概率统计习题3.4ppt课件

X
Y
1.7<Y<1.8( ),
X
1.7 1.8 .
.
.
.
1
( X,Y )
j
P{Y = yj } > 0
PX P{X= xi |Y= yj }=
xi ,Y
yj
…
P Y yj
Y = yj
X
= pij p• j
i=1,2,
.
r.v,
r.v
.
i P{X = xi } 0
P{Y yj | X xi } )
X = xi
Y
(j = 1,2,
. .
P X xi Y yj 0 i=1,2, …
P X xi Y yj 1
i1
1 设 (X, Y) 的联合分布律如下，
求X=0、X=1的条件下, Y的条件概率分布.
P Y = 0 | X = 0} = P Y = 1| X = 0} =
1 ==
5 3 == 5
A)
B)
C)
D)
A
B
C
D
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单选题 1分
二维随机变量(X, Y)的联合概率密度为
(8xy2 0 < x < < 1 f (x, y) =
〈 的边缘概率密度为 ( )．
(8 | (x
−
x7 )
fX (x) =〈
3
|0
(8 |
(x
−
x6 )
fX (x) =〈
3
|0
0<x<1 else
0<x<1 else
(| B) fX (x) =〈
(1− x6
)| 0
(|

习 题 与 解 答 7。4
1. 有 人 对 3.1415926 的 小 数 点 后 800 位 数 字 中 数 字
0， 1 ， 2 ， ， 9 出 现 的 次 数 进 行 了 统 计 ， 结 果 如 下
数字 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
次 数 74 92 83 79 80 73 77 75 76 91
6.13 1.53 0.31 0.06
100
编辑ppt
（ ni npi )2 / npi 0 .8 7 1 0 0.2801 0.0202 1.5982 0.1444 1.5358 0.06
2=3.7258
5
若取
0
.0
5，
查
表
知
，
2 1-
(
k
-
r
-
1
)
=
( 2 0.95
5
)
=
1
1
.
0
7
0
5
,
故 拒 绝 域 为 W={ 2 11.0705}.
水 平 为 0.05下 可 以 认 为 每 个 数 字 出 现 概 率 相 同 的 结 论 成 立 。
此 处 检 验 的 p值 为 p=P( 2(9) 50125),可 以 用 统 计 软 件 算 出 ，
譬 如 ， 可 在 Matlab中 使 用 如 下 命 令 1-chi2cdf(50125,9),给
检 验 问 题 。 此 处 总 体 取 值 杯 分 成 7类 ， 在 原 假 设 下 ， 每 类
出现的概率为
p i
i i!
e ,i
0 , 1,
, 5,
p6
i6
i i!
e .

解其中记gZ(为x,此y商) 店{经110000销00xy该50种0( y商x)品每{15周00000(所xy, 得y),y的xy利x 润,由题设知Z=g(X,Y),
由题设条件知(X,Y)的联合概率密度为
1 , 10x20,10 y20,
px, y
(x,
y)

{100 0,
其它,

np1(t)[1
F1 (t)]n1

n(1
t
)n1
1
所以
E(Y )

n n
0
t n dt

n n 1
E(Z )

n n
0
t(

t)n1 dt

n 1
14.设随机变量U服从(-2,2)上的均匀分布,定义X和Y如下:
X {1 若U 1, 1 若U-1,
这是贝塔分布Be(10,1),由此得
E(Y )
10 ;Var(Y ) 11

10 11212

5 726
10．系统有n个部件组成，记 Xi为第i个部件能持续工作的时间，如果 X1, X 2 ,L , X n 独立同分布，且 Xi : Exp()，试在以下情况下求系统持续工作的平均时间：
（1）如果有一个部件在工作，系统就不工作了； （2）如果至少有一个部件在工作，系统就工作。
解 因为X,Y独立,都服从N(0,1),所以 X Y : N (0, 2). ,又因为
max(X ,Y ) X Y | X Y | 2
由于 X Y : N(0, 2).,所以
E[max( X ,Y )] E( X ) E(Y ) E | X Y | E | X Y |

v 所以反函数为 θ h(v ) arcsin , A 1 h (v ) , 2 2 A v
概率论与数理统计
又由 Θ ~ U ( , ), 知Θ的概率密度为 2 2
π π 1 , θ , f (θ ) π 2 2 0, 其他.
由定理得V AsinΘ 的概率密度为 1 1 , A v A, 2 2 φ(v ) π A v 其他. 0,
当z 0时， 显然有F z 0；
x2 y 2 2
当z 0时，F z P z P 2 2 z
1 e 2 2 2 z dxdy
x r cos y r sin 0 0
z 2


z r2 2 0
1, 0 z x 1, 1, z 1 x z, p ( z x) 其他. 其他. 0, 0,
0,
z 0或z 2,
1dx, 1dx, 0 z 1, 1 z 2,
z 2
z=x 1 1 x

