考研数学利用洛比达法则求函数极限方法探讨

使用洛必达法则求极限的技巧【摘要】使用洛必达法则求极限,其特点就是通过求极限号下分式的分子、分母的导数(一次或多次)的方法达到消去未定因素的目的。

本文介绍了在使用洛必达法则求极限时的若干方法和技巧。

【关键词】分离因式变元替换洛比达法则无穷小等价替换1.分离因式并求解其极限。

注意:在使用洛比达法则的时候要注意分离因式,先将具有非零极限的因子提到极限号外面,及时求解其极限,再对余下未定式求极限。

例1.解:原式=2.先作变元替换,再用洛比达法则求解。

注意:当直接就利用洛比达法则求解比较困难时,可以考虑是否可以先利用变量替换后再来利用洛比达法则求解。

例2.求解:分析:可以令,进而简化求解过程。

若直接利用洛比达法则则会使计算更复杂,这时应该考虑先用变量替换等其它方法处理,如当所求极限的函数中含有时,可以先作变量替换;如果当含有反三角函数的时候就可以先令该三角函数等于一个新的变量。

小结:若直接利用洛比达法则则会使计算更复杂,这时应该考虑先用变量替换等其它方法处理,如当所求极限的函数中含有时,可以先作变量替换;如果当含有反三角函数的时候就可以先令该三角函数等于一个新的变量。

3.以及型未定式必须先转换成了或者型未定式求解。

例3.求解:小结:当遇到以及型未定式时,一般要进行分子分母有理化才可以构造出或者型未定式,以便直接利用洛比达法则求解。

4.先取对数,再利用洛比达法则求解。

例4.求解注意:对于型未定式,它们为幂指函数的极限,常常利用此方法求解。

解:令,则对于与型的数列极限不能直接利用洛比达法则但是可以间接的使用洛比达法则进行求解。

例5.求解:解:因为:小结:解的是一个数列时,因为数列是没有导数的,不能直接使用洛比达法则。

但是由数列极限和函数极限的关系我们可以知道:离散变量n的极限可以作为连续变量x的极限,其所求的值也就是数列极限的值。

6.多次使用洛比达法则求解。

注意:只要被球函数满足洛比达法则的使用条件,就可以连续多次使用洛比达法则,直到求出极限或者得出不符合洛比达法则条件的情况为止。

洛必达法则在极限计算中的应用在数学领域中，洛必达法则是一种用于计算极限的重要工具。

它是由法国数学家洛必达于1696年提出的，可以解决一些复杂极限的计算问题。

本文将探讨洛必达法则在极限计算中的应用。

1. 洛必达法则的基本原理洛必达法则使用了导数的概念。

当我们计算一个极限时，如果直接代入极限值得到的结果是无法确定的，我们可以使用洛必达法则来求解。

具体原理如下：假设有两个函数f(x)和g(x)，在某个点a处，它们的极限都存在，且g'(a)不等于0。

如果f(x)和g(x)在点a处的极限都为0，或者同时趋于正无穷或负无穷，那么f(x)/g(x)的极限等于f'(x)/g'(x)，即lim (x→a) f(x)/g(x) = lim (x→a) f'(x)/g'(x)此公式就是洛必达法则的基本原理。

2. 洛必达法则的应用示例接下来，我们将通过几个具体的示例来展示洛必达法则在极限计算中的应用。

示例一：求极限lim (x→0) (sin(x)/x)解：直接代入0得到的结果是未定的，无法确定极限的值。

我们可以使用洛必达法则：令 f(x) = sin(x)，g(x) = x，则f(0) = 0，g(0) = 0，并且在0点处f(x)和g(x)的极限都存在。

对f'(x)和g'(x)分别求导得到 f'(x) = cos(x)，g'(x) = 1。

再代入洛必达法则公式，得到：lim (x→0) (sin(x)/x) = lim (x→0) (cos(x)/1) = cos(0) = 1所以，极限lim (x→0) (sin(x)/x) 的值为1。

