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5.2(中心极限定理)

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第二节-中心极限定理要点

第二节-中心极限定理要点
k 1
定理的应用：对于独立的随机变量序列 X n，不管
Xi (i 1, 2, , n) 服从什么分布，只要它们是同分布，
且有有限的数学期望和方差，那么，当n充分大时，这
n
些随机变量之和 X i 近似地服从正态分布 N n, n 2 i 1
从演示不难看到中心极限定理的客观背景
f
g
h
例:20个0-1分布的和的分布
k 1
概率论中有关论证独立随机变量的和的极限分布 是正态分布的一系列定理称为中心极限定理。
独立同分布的中心极限定理
设随机变量X1，X2，…，Xn相互独立，服从同一分
布，且有有限的数学期望 和方差 2 ，则随机变量
n
Xi n
Yn i1 n 的分布函数 Fn (x) 满足如下极限式
lim n
lim
n
P
i 1
n
x
(
x);
这一讲我们介绍了中心极限定理 中心极限定理是概率论中最著名的结果 之一，它不仅提供了计算独立随机变量之和 的近似概率的简单方法，而且有助于解释为 什么很多自然群体的经验频率呈现出钟形曲 线这一值得注意的事实.
在后面的课程中，我们还将经常用到中心 极限定理.
1
x t2
e 2 dt
2
即对任意的 a < b,
lim P a Yn np b
n
np(1 p)
1
b t2
e 2 dt
2 a
Y n ~ N (np , np(1-p)) (近似)
正态分布的概率密度的图形
x
二项分布的随机变量可看作许多相互独立
的0-1分布的随机变量之和, 下面是当x-
(1) 至少命中180发炮弹的概率; (2) 命中的炮弹数不到200发的概率.

中心极限定理

中心极限定理

-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 O 1
x 2 3 4 5 6 7 8
记 则
Xk
1, 小球碰第 1, 小球碰第
k 1
( k 1, 2, ,15) n 15 k 层钉后向左落下 0, 2 1 近似 15 2 15 n 2 X N 0 1n 5 N( n , , ) ) 大数定律和中心极限定理 k
即至少要抽查147件产品才能保证拒绝这批产品的概率达到0.9．
大数定律和中心极限定理
例2．一批种子, 其中良种占1/6, 在其中任选6000粒, 试问在这
些种子中, 良种所占的比例与1/6之差的绝对值小于1%的概率. 解：设X表示取6000粒种子中的良种粒数, 则X~B(6000, 1/6), E(X)=6000×(1/6)=1000, D(X)=6000×(1/6)×(5/6).
Y20~N(10, 20/12)
P{Y20≤9.1} = P{Y20-10≤9.1-10}
Y20 10 Y20 10 9.1 10 P 0.7 P 20 /12 20 /12 20 /12
(0.7) 0.2420.
n X k n t2 x 1 2 k 1 lim Fn ( x ) lim P x e dt . n n n 2
大数定律和中心极限定理
n
中心极限定理的意义
对于均值为 ,方差 2 0 的独立同分布的 r.v. 列 有
2
证: 由于服从二项分布的随机变量和n 可看作n个相互独立服从 参数为p的(0-1)分布的随机变量X1,X2,…,Xn之和，即
n X i , 其中E( X k ) p, D( X k ) pq, k 1, 2,, n, q 1 p.

