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D10-2二重积分的计算(ppt文档)

2
(
y)
o a x bx
为计算方便,可选择积分序, 必要时还可以交换积分序.
化二重积分为累次积分关键：确定积分限
y
y

2
(x)

y
d
y 1(x) y
oa
x
xc
b
o
(图—1)
x 1( y) x 2( y)
x
(图— 2)
例1. 计算 I xyd , 其中D 是直线 y＝1, x＝2, 及 D
D
D1
D2
D3
4 若积分区域既是X–型区域又是Y –型区域 ,
则有 D f (x, y) dx dy

b
dx
a
2 (x) 1( x)
f
(x, y) dy

d
dy
2(y)
f (x, y) dx
c
1(y)
y d
y 2(x)
x
1(
y
c
y) y

x
D
1 ( x)
z
书例4
利用对称性, 考虑第一卦限部分,
R
其曲顶柱体的顶为 z R2 x2
oR
(x,
y)

D
:
00

y x

R
R2

x2
则所求体积为
x
y
R
8
R2 x2 d x
R2 x2
dy
0
0
8 R (R2 x2 ) d x 16 R3
0
3
例5. 计算
-1
不好算
说明:化二重积分为累次积分时，为计算简便, 要选择合适的顺序。

《二重积分的计算》课件

《二重积分的计算》PPT 课件
数学是一门追求完美和精度的学科。二重积分是数学中非常重要的知识点之一。
问题引入
什么是二重积分？
介绍二重积分的基本概念和定义。
为什么需要学习二重积分？
探究二重积分在数学和物理领域的应用。
二重积分和单重积分有什么不同？
比较二者之间的异同，并解释二重积分的意义。
二重积分的概念
定义
探究二重积分的定义和本质特征。
性质
总结二重积分的性质，包括可加性、线性性和积分换元公式。
图形解释
通过几何图形展示二重积分的本质和计算过程。
二重积分的计算方法
1
直角坐标系
介绍利用直角坐标系计算二重积分的步骤和方法。
2
极坐标系
介绍利用极坐标系计算二重积分的步骤和方法。
3
坐标系转换
将直角坐标系和极坐标系进行转换，让计算更加灵活和简便。
利用直角坐标系计算二重积分
基本思路
介绍利用矩形区域逐个计算的方法和注意事项。
计算公式
列出矩形区域以及对应的积分式，进行逐步计算。
曲线分割
对于曲线较为复杂的曲面，可以对其进行曲线分割求积分。
利用极坐标系计算二重积分
1 基本思路
2 计算公式
总结和展望
总结
总结二重积分的基本概念、计算方法和应用，强化学习效果。
展望
介绍在三维坐标系中，如何推广二重积分，探究其更加广泛的应用场景。
介绍利用极坐标系逐个计算的方法和注意事项。
列出极坐标系下的积分式，进行逐步计算。
3பைடு நூலகம்极坐标系下的体积
计算
通过利用极坐标系计算出空间曲面的体积。

二重积分习题练习及解析ppt课件

(2)设f (x, y)在有界闭区域D上连续. 若D关于
y轴对称, f (x, y)对x为奇函数, 即
f ( x , y ) f ( x , y ), ( x , y ) D,
则
f ( x , y )dxdy 0, D
f (x, y)对x为偶函数, 即 D
f ( x , y ) f ( x , y ), ( x , y ) D,
D
n
0
i 1
4
f ( x , y ) d xOy平面上方的曲顶柱体体积 D
减xOy平面下方的曲顶柱体体积. 3. 物理意义若平面薄片占有平面内有界闭区域D, 它的面密度为连续函数 ( x , y ), 则它的质量M为:
M ( x , y ) d .
D
5
（二）二重积分的性质 (重积分与定积分有类似的性质) 性质1(线性运算性质) 设、为常数, 则
序后的积分限;
2. 如被积函数为 f ( x 2 y 2 ), f ( x 2 y 2 ),
y y f ( ), f (arctan ) 或积分域为圆域、扇形域、 x x
圆环域时, 则用极坐标计算;
18
3. 注意利用对称性质, 以便简化计算; 4. 被积函数中含有绝对值符号时, 应将积分域分割成几个子域, 使被积函数在每个子域中保持同一符号, 以消除被积函数中的绝对值符号.
y
1
1
y x2
O
1
x
20
2.利用对称性
例计算
x 2 y 2 a 2

