进行总结和归纳，并对未来的研究方向进行展望。

五、预期成果和贡献本文的预期成果是：深入研究偶数阶中立型阻尼偏微分方程解的振动性质，探寻其内在规律和特点。

并可以通过数值模拟的方法验证分析结果。

本文的研究意义在于：提高人们对中立型阻尼偏微分方程解的理解，拓宽偏微分方程综合应用领域，进一步推动偏微分方程在自然科学和工程技术领域的应用。