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1二重积分的概念与性质

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二重积分的概念及性质

二重积分的概念及性质

积分对变量的可加性
定义
如果f(x,y)在平面上是可积的，那么对于任 意的a和b，有 ∫∫Df(x,y)dσ=∫a→bf(x,y)dσ+∫∫Df(x,y)dσ， 其中D是包含在区间[a,b]内的可积区域。
应用
该性质可以用于计算二重积分，特别是当被 积函数与某个变量的关系较为简单时。
04 二重积分的物理应用
个小弧段进行积分，然后将结果相加得到总长度。
平面曲线的曲率与挠率
曲率
曲率是描述曲线弯曲程度的量，可以 通过二重积分计算出曲线的曲率。
挠率
挠率是描述曲线在垂直方向上的弯曲 程度的量，也可以通过二重积分计算 出曲线的挠率。
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积分区域的可加性
定义
如果D1和D2是平面上互不相交的可积区域，则它们分别上的二重积分之和等于它们并集上的二重积分。 即，如果D=D1∪D2，则∫∫Df(x,y)dσ=∫∫D1f(x,y)dσ+∫∫D2f(x,y)dσ。
应用
该性质可以用于简化复杂的积分区域，将复杂区域分解为简单区域进行计算。
积分对区域的可加性
转换坐标
将被积函数从直角坐标转换为极坐标形式，即$x = rhocostheta$，$y = rhosintheta$。
分层积分
将极坐标下的二重积分拆分成两个累次积分，即先对角度积分再对极径积分。
逐个计算
对每个角度范围，计算其在极径上的积分值，并求和。
得出结果
将所有角度范围的积分结果相加，得到整个极坐标区域上的二重积分值。
二重积分的概念及性质
目录
• 二重积分的定义 • 二重积分的计算方法 • 二重积分的性质和定理 • 二重积分的物理应用 • 二重积分的数学应用

二重积分概念

二重积分概念

？
o
x
z z R2 x 2 y 2
R
y
例1. 设由锥面 解: 所求体积可以看成 是两个曲顶柱体的 体积之差.
和球面
所围成 , 请用二重积分表示的体积.
z 2
V 4 x y d
2 2 D

D
x y d
2 2
D
o x
y
直角坐标系下的面积元素 如果 f ( x , y ) 在D上可积, 可用平行坐标轴的直线来划 分区域D , 这时 记作： d xd y 则面积元素为： d 二重积分记作：
的点集是平ห้องสมุดไป่ตู้上的有界点集,即存在一矩形R ，使得P R .
设 P 是一平面有界图形, 用平行于坐标轴的某一
组直线网 T 分割这个图形 (图21-1) , 这时直线网 T
的网眼 (小闭矩形) i 可分为三类: (i) i 上的点都是 P 的内点;
y
P
(ii) i 上的点都是 P 的外点, 即
所以也有 S K (T ) . 由上述推论, P 的边界K 的面积 为零.
定理21.3 若曲线 K 为定义在 [a , b] 上的连续函数
f ( x ) 的图象, 则曲线 K 的面积为零.
推论1 参量方程 x ( t ), y ( t ) ( t ) 所表 示的光滑曲线或按段光滑曲线,其面积一定为零. 推论2 由平面光滑曲线或按段光滑曲线所围的平面 图形都是可求面积的.
曲顶柱体的体积
( i ,i )
i
f ( i , i ) i . V lim 0
i 1
为各小闭区域的直径的最大者.
２．求平面薄片的质量 有一个平面薄片, 在 xoy 平面上占有区域 D , 其面密 度为 计算该薄片的质量 M . (常数) 设D 的面积为 , 则M 若 非常数 , 仍可用 “大化小,常代变,近似和, o 求极限” 解决.

§1 二重积分概念与性质

§1 二重积分概念与性质

积为 k ， k 的质量为 mk ，可得， mk f (Qk ) k ，进而
n
n
m mk f (Qk ) k 。
k 1
k 1
第三步（通过近似值的逼近求得 D 的质量）：记 T maxdiam k k 1, 2,, n 称为分
割T 的模，则平面块 D 的质量为
n
m
lim
T 0
k 1
f
具体来讲：注意到密度函数 f (P) f (x, y) 在 D 上连续，分三步进行：
第一步（对平面块 D 进行分割）：任取光滑曲线族作为分割线，将 D 分割成有限个直径 足够小的有面积的小平面块：
1, 2,, k ,, n 。 （记为T ，称为对区域 D 的分割）
第二步（求 D 的质量的近似值）：在每个小平面块 k 上，任取一点 Qk k ，记 k 的面
具体来讲：注意到函数 z f (x, y) 在 D 上连续，分三步进行：

