下载文档原格式
高二数学《极限的求解》知识点梳理2023极限是数学分析中非常重要的概念之一，它不仅在高等数学中有广泛的应用，而且在其他学科如物理、经济学等领域也都得到了广泛的运用。
而在高二数学学习中，对于极限的求解，我们需要系统地掌握各种方法和技巧。
下面将对高二数学《极限的求解》的知识点进行梳理，以帮助同学们更好地理解和掌握这一知识点。
一、极限的基本概念极限是指当自变量趋于某一特定值时，函数值的变化趋势。
数学上可以用极限符号来表示，即lim。
对于函数f(x)，x趋于a时的极限可以表示为lim(x→a) f(x) = L。
其中，a为趋近的特定值，L为极限值。
极限的计算需要根据不同的情况采用不同的方法，下面将介绍几种常用的计算方法。
二、极限的计算方法1. 无穷大与无穷小在极限的计算中，无穷大与无穷小是经常会遇到的概念。
当x趋于无穷大时，我们可以利用无穷大与无穷小的性质来计算极限。
例如，当x趋于无穷大时，如果f(x)是一个无穷大量，而g(x)是一个无穷小量，那么极限lim(x→∞) (f(x) ± g(x)) = ± ∞。
这个性质在实际计算中非常有用。
2. 有理函数的极限有理函数是指多项式相除得到的函数，例如f(x) = (ax^2 + bx +c)/(dx + e)。
在计算有理函数的极限时，可以采用分子分母同时除以最高次幂的方法，将有理函数化简为一种更容易计算的形式。
例如，对于函数f(x) = (x^2 + 2x + 1)/(x + 1)，可以将分子分母同时除以x，得到f(x) = (1 + 2/x + 1/x^2)/(1 + 1/x)。
当x趋于无穷大时，我们可以忽略掉分式中低次项的影响，从而计算极限。
3. 三角函数的极限三角函数在极限的计算中也经常会出现。
对于常见的正弦函数sin(x)和余弦函数cos(x)，当x趋于0时，可以利用它们的性质进行极限的计算。
例如，lim(x→0) sin(x)/x = 1，lim(x→0) (1 - cos(x))/x^2 = 1/2。
极限的定义和相关定理极限是微积分中的重要概念，它描述了函数在趋近某一点时的行为。
通过研究极限，我们可以深入理解函数的变化规律和性质。
本文将从极限的定义开始，逐步介绍相关定理和应用。
一、极限的定义在介绍极限之前，我们先定义一下数列的收敛性。
给定一个数列{an}，如果存在实数 a，使得对于任意正数ε，都存在正整数 N，当n>N 时，不等式 |an-a|<ε 成立，那么数列 {an} 收敛于 a。
现在，我们来定义函数f(x) 在x=a 处的极限。
如果对于任意正数ε，存在正数δ，使得当 0<|x-a|<δ 时，都有 |f(x)-L|<ε 成立，那么函数 f(x)在 x=a 处的极限为 L，记作：lim(x->a) f(x) = L其中，x 表示自变量，a 表示趋近的点，L 表示极限的值。
二、极限的性质在我们研究极限的过程中，有许多有用的定理可以帮助我们求解极限。
以下是一些常用的极限性质：1. 极限的唯一性：如果函数 f(x) 在 x=a 处有极限，那么它的极限值是唯一确定的。
2. 四则运算法则：设函数 f(x) 和 g(x) 在 x=a 处有极限，那么它们的和、差、积、商的极限也存在，且有以下运算法则：lim(x->a) [f(x) ± g(x)] = lim(x->a) f(x) ± lim(x->a) g(x)lim(x->a) [f(x) · g(x)] = lim(x->a) f(x) · lim(x->a) g(x)lim(x->a) [f(x) / g(x)] = [lim(x->a) f(x)] / [lim(x->a) g(x)] (若 lim(x->a) g(x)≠0)3. 夹逼定理：如果函数 f(x)、g(x) 和 h(x) 在 x=a 处满足f(x)≤g(x)≤h(x)，且 lim(x->a) f(x) = lim(x->a) h(x) = L，则 lim(x->a) g(x) 也存在，并且 lim(x->a) g(x) = L。
极限的定义与极限运算法则极限是微积分中的重要概念，它描述了函数在某一点或无穷远处趋向于某个特定值的行为。
极限与连续性、导数等概念密切相关，对于数学分析和实际问题求解都具有重要意义。
本文将围绕极限的定义和极限运算法则展开讨论，以便更深入地理解这一概念。
一、极限的定义从数学的角度来看，极限可以用更加精确的定义来描述。
假设函数f(x)在某一点a的某一邻域内定义，并且对于任意给定的ε > 0，存在相应的δ > 0，使得当0 < |x - a| < δ时，有|f(x) - L| < ε，其中L为实数。
如果这一性质成立，我们就说函数f(x)在x趋向于a的过程中极限为L，记作lim(x→a) f(x) = L。
这个定义表明，极限L是函数f(x)在x趋向于a时f(x)的“极限”，即函数在逼近某一数值时的稳定性。
二、极限运算法则运用极限来分析函数的性质和求解问题时，需要借助一些基本的极限运算法则。
以下列举了几个常用的极限运算法则：1. 基本极限法则- 常数极限法则：lim(x→a) c = c，其中c为常数。
- 自变量极限法则：lim(x→a) x = a。
- 乘积极限法则：lim(x→a) [f(x) * g(x)] = lim(x→a) f(x) * lim(x→a) g(x)，即两个函数的极限的乘积等于各自极限的乘积。
- 商极限法则：lim(x→a) [f(x) / g(x)] = [lim(x→a) f(x)] / [lim(x→a)g(x)]，其中lim(x→a) g(x) ≠ 0。
2. 复合函数的极限法则- 复合函数极限法则：lim(x→a) f[g(x)] = lim(y→L) f(y)，其中lim(x→a) g(x) = L。
3. 无穷极限法则- 无穷极限法则：lim(x→∞) f(x) = L，其中L为实数。
通过运用极限运算法则，我们可以更加方便地求解复杂函数的极限。
极限的极限存在准则和夹逼定理极限是数学中一个重要的概念，描述了函数或数列在无限接近某一值时的行为。
而在极限的讨论中，存在着一些准则和定理来判断其存在性和计算方法。
