定积分换元法(新、选)
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高数课件19定积分的换元积分
换元法的基本类型
02
三角换元法
定义：将积分区间内的变量替换为三角函数形式，从而简化积分的计 算
适用条件：积分区间为[0, π]或[0, 2π]，被积函数中含有三角函数
步骤：选择适当的三角函数替换变量，然后利用三角函数的性质进行 积分
优点：简化计算，提高计算效率
倒代换法
定义：将积分变 量替换为另一个 变量，使得积分 更容易计算
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,
高数课件19定积分的换元积分(2)
汇报人：
汇报时间：20XX/01/01
目录
01.
定积分的 换元法基 本概念
02.
换元法的基 本类型
03.
换元法的应 用实例
04.
换元法的注 意事项Fra bibliotek05.
换元法的扩 展应用
定积分的换元法基本概念
01
换元法的定义和原理
换元法：在积分过程中，通过引入新的变量，将 复杂的积分转化为简单的积分
换元法的应用范围
定积分的换元法适用于求解复杂 积分
换元法可以解决一些无法直接积 分的问题
添加标题
添加标题
换元法可以简化积分计算过程
添加标题
添加标题
换元法可以应用于求解定积分的 极限问题
换元法的计算步骤
选择适当的换元变量
确定换元公式
计算新的积分区间
计算新的积分函数
计算新的积分值
换回原变量，得到最终 结果
数学：在数学分析、微分方程、积分方程等领域，换元法可以用来求解复杂的微分方程和积分方 程。
计算机科学：在计算机科学、人工智能等领域，换元法可以用来求解复杂的优化问题、数值计算 问题等。
在金融、经济等领域的应用
理学定积分的换元法
1
例
计算
1
0
1 x2 d x .
令 x sin t
解 先用不定积分求被积函数的一个原函数：
1
x2
dx
cos2
tdt
1 2
(1 cos 2 t)d t
t sin 2 t C 1 arcsin x 1 x 1 x2 C
24
2
2
由牛顿 ——莱布尼兹公式，得
1
0
1 x2 d x 1 arcsin x 1 x
0
3
解 f ( x) sin3 x sin5 x cos x sin x2
sin3 x sin5 xdx
cos
x
sin
x
3
2
dx
0
0
3
2 cos xsin x2 dx
0
cos
xsin
x
3
2
dx
3
2 sin x2 d sin x
0
2
sin
x
3
2
d
sin
x
2
sin
5
x 2
2
F (b) F (a) F[( )] F[( )]
(t) (t)
5
(t) (t)
说明:
1) 当 < , 即区间换为 [ , ]时，定理 1 仍成立 .
2) 必需注意换元必换限 , 原函数中的变量不必代回 .
3) 换元公式也可反过来使用 , 即
(t) (t)
b
a f ( x)d x
(令 x (t))
dx
x t
0( d t ) .
0
19
例 A.
cos105
例
计算
1
0
1 x2 d x .
令 x sin t
解 先用不定积分求被积函数的一个原函数：
1
x2
dx
cos2
tdt
1 2
(1 cos 2 t)d t
t sin 2 t C 1 arcsin x 1 x 1 x2 C
24
2
2
由牛顿 ——莱布尼兹公式，得
1
0
1 x2 d x 1 arcsin x 1 x
0
3
解 f ( x) sin3 x sin5 x cos x sin x2
sin3 x sin5 xdx
cos
x
sin
x
3
2
dx
0
0
3
2 cos xsin x2 dx
0
cos
xsin
x
3
2
dx
3
2 sin x2 d sin x
0
2
sin
x
3
2
d
sin
x
2
sin
5
x 2
2
F (b) F (a) F[( )] F[( )]
(t) (t)
5
(t) (t)
说明:
1) 当 < , 即区间换为 [ , ]时，定理 1 仍成立 .
2) 必需注意换元必换限 , 原函数中的变量不必代回 .
