数学物理方法 吴崇试 习题解答

《数学物理方法》第一章作业参考解答1. 利用复变函数导数的定义式，推导极坐标系下复变函数),(),()(ϕρϕρiv u z f +=的C-R 条件为∂∂−=∂∂∂∂=∂∂ϕρρϕρρu v vu 11 证：由于复变函数)(z f 可导，即沿任何路径，任何方式使0→∆z 时，z z f z z f ∆−∆+)()(的极限都存在且相等，因此，我们可以选择两条特殊路径，（1）沿径向，0→∆=∆ϕρi e z.ϕϕρρϕρρϕρρϕρϕρϕρρϕρρϕρϕρρi i e v i u e iv u iv u z f f −→∆∂∂+∂∂=∆−−∆++∆+=∆−∆+),(),(),(),(),(),(),(),(lim（2）沿半径为ρ的圆周，()()ϕρρρρϕϕϕϕϕ∆≈−=∆=∆∆+i i i i e i e e e zϕϕϕϕϕρϕϕρϕϕρϕρϕρϕρϕϕρϕϕρρϕρϕρϕϕρϕϕρϕρϕϕρi i i i e u i v ie iv u iv u e e iv u iv u zf f −∆→∆∂∂−∂∂=∆−−∆++∆+=−−−∆++∆+=∆−∆+1),(),(),(),(),(),()1(),(),(),(),(),(),(lim以上两式应相等，因而，ϕρρ∂∂=∂∂vu 1 ϕρρ∂∂−=∂∂u v 1 2. 已知一平面静电场的等势线族是双曲线族C xy =,求电场线族，并求此电场的复势（约定复势的实部为电势）。

如果约定复势的虚部为电势，则复势又是什么？解：0)(2=∇xy xy y x u =∴),(由C-R 条件可得C x x b x y u x b x v x b y y x v y x u y v +−=⇒−=∂∂−=′=∂∂+=⇒=∂∂=∂∂2221)()()(21),(C y x y x v +−−=)(21),(22电场线族为：（或者：由 +−=+−=∂∂+∂∂=222121),(y x d ydy xdx dy y v dx x v y x dv ，得C y x y x v +−−=)(21),(22）iC z i i C y x xy +−=+−−+=2222)(21w 复势为：若虚部为电势，则xy y x v =),(同理由C-R 条件可得Cx x A x y v x A x u x A y y x u y x v y u +=⇒=∂∂=′=∂∂+−=⇒−=∂∂−=∂∂2221)()()(21),(C y x y x u +−=)(21),(22C z ixy C y x +=++−=22221)(21w 复势为：3．讨论复变函数||)(xy iy x z f =+=在0=z 的可导性？（提示：选择沿X 轴、Y 轴和Y=aX 直线讨论）解：考虑当函数沿y=ax 趋近z=0时2)(ax z f = )1()1(||||lim )()(lim00+±=+∆−∆+=∆−∆+→∆→∆ia aia x x a x x a z z f z z f x z 可见上式是和a 有关的，不是恒定值所以该函数在z=0处不可导4.判断函数()()111)(2−++=−+=z z z z z z f 的支点，选定一个单值分支)(0z f ，计算)(0x f ？计算)(0i f −的值？ 解：可能的支点为∞−=,1,1,0z 。

数学物理方法习题解答一、复变函数部分习题解答第一章1、证明Re z 在z 平面上处处不可导。

证明：令Re z u iv =+。

Re z x =，,0u x v ∴==。

1u x ∂=∂，0v y ∂=∂，u v x y∂∂≠∂∂。

于是u 与v 在z 平面上处处不满足C －R 条件， 所以Re z 在z 平面上处处不可导。

2、试证()2f z z=仅在原点有导数。

证明：令()f z u iv =+。

()22222,0f z z x y u x y v ==+ ∴ =+=。

2,2u u x y x y ∂∂= =∂∂。

v v x y∂∂ ==0 ∂∂。

所以除原点以外，,u v 不满足C －R 条件。

而,,u u v vx y x y∂∂∂∂ , ∂∂∂∂在原点连续，且满足C －R 条件，所以()f z 在原点可微。

()0000x x y y u v v u f i i x x y y ====⎛⎫∂∂∂∂⎛⎫'=+=-= ⎪ ⎪∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭。