其中，极限的极限存在准则和夹逼定理是常用的分析工具和计算方法。
一、极限的极限存在准则极限的极限存在准则是一种用于证明函数极限存在的方法。
它可以用来处理一些复杂的函数极限，将其转化为多个简单函数的极限来求解。
1. 准则一：函数逼近准则函数逼近准则用于证明函数极限存在的情况。
对于一个函数f(x)，如果存在一个函数g(x)，满足以下条件：a) 当x趋近于某个值时，f(x)趋近于某个数L。
b) 当x趋近于该值时，g(x)趋近于L。
c) 对于g(x)在该值的某个去心邻域（即去除某一点的邻域），存在一个函数h(x)，使得在该邻域内，h(x)大于等于g(x)，且h(x)小于等于f(x)。
则可以得出结论：当x趋近于该值时，函数f(x)存在极限，且极限为L。
2. 准则二：Cauchy准则Cauchy准则是一种针对数列极限存在判定的方法，它描述了数列中元素之间的趋近关系。
对于一个数列{an}，如果满足以下条件：对于任意正实数ε，存在正整数N，当n>N时有|an - am| < ε，其中n和m均为大于N的正整数。
则该数列的极限存在。
二、夹逼定理夹逼定理是一种比较两个函数之间极限大小关系的方法，可以用来确定一个函数的极限。
夹逼定理以中间值定理为基础，对函数的极限进行了推广和应用。
给定函数f(x)、g(x)和h(x)，如果满足以下条件：a) 当x趋近于某个值时，f(x)、g(x)和h(x)都趋近于同一个数L。
b) 对于该值的某个去心邻域，存在一个函数m(x)和M(x)，使得在该邻域内，m(x)小于等于f(x)小于等于M(x)，且m(x)小于等于g(x)小于等于M(x)，以及m(x)小于等于h(x)小于等于M(x)。
则可以得出结论：当x趋近于该值时，函数f(x)的极限存在，且极限为L。
§5 微积分基本定理.定积分计算（续）教学要求：熟练地掌握换元积分法和分部积分法，并能解决计算问题. 教学重点：熟练地掌握换元积分法和分部积分法，并能解决计算问题. 引入当函数的可积性问题告一段落,并对定积分的性质有了足够的认识之后,接着要来解决一个以前多次提到过的问题—在定积分形式下证明连续函数必定存在原函数.一. 变限积分与原函数的存在性设f(x)在[a,b]上可积，根据定积分的性质4，对任何x ∈[a,b]，f(x)在[a,x]上也可积，于是由()()xax f t dt Φ=⎰，x ∈[a,b]定义了一个以积分上限x 为自变量的函数，称为变上限的定积分，类似地又可定义变下限的定积分，()()bxx f t dt ψ=⎰，x ∈[a,b],统称为变限积分。
注意在变限积分中不可再把积分变量写成x ，以免与积分上下限的x 相混淆。
变限积分所定义的函数有着重要性质，由于()()bxxbf t dt f t dt =-⎰⎰，因此只讨论变上限积分的情形。
定理9.9 若f(x)在[a,b]上可积，则()()xax f t dt Φ=⎰，x ∈[a,b]是连续函数。
证明 对[a,b]上任一确定的点x ，只要x+∆x ∈[a,b]，则()()()x xx x xaaxf t dt f t dt f t dt +∆+∆∆Φ=-=⎰⎰⎰，因f(x)在[a,b]上有界，可设|f(t)|≤M ，t ∈[a,b],于是当∆x>0时有|||()||()|x xx xxxM f t dt f t dt x +∆+∆∆Φ=∆⎰⎰≤≤,当∆x<0时有||||M x ∆Φ∆≤,由此得到lim 0x ∆→∆Φ=，即证得在点x 处连续。
由x 得任意性，Φ(x)在[a,b]上处处连续。
定理9.10原函数存在定理 若f(x)在[a,b]上连续，则Φ(x)在[a,b]上处处可导，且Φ'(x)=f(x),即()()(),[,]xad x f t dt f x x a b dx 'Φ==∈⎰ 证明 对[a,b]上任一确定的x ，当∆x ≠0且x+∆x ∈[a,b]时,根据积分第一中值定理得，1()(),01x xx f t dt f x x x xθθ+∆∆Φ==+∆∆∆⎰≤≤，由于f(x)在点x 处连续，故有00()lim lim ()()x x x f x x f x x θ∆→∆→∆Φ'Φ==+∆=∆，由于x 在[a,b]上的任意性，证得Φ(x)是f(x)在[a,b]上的一个原函数。
第九章 极限定理第一节 大数定律一、依概率收敛1、定义：设}{n X 与X 均为一维随机变量, 若0>∀ε,恒有 1}|{|lim =<-→∞εX X P n n ，则称}{n X 依概率收敛于X ,记作X X Pn −→−.特别地 ①若退化分布a X ≡为常数,那么记作a X Pn −→−. ②若n n a X ≡,a a n →,则a X Pn −→−. 显然：X X P n −→−⇔0−→−-Pn X X ⇔0>∀ε,恒有0}|{|=≥-εX X P n .2、性质：设}{n X 为m 维随机变量序列, )(x f 是在),,,(21m a a a a =点连续的m 元实函数,若k Pkn a X −→−,)(m N k ∈, 则)()(a f X f Pn −→−. 证明: 因)(x f 在a 点连续,那么0>∀ε,0>∃δ,当δ<-||k k a x 均成立时,ε<-|)()(|a f x f ,记),,,(21mn n n n X X X X =，从而mk k kn n a X a f X f 1}|{|}|)()({|=≥-⊂≥-δε，又 k Pkn a X −→−,m k ,,2,1 =, 于是 0}|{|}|)()({|01→≥-≤≥-≤∑=mk k kn n a X P a f X f P δε,故 )()(a f X f Pn −→−.二、依分布收敛 1、定义(1)设)}({x F n 为分布函数序列,若存在)(x F ,使)()(lim x F x F n n =∞→在)(x F 的每一连续点上都成立,则称)}({x F n 弱收敛于)(x F ,记作)()(x F x F Wn −→−.(2)设}{n X 与X 均为一维随机变量,若)()(x F x F X WX n −→−，则称}{n X 依分布收敛于X ,记作X X W n −→−.