2020年高考原创押题预测卷山东卷数学文解析版Word版含解析

2020年高考临考押题卷（五）数学（山东卷）（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

写在本试卷上无效。

3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、单选题1．已知集合2{|560}A x x x =-+≤，{|15}B x Z x =∈<<，则A B =I （ ） A ．[2,3] B ．(1,5)C ．{}2,3D ．{2,3,4}【答案】C【解析】2560(2)(3)023x x x x x -+≤⇒--≤⇒≤≤Q ，{}23A x x ∴=≤≤， 又{}{|15}2,3,4B x Z x =∈<<=，所以{}2,3A B ⋂=，故本题选C.2．已知复数z 满足(12)|34|z i i ⋅+=-（i 为虚数单位），则在复平面内复数z 对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】D【解析】由(12)|34|5z i i ⋅+=-=， 得55(12)5(12)1212(12)(12)5i i z i i i i --====-++-， 在复平面内复数z 对应的点的坐标为()1,2-，位于第四象限， 故选：D.3．2019年5月22日具有“国家战略”意义的“长三角一体化”会议在芜湖举行；长三角城市群包括：上海市以及江苏省、浙江省、安徽省三省部分城市，简称“三省一市”. 现有4 名高三学生准备高考后到上海市、江苏省、浙江省、安徽省四个地方旅游， 假设每名同学均从这四个地方中任意选取一个去旅游， 则恰有一个地方未被选中的概率为（ ） A ．2764B ．916C ．81256D ．716【答案】B【解析】4名同学去旅游的所有情况有：44256=种恰有一个地方未被选中共有：2113424322144C C C A A ⋅⋅=种情况 ∴恰有一个地方未被选中的概率：144925616p == 本题正确选项：B4．已知平面向量a r ，b r ，c r均为单位向量，若12a b ⋅=r r ，则()()a b b c +⋅-r r r r 的最大值是( )A ．1B ．3C ．32+D ．12+【答案】C【解析】Q 平面量a r ，b r ，c r均为单位向量，222()23a b a a b b ∴+=+⋅+=r r r r r r ，||a b ∴+=r r 2()()()a b b c a b b a b c ∴+⋅-=⋅+-+⋅r r r r r r r r r r333()||||222a b c a b c =-+⋅≤++⋅-=+r r r r rr 当且仅当a b +r r 与c r反向时取等号.故选：C.5．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x <时，()2|2|f x x =-+.若对任意的[]1,2x ∈-，()()f x a f x +>成立，则实数a 的取值范围是( )A ．()0,2B ．(0,2)(,6)⋃-∞-C ．()2,0-D ．()(2,06,)-⋃+∞【答案】D【解析】()f x Q 是定义在R 上的奇函数，当0x <时，()22f x x =-+. 作出()f x 的图象，如图所示()y f x a =+的图象可以看成是()y f x =的图象向左（0a >时）或向右（0a <时）平移a 个单位而得.当0a >时，()y f x =的图象至少向左平移6个单位（不含6个单位）才能满足()()f x a f x +>成立， 当0a <时，()y f x =的图象向右平移至多2个单位（不含2个单位）才能满足()()f x a f x +>成立（对任意的[1,2]x ∈-）， 故(2,0)(6,)a ∈-⋃+∞. 故选：D.6．已知某函数的图像如图所示，则下列函数中，图像最契合的函数是（ ）A ．()sin x x y e e -=+B ．()sin x xy e e -=- C ．()cos x x y e e -=- D ．()cos x x y e e -=+【答案】D【解析】由图可知，当0x =时，0y <当0x =时，()sin x xy e e -=+20sin =>，故排除A ；当0x =时，()sin x xy e e-=-00sin ==，故排除B ；当0x =时，()cos x x y e e -=-010cos ==>，故排除C ；当0x =时，()cos x x y e e -=+20cos =<，满足题意.故选：D.7．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右顶点分别为A B ，，左焦点为F P ，为C 上一点，且PF x ⊥轴，过点A 的直线l 与线段PF 交于点M （异于P F ，），与y 轴交于点M ，直线MB 与y 轴交于点H .若3HN OH =-u u u r u u u u r （O 为坐标原点），则C 的离心率为( ) A ．2 B ．3C ．4D ．5【答案】B【解析】不妨设P 在第二象限，如图所示设||, (0, )(0)FM m H h h =>，由3HN OH =-u u u r u u u u r，可得(0,2)N h -.由AFM AON △∽△，得2m c a h a -=（1） 由BOH BFM △∽△，得h a m c a=+（2） 由（1），（2）两式相乘得12c a c a-=+，即3c a =. 所以离心率3ce a==. 故选：B.8．函数()f x 满足()()1,,2x e f x f x x x ⎡⎫=+∈+∞⎢⎣'⎪⎭， ()1f e =-，若存在[]2,1a ∈-，使得31232f a a e m ⎛⎫-≤--- ⎪⎝⎭成立，则m 的取值（ ）A ．2,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．[)1,+∞ D ．12,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】A【解析】由题意设()()xf xg x e=，则()()1()x f x f x g x e x -'='=，所以()ln g x x c =+（c 为常数）．∵()1f e =-，∴(1)(1)1f g c e==-=，∴()()(1ln )x x f x g x e e x =⋅=-+， ∴1()(ln 1)xf x e x x =+-'．令1()ln 1h x x x =+-，则22111()x h x x x x-=-=，故当112x <<时，()0,()h x h x '<单调递减；当1x >时，()0,()h x h x '>单调递增．∴()(1)0h x h ≥=，从而当1,2x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭时，()0f x '≥，∴()f x 在区间1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上单调递增．设[]3()32,2,1a a a e a ϕ=---∈-，则2()333(1)(1)a a a a ϕ'=-=+-，故()a ϕ在(2,1)--上单调递增，在(1,1)-上单调递减，所以max ()(1)a e ϕϕ=-=-． ∴不等式31232f a a em ⎛⎫-≤--- ⎪⎝⎭等价于12(1)f e f m ⎛⎫-≤-= ⎪⎝⎭，∴1211122m m ⎧-≤⎪⎪⎨⎪-≥⎪⎩，解得213m ≤≤，故m 的取值范围为2[,1]3．选A ．二、多选题9．空气质量指数AQI 是反映空气质量状况的指数，AQI 指数值越小，表明空气质量越好，其对应关系如表： AQI 指数值 0~50 51~100 101~150 151~200 201~300 300>空气质量优良轻度污染中度污染重度污染严重污染如图是某市12月1日-20日AQI 指数变化趋势：下列叙述正确的是（ ）A ．这20天中AQI 指数值的中位数略高于100B ．这20天中的中度污染及以上的天数占14C ．该市12月的前半个月的空气质量越来越好D ．总体来说，该市12月上旬的空气质量比中旬的空气质量好 【答案】ABD【解析】对A ：将这20天的数据从小到大排序后，第10个数据略小于100，第11个数据约为120，因为中位数是这两个数据的平均数，故中位数略高于100是正确的，故A 正确； 对B ：这20天中，AQI 指数大于150的有5天，故中度污染及以上的天数占14是正确的， 故B 正确；对C ：由折线图可知，前5天空气质量越来越好，从6日开始至15日越来越差，故C 错误；对D ：由折线图可知，上旬大部分AQI 指数在100以下，中旬AQI 指数大部分在100以上，故上旬空气质量比中旬的要好.故D 正确. 故选：ABD.10．已知函数()()sin 322f x x ππϕϕ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭的图象关于直线4x π=对称，则（ ）A ．函数12f x π⎛⎫+⎪⎝⎭为奇函数 B ．函数()f x 在,123ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增C ．若()()122f x f x -=，则12x x -的最小值为3π D ．函数()f x 的图象向右平移4π个单位长度得到函数cos3y x =-的图象 【答案】AC 【解析】因为直线4x π=是()()sin 322f x x ππϕϕ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭的对称轴,所以()342k k Z ππϕπ⨯+=+∈,则()4k k Z πϕπ=-+∈,当0k =时,4πϕ=-,则()sin 34f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭, 对于选项A,sin 3sin 312124f x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=+-= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦,因为()sin 3sin3x x -=-,所以12f x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭为奇函数,故A 正确； 对于选项B,()232242k x k k Z πππππ-+<-<+∈,即()21212343k kx k Z ππππ-+<<+∈,当0k =时,()f x 在,124ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦当单调递增,故B 错误； 对于选项C,若()()122f x f x -=,则12x x -最小为半个周期,即21323ππ⨯=,故C 正确； 对于选项D,函数()f x 的图象向右平移4π个单位长度,即()sin 3sin 3sin 344x x x πππ⎡⎤⎛⎫--=-=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦,故D 错误 故选：AC11．下列结论正确的是（ ）A ．x R ∀∈，12x x+≥B ．若0a b <<，则3311a b ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．若()20x x -<，则()2log 0,1x ∈D ．若0a >，0b >，1a b +≤，则104ab <≤【答案】BD【解析】当0x <时，1x x+为负数，所以A 不正确； 若0a b <<，则110b a<<，考虑函数3()f x x =在R 上单调递增， 所以11()()f f a b >，即3311()()ab>，所以B 正确；若()20x x -<，则02x <<，2log (,1)x ∈-∞，所以C 不正确； 若0a >，0b >，1a b +≤，根据基本不等式有21,0()224a b a b ab ab ++≤<≤= 所以D 正确. 故选：BD12．如图，四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥底面ABCD ，PAD △是等边三角形，底面ABCD 是菱形，且60BAD ∠=︒，M 为棱PD 的中点，N 为菱形ABCD 的中心，下列结论正确的有（ ）A ．直线PB 与平面AMC 平行 B ．直线PB 与直线AD 垂直 C ．线段AM 与线段CM 长度相等 D ．PB 与AM 2【答案】ABD【解析】如图，连接MN ，易知//MN PB ，由线面平行的判定定理得//PB 面AMC ，A 正确.在菱形ABCD 中，60BAD ∠=︒，BAD ∴V 为等边三角形.设AD 的中点为O ，连接OB ，OP ，则OP AD ⊥，OB AD ⊥，由线面垂直的判定定理得出AD ⊥平面POB ，AD PB ∴⊥，B 正确.Q 平面PAD ⊥平面ABCD ，由面面垂直的性质可得POB V 为直角三角形设4=AD ，则23OP OB ==，26PB ∴=，162MN PB ==. 在MAN △中，23AM AN ==，6MN =，可得2cos 4AMN ∠=故异面直线PB 与AM 所成角的余弦值为24在MAN △中222AM AN MN ≠+，则ANM ∠不是直角，则AMC ∆不是等腰三角形，即AM 与CM 长度不等，故C 错误，D 正确 故选：ABD三、填空题 13．已知()3312,,,sin ,sin 45413ππαβπαββ⎛⎫⎛⎫∈+=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则cos 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭__________．【答案】5665-【解析】∵3,,4παβπ⎛⎫∈⎪⎝⎭， ∴3,22παβπ⎛⎫+∈⎪⎝⎭, ∴()()24cos =1sin 5αβαβ+-+=． 