二重积分部分练习题

第九章 二重积分 复习题答案一、单项选择题1、设D 是由曲线x y x 422=+围成的闭区域，则()⎰⎰+Dd y x f σ22=（ C ）A.()dr rf d ⎰⎰πθ012B. ()rdr r f d ⎰⎰-22sin 402ππθθC.()rdr rfd⎰⎰-22cos 402ππθθ D.()dr r f d ⎰⎰-22cos 402ππθθ2、设f 是连续函数，D 是由0,122≥≤+y y x 确定的区域，则=+⎰⎰σd y x f D)(22（ A ）。

A 、 10()d rf r dr πθ⎰⎰ B 、2100()d rf r dr πθ⎰⎰C 、10()d f r dr πθ⎰⎰ D 、210()d f r dr πθ⎰⎰3、设22:14, D x y ≤+≤则2Ddxdy =⎰⎰（ D ） A.3π B.4π C.30π D.6π 4、设D 是由直线,2,1y x y x y ===围成的闭区域，则Ddxdy =⎰⎰（ A 、12 B 、14 C 、1 D 、325、设积分区域D 是由圆22x y Ry +=围成，则二重积分22()Df xy d σ+=⎰⎰（ D ）A 、2sin ()00R d f r dr πθθ⎰⎰B 、22sin ()00R d f r rdr πθθ⎰⎰ C 、2sin ()00R d f r dr πθθ⎰⎰D 、2sin ()00R d f r rdr πθθ⎰⎰6、若{}22(,)12D x y x y =≤+≤，则二重积分Dd σ⎰⎰＝（ C ）A.2π B. 2πC. πD. 3π二、填空题：1、变换二次积分⎰⎰⎰⎰-+=21201),(),(yy dx y x f dy dx y x f dy I 的积分次序，则=I ⎰⎰-=12),(xxdy y x f dx I ；2、改变二次积分210(,)y y dy f x y dx ⎰⎰的积分次序，则I = ⎰⎰1),(xxdy y x f dx ；3、改变二次积分210(,)x dx f x y dy ⎰⎰的积分次序，可得21(,)x dx f x y dy ⎰⎰=_______⎰⎰11),(ydx y x f dy ;4、若D 是由直线 1,1,1,1=-==-=y y x x 围成的矩形区域，则⎰⎰=Ddxdy 25、交换二次积分1(,)00yI dy f x y dx =⎰⎰的积分次序，则I =⎰⎰11),(xdy y x f dx ___;三、计算题：1、求⎰⎰+Ddxdy y x )2(，其中D 是由曲线2x y =和0=+y x 围成的闭区域. 101|)1022()2223(|)22()2()2(:0154314320120122-=---=⋅---=⋅+=+=+------⎰⎰⎰⎰⎰⎰x x x dx x x x dxy xy dy y x dx dxdy y x xx Dxx解2、求σd y x D⎰⎰+22，其中D 是由圆周x y x 222=+所围成的闭区域。

习题8 二重积分 一、填空题1、若D 是以(0，0)，(1，0)及(0，1)为顶点的三角形区域，由二重积分的几何意义知(1)Dx y --⎰⎰=_____。

2、设区域D 是221x y +≤与222x y x +≤的公共部分，在极坐标系下(,)Df x y dxdy ⎰⎰的累次积分 。

3、当{(,)1,1}D x y x y x y =+=-=}时 Ddxdy ⎰⎰＝ 。

4、设{}222(,)D x y x y a =+≤，若Dπ=，则a = 。

5、设区域D 由曲线sin ,,02y x x y π==±=所围成，则()51Dx y dxdy -⎰⎰＝ 。

二、选择题 1、设2211cos sin x y dxdyI x y +≤=++⎰⎰，则（ ）。

A 、2/32I ≤≤ B 、23I ≤≤ C 、1/2D I ≤≤ D 、10I -≤≤ 2、设(,)f x y 是连续函数，则1(,)xdx f x y dy =⎰⎰（ ）。

A 、1(,)y dy f x y dx ⎰⎰ B 、110(,)y dy f x y dx ⎰⎰ C 、101(,)ydy f x y dx ⎰⎰ D 、1(,)xydy f x y dx ⎰⎰。

3、设D 是第一象限中由曲线21xy =，41xy =与直线y x =，y =围成的平面区域，函数(),f x y 在D 上连续，则(),Df x y dxdy =⎰⎰（ ）。

A 、()13sin 2142sin 2cos ,sin d f r r rdr πθπθθθθ⎰⎰B 、()34cos ,sin d f r r rdr ππθθθ⎰ C 、()13sin 2142sin 2cos ,sin d f r r dr πθπθθθθ⎰⎰D 、()34cos ,sin d f r r dr ππθθθ⎰4、设1DI σ=⎰⎰,σd y x I D ⎰⎰+=)cos(222,σd y x I D⎰⎰+=2223)cos(, 其中 }1),{(22≤+=y x y x D ，则（ ）A 、123I I I >>B 、321I I I >>C 、312I I I >>.D 、213I I I >>5、累次积分cos 2(cos ,sin )d f r r rdr πθθθθ⎰⎰可以写成：（ ） A、1(,)dyf x y dx ⎰ B 、1(,)dy f x y dx ⎰ C 、1100(,)dxf x y dy ⎰⎰D 、1(,)dx f x y dy ⎰。