特别地,若退化分布a X ≡为常数,那么记作a X Wn −→−.2、两种收敛的关系(1)X X P n −→−⇒X X Wn −→−.证明: 设}{n X 与X 的分布函数分别为)}({x F n 及)(x F .任取)(x F 的连续点 x ,那么 0>∀ε,0>∃δ,当δδ+<''<<'<-x t x t x 时, )()(t F x F '<-ε,ε+<'')()(x F t F .又因X X Pn −→−,故N ∈∃N ,当N n >时,ε<'-≥-}|{|t x X X P n , ε<-''≥-}|{|x t X X P n . 因 },{},{}{x X t X x X t X t X n n ≥'≤+<'≤='≤ }|{|}{t x X X x X n n '-≥-+≤⊂,有ε+<'->-+≤')(}|{|)()(x F t x X X P x F t F n n n ,⇒)(2)(x F x F n <-ε；又 },{},{}{t X x X t X x X x X n n n ''≥≤+''<≤=≤}|{|}{x t X X t X n -''≥-+''≤⊂,有ε+''<-''>-+''≤)(}|{|)()(t F x t X X P t F x F n n ,⇒ε2)()(+<x F x F n .这样 ε2|)()(|<-x F x F n ,即)()(lim x F x F n n =∞→,⇒)()(x F x F W n −→−⇒X X Wn −→−.(2) a X P n −→−⇔a X W n −→−. 证明:“⇒”由(1)知是显然的. “⇐”设n X 与的a X =分布函数分别为)(x F n 与)(x F . , ,1)(a x x F ≥=.a x x F <= ,0)(.因 a X Wn −→−, 有)()(x F x F Wn −→−. 0>∀ε,取)(x F 连续点t t ''',满足εε+<''<<'<-a t a t a . }{}{}|{|0εεε+≥+-≤=≥-≤a X P a X P a X P n n n)(1)(}{}{t F t F t X P t X P n n n n ''-+'=''>+'≤≤0110)(1)(=-+=''-+'→t F t F . 故a X Pn −→−.、连续极限定理: 设)}({x F n 为分布函数序列,)(x F 为分布函数,)}({t n ψ、)(t ψ为相应的特征函数，则)()(x F x F W n −→−⇔)()(lim t t n n ψψ=→∞.三、大数定律1、切贝谢夫大数定律：设}{n X 独立, ∑==nk kn X nW 11(下同),若存在常数C ,使得N ∈∀n ,有C DX n≤(称为切贝谢夫条件),则0−→−-Pn n EW W .证明:因 nC DXnDW nk kn ≤=∑=121,那么0>∀ε,有0}|{|022→≤≤≥-≤εεεn C DW EW W P nn n .特殊情况：(1)若}{n X 独立,μ=nEX ，C DX n≤,时,则μ−→−Pn W .(2)若}{n X 独立,μ=n EX,2σ=nDX时,则μ−→−Pn W .(3)泊松大数定律：),10(~n n p X -独立,则0−→−-Pn n EW W . 证明: 因4/1)1(≤-=k k np p DX.(4)贝努利大数定律：),(~p n B Y n ,则p n Y Pn −→−/. 证明:因∑==nk kn XY 1,其中),10(~p X k -且独立,有(3)知:0/−→−-=-Pn n n EW W p n Y .2、马尔可夫大数定律：设有}{n X ,且0)(lim =→∞n n W D (称为马尔可夫条件),则 0−→−-Pn n EW W . 证明:因 0)(lim =→∞n n W D ,那么0>∀ε,有0}|{|02→≤≥-≤εεnn n DW EW W P .、辛钦大数定律：设}{n X 独立同分布, μ=nEX ,则μ−→−Pn W . 证明:设}{n X 有相同特征函数)(t ψ,因μ=nEX,知)(1)()0()0()(t o t i t o t t ++=+'+=μψψψ,那么 )(1)( t e n t o n t i n t t X ti nnw n ψμψψμ=→⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=， 显然 )(t X ψ为退化分布μ≡X 的特征函数.由连续极限定理知,)()(x F x F X WW n −→−⇒μ−→−W n W ⇒μ−→−Pn W .四、大数定律的充分必要条件设有}{n X ,则0−→−-Pn n EW W ⇔0)(1)(lim 22=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+-→∞n n n n n EW W EW W E .第二节 中心极限定理本节约定，∑==nk k n X Y 1, nnn n DY EY Y Z -=.一、问题提出1、实践发现：一个随机变量n Y 是大量独立的影响微小的随机变量k X 所形成,即∑==nk k n X Y 1,那么n Y 近似地服从正态分布,也就是说近似地有 ),(~1n n nk k n DY EY N X Y ∑==, 或者 )1,0(~N DY EY Y Z nnn n -=.2、高尔顿板试验模型英国生物统计学家高尔顿(Galton)设计的试验模型如图所示．自上端放入一小球，任其自由下落，在下落过程中当小球碰到钉子时，从左边落下与从右边落下的机会相等．碰到下一排钉子时又是如此．最后落入底板中的某一格子．因此，任意放入—球，则此球落入哪一个格子预先难以确定．但是实验证明，如放入大量小球，则其最后所呈现的曲线表现为正态分布曲线.3、机器模拟试验(高尔顿板试验模型). 机器模拟思路：(1) 设计10排钉子,有1000个小球；(2) 第k 个小球k A 遇到钉子向左下落用0表示, 向右下落用1表示；这一步可通过调用机器函数模拟实现：RA ND())*INT(2=. 