§5.2 中心极限定理

§5.2 中心极限定理
5 5 P29500 X 30500 . 0.9995 2 2
16
1 , 将 n 90000 p 代入有 3
例3 售报员在报摊上卖报, 已知每个过路 人在报摊上买报的概率为1/3. 令X 是出售 了100份报时过路人的数目，求 P (280 X 320). 解 令Xi 为售出了第 i – 1 份报纸后到售出 第i 份报纸时的过路人数, i = 1,2,…,100
由德莫佛—拉普拉斯中心极限定理,
有
1000, 5000 X ~ N 6
1 1.33 1.33e dt 2 1.33 1.33 0.8164 .
13
t2 2
例2 设一货轮在某海区航行，已知每遭
受一次波浪的冲击，纵摇角度大于 6 的概率
1 为 p 。若货轮在航行中遭受了90000 次波 3
浪冲击，问其中有 29500 至 30500 次纵摇角
ni 1
n
n
i 1
五条件，那么它们的和 X i 当 n 很大时，就近 i 1 似地服从正态分布。
7
X i i 1,2, 具有怎样的分布，只要满足定理
n
作为定理 一 的特殊情况，我们给出下面的定理。 定理三 （德莫佛—拉普拉斯定理）设随机 变量 Yn n 1,2, 服从参数为 n, p 0 p 1的 二项分布，则对于任意x，恒有
度大于 6 的概率是多少？
解 可将货轮每遭受一次波浪冲击看作是 一次试验，并认为实验是独立的。在 90000次 波浪冲击中，纵摇角度大于6˚的次数记为X ，
14
则 X 为一随机变量，它服从 n 90000 , 1 p 的二项分布，其分布列为 3 k 90000 k 1 2 k P X k C90000 , k 0,1,2, ,90000. 3 3 所求概率为 k 90000 k 30500 1 2 k P 29500 X 30500 C90000 . 3 3 k 29501 显然，要直接计算是困难的。可以利用德莫

第二节 中心极限定理

第二节 中心极限定理

1 2

e
x
t2 2
dt
q=1-p
定理表明，当n很大，0<p<1是一个定值 时（或者说，np(1-p)也不太小时），二项变 量的分布近似正态分布 N(np,np(1-p)).
例2某保险公司多年的统计资料表明，在索赔户中被 盗索赔户占20%，以X表示在随机抽查的100个索赔户 中因被盗向保险公司索赔的户数 （1） 写出X的概率分布
第五章
Hale Waihona Puke 大数定律和中心极限定理§5.2 中心极限定理
大数定律揭示了大量随机变量的算术平均值
在一定条件下具有某种稳定性这一重要规律。
而在概率论中还有一类重要的极限定理，它是 解决在什么条件下，大量独立的随机变量的和 的分布是以正态分布为极限分布。
列维一林德伯格（Levy－Lindberg）定理. 定理1（独立同分布下的中心极限定理） 设X1, X2, …是独立同分布的随机变量序 列，且E(Xi)= ，D(Xi)= 2 ，i=1,2,…， 则 n X i n x 1 -t 2 2 i 1 e dt lim P{ x } n - 2 n
解: 设Xi (i=1,2…n)为第i箱重量,n为所求箱 数由条件知X1 , X2 … Xn是独立同分布的， 而n箱总重量X = X1 +X2 + … + Xn E(Xi )=50 DX 5
i
E(X ) = 50n
D(X) = 25n
由中心极限定理, X近似N(50n,25n)
P(X ≤5000)= P ( X 50n 5000 50n ) 5 n 5 n 1000 10n ( ) 0.977 ( 2) n 1000 10n 由此可见 2 n

5.2 中心极限定理

5.2 中心极限定理

可将Xi ，i=1,2,…,n 视为独立同分布的随机 变量. 由林德伯格—列维定理知，Tn 近似服从正 态分布 N (50 n, 25 n).
电子科技大学
中 心 极 限 定 理
P{Tn 5000} P{
Tn 50n 5 n

5000 50n 5 n
}
(
故
1000 10n n
P{| f n ( A) P ( A) | 0.01} 0.99 其中 A ={ 出现正面 }
解
有P( A )=1/2，令
1, 第i次出现正面; Xi ( i 1,2,n) 否则, 0, 则随机变量序列{ Xi }，i = 1,2,…是相互独立 且同分布的. 而且有
电子科技大学
p = 1/3，若船舶遭受了90000次波浪冲击， 问其中有 29600 ~ 30500 次纵摇角大于3°的 概率是多少？ 解 假定船舶遭受波浪的各次冲击是独立的， 记 X 为90000次冲击下纵摇角大于3°的次数， 故有
电子科技大学
中 心 极 限 定 理
1 X ~ B(90000, ), 3
1 n 90000, p 3
电子科技大学
中 心 极 限 定 理
高尔顿钉板试验 装车问题
重复试验次数估计 报亭售报问题
定理5.2.2（棣莫佛-拉普拉斯中心极限定理） 设随机变量序列{ Yn }，Yn ~ B( n, p ) ，n =1,2…， 对于任意的实数 x ，有
Yn np lim P n np(1 p)
电子科技大学
中 心 极 限 定 理
lim P{Yn y}
n
2
k
1
y