；.第九章 二重积分习题9-1 1、设⎰⎰+=13221)(D d y x I σ, 其中}22,11|),{(1≤≤-≤≤-=y x y x D ;又⎰⎰+=23222)(D d y x I σ, 其中}20,10|),{(2≤≤≤≤=y x y x D ,试利用二重积分的几何意义说明1I 与2I 之间的关系.解：由于二重积分1I 表示的立体关于坐标面0=x 及0=y 对称,且1I 位于第一卦限部分与2I 一致,因此214I I =.2、利用二重积分的几何意义说明:(1)当积分区域D 关于y 轴对称,),(y x f 为x 的奇函数,即),(),(y x f y x f -=-时,有0),(=⎰⎰Dd y x f σ;(2)当积分区域D 关于y 轴对称,),(y x f 为x 的偶函数,即),(),(y x f y x f =-时,有⎰⎰⎰⎰=1),(2),(D Dd y x f d y x f σσ,其中1D 为D 在0≥x 的部分.并由此计算下列积分的值,其中}|),{(222R y x y x D ≤+=.(I)⎰⎰D d xy σ4; (II)⎰⎰--D d y x R y σ222; (III)⎰⎰++Dd y x xy σ2231cos . 解：令⎰⎰=Dd y x f I σ),(,⎰⎰=1),(1D d y x f I σ,其中1D 为D 在0≥x 的部分,；.(1)由于D 关于y 轴对称,),(y x f 为x 的奇函数,那么I 表示的立体关于坐标面0=x 对称,且在0≥x 的部分的体积为1I ,在0<x 的部分的体积为1I -,于是0=I ;(2)由于D 关于y 轴对称,),(y x f 为x 的偶函数,那么I 表示的立体关于坐标面0=x 对称,且在0≥x 的部分的体积为1I ,在0<x 的部分的体积也为1I ,于是12I I =.(I)由于}|),{(222R y x y x D ≤+=关于y 轴对称,且4),(xy y x f =为x 的奇函数, 于是04=⎰⎰Dd xy σ;(II)由于}|),{(222R y x y x D ≤+=关于x轴对称,且222),(y x R y y x f --=为y 的奇函数,于是0222=--⎰⎰Dd y x R y σ;(III)由于}|),{(222R y x y x D ≤+=关于x 轴对称,且2231cos ),(y x xy y x f ++=为y 的奇函数,于是01cos 223=++⎰⎰Dd y x xy σ.3、根据二重积分的性质,比较下列积分的大小: (1)⎰⎰+=Dd y x I σ21)(与⎰⎰+=Dd y x I σ32)(,其中D 是由x 轴、y 轴与直线1=+y x 所围成;解：由于在D 内,10<+<y x ,有23)()(0y x y x +<+<,所以1232)()(I d y x d y x I DD=+<+=⎰⎰⎰⎰σσ.(2)⎰⎰+=Dd y x I σ)ln(1与⎰⎰+=Dd y x I σ22)][ln(, 其中}10,53|),{(≤≤≤≤=y x y x D .；.解：由于在D 内,63<+<<y x e ,有1)ln(>+y x ,2)][ln()ln(y x y x +<+,所以221)][ln()ln(I d y x d y x I DD=+<+=⎰⎰⎰⎰σσ.4、利用二重积分的性质估计下列二重积分的值： (1)⎰⎰++=Dd y x xy I σ)1(,其中}20,10|),{(≤≤≤≤=y x y x D ；解：由于D 的面积为2,且在D 内,8)1(0<++<y x xy ,那么1628)1(200=⨯<++<⨯=⎰⎰Dd y x xy σ.(2)⎰⎰++=Dd y xI σ)94(22,其中}4|),{(22≤+=y x y x D ； 解：由于D 的面积为π4,且在D 内,25313949222≤+≤++≤y y x ,那么ππσππ100425)94(493622=⨯<++<⨯=⎰⎰Dd y x .(3)⎰⎰++=Dy x d I 22cos cos 100σ, 其中}10|||| |),{(≤+=y x y x D ； 解：由于D 的面积为200,且在D 内, 1001cos cos 1001102122≤++≤y x ,那么 2100200cos cos 1001022005110022=<++<⎰⎰D y x d σ＝.；.习题9-21、计算下列二重积分： (1)⎰⎰+Dd y x σ)(22,其中D 是矩形区域: 1||,1||≤≤y x ； 解：38)31(2)()(11211112222=+=+=+⎰⎰⎰⎰⎰---dx x dy y x dx d y x Dσ. (2)⎰⎰+Dy xd xye σ22,其中},|),{(d y c b x a y x D ≤≤≤≤=；解：⎰⎰⎰⎰⎰-==++b a x c d badcy x Ddx xe e e dy xye dx d y x 22222)(21)()(22σ.))((412222c d a b e e e e --=. (3)⎰⎰+Dd y x σ)23(,其中D 是由两坐标轴及直线2=+y x 所围成的闭区域；解：320)224()23()23(22220=-+=+=+⎰⎰⎰⎰⎰-dx x x dy y x dx d y x x Dσ. (4)⎰⎰+Dd y x x σ)cos(,其中D 是顶点分别为)0,(),0,0(π和),(ππ的三角形闭区域. 解：πσππ23)sin 2(sin )cos()cos(000-=-=+=+⎰⎰⎰⎰⎰dx x x x dy y x x dx d y x x x D.2、画出积分区域,并计算下列二重积分： (1)⎰⎰Dd y x σ,其中D 是由两条抛物线2,x y x y ==所围成的闭区域；；.解：556)(3210447102=+==⎰⎰⎰⎰⎰dx x x dy y x dx d y xxxDσ.(2)⎰⎰Dd x yσ,其中D 是由直线x y x y 2,==及2,1==x x 所围成的闭区域； 解：492321212===⎰⎰⎰⎰⎰xdx dy x y dx d x y x x Dσ.(3)⎰⎰+Dd y x σ)2(,其中D 是由x y x y 1,==及2=y 所围成的闭区域； 解：619)112()2()2(2122211=--=+=+⎰⎰⎰⎰⎰dy y y dx y x dy d y x y y Dσ.(4)⎰⎰+Dyx d e σ,其中D 是由1||||≤+y x 所确定的闭区域. 解：⎰⎰⎰⎰⎰⎰+--+-+--+++=10110111x x y x x x yx Dyx dy e dx dy edx d eσee e e e e dx e e dx e ex x 1212232)()(101201112-=++-=-+-=⎰⎰---+.a:=0..1;b:=x-1..-x+1; f:=exp(x+y); int(f,y=b);int(int(f,y=b),x=a); simplify(");3、如果二重积分⎰⎰Dd y x f σ),(的被积函数),(y x f 是两个函数)(1x f 及)(2y f 的乘积,即)()(),(21y f x f y x f =,积分区域},|),{(d y c b x a y x D ≤≤≤≤=,证明这个二重积分等于两个单积分的乘积,；.