其中：INT()为取整函数,RA ND()为取值于(0,1)的均匀随机数. (3) 用k X 表示k A 完成下落10排钉子后10个取值的和,可见k X 为k A 球最后落在的格子编号；(4) 再用机器自动统计分布情况可观察试验结果.)1,0(~N DY EY Y Z nnn n -=二、林德贝尔格-勒维定理设}{n X 独立同分布, μ=k EX ,02>=σkDX ,N ∈k ,则)(}{lim x x Z P n n Φ=≤→∞.证明: 设 }{μ-n X 有相同特征函数)(t ψ, 因0)(=-μk X E ,0)(2>=-σμk X D ，知0)0(='ψ，2)0(σψ-='',有)(211)()0(21)0()0()(22222t o t t o t t t +-=+''+'+=σψψψψ,∑=-=nk k n n X Z 1σμ,那么)(21)(2222t e n t o n t n t t Xt nnZ nψσψψ=→⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫⎝⎛=-，显然)(t X ψ为)1,0(~N X 的特征函数. 由连续极限定理知, )()()(x x F x F X WZ n Φ=−→−.又因)(x Φ处处连续,故)()(x x F nZ Φ→,即)(}{lim x x Z P n n Φ=≤→∞.三、德莫佛-拉普拉斯定理设),(~p n B Y n ,)1(p np np Y DY EY Y Z n nnn n --=-=,则)(}{lim x x Z P n n Φ=≤→∞.证明: 因∑==nk kn XY 1,其中),10(~p X k -且独立,p EXk=,0)1(>-=p p DXk,N ∈k ,则)(}{lim x x Z P n n Φ=≤→∞.四、林德贝尔格定理设}{n X 独立，k kEX μ=,2kkDXσ=,N ∈k , ∑==nk knB 122σ.1、林德贝尔格条件：若0>∀τ，恒有 ∑⎰=>-→∞=-nk B x X k n n nk k x dF x B1|| 220)()(1lim τμμ.2、费勒条件：0maxlim 1=≤≤∞→nknk n B σ.3、林德贝尔格定理：)(}{lim x x Z P n n Φ=≤→∞且}{n X 满足费勒条件⇔}{n X 满足林德贝尔格条件.四、李雅普诺夫定理 1、李雅普诺夫条件：设}{n X 独立,k kEX μ=,2kkDXσ=,N ∈k ,∑==nk knB 122σ,若0>∃δ,使得 ∑=++∞→=-nk k nnn XE B1220||1limδδμ.2、李雅普诺夫定理：设}{n X 满足李雅普诺夫条件,则)(}{lim x x Z P n n Φ=≤→∞证明:只要林德贝尔格条件满足即可.∑⎰=>--≤nk B x X k nnk k x dF x B 1|| 22)()(10τμμ∑⎰=>-+-≤nk B x X k n nnk k x dF x B B 1|| 22)(||)(1τμδδμτ0||11)(||11122122→-=-≤∑∑⎰=++=+∞∞-++nk k nnnk X knXE Bx dF x Bk δδδδδδμτμτ.五、近似计算 1、近似计算公式:设}{n X 独立且满足中心极限定理条件,∑==nk kn XY 1,n 充分大,有(1))(}{x x DY EY Y P nnn Φ≈≤-；(2)⎪⎪⎭⎫⎝⎛-Φ-⎪⎪⎭⎫⎝⎛-Φ≈≤<n n n nn DY EYa DYEYb b Y a P }{.2、例例1已知一批灯泡寿命n X 的2250=nEX,250)(=n X σ,问至少取多少只灯泡才能保证平均寿命超过2200小时的概率超过997.0？ 解:令∑==nk kn XY 1,∑===nk kn n EXEY 12250,∑===nk kn n DXDY 12250,则}2200{}22001{997.0n Y P Y nP n n >=><⎪⎪⎭⎫⎝⎛Φ=⎪⎭⎫ ⎝⎛-Φ=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-Φ-≈52502200225022001n n n n DY EY n n n, 查表可得:75.25>n ⇒0625.189>n . 取190=n 即可.例2设第n 个寻呼员1分钟收到呼叫次数)2.0(~P X n ,问60名寻呼员1分钟收到10次呼叫的概率是多少？解: 令∑==601k kn XY ，那么122.060=⨯==n n DY EY .于是()719.0577.0121012101}10{=Φ=⎪⎭⎫ ⎝⎛-Φ=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-Φ-≈>n nn DY EYY P .例3一万人参加保费为18元的医疗保险.已知一年内一人患病的概率为006.0,保险赔偿费为2500元,求保险公司保本的概率.解：已知10000=n ，0006.0=p ，60=np ，723.7)1(=-p np ,一年内患病人数),(~p n B Y n ,则保本的概率为 }7225000{}1825000{≤≤≈≤≤n n Y P n Y P⎪⎭⎫ ⎝⎛-Φ-⎪⎭⎫ ⎝⎛-Φ=⎪⎪⎭⎫⎝⎛--Φ-⎪⎪⎭⎫⎝⎛--Φ=723.7600723.76072)1(0)1(72p np npp np np()()9394.0119394.076.7155.1=+-=Φ+-Φ=.例4 显像管生产正品率为8.0,为至少保证以997.0的概率生产一万台电视机，问至少生产多少只显像管？解：已知8.0=p ，n np 8.0=，n p np 4.0)1(=-,生产n 只显像管中正品数),(~p n B Y n .至少保证以997.0的概率使一万台用上正品显像管，那么⎪⎭⎫⎝⎛-Φ=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--Φ-≈>≤n n p np np Y P n 4.0100008.0)1(100001}10000{997.0,75.24.0100008.0≥-nn ⇒68.12654≥n .