河海大学高数习题十三 二重积分的计算(2012)

2 1
4. 计算二重积分
(1) I sgn( y x 2 )d xd y, D : 1 x 1， y 1 0 D
(2) I ( x y 2 xy 2) d xd y, 其中D 为圆域
2 2 D
在第一象限部分.
解: (1) 作辅助线 y x 把与D 分成
D
y 1
D1 D2
yx
作辅助线 y x 将D 分成
D1 , D2 两部分
2
D2
( x y )d xd y 2 d xd y
D
o
1 x
2 ( 2 1) 3 2 说明: 若不用对称性, 需分块积分以去掉绝对值符号.
5 计算
( x y )dxdy , D : x 2 y 2 1
D
分析 积分区域D关于x、y轴均对称, 被积函数
f ( x, y) x y 关于x,y均是偶函数，利用对称性
去掉绝对值符号. 解 采用直角坐标 ( x y )dxdy 4 dx
1
D
1 x 2 0
0
( x y )dy 8 3
【注】在利用对称性计算二重积分时，要同时考虑被积 函数的奇偶性和积分区域的对称性，不能只注意积分区域 关于坐标轴的对称性，而忽视了被积函数应具有相应的奇
2 2
6 2 2 x y 2 y r 2 sin
x 3 y 0 1

( x y )dxdy d
2 2 D
6
3
r 2 rdr 15( 3 ). 2 sin 2
4 sin
2
D1 , D2 两部分, 则
I d xd y

即等于两个定积分的乘积.
例2 求 x2e y2dxdy, 其中D 是以 (0,0),(1,1),(0,1)
D
为顶点的三角形.
解 因 e y2dy 无法用初等函数表示,
所以, 积分时必须考虑次序.
x2e y2dxdy
1
dy
y x 2e y2 dx
0
0
D
e1 y2
y3 dy
1
1 y2e y2dy2 1 1 2
Oa
b x Oa
bx
f ( x, y)d
b
dx
2 ( x) f ( x, y)dy
a
1 ( x)
D
3. 若区域如图, 则必须分割. 在分割后的三个区域上分别 使用积分公式. (利用积分区域的可加性)
y
D3
D1 D2
O
x
D
D1
D2
D3
例1 求 ( x2 y)dxdy,其中D是抛物线y x2和
0
3
60
6 e
例3 交换积分次序:
1
2 x x2
2
2 x
0 dx0
f ( x, y)dy 1 dx0 f ( x, y)dy
y
解 积分区域:
y2 x
y 2x x2
O
1
2x
原式=
1
dy
2 y
f ( x, y)dx
0
1 1 y2
例4 计算积分 I
1
2 1
dy
1
y
y e x dx
(
x,
y)dx)dy
D
即
f y)dx.
D
c
1( y)

▪
30、意志是一个强壮的盲人，倚靠在明眼的跛子肩上。——叔本华
谢谢！
28
▪
26、要使整个人生都过得舒适、愉快，这是不可能的，因为人类必须具备一种能应付逆境的态度。——卢梭
▪
27、只有把抱怨环境的心情，化为上进的力量，才是成功的保证。——罗曼·罗兰
▪
28、知之者不如好之者，好之者不如乐之者。——孔子
▪
29、勇猛、大胆和坚定的决心能够抵得上武器的精良。——达·芬奇
习题课 二重Leabharlann 分的计算11、获得的成功越大，就越令人高兴 。野心 是使人 勤奋的 原因， 节制使 人枯萎 。 12、不问收获，只问耕耘。如同种树 ，先有 根茎， 再有枝 叶，尔 后花实 ，好好 劳动， 不要想 太多， 那样只 会使人 胆孝懒 惰，因 为不实 践，甚 至不接 触社会 ，难道 你是野 人。(名 言网) 13、不怕，不悔(虽然只有四个字，但 常看常 新。 14、我在心里默默地为每一个人祝福 。我爱 自己， 我用清 洁与节 制来珍 惜我的 身体， 我用智 慧和知 识充实 我的头 脑。 15、这世上的一切都借希望而完成。 农夫不 会播下 一粒玉 米，如 果他不 曾希望 它长成 种籽； 单身汉 不会娶 妻，如 果他不 曾希望 有小孩 ；商人 或手艺 人不会 工作， 如果他 不曾希 望因此 而有收 益。-- 马钉路 德。

