非线性中立型延迟积分微分方程隐式Euler方法的收缩性

euler-cromer方法Euler-Cromer方法是一种常用的数值积分方法，用于求解微分方程。

它是由瑞士数学家Leonhard Euler和德国数学家Ludwig Cromer分别独立提出的。

在物理学和工程学中，我们经常需要求解微分方程来描述系统的运动。

然而，许多情况下，这些微分方程很难或者无法通过解析方法求解。

这时，数值方法就成为了一个有效的工具。

Euler-Cromer方法是一种一阶近似方法，它通过迭代计算来逼近真实解。

这种方法的基本思想是将微分方程转化为差分方程，然后利用离散化的时间步长进行数值计算。

具体来说，Euler-Cromer方法采用了一种特殊的迭代形式，即先计算速度，再计算位移。

在使用Euler-Cromer方法求解微分方程时，我们首先需要确定初始条件，即系统的初始位置和速度。

然后，我们选择一个合适的时间步长，将时间离散化。

接下来，我们利用差分方程进行迭代计算，依次更新系统的位置和速度。

在每一步迭代中，我们首先根据当前的速度计算位移的变化量，然后根据位移的变化量更新位置，最后根据更新后的位置计算速度。

重复这个过程，直到达到所需的时间点。

Euler-Cromer方法相比于传统的Euler方法有一定的优势。

传统的Euler方法在计算位置时，使用的是当前时刻的速度，然后再根据位置计算速度。

而Euler-Cromer方法则是先计算速度，再计算位置。

这种顺序的调整，使得Euler-Cromer方法更加稳定。

特别是在模拟一些周期性系统时，Euler-Cromer方法的结果更加准确。

然而，Euler-Cromer方法也有一些局限性。

首先，它是一种一阶方法，因此在一些复杂的系统中，误差可能会积累得比较快。

其次，Euler-Cromer方法并不是无条件稳定的，对于一些特殊的系统，可能需要选择更小的时间步长才能保证结果的准确性。

总的来说，Euler-Cromer方法是一种简单而有效的数值积分方法，适用于求解一些简单的微分方程。

2021年第42卷第1期中北大学学报(自然科学版)V o l.42 N o.12021 (总第195期)J O U R N A LO FN O R T HU N I V E R S I T YO FC H I N A(N A T U R A LS C I E N C EE D I T I O N)(S u m N o.195)文章编号:1673-3193(2021)01-0006-07非线性随机分数阶积分微分方程半隐式欧拉解的收敛性和稳定性李晓卫,贾宏恩,郭平(太原理工大学数学学院,山西太原030024)摘要:主要对非线性随机分数阶积分微分方程半隐式欧拉方法的收敛性进行了针对性研究,证明了此类半隐式欧拉方法具有强一阶收敛性.此外,在精确解满足均方稳定性的前提下,研究了非线性随机分数阶积分微分方程半隐式欧拉解的均方稳定性,最后利用数值算例验证了数值解的收敛性.关键词:随机分数阶积分微分方程;半隐式欧拉方法;收敛性;均方稳定性中图分类号: O242.28文献标识码:A d o i:10.3969/j.i s s n.1673-3193.2021.01.002C o n v e r g e n c e a n dS t a b i l i t y o f S e m i-I m p l i c i t E u l e r-M a r u y a m aS o l u t i o n f o rN o n l i n e a r S t o c h a s t i cF r a c t i o n a lI n t e g r o-D i f f e r e n t i a l E q u a t i o n sL IX i a o-w e i,J I A H o n g-e n,G U OP i n g(S c h o o l o fM a t h e m a t i c a l S c i e n c e s,T a i y u a nU n i v e r s i t y o f T e c h n o l o g y,T a i y u a n030024,C h i n a)A b s t r a c t:T h i s p a p e r i sm a i n l y c o n c e r n e dw i t h t h e c o n v e r g e n c e a n a l y s i s o f t h e s e m i-i m p l i c i tE u l e r-M a-r u y a m a(E M)m e t h o df o r t h en o n l i n e a rS F I D E s.I t i s p r o v e dt h a t t h es e m i-i m p l i c i tE M s o l u t i o no f S F I D E s s h a r e s s t r o n g f i r s t o r d e r s h a r p c o n v e r g e n c e.F u r t h e r m o r e,o n t h e p r e m i s e t h a t t h e e x a c t s o l u-t i o n s a t i s f i e s t h em e a n-s q u a r e s t a b i l i t y,w e r e s e a r c h e d t h em e a n-s q u a r e s t a b i l i t y o f t h e s e m i-i m p l i c i t E M s o l u t i o n o f t h e n o n l i n e a r S F I D E s.A t l a s t,s o m e n u m e r i c a l e x a m p l e sw e r e p r e s e n t e d t o d e m o n s t r a t e t h e c o n v e r g e n c e o f t h e n u m e r i c a l s o l u t i o n s.K e y w o r d s:s t o c h a s t i c f r a c t i o n a l i n t e g r a l d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n;s e m i-i m p l i c i tE u l e r-M a r u y a m am e t h o d;c o n v e r g e n c e;m e a n-s q u a r e s t a b i l i t y0引言积分微分方程是现代数学的重要分支,是人们解决各种实际问题的有效工具,它广泛应用于几何㊁力学㊁物理㊁电子技术㊁自动控制㊁航天㊁生命科学等领域,如反应堆动力学[1]㊁种群动态[2]和分层介质中的波传播[3],并且随着现实生活中的许多随机因素(如噪声等)被考虑进来,随机积分微分方程引起了国内外众多学者的关注与研究.在现有研究中,随机积分微分方程被应用于随机力驱动的粘弹性结构构件的力学行为[4]㊁期权定价[5]及人口增长模型中[6].此外,一些学者证明了随机积分微分方程解的存在性㊁唯一性和稳定性[7-10].但在许多情况下,随机积分微分方程的精确解很难找到,因此,寻找求解此类方程近似解的数值方法引起了许多学者的关注.如,对于具有乘性噪声的随机微分方程,T o c i n oA等[11]提出了一种二阶显式R u n g e K u t t a格式,对于具有恒收稿日期:2020-04-26作者简介:李晓卫(1995-),女,硕士生,主要从事计算数学的研究.定扩散系数的标量方程,还得到了两种三阶R u n g e K u t t a格式;B a b u s k a I等[12]采用蒙特卡罗G a l e r k i n法和随机G a l e r k i n有限元方法求解随机扩散和载荷系数的随机线性椭圆偏微分方程,当采用少量随机参数描述噪声时,随机G a l e r k i n法为首选方法;M a l e k n e j a dK等[13]利用块脉冲函数求解随机沃尔泰拉积分方程,得到了精度较高的近似解.随着分数阶微积分的发展,分数阶积分微分方程出现在信号处理的统计力学领域[14-16].目前,越来越多的研究者对随机分数阶积分微分方程进行了深入研究,探讨了此类方程解的存在性㊁唯一性和稳定性[17-18].而且,研究人员还研究了一些数值格式,并对这些数值格式的性质进行了探讨,如利用谱配置方法㊁欧拉方法以及径向基方法求解该类方程,并讨论了这些方法的性质[19-21].此外,F a e d o-G a l e r k i n方法㊁L e g e n d r e小波方法以及对应的收敛性也被研究和证明[22-23].