3) 换元公式也可反过来使用 , 即
(t) (t)
b
a f ( x)d x
(令 x (t))
dx
x t
0( d t ) .
0
19
例 A.
cos105
定积分换元法
03
示例
$int frac{sin x}{x} dx$ 可以转化为 $int frac{1}{tan x} d(tan x)$，进一步 简化为 $ln|tan x| + C$。
根式换元法
总结词
通过引入根式，将复杂的积分问题转化为简单的积分问题。
详细描述
根式换元法通常用于解决与根式有关的定积分问题。通过选择 适当的根式，可以将原函数转化为更易于积分的标准形式，从
练习题三
题目
计算$int_{0}^{frac{pi}{2}}frac{sin x}{1 + cos x}dx$。
解析
令$t = cos x$，则$dt = -sin xdx$，代入 原积分得$int_{- 1}^{1}frac{t}{1 + t}dt = ln|1 + t||_{- 1}^{1} = 0$。
定积分换元法
目录
• 引言 • 定积分换元法的原理 • 定积分换元法的实例 • 定积分换元法的注意事项 • 定积分换元法的练习题和解析
01
引言什么是定积分换元法 Nhomakorabea定义
定积分换元法是一种通过引入中间变 量来简化定积分计算的方法。通过选 择适当的中间变量，将原定积分转化 为更容易计算的形式。
目的
通过换元，将复杂的积分问题转化为 简单的问题，简化计算过程，提高计 算效率。
感谢您的观看
THANKS
练习题二
题目
计算$int_{0}^{1}frac{x^{2}}{1 + x^{4}}dx$。
解析
令$t = x^{2}$，则$dt = 2xdx$，代入原积分得$int_{0}^{1}frac{t}{1 + t^{2}}dt = frac{1}{2}int_{0}^{1}frac{2t}{1 + t^{2}}dt = frac{1}{2}ln(1 + t^{2})|_{0}^{1} = frac{1}{2}ln2$。
12-定积分的换元法课件
即 F[(t)]是 f [(t)](t) 的一个原函数．所以
f [(t)](t) d t
F[( )] F[( )]
b
F(bf )(
x)Fd
(xa．)Leabharlann a定积分的换元积分公式
令 x (t) ，则
b
f (x)d x
f [(t)](t) d t ，
a
其中( ) a ，( ) b．
注 在定积分的换元公式中，当用 x (t) 把原来
b f [(x)]d[(x)] F[(x)] b ，
a
a
a
其中F (u)是 f (u)在 [, ] (或 [ ,] ) 上的一个原函数．
上下限不需要变化!!!
π
例 求积分 2 sin5 x cos x d x ． 0
π
π
解 2 sin5 x cos x d x 2 sin5 x d(sin x)
0
0
⑵ 令 x π t ，则
sin( x) sin x sin(2 x) cos x
π
0
x f (sin x) d x (π t) f [sin(π t)](1) d t
0
π
π
0 (π t) f (sin t) d t
π
π
定积分与积分
π f (sin t) d t t f (sin t) d t
T 为周期
aT f (x)d x
a
f (u T )d u
a
f (u) d u
a f (x)d x ，
T
0
0
0
于是
定积分与积分变量名称无关
a T
0
T
a
f (x) d x f (x) d x f (x) d x f (x) d xx
第五章定积分的换元法
定积分的换元法
上一节我们建立了积分学两类基本问题 之间的联系——微积分基本公式，利用这 个公式计算定积分的关键是求出不定积分 ，而换元法和分部积分法是求不定积分的 两种基本方法，如果能把这两种方法直接 应用到定积分的计算，相信定能使得定积 分的计算简化，下面我们就来建立定积分 的换元积分公式和分部积分公式。
1 2
偶函数
x 4 0 dx 2 1 1 x 2 2 1 x (1 1 x ) 4 0 dx 2 1 (1 x )
1
2
奇函数
40 (1 1 x )dx 4 40
1 2
1
1 x dx
2
4 .
