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定积分的换元积分法

定积分的换元积分法
0 1t
2t ln | 1 t | 2 4 2ln 3. 0
补例 计算 ln8 1 ex dx. ln 3
解令
1ex t,
则
x
=
ln(t2
-
1)
， dx

2tdt t2 1
.
x ln3 ln8
t23
于是
ln8 ln 3
1 ex dx
3 2t 2 dt 2 t2 1
2
3 1 2
t
2
1
1

dt
3

2 t

1 2
ln
t t
1 1

2
2 ln 3 . 2
4.3.2 定积分的分部积分法
设函数 u = u(x)， v = v(x) 在区间 [a, b] 上具
有连续导数， 即 u = u(x)， v = v(x) 连续，由不 定积分的分部积分法， 得
64 32
试比较下列例题的两种解题方法：
2 xex2 dx 0
换元
令tx2 , xdx 1 dt 2

1
4 et dt
2 当x0时,t=0,当x2时,t 4 0
2 xex2 dx 0
1 2 ex2 dx2（凑微分） 20
1 ex2 2
1 et 4
当 x 0时,t 0,当x 1时,t
6 由定积分的换元积分法，得
1

4 x2 dx 2 6

1 sin2 t 2 cos tdt 4 6 cos2 tdt
0
0
0

4
6

§3.3定积分换元法

§3.3定积分换元法

π 2
0
sin n xdx = − ∫
π 2
0
sin n −1 xd (cos x )
π 2 0
= − sin n −1 x cos x
[
= (n − 1) ∫
π 2 0 π 2
]
π 2 0
+∫
cos xd (sin n −1 x )
cos 2 x sin n − 2 xdx
= (n − 1) ∫
0
8．已知 g ( x ) = ∫ t f ′( x − t )dt ，求 g′( x ) 。
0
x
g( x ) = ∫ t f ′( x − t )dt
0
x 0
x
令x−t=u
=
− ∫ ( x − u ) f ′(u )du
x
0
= ∫ ( x − u ) f ′(u )du = x
x
∫0 f ′(u )du − ∫0 uf ′(u )du
a a ∫ 0 f(− x) dx
0
f(x) dx =
+
a ∫0
f(x) dx = ∫ [ f(x) + f(− x)] dx.
0
a
续上
∴∫
a
−a
f(x) dx = ∫ [f(x) + f( − x)] dx ，
0
a
（2）∵ f ( x ) 为偶函数，即 f (− x ) = f ( x ) ，
∴∫
π 2 sin 2 t − 1 dt π sin t 6
6 cos t dt = π cos t sin t 2
∫
6 cos t dt π cos t ⋅ sin t 2

第五章定积分的换元法

第五章定积分的换元法
定积分的换元法
上一节我们建立了积分学两类基本问题 之间的联系——微积分基本公式，利用这 个公式计算定积分的关键是求出不定积分 ，而换元法和分部积分法是求不定积分的 两种基本方法，如果能把这两种方法直接 应用到定积分的计算，相信定能使得定积 分的计算简化，下面我们就来建立定积分 的换元积分公式和分部积分公式。
1 2
偶函数
x 4 0 dx 2 1 1 x 2 2 1 x (1 1 x ) 4 0 dx 2 1 (1 x )
1
2
奇函数
40 (1 1 x )dx 4 40
1 2
1
1 x dx
2
4 .
四分之一单位圆的面积
例9
若 f ( x ) 在[0,1]上连续，证明
（2） 求出 f [ ( t )] ( t ) 的一个原函数( t ) 后，不 必象计算不定积分那样再要把( t ) 变换成原 t 的上、下限 变量 x 的函数，而只要把新变量 分别代入( t ) 然后相减就行了.
例2 计算
a
解1 由定积分的几何意义
0
a
a x dx
2 2
y a x
则 有 a f ( x )dx f [ ( t )] ( t )dt .
b

证
设F ( x ) 是 f ( x ) 的一个原函数，
a f ( x )dx F (b) F (a),
(t ) F [(t )],
dF dx f ( x ) (t ) f [(t )](t ), ( t ) dx dt
t cos x, dt sin xdx ,
x 0 0
2
cos 5 x sin xdx

第三节定积分的换元积分法

第三节定积分的换元积分法

F[ ( x)]
a
注意：这里没有引进新的积分变量，因而积分上、
下限没有变化。这种换元法对应着不定积分的凑微
分法
3
例1 求 （1 2 x 1）100dx. 0
解 1 (2 x 1)100 dx 1 1(2x 1)100d(2x 1)
0
20

1 [ 1 (2x 2 101
0
0

[cos6 6
x

]02

0

1 6


1 6
显然,解法二简单
说明：不换元不换限，换元必换限.
10
例7 计算 a a 2 x 2 dx. 0
x 0a
解 令x a sint,则dx a cos tdt
t 0
2
原式