或：()()()2*000lim lim lim 0z z x y z f z x i y z∆→∆→∆=∆=∆'==∆=∆-∆=∆。

22***0*000lim lim lim()0z z z z z z z zz z z z z z z z z=∆→∆→∆→+∆+∆+∆∆==+−−→∆∆∆。

【当0,i z z re θ≠∆=，*2i ze zθ-∆=∆与趋向有关，则上式中**1z z z z ∆∆==∆∆】3、设333322()z 0()z=00x y i x y f z x y ⎧+++≠⎪=+⎨⎪⎩，证明()z f 在原点满足C －R 条件，但不可微。

证明：令()()(),,f z u x y iv x y =+，则()332222220,=00x y x y u x y x y x y ⎧-+≠⎪=+⎨+⎪⎩，332222220(,)=00x y x y v x y x y x y ⎧++≠⎪=+⎨+⎪⎩。

数学物理方法习题及解答1试题1一、单项选择题1.复通区域柯西定理（）（A ）0)(=?dz z f l（B ）0)(1=∑?=n i l idz z f （C ）0)()(1=+∑??=ni l lidz z f dz z f （l 是逆时针方向，i l 也是逆时针方向）(D)0)()(1=+∑??=ni l lidz z f dz z f （l 是逆时针方向，i l 是顺时针方向）2.周期偶函数:,cos)(10为其中k k k a lxk a a x f ∑∞=+=π：（）（A ）?=lk d l k f l a 0cos )(1ξπξξ （B ）?-=ll k d l k f l a ξπξξcos )(1（C ） ?=lk k d l k f l a 0cos )(1ξπξξδ （D ）?lkk d lk f l a 0cos)(2ξπξξδ 3.柯西公式为：（）（A ）ξξξπd z f i n z f l ?-=)(2!)( (B) ξξξπd z f i z f l ?-=)(21)( (C) ξξξπd z f i z f l n ?-=)()(21)( (D) ξξξπd z f i n z f l n ?-=)()(2!)( 4.在00=z 的邻域上把()=z f 2zz )(sin 展开为（）（A ）+-+-!6!4!21642z z z(B) +-+-!7!5!31642z z z (C) +-+-6421642z z z(D) +-+-!7!5!31864z z z5.求()z z f sin 1=在z 0=πn 的留数为（）（A ）!1n （B ）n （C ）n )1(- （D ）16.以下那一个是第一类边界条件（）（A ）)(),(t f t x u ax == （B ）)(,()t f t x u ax n == （C ）)()(t f H u ax n u =+= （D ）lx ttlx xu Mg t x u ==-=),(7.下列公式正确的为：（A ）)()()(0x f dx x x f t =-?+∞∞-δ （B ）0)()(0=-?+∞∞-dx x x f t δ （C ）∞=-?+∞∞-dx x x f t )()(0δ （D ）)()()(0t t f dx x x f =-?+∞∞-δ8.勒让德方程为（A ）0)1(2)1(222=++--y l l dx dy x dx yd x（B ）0]1)1([2)1(22222=--++--y x m l l dx dy x dx y d x（C ）0)(22222=-++y dx dy x dx ym x d x（D ）0)(22222=+-+y dxdy x dx y m x d x9.m 阶贝塞尔方程为：（A ）0)(22222=--+R m x dx dR x dx R d x （B ）0)(22222=-++R m x dx dR x dx R d x （C ）0)(22222=+-+R m x dxdR x dx R d x （D ）0)(2222=-++R m x dxdR x dx R d x 上 10Z 0是方程W ‘’+P （Z ）W ‘+Q （Z ）W=0的正则奇点，用级数解法求解时，这个方程的“判定方程“为（A ）0)1(21=++---q sp s s （B ）0)1(21=++--q sp s s （C ）0)1(11=++---q sp s s （D ）0)1(22=++---q sp s s二、填空题1、已知解析函数22),()(y x y x u z f -=的实部，则这个解析函数为。

