二重积分的计算及应用习题课1

高数二重积分习题加答案用二重积分求立体的表面积二重积分习题课例1 比较I 1 = ∫∫ ( x + y ) 2 dσ 与I 2 = ∫∫ ( x + y ) 3 dσ 的大小,D D其中D 由( x 2 ) 2 + ( y 1) 2 = 2 围成 .y由重积分的性质x+y1I1 I21212xx + y =1用二重积分求立体的表面积例2 将二重积分化成二次积分I = ∫∫ f ( x , y )d xdy ,D: x + y =1 , x C y = 1,x = 0 所围所围. ,1 yD先对y 积分y =1C xI =01∫ dx ∫011 xx 1f ( x , y )d yxy = x C1 C1用二重积分求立体的表面积先对x 积分1 yI =x =1C yD1∫∫ + ∫∫D1 D21 y=1∫ dy ∫01f ( x , y )d x +y +10D2x+∫dy ∫f ( x , y )d xx = y +1 C1用二重积分求立体的表面积例3 将二次积分换序I = D: x ≤ y ≤ 2ax x 2∫0 dx ∫xya2 ax x 2f ( x , y )dy .ax = a a2 y20≤ x≤ay 2 = 2ax x 2即y + ( x a) = a又Q x ≤ a,∴x a = a y2 2222a xI=ady∫y2 2a a yf ( x , y )d x用二重积分求立体的表面积例4 将I = ∫ d y ∫ 0 0 区域边界：区域边界：边界y 2R2 Ry y 2f ( x , y )d x 变为极坐标形式 .即r =2Rsinθπ 即θ = 2x = 2 Ry y 2x=0r =2Rsinθ2R∴ I = ∫ dθ ∫0π 2 02 Rsin θf ( rcos θ , rsin θ )rdr用二重积分求立体的表面积1 x2 例5 计算∫∫ 2 dσ , 其中D由y = x, y = , x = 2 x D y 解围成. 围成. 1 D : ≤ y ≤ x , 1 ≤ x ≤ 2. x∫∫ y2 dσ = ∫1 dx∫Dx22x 1 xx y2D2dyx = ∫ 1 y222 3 dx= ( x x)dx = 9. 1 1 4x∫用二重积分求立体的表面积例6 计算∫∫ y x dσ , 其中D : 1 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1.2 D 先去掉绝对值符号，解先去掉绝对值符号，如图∫∫Dy x2 dσ2D3D12=D +D2 1∫∫ ( x1 1y)dσ + ∫∫ ( y x )dσD3D2= ∫ dx ∫ ( x y )dy + ∫ dx ∫ 2 ( y x2 0 1 xx211211 )dy = . 15用二重积分求立体的表面积例7 证明∫a dx∫a ( x y)证b xxn 21 b f ( y)dy = (b y)n 1 f ( y)dy. n 1∫an 2∫a dx∫a ( x y)b bf ( y)dyy by= xD= ∫ dy∫ ( x y)n 2 f ( y)dxaya=∫ba1 n 1 f ( y) ( x y) dy n 1 yboabx1 b (b y)n 1 f ( y)dy. = n 1 ∫a用二重积分求立体的表面积例8 计算解1∫0 dy∫yy1ysin x dx. x∫0 dy∫y1 01 x sin x sin x dx = ∫ dx∫2 dy 0 x x x= ∫ (1 x)sin xdx= 1 sin1.