示例二：求极限lim (x→∞) (e^x/x^n)，其中n为正整数。

解：当x趋于无穷时，分子e^x是以指数形式增长，而分母x^n是以幂函数形式增长。

根据洛必达法则，我们可以先对分子和分母同时求导。

令 f(x) = e^x，g(x) = x^n，则f'(x) = e^x，g'(x) = nx^(n-1)。

解析洛必达法则在复变函数极限中的应用【摘要】有关复变函数极限问题的研究一直以来都是备受高等数学研究领域关注与重视的问题之一。

同时在求解，并针对复变函数极限问题进行处理的过程当中，难度也十分的大，这就要求相关人员借助于对洛必达法则的合理应用，降低复变函数极限处理难度，提高处理精确性。

基于此，本文以洛必达法则为研究对象，分别从复变函数极限计算、孤立奇点类型判定以及未定式极限转化入手，详细研究了洛必达法则在复变函数极限研究中的应用情况，旨在于引起关注与重视。

【关键词】洛必达法则；复变函数；极限；计算；孤立奇点；未定式；分析有关复变函数极限问题的研究一直以来都是备受高等数学研究领域关注与重视的问题之一。

同时在求解，并针对复变函数极限问题进行处理的过程当中，难度也十分的大，这就要求相关人员借助于对洛必达法则的合理应用，降低复变函数极限处理难度，提高处理精确性。

本文结合实例，在分析应用原理的基础之上，总结相关解题思路，对于求解正确答案而言至关重要。

现做详细分析与说明。

一、洛必达法则在复变函数极限计算中的应用分析在有关复变函数取值的计算过程当中，借助于对洛必达法则的合理应用，能够使一部分不太容易解决，或者是计算步骤过于繁琐的问题变得更加的简单，解题思路更加清晰，计算时间更短，且计算失误可得到有效控制。

可以说是洛必达法则在应用于复变函数极限过程中最主要的一点表现。

现举例对其进行说明。

例一：求解ln（1+a）-a/（cosa-1）在对该式进行分析的过程当中，应当予以确定的基本解题思路在于：首先需要对“ln（1+a）-a”这一式进行变形处理，通过与“（cosa-1）”这一部分的配合，将cos转化为sin。

在此基础之上，以代入“1+a”的方式，再次将sin格式转变成为cos格式，最终通过对基本定理的合理应用，达到高速解出正确答案的目的。

此过程中，主要分两个步骤对该计算式进行处理。

具体如下：二、洛必达法则在复变函数孤立奇点类型中的应用分析在有关复变函数研究过程当中，对于a0而言，其作为f（a）可去奇点、可去极点以及本性奇点的充分必要条件主要涉及到以下两个方面的内容：①f（a）应当属于有限复常数数值；②f（a）倾向于无穷大；③f（a）并不存在。

洛必达法则求极限方法洛必达法则是一种在数学中用于求某变量极限的方法，它是求极限的经典方法，并得到了广泛应用。

下面我们就来介绍这种求极限的方法。

洛必达法则的基本原理是，如果存在某个变量x，满足x的增长速度趋于某个数字a，当x趋向于某一值时，其对应的极限就等于a。

换言之，用洛必达法则我们可以根据x增长速度趋于a时求出它的极限。

根据洛必达法则，我们可以将求极限的问题分为三步：1、首先，选取一个正数Δx，求出在Δx给定的情况下，极限值a的大小;2、然后，再将Δx取更小的值，比如Δx/2，求出新的极限值;3、最后，不断缩小Δx，最终Δx等于0时，得到的极限值即为最终结果。