曲面S的面积为 A
Dxy

z z 1 dxdy; x y
2
2
(3) 重心
设有一平面薄片，占有 xoy面上的闭区域 D ，在点
( x , y ) 处的面密度为 ( x , y )，假定 ( x , y )在 D 上连
续，平面薄片的重心
i 1
f ( i , i ) i ，
n
如果当各小闭区域的直径中的最大值 趋近于零时， 这和式的极限存在，则称此极限为函数 f ( x , y ) 在闭 区域 D 上的二重积分，记为 f ( x , y )d ，即
D n
lim f ( i , i ) i . f ( x , y )d 0

f ( r cos , r sin ) r dr .
2. 改变下列二次积分的积分次序：
(1)
1 dx 1
2
x2
f ( x , y ) dy;
( 2)
0 dy
1
1 y 2 1 y
2
f ( x , y ) dx.
y x2
解 (1) 积分区域为 1 x 2, D: 2 1 y x .
f ( x , y )d
D
1 1 x 2
1 dx 0
f ( x , y ) dy.
3. 计算
D
x 2 d . 其中 D 由 y x , y 1 , x 2 围成． x y2
4. 计算 y x 2 d . 其中 D : 1 x 1, 0 y 1.
1
y
y 2x x2
在极坐标系中，D 可表示为
, 0 r 2 cos .

点，半径为a的圆周所围成的闭区域.
解 在极坐标系下
D：0 a ，0 2.
ex2 y2dxdy
2 d
0
a e 2 d
0
D
(1 e a2 ).
利用上面结果可以求广义积分 ex2dx. 0
D1 {( x, y) | x 2 y2 R2 } D2 {( x, y) | x 2 y2 2R2 }
2a
x
图 A
2 cos
yo
D
x
a 2
图 B
解 由对称
性
V 4 4a2 x2 y2dxdy
D
其中 D 为半圆 y 2ax x2及 x 轴所围
周的闭区域 . 在极坐标系中，成闭区域 D
可用不等式0 来表示 . 于
2
cos
,
0
2
是 V 4 4 2 2 dd
D
4 2 d
则
x
v
2
u
,
y
v
2
u.
D D, 即 x 0 u v; y 0 u v;
y x2
( x 2
y)dxdy
1dx 0
x
x
2
(
x
2
y)dy
D
1[ x2(
0
x
x2)
1 2
(
x
x4 )]dx
33 140
.
例 4
1
计算积分 I 2 dy
y
e
y x
dx
1dy
y
e
y x
dx
.
1
1
4
2
1 2
y
y
解 e xdx不能用初等函数表示

将所有小矩形区域的积分结果相加，得到整个区域的积 分值。
常见数值方法介绍及比较
• 矩形法：将二重积分区域划分为若干个小矩形，每个小矩形的面积乘以被积函 数在该矩形中心点处的函数值，然后将所有小矩形的面积相加得到整个区域的 积分值。该方法简单易行，但精度较低。
• 梯形法：将二重积分区域划分为若干个小梯形，每个小梯形的面积乘以被积函 数在该梯形上、下底中点处的函数值的平均值，然后将所有小梯形的面积相加 得到整个区域的积分值。该方法精度较矩形法高。
典型例题解析与技巧总结
例题：计算二重积分$iint_Dfrac{x-y}{x+y}dxdy$，其 中$D$是由直线$x+y=1$，$x=0$和$y=0$所围成的 三角形区域。 技巧总结
注意变量替换后雅可比行列式的计算。
解析：选择变量替换$u=x+y$，$v=x-y$，则原二重 积分转化为$iint_{D'}frac{v}{u}dudv$，其中$D'$是由 直线$u=1$，$v=-u$和$v=u$所围成的三角形区域。 计算得到结果为$frac{1}{2}ln2$。 选择适当的变量替换，简化被积函数和积分区域。
技巧总结
在求解二重积分时，首先要确定被积 函数和积分区域，然后根据积分区域 的形状和位置选择合适的坐标系进行 求解。对于矩形区域，可以直接使用 直角坐标系下的二重积分公式进行计 算。
复杂函数在直角坐标系下求二重积分方法
换元法
对于复杂的被积函数，可以通过换元法将其化简为简单的形式，然后再进行求解。例如， 对于极坐标下的二重积分，可以通过极坐标与直角坐标的转换公式将其转换为直角坐标系 下的二重积分进行计算。
根据直角坐标系下二重积分的计算公 式，有$iint_{D} (x+y) dsigma = int_{0}^{1} dx int_{0}^{1} (x+y) dy = int_{0}^{1} dx (xy + frac{1}{2}y^{2})|_{0}^{1} = int_{0}^{1} (x + frac{1}{2}) dx = (frac{1}{2}x^{2} + frac{1}{2}x)|_{0}^{1} = 1$。