又3,424πππβ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，12sin ,413πβ⎛⎫-=⎪⎝⎭ ∴25cos()=1sin ()4413ππββ----=-． ∴cos()cos[()()]44ππααββ+=+--cos()cos()sin ()sin()44ππαββαββ=+-++-4531256()()51351365=⨯-+-⨯=-． 答案：5665- 14．已知抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l ，过点F 且斜率为3的直线交抛物线于点M （M 在第一象限），MN l ⊥，垂足为N ，直线NF 交y 轴于点D ，则| |MD =_____________. 【答案】23 【解析】如图所示设准线与x 轴交于E .易知()1,0F ，2EF =，由抛物线定义知||||MN MF =. 由题意60MFx ∠=︒，60NMF ∴∠=︒， NMF ∴V 为等边三角形，60NFE ∴∠=︒， 24cos60EF NM FE ∴===︒.又OD 是FEN △的中位线，MD ∴就是该等边NMF V 的高，||23MD ∴=.故答案为：2315．已知a ∈R ，若二项式(1)n x 的展开式中二项式系数和是16，所有项系数和是81，则n ＝_____，含x 项的系数是_____． 【答案】4 24或96【解析】∵二项式(1)n x 的展开式中二项式系数和是16， ∴216n =，解得4n =；令1x =，可得()4181a +=，解得2a =或4-， 二项式展开式的通项公式为2442144()r rrr rr TC x C ax---+==，令2r =，则x 项的系数是22246C a a =，当2a =时，2624a =，当4a =-时，2696a =， 所以含x 项的系数是24或96． 故答案为：4，24或96．16．已知函数()222,01,03x x ax a x f x e ex a x x⎧++≤⎪=⎨-+>⎪⎩，若存在实数k ，使得函数()y f x k =-有6个零点，则实数a 的取值范围为__________.【答案】3,32⎛⎫⎪⎝⎭【解析】由题得函数()y f x =的图象和直线y k =有六个交点.显然有200a a a >-<，.221(1)(),()3x x e e x f x e a f x x x -'=-+∴=,（0x >）， 所以函数在(0,1)单调递减，在1+∞（，）单调递增，且21(1)03f a =>. 由题得221(,||),(0,),(1,)3A a a aB aC a --，,,A B C 三点的高度应满足A B C h h h ≥>或B A C h h h ≥>,所以21|1|3a a a a -≥>或21|1|3a a a a ≥->， 因为200a a a >-<， 所以23a ≤<或322a <≤，综合得332a <<. 故答案为：3,32⎛⎫ ⎪⎝⎭四、解答题17．如图，在ABC ∆中，2AB =，1cos 3B =，点D 在线段BC 上．(Ⅰ) 若34ADC π∠=，求AD 的长； （Ⅱ） 若2BD DC =，ACD ∆的面积为42，求sin sin BAD CAD ∠∠的值． 【解析】（I ）在三角形中，∵1cos 3B =，∴22sin 3B =． 在ABD ∆中，由正弦定理得sin sin AB AD ADB B =∠， 又2AB =，4ADB π∠=，22sin 3B =．∴83AD =． （II ）∵2BD DC =，∴2ABD ADC S S ∆∆=，， 又423ADC S ∆=∴42ABC S ∆=， ∵1·sin 2ABC S AB BC ABC ∆=∠，∴6BC =， ∵1·sin 2ABD S AB AD BAD ∆=∠，1·sin 2ADC S AC AD CAD ∆=∠， 2ABD ADC S S ∆∆=，∴sin 2?sin BAD AC CAD AB∠=∠， 在ABC ∆中，由余弦定理得2222?cos AC AB BC AB BC ABC =+-∠．∴42AC =∴sin 2?42sin BAD AC CAD AB∠==∠ 18．已知n S 是公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和，336,S a =是1a 与9a 的等比中项.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列()*24(1)41n n n a b n N n =-∈-，数列{}n b 的前2n 项和为2n P ，若2112020n P +<，求正整数n 的最小值. 【解析】（1）公差d 不为零的等差数列{}n a ，由3a 是1a 与9a 的等比中项，可得 2193a a a ⋅=，即()()211182a a d a d +=+，解得1a d =. 又31336S a d =+=，可得11a d ==，所以数列{}n a 是以1为首项和公差的等差数列，所以*,N n a n n =∈.（2）由（1）可知()()241111412121n n n n b n n n ⎛⎫=-=-+ ⎪--+⎝⎭， 211111111113355743414141n P n n n n ∴=--++--+--++---+L 1141n =-++， 211201914120204n P n n +=<∴>+Q ， 所以n 的最小值为505.19．在如图的空间几何体中，四边形BCED 为直角梯形，90,2DBC BC DE ︒∠==，2AB AC ==，3CE AE ==，且平面BCED ⊥平面ABC ，F 为棱AB 中点.（1）证明：DF AC ⊥；（2）求二面角B AD E --的正弦值.【解析】（1）证明：取AC 中点为G ，连接GE 和GF ，如图所示因为//GF BC ，且12GF BC =， 又因为//DE BC ，且12DE BC =，故//GF DE ，且GF DE =，即四边形GFDE 为平行四边形，故//GE DF ，CE AE =Q ，G 为AC 中点，GE AC ∴⊥；又//GE DF ，DF AC ∴⊥.（2）Q 平面BCED ⊥平面ABC ，平面BCED I 平面ABC BC DB AC =⊥，，DB ∴⊥平面ABC ，又AC ⊂平面ABC ，DB AC ∴⊥.由（1）知,DF AC BD DF D ⊥⋂=Q ，,BD DF ⊂平面ABC ，AC ∴⊥平面ABD ，而AB Ì平面ABD ，AC AB ∴⊥，2AB AC ==Q ，22,2BC DE ∴==.取BC 中点O 连接OE 和OA ，四边形BCED 为直角梯形，则//OE DB ， DB ⊥Q 平面ABC ，OE ∴⊥平面ABC ，又BC ⊂平面ABC ，OA ⊂平面ABC ，故OE BC OE OA ⊥⊥，，,AB AC OA BC =∴⊥Q ，∴分别以OA 、OB 、OE 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立直角坐标系，如图所示3,1CE AE OE ==∴=Q ，则2,1)D ，(0,0,1)E ，(2,0,0)A ，(0,2,0)C -，故(2,2,1)AD =-u u u r ，(2,0,1)AE =u u u r ，(2,2,0)CA =u u u r ，易知平面ABD 的一个法向量为(2,2,0)CA =u u u r ，设平面ADE 的一个法向量为(,,)n x y z =r ，则00n AD n AE ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v v u u u v v ，即22020x z x z ⎧-++=⎪⎨-+=⎪⎩，令2,1,0z x y =∴==， 2)n ∴=r .设二面角B AD E --的为θ，则|cos ||cos ,|||||n CA n CA n CA θ⋅=〈〉==r u u u r r u u u r r u u u rsin θ\==. ∴二面角B AD E --. 20．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>与抛物线2:4D y x =-有共同的焦点F ，且两曲线的公共点到F 的距离是它到直线4x =- （点F 在此直线右侧）的距离的一半.（1）求椭圆C 的方程；（2）设O 为坐标原点，直线l 过点F 且与椭圆交于A B ，两点，以OAOB ，为邻边作平行四边形OAMB .是否存在直线l ，使点M 落在椭圆C 或抛物线D 上？若存在，求出点M 坐标；若不存在，请说明理由.【解析】（1）由题意知()1,0F -，因而1c =，即221a b =+，又两曲线在第二象限内的交点(),Q Q Q x y 到F 的距离是它到直线4x =-的距离的一半，即()421Q Q x x +=-+， 得23Q x =-，则283Q y =， 代入到椭圆方程，得2248193a b+=. 由2222481931a ba b ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩， 解得224,3a b ==，∴所求椭圆的方程为22143x y +=. （2）当直线AB 的斜率存在且不为0时，设直线AB 的方程为()1y k x =+ 由22(1)143y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩， 得()22223484120k x k x k +++-=，设()()()001122,,,,,M x y A x y B x y ， 则221212228412,3434k k x x x x k k --+=⋅=++， 由于OABM 为平行四边形，得OM OA OB =+u u u u r u u u r u u u r ，故012012x x x y y y =+⎧⎨=+⎩，又()()11221,1y k x y k x =+=+， 可得2202220288634,,3434634k x k k k M k k ky k ⎧-=⎪⎛⎫-⎪+∴⎨ ⎪++⎝⎭⎪=⎪+⎩. 若点M 在椭圆C 上，则2200143x y +=，代入得()42221612134k k k +=+，无解. 若点M 在抛物线D 上，则200:4D y x =-，代入得()2222236323434k k k k =++，无解.当直线斜率不存在时，:1l x =-，此时存在点(2,0)M -在椭圆C 上.故不存在直线l ，使点M 落在抛物线D 上，存在直线l ，使点()2,0M -落在椭圆C 上.21．已知函数()(1)ln(1)f x x x =++，2()cos 2x g x ax x x =+-. （1）当0x ≥时，总有2()2x f x mx +…，求m 的最小值； （2）对于[]0,1中任意x 恒有()()f x g x ≤，求a 的取值范围.【解析】（1）令2()(1)1(1),02x x mx x n x x φ=+-++≥， 则1()ln(1)1,()101x x m x x x ϕφ'''=+-+-=->+， ()x ϕ'∴在[0,)+∞上单调递增，且(0)1m ϕ'=-若m 1≥，则()x ϕ在[0,)+∞上单调递增，()(0)0x ϕϕ∴≥=，即m 1≥满足条件；若1,(0)10,()m m x ϕϕ'<=-<存在单调递减区间[]00,x ，又(0)0ϕ=Q ，所以存在0x 使得()00x ϕ<与已知条件矛盾，所以m 1≥，m 的最小值为1.（2）由（1）知2()2x f x x ≤+，如果2()2x x g x +≤，则必有()()f x g x ≤成立.令2()()(1)cos (1cos )2x h x g x x a x x x x a x ⎛⎫=-+=--=-- ⎪⎝⎭， 则()(1cos )0h x x a x =--…，即1cos 0,1cos ,2a x a x a --≥+∴∴≥≥. 若()0h x ≥，必有()()f x g x ≤恒成立，故当2a ≥时，()()f x g x ≤恒成立，下面证明2a <时，()()f x g x ≤不恒成立.令1()()(1)ln(1)f x f x x x x x =-=++-，1()ln(1)f x x '=+，当0x >时，1()ln(1)0f x x '=+>，1()f x 在区间[]0,1上单调递增故11()(0)0f x f ≥=，即1()()0f x f x x =-≥，故()x f x ≤.2()()()(1)cos 1cos 22x x g x f x g x x a x x x x a x ⎛⎫-≤-=-+-=-+- ⎪⎝⎭， 令()1cos 2xt x a x =-+-，1()sin 02t x x '=+>， 所以()t x 在[]0,1上单调递增，又(0)20t a =-<，则一定存在区间()0,m （其中01m <<），当()0,x m ∈时，()0t x <，则()()()0g x f x xt x -≤<，故()()f x g x ≤不恒成立.综上所述：实数a 取值范围是[2,)+∞.22．为丰富学生课外生活，某市组织了高中生钢笔书法比赛，比赛分两个阶段进行：第一阶段由评委给出所有参赛作品评分，并确定优胜者；第二阶段为附加赛，参赛人员由组委会按规则另行确定.数据统计员对第一阶段的分数进行了统计分析，这些分数X 都在[70,100)内，在以组距为5画分数的频率分布直方图（设“=Y 频率组距”)时，发现Y 满足*8109,16300,N ,55(1)11,161520n n Y n n X n k n n -⎧⎪⎪=∈<+⎨⎪-⋅>⎪-⎩„„. （1）试确定n 的所有取值，并求k ；（2）组委会确定：在第一阶段比赛中低于85分的参赛者无缘获奖也不能参加附加赛；分数在[)95,100的参赛者评为一等奖；分数在[90,95)的同学评为二等奖，但通过附加赛有111的概率提升为一等奖；分数在[85,90)的同学评为三等奖，但通过附加赛有17的概率提升为二等奖（所有参加附加赛的获奖人员均不降低获奖等级）.