半隐式欧拉格式已被用于多种方程中,如随机受电弓方程和随机微分延迟方程[24-25],其精确解的稳定性已被证明[26].本文主要目的是给出随机分数阶积分微分方程的半隐式欧拉格式的收敛性分析和相应离散数值解的稳定性分析.本文给出了一些必要的符号与准备,以及与原始方程对应的随机沃尔泰拉积分方程;分析了随机分数阶积分微分方程的半隐式欧拉格式的收敛性与收敛阶;给出了半隐式欧拉格式数值解的稳定性;最后通过数值算例验证了本文的理论分析.1符号与准备工作在本文中,设(Ω,F,P)为具有满足一般条件的σ域F t t⩾0的完备概率空间,㊃为R d空间上的欧拉范数.如果A为向量或矩阵,其转置表示为A T,且若A为矩阵,其F范数用A= t r a c e(A T)A来表示.如果Z为集合,其指标函数用I Z来表示,即当xɪZ时,I Z x=1;否则,值为0.设T>0,L10,T;R n表示一族所有R n值可测的F t适应过程f={f(t)}0ɤtɤT使得ʏT0f(t)d t<ɕ成立;设L2(0,T;R nˑm)表示一族所有(nˑm)矩阵值可测的F t适应过程{f(t)}0ɤtɤT使得ʏT0f(t)2d t<ɕ成立.考虑以下d维非线性随机分数阶积分微分方程Dαy(t)=Ø(t)+ʏt0k1(t,s,y(s))d s+ʏt0k2(t,s,y(s))d W(s),tɪ[0,T],y(0)=y0,(1)式中:Dα为α(αɪ(0,1])阶C a p u t o分数阶导数;ØɪC([0,T];R d);设Q=(t,s)ʒ0ɤsɤtɤT, k1ɪL1(QˑR d;R d),k2ɪL2(QˑR d;R dˑr);W(t)表示定义在完备概率空间上的r维标准布朗运动; y0为F0可测R d值的随机变量使得E y02<ɕ成立.定义1对函数fʒ[0,+ɕ)ңR d的α阶R i e m a n n-L i o u v i l e分数阶积分算子定义如下Iαf(t)=1Γ(α)ʏt0(t-τ)α-1f(τ)dτ,α>0且I0f(t)=f(t),其中Γ(α)为G a m m a函数,Γ(α)ʉʏ+ɕ0e-t tα-1d t定义2对于函数fɪCγ([0,+ɕ))的α阶C a p u t o导数可以记作Dαf(t)=1Γ(γ-α)ʏt0f(γ)(τ)(t-τ)α+1-γdτ,式中:γ-1<α<γ,γɪN+.由富比尼定理,式(1)可转化为以下随机沃尔泰拉积分方程(这两个方程的具体转化可参考文献[18])y(t)=Φ(t)+ʏt0K1(t,s,y(s))d s+ʏt0K2(t,s,y(s))d W(s),(2)其中tɪ[0,T],y(0)=y0,Φ(t)=y0+1Γ(α)ʏt0(t-τ)α-1Ø(τ)dτ, K i(t,s,y(s))=1Γ(α)ʏt s(t-τ)α-1k i(τ,s,y(s))dτ,i=1,2.假设1对于任意(t,s)ɪQ,k1(t,s,0)与k2(t,s,0)是连续有界的函数,且存在正常数l i, i=1, ,4,使得Ø,k j满足如下条件Ø(t1)-Ø(t2)ɤl1t1-t2,k j(t1,s,y)-k j(t2,s,y)ɤl2(1+|y|)t1-t2, k j(t,s1,y)-k j(t,s2,y)ɤl3(1+|y|)s1-s2, k j(t,s,y1)-k j(t,s,y2)ɤl4y1-y22,7(总第195期)非线性随机分数阶积分微分方程半隐式欧拉解的收敛性和稳定性(李晓卫等)对任意t,t1,t2,s,s1,s2ɪ[0,T],y,y1,y2ɪR d, j=1,2均成立.在假设1的条件下,得到以下定理[18].定理1存在正常数L i,i=1, ,5,使得Φ(t),K j(j=1,2)满足以下条件Φ(t1)-Φ(t2)ɤL1t1-t2,K j(t1,s,y)-K j(t2,s,y)ɤL2(1+|y|)t1-t2, K j(t,s1,y)-K j(t,s2,y)ɤL3(1+|y|)s1-s2,K j(t,s,y)2ɤL4(1+y2)t-s2, K j(t,s,y1)-K j(t,s,y2)ɤL5y1-y2,对任意t1,t2ɪ[0,T],s1,s2ɪ[0,T],t,sɪ[0, T],yɪR d均成立.下文中C代表一个任意的正常数.2半隐式欧拉格式的收敛性与收敛阶精确解的存在性㊁唯一性和稳定性已在一些文献中有研究[18].本节讨论半隐式欧拉方法的收敛性与收敛阶.首先,将整个时间区间分割为N个小区间,对于Nȡ1,令h=T/N,t n=n h,对于n=0,1, 2, ,N,当t=t n+1时,y(t n+1)=Φ(t n+1)+ʏt n+10K1(t n+1,s,y(s))d s+ʏt n+10K2(t n+1,s,y(s))d W(s)=Φ(t n+1)+ðn i=0ʏt i+1t i K1(t n+1,s,y(s))d s+ðn i=0ʏt i+1t i K2(t n+1,s,y(s))d W(s)ʈΦ(t n+1)+hðn i=0K1(t n+1,t i,y(t i+1))+ðn i=0K2(t n+1,t i,y(t i))ΔW i,因此,定义Y n+1=Φ(t n+1)+hðn i=0K1t n+1,t i,Y i+1+ðn i=0K2t n+1,t i,Y iΔW i.(3)对n=0,1,2, ,N-1及Y0=y(0)=y0,当sɪ[t n,t n+1)时,定义s=t n以及Y1(t)=ðN n=0Y n I[t n,t n+1)(t),(4)^Y1(t)=ðN n=0Y n+1I[t n,t n+1)(t),(5)则得到以下半隐式欧拉格式Y(t)=Φ(t)+ʏt0K1(t,s,^Y1(s))d s+ʏt0K2(t,s,Y1(s))d W(s).(6)引理1假定假设1满足,那么存在一个常数C>0以及h1=13T3L4>0,使得对于h<h1有E(|Y n+12)ɤC,E(Y(t)2)ɤC.证明由式(3)和基本不等式,有Y n+12ɤ3Φ(t n+1)2+3h2ðn i=0K1t n+1,t i,Y i+12+3ðn i=0K2t n+1,t i,Y iΔW i2.对上述不等式两端同时取期望,有E|Y n+1|2ɤ3EΦ(t n+1)2+3h2Eðn i=0K1t n+1,t i,Y i+12+3Eðn i=0K2t n+1,t i,Y iΔW i2ɤ6EΦ(t n+1)-Φ(0)2+Φ(0)2+3n+1h2ðn i=0E K1t n+1,t i,Y i+12+3ðn i=0E|K2t n+1,t i,Y iΔW i|2ɤ6EΦ(t n+1)-Φ(0)2+Φ(0)2+3n+1h2L4ðn i=0E((1+Y i+12)|t n+1-t i|2)+ 3h L4T2ðn i=0(1+E|Y i|2)ɤ6L21T2+ 6E y02+3h L4T3ðn i=0(1+E|Y i+1|2)+3h L4T2ðn i=0(1+E|Y i|2),则得到1+E(|Y n+1|2)ɤ6L21T2+6E y02+11-3T3L4h+ 3T3L4h+3T2L4h1-3T3L4hðn i=0(1+E|Y i|2).由离散G r o n w a l l不等式1+E(|Y n+1|2)ɤ6L21T2+6E y02+11-3T3L4h e3T3L4n h+3T2L4n h1-3T3L4hɤ6L21T2+6E y02+11-3T3L4h e3T4L4+3T3L41-3T3L4hʒ=C,及Y(t)的连续性,得到8中北大学学报(自然科学版)2021年第1期E Y(t)2ɤC.引理2假定满足假设1,在h<m i n(1,h1)的情况下,存在一个与h无关的正常数C,使得E Y(t)-^Y1(t)2ɤC h2,E Y(t)-Y1(t)2ɤC h2.证明对于任意的tɪ[0,T],存在一个整数n使得tɪ[t n,t n+1),由式(4)~式(6),得到Y(t)-Y1(t)=Y(t)-Y n=Φ(t)-Φt n+ʏt n0K1t,s,^Y1(s)-K1t n,s,^Y1(s)d s+ʏt t n K1t,s,^Y1(s)d s+ʏt n0K2(t,s,Y1(s))-K2(t n,s,Y1(s))d W(s)+ʏt t n K2(t,s,Y1(s))d W(s).再由基本不等式,C a u c h y-S c h w a r t z不等式和I tô等距,得E Y(t)-Y1(t)2ɤ5EΦ(t)-Φt n2+ 5T Eʏt n0K1t,s,^Y1(s)-K1(t n,s,^Y(s))2d s+ 5h Eʏt t n K1t,s,^Y1(s)2d s+ 5Eʏt n0K2(t,s,Y1(s))-K2(t n,s,Y1(s))2d s+ 5Eʏt t n K2t,s,Y1(s)2d sɤ5L21t-t n2+ 10T Eʏt n0L221+^Y1(s)2t-t n2d s+ 5h Eʏt t n L41+^Y1(s)2t-s2d s+ 10Eʏt n0L221+Y1(s)2t-t n2d s+ 5Eʏt t n L41+Y1(s)2t-s2d sɤ5L21h2+10T h2L22Eʏt n01+^Y1(s)2d s+ 5h3L4Eʏt t n1+^Y1(s)2d s+ 10L22h2Eʏt n01+Y1(s)2d s+ 5L4h2Eʏt t n1+Y1(s)2d sɤ5L21h2+10T h2L22ʏt n01+E^Y1(s)2d s+ 5h3L4ʏt t n1+E(^Y1(s)2)d s+ 10L22h2ʏt n01+E Y1(s)2d s+5L4h2ʏt t n1+E(Y1(s)2)d sɤC h2.