第一步（对底面区域 D 进行分割）：任取光滑曲线族作为分割线，将 D 分割成有限个直 径足够小的有面积的闭区域：
1, 2,, k ,, n ， （记为T ，称为对区域 D 的分割） 此时，以这小区域为底面，曲顶柱体V 就被相应地分割成了有限个可近似看成柱体的小 曲顶柱体：
表示区域 D 的质量。
m D f (P)d D f (x, y)dxdy
（几何意义）若 f (P) f (x, y) 0 ，且 f (P) f (x, y) 在区域 D 上连续，则
V D f (P)d D f (x, y)dxdy ，
表示以曲面 z f (x, y) 为顶面，区域 D 为底面的曲顶柱体V 的体积。
的二重积分（如 D Adxdy A D ）---简化二重积分计算的方法之一：面积法。

第一节二重积分的概念与性质

第一节二重积分的概念与性质

∫∫ D
f ( x , y )d σ
∫∫
D
f (x, y)dσ
才是该曲顶柱体 则
的体积； 的体积； f (x , y)在 定义区域 D 上有正有负时 上有正有负时, 当 )
二重积分 ∫∫ f ( x , y )d σ 的值为 xy 平面上方柱体体 积之和减去下方柱体体积之差. 积之和减去下方柱体体积之差
∫∫[ f (x, y)± g(x, y)] dσ =∫∫ f (x, y)dσ ±∫∫ g(x, y)dσ. D D D
性质 3 积分之和， 积分之和， 即
如果区域 D 被分成两个子区域 D1 与 D2，
则在 D 上的二重积分 等于各子区域 D1、D2 上的二重
∫∫ f (x, y)dσ =∫∫ f (x, y)dσ +∫∫ f (x, y)dσ.
D
二、二重积分的性质
性质 1 被积函数中的常数因子 可以提到二重积 分号的外面， 分号的外面， 即
∫∫ kf ( x , y )dσ = k ∫∫ f ( x , y )dσ (k为常数 ).
D D
函数的和(或差) 性质 2 函数的和(或差)的二重积分 等于各个函 数的二重积分的和(或差) 数的二重积分的和(或差)， 即
D D 1 D 2
这个性质表明二重积分对于积分区域具有可加性 . 性质4 性质 如果在 D 上， f(x, y) = 1，且 D 的面积为 ，
σ，则
∫∫ d σ D
=σ.
性质 5 如果在 D 上， f ( x, y)≤ g( x, y), 则
∫∫ f ( x, y)dσ ≤ ∫∫ g( x, y)dσ . D D
mσ ≤
∫∫ D
f ( x, y)dσ ≤ Mσ .

二重积分的概念与性质

二重积分的概念与性质

2.二重积分的概念
定义 设函数 f (x, y) 是有界闭区域 D上的有界函数，
用任意一组曲线网分割D成
n
个小区域
Δσ1
,
Δσ
2
,,
Δσ
，
n
Δσi 既表示第i小块, 也表示第i 任取一点 (ξi , ηi ) Δσi , 作和式
小区域的面积.
n
f (ξi , ηi )Δσ
i
在
.
Δσ
i
上
记
D
D
(2) (数乘性) kf (x, y)dσ k f (x, y)d
D
(k为常数).
D
D
(3) (区域可加性) f ( x, y)dσ f (x, y)dσ f (x, y)dσ.
D1 D2
D1
D2
(4) (单调性) 若在D上处处有f (x,y)≤g(x,y)， 则有
思考题解答
定积分与二重积分都表示某个和式的极限 值，且此值只与被积函数及积分区域有关．不 同的是定积分的积分区域为区间，被积函数为 定义在区间上的一元函数，而二重积分的积分 区域为平面区域，被积函数为定义在平面区域 上的二元函数．
练习题
一、 填空题: 1. 当函数 f ( x, y)在闭区域 D 上______________时, 则其在 D 上的二重积分必定存在 .
y y0 )2 2
,
其中f ( x, y)为连续函数.
Solution.
原式

lim
ρ0
1 πρ
2
f (ξ, η) πρ2（积分中值定理）
lim f ( ,)
0
lim f ( ,)