1 0
p ( z x)dx

例1 设随机变量 的概率密度为
x , 0 x 4, p ( x) 8 0, 其它. 求随机变量 2 8 的概率密度.
解 第一步 先求 =2 +8 的分布函数 F ( y ).
F ( y) P( y) P(2 8 y)
y 8 P 2
y 8 2

p ( x ) d x
概率论与数理统计
第二步 由分布函数求概率密度.
p ( y) F( y)
8 y2 p ( x) d x

称这种试验为等可能概型(或古典概型)。
*
例1：一袋中有8个球，其中3个为红球，5个为黄球，设摸到每一球的可能性相等，从袋中不放回摸两球， 记A={恰是一红一黄}，求P(A)． 解：
（注：当L>m或L<0时，记 ）
例2：有N件产品，其中D件是次品，从中不放 回的取n件， 记Ak＝{恰有k件次品}，求P(Ak)． 解：
*
第四章 随机变量的数字特征 4.1 数学期望 4.2 方差 4.3 协方差及相关系数 4.4 矩、协方差矩阵 第五章 大数定律和中心极限定理 5.1 大数定律 5.2 中心极限定理 第六章 数理统计的基本概念 6.1 总体和样本 6.2 常用的分布
*
第七章 参数估计 7.1 参数的点估计 7.2 估计量的评选标准 7.3 区间估计 第八章 假设检验 8.1 假设检验 8.2 正态总体均值的假设检验 8.3 正态总体方差的假设检验 8.4 置信区间与假设检验之间的关系 8.5 样本容量的选取 8.6 分布拟合检验 8.7 秩和检验 第九章 方差分析及回归分析 9.1 单因素试验的方差分析 9.2 双因素试验的方差分析 9.3 一元线性回归 9.4 多元线性回归
解： 设 Ai={ 这人第i次通过考核 }，i=1,2,3 A={ 这人通过考核 }，
亦可：
*
例：从52张牌中任取2张，采用(1)放回抽样，（2）不放 回抽样，求恰是“一红一黑”的概率。
利用乘法公式
与 不相容
（1）若为放回抽样：
（2）若为不放回抽样：
解： 设 Ai={第i次取到红牌}，i=1,2 B={取2张恰是一红一黑}
①
②
①
1 2 N
①
②
1 2 N
……

重复排列：从n个不同元素中取r个(可重复)，考 虑先后顺序共有nr=n n …. n种不同结果。
3.5 等可能样本空间
例7 琼斯先生有10本书要放在书架上，其中有 4本数学书，3本化学书，2本历史书，还有1本 语言书。琼斯想把同一种类的书放在一起，共 有几种不同的可能结果？如果是随意放置，恰 好同一种类的书放在一起的概率多大？
分步乘法计数原理：完成一件事，需要分成几 个步骤，每一步的完成有多种不同的方法，则 完成这件事的不同方法总数是各步骤不同方法 数的乘积。
例：网上预订行程，从郑州到上海共有12种不 同选择，从上海到香港共有4种不同的选择，那 么从郑州经上海到香港共有4×12=48种不同的 选择。
3.5 等可能样本空间
解法一：宿舍是无编号的，
解法二：宿舍是有编号的，
3.5 等可能样本空间
例11 如果一个房间里有n个人，没有两个人的 生日是同一天的概率是多大？如果希望概率小 于0.5，需要多少人？
习题
P53 ex18, ex20
引例： （1）假设某人投掷一对骰子，两个骰子点数之
和为8概率多大？
（2）如果已知第一个骰子最终朝上的数字为3， 那么两个骰子点数之和为8的概率为多少？
3.3文图和事件的代数表示
3.3文图和事件的代数表示
德·摩根律
例2
掷骰子一次，A=“掷出奇数点”，B=“点数不超 过3”，C=“点数大于2”，D=“掷出5点”。求
A B, B C, AB, BD, Ac , AcC
3.4 概率论公理
集函数P(E)称为事件E的概率，如果它满足下 列三条公理
3.5 等可能样本空间
例8 概率论课程上有6个男生，4个女生。对学 生进行考试，按照成绩排名。假定没有两个学 生的成绩是一样的，

常用概率分布
正态分布
探索正态分布的特点和应用，在数据分析中发挥重要作用。
泊松分布
介绍泊松分布的概念和用途，用于计数型随机事件的建模。
二项分布
了解二项分布的性质和应用，用于描述二元随机实验的结果。
常用统计推断方法
假设检验
学习如何根据样本数据对总体参 数进行推断并做出决策。
置信区间
了解如何构建置信区间，对总体 参数进行估计。
探索数据可视化的重要性，并学 习如何使用图表和图形来传达统 计信息。
统计推断
了解统计推断的基本原理和方法， 从样本中得出总体的结论。
概率与统计的关系
1
概率理论的基础
说明概率理论是统计学建率现象中的重要性。
3
共同目标
强调概率与统计的共同目标是推断和预测未来事件。
回归分析
探索回归分析的基本概念和方法， 研究变量之间的关系。
结论及总结
通过本课程，我们希望您能够充分理解概率与统计的基本概念和应用。祝您在概率与统计的世界中取得巨大成 功！
了解事件的定义和样本空 间的概念，以及它们在概 率计算中的重要性。
2 概率的性质
探索概率的基本性质，如 加法规则、乘法规则和条 件概率。
3 随机变量
介绍随机变量的概念，了 解离散和连续随机变量以 及它们的应用。
统计的基本概念
数据收集与整理
数据可视化
学习如何有效地收集和整理数据， 并了解常见的数据类型。
《概率统计》PPT课件
PPT课件的目的 课程概述 概率的基本概念 统计的基本概念 概率与统计的关系 常用概率分布 常用统计推断方法 结论及总结
引言
欢迎来到《概率统计》的世界！在这个课程中，我们将探讨概率与统计的基 础知识，了解它们的关系以及如何应用它们来解决实际问题。