用二重积分求立体的表面积x2 y2 例9 设D为圆域x 2 + y 2 ≤ R 2 , 求∫∫ 2 + 2 dxdy . a b D y解2由对称性1 y dxdy = ∫∫ ( x 2 + y 2 )dxdy 2 D2ORx∫∫ x dxdy = ∫∫D Dx2 y2 1 1 1 ∴ ∫∫ 2 + 2 dxdy = 2 + 2 ∫∫ ( x 2 + y 2 )dxdy a b 2 a b D D R 2 1 1 1 2π 1 4 1 1 = 2 + 2 ∫ dθ ∫ r rdr = πR 2 + 2 . 0 4 b 2 a a b 0用二重积分求立体的表面积例10 求半球面z = 3a x y 与旋转抛物面2 2 2z x 2 + y 2 = 2az ( a 0 ) 所围成立体的表面积 .oxy用二重积分求立体的表面积S = S1 + S 2zz =3a 2 x 2 y 2 共同的D : 2 x + y 2 = 2azS1 S2x 2 + y 2 ≤ 2a 2 即z = 0oD2ayx用二重积分求立体的表面积S1 : z = 3a 2 x 2 y 23a z z dxdy dA1 = 1 + + dxdy = 2 2 2 3a x y x y 2 2x2 + y2 S2 : z = 2a 2a z z a2 + x2 + y2 dA2 = 1 + + dxdy = dxdy x y a2 2所求面积：所求面积：A = A1 + A2 = ∫∫D3a 3a x y2 2 2dxdy + ∫∫Da2 + x2 + y2 dxdy a用二重积分求立体的表面积= 3a ∫2π 0dθ ∫2a 02a 02a 1 2π rdr + ∫ dθ ∫ a 2 + r 2 rdr 0 a 0 3a 2 r 2 1= 6π a ∫2π rdr + a 3a 2 r 2 12a∫2a 0a 2 + r 2 rdr= 3π a ∫ +1 3a2 r 20 2ad (3a 2 r 2 )πa∫a 2 + r 2 d (a 2 + r 2 )4 2 2 2 = 6 3 + 6 π a . 3 3用二重积分求立体的表面积练习题交换下列二次积分的次序: 交换下列二次积分的次序1 2y 3 3 y1. ∫ dy ∫01 0f ( x , y )dx + ∫ dy ∫1f ( x , y )dx;2. ∫ dx ∫R 21+ 1 x 2 xf ( x , y )dy;计算下列二次积分：计算下列二次积分：二次积分3. ∫ey2dy ∫ e0yx2dx + ∫R R 2ey2dy ∫R2 y 2ex2dx;4.∫155 dx 1 dy ∫ . y ln x y用二重积分求立体的表面积练习题答案1.∫ dx ∫ x0 223 xf ( x , y )dy2 2 y y2 0 R22.∫ dy ∫01y2 0f ( x , y )dx + ∫ dy ∫1R r2f ( x , y )dx).3. I = ∫ π dθ ∫ e2 4 0πrdr =π8(1 e4. I = ∫ dx ∫15x 15 1 dy =∫ ln xdx = 4. 1 ln x y ln x用二重积分求立体的表面积设( x )为[0D关于直线y = x对称, 则若闭区域,1]上的正值连续函数, a ( x )∫∫ f b )( σ ) ∫∫ f ( y, x)dσ1 + (x, y dy = 证明：证明：∫∫ ( x ) D+ ( y ) d Dxdy = 2 (a + b) D为常数，其中a, b为常数，D = {( x , y ) 0 ≤ x , y ≤ 1}. y a ( x ) + b ( y ) 证设I = ∫∫ d xd y y= x 1 ( x) + ( y) Dy 由区域关于直线= x的对称性得a ( y ) + b ( x ) O I = ∫∫ d xd y ( y) + ( x) D1x1 所以, 所以2 I = ∫∫ (a + b )dxdy = a + b I = ( a + b ). 2 D。