二重积分知识点

二重积分知识点

二重积分知识点一、引言二重积分是高等数学中的重要内容，是对二元函数在有限区域上的积分运算。

二重积分的概念与求解技巧是深入理解、掌握多元函数的必备工具，也为解决实际问题提供了数学方法。

本文将从二重积分的概念、性质、计算方法和应用等方面，全面详细地介绍二重积分的知识点。

二、概念1. 二重积分的定义设f (x,y )在闭区域D 上有定义，D 由有向闭曲线C 围成，且f (x,y )在D 上有界。

若存在数I ，对于任意给定的正数ε，都存在正数δ，使得对于D 内任意满足Δσ<δ的任意分割σ，对应的任意代点ξij ，总有|∑∑f mj=1n i=1(ξij )Δσij −I|<ε则称I 为函数f (x,y )在闭区域D 上的二重积分，记作I =∬f D(x,y )dσ其中，Δσij 表示第(i,j )个小区域的面积，Δσ表示整个区域D 的面积。

2. 二重积分的几何意义二重积分的几何意义是对二元函数在闭区域上的面积进行逐点求和，即将闭区域D 分割成无穷多个小面积区域，并对每个小面积区域上的函数值进行乘积再求和，最终得到二重积分。

三、性质1. 线性性质设闭区域D上有二重积分∬fD(x,y)dσ，若c为常数，则有∬(cf(x,y)) D dσ=c∬fD(x,y)dσ∬(f(x,y)±g(x,y)) D dσ=∬fD(x,y)dσ±∬gD(x,y)dσ2. 区域可加性设闭区域D可分为非重叠的两部分D1和D2，则有∬fD (x,y)dσ=∬fD1(x,y)dσ+∬fD2(x,y)dσ3. Fubini定理（累次积分）设函数f(x,y)在闭区域D上连续，则有∬f D (x,y)dσ=∫(∫fβ(x)α(x)(x,y)dy)badx=∫(∫fδ(y)γ(y)(x,y)dx)dcdy其中，(x,y)∈D,α(x)≤y≤β(x),γ(y)≤x≤δ(y)。

4. 值定理设函数f(x,y)在闭区域D上一致连续，则存在(ξ,η)∈D，使得∬fD (x,y)dσ=f(ξ,η)∬dDσ=f(ξ,η)σ(D)其中，σ(D)表示闭区域D的面积。

二重积分


s 1 ds ds
D D
这个性质的几何意义是:高为1的平顶柱体的体积在数 值上就等于柱体的底面积．
9
性质5
如果在 D 上，f ( x , y ) ( x , y ) ，则有不等式
f ( x , y )ds ( x , y )ds
D D
特殊的，由于
f ( x, y)ds
D
b
a
b
2 ( x ) f ( x, y )dydx . 1 ( x )
dx
2 ( x ) 1 ( x )
f ( x, y )ds
D
a
f ( x , y )dy
计算时，先把x看作常量,把 f(x,y) 只看作y的函数,并对y计 算从 1 ( x ) 到 2 ( x ) 的定积分,然后把算得的结果再对x计算在区 间[a,b]上的定积分.这种连续的积分计算称为：累次积分
y (x, 1) 1 y=x
1 1 2 (1 x y ) dx 3 1 x 3 1 1 ( x 1)dx 1 3 1 2 1 3 ( x 1)dx 3 0 1 2
3 2 2
1
O ( x, x) 1
1
x
25
解法(2) 画出区域D， 可把D看成是Y型区域：
16
d
d y
c
d
x2 ( y )
x1 ( y )
f ( x , y )dx
3. 计算公式及方法：
当 D 为X型区域时： y
y=2(x)
y=1(x)
y
y=2(x) y=1(x)
O a
b
x
O a
b