洛必达法则可以用来求几乎所有表达式的极限，包括单个变量的函数极限和多个变量的函数极限，但前提是要求出极限的变量是逐步变化的。

比如说我们想要求出函数f(x) = x^2 + 10x + 20在x趋于4时的极限，则可以如下操作：1、首先选取Δx = 0.1，令x = 4 + 0.1及x = 4 - 0.1，得出f(4+0.1)=60.21，f(4-0.1)=55.79，即此时的极限值为58;2、接着选取Δx = 0.01，令x = 4 + 0.01及x = 4 - 0.01，得出f(4+0.01)=58.08，f(4-0.01)=57.92，即此时的极限值为58;3、最后再选取Δx = 0.001，令x = 4 + 0.001及x = 4 - 0.001，得出f(4+0.001)=57.998，f(4-0.001)=58.002，即此时的极限值也为58，因而，最终这里的极限值等于58，即函数f(x)在x趋于4时的极限值也等于58。

由此可见，洛必达法则是一种很实用的求极限方法，它能够快速有效地求出函数的极限值。

因此，在许多数学应用中都会用到这一方法。

二元函数求极限的洛必达法则解析洛必达法则是一种用于求解二元函数极限的有效方法。

在这个方法中，我们可以将函数表示为两个单变量函数的比值，并通过对这些函数应用洛必达法则来求解极限。

下面将对洛必达法则进行详细解析。

在进行洛必达法则的求解之前，我们首先需要确定极限函数的形式，即将函数表示为两个单变量函数的比值。

设函数为f(x)和g(x)，则极限函数的形式可以表示为lim(x→a) f(x)/g(x)。

在这种情况下，如果f(x)和g(x)在x=a的附近连续并满足一定的条件，那么可以将其化简为lim(x→a) f'(x)/g'(x)。

为了使用洛必达法则，我们需要满足以下条件：1. 两个函数在x=a的附近连续；2. 在x=a附近，g(x)不等于0且g'(x)也不等于0；3. 当x趋近于a时，函数f(x)和g(x)的极限存在。