同理,Y(t)-^Y1(t)=Y(t)-Y n+1=Φ(t)-Φ(t n+1)+ʏt0K1t,s,^Y1(s)-K1t n+1,s,^Y1(s)d s-ʏt n+1t K1t n+1,s,^Y1(s)d s+ʏt0K2(t,s,Y1(s))-K2(t n+1,s,Y1(s))d W(s)-ʏt n+1t K2t n+1,s,Y1(s)d W(s).再由基本不等式,C a u c h y-S c h w a r t z不等式和I tô等距,得E Y(t)-^Y1(t)2ɤ5EΦ(t)-Φ(t n+1)2+ 5T Eʏt0K1t,s,^Y1(s)-K1(t n+1,s,^Y1(s))2d s+ 5h Eʏt n+1t K1t n+1,s,^Y1(s)2d s+ 5Eʏt0K2(t,s,Y1(s))-K2(t n+1,s,Y1(s))2d s+ 5Eʏt n+1t K2t n+1,s,Y1(s)2d sɤ5L21t-t n+12+10T Eʏt0L221+^Y1(s)2t-t n+12d s+ 5h Eʏt n+1t L41+^Y1(s)2t n+1-s2d s+ 10Eʏt0L221+Y1(s)2t-t n+12d s+ 5Eʏt n+1t L41+Y1(s)2t n+1-s2d sɤ5L21h2+10T h2L22ʏt01+E(^Y1(s)2)d s+ 5h3L4ʏt n+1t1+E^Y1(s)2d s+ 10L22h2ʏt01+E(Y1(s)2)d s+ 5L4h2ʏt n+1t1+E(Y1(s)2d sɤ5L21h2+C T2h2L22+C L4h4+C L22h2T+C L4h3ɤC h2.定理2在引理1的假设下,存在一个与h无关的正常数M使得E(|y(t)-Y(t)|2)ɤM h2,对任何tɪ[0,T]均成立.证明用式(2)减去式(6),并由基本不等式, C a u c h y-S c h w a r t z不等式和I tô等距,得E y(t)-Y(t)2ɤ9(总第195期)非线性随机分数阶积分微分方程半隐式欧拉解的收敛性和稳定性(李晓卫等)6Eʏt0[K1(t,s,y(s))-K1(t,s,Y(s))]d s2+ʏt0[K1(t,s,Y(s))-K1(t,s,Y(s))d s2+ʏt0[K1(t,s,Y(s))-K1(t,s,^Y1(s))]d s2+ʏt0[K2(t,s,y(s))-K2(t,s,Y(s))]d W(s)2+ʏt0[K2(t,s,Y(s))-K2(t,s,Y(s))]d W(s)2+ʏt0[K2(t,s,Y(s))-K2(t,s,Y1(s))]d W(s)2.对上述6项分别进行处理得到Eʏt0[K1(t,s,y(s))-K1(t,s,Y(s))]d s2ɤT E(ʏt0L25|y(s)-Y(s)|2d sɤT L25ʏt0E(|y(s)-Y(s)|2)d s, Eʏt0[K1(t,s,Y(s))-K1(t,s,Y(s))]d s2ɤT Eʏt0[K1(t,s,Y(s))-K1(t,s,Y(s))]2d sɤT Eʏt0L23(1+|Y(s)|)2|s-s|2d sɤ2T h2L23ʏt0(1+E(|Y(s)|2))d sɤC h2L23T2, Eʏt0[K1(t,s,Y(s))-K1(t,s,^Y1(s))]d s2ɤT Eʏt0[K1(t,s,Y(s))-K1(t,s,^Y1(s))]2d sɤT L25ʏt0E(|Y(s)-^Y1(s)|2)d sɤC h2T2L25.采用同样的处理方式,得到Eʏt0[K2(t,s,y(s))-K2(t,s,Y(s))]d W(s)2ɤL25ʏt0E(|y(s)-Y(s)|2)d s,Eʏt0[K2(t,s,Y(s))-K2(t,s,Y(s))]d W(s)2ɤC T h2L23,Eʏt0K2t,s,Y(s)-K2t,s,Y1(s)d W(s)2ɤC h2L25T,那么E y(t)-Y(t)2ɤ(C L23T2+C L25T2+C L23T+C L25T)h2e T(T+1)L25ɤM h2. 3半隐式欧拉格式的稳定性本节在假设1的条件下研究式(6)的数值解的稳定性.定义3设Y n+1nȡ1为式(6)具有初始解ξ对应的解,X n+1nȡ1为式(6)对应初始值为λ的另一个解.对于任意的ε>0,存在一个正常数δ>0使得当E|ξ-λ|2<δ时,有E Y n+1-X n+12ɤε成立,即式(6)的解是均方稳定的.定理3设{y(t)}tȡ0,{x(t)}tȡ0分别为式(1)对应于初始值η和φ的精确解,那么,如果满足假设1,对于任意的hɤ13L25T,式(1)的精确解是均方稳定的.证明由式(2)得y(t)-x(t)=η-φ+ʏt0K1(t,s,y(s))-K1t,s,x(s)d s+ʏt0K2(t,s,y(s))-K2t,s,x(s)d W(s).对上式两端同时取期望,得E|y(t)-x(t)|2ɤ3Eη-φ2+3T Eʏt0|K1(t,s,y(s))-K1t,s,x(s)|2d s+ 3Eʏt0K2(t,s,y(s))-K2t,s,x(s)d W(s)2ɤ3Eη-φ2+3L25(T+1)ʏt0E|y(s)-x(s)|2d s.再由G r o n w a l l不等式得E y(t)-x(t)2ɤ3e x p3L25T T+1Eη-φ2.因此,对于任意的ε>0,存在一个常数δ>0,当Eη-φ2<δ时,有E|y(t)-x(t)|2ɤε.定理4 设Y n+1nȡ1,X n+1nȡ1分别为式(6)对应于初始值ξ和λ的数值解,那么如果假设1成立,则式(6)的数值解就是均方稳定的.证明由式(3)得到Y n+1-X n+12=|ξ-λ+hðn i=0K1t n+1,t i,Y i+1-K1t n+1,t i,X i+1+ðn i=0K2t n+1,t i,Y i-K2t n+1,t i,X iΔW i2ɤ3ξ-λ2+3h2ðn i=0[K1t n+1,t i,Y i+1-K1t n+1,t i,X i+1]2+ 3ðn i=0K2t n+1,t i,Y i-K2t n+1,t i,X iΔW i2.01中北大学学报(自然科学版)2021年第1期对上述不等式两侧同时取期望,得E Y n +1-X n +12ɤ3E ξ-λ2+3h 2Eðni =0K 1t n +1,t i ,Y i +1 -K 1t n +1,t i ,X i +12+3E ðni =0K 2t n +1,t i ,Y i -K 2t n +1,t i ,X i ΔW i 2ɤ3E |ξ-λ|2+3h 2(n +1)ðni =0E K 1t n +1,t i ,Y i +1-K 1t n +1,t i ,X i +1 2+3h ðni =0E |K 2t n +1,t i ,Y i -K 2t n +1,t i ,X i |2ɤ3E |ξ-λ|2+3L 25T h ðni =0E Y i +1-X i +12+3L 25h ðni =0E |Y i -X i |2,则E |Y n +1-X n +1|2ɤ31-3L 25T h E |ξ-λ|2+3L 25T h +3L 25h 1-3L 25T h ðni =0E |Y i -X i |2. 再由离散G r o n w a l l 不等式得E |Y n +1-X n +1|2ɤ31-3L 25T h E |ξ-λ|2e 3L 25T n h +3L 25n h 1-3L 25T h ɤ31-3L 25T h e 3L 25T (T +1)1-3L 25T h E |ξ-λ|2. 因此,对任何的ε>0,存在一个正常数δ>0,当E |ξ-λ|2<δ时,有E |Y n +1-X n +1|2<ε成立.4 数值算例本节给出一个数值算例以验证随机分数阶积分微分方程半隐式欧拉方法的收敛率.类似于文献[18],使用样本均值逼近期望,更准确地说,使用以下表达衡量在最后时刻t N 上的均方误差.ε=11000ð1000i =1|y (i )(t N )-Y (i )(t N )|212,式中:y (i )(t N )和Y (i )(t N )分别为精确解与数值解.例1 考虑1维随机分数阶积分微分方程且γ=1,D αy (t )=s i n (t )Γ(2)+ʏt(2t -s )s i n (2s y (s ))d s +ʏt(2t +s )c o s (2s y (s ))d W (s ),式中:t ɪ[0,1],且初始值y (0)=0.注意到函数Ø,k 1,k 2均满足先前的假设条件,且将在时间步长为h =2-11下的数值解作为随机分数阶积分方程的精确解.在相同布朗路径上任意取3个不同的时间步长,即h =2-6,2-7,2-8,并分别求得其半隐式欧拉格式的数值解及相应的误差ε,相关结果如图1所示.