e

5-2中心极限定理

5-2中心极限定理

ab EX i 0 2
(b a) 2 1 DX i 12 3
1．设 X 1 , X 2 ,, X n 独立同分布，且 X i (i 1, 2,, n) 服从参数为 的指数分布， 则下列各式成立的是（ ）
n Xi n lim P i 1 x ( x) n n
一、问题的引入
• 例如对某物的长度进行测量, 在测量时有许 多随机因素影响测量的结果.如温度和湿度等
因素对测量仪器的影响, 使测量产生误差X1;
测量者观察时视线所产生的误差X2; 测量者心
理和生理上的变化产生的测量误差X3; …显然
这些误差是微小的、随机的, 而且相互没有影 响. 测量的总误差是上述各个因素产生的误差 之和, 即∑Xi .
n Xi n x ( x) ( A ) lim P i 1 n n n Xi i 1 x ( x) (D) lim P n n
(B)
依分布收敛
林德伯格-列维 中心极限定理
辛钦大数定律
德莫佛-拉普拉斯 中心极限定理
n
的分布函数 Fn ( x ) 对于任意 x 满足
n t2 X k n k 1 x 1 e 2 dt ( x ). lim Fn ( x ) lim P x 2π n n n 上述定理表明:
1 (8.78) 0
2. 棣莫佛－拉普拉斯中心极限定理
二项分布的正态近似
设 X ~ B n, p (0 p 1)的, 则 对于任意 x, 恒有 X np x 1 lim P x e dt ( x). n np(1 p) 2π

5-2中心极限定理

6000 6000 2 1 0.99995, 即 1/ 6 5 / 6 0. , 6000 6000 1 / 6 5 / 6
故近似地有
查表得
6000 6000 1 / 6 5 / 6
2.58,
0.0124 .
中心极限定理
§5.2 中心极限定理
李雅普诺夫定理 独立同分布的中心极限定理
德莫佛-拉普拉斯定理
1
中心极限定理
一、中心极限定理 李雅普诺夫(Liapunov)定理
设有独立的随机变量序列X1,X2，…,Xn…, 且有有限
的期望 E( X k ) k，D( X k ) k 0, (k 1,2,)，
V - 20 5 105 - 20 5 P{V 105} P 2 2 20 10 / 12 20 10 / 12 V - 100 P 0.387 1 (0.387) 0.348 20 (10 / 12 )
9
中心极限定理
r 120 ( ) 0.999, 48
r - 120 48 3. 1 ,
所以 r 141.
查表得
即供给141千瓦电就能以99.9%的概率保证这个车 间正常生产。
10
中心极限定理
例2 今从良种率为1/6的种子中任取6000粒，问能以0.99 的概率保证在这6000粒种子中良种所占的比例与1/6的 差的绝对值不超过多少？相应的良种粒数在哪个范围内？ 解 设良种数为X，则X~B(6000,1/6) 设不超过的界限为α，则有 德莫佛-拉普拉斯定理
2
二项分布即可以用帕松分布近似代替，也可用正态 说明 当p很小，n很大时用帕松分布近似代替，p不太 分布近似代替，如何选择？ 接近0或1，n又较大时用此推论计算有关二项分布的

52中心极限定理


n
X i n 近似
i 1
~ N (0,1)
n
，
(5-8)
从而，
n
近似
X i ~ N (n, n 2 )
i 1
或
1
n
n
Xi
i 1
近似
~
N (,
2
) n
另外，对于任意的实数a,b( a b )和较大的n，由（5-8）可知

Pa
n i 1
Xi
n
§5.2 中心极限定理
人们已经知道，在自然界和生产实践中遇到的大量随机 变量都服从或近似服从正态分布，正因如此，正态分布占有 特别重要的地位。那么，如何判断一个随机变量服从正态分 布显得尤为重要。如经过长期的观测，人们已经知道，很多 工程测量中产生的误差X都是服从正态分布的随机变量。分 析起来，造成误差的原因有仪器偏差X1、大气折射偏差X2, 温度变化偏差X3、估读误差造成的偏差X4等等，这些偏差Xi
（5-6）
在什么条件下，lnim PYn x (x) , 这是十八世纪以来概率论研究
的中心课题，因而，从二十世纪二十年代开始，习惯上把研究
随机变量和的分布收敛到正态分布的这类定理称为中心极限定
理（Central Limit Theorems）。这里仅介绍独立同分布场合
下的中心极限定理。
b (b) (a)

n



.
(5-10)
定理5.2在概率论中占有特别重要的地位，由于它对 {X n} 的
分布形式没有要求，因而得到广泛使用。对于应用者来讲，只
要能把问题抽象为独立同分布的随机变量之和，且这些随机变
量的均值和方差均存在，便可用（5-9）式近似计算概率。