已知学生A 和B 均参加了本次比赛，且学生A 在第一阶段评为二等奖. （i ）求学生B 最终获奖等级不低于学生A 的最终获奖等级的概率； （ii ）已知学生A 和B 都获奖，记A B ，两位同学最终获得一等奖的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望.【解析】（1）根据题意，X 在[70,100)内，按组距为5可分成6个小区间， 分别是[70,75),[75,80),[80,85),[85,90),[90,95),[95,100)，70100X ≤<Q ，由*55(1),n X n n ≤<+∈N ，14,15,16,17,18,19n ∴=. 每个小区间的频率值分别是8109,14,15,16605115,17,18,19320n n P Y k n n -⎧=⎪⎪==⎨⎪-⋅=⎪-⎩. 由3111911151160606032k ⎛⎫+++-++= ⎪⎝⎭，解得350k =. n ∴的所有取值为14,15,16,17,18,19，350k =.（2）（i ）由于参赛学生很多，可以把频率视为概率.由（1）知，学生B 的分数属于区间[)[)[)[)[)[)70,75,75,80,80,85,85,90,90,95,95,100的概率分别是：360，1160，1960，1460，1160，260. 我们用符号ij A （或ij B )表示学生A （或B ）在第一轮获奖等级为i ，通过附加赛最终获奖等级为j ，其中(,1,2,3)j i i j =….记“学生B 最终获奖等级不低于学生A 的最终获奖等级”为事件W ， 则()12122223222()P W P B B B A B A =+++()()()()()()12122223222P B P B P B P A P B P A =+++2111111010141105160601160111160711220=+⋅+⋅⋅+⋅⋅=. （ii ）学生A 最终获得一等奖的概率是()21111P A =， 学生B 最终获得一等奖的概率是()12121112116060272711272796060P B B ''+=+⋅=+=，1180(0)1111999P ξ⎛⎫⎛⎫==--= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 111118(1)1111911999P ξ⎛⎫⎛⎫==⋅-+-⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 111(2)11999P ξ==⋅=， ξ∴的分布列为：801812001299999999E ξ=⋅+⋅+⋅=.。

【2020年高考数学预测题、估测题】山东省数学高考试卷3【附详细答案和解析 可编辑】真水无香 tougao33学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________一、 选择题 （本题共计 13 小题 ，共计72分 ， ）1. （5分） 已知i 为虚数单位，辅助z =1+2i i，则|z|=( )A.1B. 2C. 3D. √52. （5分） （兰州诊断）设全集U =R ，集合M ={x|x ≥0}，集合N ={x|x 2<1}，则M ∩(∁U N )=（ ） A.(0,1) B.[0,1] C.[1,+∞) D.(1,+∞)3. （5分） 设a =(12)12,b =(12)13,c =log 213 ，则，b ，c 的大小关系是（ ）A. a <b <cB. a <c <bC. c <b <aD. c <a <b4. （5分） 用0.618法选取试点，实验区间为[2, 4]，若第一个试点x 1处的结果比x 2处好，x 1>x 2，则第三个试点应选取在（ ） A.2.236 B.3.764 C.3.528 D.3.9255. （5分） 所示是某一容器的三视图，现向容器中匀速注水，容器中水面的高度ℎ随时间t 变化的图象可能是（ ）A. B. C. D.6. （5分） 从编号为0，1，2，⋯，79的80件产品中，采用系统抽样的方法抽取容量是10的样本，若编号为58的产品在样本中，则该样本中产品的最大编号为( ) A.72 B.74 C.76 D.787. （5分） 已知cos (π2+α)=2cos (π−α)，则tan (π4+α)=( )A.3B.−3C. −13D.138. （5分） 若向量a →=(2, −1)，b →=(0, 2)，则以下向量中与a →+b →垂直的是（ ） A.(1, −2) B.(1, 2) C.(2, 1) D.(0, 2)9. （5分） 执行如图所示的程序框图，若输出的值为8，则框图中①处可以填( )A.S ≥7?B.S ≥21?C.S ≥28?D.S ≥36?10. （5分） 设双曲线C 的中心为点O ，若有且只有一对相交于点O ，所成的角为60∘的直线A 1B 1和A 2B 2，使|A 1B 1|＝|A 2B 2|，其中A 1、B 1和A 2、B 2分别是这对直线与双曲线C 的交点，则该双曲线的离心率的取值范围是( ) A.(2√33,2] B.[2√33,2) C.(2√33,+∞) D.[2√33,+∞)11. （5分） 在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a 2+c 2=b 2+2ac cos C 且a =2b sin A ，则A =( ) A.π4 B.π6C.π3D.2π312. （5分） 已知直线l:kx −y −3k +1=0 与椭圆C 1:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)交于A ，B 两点，与圆C 2(x −3)2+(y −1)2=1交于C ，D 两点．若存在k ∈[−2,−1]，使得AC →=DB →,则椭圆C 1的离心率的取值范围为( ) A.[√33,√63] B.[√33,1) C.(0,√33] D.[√63,1)13. （12分） 已知函数f (x )=√3sin ωx +a cos ωx (ω>0,a >0)，对任意x 1,x 2∈R ，f (x 1)+f (x 2)的最大值为4，若f(x)在(0,π)上恰有两个极值点，则实数ω的取值范围是( ) A.[43,73]B.(43,73]C.[76,136)D.[76,136]二、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ， ）14. 已知f(x)＝x 2+e x ，曲线y ＝f(x)在点(0, 1)处的切线方程为________．15. 在明朝程大位《算法统宗》中有这样的一首歌谣：“远看巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯”．这首古诗描述的这个宝塔其古称浮屠，本题一共有7层．每层悬挂的红灯数是上一层的2倍，共有381盏灯，问塔顶有几盏灯？你算出顶层有________盏灯．16. 已知函数f (x )=sin (ωx +π4)(ω∈N )在[0,π]上仅有2个零点，设g (x )=√2f (x2)+f (x −π8)，则g (x ) 在区间[0,π] 上的取值范围为________.17. 已知正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的棱长为1，M 为棱CC 1的中点，则点M 到平面A 1BD 的距离是________.三、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 12 分 ，共计72分 ， ）18. 为了调查某地区义务教育阶段的学生在周末上网的情况，随机对男女各200名学生进行了不记名的问卷调查，得到了如下的统计表： 表1：男、女生上网时间与频数分布表附：公式k 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n =a +b +c +d .(1)若用表1的数据来分析判断：某义务教育阶段学校共有女生600人，试估计其中上网时间不高于60分钟的人数；(2)完成答题卡上的2×2列联表，并回答能否有97.5%的把握认为“学生周末上网时间与性别有关？”19. 已知等差数列{a n }满足a 3=5，a 4+a 8=22，{a n }的前n 项和为S n ， (1)求a n 及S n ；(2)证明：对一切正整数n ，有1S 1+1S 2+...+1S n<74．20. 如图所示，在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，P 为A 1C 1上任意一点，求证：(1)平面A 1DC 1//平面AB 1C ； (2)DP//平面AB 1C .21. 设函数f(x)=ax −e x . (1)求f(x)的单调区间；(2)若f(x)有两个零点x 1,x 2，且x 1<x 2，①求实数a 的取值范围；②求证：x 1+x 2<2ln a ．22. 已知点P 是圆M:(x −1)2+y 2=14外一动点，且满足P 到圆M 上点的最短距离等于P到直线x =−12的距离．(1)求动点P 的轨迹C 的方程；(2)经过R (2,0)的动直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，试问在x 轴上是否存在异于R 的定点Q ，使得直线AQ ，BQ 的倾斜角互补？若存在，求出定点Q ；若不存在，请说明理由．23. 已知a ，b ，c ∈R +，求证：(a +b +c )．(1a +1b +1c )≥9．参考答案与试题解析【2020年高考数学预测题、估测题】山东省数学高考试卷3【附详细答案和解析可编辑】一、选择题（本题共计 13 小题，共计72分）1.【答案】D【解答】解：已知复数z=1+2ii =i(1+2i)i⋅i=−2+i−1=2−i.则|z|=√22+(−1)2=√5.故选D.2.【答案】C【解答】由题意得N=(−1,1)，则∁U N=(−∞,−1]∪[1,+∞)，所以M∩(∁U N)=[1,+∞)，故选C．正确求解一元二次不等式，掌握集合的运算法则是解题的关键．本题考查不等式的解法、集合的运算．3.【答案】【解答】此题暂无解答4.【答案】C【解答】解：由已知试验范围为[2, 4]，可得区间长度为2，利用0.618法选取试点：x1=2+0.618×(4−2)=3.236，x2=2+4−3.236= 2.764，∵x1处的结果比x2处好，则x3为4−0.618×(4−3.236)=3.528故选C．5.【答案】B【解答】解：由三视图知：该几何体为底面朝上的圆锥，当水注入时，先增长快，再变慢.故选B．6.【答案】B【解答】解：样本间隔为80÷10=8，设第一个号码为x，因为编号为58的产品在样本中，且58=8×7+2，则第一个号码为2，则最大的编号2+8×9=74.故选B.7.【答案】B【解答】解：∵cos(π2+α)=2cos(π−α), ∴−sinα=−2cosα，∴tanα=2,∴tan(π4+α)=tanπ4+tanα1−tanπ4tanα=1+tanα1−tanα=−3.故选B.8.【答案】A【解答】解：∵向量a→=(2, −1)，b→=(0, 2)，∴a→+b→=(2, 1)，对于A，2×1+1×(−2)=0，∴该向量与向量a→+b→垂直；∴可以排除掉B、C、D选项．故选：A．9.【答案】C【解答】解：已知输出的值为8，即i=8，运行程序：第一次：S=S+i=1,i=i+1=2,第二次：S=S+i=3,i=i+1=3,第三次：S=S+i=6,i=i+1=4,第四次：S=S+i=10,i=i+1=5,第五次：S=S+i=15,i=i+1=6, 第六次：S=S+i=21,i=i+1=7, 第七次：S=S+i=28,i=i+1=8, 故选C.10.【答案】A【解答】解：不妨令双曲线的方程为x 2a2−y2b2=1(a>0,b>0)，由|A1B1|＝|A2B2|及双曲线的对称性知A1，A2，B1，B2关于x轴对称，如图，又∵满足条件的直线只有一对，当直线与x轴夹角为30∘时，双曲线的渐近线与x轴夹角大于30∘，双曲线与直线才能有交点A1，A2，B1，B2，若双曲线的渐近线与x轴夹角等于30∘，则无交点，则不可能存在|A1B1|＝|A2B2|，当直线与x轴夹角为60∘时，双曲线渐近线与x轴夹角小于60∘，双曲线与直线有一对交点A1，A2，B1，B2，若双曲线的渐近线与x轴夹角等于60∘，也满足题中有一对直线，但是如果大于60∘，则有两对直线．不符合题意，∴tan30∘<ba≤tan60∘，即√33<ba≤√3，∴13<b2a2≤3，∵b2＝c2−a2，∴13<c2−a2a2≤3，∴43<e2≤4，∴2√33<e≤2，∴双曲线的离心率的范围是(2√33,2]．故选A.11.【答案】D【解答】解：在△ABC中，由a2+c2=b2+2ac cos C，可得cos B=a2+c2−b22ac=cos C，又B，C是三角形的内角，∴B=C．∵a=2b sin A，∴由正弦定理得sin A=2sin B sin A.则可得sin B=12.∴B=C=π6.∴A=π−B−C=2π3.故选D．12.【答案】A【解答】解：直线l:kx−y−3k+1=0可化为k(x−3)=y−1，因此直线l恒过定点(3,1)，∵ 圆C2:(x−3)2+(y−1)2=1的圆心坐标为(3,1)，∴ 直线l恒过圆C2的圆心，∵AC→=DB→,∴ 圆心C2是线段AB的中点，设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则x12a2+y12b2=1①，x22a2+y22b2=1②,①−②得，x12−x22a2+y12−y22b2=0，即(x1+x2)(x1−x2)a2+(y1+y2)(y1−y2)b2=0，∵x1+x2=6，y1+y2=2,∴6(x1−x2)a2+2(y1−y2)b2=0,∴ k=y1−y212=−3b22,∵ k∈[−2,−1]，∴−2≤−3b2a2≤−1,即13≤b2a2≤23,。