图1 例1中半隐式欧拉格式的均方误差F i g .1 M e a n s q u a r e e r r o r o f s e m i -i m pl i c i t e u l e r s c h e m e i n e x a m pl e 1当α=0.45与α=0.65时,图像斜率接近于1,即半隐式欧拉方法的一阶收敛率得到验证.参考文献:[1]L e v i n J J ,N o h e l JA .O n a s y s t e mo f i n t e gr o -d i f f e r -e n t i a l e q u a t i o n so c c u r r i n g i nr e a c t o rd y n a m i c s [J ].T h eA r c h i v ef o rR a t i o n a l M e c h a n i c sa n d A n a l ys i s ,1962,11(1):210-243.[2]G a r n i e r J .A c c e l e r a t i n g s o l u t i o n s i n i n t e gr o -d i f f e r e n -t i a l e q u a t i o n s [J ].S I A MJ o u r n a l o nM a t h e m a t i c a lA -n a l ys i s ,2010,43(4):1955-1974.[3]P a n a s e n k oG ,P s h e n i t s y n aN .H o m o g e n i z a t i o n o f i n -t e g r o -d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n o f B u r g e r s t y p e [J ].A p pl i -c a b l eA n a l y s i s ,2008,87(12):1325-1336.[4]A l e k s e y D .S t a b i l i t y o f a c l a s s o f s t o c h a s t i c i n t e gr o -d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s [J ].S t o c h a s t i cA n a l y s i s&A p -pl i c a t i o n s ,1995,13(5):517-530.[5]C o n tR ,T a n k o vP .F i n a n c i a lm o d e l l i n g w i t h j u m pp r o c e s s e s [M ].B o c a R a t o n :C h a pm a na n d H a l l /C R C ,2004.[6]K h o d a b i nM ,M a l e k n e j a dK ,R o s t a m iM ,e t a l .I n -t e r p o l a t i o n s o l u t i o n i n g e n e r a l i z e d s t o c h a s t i c e x p o n e n -t i a l p o p u l a t i o n g r o w t hm o d e l [J ].A p pl i e dM a t h e m a t -i c a lM o d e l l i n g ,2012,36(3):1023-1033.[7]S a t h a n a n a t h a nS ,P e d j e uJC .F u n d a m e n t a l p r o p e r -t i e s o f s t o c h a s t i c i n t e g r o -d i f f e r e n t i a l e qu a t i o n s -I :e x -i s t e n c e a n d u n i q u e n e s s r e s u l t s [J ].I J P A M ,2003,7(3):339-358.[8]R a oANV ,T s o k o sCP .O n t h e e x i s t e n c e ,u n i qu e -11(总第195期)非线性随机分数阶积分微分方程半隐式欧拉解的收敛性和稳定性(李晓卫等)n e s s,a n d s t a b i l i t y b e h a v i o r o f a r a n d o ms o l u t i o n t o a n o n l i n e a r p e r t u r b e ds t o c h a s t i c i n t e g r od i f f e r e n t i a l e-q u a t i o n[J].I n f o r m a t i o n&C o n t r o l,1975,27(1): 61-74.[9]R e nY,X i aN.E x i s t e n c e,u n i q u e n e s s a n d s t a b i l i t y o f t h e s o l u t i o n s t o n e u t r a l s t o c h a s t i c f u n c t i o n a l d i f f e r e n-t i a l e q u a t i o n sw i t h i n f i n i t e d e l a y[J].A p p l i e dM a t h e-m a t i c s&C o m p u t a t i o n,2009,210(1):72-79. [10]M a r i e-A m e l i eM,S a i dH.E x i s t e n c e a n du n i q u e n e s so f v i s c o s i t y s o l u t i o n s f o r s e c o n do r d e r i n t e g r o-d i f f e r-e n t i a l e q u a c t i o n sw i t h o u t m o n o t o n i c i t y c o n d i t i o n s[J].M a t h e m a t i c s,a r X i v:1411.2266v1:1-14. [11]T o c i n oA,A r d a n u y R.R u n g eK u t t am e t h o d s f o r n u-m e r i c a ls o l u t i o no fs t o c h a s t i cd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s[J].J o u r n a l o fC o m p u t a t i o n a l a n d A p p l i e d M a t h e-m a t i c s,2002,138(2):219-241.[12]B a b u s k a I,T e m p o n eR,Z o u r a r i sG E.G a l e r k i n f i-n i t e e l e m e n t a p p r o x i m a t i o no f s t o c h a s t i c e l l i p t i c p a r-t i a l d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s[J].S I A MJ o u r n a l o nN u-m e r i c a l A n a l y s i s,2004,42(2):800-825.[13]M a l e k n e j a dK,K h o d a b i nM,R o s t a m iM.An u m e r i-c a lm e t h o df o rs o l v i n g m-d i me n s i o n a l s t o c h a s t i cI tôV o l t e r r a i n t e g r a l e q u a t i o n sb y s t o c h a s t i co p e r a t i o n a l m a t r i x[J].C o m p u t e r s&M a t h e m a t i c sw i t hA p p l i c a-t i o n s,2012,63(1):133-143.[14]P a n d aR,D a s hM.F r a c t i o n a l g e n e r a l i z e d s p l i n e s a n d s i g n a l p r o c e s s i n g[J].S i g n a lP r o c e s s,2006,86: 2340-2350.