概率统计5-2

k 1 X k n 1 x t lim P k 1 x e 2 dt ( x) n 2 n n X k n
则对于任意实数 x ,
D( X k )
k 1 n
n
E ( X k )
2
注
记
则 Z n 为 Xk
k 1
n
的标准化随机变量. lim PZ n x ( x)
n
Zn
k 1
n
即 n 足够大时，Z n 的分布函数近似于标准正态随机 变量的分布函数 近似 Z ~ N (0,1)
X k 近似服从 N (n , n 2 ) k 1
n
n
例1 炮火轰击敌方防御工事 100 次, 每次轰击命中的炮弹 数服从同一分布,其数学期望为 2 , 均方差为1.5. 若各次 轰击命中的炮弹数是相互独立的, 求100 次轰击(P158-14 (1) 至少命中180发炮弹的概率; (2) 命中的炮弹数不到200 发的概率. 解 设 X k 表示第 k 次轰击命中的炮弹数 X 1 , X 2 ,, X 100 E ( X k ) 2, D( X k ) 1.52 , k 1,2,,100 相互独立， 设 X 表示100次轰击命中的炮弹数, 则
15 200 200 0 200 (2) P(0 X 200) (0) (13.33) 0.5 15 15
近似
中心极限定理的意义
Ch5-24
在第二章曾讲过有许多随机现象服从 正态分布 是由于许多彼次没有什么相依关 系、对随机现象谁也不能起突出影响，而 均匀地起到微小作用的随机因素共同作用 (即这些因素的叠加)的结果. 若联系于此随机现象的随机变量为X ， 则它可被看成为许多相互独立的起微小作 用的因素Xk的总和 X k，而这个总和服从