2020年高考押题预测卷02（山东卷）数学·全解全析13．30 14．2π 215． 16．12π 17．（本小题满分10分）【解析】（1）由①b ac -=()2223a c b +-=-，所以222cos 23a cb B ac +-==-， 由②2cos 22cos 12AA +=得，22cos cos 10A A +-=， 解得1cos 2A =或cos 1A =-（舍），所以3A π=，因为1cos 2B =<-，且()0,B π∈，所以23B π>，所以A B π+>，矛盾.所以ABC ∆不能同时满足①，②. 故ABC ∆满足①，③，④或②，③，④； （2）若ABC ∆满足①，③，④，因为2222cos b a c ac B =+-，所以2862c c =++2420c c +-=.解得2c =.所以ABC ∆的面积1sin 2S ac B ==若ABC ∆满足②，③，④由正弦定理sin sin a b A B=sin 2B =，解得sin 1B =，所以c =ABC ∆的面积1sin 2S bc A ==18．（本小题满分12分）【解析】（1）对任意的n *∈N ，132n n S S +=+，则1133311n n n n S S S S +++==++且113S +=，所以，数列{}1n S +是以3为首项，以3为公比的等比数列；（2）由（1）可得11333n n n S -+=⨯=，31nn S ∴=-.当2n ≥时，()()111313123nn n n n n S a S ---=-=---=⨯，12a =也适合上式，所以，123n n a -=⨯.由于曲线()22:191n n C x a y +-=是椭圆，则190191n n a a ->⎧⎨-≠⎩，即1123192318n n --⎧⨯<⎨⨯≠⎩， n N *∈Q ，解得1n =或2；（3）11333log 3log 3322n n n nn n a a b n --⎛⎫⎛⎫=⨯==⋅⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 01211323333n n T n -∴=⨯+⨯+⨯++⋅L ，①()12131323133n n n T n n -=⨯+⨯++-⋅+⋅L ，②①-②得()()012111312312333333132n nn n n nn T n n -⨯--⋅--=++++-⋅=-⋅=-L ， 因此，()21314n nn T -⋅+=. 19．（本小题满分12分）【解析】（1）证明：因为C 半圆弧»BD上的一点，所以BC BD ⊥. 在ABD ∆中，,E F 分别为,AD BD 的中点，所以112EF AB ==，且//EF AB . 于是在EFC ∆中， 222112EF FC EC +=+==， 所以EFC ∆为直角三角形，且EF FC ⊥. 因为AB BD ⊥，//EF AB ,所以.因为EF FC ⊥，，BD FC F ⋂=，所以EF ⊥平面BCD .又EF ⊂平面CEF ，所以平面CEF ⊥平面BCD .（2）由已知120BFC ∠=o ，以F 为坐标原点，分别以垂直于BD 、向量,FD FE u u u r u u u r所在方向作为x 轴、y 轴、z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系F xyz -，则31(,,0)22C ，(0,0,1)E ，(0,1,0)B -，(0,1,2)A -, 31=(,,1)2CE --u u u r ,(0,1,1)BE =u u u r ,(0,1,1)AE =-u u u r .设平面ACE 的一个法向量为111(,,)x y z =m ,则·0·0AE m CE m ⎧=⎨=⎩u u u v u u u v 即1111103102y z x y z -=⎧⎪⎨--+=⎪⎩，取11z =,得3,1,13=（）m . 设平面BCE 的法向量222(,,)x y z =n ,则·0·0BE n CE n ⎧=⎨=⎩u u u v u u u v 即22222031022y z x y z +=⎧⎪⎨--+=⎪⎩，取21z =,得3,1,1=-（）n . 所以105cos ,=||||2153<>==⨯g m n m n m n ， 又二面角A CE B --为锐角，所以二面角A CE B --的余弦值为105.20．（本小题满分12分）【解析】（1）设椭圆C 的焦距为()20c c >，由题知，点2,P c ⎛ ⎝⎭，2b =则有222212c a ⎝⎭+=，2234c a ∴=，又22222a b c c =+=+，28a ∴=，26c =，因此，椭圆C 的标准方程为22182x y +=；（2）当AB x ⊥轴时，M 位于x 轴上，且OM AB ⊥，由OM =可得AB =12AOB S OM AB ∆=⋅=； 当AB 不垂直x 轴时，设直线AB 的方程为y kx t =+，与椭圆交于()11,A x y ，()22,B x y ，由22182x y y kx t ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得()222148480k x ktx t +++-=. 122814kt x x k -∴+=+，21224814t x x k-=+，从而224,1414kt t M k k -⎛⎫ ⎪++⎝⎭已知OM =()2222214116k t k+=+.()()()22222212122284814141414kt t AB k x x x x k k k ⎡⎤--⎛⎫⎡⎤=++-=+-⨯⎢⎥ ⎪⎣⎦++⎝⎭⎢⎥⎣⎦Q ()()()222221682114k t k k -+=++. 设O 到直线AB 的距离为d ，则2221t d k =+，()()()222222221682114114AOBk t t S k k k ∆-+=+⋅++. 将()2222214116k t k+=+代入化简得()()2222219241116AOB k k S k ∆+=+.令2116k p +=，则()()()22222211211192414116AOBp p k k S p k ∆-⎛⎫-+ ⎪+⎝⎭==+211433433p ⎡⎤⎛⎫=--+≤⎢⎥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦.当且仅当3p =时取等号，此时AOB ∆的面积最大，最大值为2. 综上：AOB ∆的面积最大，最大值为2. 21．（本小题满分12分）【解析】（1）所有可能的方式有43种，恰有2人申请A 大学的申请方式有2242C ⋅种，从而恰有2人申请A 大学的概率为224428327C ⋅=； （2）由题意可知，随机变量的可能取值有1、2、3，则()4311327P X ===，()2232434341422327C A C A P X ⋅+===，()234344339C A P X ===. 所以，随机变量X 的分布列如下表所示：()1144651232727927E X =⨯+⨯+⨯=. 22．（本小题满分12分） 【解析】（1）因为()()2112xa f x ex e x =--，所以()x a f x xe xe '=-．所以()01f =-，()00f '=．所以曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线为1y =-； （2）因为()()xaxaf x xe xe x e e'=-=-，令()0f x '=，得0x =或()0x a a =<．列表如下：所以，函数()y f x =的单调递增区间为(),a -∞和()0,∞+，单调递减区间为(),0a ， 所以，当0x =时，函数()y f x =有极小值()01f =-； （3）当1x ≤时，()0f x <，且()222220af e e e =->->．由（2）可知，函数()y f x =在()0,∞+上单调递增，所以函数()y f x =的零点个数为1．。

山东省潍坊市2020年高考押题预测卷（文）试题一、单选题1．已知集合{}2|(1)2A x x =-<，{1,0,1,2,3}B =-，则A B =I （ ） A ．{1,0,1}- B ．{1,0,1,2}-C ．{0,1,2}D ．{0,1,2,3}【答案】C【解析】根据一元二次不等式的解法得出集合A ，再由集合的交集运算得选项. 【详解】由题意可知{|11{1,0,1,2,3}A x x B =<+=-，所以{0,1,2}A B ⋂=。

故选：C. 【点睛】本题考查一元二次不等式的解法和集合的交集运算，属于基础题.2．设复数12()z ai a R =+∈且||15z =，若复数z 在复平面内对应的点位于第四象限，则复数z 的虚部为（ ） A ．9 B ．9iC ．9-D ．9i -【答案】C【解析】利用复数的模的运算,求出复数z 的坐标, 再通过复数的对应点在第四象限,求出a 的值，从而得出选项.【详解】15=，解得9a =±，又因为复数z 在复平面内对应的点位于第四象限，所以0a <，所以9a =-，所以数z 的虚部为9-. 故选：C. 【点睛】本题考查复数的模的运算以及复数的几何意义和复数的虚部,属于基础题. 3．在等差数列{}n a 中，若11310a a +=，则579a a a ++=（ ） A ．5 B ．10C ．15D ．50【答案】C【解析】所求式子利用等差数列的性质化简,将已知等式代入计算即可求出值. 【详解】因为在等差数列{}n a 中，1137210a a a +==，所以75a =，所以()5795977772315a a a a a a a a a ++=++=+==，故选：C. 【点睛】本题考查等差数列的性质：等差中项，注意观察各项的脚标，是否满足等差中项的性质，属于基础题.4．在区间,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上机取一个实数x ，则sin x的值在区间12⎡-⎢⎣⎦上的概率为（ ） A ．13B ．12C ．23D【答案】B【解析】先根据正弦函数sin y x =在,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的单调性，求得函数值为1,22-所对应的x 的值，再根据几何概型的求解方法可得选项. 【详解】 因为在,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上，函数 sin y x =单调递增，且当 6x π=-时，1sin 2x =-，当3x π=时，sin 2x =， 所以所求概率为136222ππππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭=⎛⎫-- ⎪⎝⎭， 故选：B. 【点睛】本题考查正弦函数的求值和几何概型的问题，属于基础题.5．若实数,x y 满足不等式组2100,280,0,0,x y x y x y +-≤⎧⎪-+≥⎪⎨≥⎪⎪≥⎩则z y x =-的最大值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】D【解析】作出不等式组表示的平面区域,将目标函数变形为y =x+z ,作出直线y x =,将直线y x =平移,由图判断出直线过过点()0,4B 时，z 取得最大值，可得选项. 【详解】画出不等式表示的平面区域如下图所示：由z y x =-得，y =x+z ，平移直线y x =，由图象可知当直线y =x+z 过点()0,4B 时，直线y =x+z 的纵截距最大，此时z 取得最大值，最大值为：max 404z =-=， 故选：D. 【点睛】本题考查不等式组所表示的平面的区域，线性规划中目标函数的最值问题，可以从明确目标函数的几何意义入手，运用数形结合的思想求得最值，属于基础题.6．边长为2的正方形ABCD 上有一点P ，记AB DP ⋅u u u r u u u r的最大值为M ，最小值为m ，则M m -=（ ） A ．8 B ．6C ．4D ．0【答案】C【解析】建立平面直角坐标系，得出,,,A B C D 的坐标，分别分点P 在边,,,AB BC CD AD 上，设出点P 的坐标，得向量,AB DP u u u r u u u r的坐标，根据向量的数量积的坐标运算和所设坐标的的范围可得AB DP ⋅u u u r u u u r的最大值和最小值，从而可得选项. 【详解】建立平面直角坐标系如下图所示，则()()()()0,0,2,0,2,2,0,2AB C D ，且()2,0AB =uu u r，（1）点P 在AB 边上时，设点P 的坐标为(),0,02P x x ≤≤，则(),2DP x =-u u u r，所以()2022,02AB DP x x x ⋅=+⨯-=≤≤u u u r u u u r ，所以此时AB DP ⋅u u u r u u u r的最小值为0，AB DP ⋅u u u r u u u r的最大值为4；（2）点P 在BC 边上时，设点P 的坐标为()2,,02P y y ≤≤，则()2,2DP y =-u u u r， 所以()22024,02AB DP y y ⋅=⨯+⨯-=≤≤u u u r u u u r ，所以此时AB DP ⋅u u u r u u u r的值为4； （3）点P 在CD 边上时，设点P 的坐标为(),2,02P x x ≤≤，则(),0DP x =u u u r，所以2002,02AB DP x x x ⋅=+⨯=≤≤uuu r uuu r ，所以此时AB DP ⋅u u u r u u u r 的最小值为0，AB DP⋅u u u r u u u r 的最大值为4；（4）点P 在AD 边上时，设点P 的坐标为()0,,02P y y ≤≤，则()0,2DP y =-u u u r， 所以()20020,02AB DP y y ⋅=⨯+⨯-=≤≤u u u r u u u r ，所以此时AB DP ⋅u u u r u u u r的值为0；综上可得，AB DP ⋅u u u r u u u r的最大值为4M =，最小值为0m =，所以404M m -=-=， 故选：C.【点睛】本题考查向量的数量积运算，并求向量和数量积的最值，运用建立平面直角坐标系，得出点的坐标，向量的坐标，运用向量的数量积的坐标运算求解相关问题是常用的方法，属于中档题.7．