( x 2 x 3 y 2)d .
2
解积分域是圆 x 2 y 2 a 2 , 故关于x、y轴、直线 y x 对称, 故将被积函数分项积分:

92二重积分的计算(直角坐标系)ppt省名师优质课赛课获奖课件市赛课一等奖课件

当 f ( x, y) f ( x, y)时.
(即f ( x, y)关于( x, y)为奇函数)
（4）若积分区域 D关于直线 y x 对称（ ( x, y)D( y,x)D ），
则 f ( x, y)dxdy f ( y,x)dxdy 。
D
D
又若 D D1D2 ，且 D1与D2 关于直线 y x 对称，则
2
证：积分区域 x2 y2 R2 关于直线 y x 对称，所以
x。
y
(4, 2)
y x
D2 D1
o1
y x2 4x
y x (1,1)
xyd
xyd
xyd
1
0dx
x x
4
x
xydy1 dxx2
xydy55. 8
D
D1
D2
例 3． e y2 d ，其中 D 是由直线 y x ， y1 和 y 轴所围成。
D
解：若先积 y 后积 x，得 e y2 d
1
dx
1
e
y2
的体积。 A( x )
y2(x)
A( x )
y o
a
D
x
y1( x)
bx
x 1( x ) 2( x ) y
一般地，过 [a,b] 上任一点 x 且平行于yoz平面的平面，
与曲顶A(柱 Ax(体x))相交所122(((得xxx)截)f) (面fx(的,xy面),dy积y).d为y 。 1( x)
D
a 1( x)
c 1( y)
二重积分化为二次积分，确定积分限是关键。
其定限方法如下：（1）在 xoy 平面上画出积分区域 D 的图形；（2）若区域 D 为 X 型的，则把 D 投影到 x 轴上，得投影区间[a,b] ，a 和 b 就是对 x 积分的下限和上限。 x[a,b] ，过点 x 画一条与 y 轴平行的直线，假如它与边界曲线交点的纵坐标分别为 y1( x) 和 y2( x) ，且 2( x)1( x) ，则 1( x) 和 2( x) 就是对 y 积分的下限和上限。

二重积分的计算8052332页PPT

D
(x2)2＋ (y1)21x2 所围图形． y
解：所围区域 D为型Y 区域,
3
2
y x3
x2
D(x2)2＋ (y1)21
o
x
D : 0y1, y2x2 2yy2
所以
1
2 2yy2
f (x, y)d
D
0
dy
3
y2
f (x, y)dx
©
例4 交换下列积分顺序
2 x2
22 8x2
Idx2f(x,y)dy dx f(x,y)dy
1
x 0
12y2
x x2
dx
1 1(x3x5)dx
20
1 x4 x6
24 6
1
0
1 24
©
D
y
x2
o
1x
解法2:若将 D 看成是 Y型区域 D ,可表示为得 0y1,yx y
D
xyd
1
dy
0
y
y
xydx
1
y 0
12x2
yydy
1 1y(yy2)dy 1 y3 y4 1 1
D :0xR ,0yR2x2
曲顶为：z R2x2
az
o
a
x
a
y
所以 V8
R2
x2d
xd
R
y8 d
R2x2
x
R2x2dy
00
D
8R(R 2x2)2dx 8(R 31R 3)1R 6 3
0
33
©
二重积分的计算法
2019 年研究生考题, 7分
计算二重积分 emax2{,y2}dxdy,其中
D