在满足这些条件的前提下，我们可以按照以下步骤使用洛必达法则求解极限：Step 1: 计算f'(x)和g'(x)的极限。

这些极限可以通过直接求导或应用其他求导规则来计算。

Step 2: 计算lim(x→a) f'(x)/g'(x)。

如果这个极限存在，那么它就是lim(x→a) f(x)/g(x)的极限。

Step 3: 如果极限lim(x→a) f'(x)/g'(x)不存在，那么重复Step 1和Step 2，直到找到一个极限。

通过洛必达法则，我们可以更容易地求解二元函数的极限。

这个方法不仅可以简化计算过程，还可以提供更准确的结果。

然而，需要注意的是，洛必达法则并不适用于所有情况。

有些函数无法通过洛必达法则求解其极限，因此在使用该方法时需要注意。

总结起来，洛必达法则是一种用于求解二元函数极限的有效方法。

通过将函数表示为两个单变量函数的比值，并应用洛必达法则，我们可以简化计算过程并获得更准确的结果。

然而，需要注意的是，洛必达法则并不适用于所有情况，因此在使用该方法时需要谨慎。

浅析洛必达法则在考研数学中的运用洛必达法则在考研数学中的重要性不可忽视。

这个法则为求解函数的极限提供了另一种有效的方法，也是数学分析中的一种重要工具。

掌握洛必达法则不仅可以帮助考生解决各类极限问题，还可以在求解函数的导数、积分等问题中发挥作用。

本文将通过介绍洛必达法则的基本概念、运用及技巧，帮助考生更好地理解并掌握这一重要工具。

洛必达法则，也称为洛必达定理，是指当一个函数趋近于无穷大时，如果函数的倒数也趋近于无穷大，则函数的商也趋近于无穷大。

这个法则是由法国数学家洛必达在他的著作《无穷小分析》中首次提出的。

简单来说，洛必达法则就是求导数的商的极限。

在考研数学中，洛必达法则的应用非常广泛。

在判断极限问题中，考生可以通过使用洛必达法则来验证极限是否存在，并求出其具体值。

例如，对于函数f(x)在x=0处趋近于无穷大，且f'(x)在x=0处也存在，则可以使用洛必达法则来求lim x→0 f(x) / g(x)的值。

在求极限问题中，考生可以利用洛必达法则来对函数进行求导或积分，从而得到函数的极限。

在讨论函数的连续性问题中，洛必达法则也发挥了重要作用。

例如，对于函数f(x)在x=0处连续，且f'(x)在x=0处存在，则可以使用洛必达法则来求lim x→0 f'(x)的值，从而得到函数在x=0处的导数值。

为了更好地运用洛必达法则，考生需要掌握一些技巧。

考生要学会选择合适的解题方法。

对于一些简单的极限问题，可以直接运用洛必达法则来求解；而对于一些较为复杂的问题，可能需要先进行化简、变形等操作，再使用洛必达法则。

考生要学会如何快速锁定答案。

在使用洛必达法则时，考生可以通过观察待求极限的函数形式，来判断是否可以使用洛必达法则。

例如，对于形如lim x→∞ f(x) / g(x)的极限问题，如果f'(x)和g'(x)都存在，那么就可以考虑使用洛必达法则来求解。

洛必达法则是考研数学中的重要内容，对于求解函数的极限、导数、积分等问题都有很大的帮助。