二重积分计算例题及过程
下面是关于二重积分的计算的例题及过程：
一、二重积分的定义及其表达式：
二重积分是指将二维区域分割成小的子区域，把函数的积分在每个子区域上做一次，然后再把这些子区域的积分结果相加，而且每个子区域的积分面积要不断减小，从而得到总积分值作为结果。

双重积分的表达式：
$$\iint f (x, y) \, dA = \iint f (x, y) \, dx dy$$
二、计算例题：
计算二重积分
$$\iint_D(x+2y) \,dxdy$$
其中,D为：$$D=[0,1] \ times [1,2]$$
三、计算过程：
（1）根据题目给出的二重积分表达式将函数分解成x和y的乘积：$$\iint_D(x+2y) \,dxdy=\int_0^1\int_1^2(x+2y)dxdy$$
（2）计算X的积分：
$$\int_0^1\int_1^2xdxdy=\int_0^1[\frac{1}{2}x^2]_1^2dy=2y-
\frac{1}{2}y^2|_1^2=2(2)-2(\frac{1}{2})=3$$
（3）计算Y的积分：
$$\int_0^1\int_1^22ydy=\int_0^1[y^2]_1^2dy=2y^2|_1^2=2(4)-(1^2)=7$$ （4）将X和Y的积分相加：$$3+7=10$$
（5）最终得出求此双重积分的结果为：$$\int_D(x+2y) \,dxdy=10$$。

二重积分求体积的例题
摘要：
一、二重积分的概念与性质
1.二重积分的定义
2.二重积分的性质
二、二重积分求体积的方法
1.直接积分法
2.替换变量法
3.极坐标变换法
三、二重积分求体积的例题解析
1.例题一
2.例题二
3.例题三
正文：
二重积分是数学中的一种积分方法，用于求解空间内某一区域的体积。

它具有丰富的性质和灵活的计算方法，是数学分析中的重要内容。

首先，我们来了解二重积分的概念与性质。

二重积分是指在三个变量（x，y，z）的笛卡尔坐标系中，对两个变量（x，y）进行积分，而第三个变量（z）作为被积函数的参数。

二重积分具有以下性质：交换律、结合律、分配律、链式法则等。

接下来，我们学习二重积分求体积的方法。

常用的方法有直接积分法、替
换变量法和极坐标变换法。

直接积分法适用于被积函数较简单的二重积分；替换变量法通过引入新变量，将复杂被积函数转化为简单形式；极坐标变换法则是将笛卡尔坐标系中的积分问题转化为极坐标系中的积分问题，从而简化计算过程。

最后，我们通过例题来解析二重积分求体积的方法。

例题一：求解空间上半球体的体积；例题二：求解空间中四棱锥的体积；例题三：求解空间中曲面的体积。

这些例题涵盖了不同类型的二重积分求体积问题，有助于我们巩固所学知识并提高解题能力。

总之，二重积分是一种强大的数学工具，通过掌握其概念、性质和计算方法，我们可以解决空间体积计算中的一系列问题。

二重积分的计算方法例题及解析一、利用直角坐标计算二重积分1. 例题- 计算∬_D(x + y)dσ，其中D是由直线y = x，y = x^2所围成的闭区域。

2. 解析- （1）首先确定积分区域D的范围：- 联立方程<=ft{begin{array}{l}y = x y = x^2end{array}right.，- 解得<=ft{begin{array}{l}x = 0 y = 0end{array}right.和<=ft{begin{array}{l}x = 1 y = 1end{array}right.。

- 所以在x的范围是0≤slant x≤slant1，对于每一个x，y的范围是x^2≤slant y≤slant x。

- （2）然后将二重积分化为累次积分：- ∬_D(x + y)dσ=∫_0^1dx∫_x^2^x(x + y)dy。

- （3）先计算内层积分：- ∫_x^2^x(x + y)dy=∫_x^2^xxdy+∫_x^2^xydy。

- ∫_x^2^xxdy=x<=ft(y)<=ft.rve rt_x^2^x=x(x - x^2)=x^2-x^3。

- ∫_x^2^xydy=(1)/(2)y^2<=ft.rvert_x^2^x=(1)/(2)(x^2-x^4)。

- 所以∫_x^2^x(x + y)dy=x^2-x^3+(1)/(2)(x^2-x^4)=(3)/(2)x^2-x^3-(1)/(2)x^4。

- （4）再计算外层积分：- ∫_0^1((3)/(2)x^2-x^3-(1)/(2)x^4)dx=(3)/(2)×(1)/(3)x^3-(1)/(4)x^4-(1)/(2)×(1)/(5)x^5<=ft.rvert_0^1。