执行如图的程序框图，若输出n 的值为2，则输入的值x 不可能是（ ）A ．1B ．32C ．43D ．2【答案】A【解析】根据程序框图的循环结构，将选项代入执行程序框图，可得选项. 【详解】对于A 选项，执行程序框图，若1x =， 则214130,2,1x n -⨯+≤==，224230-⨯+≤，3,2;x n == 234330-⨯+≤，4,3x n ==；2444-⨯+30>循环结束，此时输出n 的值是3，不满足题意，所以输入的值x 不可能是1， 故选：A. 【点睛】本题考查根据程序框图的执行结果，判断输入值，关键在于依次执行程序框图，注意其中的判断条件，属于基础题. 8．若变量x ，y 满足|x |﹣ln1y=0，则y 关于x 的函数图象大致是（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】B【解析】由条件可得1xy e=，显然定义域为R ，且过点()01，，当0x >时，1xy e=是减函数，即可选出答案 【详解】若变量x y ，满足10x lny -=，则1x y e=，显然定义域为R ，且过点()01，，故排除C D ，再根据当0x >时，1xy e=是减函数，排除A故选B 【点睛】本题主要考查的是指数式与对数式的互化，指数函数的图象和性质的综合运用，以及函数的定义域，值域，单调性，函数恒过定点问题，属于基础题．9．已知圆221:(2)9C x y ++=与圆2222:(1)(4)(0)C x y r r -+-=>有公共点，则r的取值范围是（ ） A ．[2,8] B ．[2,13] C ．(0,13] D ．(0,8]【答案】A【解析】求出两个圆的圆心与半径，利用圆心距与半径和与差的关系,可得选项. 【详解】圆221:(2)9C x y ++=的圆心()12,0,C -半径13R=，圆2222:(1)(4)(0)C x y r r -+-=>的圆心()21,4,C 半径2R r =，且两圆的圆心距为125C C ==，要使两个圆有公共点，则需满足353r r -≤≤+，解得28r ≤≤，所以r 的取值范围是28r ≤≤， 故选：A. 【点睛】本题考查圆与圆的位置关系及其判定，关键熟记圆与圆的位置关系与两圆的半径的和或差的关系，属于基础题.10．已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面垂直，2AB =，1CC =6BCA π∠=，则三棱柱111ABC A B C -的外接球的表面积为（ ） A ．64π B ．36πC ．27πD ．16π【答案】B【解析】根据题意做出图示，取底面111,A A C C B B V V 的外接圆的圆心分别为,M N ，连接MN ，取MN 的中点O ，则O 是三棱柱111ABC A B C -的外接球的球心，运用正弦定理求出ABC V 的外接圆的半径，再运用勾股定理求出外接球的球半径，由球的表面积公式可得选项. 【详解】做出图示如下图所示，取111,A A C C B B V V 的外接圆的圆心分别为,M N ，连接MN ，取MN 的中点O ，则O 是三棱柱111ABC A B C -的外接球的球心，在ABC V 中，2,AB =6BCA π∠=，设ABC V 的外接圆的半径为r ，三棱柱111ABC A B C -的外接球的半径为R ，由正弦定理得，242,2sin sin 30AB r r BCA ===∴=∠o，即2AM =，又125CC =，所以5OM =，所以()22325R OA ==+=，所以外接球的表面积为2244336R πππ=⨯=， 故选 ：B.【点睛】本题考查几何体的外接球的体积或表面积的问题，关键在于由几何体中的线面关系和面面关系，求得外接球的球心和半径，属于中档题.11．已知椭圆()2222:10,0x y C a b a b+=>>的左右焦点分别为12,F F ，O 为坐标原点，P 为第二象限内椭圆上的一点，且1230F PF ∠=︒，直线2PF 交y 轴于点M ，若1223F F =，则该椭圆的离心率为（ ）A ．33B ．312C ．512D ．104【答案】B【解析】由题可知23OF =，解得23tan 3MF O ∠=，那么有211230PF F F PF ∠=∠=︒，可知1122PF F F c ==，根据正弦定理求出2PF ，再由212PF PF a +=，可得a,c 之间的关系，确定离心率e 。

2020年普通高校招生考试新高考山东押题预测数学试卷数学全解全析13．30 14．2π 215．16．12π 17．（本小题满分10分） 【解析】（1）由①b ac -=()2223a c b +-=-， 所以222cos 2a c b B ac +-==，由②2cos 22cos 12AA +=得，22cos cos 10A A +-=， 解得1cos 2A=或cos 1A =-（舍），所以3A π=，因为1cos 2B =<-，且()0,B π∈，所以23B π>，所以A B π+>，矛盾. 所以ABC ∆不能同时满足①，②.故ABC ∆满足①，③，④或②，③，④； （2）若ABC ∆满足①，③，④，因为2222cos b a c ac B =+-，所以2862c c =++2420c c +-=. 解得2c =.所以ABC ∆的面积1sin 2S ac B == 若ABC ∆满足②，③，④由正弦定理sin sin a b A B=sin B =，解得sin 1B =， 所以c =ABC ∆的面积1sin 2S bc A ==18．（本小题满分12分）【解析】（1）对任意的n *∈N ，132n nS S +=+，则1133311n n n n S S S S +++==++且113S +=，所以，数列{}1n S +是以3为首项，以3为公比的等比数列；（2）由（1）可得11333n n n S -+=⨯=，31nn S ∴=-.当2n ≥时，()()111313123nn n n n n S a S ---=-=---=⨯，12a =也适合上式，所以，123n n a -=⨯.由于曲线()22:191n n C x a y +-=是椭圆，则190191n n a a ->⎧⎨-≠⎩，即1123192318n n --⎧⨯<⎨⨯≠⎩， n N *∈Q ，解得1n =或2；（3）11333log 3log 3322n n n nn n a a b n --⎛⎫⎛⎫=⨯==⋅⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 01211323333n n T n -∴=⨯+⨯+⨯++⋅L ，①()12131323133n n n T n n -=⨯+⨯++-⋅+⋅L ，②①-②得()()012111312312333333132n n n n nnn T n n -⨯--⋅--=++++-⋅=-⋅=-L ， 因此，()21314n nn T -⋅+=. 19．（本小题满分12分）【解析】（1）证明：因为C 半圆弧»BD上的一点，所以BC BD ⊥. 在ABD ∆中，,E F 分别为,AD BD 的中点，所以112EF AB ==，且//EF AB . 于是在EFC ∆中， 222112EF FC EC +=+==， 所以EFC ∆为直角三角形，且EF FC ⊥. 因为AB BD ⊥，//EF AB ,所以.因为EF FC ⊥，，BD FC F ⋂=，所以EF ⊥平面BCD .又EF ⊂平面CEF ，所以平面CEF ⊥平面BCD .（2）由已知120BFC ∠=o ，以F 为坐标原点，分别以垂直于BD 、向量,FD FE u u u r u u u r所在方向作为x 轴、y 轴、z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系F xyz -，则1,,0)22C ，(0,0,1)E ，(0,1,0)B -，(0,1,2)A -,1=(,1)2CE -u u u r ,(0,1,1)BE =u u u r ,(0,1,1)AE =-u u u r .设平面ACE 的一个法向量为111(,,)x y z =m ,则·0·0AE m CE m ⎧=⎨=⎩u u u v u u u v即111110102y z x y z -=⎧⎪⎨-+=⎪⎩，取11z =,得3=（）m . 设平面BCE 的法向量222(,,)x y z =n ,则·0·0BE n CE n ⎧=⎨=⎩u u u v u u u v即2222201022y z x y z +=⎧⎪⎨--+=⎪⎩，取21z =,得1,1=-）n .所以cos ,||||<>==g m n m n m n ， 又二面角A CE B --为锐角，所以二面角A CE B --.20．（本小题满分12分）【解析】（1）设椭圆C 的焦距为()20c c >，由题知，点,P c ⎛ ⎝⎭，b =则有22212c a ⎝⎭+=，2234c a ∴=，又22222a b c c =+=+，28a ∴=，26c =， 因此，椭圆C 的标准方程为22182x y +=；（2）当AB x ⊥轴时，M 位于x 轴上，且OMAB ⊥，由OMAB =12AOB S OM AB ∆=⋅=； 当AB 不垂直x 轴时，设直线AB 的方程为y kx t =+，与椭圆交于()11,A x y ，()22,B x y ，由22182x y y kx t ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得()222148480k x ktx t +++-=. 122814kt x x k -∴+=+，21224814t x x k-=+，从而224,1414kt t M k k -⎛⎫ ⎪++⎝⎭已知OM =()2222214116k t k+=+.()()()22222212122284814141414kt t AB k x x x x k k k ⎡⎤--⎛⎫⎡⎤=++-=+-⨯⎢⎥ ⎪⎣⎦++⎝⎭⎢⎥⎣⎦Q ()()()222221682114k t k k -+=++. 设O 到直线AB 的距离为d ，则2221t d k=+， ()()()222222221682114114AOBk t t S k k k ∆-+=+⋅++. 将()2222214116k t k+=+代入化简得()()2222219241116AOB k k S k ∆+=+.令2116k p +=，则()()()22222211211192414116AOBp p k k S p k ∆-⎛⎫-+ ⎪+⎝⎭==+211433433p ⎡⎤⎛⎫=--+≤⎢⎥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦.当且仅当3p =时取等号，此时AOB ∆的面积最大，最大值为2. 综上：AOB ∆的面积最大，最大值为2. 21．（本小题满分12分）【解析】（1）所有可能的方式有43种，恰有2人申请A 大学的申请方式有2242C ⋅种，从而恰有2人申请A 大学的概率为224428327C ⋅=； （2）由题意可知，随机变量的可能取值有1、2、3，则()4311327P X ===，()2232434341422327C A C A P X ⋅+===，()234344339C A P X ===. 所以，随机变量X 的分布列如下表所示：()1144651232727927E X =⨯+⨯+⨯=. 22．（本小题满分12分） 【解析】（1）因为()()2112xa f x ex e x =--，所以()x a f x xe xe '=-． 所以()01f =-，()00f '=．所以曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线为1y =-； （2）因为()()xaxaf x xe xe x e e'=-=-，令()0f x '=，得0x =或()0x a a =<．列表如下：所以，函数()y f x =的单调递增区间为(),a -∞和()0,∞+，单调递减区间为(),0a ， 所以，当0x =时，函数()y f x =有极小值()01f =-； （3）当1x ≤时，()0f x <，且()222220af e e e =->->．由（2）可知，函数()y f x =在()0,∞+上单调递增，所以函数()y f x =的零点个数为1．。