例谈函数极限的求法陈小燕(海南省海口市琼台师范学院㊀５７１１００)摘㊀要:极限理论及其求法是微积分学的理论基础ꎬ在高等数学中占有重要的地位ꎬ是学好高等数学的关键.高等数学中极限求法很多ꎬ不同类型极限对应不同的求法ꎬ且具有较高的技巧性和灵活性.对于大一的学生来说很难正确掌握ꎬ本文结合例题归纳㊁总结极限的常用求法ꎬ以供初学者参考.关键词:无穷小ꎻ重要极限ꎻ洛必达法则中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２１)０９－０００４－０２收稿日期:２０２０－１２－２５作者简介:陈小燕(１９８２.４－)ꎬ女ꎬ海南省海口人ꎬ本科ꎬ讲师ꎬ从事中学数学教学研究.㊀㊀一㊁求极限的常用方法１.无穷小量及其性质性质１㊀有限个无穷小的和也是无穷小性质２㊀有界函数与无穷小的乘积是无穷小.性质３㊀常数与无穷小的乘积是无穷小.性质４㊀有限个无穷小的乘积也是无穷小.例１㊀求ｌｉｍｘңɕｓｉｎｘｘ.解㊀ｌｉｍｘңɕｓｉｎｘｘ＝ｌｉｍｘңɕ１ｘ ｓｉｎｘꎬ因为ｘңɕ时ꎬ１ｘ是无穷小量ꎬｓｉｎｘ是有界量ꎬ所以ｌｉｍｘңɕｓｉｎｘｘ＝０.２.利用等价无穷小定理㊀设α~α~ꎬβ~β~ꎬ且ｌｉｍβ~α~存在ꎬ则ｌｉｍβα＝ｌｉｍβ~α~.㊀ｘң０时ꎬｓｉｎｘ~ｘꎬｔａｎｘ~ｘꎬａｒｃｓｉｎｘ~ｘꎬ１－ｃｏｓｘ~１２ｘ２例２㊀求ｌｉｍｘң０ｔａｎ３ｘｓｉｎ５ｘ.解㊀ｌｉｍｘң０ｔａｎ３ｘｓｉｎ５ｘ＝ｌｉｍｘң０３ｘ５ｘ＝３５.３.极限的运算法则如果ｌｉｍｆ(ｘ)＝Ａꎬꎬｌｉｍｇ(ｘ)＝Ｂꎬ那么(１)ｌｉｍ[ｆ(ｘ)ʃｇ(ｘ)]＝ｌｉｍｆ(ｘ)ʃｌｉｍｇ(ｘ)＝ＡʃＢꎻ(２)ｌｉｍ[ｆ(ｘ) ｇ(ｘ)]＝ｌｉｍｆ(ｘ) ｌｉｍｇ(ｘ)＝Ａ Ｂꎻ(３)ｌｉｍｆ(ｘ)ｇ(ｘ)＝ｌｉｍｆ(ｘ)ｌｉｍｇ(ｘ)＝ＡＢ(Ｂʂ０).说明:只有两个函数都有极限时才能用运算法则ꎬ特别是用商的法则时分母的极限不能是零.例３㊀求ｌｉｍｘң１ｘ２－１ｘ２＋２ｘ－３.解㊀ｘң１时ꎬ分子㊁分母的极限都是零ꎬ不能直接用法则.但分子和分母有公因子ｘ－１ꎬ先约去为零的因子ｘ－１ꎬ然后再求极限.ｌｉｍｘң１ｘ２－１ｘ２＋２ｘ－３＝ｌｉｍｘң１(ｘ＋１)(ｘ－１)(ｘ＋３)(ｘ－１)＝ｌｉｍｘң１ｘ＋１ｘ＋３＝１２.４.利用夹逼准则准则:如果(１)当ｘɪＵʎ(ｘ０ꎬｒ)(或ｘ>Ｍ)时ꎬｇ(ｘ)ɤｆ(ｘ)ɤｈ(ｘ)ꎻ㊀(２)ｌｉｍｘңｘ(ｘңɕ)ｇ(ｘ)＝Ａꎬｌｉｍｘңｘ(ｘңɕ)ｈ(ｘ)＝Ａꎬ那么ｌｉｍｘңｘ(ｘңɕ)ｆ(ｘ)存在ꎬ且等于Ａ.例４㊀求ｌｉｍｎңɕ(１ｎ２＋１＋１ｎ２＋２＋ ＋１ｎ２＋ｎ)解㊀ȵｎｎ２＋ｎ<１ｎ２＋１＋ ＋１ｎ２＋ｎ<ｎｎ２＋１ꎬ又ｌｉｍｎңɕｎｎ２＋ｎ＝ｌｉｍｎңɕ１１＋１ｎ＝１ꎬ４ Copyright©博看网 . All Rights Reserved.ｌｉｍｎңɕｎｎ２＋１＝ｌｉｍｎңɕ１１＋１ｎ２＝１由夹逼准则得ꎬｌｉｍｎңɕ(１ｎ２＋１＋１ｎ２＋２＋ ＋１ｎ２＋ｎ)＝１.说明:此方法的关键是找出前后两个函数ꎬ且这两个函数的极限相同.