二重积分计算法PPT

6
❖二重积分的计算—利用已知平行截面面积的立体求体积
设f(x, y)0, D{(x, y)|j1(x)yj2(x), axb}.
j j 对于x0[a, b], 曲顶柱体在xx0的截面面积为 A ( x 0 ) 1 2 ( ( x x 0 0 ) ) f ( x 0 , y ) d . y
曲顶柱体体积为
ac
c
b
D
若 f(x ,y ) g (x )h (y )
g ( x ) h ( y ) d x d y = b d x d g ( x ) h ( y ) d y = [a g ( x ) d x ] [d h ( y ) d y ]acb来自cD11
❖计算二重积分的步骤
(1)画出积分区域D的草图. (2)用不等式组表示积分区域D. (3)把二重积分表示为二次积分
x0
直线 xx0(ax0b)与D的边界至多有两个交点
3
②积分区域D为Y—型区域
如果区域D可以表示为不等 1(y)x1(y),
cyd,则称区域D为Y型区域.
y0
y0
y0
y0
直线 yy0(cx0d)与D的边界至多有两个交点 4
③积分区域D 既是X—型，也是Y—型
5
④积分区域D 既不是X—型，也不是Y—型 ——转化成X—型或Y—型
即 f ( x , y ) d f ( c , s o ) d d i . s n
DD
❖在极坐标系下二重积分的计算
如果积分区域可表示为 D j1(q)j2(q), aqb, 则
D f( cq, o sq s ) i d n d q a bd q j j 1 2 ( q ( q ) )f( cq, o sq s ) i d n .

第二节二重积分的计算 (2)-PPT精品文档51页

D
c 1(y)
（在积分中要正确选择积分次序）
思考与练习
y
1. 设
且
求
11
I dx f(x)f(y)dy.
0x
解: 交换积分顺序后, x , y互换
1
y yx
ox 1 x
I
1y
dy f(x)f(y)dx
00
2I
11
1
dx f(x)f(y)dy d
x
0x
0
12x4dx
0
2 5
.
1x
解2. 将D看作Y–型区域, 则
注意两种积分次序的
I
11
dy
(x22y)dx
0
y
计算效果！
1(1x32xy)|1 dy 1(12y7y3/2)dy
03
y
03
3
(1yy214y5/2)1 2.
3
15 0 5
例2. 计算 D xyd, 其中D 是抛物线
y
4 y 4x2
DD1D2 (如图所示)
D1
显然,
在D1上, f( x ,y ) f(x ,y ) 在D2上, f(x , y ) f(x ,y )
y 3x
oD 2
1x
x 1
I xln y (1 y2)d x d y D 1
xlny ( 1y2)dxdy0 D 2
x2 y2 8
2
y

1 2
x2 D
1
D
2
o 22 2 x
D
:
2yx 8y2 0y2
I
2
f(x,y)dxdy d y

重积分二重积分的习题课ppt课件.ppt

2
1 ln sec
2
tan
C
于是
a3 1
I
a3 2 ln( 2 1)
2 ln( 2 1) 。
32
6
18
例6 计算I y2dxdy,其中D是由x轴和摆线 D
L
:
x y
a(t a(1
sin t) cos t)
(0 t
2 )
的一拱所围成的区域。
y
解 I
2a
dx
D
D
xdxdy xdxdy xdx
D 0
dx
1
x3
D1 D2
xdy 2
x3
D2
0 x4dx
1
2。 5
30
解法二设F(u)是f (u)的一个原函数， y
x sin yf ( x2 y2 )dxdy
D
1
1
dy
y 3 x sin yf ( x2 y2 )dx
1 1
1
o
1
32 2。 15
28
例8 计算I x[1 sin yf (x2 y2)]dxdy,其中D D
是由y
x3,
y
1,
x
1所围区域,
f
为连续函数。
y
解法一利用对称性。
作曲线y =－x3，将区域D
D1
分成两部分D1 和D2 D1关于y轴对称
D2 1 o
1x
D2关于x轴对称
因为连续函数 xsiny f (x2+y2) 关于变量 x、y 分别都是奇函数， x 关于变量 x 是奇函数，所以有
1
D 3
f ( x, y)d
D2
D3