[15]C h o wTS.F r a c t i o n a l d y n a m i c s o f i n t e r f a c e s b e t w e e n s o f t n a n o p a r t i c l e s a n dr o u g hs u b s t r a t e s[J].P h y s i c s L e t t e r sA,2005,342(1-2):148-155. [16]T i e nDN.F r a c t i o n a l s t o c h a s t i c d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n sw i t h a p p l i c a t i o n st of i n a n c e[J].J o u r n a lo f M a t h e-m a t i c a lA n a l y s i sa n d A p p l i c a t i o n s,2013,397(1): 334-348.[17]D a i X,B u W,X i a oA.W e l l-p o s e d n e s s a n dE Ma p-p r o x i m a t i o n f o r n o n-L i p s c h i t z s t o c h a s t i c f r a c t i o n a l i n-t e g r o-d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s[J].J o u r n a l o fC o m p u t a-t i o n a l a n d A p p l i e d M a t h e m a t i c s,2019,356: 377-390.[18]L i nA,H uL.E x i s t e n c e r e s u l t s f o r i m p u l s i v e n e u t r a ls t o c h a s t i c f u n c t i o n a li n t e g r o-d i f f e r e n t i a li n c l u s i o n sw i t hn o n l o c a l i n i t i a lc o n d i t i o n s[J].C o m p u t e r s&M a t h e m a t i c s w i t h A p p l i c a t i o n s,2010,59(1): 64-73.[19]T a h e r i Z,J a v a d i S,B a b o l i a nE.N u m e r i c a l s o l u t i o no fs t o c h a s t i cf r a c t i o n a l i n t e g r o-d i f f e r e n t i a le q u a t i o nb y t h es p ec t r a lc o l l o c a t i o n m e t h o d[J].J o u r n a lo fC o m p u t a t i o n a l a n dA p p l i e dM a t h e m a t i c s,2017,321:336-347.[20]H uP,H u a n g C.S t a b i l i t y o f E u l e r-M a r u y a m am e t h-o d f o r l i n e a r s t o c h a s t i c d e l a y i n t e g r o-d i f f e r e n t i a l e q u a-t i o n s[J].M a t h e m a t i c a N u m e r i c aS i n i c a,2010,32(1):105-112.[21]M i r z a e eF,S a m a d y a rN.O n t h en u m e r i c a l s o l u t i o n o f f r a c t i o n a l s t o c h a s t i c i n t e g r o-d i f f e r e n t i a le q u a t i o n s v i am e s h l e s s d i s c r e t e c o l l o c a t i o nm e t h o d b a s e d o n r a-d i a l b a s i sf u n c t i o n s[J].E n g i ne e r i n g A n a l y s i s w i t hB o u n d a r y E l e m e n t s,2018,100(3):246-255.[22]C h a u d h a r y R,P a n d e y D N.A p p r o x i m a t i o no f s o l u-t i o n s t o s t o c h a s t i c f r a c t i o n a l i n t e g r o-d i f f e r e n t i a l e q u a-t i o nw i t hd e v i a t e da r g u m e n t[J].D i f f e r e n t i a lE q u a-t i o n s a n dD y n a m i c a l S y s t e m s,2017,3:1203-1223.[23]M o j a h e d f a rM,T a r i A,M a r z a b a dAT.S o l v i n g t w o-d i me n s i o n a lf r a c t i o n a l i n t eg r o-d i f f e r e n t i a le q u a t i o n sb y l e g e n d r e w a v e l e t s[J].B u l l e t i n o ft h eI r a n i a nM a t h e m a t i c a l S o c i e t y,2017,43(7):2419-2435.[24]F a nZ,L i uM,C a oW.E x i s t e n c e a n du n i q u e n e s s o f t h e s o l u t i o n sa n dc o n v e r g e n c eo f s e m i-i m p l i c i tE u l e rm e t h o d sf o rs t o c h a s t i c p a n t o g r a p h e q u a t i o n s[J]. J o u r n a l o f M a t h e m a t i c a lA n a l y s i sa n d A p p l i c a t i o n s, 2007,325(2):1142-1159.[25]L i uM,C a oW,F a nZ.C o n v e r g e n c e a n d s t a b i l i t y o f t h e s e m i-i m p l i c i t E u l e rm e t h o d f o r a l i n e a r s t o c h a s t i c d i f f e r e n t i a l d e l a y e q u a t i o n[J].J o u r n a l o fC o m p u t a-t i o n a l a n dA p p l i e dM a t h e m a t i c s,2004,170(2):255-268.[26]A b o u a g w aM,L i u J,L i J.C a r a t héo d o r y a p p r o x i m a-t i o na n ds t a b i l i t y o fs o l u t i o n st on o n-L i p s c h i t zs t o-c h a s t i c f r a c t i o n a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n so fI tôD o o b t y p e[J].A p p l i e d M a t h e m a t i c sa n d C o m p u t a t i o n, 2018,329:143-153.21中北大学学报(自然科学版)2021年第1期。