取 12655=n 即可.第三节 林德贝尔格定理一、基本假设设}{n X 独立，k kEXμ=,2k kDXσ=,N ∈k .(1)∑==nk knB 122σ；(2) nkk nk B X X μ-=,(3) ∑∑==-==nk nkk nk nkn B X XZ 11μ,(4) )(t nk ψ与)(x F nk 分别为nk X 的特征函数和分布函数. 显然 0=nkEX,22nknkB DXσ=；0=n EZ ,11∑===nk nknDXDZ.二、两个条件1、 林德贝尔格条件：0>∀τ，有 ∑⎰=>-→∞=-nk B x X k nn nk k x dF x B 1|| 220)()(1lim τμμ.林德贝尔格等价条件：0>∀τ，有 ∑⎰=>∞→=nk x nk n x dF x 1|| 20)(lim τ.证明: 由于)(}{}{)(nk nk nk nkk k X B x F B x B X P x X P x F kμμμ-=-≤-=≤=,且有∑⎰=>--nk B x X k n nk k x dF x B1|| 22)()(1τμμ∑⎰∑⎰=>=>-=-⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=nk x nk nk B x n k nk n k x dF x B x dF B x nk 1|| 212)()(ττμμμ.、费勒条件：0max lim 1=≤≤∞→nk nk n B σ.费勒等价条件： ∞=∞→n n B lim ，0lim =∞→nn n B σ⇔0max lim 1=≤≤∞→nk nk n B σ.证明:“⇐”因0max 01→≤≤≤≤nk nk nk B B σσ，故①0lim =∞→nn n B σ； ②0lim 1=∞→nn B σ⇒∞=∞→n n B lim .“⇒”0>∀ε，①因0lim =∞→nn n B σ，故N ∈∃M ,当M k n >≥时,有εσσ<≤kk nk B B ；② ∞=∞→n n B lim ,对M ,当M k ≤≤1，N ∈>∃)(M N ,当N n ≥时,εσ<nkB ；这样M N n >≥时,有εσ<≤≤≤nk nk B 1max 0. 所以0max lim 1=≤≤∞→nk nk n B σ.二、引理1、引理1：N ∈∀n ,R ∈∀t ,有!||)!1()(!111n t n it it e nn it≤------ .证明: 令)!1()(!11)(1-----=-n it it e t g n itn因 |||1||)(|1t e t g it≤-=,结论对1=n 成立.假设结论对1-n 成立.由于)()!2()(!1)(12t ig n it iit i i ie t g n n itn--=-----=' ,且0)0(=n g ,那么!||)!1(|||)(|)(|)(|0111n t dtn t dt t gdt t g i t g ntn tn tn n =-≤≤=⎰⎰⎰---.故结论对n 也成立.、引理2：C ∈∀k k b a ,，1||,1||≤≤k k b a ,N ∈k ,有∑=-≤-nk k kn n b ab b b a a a 12121|||| .证明: 因|||||)()(|||22111222112121b a b a b b a a b a b b a a -+-≤-+-=-，结论对2=n 成立. 假设结论对1-n 成立.那么n n k kn n k k n n b b a a b b b a a a ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-∏∏-=-=11112121|| ∑∑∏∏=-=-=-=-=-+-≤-+-≤nk k kn n n k k kn n n k k n k kb ab a b ab a b a1111111||||||||故结论对n 也成立.3、引理3：设)(t ψ为特征函数,则1||1)(≤-t e ψ.证明: 由于||0!||!||z k kk k ze k z k ze =≤=∑∑∞=∞=,又1|)(|≤t ψ,于是 e e e t t ≤≤)|(|)(||ψψ, 所以1||1)(≤-t e ψ.4、引理4：nknk DXt t 2211)(≤-ψ.证明:① 已知1)0(=nk ψ. 又因 0=nkEX, 知 0)0(='nknkiEX ＝ψ.② 因 ⎰⎰+∞∞-+∞∞--=='')()()()(222x dF e x x dF dte d t nk itxnk itxnk ψ，所以 nknk nk itx nkDXx dF x x dF ex t ==≤''⎰⎰+∞∞-+∞∞-)()()(22ψ.③ 由于2)(21)0()0()(t t t t nknknk nk θψψψψ''+'+=,10<<θ,那么 nknknk DXt t t t 2221)(211)(≤''≤-θψψ.5、引理5：在费勒条件下,[]0211)()(2121 12→+-⇔→∑∏=-=t t et nk nk t nk nk ψψ.证明:① 由于[][]2121 1)(210211)(t t n k nk ee t t nk nk -∑-=→⇔→+-=∑ψψ,即要证[]21221 1)(21 1)(t t t nk nk ee et nk nk -∑--=→⇔→=∏ψψ或 []0)(11)(1→-∏=∑-=nk nk t t enk nk ψψ.② 0>∀ε,由于)(1z o z e z++= ⇒01→--zz e z，(0→z ).那么0>∃δ,当δ<||z 时, |||1|z z e z ε≤--.