即12(,)()()b da c Df x y d f x dx f y dy σ⎡⎤⎡⎤=⋅⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰⎰⎰⎰.证明：⎰⎰⎰⎰⎰⎰==b adcb ad cDdy y f x f dx dx y x f dx d y x f )()(),(),(21σ1212()()()()b d b da c a c f x f y dy dx f x dx f y dy ⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⋅⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎰⎰⎰⎰.4、化二重积分⎰⎰=Dd y x f I σ),(为二次积分(分别列出对两个变量先后次序不同的两个二次积分),其中积分区域D 是：(1)由曲线x y ln =、直线2=x 及x 轴所围成的闭区域；图形>plot([ln(x),0,[[2,0],[2,ln(2)]]],x=0..2,y=0..0.8,color=1); 解：⎰⎰⎰⎰==2ln 0221ln 0),(),(y exdx y x f dy dy y x f dx I .(2)由y 轴及右半圆22y a x -=所围成的闭区域；图形>plot([(1-x^2)^(1/2), -1*(1-x^2)^(1/2)],x=0..1, color=1);；.解：⎰⎰⎰⎰-----==aay a a xa x a dx y x f dy dy y x f dx I 2222220),(),(.(3)由抛物线2x y =与直线32=+y x 所围成的闭区域.图形> plot([x^2, 3-2*x],x=-3..1, color=1);解：319201(,)(,)y yyyI dy f x y dx dy f x y dx ---=+⎰⎰⎰⎰.5、改换下列二次积分的积分顺序： (1)⎰⎰10),(yydx y x f dy ；解：⎰⎰=102),(xx dy y x f dx I .；.(2)⎰⎰10),(ee ydx y x f dy ；解：⎰⎰=exdy y x f dx I 1ln 0),(.(3)⎰⎰-+-11122),(y ydx y x f dy ；解：⎰⎰--=21222),(x x xdy y x f dx I .(4)⎰⎰⎰⎰-+21201),(),(2xx dy y x f dx dy y x f dx ；；.解：⎰⎰-=102),(y ydx y x f dy I .(5)⎰⎰-πsin 2sin),(xx dy y x f dx ；图形> plot([sin(x),-sin(x/2),[[Pi,0],[Pi,-1]]], x=0..Pi,color=1); 解：⎰⎰⎰⎰---+=1arcsin arcsin 01arcsin 2),(),(yyydx y x f dy dx y x f dy I ππ.(6)⎰⎰⎰⎰--+21202022),(),(2xaaxx ax dy y x f dx dy y x f dx .图形> plot([(2*x-x^2)^(1/2),(2*x)^(1/2),[[2,0],[2,2]]], x=0..2,color=1); 解：⎰⎰⎰⎰-+--+=aay a a ay a a aydx y x f dy dx y x f dy I 020222222),(),(⎰⎰+a aaay dx y x f dy 2222),(.6、设平面薄片所占的闭区域D 由直线x y y x ==+,2和x 轴所围成,它的面密度22),(y x y x +=ρ,求该改薄片的质量.图形> plot([2-x,x], x=0..2,y=0..1,color=1); 解：⎰⎰⎰⎰-+==10222)(),(xyDdx y x dy d y x m σρ34)384438(1032=-+-=⎰dy y y y .；.7、求由平面1,1,0,0=+===y x z y x 及y x z ++=1所围成的立体的体积.图形> with(plots):A:=plot3d([x,y,1],x=0..1,y=0..1-x):B:=plot3d([x,1-x,z],x=0..1,z=1..2):F:=plot3d([x,0,z],x=0..1,z=1..1+x):G:=plot3d([0,y,z],y=0..1,z=1..1+y):H:=plot3d([x,y,1+x+y],x=0..1,y=0..1-x): display({A,B,F,G,H},grid=[25,20], axes= BOXED , scaling=CONSTRAINED,style= PATCHCONTOUR); 解：⎰⎰⎰⎰⎰=-=+=-++=-102101031)1(21)(]1)1[(dx x dy y x dx d y x V xDσ.8、为修建高速公路,要在一山坡中辟出一条长m 500,宽m 20的通道,据测量,以出发点一侧为原点,往另一侧方向为x 轴(200≤≤x ),往公路延伸方向为y 轴(5000≤≤y ),且山坡高度为x y z 20sin500sin10ππ+=,试计算所需挖掉的土方量.图形> plot3d(10*sin(Pi*y/500)+ sin(Pi*x/20),y=0..500,x=0..20); 解：)(70028)20sin500sin10(3200500m dy x y dx zd V D=+==⎰⎰⎰⎰ππσ.9、画出积分区域,把积分⎰⎰=Dd y x f I σ),(表示为极坐标形式的二次积分,其中积分区域D 是：(1))0( }0,|),{(222>≥≤+=a x a y x y x D ；图形> plot([(1-x^2)^(1/2),-(1-x^2)^(1/2)], x=0..1,color=1);解：⎰⎰-=220)sin ,cos (ππθθθardr r r f d I .(2)}2|),{(22y y x y x D ≤+=；图形> plot([1+(1-x^2)^(1/2), 1-(1-x^2)^(1/2)], x=-1..1,color=1); 解：y y x 222=+⇔θsin 22r r =⇔θsin 2=r ,于是⎰⎰=πθθθθ0sin 20)sin ,cos (rdr r r f d I .；.(3)}|),{(2222b y x a y x D ≤+≤=,其中b a <<0；图形> plot([(1-x^2)^(1/2),-(1-x^2)^(1/2),(4-x^2)^(1/2),-(4-x^2)^(1/2)], x=-2..2,color=1); 解：⎰⎰=πθθθ20)sin ,cos (bardr r r f d I .(4)}0,10|),{(2x y x y x D ≤≤≤≤=.