５.利用重要极限(１)ｌｉｍｘң０ｓｉｎｘｘ＝１(２)ｌｉｍｘңɕ(１＋１ｘ)ｘ＝ｅ例５㊀计算ｌｉｍｘңɕ２ｘｓｉｎｈ２ｘ(ｈ为不等于零的常数)解㊀ｌｉｍｘңɕ２ｘｓｉｎｈ２ｘ＝ｌｉｍｘңɕｓｉｎｈ２ｘｈ２ｘｈ＝ｈ例６㊀求ｌｉｍｘңɕ(ｘ＋２ｘ＋１)２ｘ.解㊀ｌｉｍｘңɕ(ｘ＋２ｘ＋１)２ｘ＝ｌｉｍｘңɕ[(１＋１ｘ＋１)ｘ＋１]２(１＋１ｘ＋１)－２＝ｅ２.说明㊀在求极限过程中ꎬ要对函数进行适当变形ꎬ使其变成重要极限的形式ꎬ再用重要极限求解.６.洛必达法则定理㊀设(１)当ｘңａ时ꎬ函数ｆ(ｘ)及Ｆ(ｘ)都趋于零ꎻ(２)在点ａ的某邻域内(点ａ可以除外)ｆᶄ(ｘ)ꎬＦᶄ(ｘ)都存在且Ｆᶄ(ｘ)ʂ０ｌｉｍｘңａｆᶄ(ｘ)Ｆᶄ(ｘ)存在(或为无穷大)那么ｌｉｍｘңａｆ(ｘ)Ｆ(ｘ)＝ｌｉｍｘңａｆᶄ(ｘ)Ｆᶄ(ｘ).例７㊀求ｌｉｍｘң＋ɕπ２－ａｒｃｔａｎｘ１ｘ解㊀ｌｉｍｘң＋ɕπ２－ａｒｃｔａｎｘ１ｘ(００)＝ｌｉｍｘң＋ɕ－１１＋ｘ２－１ｘ２＝ｌｉｍｘң＋ɕｘ２１＋ｘ２＝１说明㊀(１)把定理中的ｘңａ换成ｘңɕꎬ把(２)换成当ｘ>Ｎ时ꎬｆ(ｘ)ꎬＦ(ｘ)都可导且Ｆᶄ(ｘ)ʂ０ꎬ结论仍然成立.(２)洛必达法则是求未定式的一种有效方法ꎬ但最好能与其他求极限的方法结合使用.例如要求的极限函数是幂指函数的形式ｕ(ｘ)ｖ(ｘ)(ｕ(ｘ)>０ꎬｕ(ｘ)ʂ１时ꎬ通常先把函数转化成指数函数ｕ(ｘ)ｖ(ｘ)＝ｅｌｎｕ(ｘ)＝ｅｖ(ｘ)ｌｎｕ(ｘ)ꎬ再求极限.例８㊀求ｌｉｍｘң０ｘｓｉｎｘ.解㊀这是未定式００ꎬ设ｙ＝ｘｓｉｎｘꎬ取对数得ｌｎｙ＝ｓｉｎｘｌｎｘꎬ又ｌｉｍｘң０ｌｎｙ＝ｌｉｍｘң０(ｓｉｎｘｌｎｘ)＝０因为ｙ＝ｅｌｎｙꎬ而ｌｉｍｙ＝ｌｉｍｅｌｎｙ＝ｅｌｉｍｌｎｙ(ｘң０＋)ꎬ故ｌｉｍｘң０ｘｓｉｎｘ＝ｌｉｍｘң０ｙ＝ｅ０＝１.(３)本节定理给出的是求未定式的一种方法.当定理条件满足时,所求的极限当然存在(或为ɕ),但定理条件不满足时,所求极限却不一定不存在.例９㊀求ｌｉｍｘң＋ɕｘ＋ｓｉｎｘｘ因为极限ｌｉｍｘң＋ɕｘ＋ｓｉｎｘｘ＝ｌｉｍｘң＋ɕ(ｘ＋ｓｉｎｘ)ᶄ(ｘ)ᶄ＝ｌｉｍｘң＋ɕ(１＋ｃｏｓｘ)不存在ꎬ所以不能用洛必达法则ꎬ但其极限是存在的:ｌｉｍｘң＋ɕｘ＋ｓｉｎｘｘ＝ｌｉｍｘң＋ɕ(１＋ｓｉｎｘｘ)＝１.㊀㊀二㊁结论函数极限的求法是多样的ꎬ除了本文的这几种方法ꎬ还有其他的求解方法ꎬ因此在解题过程中要根据函数本身的特点来选择合适的方法ꎬ以简便计算.㊀㊀参考文献:[１]同济大学数学系.高等数学[Ｍ].北京:高等教育出版社ꎬ２０１４.[２]华东师范大学.数学分析[Ｍ].北京:高等教育出版社ꎬ２００１.[３]苏丽.函数极限的几种特殊求法[Ｊ].赤峰学院学报(自然科学版)ꎬ２０１６(０７):８－９.[４]舒孝珍.高等数学中函数极限的求法技巧解析[Ｊ].赤峰学院学报(自然科学版)ꎬ２０１９(０２):１１－１３.[５]郭俊梅.高职高数一元函数极限求法探讨[Ｊ].数理化研究ꎬ２０１７(０３):３１３.[责任编辑:李㊀璟]５Copyright©博看网 . All Rights Reserved.。