2020年山东省新高考预测卷数学 参考答案及解析参考答案：1-4：DCBA 5-8：DBCB 9：AC 10：ABD 11：ACD 12：ACD 13：14 14：22＋2 15：2 23 16：[25－4，25＋4]解析：1、z ＝(2＋i)(3－2i)＝8－i ，所以复数z 在复平面内对应的点的坐标为(8，－1)，故选D.2、由题意得，A ＝{x |y ＝ln(x －1)}＝{x |x >1}，B ＝{x |x 2－4≤0}＝{x |－2≤x ≤2}，所以A ∩B ＝{x |1<x ≤2}，故选C.3、根据线面垂直的判定和性质，可知由后者可推前者，但由前者不能推后者，故“直线l 与平面α内的无数条直线垂直”是“直线l 与平面α垂直”的必要不充分条件，选B.4、∵f (－x )＝f (x )，∴f (x )是偶函数，故排除B ，D.∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝2＞1，∴排除C.故选A.5、法一 设AB →＝a ，AD →＝b ，则a·b ＝0，a 2＝16，AC →＝AD →＋DC →＝b ＋12a ，AE →＝12(AC →＋AB →)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋12a ＋a ＝34a ＋12b ，所以AB →·(AC →＋AE →)＝a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋12a ＋34a ＋12b ＝a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫54a ＋32b ＝54a 2＋32a ·b ＝54a 2＝20，故选D.法二 以A 为坐标原点建立平面直角坐标系(如图所示)，设AD ＝t (t ＞0)，则B (4，0)，C (2，t )，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，12t ，所以AB →·(AC →＋AE →)＝(4，0)·⎣⎢⎡⎦⎥⎤（2，t ）＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3，12t ＝(4，0)·⎝ ⎛⎭⎪⎫5，32t ＝20，故选D.6、由题意知，八卦中含1根与2根阴线的卦各有3种，含0根与3根阴线的卦各有1种，故从8种卦中取2卦的取法总数为C 28种，2卦中恰含4根阴线的取法为C 23＋C 13·1＝6种，所以所求概率P ＝6C 28＝314，故选B.7、由抛物线的定义知|AF |＝p 4＋p2＝3，解得p ＝4，所以抛物线C 的方程为y 2＝8x ，A (1，a )，则a 2＝8，解得a ＝22或a ＝－22(舍去)，所以A (1，22).又焦点F (2，0)，所以直线AF 的斜率为－22，直线AF 的方程为y ＝－22(x －2)，代入抛物线C 的方程y 2＝8x ，得x 2－5x ＋4＝0，所以x A ＋x B ＝5，|AB |＝x A ＋x B ＋p ＝5＋4＝9，故选C.8、根据AB ⊥BC 可知AC 为三角形ABC 所在截面圆O 1的直径，又平面PAC ⊥平面ABC ，△APC 为等边三角形，所以P 在OO 1上，如图所示，设PA ＝x ，则AO 1＝12x ，PO 1＝32x ，所以PO 1＝32x ＝OO 1＋2＝4－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2＋2⇒⎝ ⎛⎭⎪⎫32x －22＝4－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2⇒x 2－23x ＝0⇒x ＝23，所以AO 1＝12×23＝3，PO 1＝32×23＝3，当底面三角形ABC 的面积最大时，即底面为等腰直角三角形时三棱锥P －ABC 的体积最大，此时V ＝13S △ABC ×PO 1＝13×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×23×3×3＝3.9、因为a 2，a 3＋1，a 4成等差数列，所以a 2＋a 4＝2(a 3＋1)，因此，a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝a 1＋3a 3＋2＝a 1＋14，故a 3＝4.又{a n }是公比为q 的等比数列，所以由a 2＋a 4＝2(a 3＋1)，得a 3⎝⎛⎭⎪⎫q ＋1q ＝2(a 3＋1)，解得q ＝2或12.10、由条形统计图知，B —自行乘车上学的有42人，C —家人接送上学的有30人，D —其他方式上学的有18人，采用B ，C ，D 三种方式上学的共90人，设A —结伴步行上学的有x 人，由扇形统计图知，A —结伴步行上学与B —自行乘车上学的学生占60%，所以x ＋42x ＋90＝60100，解得x ＝30，故条形图中A ，C 一样高，扇形图中A 类占比与C 一样都为25%，A 和C 共占约50%，故D 也正确.D 的占比最小，A 正确.11、g (x )＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π8＋π12＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.g (x )的最小正周期为π，选项A 正确；当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，2x ＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，4π3，故g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上有增有减，选项B 错误；g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＝0，故x ＝π12不是g (x )图象的一条对称轴，选项C 正确.当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π6时，2x ＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3，且当2x ＋π3＝2π3，即x ＝π6时，g (x )取最小值－12，D 正确.12、∵φ(x )＝e x·f (x )－g （x ）ex只有一个零点，∴2m (x 2＋1)－e x－（m ＋2）（x 2＋1）2e x＝0只有一个实数根，即(m ＋2)⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1e x 2－2m ·x 2＋1e x ＋1＝0只有一个实数根.令t ＝x 2＋1e x ，则t ′＝（x 2＋1）′e x －（x 2＋1）e x （e x ）2＝－（x －1）2e x≤0，∴函数t ＝x 2＋1ex在R 上单调递减，且x →＋∞时，t →0，∴函数t ＝x 2＋1ex的大致图象如图所示，所以只需关于t 的方程(m ＋2)t 2－2mt ＋1＝0(*)有且只有一个正实根. ①当m ＝2时，方程(*)为4t 2－4t ＋1＝0，解得t ＝12，符合题意；②当m ＝3时，方程(*)为5t 2－6t ＋1＝0，解得t ＝15或t ＝1，不符合题意；③当m ＝－3时，方程(*)为t 2－6t －1＝0，得t ＝3±10，只有3＋10>0，符合题意. ④当m ＝－4时，方程(*)为2t 2－8t －1＝0，得t ＝4±322，只有4＋322>0，符合题意.故选A ，C ，D.13、根据题意得：f (－2)＝(－2)2＝4， 则f (f (－2))＝f (4)＝24－2＝16－2＝14. 14、由题意得2b a ＋1b ＝2b a ＋a ＋2b b ＝2b a ＋ab＋2≥22b a ·ab＋2＝22＋2，当且仅当a ＝2b ＝2－1时，等号成立，所以2b a ＋1b的最小值为22＋2.15、由已知可得(2－12)(1＋a )3＝27，则a ＝2，∴(2－x 2)(1＋ax )3＝(2－x 2)(1＋2x )3＝(2－x 2)(1＋6x ＋12x 2＋8x 3)，∴展开式中含x 2的项的系数是2×12－1＝23.16、由题意可知，直线OP 的方程为y ＝k 1x ，OQ 的方程为y ＝k 2x ，因为OP ，OQ 与圆M 相切，所以|k 1x 0－y 0|1＋k 21＝22，|k 2x 0－y 0|1＋k 22＝22， 分别对两个式子进行两边平方，整理可得k 21(8－x 20)＋2k 1x 0y 0＋8－y 20＝0，k 22(8－x 20)＋2k 2x 0y 0＋8－y 20＝0，所以k 1，k 2是方程k 2(8－x 20)＋2kx 0y 0＋8－y 2＝0的两个不相等的实数根，所以k 1k 2＝8－y 208－x 20.又k 1·k 2＝－1，所以8－y 208－x 20＝－1，即x 20＋y 20＝16.又|TO |＝4＋16＝25，所以|TO |－4≤|TM |≤|TO |＋4，所以25－4≤|TM |≤25＋4. 答案 [25－4，25＋4]17. (1)由题意，⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋5d ＝12，a 1＋17d ＝36，解得d ＝2，a 1＝2. ∴a n ＝2＋(n －1)×2＝2n .(2)选条件①：b n ＝42n ·2（n ＋1）＝1n （n ＋1），S n ＝11×2＋12×3＋…＋1n （n ＋1）＝⎝ ⎛⎭⎪⎫11－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1 ＝1－1n ＋1＝nn ＋1. 选条件②：∵a n ＝2n ，b n ＝(－1)na n ， ∴S n ＝－2＋4－6＋8－…＋(－1)n·2n ， 当n 为偶数时，S n ＝(－2＋4)＋(－6＋8)＋…＋[－2(n －1)＋2n ]＝n2×2＝n ；当n 为奇数时，n －1为偶数， S n ＝(n －1)－2n ＝－n －1.∴S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧n ，n 为偶数，－n －1，n 为奇数.选条件③：∵a n ＝2n ，b n ＝2a n ·a n ，∴b n ＝22n ·2n ＝2n ·4n， ∴S n ＝2×41＋4×42＋6×43＋…＋2n ×4n，① 4S n ＝2×42＋4×43＋6×44＋…＋2(n －1)×4n ＋2n ×4n ＋1，②由①－②得，－3S n ＝2×41＋2×42＋2×43＋…＋2×4n －2n ×4n ＋1＝8（1－4n ）1－4－2n ×4n ＋1＝8（1－4n ）－3－2n ×4n ＋1，∴S n ＝89(1－4n )＋2n 3·4n ＋1.18. (1)法一 因为m ∥n ，所以3a cos C ＝(2b －3c )cos A ， 由正弦定理得3sin A cos C ＝2sin B cos A －3cos A sin C ， 得3sin(A ＋C )＝2sin B cos A ，所以3sin B ＝2sin B cos A ，因为sin B >0，所以cos A ＝32，又A ∈(0，π)，所以A ＝π6. 法二 因为m ∥n ，所以3a cos C ＝(2b －3c )cos A ，易知cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，代入上式得，3a ×a 2＋b 2－c 22ab ＝(2b －3c )×b 2＋c 2－a 22bc，整理得，3bc ＝b 2＋c 2－a 2，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝32，又A ∈(0，π)，所以A ＝π6.(2)由(1)得3bc ＝b 2＋c 2－a 2，又b 2－a 2＝12c 2，所以c ＝23b ，又S △ABC ＝12bc sin A ＝12b ×23b ×12＝332，得b 2＝9，所以b ＝3. 19. (1)E ，F 分别为BP ，CD 的中点，证明如下： 连接ME ，MF ，EF ，∵M ，F 分别为AD ，CD 的中点，∴MF ∥AC .又E 为BP 的中点，且四边形PBCD 为梯形，∴BC ∥EF .∵MF ⊄平面ABC ，AC ⊂平面ABC ， ∴MF ∥平面ABC ，同理EF ∥平面ABC ， 又∵MF ∩EF ＝F ，MF ，EF ⊂平面MEF ， ∴平面MEF ∥平面ABC .(2)由题意知AP ，BP ，DP 两两垂直，以P 为坐标原点，PB ，PD ，PA 所在的直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，∵在等腰梯形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝1，AD ＝3，BP ⊥AD ，∴AP ＝1，BP ＝1，PD ＝2， ∴M ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1，12，P (0，0，0)，C (1，1，0)，A (0，0，1)，PC →＝(1，1，0)，PM →＝⎝⎛⎭⎪⎫0，1，12.设平面MPC 的法向量为n 1＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧n 1·PC →＝0，n 1·PM →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝0，y ＋12z ＝0，令z ＝－2，则y ＝1，x ＝－1，∴n 1＝(－1，1，－2)为平面MPC 的一个法向量. 同理可得平面PAC 的一个法向量为n 2＝(－1，1，0). 设二面角M －PC －A 的平面角为θ，由图可知θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，则cos θ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪n 1·n 2|n 1|·|n 2|＝26×2＝33.∴二面角M －PC －A 的余弦值为33. 20. (1)根据表中数据，描点如图：(2)由已知数据得t －＝ 1＋2＋3＋4＋5＋66＝3.5，y －＝3＋5＋8＋11＋13＋146＝9，∑6i ＝1t i y i ＝3＋10＋24＋44＋65＋84＝230，∑6i ＝1t 2i ＝1＋4＋9＋16＋25＋36＝91， b ^＝∑6i ＝1t i y i －6t － y－∑6i ＝1t 2i －6t－2＝230－6×3.5×991－6×3.52≈2.34，a ^＝y －－b ^ t －＝9－2.34×3.5＝0.81， 所以y 关于t 的线性回归方程为y ^＝2.34t ＋0.81.(3)由(2)可知，当t ＝1时，y ^1＝3.15；当t ＝2时，y ^2＝5.49；当t ＝3时，y ^3＝7.83；当t＝4时，y ^4＝10.17；当t ＝5时，y ^5＝12.51；当t ＝6时，y ^6＝14.85.与年利润数据y i 对比可知，满足y ^i －y i <0的数据有3个，所以X 的所有可能取值为0，1，2，则P (X ＝0)＝C 23C 26＝15，P (X ＝1)＝C 13C 13C 26＝35，P (X ＝2)＝C 23C 26＝15，X 的分布列为数学期望E (X )＝0×15＋1×35＋2×5＝1.21. (1)由椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的右焦点为(3，0)，知a 2－b 2＝3，即b 2＝a 2－3，则x 2a 2＋y 2a 2－3＝1，a 2>3.