数学物理方法习题解答一、复变函数部分习题解答第一章习题解答1、证明Re z 在z 平面上处处不可导。

证明：令Re z u iv =+。

Re z x =，,0u x v ∴==。

1u x ∂=∂，0v y ∂=∂，u v x y∂∂≠∂∂。

于是u 与v 在z 平面上处处不满足C －R 条件， 所以Re z 在z 平面上处处不可导。

2、试证()2f z z=仅在原点有导数。

证明：令()f z u iv =+。

()22222,0f z z x y u x y v ==+ ∴ =+=。

2,2u u x y x y ∂∂= =∂∂。

v v x y∂∂ ==0 ∂∂。

所以除原点以外，,u v 不满足C －R 条件。

而,,u u v vx y x y∂∂∂∂ , ∂∂∂∂在原点连续，且满足C －R 条件，所以()f z 在原点可微。

()0000x x y y u v v u f i i x x y y ====⎛⎫∂∂∂∂⎛⎫'=+=-= ⎪ ⎪∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭。

或：()()()2*000lim lim lim 0z z x y z f z x i y z∆→∆→∆=∆=∆'==∆=∆-∆=∆。

22***0*000lim lim lim()0z z z z z z z zz z z z z z z z z=∆→∆→∆→+∆+∆+∆∆==+−−→∆∆∆。

【当0,i z z re θ≠∆=，*2i ze zθ-∆=∆与趋向有关，则上式中**1z z z z ∆∆==∆∆】3、设333322()z 0()z=00x y i x y f z x y ⎧+++≠⎪=+⎨⎪⎩，证明()z f 在原点满足C －R 条件，但不可微。

证明：令()()(),,f z u x y iv x y =+，则()332222220,=00x y x y u x y x y x y ⎧-+≠⎪=+⎨+⎪⎩，332222220(,)=00x y x y v x y x y x y ⎧++≠⎪=+⎨+⎪⎩。

数学物理方法吴崇试数学物理方法是指利用数学工具和物理理论对实际问题进行分析和解决的一种方法。

数学物理方法在科学研究和工程应用中起着重要的作用，它能够帮助我们深入理解自然现象，并且为我们提供了一种准确、精确的表达和描述现象的方式。

数学物理方法的应用范围非常广泛，从基础物理学的量子力学、电磁学、热力学等到应用物理学的材料科学、天体物理学等各个领域都可以应用数学物理方法进行分析和研究。

数学物理方法的一个重要应用是对物理系统的建模和求解。

在物理学研究中，我们通常需要对物理系统进行建模，即将实际问题转化为数学模型，并通过求解数学模型得到对问题的解答。

数学物理方法可以帮助我们构建合适的数学模型，并利用数学方法对模型进行求解。

例如，在量子力学中，我们可以通过波函数来描述微观粒子的行为，而利用薛定谔方程对波函数进行求解可以得到粒子的能级和波函数的模式。

另一个重要的应用是对实验数据的分析和处理。

在实验物理学中，我们通常需要对实验数据进行处理和分析，从而得到实验结果并进行验证。

数学物理方法可以提供各种统计分析、拟合曲线、误差估计等工具，帮助我们对实验数据进行处理。

例如，在材料科学中，我们可以利用数学统计方法来分析材料的性能，通过拟合曲线来估计材料的属性，并对实验误差进行估计。

数学物理方法还可以帮助我们解决一些复杂的物理问题。

在解决实际问题时，往往会遇到一些复杂的方程和算法，这些问题可能无法通过常规的方法求解。

数学物理方法提供了一些高级的数学技术，如微分方程的变换方法、线性代数的矩阵计算等，可以帮助我们解决这些复杂问题。

例如，在天体物理学中，我们可以利用数值计算方法来模拟恒星的演化过程，通过数值计算可以获得恒星的质量、温度和亮度等重要参数。

除了上述应用之外，数学物理方法还可以用于优化问题和控制问题的研究。

在一些工程学科中，我们通常需要对一些系统进行优化设计和控制。

数学物理方法可以提供优化算法和控制理论，帮助我们设计出最优的方案和实现控制目标。

数学物理方法第三版课后练习题含答案前言本文为数学物理方法第三版（Mathematical Methods in the Physical Sciences, 3rd Edition）的课后练习题及答案。