四分之一单位圆的面积
例9
若 f ( x ) 在[0,1]上连续，证明
（2） 求出 f [ ( t )] ( t ) 的一个原函数( t ) 后，不 必象计算不定积分那样再要把( t ) 变换成原 t 的上、下限 变量 x 的函数，而只要把新变量 分别代入( t ) 然后相减就行了.
例2 计算
a
解1 由定积分的几何意义
0
a
a x dx
2 2
y a x
则 有 a f ( x )dx f [ ( t )] ( t )dt .
b
证
设F ( x ) 是 f ( x ) 的一个原函数，
a f ( x )dx F (b) F (a),
(t ) F [(t )],
dF dx f ( x ) (t ) f [(t )](t ), ( t ) dx dt
t cos x, dt sin xdx ,
x 0 0
2
cos 5 x sin xdx
上一节我们建立了积分学两类基本问题 之间的联系——微积分基本公式，利用这 个公式计算定积分的关键是求出不定积分 ，而换元法和分部积分法是求不定积分的 两种基本方法，如果能把这两种方法直接 应用到定积分的计算，相信定能使得定积 分的计算简化，下面我们就来建立定积分 的换元积分公式和分部积分公式。
1 2
偶函数
x 4 0 dx 2 1 1 x 2 2 1 x (1 1 x ) 4 0 dx 2 1 (1 x )
1
2
奇函数
40 (1 1 x )dx 4 40
1 2
1
1 x dx
2
4 .
四分之一单位圆的面积
例9
若 f ( x ) 在[0,1]上连续，证明
（2） 求出 f [ ( t )] ( t ) 的一个原函数( t ) 后，不 必象计算不定积分那样再要把( t ) 变换成原 t 的上、下限 变量 x 的函数，而只要把新变量 分别代入( t ) 然后相减就行了.
例2 计算
a
解1 由定积分的几何意义
0
a
a x dx
2 2
y a x
则 有 a f ( x )dx f [ ( t )] ( t )dt .
b
证
设F ( x ) 是 f ( x ) 的一个原函数，
a f ( x )dx F (b) F (a),
(t ) F [(t )],
dF dx f ( x ) (t ) f [(t )](t ), ( t ) dx dt
t cos x, dt sin xdx ,
x 0 0
2
cos 5 x sin xdx
定积分换元积分法的不同换元方法
一、定积分的换元积分法概述定积分的换元积分法是计算定积分的一种重要方法，其主要思想是通过变量替换的方式将原积分转化为一个更容易求解的形式。
这种方法在解决复杂的定积分问题时具有较大的实用价值，因此对于不同的换元方法的掌握和熟练应用显得尤为重要。
二、常见的换元方法在定积分的换元积分法中，常见的换元方法包括但不限于以下几种：1. 第一类换元法：直接代入法直接代入法是指直接将被积函数中的某一个部分用一个变量表示并进行代入的方法。
通常适用于被积函数较简单的情况，能够将原积分转化为一个更容易处理的形式。
2. 第二类换元法：三角代换法三角代换法是指通过选取合适的三角函数来进行变量替换，将原积分转化为三角函数的积分形式。
这种方法通常适用于出现平方根和平方项时的情形，通过选择合适的三角函数可以使原积分变得更加简单。
3. 第三类换元法：指数代换法指数代换法是指通过选取适当的指数函数进行变量替换，将原积分转化为指数函数的积分形式。
这种方法通常适用于出现指数函数和对数函数时的情形，能够将原积分化为更容易处理的形式。
4. 第四类换元法：倒代换法倒代换法是指通过选取合适的变量倒数进行变量替换，将原积分从一个区间转化为另一个区间或者将原积分中的除法项转化为乘法项。
