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重积分的积分变换和积分替换积分是高等数学中的一个重要概念，它被广泛应用在各个领域中，包括物理学、统计学、经济学等。
在微积分中，一类重要的积分就是重积分。
和单变量积分不同，重积分涉及到多个变量，其计算难度往往更大。
近年来，学者们发现，利用积分变换和积分替换的技巧，可以有效地简化重积分的计算过程。
本文就介绍一些有关积分变换和积分替换的基本知识和重要应用。
一、积分变换积分变换是将一类积分变换成另一类积分的过程，通常是通过一些数学技巧来实现的。
积分变换有很多种，包括线性变换、仿射变换、圆柱变换、球坐标变换等。
在这里，我们主要介绍球坐标变换和柱坐标变换两种。
1. 球坐标变换球坐标变换是将三维空间中的积分转化为球坐标系下的积分。
通过这种变换，可以将具有各向同性的问题转化为与方向无关的问题，从而简化积分的计算。
球坐标系下的积分变量包括径向距离r、极角θ和方位角φ。
一般来说，球坐标变换的步骤如下：（1）将被积函数写成球坐标的形式；（2）将坐标变量x、y、z表示为r、θ和φ的函数；（3）将分子（dx dy dz）替换成球坐标系下的积分元素r²sinθ dr dθ dφ；（4）对变量r、θ和φ进行变量替换，计算出新的积分区域。
例如，设空间中有一个函数f(x,y,z)，要求其在球形区域内的积分。
那么，将被积函数转化为球坐标系下的形式：f(x,y,z)→f(r,θ,φ)然后，把直角坐标系下的坐标写成球坐标系下的形式：x=r sinθ cosφ；y=r sinθ sinφ；z=r cosθ。
接着，计算出雅可比行列式，替换分子，并对积分区域进行调整。
最终得到球坐标下的积分表达式：∫∫∫f(x,y,z) dxdydz = ∫∫∫f(r,θ,φ) r²sinθ dr dθ dφ2. 柱坐标变换柱坐标变换是将三维空间中的积分转化为柱坐标系下的积分。
柱坐标系下的积分变量包括径向距离r、极角θ和高度z。
柱坐标变换的一般步骤如下：（1）将被积函数写成柱坐标系下的形式；（2）将直角坐标系下的坐标表示为柱坐标系下的形式；（3）将分子（dx dy dz）替换成柱坐标下的积分元素r d r dθ dz；（4）对变量r、θ和z进行变量替换，计算出新的积分区域。
积分变换（略）命令1 Fourier积分变换函数fourier格式 F = fourier(f)说明对符号单值函数f中的缺省变量x（由命令findsym确定）计算Fourier变换形式。
缺省的输出结果F是变量w的函数：⎰∞∞--==⇒=dxe)x(f)w(FF)x(ff iwx若f = f(w)，则fourier(f)返回变量为t的函数：F= F(t)。
F = fourier(f,v) 对符号单值函数f中的指定变量v计算Fourier变换形式：⎰∞∞--==⇒⊕=dxe)x(f)v(FF)(ff ivxF = fourier(f,u,v) 令符号函数f为变量u的函数，而F为变量v的函数：⎰∞∞--==⇒⊕=dxe)u(f)v(FF)(ff ivu 例3-39>>syms x w u v>>f = sin(x)*exp(-x^2); F1 = fourier(f) >>g = log(abs(w)); F2 = fourier(g)>>h = x*exp(-abs(x)); F3 = fourier(h,u) >>syms x real>>k = cosh(-x^2*abs(v))*sinh(u)/v >>F4 = fourier(k,v,u)计算结果为：F1 =-1/2*i*pi^(1/2)*exp(-1/4*(w-1)^2)+1/2*i*pi^(1/2)*exp(-1/4*(w+1)^2) F2 =fourier(log(abs(w)),w,t) F3 =-4*i/(1+u^2)^2*u F4 =sinh(u)*(1/2*fourier(1/v*exp(x^2*abs(v)),v,u)-i*atan(u/x^2))命令2 逆Fourier 积分变换 函数 ifourier 格式 f = ifourier(F)说明 输出参量f = f(x)为缺省变量w 的标量符号对象F 的逆Fourier 积分变换。