- =(1)/(2)-(1)/(4)-(1)/(10)=(10 - 5 - 2)/(20)=(3)/(20)。

二重积分的例题及解析二重积分是微积分中的重要概念，用于求解平面上的面积、质量、质心等物理量。

下面将介绍一些常见的二重积分例题，并进行解析。

例题1：计算二重积分D (x+y) dA，其中D为由直线y=x和y=2x以及y=4所围成的区域。

解析：首先，我们需要确定积分的上下限。

由于D区域被直线y=x和y=2x以及y=4所围成，因此x的取值范围为2到4，而y的取值范围为x到4。

因此，我们可以将积分式写为：D (x+y) dA = ∫2^4 ∫x^4 (x+y) dy dx接下来，我们对y进行积分，得到：∫2^4 (xy + y^2/2) |x^4 dx对于这个积分式，我们先计算内层的积分：∫(xy + y^2/2) |x^4 = x(x^4) + (x^4)^2/2 - x(x^2/2) -(x^2/2)^2/2= x^5 + x^8/2 - x^3/2 - x^4/8接下来，我们对x进行积分，得到：∫2^4 (x^5 + x^8/2 - x^3/2 - x^4/8) dx= 1/6 x^6 + 1/16 x^9 - 1/8 x^4 - 1/32 x^5 |2^4= (1/6 * 4^6 + 1/16 * 4^9 - 1/8 * 4^4 - 1/32 * 4^5) - (1/6 * 2^6 + 1/16 * 2^9 - 1/8 * 2^4 - 1/32 * 2^5)= 138.75因此，二重积分D (x+y) dA的结果为138.75。

例题2：计算二重积分D (x^2 + y^2) dA，其中D为单位圆盘x^2 + y^2 ≤ 1。

解析：由于D为单位圆盘，即x^2 + y^2 ≤ 1，我们可以将积分式写为：D (x^2 + y^2) dA = D r^2 dA其中，r为点(x, y)到原点的距离，即r = √(x^2 + y^2)。

因此，我们可以将积分式转化为极坐标形式：D r^2 dA = D r^3 dr dθ由于D为单位圆盘，θ的取值范围为0到2π，r的取值范围为0到1。

二重积分的计算方法例题嘿，朋友们！今天咱就来唠唠二重积分的计算方法，顺便瞅瞅例题。

你说二重积分像不像个神秘的宝藏，得用对方法才能找到它的价值呀！咱先说说直角坐标系下的计算方法吧。

就好比要去一个地方，得先知道走哪条路。

这时候就得把积分区域切成小块块，然后一层一层地算。

来，看这个例题哈。

有个区域被两条直线和一个曲线围着，要求算这个区域里某个函数的二重积分。

哎呀，别头疼！咱就按部就班来。

先确定积分上下限，就像给路定个起点和终点。

然后呢，积分积起来，就像一步步往前走，最后就能找到答案啦。

还有极坐标系下的计算方法呢，这就像换了个角度看世界。

有时候直角坐标系不好使了，极坐标系就派上用场啦！把那些圆形啊、扇形啊的区域变得好处理多了。

比如说，有个例题是关于一个圆形区域的二重积分。

这时候用极坐标系，把那个圆描述得清清楚楚，积分起来也顺顺利利。

咱再想想，二重积分不就是在平面上找面积或者体积嘛。

就像我们要数清楚一片草地上有多少朵花一样，得有合适的方法呀。

计算二重积分，不就是在数学的大花园里找宝贝嘛！有时候要细心，有时候要大胆尝试。

这可不是随随便便就能搞定的事儿，但只要咱掌握了方法，就像有了钥匙，啥门都能打开。

咱学数学可不能死记硬背，得理解，得会用。

就像学骑自行车，光知道理论可不行，得上去骑一骑才知道咋回事。

二重积分也是这样，多做几道例题，多琢磨琢磨，慢慢就会啦。

总之，二重积分的计算方法就是我们探索数学奥秘的工具，例题就是我们练习的靶子。

只要我们用心去学，去感受，就一定能掌握好这个神秘又有趣的知识。

加油吧，朋友们！让我们在数学的海洋里畅游，找到属于我们自己的宝藏！。