§10.1二重积分的概念与性质


n
i
．
记 λ = max{λi } ，若当 λ → 0 时，这和的极限总存在，则称此极限为函数 f ( x, y ) 在闭区域 D 上的
1≤ i ≤ n
二重积分，记作
∫∫ f ( x, y) dσ ．即
D
∫∫
D
f ( x, y ) dσ = lim ∑ f (ξi ,ηi ) ∆σ i .
λ →0
i =1
∫∫ f ( x, y)dσ =∫∫ f ( x, y)dσ + ∫∫ f ( x, y)dσ ．
D D1 D2
3. 若在 D 上， f ( x, y ) ≡ 1 ， 记 σ 为区域 D 的面积，则
σ = ∫∫ 1⋅ dσ = ∫∫ dσ ．
D D
几何意义: 高为 1 的平顶柱体的体积在数值上等于柱体的底面积． 4.保号性：若在 D 上， f ( x, y ) ≤ g ( x, y ) ，则有不等式
（3）求和：
M ≈ ∑ f (ξi ,ηi )∆σ i ；
i =1
n
（4）取极限，得精确值：记 λi 为 ∆σ i 的直径，令 λ = max {λi } → 0 ，
1≤ i ≤ n
可得所求的质量为
M = lim ∑ f ( ξi , ηi )∆σ i
λ →0
i =1
n
2
以上两种实际意义完全不同的问题， 最终都归结同一形式的和的极限问题． 今后在物理、 力学、 几何和工程技术中，有许多物理量或几何量都可归结为这一形式的和的极限．因此，有必要撇开这 类极限问题的实际背景， 对这种和的极限，给出一个更广泛、更抽象的数学概念，即二重积分． 2. 二重积分的概念 定义 设 f ( x, y ) 是有界闭区域 D 上的有界函数． 将闭区域 D 任意分成 n 个小闭区域

高等数学：第一讲 二重积分的定义与性质


o
x
D
•
y
(i ,i )
则称 f ( x, y) 可积 , 称 I 为 f ( x, y) 在D上的二重积分.
i
积分和
二重积分的定义
被积函数 积分区域
积分表达式
x , y 称为积分变量
面积元素
二重积分的定义
注1： 若用平行坐标轴的直线来划分区域 D ，则有 y
因此，面积元素 常记作 d x d y, 二重积分记作
D f ( x, y)dxd y.
O
注2： 对比曲顶柱体体积的求法和二重积分的定义可知
V D f ( x, y)d D f ( x, y)d x d y
D i
x
二、二重积分的性质
性质1
k f (x, y)d k f (x, y) d ( k 为常数)．
D
D
性质2
[ f (x, y) g(x, y)]d
例1
利用二重积分的性质，比较下列二重积分的大小：
I1 x y2 d x d y, I2 x y3 d x d y
D
D
其中D是由 x 轴，y 轴以及直线 x y 1 围成，
则 I1 _____ I2 . y 1 x y 1
D
O
1x
二重积分的保号性
0 x y1
( x y)2 ( x y)3
二重积分的 定义与性质
一、二重积分的定义
定义: z f ( x, y)是定义在有界闭区域 D上的有界函数 ，将区域 D 任意
z
分成 n 个小闭区域
f (i ,i ) •
z f (x, y)
任取一点 (i ,i ) i
记
ห้องสมุดไป่ตู้