一、傅里叶变换1、傅里叶积分存在定理：设()f t 定义在(),-∞+∞内满足条件：1）()f t 在任一有限区间上满足狄氏条件； 2）()f t 在(),-∞+∞上绝对可积（即()f t dt +∞-∞⎰收敛； 则傅氏积分公式存在，且有()()()()()(),1[]002,2+∞+∞--∞-∞⎧⎪=⎨++-⎪⎩⎰⎰iw iwt f t t f t f e d e dw f t f t t f t τττπ是的连续点是的第一类间断点2、傅里叶变换定义式：()[]()()iwt F f t F w f t e dt +∞--∞==⎰ 傅里叶逆变换定义式：()11[]()()2iwt F F w f t F w e dw π+∞--∞==⎰3、常用函数的傅里叶变换公式()1()FFf t F ω-−−→←−− 矩形脉冲函数1,22()sin 20,2F F E t E f t t ττωτω-⎧≤⎪⎪−−→=⎨←−−⎪>⎪⎩单边指数衰减函数()()1,0110,0tFFe t e t F e t iw j t βββω--⎧≥−−→=⇒=⎡⎤⎨←−−⎣⎦++<⎩ 单位脉冲函数 ()11FF t δ-−−→←−− 单位阶跃函数 ()()11FFu t w iwπδ-−−→+←−− ()112FFw πδ-−−→←−− ()12-−−→'←−−FFt i πδω ()0102F j t Fe ωπδωω-−−→-←−− ()()1000cos FFt ωπδωωδωω-−−→++-⎡⎤←−−⎣⎦()()1000sin -−−→+--⎡⎤←−−⎣⎦F Ft i ωπδωωδωω4、傅里叶变换的性质设()()[]F f t F w =， ()()[]i i F f t F w =（1）线性性：()()1121()()FFf t f t F F αβαωβω-−−→++←−− （2）位移性：()()010--−−→-←−−Fi t Ff t t e F ωω ()010()-−−→-←−−F i t Fe f t F ωωω （3）微分性：()1()-−−→'←−−FFf t i F ωω ()()()1()-−−→←−−F n n Ff t i F ωω ()()1()-−−→'-←−−FFit f t F ω ()()()()1()-−−→-←−−Fn n F it f t F ω （4）积分性：()11()--∞−−→←−−⎰tFFf t dt F i ωω（5）相似性：11()FFf at F a a ω-⎛⎫−−→←−− ⎪⎝⎭（6）对称性：()1()2FFF t f πω-−−→-←−− 上面性质写成变换式如下面：（1）线性性：[]1212()()()()F f t f t F w F w αβαβ⋅+⋅=⋅+⋅[]11212()()()()F F w F w f t f t αβαβ-⋅+⋅=⋅+⋅（,αβ是常数）（2）位移性：[]0()F f t t -=()0iwt e F w -()000()()iw tw w w F e f t F w F w w =-⎡⎤==-⎣⎦（3）微分性：设+∞→t 时,0→)t (f , 则有[]()()()()[]()F f t iw F f t iw F w '==()()()()()[]()n n n F f t iw F f t iw F w ⎡⎤==⎣⎦[]()()=dF tf t iF w dw()()⎡⎤=⎣⎦nnnn d F t f t i F w dw（4）积分性：()()tF w F f t dt iw-∞⎡⎤=⎢⎥⎣⎦⎰（5）相似性：[]1()()wF f at F a a=翻转性:1=a 时()()w F t f F -=-][ （6）对称性:设 ()()w F t f −→←，则()()w f t F π2−→←- 或 ()()2F t f w π←−→-5、卷积公式 ：)()(21t f t f *=τττd t f f )()(21-⎰+∞∞-。
涉及周期函数积分的变换公式1、指数函数积分变换公式：$$\int e^{\alpha x}dx=\frac{e^{\alpha x}}{\alpha}+C$$2、正弦函数积分变换公式：$$\int \sin{\alpha x}dx=-\frac{\cos{\alpha x}}{\alpha}+C$$3、余弦函数积分变换公式：$$\int \cos{\alpha x}dx=\frac{\sin{\alpha x}}{\alpha}+C$$4、正切函数积分变换公式：$$\int\tan{\alpha x}dx=\frac{\ln{\sec{\alpha x}}}{\alpha}+C $$5、反正切函数积分变换公式：$$\int\cot{\alpha x}dx=\frac{\ln{\sin{\alpha x}}}{\alpha}+C $$6、指数函数的指数函数积分变换公式：$$\int{a^x}dx=\frac{a^x}{\ln{a}}+C$$7、双曲正切函数积分变换公式：$$\int{\tanh{\alpha x}}dx=\frac{\ln{\cosh{\alpha x}}}{\alpha}+C $$8、双曲余切函数积分变换公式：$$\int{\coth{\alpha x}}dx=\frac{\ln{\sinh{\alpha x}}}{\alpha}+C $$这些涉及周期函数积分的变换公式可以用来解决积分问题。