非线性中立型Volterra延迟积分微分方程线性θ-方法的散逸
性
姚金然;张学华;赵磊
【期刊名称】《黄山学院学报》
【年(卷),期】2009(011)005
【摘要】研究了非线性中立型Volterra延迟积分微分方程及数值方法的散逸性问题.给出了关于此方程理论解散逸性的充分条件,并获得了一类求解此类问题的线性θ-方法的数值散逸性结果,此结果表明所考虑的数值方法继承了该方程的散逸性.【总页数】6页(P1-6)
【作者】姚金然;张学华;赵磊
【作者单位】黄山学院教学系,安徽黄山245041;黄山学院教学系,安徽黄山245041;黄山学院信息工程学院,安徽黄山245021
【正文语种】中文
【中图分类】O241.8
【相关文献】
1.非线性Volterra延迟积分微分方程多步Runge-Kutta方法的散逸性 [J], 姚金然;甘四清;殷乃芳;史可
2.非线性Volterra延迟积分微分方程Runge-Kutta方法的散逸性 [J], 祁锐;何汉林
3.中立型多延迟积分微分方程Runge-Kutta方法的散逸性 [J], 王素霞;徐英
4.非线性中立型延迟积分微分方程线性多步法的散逸性 [J], 祁锐;张玉洁
5.非线性中立型延迟微分方程的散逸性 [J], 程珍;黄乘明
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一类非线性中立型变延迟积分微分方程的稳定性分析丛玉豪;卢翠翠;蒋成香【期刊名称】《上海师范大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2014(43)1【摘要】We deal with the stability of a class of nonlinear neutral variable delay-integro-differential equations.Firstly,we study the stability analysis of the theoretical solutions.Secondly.We discuss the numerical stability analysis of linearθ-methods for non-linear neutral variable delay-integro-differential equations.%讨论了一类非线性中立型变延迟积分微分方程的稳定性。