该书是经典的大学物理数学教材，广泛应用于物理、数学、工程等领域的学生和教师。

本文主要适用于该书的读者，希望能够帮助大家更好地掌握数学物理方法。

第一章1.1 给定函数 $f(x)=\\sin(x)$，求以下数值：(a) f(0)答：$f(0) = \\sin(0) = 0$(b) $f(\\pi)$答：$f(\\pi) = \\sin(\\pi) = 0$(c) $f(\\pi/2)$答：$f(\\pi/2) = \\sin(\\pi/2) = 1$(d) $f(-\\pi/2)$答：$f(-\\pi/2) = \\sin(-\\pi/2) = -1$1.2 给定函数f(x)=e x，求以下数值：(a) f(0)答：f(0)=e0=1(b) $f(\\ln 2)$答：$f(\\ln 2) = e^{\\ln 2} = 2$(c) $f(-\\ln 2)$答：$f(-\\ln 2) = e^{-\\ln 2} = 1/2$(d) f(−1)答：$f(-1) = e^{-1} \\approx 0.368$1.3 求解以下方程：(a) x2−2x−3=0解：使用求根公式 $x=\\frac{-b\\pm\\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，得$$x = \\frac{2\\pm\\sqrt{2^2-4\\times1\\times(-3)}}{2\\times1} = -1,3 $$所以方程的根为x=−1和x=3。

(b) x3+2x2−5x−6=0解：使用因式分解法，先猜一个根为x=1，得到一个因式(x−1)，然后用多项式长除法得到：x3+2x2−5x−6=(x−1)(x2+3x+6)不易得到另外两个根的精确解，所以这里只给出结果，方程的根为x=1，$x=-\\frac{3}{2}+i\\frac{\\sqrt{3}}{2}$ 和 $x=-\\frac{3}{2}-i\\frac{\\sqrt{3}}{2}$。

数学物理方法习题解答一、复变函数部分习题解答第一章习题解答1、证明Re z 在z 平面上处处不可导。

证明：令Re z u iv =+。

Re z x =，,0u x v ∴==。

1ux∂=∂，0v y ∂=∂，u v x y ∂∂≠∂∂。

于是u 与v 在z 平面上处处不满足C －R 条件， 所以Re z 在z 平面上处处不可导。

2、试证()2f z z=仅在原点有导数。

证明：令()f z u iv =+。

()22222,0f z z x y u x y v ==+ ∴ =+=。

2,2u u x y x y ∂∂= =∂∂。

v vx y∂∂ ==0 ∂∂。

所以除原点以外，,u v 不满足C －R 条件。

而,,u u v vx y x y∂∂∂∂ , ∂∂∂∂在原点连续，且满足C －R 条件，所以()f z 在原点可微。

()000000x x y y u v v u f i i x x y y ====⎛⎫∂∂∂∂⎛⎫'=+=-= ⎪ ⎪∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭。

或：()()()2*000lim lim lim 0z z x y z f z x i y z∆→∆→∆=∆=∆'==∆=∆-∆=∆。

22***0*00limlim lim()0z z z z z z zzz z z z z z zz z=∆→∆→∆→+∆+∆+∆∆==+−−→∆∆∆。

【当0,i z z re θ≠∆=，*2i z e z θ-∆=∆与趋向有关，则上式中**1z zz z∆∆==∆∆】 3、设333322()z 0()z=00x y i x y f z x y ⎧+++≠⎪=+⎨⎪⎩，证明()z f 在原点满足C －R 条件，但不可微。

证明：令()()(),,f z u x y iv x y =+，则()33222222,=00x y x y u x y x y x y ⎧-+≠⎪=+⎨+⎪⎩， 332222220(,)=00x y x y v x y x y x y ⎧++≠⎪=+⎨+⎪⎩。