以上所列的公式可以从多项式的积分变换公式推导而来。
具体的算法步骤如下：第一步：将待积分的函数在其中一个周期内进行三角函数的拆分；第二步：利用多项式的积分变换公式，求出函数三角函数拆分后的积分；第三步：最后，根据积分时不同周期内的转换关系，将每个周期离散积分求和，形成连续积分，最终求得函数的积分；通过这种方法，可以将一般的函数拆分为多个周期的函数，然后利用以上的几种涉及周期积分的变换公式，对每个周期的函数进行积分，从而求出原函数的积分，从而解决一些复杂的积分问题。
积分变换、数学物理方程与特殊函数经过十二周的学习，我们学到了很多知识，这与以后的学习和工作打下了基础，老师讲解十分认真，讲课效果很好。
由于现在还处于理论的学习阶段，无法将学到的这些内容应用到实际问题中，但我相信，在以后的实验和实际问题中肯定能发挥相当大的作用。
这门课是数学的更深一个层次，与高等数学的关系密不可分。
下面就我学习的状况谈一下我对这门课的认识。
首先学习的是《积分变换》的内容，我们主要学习了Fourier 变换、逆变换及其应用。
Fourier 积分变换相对于后面学到的《数学物理方程》偏重于理论，其中与多种函数和理论密切相关，Fourier 变换中经常用到欧拉公式。
复数形式的欧拉公式：⎪⎩⎪⎨⎧-=+=-=+=---x i x e x i e ie e n w t e e n w t ix ix inwtinwt inwt inwt sin cos ,sin cos 2sin ,2cos 其中有三个基本函数，在学习《积分变换》时经常用到； 1.单位阶跃函数：⎩⎨⎧<>=0,00,1)(t t t u可以用阶跃函数吧分段函数表达出来。
2.矩形脉冲函数：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧><=2,02,τττt t E t P ）（ 3.δ函数：⎩⎨⎧≠=∞+=0,00,)(x x x δ 表示密度分布的极限。
δ函数具有筛选性质：)0()()(-f dx x f x =⎰+∞∞δ其一般形式为：)()()(0-0x f dx x f x x =-⎰+∞∞δ同时还学习了卷积定理：假定)(1t f ，)(2t f 都是满足Fourier 积分定理中的条件，且[])()(11w F t f =℘，[])()(22w F t f =℘，则[][]⎩⎨⎧*=⋅℘⋅=*℘-)()()()()()()()(212112121t f t f w F w F w F w F t f t f卷积并不容易算出，但卷积定理提供了卷积计算的简便方法，即化卷积运算为乘积运算，使卷积在线性系统分析中成为特别有用的方法，即又用到高等数学中求常函数的方法。
Laplace 变换与Fourier 变换的内容方法几乎相同，由于Fourier 变换存在的条件过于严格，首先要求绝对可积，使得很多函数不能应用Fourier 变换。
Laplace 变换相对于Fourier 变换所需条件相对较弱。
Laplace 变换存在定理：若函数)(t f 满足下列条件：⎪⎩⎪⎨⎧∞<≤≤>>+∞→≥成立，及数指数函数，亦即存在常的增长速度不超过某一时，当连续的任一有限区间上分段在t Me t f c M t f t t ct 0,)(.00)(.20.1 比较Fourier 变换与Laplace 变换：Laplace 变换是将时域信号转变到“复数域”与Fourier 变换的“频域”有所区别。
[]⎰+∞∞--=℘dt e t f t f jwt )()(，[]⎰+∞-=0)()(dt e t f t f st 积分区间有差别，实际应用中，通常只做单边Laplace 变换。
在Laplace 积分变换中，所乘因子为jwt e -，此处jwt -显然为绝对虚数，而Laplace 变换中，所乘因子为st e -，其中st -为一复数，这样就能将许多无法作Laplace 变换的函数做域变换。