数学二重积分-PPT精选文档18页

在x轴上方的曲线弧.
y
解 L:xyabcsiontts,(t从0到）
B

xydy acotsbsitn bcotd st
L
0

ab2
cos3
t

2 ab
2
3
0
3
2019/11/21
Ax
12
例3 计算 y 2dx ,其中L 为： L (1) 半径为 a , 圆心为原点的上半圆周(逆时针方向)；
P2xQ3yR

ds

2019/11/21
14x2 9y2
17
谢谢！
x
处切线向量的方向角.
类似,空间两类曲线积分之间的关系:
P Q d R x d y d [ P c zo Q c so R c s] o ds s
其中,,为空间有向曲线弧上点M(x, y,z)处切向量的方向角
2019/11/21
16
例6 设为曲线xt,yt2,zt3上相应于 t 从 0 到 1 的曲线弧.
i 1
i1
令为最大弧长，则
n
w l i0m i 1[P (i, i)xiQ (i, i)yi]
P(x,y)d xQ (x,y)dy
2019/11/21L
4
定义设L为 xoy 面的从点A到点B的一条有向光滑曲线弧，
函数P(x,y)Q ,(x,y)在L上有界. 用点把L任意分割成n个有向
0 i1
P(i
,i
)xi存在,则称此极限值为函数
P(x,
y)在有向曲
线L上对坐标 x 的曲线积分. 记作: P(x, y)dx P(x,y)Q ,(x,y)

高数二重积分习题加答案沐风教学.ppt

例2 将二重积分化成二次积分 I f ( x, y)dxdy,
D
D: x + y =1 , x – y = 1，x = 0 所围.
1y
先对 y 积分
y =1– x
x
I dx f ( x, y)dy
x
0
1x
y = x –1
–1
优讲课堂
1
先对 x 积分
1y
D1
0
D2
x =1– y
I
6 a
1
rdr 2 2a a2 r 2 rdr
0 3a2 r 2
a0
2a
3 a
1
d (3a2 r 2 )
0 3a2 r 2
2a a2 r 2 d (a2 r 2 )
a0
6
3
4
2 3
6
2 3
a2.
优讲课堂
13
练习题
交换下列二次积分的次序:
1 2y
3 3 y
1. 0 dy0 f ( x, y)dx 1 dy0 f ( x, y)dx;
15
优讲课堂
6
例7 证明
b
dx
x ( x y)n2 f ( y)dy
1
b
(b
y)n1
f
(
y)dy.
aa
n1 a
证
b
dx
x
(x
y)n2
f
( y)dy
a
a
y b
y x
bdy b( x y)n2 f ( y)dx ay
a
D
b a
f
(
y)
n
1
1
(
x

二重积分的计算 PPT资料共24页

D
:
1

x

y
xD 1 Nhomakorabeax 2
x2d
y2
D
12dx1 xxx y2 2dy

2
1

x2 y
x
1
dx
2
(x3 x)dx 1
9. 4
x
小结
［X－型］
y2(x)
D
y1(x)
y2(x)
D
y1(x)
a
b
a
b
Df(x, ya bA )(x d )dx x a b d [ 1 ( 2 (x y xf))( .) y d x]d yx
练习与巩固
1、求 (x2y)dx ，其 d 中 D y是由抛物线 yx2和
D
xy2所围平面闭区域 .
2、计算 Dx y2 2d.其D 中由 yx,y1 x,x2
围成．
例 1求 (x2y)dx， d 其中 y D 是由抛物线
D
yx2和 xy2所围平面闭区域 .
00
10
积分次序 .
y
解：R1
:
0 0