二重积分定义

m f ( x, y)d M
D
（二重积分估值不等式）
性质6 设函数 f ( x, y)在闭区域D上连续， 为D 的面积，则在 D 上至少存在一点( , )使得
f ( x, y)d f (,)
D
（二重积分中值定理）
例 1 比较积分 ln( x y)d 与[ln( x y)]2 d
D
(2)f(x,y)在有界闭区域D上连续 f(x,y)在D上可积
5.二重积分的几何意义 当被积函数大于零时，二重积分是曲顶柱体的体 积． 当被积函数小于零时，二重积分是曲顶柱体的体 积的负值．
在直角坐标系下用平 y 行于坐标轴的直线网来划 分区域D，
则面积元素为 d dxdy
o
故二重积分可写为
D
练习题
一、填空题:
1、当函数 f ( x, y) 在闭区域D 上______________时, 则其在D 上的二重积分必定存在 .
2、二 重 积 分 f ( x, y)d 的 几 何 意 义 是
D
___________________________________.
3、若 f ( x, y) 在 有 界 闭 区 域 D 上 可 积 , 且
D
的大小, 其中 D 是三角形闭区域, 三顶点各为(1,0),
(1,1), (2,0).
y
解 三角形斜边方程 x y 2
1
在 D 内有 1 x y 2 e,
故 ln( x y) 1,
D
o
12x
于是ln( x y) ln( x y)2,
因此 ln( x y)d [ln( x y)]2 d .
x
f ( x, y)d f ( x, y)dxdy
D
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3)“求和”
n
f(k,k)k
k1
4)“取极限”
( k ) m P 1 P 2 P a 1 , 2 P x k
令 zf(x,y)
n
Vl i0 m k1f(k,k)k
f(k,k)
(k ,k ) k
二、二重积分的定义
定义:
是定义在有界区域 D上的有界函数 ,
将区域 D 任意分成 n 个小区域
在有界闭区域 D上连续, 则
f (x,y)在D上可积.
定理2. 若有界函数
在有界闭区域 D 上除去有
限个点或有限条光滑曲线外都连续 , 则f(x,y)在D上可
积. 例如,
上二重积分存在 ;
y 在 D : 0y1 1
D 在D 上 O 1 x
二重积分不存在 .
二重积分的几何意义
当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积． 当被积函数小于零时，二重积分是柱体的体积的 负值．
D
D
4. 设函数
在闭区域上连续, 域D 关于x 轴对称,
D 位于 x 轴上方的部分为D1 , 在 D 上
y
则
D1
OD x
( 2 )f( x , y ) f( x ,y )则,Df(x,y)d0
当区域关于 y 轴对称, 函数关于变量 x 有奇偶性时, 仍
有类似结果.
在第一象限部分, 则有
D (x2y2)dxdy4
任取一点
若存在一个常数 I , 使
记作 Df(x,y)d
可积 , 积分和
在D上的二重积分. 积分表达式
积分域 被积函数 面积元素
如果 在D上可积,
可用平行坐标轴的直线来划
分区域 D , 这时 k xk yk,因此面积 y
元素d也常记作
二重积分记作
O
x
则曲顶柱体体积:
二重积分存在定理:
定理1. 若函数
解法: 类似定积分解决问题的思想:
“分割，, 取近似，求和, 取 极限”
1)“分割” 用任意曲线网分D为 n 个区域
以它们为底把曲顶柱体分为 n 个
小曲顶柱体
D
2)“取近似”
(k ,k ) k
在每个 中任取一点 (k,k),则 V k f ( k ,k ) k ( k 1 , 2 , , n )
例1. 比较下列积分的大小:
y
其中
1
解: 积分域 D 的边界为圆周
O
(x2)2(y1)22
D 2 3x
它在与 x 轴的交点 (1,0) 处与直线
而域 D 位于直线的上方, 故在 D 上 xy1,从而
例2. 估计下列积分之值
解: D 的面积为 由于
1 102
积分性质5
y
10
D
10 O 10 x
10
性质6
（二重积分估值不等式）
f(x,y)df(,)
D
（二重积分中值定理）
解 区 域 D 的 面 积 ab ,
在 D 上 0 x 2 y 2 a 2 ,
由 性 质 6知
ab e d (x2y2) abea2.
D
y
解
xy2
1
故 ln( x y) 1,
D
o 12x
因 此 ln x (y)d [lx n y )(2d ].第六章 二重积分来自6.1.1 二重积分的概念与性质
二重积分的概念
１．曲顶柱体的体积 柱体体积=底面积×高 特点：平顶.
zf(x,y)
D
柱体体积=？ 特点：曲顶.
zf(x,y)
给定曲顶柱体:
底： xOy 面上的闭区域 D
D
顶: 连续曲面
侧面：以 D 的边界为准线 , 母线平行于 z 轴的柱面 求其体积.
(x2y2)dxdy
D 1
思考题
将二重积分定义与定积分定义进行比较，找 出它们的相同之处与不同之处.
思考题解答
定积分与二重积分都表示某个和式的极限值， 且此值只与被积函数及积分区域有关．不同的 是定积分的积分区域为区间，被积函数为定义 在区间上的一元函数，而二重积分的积分区域 为平面区域，被积函数为定义在平面区域上的 二元函数．
即: 1.96 I 2
例3. 判断积分 解: 分积分域为
的正负号. y
则
D3
原式 =
O1 3 x
D 23x2y21dxdy
D1 舍去此项
D1dxdy
π32π(43)
猜想结果为负 但不好估计 .
5. 比较下列积分值的大小关系:
I2 xy dxdy
xy1
解:
被积函数相同, 且非负,
由它们的积分域范围可知
y 2
D
O 1x
的最小值 mf(1,2) 1 1 3242 5
y
1
1
O
x
6. 设D 是第二象限的一个有界闭域 , 且 0 < y <1, 则
I2 y2x3d,
D
的大小顺序为 ( D )
提示: 因 0 < y <1, 故
故在D上有
y12x3yx3y2x3
y 1
D
Ox
8. 估计
0 x 1 ,0 y 2 . 解: 被积函数
D 的面积 2
的最大值
的值, 其中 D 为
三、二重积分的性质
（二重积分与定积分有类似的性质）
性质１ 当k为常数时，
性质1+
f(x,y)d g (x,y)d .
D
D
性质2 对区域具有可加性 (D D 1 D 2且 D 1 、 D 2 无公共内点，则
性质3 若 为D的面积，
性质4 若在D上
则有 f(x,y)dg (x,y)d.
D
D
特殊地
性质5