《数学物理方程》偏重于实用，把理论与实际应用相结合，根据其初始条件，对实际问题建立一个模型，即数学物理方程，再对该方程求解，进而求得实际问题的解决方法，在《数学物理方程》共学了四种求解数学物理方程的方法： 1.分离变量法 2.行波法 3.积分变换法 4.格林函数法。
比较这四种方法：各种方法应用范围不一样，分离变量法与积分变换法有一个共同特点：都是将偏微分方程化成常微分方程，只不过化成常微分方程的方法不同，分离变量法是直接求特解得一种方法，适用于大量的各种各样的有界问题，因而是一个比较普遍的方法，而对于无界区域或半无界区域的问题，用积分变换法比较简单，并且在数理方程时不像分离变量法那样区分齐次与非齐次，都是相同步骤，但作积分变换时，要求所出现的函数满足一定的条件；行波法是通过找到一种代换将齐次波动方程化为很容易求解的二阶偏微分方程，从而求出方程的特解，这在整体思路上与求解二阶线性微分方程一致，这就使得行波法有相当大的局限性，所以通常只用它求解波动问题；格林函数法仅依赖于区域而与原定解问题中的所给边界条件无关，只要求得某个区域的格林函数就能一劳永逸地解决这个区域上的一切边界条件的狄氏问题，对于某些特殊区域，如球、半空间等，格林函数可以用初等方法求得。
《特殊函数》中，是以贝塞尔函数为例讲解的特殊函数，之后的勒让德多项式与贝塞尔函数方法类似。
下面是对贝塞尔函数的推导及求解过程的一些理解。
n 阶贝塞尔方程常见的形式：0)()()()(222=-+'+''r F n r r F r r F r ①其推导过程为亥姆霍兹方程：02222=+∂∂+∂∂V yVx V λ 在满足条件0222==+R y x V的非零解，我们引用平面上的极坐标系，将亥姆霍兹方程在条件0222==+R y x V写成极坐标的形式。
即用到高数中直角坐标系转换成极坐标系的方法，下面是我的推导过程：极坐标系与直坐标系转化的关系为： ⎩⎨⎧==θρθρsin cos y xθθθρθθρρsin 1cos 1⋅∂∂-⋅∂∂=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂V V x V x V x Vθρθρθθθρθθθρθθρθθρρθθρθθρθθρρs i n1s i n c o s s i n 1c o s s i n c o s 1c o s 1s i n 1s i n 1c o s 122222222222⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅∂∂+∂∂-⋅∂∂+⋅∂∂∂-⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅∂∂∂-⋅∂∂+⋅∂∂=∂∂⋅∂⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∂+∂∂⋅∂⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂=∂∂V V V V V V V xx Vx x V x V ②θρθθρθθρρc o s1s i n 1⋅∂∂+⋅∂∂=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂V V y V y V y V θρθρθθθρθθθρθθρθθρθθρρθθρθθρρcos 1cos sin cos 1sin cos sin 1sin 1cos 1cos 1cos 122222222222⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅∂∂+⋅∂∂+⋅∂∂-⋅∂∂∂+⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅∂∂-⋅∂∂∂+⋅∂∂=∂∂⋅∂⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∂+∂∂⋅∂⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂=∂∂V V V V V V V yy Vy y Vy V ③把②式和③式带入亥姆霍兹方程就能得到：⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=≤≤<=+∂∂⋅+∂∂⋅+∂∂=πθπθρλθρρρρρ20,0,20,,01122222R VR v VV V经过分离变量和几次变换就能得到n 阶贝塞尔方程常见的形式：0)()()()(222=-+'+''r F n r r F r r F r 。