2 0
a 2 cos2 tdt
当x 0时， t 0; 当x 4时，t 2.
4
1
dx
2
2t
dt 2
2t 11 dt
0 1 x
0 1 t
0 1t

2
2
(1
0
1 1
t )dt
2
2
dt
0

2
21 0 1
d(1 t
t)
2
4 2[ln(1 t )] 0
4 2ln3
1)101 ]10
1 [1101 (1)101] 1
202
101
4
例2 求
e ln x dx.
1x
解
e ln xdx 1x
e 1

§6.4定积分的计算分部积分与换元公式

§6.4定积分的计算分部积分与换元公式

分部积分与换元公式
(2) f ( x)为奇函数，则 f (x) f (x),
a
a
a
f ( x)dx f ( x)dx f ( x)dx 0
a
0
0
(3) aT f xdx 0 f xdx T f xdx aT f xdx
a
a
0
T
(u x T)
aT f xdx a f udu
解 f ( x) sin3 x sin5 x cos x sin x2
sin3 x sin5 xdx
cos
x
sin
x
3
2
dx
0
0
3
2 cos xsin x2 dx
0
cos
xsin
x
3
2
dx
3
2 sin x2 d sin x
0
2
sin
x
3
2
d
sin
x
2
sin
5
x 2
2
2
2
(2)若 f ( x)为偶函数，且在[a, a]上可积，则
a
a f ( x)dx 0.
(3)若f (x)是R上的周期为T的连续函数，则对任 意实数a,成立
aT f xdx T f xdx
a
0
分部积分与换元公式
证
a
0
a
f ( x)dx f ( x)dx f ( x)dx,
a
a
0
x2dx1 x2140x
2(1 1 (1
1
x x2)
2
)
dx
4 1 0
(1
1 x2 )dx
4 4 1 x dx 1

定积分换元法

定积分换元法

∫a
a +T
f ( x )dx = ∫ f ( x )dx
0
T
a为任何常数 .
周期函数在任何长为一周期的 这个公式就是说： 这个公式就是说： 区间上的定积分都相等. 区间上的定积分都相等 (留给同学证 留给同学证) 留给同学证
二、小结
定积分的换元法
∫a f ( x )dx = ∫α
b
β
f [ϕ ( t )]ϕ ′( t )dt
a
∫
定积分的换元法和分部积分法
换元积分 还可以证明一些定积分等式 通常 还可以证明一些定积分等式, 被积函数的变化和积分区间变化来确定变换 来确定变换. 由被积函数的变化和积分区间变化来确定变换 几个关于奇、 几个关于奇、偶函数及周期函数的定积分 的例子. 的例子 例 设f ( x )在区间[ − a , a ]上可积 , 则
π
π
0
= ∫ (π − t ) f (sin t )dt
0
π
t t t = ∫ π f (sin t )dt − ∫ x f (sinx)dx 0 0 π π π ∴ ∫ xf (sin x )dx = ∫ f (sin x )dx . 0 2 0
π
定积分的换元法和分部积分法
∫0 xf (sin x )dx = 2 ∫
π
π2
x sin x 说明:尽管 说明 尽管 ∈ C [0, π ], 但由于它没有 2 1 + cos x 公式求得. 公式求得 初等原函数, 故此积分无法直接用N--L公式求得 初等原函数 故此积分无法直接用
定积分的换元法和分部积分法
周期函数的定积分公式
如果 T是连续函数 f ( x )的周期, 则

定积分的换元法

2
；
2
1
1+ x
∫
∫
5. 7. 8. 9.
∫
π
1
0
1 + cos 2 x dx ；
6.
π 2 π − 2 π 2 π − 2
cos x − cos 3 x dx ；
4cos 4 θ dθ
；
∫ ∫ ∫
−1 2
( x 2 1 − x 2 + x 3 1 + x 2 )dx ；
0 2 0
max{ x , x 3 }dx ； x x − λ dx
1 sec t ⋅ tan tdt sec t ⋅ tan t
= − ∫2 π
π dt = − . 12
练习题
一、 填空题： 填空题：
π 1. ∫ π sin( x + )dx = ___________________； ___________________； 3 3
π
2. 3. 4.
∫ ∫
π
0
t 1 = − ∫ t dt = = . 1 60 6
5
6 1
应用换元公式时应注意（ 应用换元公式时应注意（一）:
（1）用 x = ϕ ( t ) 把变量 x 换成新变量 换成新变量 t 时，积分限 积分限也
相应的改变 相应的改变. 改变.
求出 f [ϕ ( t )]ϕ ′( t )的一个原函数 Φ( t ) 后，不必 （2 ） 象计算不定积分那样再要把 Φ( t ) 回代成原变量 x 的函数， 的函数，而只要把新变量 t 的上、 的上、下限分别代 入 Φ( t ) 然后相减就行了. 然后相减就行了.
（ λ 为参数 ）.
1 , 当x ≥ 0时， 1 + x 三、 设 f ( x ) = 求 1 , 当x < 0时， 1 + e x