又椭圆过点M (－2，1)，∴4a 2＋1a 2－3＝1，又a 2>3，∴a 2＝6.∴椭圆Γ的标准方程为x 26＋y 23＝1.(2)设直线AB 的方程为y ＝k (x －1)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 26＋y 23＝1，y ＝k （x －1）得x 2＋2k 2(x －1)2＝6，即(1＋2k 2)x 2－4k 2x ＋2k 2－6＝0，∵点N (1，0)在椭圆内部，∴Δ>0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝4k21＋2k2， ①x 1x 2＝2k 2－62k 2＋1， ②则t ＝MA →·MB →＝(x 1＋2)(x 2＋2)＋(y 1－1)(y 2－1) ＝x 1x 2＋2(x 1＋x 2)＋4＋(kx 1－k －1)·(kx 2－k －1) ＝(1＋k 2)x 1x 2＋(2－k 2－k )(x 1＋x 2)＋k 2＋2k ＋5 ③， 将①②代入③得，t ＝(1＋k 2)·2k 2－62k 2＋1＋(2－k 2－k )·4k22k 2＋1＋k 2＋2k ＋5，∴t ＝15k 2＋2k －12k 2＋1，∴(15－2t )k 2＋2k －1－t ＝0，k ∈R ， 则Δ1＝22＋4(15－2t )(1＋t )≥0，∴(2t －15)(t ＋1)－1≤0，即2t 2－13t －16≤0， 由题意知t 1，t 2是2t 2－13t －16＝0的两根， ∴t 1＋t 2＝132.22.(1) ∵a ＝0时，∴f (x )＝e x －ln x ，f ′(x )＝e x－1x(x >0)，∴f (1)＝e ，f ′(1)＝e －1，∴函数f (x )的图象在(1，f (1))处的切线方程为：y －e ＝(e －1)(x －1)，即(e －1)x －y ＋1＝0.(2)证明 ∵f ′(x )＝ex ＋a－1x(x >0)，设g (x )＝f ′(x )，则g ′(x )＝e x ＋a＋1x2>0，∴g (x )是增函数，∵ex ＋a>e a ，∴由e a >1x⇒x >e －a，∴当x >e －a时，f ′(x )>0； 若0<x <1⇒ex ＋a<ea ＋1，由ea ＋1<1x⇒x <e －a －1，∴当0<x <min{1，e －a －1}时，f ′(x )<0，故f ′(x )＝0仅有一解，记为x 0，则当0<x <x 0时，f ′(x )<0，f (x )递减；当x >x 0时，f ′(x )>0，f (x )递增；∴f (x )min ＝f (x 0)＝e x 0＋a －ln x 0，而f ′(x 0)＝e x 0＋a －1x 0＝0⇒e x 0＋a ＝1x 0⇒a ＝－ln x 0－x 0，记h (x )＝ln x ＋x ， 则f (x 0)＝1x 0－ln x 0＝h ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 0，a >1－1e ⇔－a <1e－1⇔h (x 0)<h ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e，而h (x )显然是增函数， ∴0<x 0<1e ⇔1x 0>e ，∴h ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 0>h (e)＝e ＋1. 综上，当a >1－1e时，f (x )>e ＋1.。

2020年高考临考押题卷（六）数学（山东卷）（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

写在本试卷上无效。

3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、单选题1．设集合(){}30S x x x =-≤，1112x T x -⎧⎫⎪⎪⎛⎫=<⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭，则S T =U ( )A ．[)0,+∞B ．(]1,3C ．[)3,+∞D ．(](),01,-∞+∞U 【答案】D【解析】Q (){}30S x x x =-≤{|3x x =≥或}0x ≤， 1112x T x -⎧⎫⎪⎪⎛⎫=<⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭{}|1x x =>，{|0S T x x ∴⋃=≤或}1x >(](),01,=-∞⋃+∞，故选D.2．设312iz i-=+，z 的虚部是（ ） A ．75i B ．75C ．75i -D ．75-【答案】B 【解析】因为()()()()31231717=121212555i i i i z i i i i ----===-++- 所以z 的虚部是75故选：B3．三位女歌手和她们各自的指导老师合影，要求每位歌手与她们的老师站一起，这六人排成一排，则不同的排法数为（ ） A ．24 B ．48C ．60D ．96【答案】B【解析】先将三位女歌手和她们各自的指导老师捆绑在一起，记为三个不同元素进行全排，再将各自女歌手和她的指导老师进行全排，则不同的排法数3222322248N A A A A ==，4．在△ABC 中,AB c AC b ==u u ur r u u u r r ,若点D 满足3,BC BD =-u u u r u u u r 则AD =u u ur （ ）A ．4133c b -r rB ．1334c b -r rC ．4133c b -+r rD ．3143c b -+r r【答案】A【解析】ABC ∆中，点D 满足3BC BD =-u u u r u u u r ，AB c =u u ur r ，AC b =u u u r r ，则1141()33333413AD AB BD AB BC AB AC c A AC b B AB =+=-=--=--=r r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ， 5．关于函数tan |||tan |y x x =+有下述四个结论：①y 是偶函数；②y 在(,0)2π-上是减函数；③y 在[,]-ππ上有三个零点；④y 的最小值是0.其中所有正确结论编号是（ ）A ．①②④B ．②③C ．①③D ．①④【答案】A【解析】作出函数()tan |||tan |f x x x =+的图象如图，由图可知，()()tan |||tan |tan |||tan |()f x x x x x f x -=-+-=+=，故()f x 是偶函数，故①正确；()f x 在区间(,0)2π-上单调递减，故②正确；y 在[,]-ππ上有无数个零点，故③错误；y 的最小值是0.，故④正确．故选：A ．6．已知函数()422(1)f x x ax a x =-++-为偶函数，则()f x 的导函数()f x '的图象大致为( )A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】函数()()4221f x x ax a x =-++-为偶函数，则()()f x f x -=，即：()()42422121x ax a x x ax a x -+--=-++-，据此可得：10,1a a -=∴=，函数的解析式为：()422f x x x =-+，其导函数()3'44f x x x =-+，二阶导函数()()22''124431f x x x =-+=--，()'f x 在3,3⎛-∞- ⎝⎭ 递减，在3333⎛- ⎝⎭递增，在3⎫∞⎪⎪⎝⎭递减，所以 函数()'f x 的极大值为：33338'44329f =-=<⎝⎭， 观察所给的函数图象，只有A 选项符合题意.7．已知1F 、2F 分别是双曲线()222210,0y x a b a b-=>>的上、下焦点，过点2F 的直线与双曲线的上支交于点P ，若过原点O 作直线2PF 的垂线，垂足为M ，OM a =，23PMF M=，则双曲线的渐近线方程为（ ）A ．53y x =±B ．35y x =±C ．43y x =±D ．34y x =?【答案】D【解析】由题意，在直角2OMF ∆中，可得2F M b ==，所以21cos b PF F c∠=， 又因为23PMF M=，所以3PM b =，所以24PF b =，且142PF b a =-， 在12PF F ∆中，由余弦定理可得222212121212cos 2PF F F PF b PF F c PF F F +-∠==⨯⨯()()()2224242242b c b a b c+--=⨯⨯，代入222+=a b c ，解得34a b =， 所以双曲线的渐近线方程为34y x =?. 8．已知k ∈R ，函数()()2322,11,1x x kx k x f x x k e e x ⎧-+≤⎪=⎨--+>⎪⎩，若关于x 的不等式()0f x ≥在x ∈R 上恒成立，则k 的取值范围为（ ）A ．20,e ⎡⎤⎣⎦B ．22,e ⎡⎤⎣⎦C ．[]0,4D ．[]0,3【答案】D【解析】（1）当1x ≤时,()222f x x kx k =-+，∴()f x 的对称轴为x k =,开口向上①当1k <时,()f x 在(),k -∞递减,(),1k 递增 ∴当x k =时,()f x 有最小值,即()0f k ≥,∴01k ≤< ②当1k ³时,()f x 在(),1-∞上递减 ∴当1x =时,()f x 有最小值,即()10f ≥ ∴10≥显然成立,此时1k ³， ∴当1x ≤时, 0k ≥.（2）当1x >时,()()31xf x x k e e =--+,∴()()xf x x k e '=-①当1k ≤时,()f x 在()1,+∞上递增∴()()310f x f ke e >=-+≥,∴2k e ≤,∴此时1k ≤.②当1k >时,()f x 在()1,k 递减,()k +∞递增∴()()30kf x f k e e ≥=-+≥,∴3k ≤,∴此时13k <≤∴当1x >时, 3k ≤. 综上：0k ≤≤3. 二、多选题9．下列判断正确的是（ ） A ．若随机变量ξ服从正态分布()21,N σ，()40.79P ξ≤=，则()20.21P ξ≤-=；B ．已知直线l ⊥平面α，直线//m 平面β，则“//αβ”是“l m ⊥”的充要条件；C ．若随机变量ξ服从二项分布：14,4B ξ⎛⎫⎪⎝⎭:，则()1E ξ=； D ．5122x y ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中含23x y 项的系数为20. 【答案】AC【解析】对于A ，随机变量ξ服从正态分布2(1,)N σ，所以图象关于1x =对称，根据(4)0.79P ξ=…，可得(4)1(4)0.21P P ξξ=-=厔， 所以(2)(4)0.21P P ξξ-==剠，故A 正确； 对于B ，直线l ⊥平面α，直线//m 平面β，若//αβ，则l m ⊥是真命题；若l m ⊥，则//αβ是假命题； 所以“//αβ”是“l m ⊥”的充分不必要条件”， 故B 错误；对于C ，随机变量ξ服从二项分布：1~(4,)4B ξ，则1()414E ξ=⨯=，故C 正确；对于D ，若5122x y ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则展开式的通项为()515122rrr r T C x y -+⎛⎫=- ⎪⎝⎭，令3r =，则()232334502212T y x y C x ⎪=⎛-⎫=- ⎝⎭，故D 错误． 10．已知0a >，0b >，给出下列四个不等式，其中正确的不等式为（ ）A ．a b++≥ B ．()114a b a b ⎛⎫++≥⎪⎝⎭；C．124aa+≥-+；D22a b≥+【答案】ABCD【解析】对A，0,0,a b a b>>∴+≥≥= Q，当且仅当a b=⎧⎪⎨=⎪⎩，即a b==时，等号成立.故A正确；对B，()110,0,224b aa b a ba b a b⎛⎫>>∴++=++≥+=⎪⎝⎭Q，当且仅当b aa b=，即a b=时等号成立. 故B正确；对C，10,024a aa>∴+>≥-+Q，故C正确；对D，()()()()()()2222233220,0,0a b a b ab a b a b a b a b a ab b>>∴+-+=--=-++≥Q，()()()()2222222222a ba b ab a b a b a bab+∴+≥+∴≥+≥+，，.故D正确.11．将曲线()23sin sin2y x x xππ⎛⎫=-+⎪⎝⎭上每个点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，得到()g x的图象，则下列说法正确的是（）A．()g x的图象关于直线23xπ=对称B．()g x在[]0,π上的值域为30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦C．()g x的图象关于点,06π⎛⎫⎪⎝⎭对称D．()g x的图象可由1cos2y x=+的图象向右平移23π个单位长度得到【答案】ABD【解析】()231cos2sin sin cos22xy x x x x xππ-⎛⎫=-+=+⎪⎝⎭1112cos2sin22262x x xπ⎛⎫=-+=-+⎪⎝⎭.()1sin 62g x x π⎛⎫∴=-+ ⎪⎝⎭，对于A ，当23x π=时，62x ππ-=，()g x ∴关于直线23x π=对称，A 正确；对于B ，当[]0,x π∈时，7,666x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，1sin ,162x π⎛⎫⎡⎤∴-∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，()30,2g x ⎡⎤∴∈⎢⎥⎣⎦，B 正确； 对于C ，当6x π=时，06x π-=，162g π⎛⎫= ⎪⎝⎭，()g x ∴关于点1,62π⎛⎫⎪⎝⎭对称，C 错误； 对于D ，1cos 2y x =+向右平移23π个单位得：21cos 32y x π⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭cos 62x ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭()11sin 262x g x π⎛⎫+=-+= ⎪⎝⎭，D 正确. 12．