这种方法通常适用于变量之间的换元关系为倒数关系的情形，能够简化原积分的形式。
三、不同换元方法的选用原则在实际应用中，选择合适的换元方法是十分重要的。
一般而言，可以根据以下原则进行选择：1. 根据被积函数的形式选择当被积函数具有特定的形式时，可以根据不同的形式选择对应的换元方法。
如当被积函数中出现三角函数时，可以考虑使用三角代换法；当被积函数中出现指数函数时，可以考虑使用指数代换法。
2. 根据逆变换的便捷性选择在选择换元方法时，通常也要考虑逆变换的便捷性。
换元后新的积分形式是否容易转化回原来的变量，这将影响到最终的计算复杂程度。
3. 根据积分区间的选择当积分区间发生变化时，可以考虑使用倒代换法将原积分转化为更便于处理的形式，从而简化计算过程。
第三节定积分的换元积分法
F[ ( x)]
a
注意：这里没有引进新的积分变量，因而积分上、
下限没有变化。这种换元法对应着不定积分的凑微
分法
3
例1 求 （1 2 x 1）100dx. 0
解 1 (2 x 1)100 dx 1 1(2x 1)100d(2x 1)
0
20
1 [ 1 (2x 2 101
0
0
[cos6 6
x
]02
0
1 6
1 6
显然,解法二简单
说明：不换元不换限，换元必换限.
10
例7 计算 a a 2 x 2 dx. 0
x 0a
解 令x a sint,则dx a cos tdt
t 0
2
原式
2 0
a 2 cos2 tdt
当x 0时， t 0; 当x 4时，t 2.
4
1
dx
2
2t
dt 2
2t 11 dt
0 1 x
0 1 t
0 1t
2
2
(1
0
1 1
t )dt
2
2
dt
0
2
21 0 1
d(1 t
t)
2
4 2[ln(1 t )] 0
4 2ln3
1)101 ]10
1 [1101 (1)101] 1
202
101
4
例2 求
e ln x dx.
1x
解
e ln xdx 1x
e 1
定积分换元法
∫a
a +T
f ( x )dx = ∫ f ( x )dx
0
T
a为任何常数 .
周期函数在任何长为一周期的 这个公式就是说： 这个公式就是说： 区间上的定积分都相等. 区间上的定积分都相等 (留给同学证 留给同学证) 留给同学证
二、小结
定积分的换元法
∫a f ( x )dx = ∫α
b
β
f [ϕ ( t )]ϕ ′( t )dt
a
∫
定积分的换元法和分部积分法
换元积分 还可以证明一些定积分等式 通常 还可以证明一些定积分等式, 被积函数的变化和积分区间变化来确定变换 来确定变换. 由被积函数的变化和积分区间变化来确定变换 几个关于奇、 几个关于奇、偶函数及周期函数的定积分 的例子. 的例子 例 设f ( x )在区间[ − a , a ]上可积 , 则
π
π
0
= ∫ (π − t ) f (sin t )dt
0
π
t t t = ∫ π f (sin t )dt − ∫ x f (sinx)dx 0 0 π π π ∴ ∫ xf (sin x )dx = ∫ f (sin x )dx . 0 2 0
π
定积分的换元法和分部积分法
∫0 xf (sin x )dx = 2 ∫
π
π2
x sin x 说明:尽管 说明 尽管 ∈ C [0, π ], 但由于它没有 2 1 + cos x 公式求得. 公式求得 初等原函数, 故此积分无法直接用N--L公式求得 初等原函数 故此积分无法直接用
定积分的换元法和分部积分法
周期函数的定积分公式
如果 T是连续函数 f ( x )的周期, 则
定积分的换元法第二篇
当x0时,t 1; x4时, t 3.