5.2 中心极限定理

≈Φ(ε n n ) −Φ(− n ) −1 = 0. 99, p (1− p)
n = 2. 58, p (1− p)
⇒ Φ(ε
n + ) = 1 0. 99 = 0. 995, p (1− p) 2
查表知 ε
X ε = 2. 58 p(1− p) = 0. 0124 ; | 6000 − 1 |< 0. 0124, ⇒ 926< X < 1074 6 n 6000之中次品数应在 926 只到 1074 只之间 只之间. 之中次品数应在
10
小结 1. 会利用契比雪夫不等式作简单的估计 2. 了解契比雪夫大数定律和贝努里大数 定律的意义和内容 3. 掌握独立同分布的中心极限定理和棣 莫夫−拉普拉斯定理, 莫夫−拉普拉斯定理 会利用它们解决 一般实际应用问题
≈2Φ(0.58) −1 Φ ≈0.44
棣莫夫-拉普拉斯定理 棣莫夫 拉普拉斯定理 (二项分布以正态分布为极限分布 二项分布以正态分布为极限分布) 二项分布以正态分布为极限分布 设随机变量X 设随机变量 n~B(n,p) (n=1,2,…), 则∀x∈R,有: ∈ 有 X n − np
lim P {
∑X
k =1
n
k
− E (∑ X k )
k =1 n
D( ∑ X k )
k =1
X − E( X ) = D( X )
例如, 例如 P{a<X<b} a − n µ X − nµ b − nµ } = P{ < < σ n σ n σ n
a − nµ = P{ < σ n
∑X
k =1
n
k
− nµ
σ n
5.2 中心极限定理
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1, 第i个成年男子吸烟， Xi i 1,2, n. 0， 第i个成年男子不吸烟，
【吸烟率调查问题解答】
X X i ~ B( n, p )
n
由大数定理知，当n很大时，频率X / n与概率p很接 近，可用X / n作为p的估计．依题意要保证P{|X / n – p| 0.05} 0.90，即
第5章 大数定律和中心极限定理
5.2
中心极限定理
大数定律讨论的是多个随机变量的算术平均的渐 近性质．现在我们来讨论独立随机变量和的极限分 布．先给出一个例子．
5.2 中心极限定理
【例 5-4】误差分析是人们经常遇到且感兴趣的随 机变量，大量的研究表明，误差是由大量微小的相 互独立的随机因素叠加而成的．现在考虑一位操作 工在机床上加工机械轴，要求其直径应符合规定要 求，但加工后的机械轴与规定要求总会有一定误差， 这是因为在加工时受到一些随机因素的影响，它们 是： (1) 在机床方面有机床振动与转速的影响； (2) 在刀具方面有装配与磨损的影响；
1 n n P X i p 0.05 P X i np 0.05n n i 1 i 1 n 1 0.90 2 0 . 05 p ( 1 p ) 也即 n 0.95 0 . 05 p ( 1 p )
此时， E( X i ) p, D( X i ) p(1 p), ( i 1,2,)
又记 n X i
论可写成
i 1
n
，则n~B(n，p)．此时定理5.5的结
t2 2
x 1 n np limP x e n n p ( 1 p ) 2
5.2.2 二项分布的正态近似
令
x 260p Φ( ) 95% 260p(1 p)
查得 (1.65) 0.9505 0.95 x 260p 1.65 故取 260p(1 p) 于是 x 1.65 260p(1 p) 260p
1.65 260 0.04 0.96 260 0.04 15.61
5.2.1 独立同分布的中心极限定理
【例 5.5】用机器包装味精，每袋净重为随机变量， 期望值为 100 克，标准差为 10 克，一箱内装 200 袋味 精,求一箱味精净重大于20400克的概率． 解：设箱中第i袋味精的净重为Xi克， X1 , X 2 ,, X 200 是 200个相互独立同分布的随机变量. 且
(Lindeberg-Levy)定理，该定理是这两位学者在上世
5.2.1 独立同分布的中心极限定理
我们来看一下(5.6)式含义：若记
Yn
X
i 1
n
i
n ,
n
记 FYn ( x ) 为Yn的分布函数，则(5.6)式可以写成
lim FYn ( x ) Φ( x )
n
这表明，当充分大时，Yn近似服从标准正态分布N(0，
1 0.9977 0.0023
5.2.2 二项分布的正态近似 现在将定理5.5应用于服从0-1分布的随机变量，即 设 X1 ， X2 ， … ， Xn ， … 相互独立，且都服从参数为 的0-1分布：
P{Xi = k} = pk(1 – p)1- k，k = 0，1；i = 1，2，…
也就是说，至少需要 16 条外线才能 95% 满足每个分
机在用外线时不用等候．
【吸烟率调查问题解答】 某卫生组织为确定某城市成年男子的吸烟率 p，将 被调查的成年男子中吸烟的频率作为p的估计，现在 要保证有 90% 以上的把握，使得调查对象吸烟者的 频率与该城市成年男子的吸烟率p之间的差异不大于 5%，问至少要调查多少对象？ 解：设共调查n个成年男子，记 则Xi独立同分布，且又记n个调查对象中，吸烟的人 数为X，则有
1)，即
X
k 1
n