针对非线性中立型变延迟积分微分方程的模型方程，给出方程理论解稳定的条件并给予了证明；其次研究了线性θ-方法求解方程的数值稳定性，证明了A-稳定的θ-方法求解非线性中立型变延迟积分微分方程是稳定的。

【总页数】7页(P30-36)【作者】丛玉豪;卢翠翠;蒋成香【作者单位】上海师范大学数理学院，上海200234;上海师范大学数理学院，上海200234;上海师范大学天华学院，上海201815【正文语种】中文【中图分类】O241.81【相关文献】1.非线性刚性变延迟积分微分方程的稳定性分析 [J], 肖飞雁2.非线性中立型延迟积分微分方程隐式Euler方法的收缩性 [J], 王锦红;宋豪杰3.非线性中立型延迟积分微分方程线性多步法的散逸性 [J], 祁锐;张玉洁4.非线性中立型延迟积分微分方程单支方法的稳定性分析 [J], 余越昕;文立平5.一类线性多步法关于变延迟非线性中立型微分方程的渐近稳定性 [J], 王晚生;余越昕;李寿佛因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。

非Lipschitz条件下由泊松过程驱动的随机微分方程Euler方法的依概率收敛性于辉【摘要】针对满足非Lipschitz条件的由泊松过程驱动的随机微分方程(SDEs),构造了Euler方法数值格式.证明了Euler方法的依概率收敛性,并给出了数值算例.【期刊名称】《黑龙江八一农垦大学学报》【年(卷),期】2018(030)003【总页数】6页(P125-130)【关键词】随机微分方程;泊松过程;Euler方法;依概率收敛性【作者】于辉【作者单位】黑龙江八一农垦大学,大庆163319【正文语种】中文【中图分类】O211.63从数学和哲学的角度看,现实世界时时、处处充满着随机性。

日本数学家了Itô在1942年开创的随机微分方程理论被誉为“随机王国中的Newton定律”,依时间量化了相当广的一类随机现象,其中,由泊松过程[1]驱动的随机微分方程描述了一类轨道具有跳跃性特点的随机现象,是建立随机数学模型的有力工具,在金融、医学、工程、地质等领域[2-4]有着广泛的应用。

事实上,此类随机方程的精确解很难得到,在较弱条件下构造数值解和研究数值解的基本性质是基础数学领域中的一个重要研究方向,有着最重要的理论和实践意义。

由于该方向的研究起步较晚,相关文献积累不多,国内外对此类方程数值解法的研究主要集中于弱收敛性[5-7]和强收敛性两个方面,方程主要满足Lipschitz条件和线性增长条件、局部Lipschitz条件或者单边Lipschitz条件这些经典条件,下面主要介绍关于强收敛性的主要结论。