数学物理方法第四版课后习题答案数学物理方法是一门综合性的学科，它既包含了数学的抽象思维和逻辑推理，又融合了物理的实证观察和实验验证。

对于学习数学物理方法的学生来说，课后习题是非常重要的一部分，通过解答习题可以巩固所学的知识，提高问题解决能力。

本文将为读者提供《数学物理方法第四版》课后习题的答案，帮助读者更好地理解课本内容。

第一章：数学物理方法的基础1.1 习题答案：a) 由于是一元函数，所以可以将其表示为幂级数的形式：f(x) = a0 + a1x + a2x^2 + ...将f(x)代入微分方程，整理得到：a2 + (a3 - a1)x + (a4 - 2a2)x^2 + ... = 0由于等式左侧是一个幂级数，所以等式两边的每一项系数都为零，解得：a2 = 0a3 - a1 = 0a4 - 2a2 = 0...解得：an = 0 (n为偶数)an = an-2/n(n-1) (n为奇数)b) 将f(x)代入微分方程，整理得到：2a2 + (3a3 - a1)x + (4a4 - 2a2)x^2 + ... = 0a2 = 0a3 - a1 = 0a4 - 2a2 = 0...解得：an = 0 (n为偶数)an = an-2/(n+1)(n+2) (n为奇数)1.2 习题答案：a) 根据题意，设矩形的长为L，宽为W，则有：2L + 2W = 100LW = A解得：L = 50 - WW(50 - W) = AW^2 - 50W + A = 0由于W为矩形的宽度，所以W > 0，根据二次方程的性质，判别式D = 2500 - 4A > 0解得：A < 625b) 根据题意，设矩形的长为L，宽为W，则有：2L + 2W = 100解得：L = 50 - WW(50 - W) = AW^2 - 50W + A = 0由于W为矩形的宽度，所以W > 0，根据二次方程的性质，判别式D = 2500 - 4A ≥ 0解得：A ≤ 625第二章：向量分析2.1 习题答案：a) 根据题意，设向量A的分量为(A1, A2, A3)，向量B的分量为(B1, B2, B3)，则有：A ×B = (A2B3 - A3B2, A3B1 - A1B3, A1B2 - A2B1)A ·B = A1B1 + A2B2 + A3B3解得：A ×B = (1, -1, 2)A ·B = 3b) 根据题意，设向量A的分量为(A1, A2, A3)，向量B的分量为(B1, B2, B3)，则有：A ×B = (A2B3 - A3B2, A3B1 - A1B3, A1B2 - A2B1)A ·B = A1B1 + A2B2 + A3B3A ×B = (1, -1, 2)A ·B = 0以上是《数学物理方法第四版》第一章和第二章部分习题的答案，希望读者通过这些答案能够更好地理解课本内容，提高问题解决能力。

数学物理方法复习题答案一、单项选择题（每题2分，共10分）1. 以下关于复数的表述中，错误的是：A. 复数可以表示为a+bi的形式，其中a和b是实数，i是虚数单位B. 两个复数相等当且仅当它们的实部和虚部分别相等C. 复数的模是实部和虚部平方和的平方根D. 复数的共轭是将虚部的符号改变答案：D2. 傅里叶级数展开中，函数f(x)在区间[-L, L]上的傅里叶系数an的计算公式为：A. \(\frac{1}{L} \int_{-L}^{L} f(x) \cos\left(\frac{n\pix}{L}\right) dx\)B. \(\frac{1}{2L} \int_{-L}^{L} f(x) \sin\left(\frac{n\pix}{L}\right) dx\)C. \(\frac{1}{2L} \int_{-L}^{L} f(x) \cos\left(\frac{n\pix}{L}\right) dx\)D. \(\frac{1}{L} \int_{-L}^{L} f(x) \sin\left(\frac{n\pix}{L}\right) dx\)答案：C3. 以下哪个函数是偶函数：A. \(e^x\)B. \(\sin(x)\)C. \(x^2\)D. \(\cos(x)\)答案：C4. 拉普拉斯变换的定义是：A. \(F(s) = \int_{0}^{\infty} e^{-st} f(t) dt\)B. \(F(s) = \int_{-\infty}^{\infty} e^{-st} f(t) dt\)C. \(F(s) = \int_{0}^{\infty} e^{st} f(t) dt\)D. \(F(s) = \int_{-\infty}^{\infty} e^{st} f(t) dt\)答案：A5. 以下哪个积分是不定积分：A. \(\int e^x dx\)B. \(\int \frac{1}{x} dx\)C. \(\int \sin(x) dx\)D. \(\int \cos(x) dx\)答案：B二、填空题（每题3分，共15分）1. 复数 \(3 + 4i\) 的模是 ________。