进而又得到n 阶第一类贝塞尔函数和第二类贝塞尔函数（牛曼函数）。
n 阶第一类贝塞尔函数：()()()()01!21022≥++Γ-=∑∞=++n m n m x x J m m n mn mn第二类贝塞尔函数:()()x BY x AJ y n n += 其中()()()()()ππππn x J n x J x J n x J n x Y n n n n n s i n c o s c s c c o t ---=-= ()整数≠n贝塞尔函数的解的情况，在n 为整数的情况下，定义第二类贝塞尔函数为()()()απαπαααsin cos limx J x J x Y n n -→-= ()为整数n 由于当n 为整数时，()()()()x J n x J x J n n nn πcos 1=-=-，所以上式右端的极限是“”形式的不定型的极限，应用洛必达法则，最后可得到：()()()()()∑∑∑∑∞=-+=-=+-=+-⎪⎭⎫ ⎝⎛++++⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫⎝⎛---⎪⎭⎫ ⎝⎛+=0101021021111!!211-2!!112ln 2m m n k m k m n mn m mn n n k k m n m x x m m n c x x J x Y πππ ()⋅⋅⋅=，3,2,1n 其中⋅⋅⋅=⎪⎭⎫⎝⎛-+⋅⋅⋅+++=∞→5772.0ln 131211lim n n c n ，成为欧拉常数。
不论n 是否为整数，贝塞尔方程 的通解都可以表示为 ()()x BY x AJ y n n += 其中A,B 为任意常数，n 为任意实数。
贝塞尔函数的递推公式：()[]()()[]()()()()()()()⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧'=-=+-==+-+-+----x J x J x J x nJ x x J x J x J x x J x dx d x J x x J x dxd nn n n n n n n n n n nn n 22111111可得到半齐数阶贝塞尔函数：()()().c o s12;s i n12121212121⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+⎪⎭⎫⎝⎛+-++x x dx d x xx Jx x dx d x xx Jnn n nn nn ππ可以看出半齐数阶的贝塞尔函数都是初等函数。
课后题解答：7.证明()ax J y n =为方程()02222=-+'+''y n x a y x y x 的解。
证明：()t J n 满足贝塞尔方程()()0222=-+'+''y n t J t t J t n n令ax t =，即可得到()()()()022222=-+'+''ax J n x a ax J ax ax J x a n n n9.试证()x J x y 2321=是方程()0222=-+''y x y x 的一个解。
已知：04923223232=⎪⎭⎫⎝⎛-+'+''J x J x J x y x y x y x y x x y x x J x '+-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'+-='⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛='----2121212321232121y x y x x y x y x y x x y x x J x y''+'-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛''+'-="⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=''-----23212121232522122324343 代入即得049412122123=⎪⎭⎫ ⎝⎛-++''--y x x y x y x10.试证()x xJ y n =是方程()01222=-++'-''y n x y x y x 的一个解。