1995年,Li[8]证明了Euler方法的几乎必然收敛性。

1996年,Maghsoodi[9]构造了1.5阶的数值方法。

1998年,Maghsoodi[10]构造了2阶收敛的数值方法。

2000年,Liu等[11]证明了Euler方法的几乎必然稳定性。

2004年,Gardon[12]构造了Itôtype数值方法。

高阶非线性中立型微分方程的周期解陈新一【摘要】The following nonlinear neutral delay equations [x（t）＋cx（t-τ）]（n）＋f（x（t））x＇（t）＇g（x（t-σ））=p（t） are discussed, by using the coincidence degree theory, a sufficient condition for the existence of periodic solution of the equation is given, and the known results are generalized.%利用重合度理论，研究高阶非线性中立型泛函微分方程[x（t）＋cx（t-τ）]（n）＋f（x（t））x’（t）’g（x（t-σ））=p（t）的周期解的存在性，给出了该方程存在周期解的充分性定理，推广了已有的结果．【期刊名称】《北华大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2012(013)002【总页数】6页(P135-140)【关键词】中立型微分方程;非线性;周期解【作者】陈新一【作者单位】西北民族大学中国民族信息技术研究院,甘肃兰州730030【正文语种】中文【中图分类】O175.140 引言考虑n阶非线性中立型泛函微分方程其中:τ，σ和c是常数，τ≥0，σ≥0;f∈C(ℝ，ℝ)，g∈C(ℝ，ℝ)，且对ℝ中任一有界区间E，g(x)在E上满足Lipschitz条件，p∈C(ℝ，ℝ)，p(t+T)=p(t)且由于泛函微分方程周期解的存在性在生态学和控制理论等领域都有重要的应用，已经引起了人们的极大关注，并出现了一些好的研究成果［1-9］．文献［2，5-6］研究了一阶中立型种群模型周期解的存在性;文献［7-8］利用Fourier级数理论研究了二阶常系数线性中立型方程周期解的存在性;文献［9］则利用重合度理论研究了一类二阶非线性中立型泛函微分方程x″(t)+g(x(t－σ))=p(t)周期解的存在性问题．但是对于高阶非线性中立型方程(1)的周期解的存在问题，还未见有文献报道研究结果．显然上述文献所述的这些研究方法已难于应用到方程(1)上去，实际上文献［9］所讨论的方程只是方程(1)的特例．本文采用类似文献［10］的方法，应用重合度理论，给出方程(1)存在T周期解的充分性定理．1 定理和引理本文的主要结果如下:定理1 如果存在正数D，H和M，使得ⅰ) f(x) ≤H，∀x∈ℝ;ⅱ)当t∈ℝ和x ≥D时，xg(x)＞0;ⅲ)当t∈ℝ且x≤－D时，g(x)≥－M．则当Tn－1H+ c ＜1时，方程(1)至少存在一个 T周期解．为了给出并证明本文的主要结果，我们需要做一些准备工作．设，并在X上定义范数，且在Z上定义范数，则(X，都为Banach空间．定义线性算子和非线性算子N:X→Z，x(t)，再定义投影算子则有ImP=KerL和ImL=KerQ．设S(τ):X→X，使得S(τ)x(t)=x(t－τ)，则易知方程(1)可写为引进参数由假设可以得到 c ＜1，因此可得K=I+cS(τ)是X的一个同胚，其逆算子为令y=Kx，代入式(2)和(3)得和引理1［10］设L是指数为零的 Fredholm算子，N在X中的有界开集Ω的闭包上L-紧，又假设a)对任意λ∈(0，1)和x∈∂Ω∩domL，L(I+cS(τ))x≠λNx;b)对任意x∈∂Ω∩KerL，QNx≠0且deg(QNx，Ω∩KerL，0)≠0．则方程L(I+cS(τ))x=Nx在domL∩中至少有一个解．设方程这里λ∈(0，1)．我们有:引理2 如果定理的条件成立，则存在与λ无关的正数Dj(j=0，1，2，…，n)，使得对方程(4)的任一T周期解x(t)有这里x(0)=x．证明设x(t)是方程(4)的任一T周期解．因为x(0)=x(T)，所以存在ξ∈［0，T］，使得x'(ξ)=0，从而有类似由 x(k)(0) =x(k)(T)，可得，由此得将方程(4)两边从0到T积分，得设．因g∈ C(ℝ，ℝ ) 及条件ⅱ)，容易知道，．由ii)和iii)有由(ii)和式(7)有由式(8)和(9)得可知存在正数N0，使得由于 x(n－1)(0)+cx(n－1)( －τ) =x(n－1)(T)+cx(n－1)(T －τ)，可知存在t0∈［0，T］，使得 x(n)(t0)+cx(n)(t0－τ)=0，于是由方程(4)，对任意t∈［0，T］有由式(10)、(11)和(6)式及i)且注意到x(n－1)(t)是T周期函数，对任意t∈［0，T］有记，则对任意t∈［0，T］有由此可得这里．由式(6) 得由式(7)用积分中值定理，存在t1∈［0，T］，使得g(x(t1－σ))=0，从而由ii)可知 x(t1－σ) ＜D．注意到x(t)是T周期的，因此，存在t2∈［0，T］，使得由式(12) 和(13)，对任意t∈［0，T］有记 D0=D+TD1，则对任意t∈［0，T］有注意到x(t)是T周期函数，所以对任意有由式(14)式和g的连续性可知，对任意t∈［0，T］有这里由方程(4)和式(12)及(15)，再注意到x(n)(t)是T周期函数，则对任意t∈［0，T］有推出这里2 定理证明与推论下面我们先给出定理的证明．定理1证明由引理2知存在与λ无关的正数Dj(j=0，1，2，…，n)，使得对方程(4)的任一T周期解x(t)有式(5)成立．取一正数因ImP=KerL，ImL=KerQ，KerL=ImQ= ℝ，且在Z中闭，故L是指数为零的Fredholm算子．容易验证是连续的一一映射，设其逆为KP．对任意注意到x(t)是T周期函数，于是有对任意t∈［0，T］成立，从而有记则有故有界，易知相对紧，从而相对紧．设实函数族又设 J1，J2，…，Jn分别是J0中函数的一阶导数，二阶导数，…，n阶导数所组成的函数族．下面证明这n+1个函数族在［0，T］上都分别有界．由于 y=KPNx，故有由此推出特别有注意到y(t)是T周期函数，则有y(i)(0)=y(i)(T)，i=0，1，2，…，n－2，于是由式(19)可得由KP的定义知y∈KerP，即有由式(18)和(21)推出由此得由式(16)，(20) 和(22) 得J0，J1，…，Jn－1都在［0，T］上有界，再由式(16) 和(17) 知Jn在［0，T］上有界．又因为g在上满足Lipschitz条件，所以存在M2＞0，使对任意有对任意y(n)∈ Jn，任意 t，t'∈［0，T］，由式(17) 和(23) 得应用微分中值定理，注意到的定义，有由式(24)和(25)可推出由p(t)在［0，T］上的一致连续性，再由式(26)可知Jn在［0，T］上是等度连续的，Jn－1在［0，T］上的等度连续性可由 Jn在［0，T］上的有界性和微分中值定理推出．类似可推知 Jn－2，Jn－3，…，J0也都在［0，T］上等度连续．于是应用Arzela-Ascoli定理即推出相对紧，且由于相对紧，推出相对紧，可知N在上L-紧．由引理2，对任意λ∈(0，1) 和x∈ ∂Ω∩domL，L(I+cS(τ))x≠λNx．又对任意∂Ω或注意到ⅱ)和有．特别有，可知deg(QNx，Ω∩KerL，0)≠0，故由引理1知方程L(I+cS(τ))x=Nx在中至少有一解，即方程(1)至少有一T周期解．推论1 如果存在正数D，H和M，使得则当时，方程至少存在一个T周期解．当f(x)≡0时，方程(1)变为如下方程推论2 如果存在正数D和M，使得则当时，方程(1)至少存在一个T周期解．推论3 如果存在正数D和M，使得则当方程至少存在一个T周期解．当c=0时，方程(1)变为如下方程我们有推论4 如果存在正数D，H和M，使得则当Tn－1H ＜1时，方程(1)至少存在一个T周期解．仿上还能给出相应的结论，我们不再赘述．作为应用，我们考虑下面方程我们取，可以验证定理的条件成立，从而由定理知方程(28)至少有一个2π周期解．事实上x(t)=sint就是方程(27)的一个2π周期解．【相关文献】［1］Gaines R E，Mawhin J L．Coincidence Degree and Nonlinear Differential Equations ［M］．New York:Springer-Verlag，1977．［2］Gopalsamy K，He X，Wen L．On a Periodic Neutral Logistic Equation ［J］．Glasgow Math J，1991，33:281-286．［3］葛渭高．多滞量时滞微分方程周期解的存在性［J］．应用数学学报，1994，17(2):173-181．［4］陈永劭．关于微分差分方程组周期解的存在性［J］．数学进展，1992，21(4):432-438．［5］LI Y．Periodic Solution of a Neutral Delay Equation［J］．J Math Anal Appl，1977，214:11-21．［6］李永昆．中立型时滞模型的周期正解［J］．数学学报，1996，39(6):789-795．［7］章毅，张毅．关于二阶常系数线性中立型方程的周期解［J］．数学学报，1990，33(4):517-520．［8］王根强．二阶中立型方程的周期解［J］．高校应用数学学报A辑，1993，8(3):251-254．［9］黄先开，向子贵．具有时滞的 Duffing方程x″+g(x(t－τ))=p(t)的2π 周期解［J］．科学通报，1994，39(3):201-203．［10］王根强，燕居让．二阶非线性中立型泛函微分方程周期解的存在性［J］．数学学报，2004，47(2):379-384．。