n 近 似 ~ N ( 0,1) n
i
从而当n充分大时，
2 X ~ N ( n , n ) i i 1
n
近似
(5.7)
5.2.1 独立同分布的中心极限定理
2 X ~ N ( n , n ) i i 1
n
近似
(5.7)
(5.7) 式说明，不论 X1 ， X2 ， … ， Xn 服从什么分布，
P{7800 X 8200 }
Φ( 8200 8000 7800 8000 ) Φ( ) 10000 0.8 0.2 10000 0.8 0.2
2 2 ( ) 1 2 ( 5 ) 1 1 0.4
5.2.2 二项分布的正态近似
【例 5.7】某单位内部有 260 部电话分机，每个分机 有 4% 的时间要与外线通话，可以认为每个电话分
定理 5.5 （独立同分布的中心极限定理）设 X1 ， X2,…,Xn,… 为相互独立、服从同一分布的随机变 量序列, 且 E ( X i ) , D(Xi) = 2 0（i = 1,2,…）, 则对于任意x，有
该定理我们通常称之为林德伯格-莱维 纪20年代证明的，这里证明从略．
n X i n t2 x 1 2 i 1 limP x e dt Φ( x ) (5.6) n n 2
由于这些因素很多，每个因素对加工精度的影响 都是很微小的，而且每个因素的出现又都是人们无
法控制的、随机的、时有时无、时正时负的．这些
因素的综合影响最终使每个机械轴的直径产生误差，
若将这个误差记为 Yn ，那么 Yn 是随机变量，且可以
将 Yn 看作很多微小的随机波动 X1 ， X2 ， … ， Xn 之和， 即Yn = X1 + X2 +…+ Xn，这里n是很大的，那么我们 关心的是，当n→∞ 时，Yn的分布是什么？
只要满足定理的条件,当n充分大时,就可以把 X i 作
为正态随机变量处理，这在理论研究和实际计算上
i 1
n
都非常重要．
我们将上述结论稍作变形，还可以得到定理结论 的另外表现形式．
5.2.1 独立同分布的中心极限定理
推论5.1 设相互独立的随机变量X1，X2，…，Xn服 从同一分布，其均值为，方差为2 > 0，则当n充
5.2.2 二项分布的正态近似
一般来说，当 n 较大时，二项分布的概率计 算起来非常复杂，这时我们就可以用正态分 布来近似二项分布，使概率计算得到简 化．即对于任意正数n1和n2，有
k n1 k k n k C p ( 1 p ) P{n1 n n2 } n n2
n1 np n np n2 np P{ } np(1 p) np(1 p) np(1 p) n2 np n1 np ( ) ( ) np(1 p) np(1 p)
(5.10)
5.2.2 二项分布的正态近似
【例5.6】设电路供电网内有10000盏相同的灯，夜 间每一盏灯开着的概率为 0.8，假设各灯的开关彼 此独立，计算同时开着的灯数在 7800 与 8200 之间 的概率． 解：记同时开着的灯数为X，它服从二项分布 B(10000，0.8)，于是由定理5.6，有
i 1
查表得
(1.645) 0.95
【吸烟率调查问题解答】
所以 从而
n 0.05 1.645 p(1 p)
1.6452 n p(1 p) p(1 p) 1082 .41 2 0.05
又因为 p(1 p) 0.25
所以
n 270 .6
即至少要调查271个成年男子．
5.2 中心极限定理
(3) 在材料方面有钢材的成分、产地的影响； (4) 在操作者方面有注意力集中程度、当天的情绪 的影响； (5) 在测量方面有度量工具误差、测量技术的影响；
(6) 在环境方面有车间温度、湿度、照明、工作电
压的影响；
(7) 在具体场合还可列出许多其他影响因素．
5.2 中心极限定理
分大时 2 近似 X 近似 ~ N (0,1) 即 X ~ N ( , ) n n
n 1 其中 X X i . n i 1
(5.8)
由推论可知，无论 X1 ， X2 ， … ， Xn 是服从什么分
布，其算术平均值当n充分大时总是近似地服从正态 分布．这一结果是数理统计中大样本理论的基础．
t2 2
dt Φ( x )
这个定理表明，当n充分大时，服从二项分布的随机 变量n的标准化变量近似服从标准正态分布． 近似 np n 即有 ~ N (0,1) np(1 p)
5.2.2 二项分布的正态近似
从而
n ~ N ( np, np(1 p))
近似
即当n充分大时，服从二项分布的随机变量n近似服 从正态分布．
X
i 1
200
近似 i
~ N ( 20000 , 20000 )
200 i 1
P{ X i 20400 } 1 P{ X i 20400 }
200 X i 20000 20400 20000 i 1 1 P 1 Φ( 2.83) 20000 20000
5.2 中心极限定理
当然，我们可以考虑用卷积公式去计算 Yn 的分布， 但这样的计算是相当复杂的、不现实的，而且也是
不易实现的．有时即使能写出 Yn 的分布，但由于其
形式过于复杂而无法使用．
本节研究在相当一般的条件下独立随机变量的和
的分布收敛于正态分布的问题．
5.2 中心极限定理
5.2.1
独立同分布的中心极限定理
机用不同的外线是相互独立的，问总机需备多少条
外线才能以95的分机数，则～B(260， p)，其中p = 0.04．根据题意应确定最小的使