第4节 多维随机变量的条件分布
第三章 多维随机变量及其分布
例2 已知(X,Y )服从圆域 x2 + y2 r2 上的均匀分布,求
fY X ( y x).
当 – r < x < r 时，
fY X ( y
x)
f (x, y) fX (x)
2
1 ,
r2 x2
0,
r2 x2 y 其他
r2 x2
f
(x,
y)
1 / 0,
x,
0 x 1,0 y x;
其他.
1 5
山东农业大学公共数学系概率统计课程组 版权所有
第4节 多维随机变量的条件分布
第三章 多维随机变量及其分布
练习对于随机向量(X,Y)已知
fY
X (y
x)
2y
1
x
2
,
0,
x y 1
4x(1 x2 ),
fX (x)
其他
0,
求Y在X=0和X在Y=1条件下的条件概率分布.
X
Y
1
2
3 P(X=xi)
0
0.1
0.2
0.3 0.6
1
0.1
0.2
0.1 0.4
解 再计算 (X, Y)关于Y的边缘概率分布
由公式
P{Y xi
X
yj}
pi j p j
i 1, 2,
得在Y=1条件下X的条件概率分布为：
X|Y=1 0
1
pi| j
1
2
求P{X+Y≥1}，
P{Y<0.5},
P Y
2 3
X
1 2
0 x 1 其他

因此，甲的射击水平要比乙的好。
一、数学期望的概念
为了刻画随机变量的均值，我们引入数学期望.
定义1:设离散型随机变量 X 的分布律为
P { X x k}p k,(k 1 ,2 ,3 , )

若级数 x k p k 绝对收敛，则称此级数为 X 的数学期望。 k 1
简称期望或均值，记为 E(X). 即 E(X) xk pk k1
13 0.0013
P{Y100}0P{100T11}50.4987
已求出:
P{Y500}00.0013 P{Y100}00.4987 P{Y100}00P{0T10}0
(0)(2)00.500.5
从而 Y 的分布律为
Y -5000 1000 10000 p k 0.0013 0.4987 0.5 E(Y) 5 0 0 .0 0 0 1 0 1 0 0 .4 3 0 9 1 0 8 0 0 .5 7 0
随机变量 Y 的分布律为
E Y ( 1 ) 0 . 3 0 0 . 4 1 0 . 3 0 ;
E ( X Y ) 0 . 2 0 . 2 0 . 1 0 . 2 0 . 3 0 . 2 . 另解令 Z = XY，可能取值为 3,2,1,0,1,2,3.
X -3 -2 -1 0 1 2 3 p k 0 0.1 0.2 0.4 0.1 0.1 0.1
E ( X Y ) 0 . 2 0 . 2 0 . 1 0 . 2 0 . 3 0 . 2 .
例5：设随机变量（X,Y）的概率密度为
12y2, 0yx1,
f(x,y)
例1：已知 X 的分布律为 X -1 0 1 2 p k 1/4 1/8 1/4 3/8

26
12
23
1
则有 P{X 0,Y 1} 1 6 P{X 0}P{Y 1},
P{X 0,Y 2} 1 6 P{X 0}P{Y 2},
P{X 1,Y 1} 2 6 P{X 1}P{Y 1},
P{X 1,Y 2} 2 6 P{X 1}P{Y 2},
xe y
d
y,
xex , x 0,
0, x 0.
x0 x 0.

fY ( y)
f (x, y)d x



y 0
xe y d x,
y0
0,
y 0.
12 y2e y , y 0,
0,
y 0.
由于在 0 x y 上, f ( x, y) f X ( x) fY ( y), 故 X 与Y 不独立.
第四节 相互独立的随机变量
一、随机变量的相互独立性 二、二维随机变量的推广 三、小结
一、相互独立的随机变量
1.定义
设F ( x, y)及FX ( x), FY ( y)分别是二维随机变 量( X ,Y )的分布函数及边缘分布函数. 若对于所有
x, y有
P{X x,Y y} P{X x}P{Y y},
(2) 设连续型随机变量( X ,Y )的联合概率密度为 f ( x, y),边缘概率密度分别为f X ( x), fY ( y),则有
X 和 Y 相互独立 f ( x, y) fX ( x) fY ( y).
(3)X 和 Y 相互独立, 则 f ( X ) 和 g(Y )也相互独立.
例1 对于随机变量 X和Y，由
exp