图形> plot([x^2,[[1,0],[1,1]]], x=0..1,color=1); 解：2x y =⇔θθ22cos sin r r =⇔θθtan sec =r ,1=x ⇔1cos =θr ⇔θsec =r ,于是⎰⎰=40sec tan sec )sin ,cos (πθθθθθθrdr r r f d I .10、化下列二次积分为极坐标形式的二次积分： (1)⎰⎰11),(dy y x f dx ；图形> plot([[0,0],[0,1],[1,1],[1,0],[0,0]],color=1); 解：1=x ⇔1cos =θr ⇔θsec =r ,1=y ⇔1sin =θr ⇔θcsc =r ,于是⎰⎰⎰⎰+=24csc 040sec 0)sin ,cos ()sin ,cos (ππθπθθθθθθθrdr r r f d rdr r r f d I .(2)⎰⎰--+111222)(x xdy y x f dx ；图形> plot([(1-x^2)^(1/2),1-x],x=0..1,color=1); 解：x y -=1⇔θθcos 1sin r r -=⇔θθcos sin 1+=r ,于是⎰⎰+=201cos sin 1)(πθθθrdr r f d I .11、把下列积分为极坐标形式,并计算积分值：；.(1)⎰⎰-+ax ax dy y x dx 2020222)(；图形> plot((2*x-x^2)^(1/2), x=0..2,color=1);解：22x ax y -=⇔θθθ22cos cos 2sin r ar r -=⇔θcos 2a r =, 于是 4204420cos 20343cos 4a a dr r d I a πθθππθ===⎰⎰⎰. (2)⎰⎰+13221xxdy yx dx ；图形> plot([3^(1/2)*x,x], x=0..1,color=1);解：1=x ⇔1cos =θr ⇔θsec =r ,于是2132lnsec 3434sec 0++===⎰⎰⎰ππππθθθθd dr d I .(3)⎰⎰⎰⎰-+++a a x a a x dy y x dx dy y x dx 230222303302222.图形> plot([3^(1/2)*x/3, (1-x^2)^(1/2)],x=0..1,y=0..0.5,color=1); 解：1=x ⇔1cos =θr ⇔θsec =r ,于是3603602183a d a dr r d I aπθθππ===⎰⎰⎰.12、利用极坐标计算下列各题： (1)⎰⎰--D d y x R σ222,其中D 为圆域Rx y x ≤+22(0>R )；图形> plot([(x-x^2)^(1/2),-(x-x^2)^(1/2)],x=0..1,color=1); 解：Rx y x =+22⇔θcos 2Rr r =⇔θcos R r =,于是)34(31322cos 022-=-=⎰⎰-πθππθR rdr r R d I R .；.(2)⎰⎰++Dd y x σ)1ln(22,其中D 为圆122=+y x 及坐标轴所围成的在第一象限内的闭区域；图形> plot((1-x^2)^(1/2),x=0..1,color=1);解：)12ln 2(4)1ln(2012-=+=⎰⎰πθπrdr r d I .(3)⎰⎰Dd xyσarctan,其中D 为圆周122=+y x ,422=+y x 及直线x y y ==,0所围成的在第一象限内的闭区域.图形> plot([(1-x^2)^(1/2),-(1-x^2)^(1/2), (4-x^2)^(1/2),-(4-x^2)^(1/2),x],x=-2..2,y=0..2^(1/2),color=1);解：240402164323πθθθθππ===⎰⎰⎰d rdr d I .13、选择适当的坐标计算下列各题： (1)⎰⎰Dd yx σ22,其中D 是直线x y x ==,2及曲线1=xy 所围成的闭区域； 图形> plot([x,1/x,[[2,1/2],[2,2]]],x=0..2,y=0..2,color=1); 解：49)(21321122=-==⎰⎰⎰dx x x dy y x dx I xx. (2)⎰⎰+Dd y x σ22sin ,其中D 是圆环形区域22224ππ≤+≤y x ； 图形> plot([(1-x^2)^(1/2),-(1-x^2)^(1/2),(4-x^2)^(1/2),-(4-x^2)^(1/2)], x=-2..2,color=1); 解：22026sin πθπππ-==⎰⎰rdr r d I .(3)⎰⎰+Dd y x σ)(22,其中D 是由直线a y a y a x y x y 3,,,==+==(0>a )所围成的闭区域；；.图形> plot([[0,1],[1,1],[3,3],[2,3],[0,1]],x=0..3,y=0..3,color=1); 解：4332232214)32()(a dx a y a ay dx y x dy I aaaayay =+-=+=⎰⎰⎰-.(4)⎰⎰--Dd y x σ|1|22,其中D 为圆域422≤+y x . 图形> plot([(1-x^2)^(1/2),-(1-x^2)^(1/2),(4-x^2)^(1/2),-(4-x^2)^(1/2)], x=-2..2,color=1); 解：πππθθππ5292)1()1(2021220102=+=-+-=⎰⎰⎰⎰rdr r d rdr r d I .14、计算以xOy 面上的圆周ax y x =+22围成的闭区域为底,而以曲面22y x z +=为顶的曲顶柱体的体积.图形> plot([(x-x^2)^(1/2),-(x-x^2)^(1/2)],x=0..1,color=1); 解：ax y x =+22⇔θcos 2ar r =⇔θcos a r =,于是4224422cos 0322323cos 4)(a d a dr r d d y x V a Dπθθθσππππθ===+=⎰⎰⎰⎰⎰--.15、某水池呈圆形,半径为5米,以中心为坐标原点,距中心距离为r 处的水深为215r+米,试求该水池的蓄水量. 图形> plot([(x-x^2)^(1/2),-(x-x^2)^(1/2)],x=0..1,color=1);解：29.16)13ln 2(ln 51520502=+=+=⎰⎰πθπrdr rd V (米3).16、讨论并计算下列广义二重积分：(1)⎰⎰Dq p y x d σ,其中}1,1|),{(≥≥=x xy y x D ； 解：))(1(11111011111p q q dx x q dy yx dx I q p q p q x q p --===-====>-+∞+->+∞+∞⎰⎰⎰. 即当1>>q p 时,广义二重积分收敛,且；.))(1(1q p q I --=.(2)⎰⎰+Dp y x d )(22σ,其中}1|),{(22≥+=y x y x D ； 解：1111220112-=====>-+∞-⎰⎰p dr r d I p p πθπ.即当1>p 时,广义二重积分收敛,且1-=p I π.。