y x

1 2
y
1 y 3 R2 : 0 x 3 y
3
x3y
积分区域如图
1 x 2y
R
:
0 1 2
x
x
y
2
3

x
o
2
3x
原式 0 dx 1x 2
f (x, y)dy
.
2x
(2)在（a,b）内任取一点x,通过此点作x轴的垂线和

二重积分的计算习题

变量替换法简化计算过程
变量替换法的基本思想：通过变量替换，将复杂的被积函数或积分区域转化为简单的形式，从而简化计算过程；
常用的变量替换法有极坐标替换、广义极坐标替换等；
极坐标替换法适用于被积函数中含有x^2+y^2或积分区域为圆、圆环、扇形等情况。通过极坐标替换，可将二重积分化为极坐标系下的累次积分进行计算。
பைடு நூலகம்
02 直角坐标系下二重积分计算方法
累次积分法求解步骤与实例分析
01
步骤一
02
确定积分区域D，并画出其图形；
步骤二
根据被积函数和积分区域的特点，选择适当的积分次序；
03
步骤三
04
将二重积分化为累次积分，并计算之。
实例分析
计算二重积分∫∫D xydσ，其中D 是由直线y=x，x=1及x轴所围成的闭区域。首先，确定积分区域D，并画出其图形；其次，选择先对y 积分再对x积分的次序；最后，将二重积分化为累次积分 ∫(0,1)dx∫(0,x) xydy，并计算得到结果为1/4。
二重积分的计算习
目录
• 二重积分基本概念与性质 • 直角坐标系下二重积分计算方法 • 极坐标系下二重积分计算方法 • 二重积分在几何和物理中应用 • 数值方法求解二重积分简介 • 总结回顾与拓展延伸
01 二重积分基本概念与性质
二重积分定义及物理意义
二重积分定义及物理意义
$lim_{lambda to 0} sum_{i=1}^{n} f(xi_i,eta_i) Delta sigma_i = J$
精度与步长
数值求积公式的精度取决于步长（即小矩形的边长）的大小。步长越小，精度越高，但计算量也越大。
任意区域上数值求积公式应用

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6 利用极坐标计 ln(1 x2 y2 )d ,其中D是由圆周
D
x2 y2 1及坐标轴所围成的在第一象限的闭区域.
解 D如下图所示
y
ln( x2 y2 1)d
D
2 d 1ln(1 r 2 )rdr
0
0
1
D r
1 1ln(1 r 2 )d(1 r 2 ) 22 0
[2 3
x3
2 3
x]
1 1
8 3
精选
习题解答习题8-2 P288 1题(4)
(2) x cos( x y)d ,其中D是顶点分别为(0,0),( ,0)
D
和( , )的三角形闭区域.
y
解积分区域下图所示
x cos( x y)d
D
x
D
0 dx0 x cos( x y)dy
o
x
0
0 d a r rdr
2
1r3 3
b a
2 (b3 a3 )
3
精选
oa
b x
放映结束感谢各位观看！
谢谢！
让我们共同进步
精选
2
2y
(2) dy f ( x, y)dx
0
y2
解积分区域应为
D
:
0 y
y2 2 x2
y
或
0 x
2
x y
4
x
如图所示
y
(4,2)
故
2
2y
dy f ( x, y)dx
0
y2
D
4
x
0 dxx f ( x, y)dy
o
x
2
精选
习题解答习题8-2 P289 4题(4)-----作业题
4
精选
习题解答习题8-2 P289 3题(3) (2) 由直线y x, x 2及双曲线y 1 ( x 0)所围成的 x
区域
y
解积分区域如下图所示
故
2
x
I
dx
1
1 f ( x, y)dy
x
D
o
x
或
I
12
2
2
1 dy
1
f ( x, y)dx
dy
1
f ( x, y)dx
y
2
y
精选
D
及y 2x所围成的闭区域..
解积分区域如下图所示
y
( x2 y2 x)d
D
D
2
dy
y
y(
x
2
y2
x)dx
0
2
o
x
2 x3 [ 03
y2x
x2 ]
2
y y
dy
2 19 (
y3
3
y 2 )dy
0 24 8
2
[19 24
1 4
y4
1 8
y3]
2 0
13 精6选
习题解答习题8-2 P289 3题(1)-----作业题
[(1
4
r2
) ln( 1
r
2)
1 0
1
2rdr ]
0
(2ln 2 1)
4
精选
1x
习题解答习题8-2 P290 11题(1) 7 计算下列各题
（1）
D
x y
2 2
d
.其中D是由直线x
2, y
x及曲线xy
1
所围成的闭区域；
解区域D如下图所示:
y
故
D
x y
2 2
d
2
dx
1
x x2
1 x
习题解答习题8-2 P288 1题(1)
1 计算下列二重积分：
(1) ( x2 y2 )d ,其中D {(x, y) x 1, y 1}
D
解积分区域下图所示
y
( x2 y2 )d
D
1