∴
原式 =
3
t2 1 2
2 t
dt
1t
1 3(t23)dt
21
12(
1t3 3
3t
)
3 1
22 3
注：换元公式也可反过来使用 , 即得定积分的 第一类换元公式：
f[
(t
)
](t)
dt
b
f (x)dx
a
(令 x(t))
或
f[
(t
)
](t)
dt
f
[
(t
)
证: aa f(x)dx 0a f (x)dx0af(x)dx
0af(t)dt 0af(x)dx
令xt
0 a [f(x)f(x)]dx
20af(x)dx,
0,
f(x)f(x)时 f(x)f(x)时
该题几何意义是很明显的，如图所示:
y -a O
y
a
ax
O ax
例6
计算
1
2x2xcoxs dx.
0
0
16cosx02
1. 6
例4 计算 si3n xsi5n xd.x 0 3
解 f(x)si3x n si5x ncoxssinx2
si3n xsi5n xdx
coxssin x2 3dx
0
0
区间可加性
3
2coxssinx2dx
0
coxssinx23dx
2 0
3
sinx2dsinx
第四章
3.2 定积分的换元法
换元公式
定理 假 设
（ 1） f(x)在 [a,b]上 连 续 ；
定积分的换元法
例12 设 f ( x ) 连续
解
二、小结
定积分的换元法 几个特殊积分、定积分的几个等式
思考题
解令
思考题解答
计算中第二步是错误的.
正确解法是
练习题
练习题答案
由定积分的几何意义，这个结论也是比较明显的
例8 计算 解 原式
偶函数
奇函数
四分之一单位圆的面积
证 （1）设 （2）设
另证 将上式改写为
奇函数
例10 设 f(x) 是以L为周期的连续函数，证明
证明
与 a 的值无关
例11 设 f(x) 连续，常数 a > 0 证明
证明 比较等式两边的被积函数知，
先来看一个例子
例1
换元求不定积分 令
则
故
尝试一下直接换元求定积分
为去掉根号 令
则
当 x 从0连续地增加到4时，t 相 应地从1连续地增加到3
于是
由此可见，定积分也可以象不定积分一 样进行换元，所不同的是不定积分换元时要 回代原积分变量，而对定积分则只需将其上 、下限换成新变量的上、下限即可计算出定 积分，而不必回代原积分变量
将上例一般化就得到定积分的换元积分公式
一、换元公式
证
应用换元公式时应注意:
（1）
（2）
例2 计算 解1 由定积分的几何意义
o 等于圆周的第一象限部分的面积 解2
故
解3 令
解4 令 仍可得到上述结果
例3 计算 解令
注
定积分的换元积分公式也可以反过来使用
为方便计 将换元公式的左、右两边对调
同时把 x 换成 t ， t 换成 xFra bibliotek这说明可用
引入新变量
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定积分换元法
1、先做这个题
这个题用一般的方法是无法解出来的，因为不知道到底哪个函数求导后是。
我们可以设x=a*sin t，要x从0取到a，只要t从0取到π/2就行。
现在就用a*sin t代替x。
那么，就有
求导数等于cos（2t）的函数是很容易求出来的。
结果为
总结：所谓的换元思想，就是替换。
x既可以理解成一个自变量，也可以理解成一个函数。
这个例题中把它当成自变量不好解，就尝试把它看成是一个函数。
这个函数是你自己可以编的。
你可以用x=a*cos t（-π/2<t<0）替换也行。
或者，
x=t²（0<t<a）（当然，因为这样并不能将开出来，所以虽然换元没问
题，但开不出来也没用）
将一个自变量自己编为一个合适的函数，这就是第一类换元法
2、再看一个题目
这个题目，Sin xdx=-dcos x的。
于是有
这里把cos x看成了一个整体，相当于，把整个函数看成了一个自变量。
即t=cos x ，根据x从0取π时，t从1取到0。
将整体看成一个自变量，这就是第二类换元法。
再看一下标准的定理：
正向是第一类，逆向是第二类。
应该能理解了。
就是把单独的变量看成一个整体和把整体看成一个变量的事。
注意好积分号的上下限。
最新文件仅供参考已改成word文本。
方便更改。