v1.0可编写可改正第九章二重积分习题 9-11、设I1( x2y 2 ) 3 d,D1此中D1{( x, y) | 1 x1, 2y2} ;又 I 2( x2y2 )3 d ,D2此中 D 2{( x, y) | 0 x1,0y2} ,试利用二重积分的几何意义说明I1与 I2之间的关系 .解：因为二重积分I1表示的立体对于坐标面x 0 及y0对称 , 且I1位于第一卦限部分与 I 2一致,所以 I 14I 2.2、利用二重积分的几何意义说明:(1)当积分区域 D 关于 y 轴对称, f (x, y) 为 x的奇函数 , 即f (x, y) f (x, y)时,有 f (x, y)d0 ;D(2)当积分区域 D 关于 y 轴对称, f (x, y) 为 x的偶函数 , 即f ( x, y) f ( x, y) 时,有 f ( x, y)d2 f (x, y)d, 其中D1为D在D D1v1.0 可编写可改正x0 的部分.并由此计算以下积分的值,此中D {(,) |x2y2 2 }. x y R(I)4d; (II)y222;(III)y3 cosx2 d. xy R x y dD 1 x2yD D解：令 I f ( x, y)d,I1 f ( x, y)d, 此中D1为D在x0 的部分,D D1(1)因为 D 对于 y 轴对称, f (x, y) 为 x 的奇函数,那么I表示的立体对于坐标面于是x 0 对称,且在 x 0 的部分的体积为I1,在x0 的部分的体积为I1, I 0 ;(2)因为 D 对于 y 轴对称, f (x, y)为x的偶函数,那么 I 表示的立体对于坐标面 x 0 对称,且在 x 0 的部分的体积为I1,在x0 的部分的体积也为I1,于是 I2I1.(I)因为D{( x, y) | x2y2R2 } 对于y轴对称,且 f ( x, y)xy 4为 x 的奇函数 ,于是xy4 d0 ;D(II)由于 D {( x, y) | x2y 2R2 } 关于x 轴对称 ,且f ( x, y) y R2x2y 2为 y 的奇函数,于是y R 2x2y 2 d0 ;D(III)由于D{( x, y) | x2y2R2 } 关于x轴对称, 且f ( x, y)y3 cosx y3 cosxd0 .x2y2为 y 的奇函数,于是2y21D 1 x3、依据二重积分的性质, 比较以下积分的大小:(1) I1( x y)2 d与I2( x y)3 d, 此中D是由x轴、y轴与直线D Dx y 1所围成;解：因为在 D内 , 0 x y 1 ,有 0 ( x y)3( x y) 2, 所以I 2( x y) 3 d( x y) 2 d I 1.D D(2) I1ln( x y)d与I2[ln( x y)] 2 d,D D此中 D {( x, y) | 3 x 5,0 y1} .解：因为在 D 内,e 3 x y 6 ,有 ln( x y) 1, ln( x y) [ln( x y)] 2,所以I 1ln( x y)d[ln( x y)] 2 d I 2.D D4、利用二重积分的性质预计以下二重积分的值：(1) I xy(x y1)d,D此中 D{( x, y) | 0x1,0 y2} ；解：因为 D 的面积为 2 ,且在 D内 , 0 xy( x y 1) 8 ,那么0 0 2xy( x y 1)d8 2 16 .D(2) I( x2 4 y29)d,D此中 D{( x, y) | x2y24} ；解：因为 D 的面积为 4 ,且在 D 内,9 x2 4 y 29 13 3 y225 ,那么369 4( x2 4 y29)d25 4 100 .D(3) I d,cos2x cos2D 100y此中 D{( x, y) | | x || y | 10} ；解：因为 D 的面积为200 ,且在 D 内,111 102 100 cos2 x cos2y , 那么100100＝ 200d200 2 .51102D 100cos2 x cos2 y100习题 9-21、计算以下二重积分：(1)( x2y2 )d, 此中D是矩形地区 :| x | 1,| y | 1 ；D解：y2 )d dx ( x 2y 2 )dy 2 (x 21)dx8 .(x2111D11133(2)xye x2y2d, 此中D{( x, y) | a x b, c y d} ；D解：22b d x 2y2 1 d2c2b x2dx .(x y )d dx( xye)dy(e e)xeDa c2a1b2e a2 d 2e c 2(e)(e) .4(3)(3x 2 y)d, 此中D是由两坐标轴及直线x y2所围成的闭地区；D解：(3x2y)d dx(3x2y)dy(42x2x2)dx20.2 2 x2D0003(4)xcos(x y)d ,此中 D 是极点分别为( 0,0),(,0) 和 ( ,) 的三角形D闭地区 .xcos(x y)d xxcos(x y)dy x(sin2x sinx)dx 3 .解：dxD00022、画出积分地区 , 并计算以下二重积分：(1)x yd, 此中D是由两条抛物线y x , y x2所围成的闭地区；D1x2 17 6解：44x yddxx2x ydy3 0 (xx )dx 55 .D(2)y d, 此中 D 是由直线 yx, y 2 x 及 x 1, x 2 所围成的闭地区；Dx解：y d2 dx2 xDx1xy32xdx9xdy.214(3)(2x y) d , 此中 D 是由 yx, y1及 y 2 所围成的闭地区；Dx12 )dy解：(2xy)ddy 1 (2x y)dx(2y 2 119 .2 y 2D1y1y6(4)e x y d , 此中 D 是由 | x | | y |1 所确立的闭地区 .Ddxx 1 1dx x 1解：e x y de x y dy0 e x y dyD1x 1x 1e 1)dx(e e2 x 1)dx e 3e 1e 1 .0 (e 2x 1112 2e 2 2eea:=0..1;b:=x-1..-x+1;f:=exp(x+y);int(f,y=b);int(int(f,y=b),x=a);simplify(");3、假如二重积分f2 ( y)的乘D {( x, y) | a 即f ( x, y)dD证明：f (x, y) dDb df ( x, y)d的被积函数 f ( x, y) 是两个函数f1 (x) 及D积,即 f ( x, y) f1 (x) f 2 ( y),积分区域x b, c y d} ,证明这个二重积分等于两个单积分的乘积,b df1 ( x)dx f 2 ( y)dy.a cb d b ddx f ( x, y)dx dx f1 ( x) f 2 ( y)dya c a cb df1 (x)f2 ( y)dy dx f1 (x)dx f 2 ( y) dy .a c a c4、化二重积分I f ( x, y)d 为二次积分(分别列出对两个变量先后序次D不一样的两个二次积分), 此中积分地区D是：(1) 由曲线y ln x 、直线x 2及 x 轴所围成的闭地区；图形 >plot([ln(x),0,[[2,0],[2,ln(2)]]],x=0..2,y=0..,color=1);2ln x ln 22解： Idx f ( x, y) dy dye yf ( x, y) dx .100(2) 由y轴及右半圆xa2y 2所围成的闭地区；图形 >plot([(1-x^2)^(1/2), -1*(1-x^2)^(1/2)],x=0..1, color=1);a a2x22 f ( x, y)dy a a 2 y2解： Idxa 2xdy f (x, y)dx .0a0(3) 由抛物线y x2与直线 2x y 3所围成的闭地区.图形 > plot([x^2, 3-2*x],x=-3..1, color=1);1y3 y 9解： I dy f ( x, y)dx dy2 f ( x, y)dx .0y1y5、更换以下二次积分的积分次序：1 (1)dy解： I1 (2)dy1yf ( x, y)dx ；y1x0 dx x2 f ( x, y)dy .ee yf ( x, y) dx ；e ln x解： I dx f (x, y) dy .101 1 y 2(3)dy f ( x, y)dx ；0 2 y解： I2 dx2 x x 21 f (x, y) dy .2 x1x 2f ( x, y)dy2 2 x (4)dx dxf ( x, y) dy ；11 2 y 解： Idyf (x, y) dx .ysin x(5)0 dxsin x2f ( x, y)dy ；图形>plot([sin(x),-sin(x/2),[[Pi,0],[Pi,-1]]],x=0..Pi,color=1);dyf ( x, y)dx1 arcsin y解： I2 arcsin y dyf ( x, y)dx .1arcsin y2a 2 ax22 x (6)dx 2 ax x 2f ( x, y) dy1dx 0f ( x, y) dy .图形> plot([(2*x-x^2)^(1/2),(2*x)^(1/2),[[2,0],[2,2]]],x=0..2,color=1);a aa 2y 2a2 a解： I0 dy y 2f (x, y) dxdya2 2f ( x, y) dx2aa y2a 2aady y 2 f ( x, y)dx .2 a6、设平面薄片所占的闭地区D 由直线 x y2, y x 和 x 轴所围成 , 它的面密度(x, y)x 2 y 2 , 求该改薄片的质量 .