定积分的换元法


dt sin xdx ,
x t 0, 2
x 0 t 1,
0
2
cos 5 x sin xdx
0 5
6 1
t 1 1 t dt . 60 6
例2
计算 0

sin 3 x sin 5 xdx .
3 2
解
f ( x ) sin 3 x sin 5 x cos x sin x
5、 2 2 ；
17 8 当 0 时 9、 ； 10、 , 2 ； 当0 2 4 3 8 8 3 2 时, 2 ； 当 时, 2 . 3 3 3 1 三、 1 ln( 1 e ) . 六、 2.
3 6、 ； 2
7、 ； 4
8、 ； 8
2
3 3 4
dt . 12
思考题解答
计算中第二步是错误的.
x sec t
x 2 1 tan t tan t .
2 3 t , , tan t 0, 3 4
正确解法是
2
2
dx x x2 1
3 4 3
x sec t
由此计算

2 0

x sin sin x sinx x . dx dx dx 2 2 sin x cos 1 cos x x 2 0 1 cos x
1 d (cos x ) arctan(cos x ) 0 2 0 2 2 1 cos x
2 0 2
( x 2 1 x 2 x 3 1 x 2 )dx ；
8、 max{ x , x 3 }dx ； 9、 x x dx

常用积分换元公式

常用积分换元公式积分是微积分中的重要概念之一，可以用来求解函数的面积、曲线的长度、体积等问题。

而积分换元法是求解定积分中的一个常用方法，通过引入新的变量，使得被积函数变得更简单从而更容易求解。

在实际问题中，我们常常遇到的被积函数都有一些特定的形式，可以利用常用积分换元公式来求解。

下面将介绍一些常用的积分换元公式。

设函数f(x)在区间[a,b]上连续可导，且g(t)是[a,b]上的连续可导函数，且g(t)的导函数g'(t)在[a,b]上连续，则有∫f(g(t))g'(t)dt = ∫f(x)dx这个公式是一般的积分换元公式，通过引入新的变量t来进行积分。

将被积函数中的x替换成g(t)，并将原函数f(g(t))g'(t)dt 中的变量替换为f(x)dx，就可以利用这个公式进行换元计算。

2.三角换元公式当被积函数中含有三角函数时，可以利用三角换元公式简化计算。

(1) ∫sin^2(x)dx = 1/2x - 1/4sin(2x) + C(2) ∫cos^2(x)dx = 1/2x + 1/4sin(2x) + C这两个公式的推导可以通过将sin^2(x)和cos^2(x)用半角公式展开得到。

(3) ∫tan^2(x)dx = x - tan(x) + C(4) ∫cot^2(x)dx = -x - cot(x) + C这两个公式的推导可以通过将tan^2(x)和cot^2(x)用sec^2(x)和csc^2(x)来表达然后进行换元得到。

3.指数换元公式当被积函数中含有指数函数时，可以利用指数换元公式简化计算。

(1) ∫e^x dx = e^x + C(2) ∫a^x dx = 1/ln(a) * a^x + C这两个公式的推导可以通过对指数函数的导数进行积分求解得到。

4.对数换元公式当被积函数中含有对数函数时，可以利用对数换元公式简化计算。

(1) ∫1/x dx = ln，x， + C(2) ∫log_a(x) dx = x * (log_a(x) - 1) / ln(a) + C其中log_a(x)表示以a为底的对数函数，ln(x)表示以e为底的对数函数。

(临时)定积分的换元公式


上连续； （1 ） f ( x ) 在[a , b]上连续；
（3）ϕ (α ) = a 、ϕ ( β ) = b ， x = ϕ (t ) ， t ∈ [α , β ] 值域 [a, b] 。
则 有 ∫a f ( x )dx = ∫α f [ϕ ( t )]ϕ ′( t )dt .
b
β
例1 解
计算
π 2
∫0
π 2
cos x sin xdx .
5
5
∫0 = ∫ − cos
π
2
cos x sin xdx
5
0
xd cos x
π
cos 6 x 2 = 1 . =− 6 6 0
上连续， l、设 f ( x )在[ a , b ]上连续， 证明
换元技巧 （1）上下限互换 ）
∫
b
a
f ( x )dx =
I4 = [− cos x ⋅ sin x]
3
π
2
0
π
2
+ 3∫ sin x cos x dx
2
π
2
2
0
− 3∫ sin 4 x dx = 3 sin dx 0 0 π 3×1 π 3 2 I4 = ∫ sin x dx = 4× 2 2 4 0
∫
π
2
0 2
2
例4
计算(youjiqiao ) 计算(youjiqiao
1 2 cos t + sint = ∫ dt 2 0 sin t + cos t
π
π = . 4
例. 设
求
解:
(分部积分 分部积分) 分部积分
例 7 若 f ( x ) 在[0,1]上连续，证明 上连续， （1） ∫ f (sin x )dx = ∫ f (cos x )dx ;
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