③ 在费勒条件下，由引理4知,对于0>δ，N ∈∃N ,N n >时δσσψ<⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛≤=≤-≤≤2122222max 2121211)(n k n k nknknk B t B tDXt t . ④ [])( )(11)(3,211)(1∑∏=-=∑--≤-=nk nk t nk nk t t et enk nk nk ψψψψ引理[]∑∑==--≤---=nk nk nk nk t t t enk 111)(1)( 11)(ψεψψ②③21242121t DXtn k nkεε=≤∑=引理.三、林德贝尔格定理)(}{lim x x Z P n n Φ=≤→∞且}{n X 满足费勒条件⇔}{n X 满足林德贝尔格条件. 证明: “⇐”① 先证明费勒条件成立.由于0>∀ε，有∑⎰=>∞→=nk x nk n x dF x 1|| 20)(limε.于是N ∈∃N ,当N n ≥时, εε<∑⎰=>nk x nk x dF x 1|| 2)(.那么⎰⎰⎰>≤+∞∞-+===εεσ|| 2|| 2222)()()(x nk x nk nk nknkx dF x x dF x x dF x DXBεεεε+<+≤∑⎰=>21|| 22)(nk x nk x dF x ,于是 εεσ+<≤≤21maxnknk B ,所以0max lim 1=≤≤∞→nk nk n B σ.②再证明)(}{lim x x Z P n n Φ=≤→∞.因)(x Φ处处连续,即要证)()(x x F WZ n Φ−→−.又由连续极限定理知，只证212)()(tZ nk nk et t n-=→=∏ψψ,由①及引理5,仅证[]0211)(21→+-∑=t t nk nk ψ.因 1)(112∑∑⎰==+∞∞-==nk nknk nk DXx dF x,∑∑⎰==+∞∞-==nk nknk nkEXx xdF110)(,而1)(=⎰+∞∞-x dFnk,0)(1=∑⎰=+∞∞-nk nkx itxdF,2)(22122tx dF x t nk nk ∑⎰=+∞∞-=,从而 []∑⎰∑=+∞∞-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--=+-nk nk itx nk nk x dF x t itx e t t 12221)(21211)(ψ0>∀ε，必0>∃τ,使ετ<6||3t .又因 ∑⎰=>∞→=nk x nk n x dF x 1|| 20)(limτ，必N ∈∃N ,N n >时,有 ετ<∑⎰=>nk x nk x dF x t 1|| 22)(.由引理1知 6||)(213322tx tx g x t itx eitx≤=+--, 222222222222||2)(21x t x t tx x t tx g x t itx eitx=+≤+=+--.这样,[]∑⎰∑⎰∑=>=≤=+≤+-nk x nk nk x nk nk nkx dF x tx dF tx tt 1||221||321)()(6||211)(ττψ∑⎰∑⎰=>=≤+≤n k x nk nk x nk x dF xtx dF xt 1||221||23)()(6||τττ.εεε2)(12=+<∑⎰=+∞∞-nk nk x dF x . 所以 []0211)(21→+-∑=t t nk nk ψ.“⇒” 已知 )(}{lim x x Z P n n Φ=≤→∞⇒ )()(x x F WZ n Φ−→−⇒ 212)()(tZ nk nk et t n-=→=∏ψψ 5引理⇒ []0211)(21→+-∑=t t nk nk ψ.而 []∑⎰∑=+∞∞-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-nk nk itx n k nk x dF x t e t t 12221)(21Re211)(Re ψ ∑⎰∑⎰=>=+∞∞-⎪⎪⎭⎫⎝⎛-≥⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-=nk x nk nk nk x dF x t x dF x t tx 1||22122)(22)(21cos τ ∑⎰∑⎰∑⎰=>=>=>⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-≥-=n k x nk nk x nk nk x nk x dF x t x dF x dF x t1||2221||1||22)(22)(2)(2ττττ 这样 0>∀τ,取τ4=t ,那么222622ττ=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-t ， []0211)(Re 6)(2121||2→⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-≤∑∑⎰==>t t x dF x n k nk nk x nk ψττ,于是 ∑⎰=>∞→=nk x nk n x dF x 1|| 20)(limτ.第四节 连续极限定理一、海莱第一定理1、引理：设)}({x F n 为分布函数序列, )(x F 在R 上有定义，D 在R 中处处稠密,若D x ∈∀,恒有)()(lim x F x F n n =∞→,则)()(x F x F Wn −→−. 证明：任取)(x F 连续点x ，因D 在R 处处稠密，则0>∀ε,0>∃δ,δδ+<<<<-x t x t x 21 且D t t ∈21,时,有)()(1t F x F <-ε,ε+<)()(2x F t F .又因)()(lim t F t F n n =∞→,D t ∈,则N ∈∃N ,使得 当N n >时，有)()(11t F t F n <-ε,ε+<)()(22t F t F n .从而εεεε2)()()()()()(2)(2211+<+<≤≤<-<-x F t F t F x F t F t F x F n n n ，即 ε2|)()(|<-x F x F n . 所以)()(x F x F Wn −→−2、海莱第一定理：任一分布函数列)}({x F n 必有一子序列)()(x F x F Wk n −→−,且)(x F 不减右连续, 0)(≥-∞F , 1)(≤+∞F , 因此)(x F 有界. 