1 (x2
y2 )dy
1 1
D
x
1 [x2
1
y
1 3
y2
]
11dx
1 (2x2
1
2)dx 3
3 化二重积分I f ( x, y)d为二次积分（分别列
D
出对两个变量先后次序不同的两个二次积分）,其中
积分区域是：
(1) 由直线y x及抛物线y2 4x所围成的闭区域
解积分区域如下图所示：
y
故 I f ( x, y)d
D
4
2x
0 dxx f ( x, y)dy
D
o
x
4
y
或 I dy y2 f ( x, y)dx 0
y 2 dy
2 1
x
2[
1] y
x 1
dx
x
2
( x
x3
)dx
1
D
o
2x
[
x2 2
x4 4
]
2 1
9 4 精选
习题解答习题8-2 P290 11题(4)
（2） x2 y2d ,其中D是圆环形闭区域
D
{(x, y) a2 x2 y2 b2 }
解 D如下图所示：
y
则 x2 y2d
D
2
b
(1) x yd ,其中D是由两条抛物线y x,
D
y x2所围成的区域
解积分区域下图所示
x yd
D
D
1
x
dx ydy
0
x2
x
[2 3
y
3 2
]
x x2
dx
12 (
7
x4
2x4 )dx
03
3
6
55
精选
习题解答习题8-2 P289 2题(4)
(2) ( x2 y2 x)d ,其中D是由直线y 2, y x
x[sin( x
y
)]
0
dx
x(sin 2x sin x)dx
0
1
xd( cos 2x cos x) 02
x(1 cos
32.
2x
cos
x)
0
(1 cos 2x cos x)dx 02
2
精选
习题解答习题8-2 P288 2题(1)-----作业题 2 画出积分区域，并计算下列二重积分
2
2 x x2
(3) dx
f ( x, y)dy
1
2 x
解积分区域为 D : 1 x 2,2 x y 2x x2
或2
y
0y x 1
1
1
y
2
如图所示
y
故
2
dx
2 x x2
f ( x, y)dy
1
2 x
1
1 1 y2
dy
f ( x, y)dx.
0 2 y
(1,1) D
2x
精选
习题解答习题8-2 P289 4题(5)
e
ln x
(4) 1 dx0 f ( x, y)dy
解积分区域为 D : 1 x e,0 y ln x.
如右图所示：
y
e
ln x
1 dx0 f ( x, y)dy
1e
dy f ( x, y)dx
0
ey
(e ,1)
D
o
1
x
精选
先将本题与P287 例6进行比较,有何不同?
习题解答习题8-2 P289 4题(1)
4 改换下列二次积分的积分次序
（1）
1
dy
y
f ( x, y)dx
00
解
二重积分的积分区域为D
00
y x
1 y
,
如下图所示：
y
故
1
y
dy f ( x, y)dx
00
D
1
1
0 dxx f ( x, y)dy
o
x
精选
习题解答习题8-2 P289 4题(2)-----作业题