如图，已知六棱锥P ABCDEF -的底面是正六边形，PA ⊥平面ABC ，2PA AB =，则下列结论中正确的是（ ）A ．PB AE ⊥B ．平面ABC ⊥平面PBC C ．直线//BC 平面PAED ．45PDA ∠=︒【答案】AD【解析】对于A ，PA ⊥Q 平面ABC ，AE ⊂平面ABC ，PA AE ∴⊥， 又底面ABCDEF 为正六边形，AE AB ∴⊥，AB PA A ⋂=Q ，,AB PA ⊂平面PAB ，AE ∴⊥平面PAB ，又PB ⊂平面PAB ，PB AE ∴⊥，A 正确；对于B ，PA ⊥Q 平面ABC ，PA ⊂平面PAE ，∴平面PAE ⊥平面ABC ， 同理可得：平面PAB ⊥平面ABC ，则在五棱锥P ABCDE -中，只有侧面PAE ､侧面PAB 与底面ABC 垂直，B 错误； 对于C ，//BC AD Q ，AD ⋂平面PAE A =，BC ∴与平面PAE 也相交，C 错误； 对于D ，2PA AB =Q ，底面ABCDEF 为正六边形，22AD BC AB ∴==，∴在Rt PAD V 中，PA AD =，45PDA ∴∠=o ，D 正确.三、填空题13．过原点()0,0作函数()322f x x x =+图象的切线，则切线方程为______．【答案】0y =或0x y +=【解析】()322f x x x =+,则2()34f x x x '=+,设切点为32000(,2)x x x +,则切线的斜率2000()34k f x x x '==+, 故切线方程为:3200(2)y x x -+=2000(34)()x x x x +-, 因为切线过点(0,0),所以3200(2)x x -+=2000(34)()x x x +-, 即320002200x x x +=⇒=或01x =-,故当00x =时,切线方程为0y =, 当01x =-时,切线方程为0x y +=, 14．若二项式（x ﹣）6（a ＞0）的展开式中x 3的系数为A ，常数项为B ，若B=4A ，则a 的值是 _________ ．【答案】2 【解析】 展开式的通项为令得r=2， 所以A= 令得r=4， 所以B=∵B=4A ，即=4，解得a=215．公元前3世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯（Apollonius ）在《平面轨迹》一书中，曾研究了众多的平面轨迹问题，其中有如下结果：平面内到两定点距离之比等于已知数的动点轨迹为直线或圆.后世把这种圆称之为阿波罗尼斯圆. 已知直角坐标系中(20)A -，，0(2)B ，，动点P 满足(0)PA PB λλ=>，若点P 的轨迹为一条直线，则λ=______；若2λ=，则点P 的轨迹方程为_______________；【答案】1 22332040x y x +-+=【解析】设(),P x y ，由222PA PB PA PB λλ=⇒=，()()()2222221141440x yx λλλλ-+-+++-=，1λ=时，轨迹方程为0x =，表示直线，2λ=时，轨迹方程为22332040x y x +-+=，16．函数y=f （x ），x ∈[1，+∞），数列{a n }满足()*n a f n n N ，=∈，①函数f （x ）是增函数； ②数列{a n }是递增数列．写出一个满足①的函数f （x ）的解析式______．写出一个满足②但不满足①的函数f （x ）的解析式______． 【答案】f （x ）=x 2 ()24()3f x x =-【解析】由题意可知：在x ∈[1，+∞）这个区间上是增函数的函数有许多，可写为：f （x ）=x 2．第二个填空是找一个数列是递增数列，而对应的函数不是增函数，可写为：()243f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭． 则这个函数在[1，43]上单调递减，在[43，+∞）上单调递增， ∴()243f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在[1，+∞）上不是增函数，不满足①． 而对应的数列为：243n a n ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在n ∈N*上越来越大，属递增数列．四、解答题17．已知a ，b ，c 分别为锐角ABC V 内角A ，B ，C 的对边，2sin a B =. （1）求角A ；（2）若6a =，求ABC V 面积的最大值.【答案】（1）3A π=（2）【解析】（1）由题意，在ABC V 中，因为2sin a B =根据正弦定理，可得2sin sin A B B ，因为ABC V 是锐角三角形，可得sin 0B >，所以2sin A =sin A =， 又由三角形是锐角三角形，则(0,)2A π∈，所以3A π=.（2）由（1）和三角形的面积公式，可得1sin 24ABC S bc A ==△， 由余弦定理得2221236cos 222b c a bc A bc bc+--==≥， 所以036bc <≤（当且仅当6b c ==时等号成立），所以ABC S V 36=18．已知各项均为正数的数列{}n a ，满足()22*1120n n n n a a a a n N++--=∈，且12a=．()1求数列{}n a 的通项公式；()2设12n n n b a log a =⋅，若nb 的前n 项和为n S ，求n S ；()3在()2的条件下，求使1250n n S n ++⋅>成立的正整数n 的最小值．【答案】（1）2nn a =； （2）()n 11n 22+-⋅-； （3）5.【解析】()2211120n n n n a a a a Q ++--=，()()1120n n n n a a a a ++∴+-=，Q 数列{}n a 的各项均为正数，10n n a a +∴+>， 120n n a a +∴-=，即()*12n n a a n N+=∈，∴数列{}n a 是以2为公比的等比数列．12a =Q ，∴数列{}n a 的通项公式2n n a =；()2由()1及12n n n b a log a =得，2n nb n =-⋅，n 12n S b b b =++⋯+Q ，23n 22232n 2n S ∴=--⋅-⋅-⋯-⋅ ①()2345n n 1n 2S 2223242n 12n 2+∴=--⋅-⋅-⋅-⋯--⋅-⋅ ②-②①得，2345n n 1n S 222222n 2+=+++++⋯+-⋅()()n n 1n 1212n 21n 2212++-=-⋅=-⋅--；()3要使n 1n S n 250++⋅>成立，只需n 12250+->成立， 即n 1252+>，n 5∴≥．∴使n 1n S n 250++⋅>成立的正整数n 的最小值为5．19．如图 1，在直角梯形ABCD 中， //,AB CD AB AD ⊥，且112AB AD CD ===．现以AD 为一边向外作正方形ADEF ，然后沿边AD 将正方形ADEF 翻折，使ADEF 平面与平面ABCD 垂直， M 为ED 的中点，如图 2．（1）求证： //AM 平面BEC ； （2）求证： BC ⊥平面BDE ； （3）求CD 与平面BEC 所成角的正弦值.【解析】(1)证明：取中点，连结.在中，分别为的中点，所以,且. 由已知,所以四边形为平行四边形.所以. 又因为平面,且平面，所以平面.(2)证明：在正方形中， ,又因为平面平面，且平面ADEF I 平面ABCD AD =, 所以平面.所以在直角梯形中，,可得. 在中，.所以. 所以平面.(3)作于点，连接,则为所求的角由(2)知，所以,又因为平面又.所以，.20．已知椭圆C ：()222210y x a b a b +=>>的短轴长为2，且椭圆C 过点212⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭. （1）求椭圆C 的方程；（2）设直线l 过定点1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭，且斜率为1k -，若椭圆C 上存在A ，B 两点关于直线l 对称，求k 的取值范围.【解析】（1）∵椭圆C 的短轴长为2，∴22b =，即1b =.又点212⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭在C 上，∴21112a +=，∴22a =，∴椭圆C 的方程为2212y x +=.（2）由题意设直线AB 的方程为()0y kx mk =+≠，()11,A x y ，()22,B x y ，由2212y x y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消去y 得，()2222220k x kmx m +++-=， ∴>0∆，即222m k -<，① 且1222kmx x k 2+=-+， ∴线段AB 中点的横坐标022km x k =-+，纵坐标00222my kx m k =+=+， 即线段AB 的中点为222,22km m k k ⎛⎫-⎪++⎝⎭， 将222,22km m k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭代入直线112y x k ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭可得，222k m k+=-，② 由①，②可得，223k >，∴,33k ⎛⎛⎫∈-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭U . 21．已知函数()(2)(2)x f x ax e e a =---. （Ⅰ）讨论()f x 的单调性；（Ⅱ）当1x >时，()0f x >，求a 的取值范围.【解析】（1）()()2x f x ax a e =-+'，当0a =时，()20xf x e '=-<，∴()f x 在R 上单调递减.当0a >时，令()0f x '<，得2a x a -<；令()0f x '>，得2ax a->. ∴()f x 的单调递减区间为2,a a -⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，单调递增区间为2,a a -⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭. 当0a <时，令()0f x '<，得2a x a ->；令()0f x '>，得2ax a-<. ∴()f x 的单调递减区间为2,a a -⎛⎫+∞⎪⎝⎭，单调递增区间为2,a a -⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭. （2）当0a =时，()f x 在()1,+∞上单调递减，∴()()10f x f <=，不合题意.当0a <时，()()()()22222222220f a e e a a e e e e =---=--+<，不合题意.当1a ≥时，()()20xf x ax a e '=-+>，()f x 在()1,+∞上单调递增，∴()()10f x f >=，故1a ≥满足题意. 当01a <<时，()f x 在21,a a -⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在2,a a -⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递增，∴()()min 210a f x f f a -⎛⎫=<=⎪⎝⎭，故01a <<不满足题意.综上，a 的取值范围为[)1,+∞.22．有一片产量很大的水果种植园，在临近成熟时随机摘下某品种水果100个，其质量（均在l 至11kg ）频数分布表如下（单位: kg ）：以各组数据的中间值代表这组数据的平均值，将频率视为概率.（1）由种植经验认为，种植园内的水果质量Z 近似服从正态分布()2,N Sμ，其中μ近似为样本平均数2,Z S 近似为样本方差222.1S ≈.请估算该种植园内水果质量在()4,8.2内的百分比；（2）现在从质量为[1,3),[3,5),[5,7) 的三组水果中用分层抽样方法抽取14个水果，再从这14个水果中随机抽取3个．若水果质量[1,3),[3,5),[5,7)的水果每销售一个所获得的的利润分别为2元，4元，6元，记随机抽取的3个水果总利润为ξ元，求ξ的分布列及数学期望. 附：Z ()2,N Sμ~，则()0.6826,(22)0.9544P S Z S P S Z S μμμμ-<<+=-<<+=.【解析】（1）20.140.1560.4580.2100.1 6.1Z =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= ，()2,Z N Sμ: ，μ近似为Z ，222.1S ≈，由正态分布P(4Z 8.2)P(μσZ μσ)0.6826<<=-<<+=，所以该种植园内水果质量在()4,8.2内的百分比为68.26%. （2）ξ的可能取值为：8,10,12,14,16，18.()2123314C C 3P ξ8C 364===；()21122923314C C C C 15P ξ10C 364+===；()11132393314C C C C 55P ξ12C 364+===； ()21123929314C C C C 99P ξ14C 364+===； ()1239314C C 108P ξ16C 364===； ()39314C 84P ξ18C 364=== ；分布列为E ξ15364364364364364364364=+++++==.。