图形 > plot([2-x,x], x=0..2,y=0..1,color=1);解： m( x, y)d1dy2 x y 2 )dx0 y(x 2D184 y4 y 28 y 34(3) dy.337、求由平面 x 0, y0, z 1, x y 1 及 z 1 x y 所围成的立体的体积 .图形 > with(plots):A:=plot3d([x,y,1],x=0..1,y=0..1-x):B:=plot3d([x,1-x,z],x=0..1,z=1..2):F:=plot3d([x,0,z],x=0..1,z=1..1+x):G:=plot3d([0,y,z],y=0..1,z=1..1+y):H:=plot3d([x,y,1+x+y],x=0..1,y=0..1-x):display({A,B,F,G,H},grid=[25,20], axes= BOXED , scaling=CONSTRAINED,style= PATCHCONTOUR);解： V[(1 x1dx 1 x y) dy 1121y) 1] d(x(1x) dx.D002038、为修筑高速公路, 要在一山坡中辟出一条长500m ,宽20m的通道 , 据丈量 ,以出发点一侧为原点, 往另一侧方向为x 轴(0x20), 往公路延长方向为y 轴( 0y 500 ),且山坡高度为z10 sin y sin x ,试计算所需50020挖掉的土方量.图形 > plot3d(10*sin(Pi*y/500)+ sin(Pi*x/20),y=0..500,x=0..20);解： V zd 20500(10 sin y sin x)dy70028(m3 ) . 0dxD0500209、画出积分地区 , 把积分I f ( x, y)d表示为极坐标形式的二次积分, 其D中积分地区 D 是：(1)D {(,) |x2y2a2,x0}(a0)；x y图形 > plot([(1-x^2)^(1/2),-(1-x^2)^(1/2)], x=0..1,color=1);解： I2daf ( r cos, r sin)rdr . 02(2)D {(,) |x2y22} x y y；图形 > plot([1+(1-x^2)^(1/2),1-(1-x^2)^(1/2)],x=-1..1,color=1);解： x2y 2 2 y r 22r sin r 2 sin, 于是I d 2 sin f ( r cos, r sin)rdr .(3)D{( , ) | a 2x 2 y 2b 2 }, 此中 0 ab ；x y图形 > plot([(1-x^2)^(1/2),-(1-x^2)^(1/2),(4-x^2)^(1/2),-(4-x^2)^(1/2)], x=-2..2,color=1);解： I2 bf ( r cos , r sin)rdr .da(4)D{( , ) | 0x 1,0y x 2 }.x y图形 > plot([x^2,[[1,0],[1,1]]], x=0..1,color=1);解： yx 2r sinr 2 cos 2r sectan ,x 1 r cos 1r sec , 于是I4 dsec f ( r cos , r sin )rdr .sec tan10、化以下二次积分为极坐标形式的二次积分：11(1)dx f ( x, y)dy ；图形 > plot([[0,0],[0,1],[1,1],[1,0],[0,0]],color=1);解： x 1 r cos 1 r sec y 1r sin1rcsc,, 于是Isec f (r cos , r sin )rdr2dcsc 4 df (r cos , r sin ) rdr .41 1 x 2x2y 2)dy ；(2) dx1 x f ( 0图形 > plot([(1-x^2)^(1/2),1-x],x=0..1,color=1);解： y1 xr sin1 r cos r1 , 于是sincosI1f (r )rdr .2 d 1cossin11、把以下积分为极坐标形式, 并计算积分值：2a 2 ax x 2( x 2y2)dy ；(1)dx图形 > plot((2*x-x^2)^(1/2), x=0..2,color=1);解： y 2ax x 2r sin 2ar cosr 2 cos 2r 2a cos ,于是 I2d2a cosr 3 dr 4a 4 2 cos 4 3 a 4.413x1dy ；(2)dxx 2y 2x图形 > plot([3^(1/2)*x,x], x=0..1,color=1);解： x1r cos 1r sec , 于是I3 dsec 3sec dln23 .0 dr44123 adx3 xx2y 2dya a 2x 2x2y2dy .(3)233 dxa2图形 > plot([3^(1/2)*x/3, (1-x^2)^(1/2)],x=0..1,y=0..,color=1);解： x1 r cos 1 r sec , 于是v1.0 可编写可改正a2dra 3a 3.I 6 d6 dr3 01812、利用极坐标计算以下各题：(1)R 2x 2y 2 d , 此中 D 为圆域 x 2y 2 Rx ( R 0 ) ；D图形 > plot([(x-x^2)^(1/2),-(x-x^2)^(1/2)],x=0..1,color=1);解： x 2y 2 Rxr 2Rr cos r R cos , 于是Id Rcos R2 r2 rdr1 3(42 0 R) .233(2)ln(1 x2y 2) d , 此中 D 为圆 x2y21及坐标轴所围成的在第一D象限内的闭地区；图形 > plot((1-x^2)^(1/2),x=0..1,color=1);解： I2d1r2) rdr (2 ln 2 1) .ln(1 40 0(3)arctan yd, 其 中 D 为 圆 周 x 2y 2 1 , x 2y 24 及 直 线Dxy 0, y x 所围成的在第一象限内的闭地区.图形>plot([(1-x^2)^(1/2),-(1-x^2)^(1/2),(4-x^2)^(1/2),-(4-x^2)^(1/2),x],x=-2..2,y=0..2^(1/2),color=1);v1.0 可编写可改正解： I2rdr3 4d3 2 .4 d12 06413、选择适合的坐标计算以下各题：(1)x 2, 此中 D 是直线 x2, yx 及曲线 xy1所围成的闭地区；y 2dD图形 > plot([x,1/x,[[2,1/2],[2,2]]],x=0..2,y=0..2,color=1);解： I2 xx 2 2 (x 3x) dx91dx 12 dy1.xy4(2)sin x 2y 2 d, 此中 D 是圆环形地区2x 2y 242 ；D图形 > plot([(1-x^2)^(1/2),-(1-x^2)^(1/2),(4-x^2)^(1/2),-(4-x^2)^(1/2)], x=-2..2,color=1);解： I2 d2r sin rdr62 .(3)(x 2y 2 )d , 此中 D 是由直线 yx, yx a, ya, y 3a ( a 0 )D所围成的闭地区；图形>plot([[0,1],[1,1],[3,3],[2,3],[0,1]],x=0..3,y=0..3,color=1);3 ay (x2y 2)dx3aa 2y a 314a 4.解： I)dx adya (2ay2y a3v1.0 可编写可改正(4)|1 x 2y 2 | d , 此中 D 为圆域 x 2 y 24 .D图形 > plot([(1-x^2)^(1/2),-(1-x^2)^(1/2),(4-x^2)^(1/2),-(4-x^2)^(1/2)], x=-2..2,color=1);2 d1 2 21)rdr9 5 .解： I(1 r 2)rdrd( r 212214 、计算以xOy 面上的圆周 x 2 y 2 ax 围成的闭地区为底, 而以曲面z x 2 y 2 为顶的曲顶柱体的体积 .图形 > plot([(x-x^2)^(1/2),-(x-x^2)^(1/2)],x=0..1,color=1);解： x 2y 2axr 2ar cosra cos , 于是( x2y 2)da cos 3dra 4cos 43 a 4. Vdd2r2D2423215、某水池呈圆形 , 半径为 5 米 , 以中心为坐标原点 , 距中心距离为 r 处的水深5米 , 试求该水池的蓄水量 . 为1 r 2图形 > plot([(x-x^2)^(1/2),-(x-x^2)^(1/2)],x=0..1,color=1);解： V255rdr 5 (ln 2ln 13)16.29 ( 米 3).d21 r16、议论并计算以下广义二重积分：d, 此中 D{( x, y) | xy 1, x 1} ；(1)Dx p y q1q 1 11p q 01解： Idx 1dy1 dx.py q 1 q 1 x pq1xx(1 q)(q p)v1.0可编写可改正即当 p q 1 时,广义二重积分收敛, 且I1.1)( p( q q)(2)d, 此中D{(,) |x2y21}；(x2y2 ) p x yD21 2 p 1 1解： I d dr.01r2 p 1p1即当 p1时 , 广义二重积分收敛, 且Ip. 1。