证明：(1)令有理数集合}{n q =Q .对于1q ，)}({1q F n 有界 ,必有收敛于某数)(1q F 的子序列)}({1,1q F n ； 对于2q ，)}({2,1q F n 有界 ,必有收敛于某数)(2q F 的子序列)}({1,2q F n ；……； 对于k q ，)}({,1k n k q F -有界 ,必有收敛于某数)(k q F 的子序列)}({,k n k q F ； 依此类推，得到)(1,1x F ,)(2,1x F ,)(3,1x F ,……,)(,1x F n ,……； )(1,2x F ,)(2,2x F ,)(3,2x F ,……,)(,2x F n ,……； …… ……；)(1,x F n ,)(2,x F n ,)(3,x F n ,……,)(,x F n n ,……； …… ……这里每行都是上一行的子序列,且)()(lim ,k k n k n q F q F =∞→.按对角线法选取)}({x F n 的子序列)}({,x F n n ,Q ∈∀k q ，由于 )(,x F k k ,)(1,1x F k k ++,……,)(,x F n n ,……均来自子序列)(1,x F k ,)(2,x F k ,)(3,x F k ,……,)(,x F n k ,…… 因)()(lim ,k k n k n q F q F =∞→,故)()(lim ,k k n n n q F q F =∞→.再定义},|)(inf{)(Q ∈<=q q x q F x F ,Q -R ∈x ,由于)()(lim ,x F x F n n n =→∞在Q上成立,又Q 在R 上处处稠密,则)()(,x F x F Wn n −→−. (2) 其次证明)(x F 不减, R ∈<∀y x ,① 若Q ∈y x ,，因)()(,,y F x F n n n n ≤,有)()(lim )(lim )(,,y F y F x F x F n n n n n n =≤=→∞→∞；② 若Q ∉x ,Q ∈y ,那么由)(x F 的定义,有)()(y F x F ≤； ③若Q ∈x ,Q ∉y ,那么0>∀ε,必Q ∈∃t ,t y x <<,使得 ε+≤)()(y F t F ，这样)()()(y F t F x F ≤-≤-εε,让0→ε,得)()(y F x F ≤；④ 若Q ∉x ,Q ∉y ,必Q ∈∃t ,y t x <<,那么)()()(y F t F x F ≤≤. 故R ∈<∀y x ,有)()(y F x F ≤,即)(x F 不减.(3)再证明0)(≥-∞F , 1)(≤+∞F .在Q 中取单调递增+∞→k t ,由于1)(0,≤±≤k n n t F ,且)(lim )(,k n n n k t F t F ±=±∞→，有1)(0≤±≤k t F .R ∈∀x ,必Q ∈∃k t ,使得1)()()(0≤≤≤-≤k k t F x F t F , 可见)(x F 有界.因)(x F 不减，故)(lim x F x -∞→及)(lim x F x +∞→都存在,因此0)(≥-∞F ,1)(≤+∞F .(4) 最后证明)(x F 右连续.R ∈∀x ,因)(x F 单调有界,故)(lim t F xt +→存在.N ∈∀n ,必Q ∈∃n t ,使得nx t x n 1+<<, nt F nx F t F n n 1)(1)()(+≤+≤,这样 )(lim )(lim )(t F t F x F xt n n +→→∞==，即)(x F 右连续.二、海莱第二定理1、海莱第二定理：设)(x f 在],[b a 上连续, 分布函数列)()(x F x F Wn −→−,],[b a x ∈,)(x F 在b a ,连续,则 ⎰⎰=∞→baban n x dF x f x dF x f )()()()(lim.证明：由条件)()(x F x F Wn −→−知)(x F 非减,因此)(x F 的连续点在],[b a 上处处稠密,且)(x F 在b a ,连续,这样1)(lim |)(|≤=∞→a F a F n n ,1)(lim |)(|≤=→b F b F n n .又)(x f 在],[b a 上连续,则|)(|x f 有上界0>M ,且)(x f 在],[b a 上一致连续,那么0>∀ε,存在],[b a 的一个分割:b x x x a m =<<<= 10,且k x 为)(x F 的连续点,使得ε<-|)()(|k x f x f ,1+<<k k x x x .作辅助函数)()(k x f x f =ε，1+≤<k k x x x ,)()(a f a f =ε.这样 εε<-|)()(|x f x f ,],[b a x ∈.因)()(x F x F Wn −→−,故N ∈∃N ,使得 当N n >时，mMx F x F k n k ε<-|)()(|.由于εεεε2)]()([)()()()()(1≤-=≤-=⎰⎰⎰a Fb F x dF x dF x f x dF x f I bababa ,εεεε2)]()([)()()()()(3≤-=≤-=⎰⎰⎰a Fb F x dF x dF x f x dF x f I n n ban ba n ba n ,⎰⎰-=ban bax dF x f x dF x f I )()()()(2εε∑∑-=+-=+---=1111)]()()[()]()()[(m k k n k n k m k k k k x F x F x f x F x F x f∑∑-=-=++---=1111)]()()[()]()()[(m k k n k k m k k n k k x F x F x f x F x F x f .εεε2=⎪⎭⎫⎝⎛+≤mM MmMMm 从而ε6)()()()(321<++≤-⎰⎰I I I x dF x f x dF x f ban ba.