前面介绍了求极限的四则运算法则在函数分解、抓大头和极限敛散性讨论等三个方面的应用。

下面我们继续深入剖析洛必达法则的使用条件。

首先要明确使用洛必达法则的三个条件：
虽然洛必达法则使用方便，但是一不小心就会陷入陷阱，导致误用乱用错用。

主要原因还是在于没有把握住洛必达法则使用的这三个条件，尤其是后面两个条件：可导性、求导后极限存在性。

我们通过例题来展示洛必达法则的正确使用过程、相关结论及考生需要格外注意的易错点。

1. 洛必达法则可导性检验
在整个过程中，使用了两次洛必达，最后一步直接代值计算。

如果这个题是选择题，那么可能90%以上的考生都会很幸运的拿到分数，但是并没有几个人是真正做对的，因为上面的过程是误用了洛必达法则。

作为一道解答题，我们应该如何正确去解决这道题，首先分析上面的过程错在哪?
由此，我们给出大家洛必达法则的使用规则：
(1).当极限式中函数存在n阶导数，则使用洛必达至出现n-1阶导，最后一步一般是凑导数定义;
(2).当极限式中函数存在n阶连续导数，则可以使用洛必达至出现n阶导。

2. 洛必达法则求导后极限存在性讨论
针对第三个条件，大家要正确理解下面两个命题：。

考研数学：极限计算法则——洛必达法则洛必达法则是计算极限最常用的方法之一，也是历年考研数学的一个高频考点，不仅能算出具体函数的极限，对于抽象函数求极限也同样适用。

在大学阶段，同学们最喜欢一洛到底，但是洛必达法则也是有底线的，并不是所有的极限都能用洛必达求出来，接下来就介绍一下洛必达法则，正确认识洛必达，才可以理解其定理及科学有效地使用，吃透定理后进而找到它们的解题思路，才不至于在做这一题型时感到无从下手。

一、关于洛必达法则洛必达法则有两类，分别是x a →和x →∞，现归为一种情况x → 进行介绍，定理如下:设(),)f x g x （满足ⅰ）()0lim ()0x f x g x →= 或∞∞ⅱ）(),)f x g x （在 的某去心邻域内可导且()0g x '≠ⅲ）()lim ()x f x g x →'' 存在或为∞则有()()lim lim .()()x x f x f x g x g x →→'='关于该法则需要注意的有两点：①在使用洛必达法则时一定要注意检验条件，三个条件缺一不可，否则很容易得到错误的结果；②使用洛必达法则之前一定先对极限式化简（等替或者四则运算的函数分解）.二、下面分别对每个条件进行分析：对于条件一，只需保证极限是00或∞∞的分式形式；对于条件二，需保证可导性，当已知极限式中的函数存在n 阶导数时，只能使用洛必达法则至出现1n -阶导数（如至n 阶，不能保证连续性），最后一步一般凑导数的定义；当已知极限式中的函数存在n 阶连续导数时，可以使用洛必达法则至出现n 阶导数。

例：已知()f x 二阶可导，求20))2)lim .h f x h f x h f x h →++--（（（解：200000))2)lim ))lim 2)()())lim 21)()1)()lim lim 22().h h h h h f x h f x h f x h f x h f x h hf x h f x f x f x h hf x h f x f x h f x h hf x →→→→→++--''+--=''+-+--=''+---=+-''=（（（（（（（（（分析：二阶可导，可洛至一阶，之后凑二阶导数定义；若该题中，已知()f x 二阶连续可导，解题过程如下;解：2000))2)lim ))lim 2))lim 2().h h h f x h f x h f x h f x h f x h hf x h f x h f x →→→++--''+--=''''++-=''=（（（（（（（对于条件三，需保证求导之后的极限必须存在或为∞（后者情况较少），即当()lim ()x f x Ag x →'='或∞时，方可使用洛必达。