经济数学（二重积分习题及答案）第九章二重积分习题 9－11．设0),(≥y x f ，试阐述二重积分(,)d Df x y σ的几何意义.解当0),(≥y x f 时，二重积分(,)d D f x y σ??表示的是以xy 平面上的有界闭区间为底，以曲面),(y x f z =为顶,母线平行于z 轴，准线为区域D 的边界的一个曲顶柱体的体积.2．试确定下列积分的符号并说明理由:221(1)ln()d d x y x y x y+<+??224(2)d x y x y*+≤??解 (1) 因1x y +<，则将此式两边平方，得220121x y xy ≤+<-<于是 0)ln(22<+y x 故221ln()d d 0.x y x y x y +<+(2)因为224d x y x y+≥??222222221122343d d d d x y x y x y x y x y x y x y x y+≤<+≤<+≤<+≤=+++当221x y +≤1，且此区域面积为π，则21d x y x y π+≤≤??当2212x y <+≤0，且此区域面积为π，则2212d 0xy x y <+≤≤??当2223x y <+≤1-，且此区域面积为π，则2223d x y x y π<+≤≤-??当2234x y <+≤且此区域面积为π,则22d x y x y <+≤≤??故 224d 00x y x y ππ+≤≤+--=3．试用二重积分的定义证明: (1) d DDS σ=??(其中D S 为D 之面积)(2) (,)d (,)d DDkf x y k f x y σσ=(k 为常数)证 (1) 由二重积分的定义,有.1(,)d lim (,)n i i ii Df x y f λσεησ→==?∑??则当1),(≡y x f 时,上式变为0 1d lim lim ni D Di DS S λλσσ→→==?==∑??.(2) 由二重积分的定义,有,1,101(,)d lim () lim () lim (,)n i iioi Dni i ioi ni i ii kf x y kf k f k f λλλσξησξησξησ→=→=→==?=?=?∑??∑∑(,)d .Dk f x y σ=??4．根据二重积分的性质,比较下列积分的大小. ()2(1) d Dx y σ+??与3()d Dx y σ+??,其中D 由x 轴、y 轴及直线1x y +=围成;(2) d Dx y σ+??与3()d Dx y σ+??，其中D 由圆2(2)x -+ 2(1)2y -=围成.解 (1) 积分区域D 如图9－1 所示.因在所围区域内有10≤+≤y x ,所以 32)()(y x y x +≥+故 ()23d ()d D D x y x y σσ+≥+. 图9－1 (2) 积分区域D 如图9－2 所示.因圆22(2)(1)2x y -+-=的参数方程为21x y θθ?=+??=+??则3cos )32sin()4x y πθθθ+=+=++ 图9－2 min ()321,1,x y x y +=-=+≥而且于是32)()(y x y x +≤+故 ()2d ()d .D D x y x y σσ+≤+5．利用二重积分的性质,估计下列积分的值.(1) ()d DI xy x y σ=+??，:01,01D x y ≤≤≤≤22(2) sin sin d DI x y σ=??，:0,0D x y ππ≤≤≤≤(3) (1)d DI x y σ=++??，:01,02D x y ≤≤≤≤22(4) (49)d DI x y σ=++??，22:4D x y +≤ 解 (1) 因01,01x y ≤≤??≤≤?则0102xy x y ≤≤??≤+≤?故00d 2d 2d 2 2.D DDDI S σσσ=≤≤===(2) 因0,0x y ππ≤≤??≤≤?则0sin 10sin 1x y ≤≤??≤≤?于是 220sin sin 1x y ≤≤ 故200d d .D DDI S σσπ=≤≤==（3）因0102x y ≤≤??≤≤?，则411≤++≤y x故d (1)d 4d DDDx y σσσ≤++≤即28.I ≤≤(4) 因4022≤+≤y x ,则22229494()925x y x y ≤++≤++≤于是99d 25d 25D DDDS I S σσ=≤≤=而 24D S r ππ== 故36100.I ππ≤≤习题 9－21.计算下列二重积分：22(1) ()d ,Dx y σ+??其中D 是矩形区域：1,1x y ≤≤; 22(2) ()d ,Dx y x σ+-??其中D 由直线22y y x y x ===、与所围成; 2(3) d ,Dxy σ??其中D 2y x y x ==由抛物线和直线所围成;211(4) d .y x ?解 (1)9－3 所示.11222211()d d ()d Dx y x x y y σ--+=+12128(2)d .33x x -=+=? 图9－ 3(2)积分区域D 如图9－4所示.22222102 ()d d ()d yyDx y x y x y x xσ+-=+-232019313()2486y y dy =-=?图9－4(3)积分区域D 如图9－5所示.2112232001 d d d ()d 3xx D xxy x xy y x y xx σ== 1470111()d 3340x x x =-=?图9－5(4)积分区域D 如图9－6所示.2211110110sin d d d sin d sin1cos1.x x y x x yx x x x +===-?图9－62．积分区域}{(,),D x y a x b c y d =≤≤≤≤，且被积函数为()(),f x g y ?求证：()()d d ()d ()dbdacDf xg y x y f x x g y y ?=??.证积分区域D 如图9－7所示.()()d d d ()()d b dacDf xg y x y x f x g y y=??()[()d ]d ()d ()d ()d ()d b dacd bcab dacf xg y y xg y y f x xf x xg y y ==?=??图9－73．设(,)f x y 在D 上连续且D 由y x y a x b b a ===>、与（）围成，求证：d (,)d d (,)d .bx b baa a y x f x y y y f x y x =?证积分区域D 如图9－8 所示. 交换等式左边二次积分的积分顺序有d (,)d d (,)d bx b baaayx f x y y y f x y x=?图9－84．下列条件下，将(,)d DI f x y σ=??按不同积分顺序化为二次积分：2(1) 4D y x y x ==由与所围成；(2) D x 由轴与半圆周()2220x y r y +=≥所围成. 解 (1) 由24y x =和y x =,得交点为(0,0),(4,4).积分区域D 如图9－9 所示.于是将I 化为先对y 后对x 的二次积分，得40d (,)d xI x f x y y=??将I 化为先对x 后对y 的二次积分，得24104d (,)d .y y I y f x y x =??(2)积分区域D 如图9－10 所示. 图9－9 将I 化为先对y 后对x 的二次积分，得d (,)d rrI x f x y y-=?将I 化为先对x 后对y 的二次积分，得d (,)d rI y f x y x=? 图9－105.更换下列二次积分的积分顺序：10(1) d (,)d y y f x y x10(2) d (,)d yy f x y x1(3) d (,)d e ln xx f x y y10(4) d (,)d y f x y x2113(3)2001(5) d (,)d d (,)d x x x f x y y x f x y y-+??解 (1)因为原积分区域{(,)01,D x y y y x =≤≤≤≤为Y 型区域, 其图形如图9－11 所示. 交换积分次序区域D 应视为X 型区域.故2110d (,)d d (,)d .xyxy f x y x x f x y y =?(2) 因为原积分区域{}(,)01,0D x y y x y =≤≤≤≤为Y 型区域, 其图形如图9－12 所示. 交换积分次序区域D 应视为X 型区域. 故111d (,)d d (,)d .y oxy f x y x x f x y y =(3)因为原积分区域{}(,)1,0ln D x y x e y x=≤≤≤≤为X 型区域, 其图形如图9－13 所示. 交换积分次序区域D 应视为Y 型区域.图9－11 图9－12故ln 11d (,)d d (,)d .x exeex f x y y y f x y x =??（4）因为原积分区域{(,)01,D x y y x =≤≤为Y 型区域, 其图形如图9－14 所示. 交换积分次序区域D 应视为X 型区域.故1101d (,)d d (,)d .y f x y x x f x y y -=??图9－13 图9－14（5）因为原积分区域{}2121,(,)01,0D D D D x y x y x =+=≤≤≤≤其中21(,)13,032D x y x y x ??=≤≤≤≤??（－）为X 型区域, 其图形如图9－15 所示. 交换积分次序区域D 应视为Y 型区域.图9－15 图9－16 2113(3)20011320d (,)d d (,)d d (,)d .故x x y x f x y y x f x y yy f x y x --+=??6．求由平面0011x y x y ====、、、所围成的柱体被平面0z =与2x + 3y + z = 6所截得的立体的体积.解该曲顶柱体如图9－16所示.习题 9－31.作适当变换，计算下列二重积分：()22(1) ()sin d d Dx y x y x y-+??.D 是顶点为(,0)(2,)(,2)πππππ、、、(0,)π的四边形;22(2) d d ,Dx y x y ??1240D xy xy y x y x x ====>由、、和所围成且、0y >;(3) d d ,yx yDex y +?? D 由x 轴，y 轴和直线1x y +=所围成; ()()1100623d d 7d 623d .2DV x y x yx x y y =--=--=2222(4) ()d d ,Dy x x y a b +2222:1y x D a b +≤.