所以 ⎰⎰=∞→baban n x dF x f x dF x f )()()()(lim.2、拓广的海莱第二定理：设)(x f 在R 上有界连续, 分布函数列)()(x F x F Wn −→−,且0)(=-∞F ,1)(=+∞F ,则 ⎰⎰+∞∞-+∞∞-∞→=)()()()(limx dF x f x dF x f n n .证明: 因)(x f 有界,故0>∃M 使得M x f ≤|)(|,又0)(=-∞F ,1)(=+∞F ,故0>∀ε,存在)(x F 的两个连续点0<a ,0>b ,使得Ma F 2|)(|ε<，Mb F 2|)(1|ε<-.又因由条件知 ⎰⎰=∞→baban n x dF x f x dF x f )()()()(lim,且)(lim )(a F a F n n ∞→=,)(lim )(b F b F n n ∞→=,则N ∈∃N ,使得 当N n >时， ε≤-=⎰⎰bab an x dF x f x dF x f I )()()()(2,同时有Ma F a F n ε<-|)()(|, Mb F b F n ε<-|)()(|, 那么|])(||)([|)()()()(1a F a F M x dF x f x dF x f I n aan +≤-=⎰⎰∞-∞-ε2|])(|2|)()([|≤+-≤a F a F a F M n , |])(1||)(1[|)()()()(3b F b F M x dF x f x dF x f I n bbn -+-=-=⎰⎰+∞+∞ε2|])(1|2|)()([|≤-+-≤b F b F b F M n ,从而ε5)()()()(321<++≤-⎰⎰+∞∞-+∞∞-I I I x dF x f x dF x f n .所以 ⎰⎰+∞∞-+∞∞-∞→=)()()()(limx dF x f x dF x f n n .三、连续极限定理(勒维-克拉美定理)1、正极限定理：设分布函数序列)()(x F x F Wn −→−,)(x F 为分布函数,)}({t n ψ、)(t ψ为相应的特征函数，则 )()(lim t t n n ψψ=∞→,且在t 的任一有限区间内收敛是一致的.证明: 因函数itxe 在+∞<<∞-x 上有界连续,而⎰⎰+∞∞-+∞∞-==)()( , )()(x dF et x dF et itxn itxn ψψ,由拓广的海莱第二定理知，)()(lim t t n n ψψ=∞→. 而“在t 的任一有限区间内收敛是一致的”,可将海莱第二定理及拓广的海莱第二定理比照着逐一再证明即可.、逆极限定理：设具有分布函数)(x F n 的特征函数序列)()(t t n ψψ→,且)(t ψ在0=t 连续, 则存在分布函数)(x F ,使得)()(x F x F Wn −→−，且)(t ψ为)(x F 的特征函数.证明:(1)由海莱第一定理知,分布函数序列)}({x F n 必有一子序列)()(x F x F Wn k −→−,且)(x F 有界不减右连续,同时1)(,0)(≤+∞≥-∞F F .下面(2)—(4)证明0)(,1)(=-∞=+∞F F .即证明了)(x F 是分布函数. (2) 若)(t f 在0=t 连续,1)0(=f ,且则1)(21lim=⎰-→+ττττdt t f .0>∀ε,0>∃δ, 当δ<||t 时,有ε<-|1)(|t f ,于是ετττττττττ<-≤-=-⎰⎰⎰---dt t f dtt f dt t f |1)(|21]1)([211)(21,这样1)(21lim=⎰-→+ττττdt t f .(3) τττττττ2||==≤⎰⎰⎰---dtdt edt eitxitx,R ∈x ,且||2sin 2x xx xe edt e xi xi itx≤=-=--⎰τττττ,R ∈x ,0≠x .任取)(x F 连续点0>M ,有⎰⎰⎰-+∞∞--⎪⎪⎭⎫⎝⎛=τττττψτdt x dF e dt t k k n itx n )(21)(21)(21)(21||x dF dt e x dF dt e k k n Mx itxn MMitx⎰⎰⎰⎰>---⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛≤ττττττMM F M F x dF x x dF k k k k n n n Mx MMn ττ1)()()(||221)(||+--≤+≤⎰⎰>-.又因)()(t t kn ψψ→,且1|)(|≤t kn ψ在],[ττ-上可积,由控制收敛定理知⎰⎰-∞→-=ττττψτψτdt t dtt kn k )(21lim)(21.于是让∞→k ,有MM F M F dt t τψτττ1)()()(21+--≤⎰-.0>∀ε,0>∃τ,使得, MM F M F dt t τψτεττ1)()()(211+--≤<-⎰-， 让+∞→M ,得 1)()(1≤-∞-+∞≤-F F ε，于是1)()(=-∞-+∞F F , 故0)(,1)(=-∞=+∞F F .这证明了)(x F 是分布函数.(5)设)(*t ψ为)(x F 的特征函数,由正极限定理知, )()(lim *t t kn k ψψ=∞→，又已知)()(lim )(lim t t t n n n k kψψψ==∞→∞→,这样)()(*t t ψψ≡为)(x F 的特征函数.(6)最后证明)()(x F x F Wn −→−.用反证法.若不然,则存在)(x F 的连续点0x ,)()}({00x F x F n →不成立.显然可从)}({0x F n 找到收敛的子数列)}({0*x F n ，显然)()()(lim 00*0*x F x F x F n n ≠=→∞.又由海莱第一定理知, )}({*x F n 必有一子序列)()(**x F x F W n k −→−,由(1)—(5)知)(*x F 也是)(t ψ的分布函数.于是)()(*x F x F =,当然)()(00*x F x F =.矛盾.说明)()(x F x F Wn −→−.作业：1、证明: 1}{lim ==∞→a X P n n ,b Y P n −→−⇒ b a Y X P n n +−→−+.。