s1 R
例7. 求球体
被圆柱面 x2 y2 2 ax
所截得的(含在柱面内的)立体的体积.
解: 由对称性可知 V=4V1
z
x2 y2 2ax
V 4 4a2 2 d d D D : 0 2a cos , 0 2
例2. 计算
xyd , 其中D 是抛物线
D
及直线
所围成的闭区域.
解1: 0 x 1
D1 : xy
1 x 4 D2 : x x2 y
y
y2 x
o D1 D2
4x
x y x2
1
xyd
D
1
0 dx
xxyd y
4
1 dx
xxyd y
x
x2
例2. 计算
xyd , 其中D 是抛物线
8 y2
2
8 y2
I D f (x, y) d x d y 0 dy 2y f (x, y)dx
例5. 计算
其中D 由
y 4 x2, y 3x , x 1 所围成. 解: 令 f (x, y) x ln(y 1 y2 )
D D1 D2 (如图所示)
y 4 y 4 x2
D1
显然, 在 D1上, f (x, y) f (x, y) 在 D2上, f (x, y) f (x, y)
D
及直线
所围成的闭区域.
解2: 为计算简便, 后对 y 积分,
则
D
:
y
1
2
y x
2 y
2
2 y2
D xyd 1dyy2 xy d x
y
2 y2 x y
o 1
D
4x
y x2
2 1

d
y
d
x 1( y)
y
y
c
x 2 ( y)
c
o
x
o
x 2 ( y)
x
如果去掉以上结论中关于 z f (x, y) 0,(x, y) D 的限制，则上述结论仍是成立的.
几点说明：
（ⅰ）若区域D是一个矩形，D : a x b,c y d 则
b
d
d
b
f (x, y)dxdy a dxc f (x, y)dy c dya f (x, y)dx
oa x
bx
D：a x b, 1( x) y 2( x).
f (x, y)dxdy
b
dx
2 (x) f (x, y)dy
a
1 ( x)
D
把计算二重积分的问题化为计算两次定积分的问题。
第一次计算定积分 A(x) 2 (x) f (x, y)dy 1 ( x) x 看作是常量，y 是积分变量；
ydy
00
0
0
22 4
（ⅲ）上面所讨论的积分区域 D是 X型或Y 型区域。
若不满足这个条件,可将D分块.
y
D3
D2 D1
再应用积分的分域可加性来计算. 0
x
由于二重积分归结于计算两个定积分,因此计算重 积分本身没有新困难,对于初学者来说,感到困难的 是如何根据区域D去确定两次积分的上、下限.
D
（ⅱ）若函数可积，且 D : a x b,c y d
且
f (x, y) f1(x) f2 ( y)
则
b
d
f (x, y)dxdy a f1(x)dx c f2 ( y)dy

R
0x1
x
011xy
y2
2
1x
dx
0
1 1(1x)2dx1
20
6
注:作题步骤: ①画出积分区域的图形,判断积分类型 ②求边界曲线交点坐标，确定积分限 ③化二重积分为二次积分 ④计算两次定积分，即可得出结果
例2 计 算 xydxdy,其 中 R是 由 抛 物 线 y2x及 D yx2所 围 成 的 闭 区 域 。
f (x, y)dy
.
2x
练习与巩固
1、求 (x2y)dx ， 其 d 中 D y是 由 抛 物 线 yx2和
D
xy2所 围 平 面 闭 区 域 .
2、计算 Dx y2 2d.其D 中 由 yx,y1 x,x2
围成．
例 1求 (x2y)dx， d 其 中 y D 是 由 抛 物 线
D
yx2和 xy2所 围 平 面 闭 区 域 .
二重积分的计算
复习:
利用二重积分定义计算二重积分
n
f
R
x,y dxdy l 0 ii 1 m f(i,i) i.
(4)既是X—型又是Y—型的区域
y d
R
c Oa
bx
R f x,ydxdyab12 xxfdydx
d 2y c 1y
fdxdy
（5）既不是X—型也不是Y—型的区域
解：
两 曲 线 的 交 点
yx2 xy2(0,0) ,(1,1),
［X－型］ y2 y x2
(x2 y)dxdy01[x2x(x2y)d]ydx
D
1 [x 2( xx 2)1(xx 4)d ] x
0
2
x y2
33 . 140
［Y－型］

∫
4. 计算二重积分
(1) I = ∫∫ sgn( y − x )dxdy, D : −1 ≤ x ≤1， ≤ y ≤1 0 D
2
(2) I = ∫∫ ( x2 + y2 − 2xy + 2) dxdy, 其中 为圆域 其中D
D
在第一象限部分. 在第一象限部分 解: (1) 作辅助线 y = x 把与 分成 把与D
1
2
3
2
2
计算积分 I = ∫ dy∫ e dx + ∫ dy∫ e dx.
1 4 1 2 1 2
1 2
y
y x
1
y
y x
y
解 Q ∫ e dx 不能用初等函数表示
先改变积分次序. ∴先改变积分次序.
原式 = I = 1dx
2
y x
y= x
y = x2
∫ ∫
1
x
2
x
e dy
Байду номын сангаасy x
=∫
1
1 2
3 1 x (e − e )dx = e − e. 8 2
作辅助线 y = x 将D 分成
D , D2 两部分 1
= 2∫∫
D2
(x − y)dxdy + 2∫∫ dxdy
D
D 1 D2 o 1 x
y=x
2 π =L= ( 2 −1) + 3 2 说明: 说明 若不用对称性, 需分块积分以去掉绝对值符号.
5 计算
( x + y )dxdy , D : x 2 + y 2 ≤ 1 ∫∫
x2 + y2 = 1
x+ y =1
∫∫ f ( x , y )dxdy = ∫0 dθ ∫

变量替换法简化计算过程
变量替换法的基本思想：通过变量替换，将复杂的被积函数或积分区域转化为简单的形式，从而简化 计算过程；
常用的变量替换法有极坐标替换、广义极坐标替换等；
极坐标替换法适用于被积函数中含有x^2+y^2或积分区域为圆、圆环、扇形等情况。通过极坐标替换， 可将二重积分化为极坐标系下的累次积分进行计算。
பைடு நூலகம்
02 直角坐标系下二重积分计 算方法
累次积分法求解步骤与实例分析
01
步骤一
02
确定积分区域D，并画出其图形；
步骤二
根据被积函数和积分区域的特 点，选择适当的积分次序；
03
步骤三
04
将二重积分化为累次积分，并计 算之。
实例分析
计算二重积分∫∫D xydσ，其中D 是由直线y=x，x=1及x轴所围成 的闭区域。首先，确定积分区域D， 并画出其图形；其次，选择先对y 积分再对x积分的次序；最后，将 二重积分化为累次积分 ∫(0,1)dx∫(0,x) xydy，并计算得到 结果为1/4。
二重积分的计算习
目录
• 二重积分基本概念与性质 • 直角坐标系下二重积分计算方法 • 极坐标系下二重积分计算方法 • 二重积分在几何和物理中应用 • 数值方法求解二重积分简介 • 总结回顾与拓展延伸
01 二重积分基本概念与性质
二重积分定义及物理意义
二重积分定义及物理意义
$lim_{lambda to 0} sum_{i=1}^{n} f(xi_i,eta_i) Delta sigma_i = J$
精度与步长
数值求积公式的精度取决于步长 （即小矩形的边长）的大小。步 长越小，精度越高，但计算量也 越大。
任意区域上数值求积公式应用

1 2
x2
y x2
1 x(e e x )dx 3 e 1 e.
1 2
82
例 7 求 x2e y2dxdy，其中 D 是以(0,0),(1,1),
D
(0,1)为顶点的三角形.
解 e y2dy 无法用初等函数表示
积分时必须考虑次序
x2e y2dxdy
()
D
0 2 , 0 ( ).
o
A
f ( cos , sin )dd
D
2
( )
0 d 0 f ( cos , sin )d .
极坐标系下区域的面积 dd .
D
一般情况下，被积函数为 f (x2 y2 ) , f ( y ), x
c
D x 2( y)
d
x 1( y)
c
D
x 2( y)
f ( x, y)d d dy 2( y) f ( x, y)dx.
D
c
1( y)
x－型区域的特点： 穿过区域且平行于y轴的
直线与区域边界相交不多于两个交点.
y－型区域的特点：穿过区域且平行于x轴的
直线与区域边界相交不多于两个交点.
, ,
D1
D2 D3
D4 D1
D3
I＝4
xydxdy 4
1
dx
1 x
xydy
1
0
0
6
D1
D3 D1 D2 D4
例3 计算 xydxdy , 其中 D 为由下列
D
双纽线所围成： (1) ( x2 y2 )2 2( x2 y2 ) ;