解 (1) 积分区域D 如图9－17所示.令x y ux y v -=??+=?，解得()()1212x u v y v u ?=+=-?? 于是原积分区域D 的边界x y π+=、3x y π+=、x y π-=、x y π-=-与图9－17 新积分区域D’的边界3v π=、v π=、u π=、u π=-相对应. 其积分区域D’的图形如图9－18所示.因为11(,)12211(,)222xx x y u v J yy u v u v====-??故()()22sin d d Dx y x y x y -+??22'322321sin d d 21d sin d 231sin 2324D u v u vu u v v u v v ππππππππ-=?==?- ? ? ? ?- 图9－183431().3223ππππ=?-=(2) 积分区域D 如图9－19所示.令 x y u yv x ==??，解得x y ?==?则新积分区域D’由u = 1,u = 2,v = 1,v = 4围成. 其积分区域D’的图形如图9－20所示. 图9－19 因为(,)(,)x xx y u v J y yu v u v ==2)12u v v -==22'2'1d d d d 211 d d 2DD D u x y x y uv u v v v u u v v=??=故图9－2024211117d d ln 2.23u u v v ==?? （3）积分区域D 如图9－21所示.令x y u y v +=??=?，解得x u vy v =-??=?则新积分区域D’由u = v 、v = 0和u = 1围成. 图9－21 其积分区域D’的图形如图9－22所示.因为11(,)101(,)xxx y u v J y y u v u v-====图9－22故 10'd d 1d d d dy vv x yuuuoDD ex y e u v u ev +=??=()1011d 2e u e u -=-=.（4）积分区域D 如图9－23所示.令cos sin x ar y br θθ=??=?则新积分区域为(){}',02,01D r r θθπ=≤≤≤≤ 图9－23 因为(,)(,)xxx y r J yyr r θθθ==cos sin sin cos a ar abrb br θθθθ-==22222'21300 ()d d d d 1d d .2DD y x x y r abr r abab r r ab πθθπ+===故2.用变量替换，求下列区域D 的面积：(1)334851500.D xy xy xy xy x y ====>>由曲线、、和所围成且、(2)D 由曲线333344y x y x x y x y ====、、、所围成且00.x y ≥≥、解 (1) 令3u xy v xy =??=?，解得x y ==则新积分区域D’由 u = 4、u = 8、v = 5、v = 15围成.因为(,)(,)x xx y u v J y yu v u v ==12v==81515545' d d 111 d d d d 4ln 2ln 3.222D DD S x yu v u v v v v ====?=故图9－24(2) 令33y u x x v y ?==?，解得x y ?==??则新积分区域D’由u = 1、u = 4、v = 1和v = 4围成. 其积分区域D’的图形如图9－25所示.因为(,)(,)xx y u v J yyu v u v ==图9－251113988883293111888831188()81388u v u v uv u v v u -----------= =--故d d D DS x y=??()33442211342111d d d ()d 881 1d .88D uv u v u uv vuu-====’100D x y x y +===3.设由直线、与所围成，求证：1cos()d d sin1.2D x y x y x y -=+??证积分区域D 如图9－26所示.令x y vx y u +=??-=?，解得()()1212x v u y v u ?=+=-??则新积分区域'D 由v = 1,v = -u , 及v = u 围成. 图9－26因为11(,)12211(,)222xx x y u v J yy u v u v====-??'1cosd d cos d d 2DD x y u x y u v x y v -=?+故图9－27 101d cos d 2vv uv uv -=??101[s i n ]d 21s i n 1d s i n 1.2v v u v v v v v =-==4．选取适当变换，求证：()()11d d d , : 1.Df x y x y f u u D x y -+=+≤??证积分区域D 如图9－28所示.令x y ux y v +=??-=?, 解得()()1212x u v y u v ?=+=-??则新积分区域'D 由u = 1, u = -1,v = 1及v = -1所围成其积分区域D’的图形如图9－29所示. 图9－28 因为 11(,)12211(,)222x x x y u v J y y u v u v ====--?? 故'1()d d ()d d2DD f x y x y f u u v +=-??1111111d ()d ()d .2u f u v f u u ---==习题 9－41.画出下列积分区域D 并把积分(),d d Df x y x y ??化成极坐标形式：()22222(1) 0 (2) 2x y a a x y x +≤>+≤()2222(3)0 (4) 0101a x yb a b y x x ≤+≤<<≤≤-≤≤且解积分区域D 如图9－30所示.（1）令cos sin x r y r θθ=??=?则积分区域D 被夹在0θ=与2θπ=之间，且远近极点的边界方程分别为0r a r ==与,故图9－30()20,d d d (cos ,sin )d .aDf x y x y f r r r r πθθθ=(2) 积分区域D 如图9－31所示.令cos sin x r y r θθ=??=?则远近极点的边界方程分别为r=2cos θ与r = 0.由r ≥0和2cos 0θ≥得22ππθ-≤≤图9－31 则D 被夹在22ππθθ==-和之间, 故2cos 202(,)d d d (cos ,sin )d Df x y x y f r r r rπθπθθθ-=??.(3) 积分区域D 如图9－32所示.令cos sin x r y r θθ=??=?则远近极点的边界方程分别为r a r b ==与，图9－32 而D 被夹在02θθπ==与之间, 故20(,)d d d (cos ,sin )d .baDf x y x y f r r r r πθθθ=??(4) 积分区域D 如图9－33所示.令cos sin x r y r θθ=??=?则远近极点的边界方程分别为图9－331cos sin r θθ=+0r =与，而D 被夹在02πθθ==和之间，故12cos sin 0(,)d d d (cos ,sin )d .Df x y x y f r r r r πθθθθθ+=2．将下列二次积分化为极坐标形式：2222001122222000(1) d )d (2) d (3) d ()d (4) d )d aaxa xx x y y x y x x y y yx y x-+++解 (1)积分区域D 如图9－34所示. 令cossin x ry rθ==则y2cos,r aθ=而D被夹在2πθθ==与之间, 故图9－3422cos22320000d)d d d.a ax x y y r r πθθ+=(2) 积分区域D如图9－35所示. 令cossinx ry rθθ==则0x a x==与的极坐标方程分别为图9－26 cosarθ=与0;r=0y x y==与的方程分别为04π==与,故sec240000d d d.a ax y r rπθθ=(3) 积分区域D如图9－36所示. 令cossinx ry rθθ==2y x y x==与的极坐标方程分别为图9－36 tan sec rθθ=4πθ=与,故211tan sec2224000d()d d d.xxx x y y rπθθθ-+=(4) 积分区域D如图9－37所示.令cossiny rθθ==则222x y a+=上方程为, r a=而D被夹在2πθθ==与之间, 故22320000d)d d d.a ay x y x r r π+=图9－37 3．用极坐标计算下列各题：22(1) d,x yDeσ+D由圆周224x y+=所围成；(2) ,Dσ{}2222(,);D x y a x y b=≤+≤(3) arctan d,Dyxσ2222D x y x y y y x+=+===由、、和所围成的第I象限部分；224 , :.DD x y Rx σ+≤（）解 (1) 积分区域D 如图9－38所示.令cos sin x r y r θθ=??=?{}(,)02,02D r r θθπ=≤≤≤≤则,故222220d d d x y r De e r rσθ+=图9－382224012d (1)2re r e ππ==-?.(2) 积分区域D 如图9－39所示.令cos sin x r y r θθ=??=?(){},,02D r a r b θθπ=<<≤≤则,故图9－39223333d d 22().33baDr rb a b a πσθππ=-=?=?-?(3) 积分区域D 如图9－40所示.令cos sin x r y r θθ=??=?(),12,04D r r πθθ??=≤≤≤≤??则,故图9－40 2224401013arctan d d d d d .64D y r r r r x ππσθθθθπ===(4) 积分区域D 如图9－41所示.令cos sin x r y r θθ=??=?(),0cos ,22D r r R ππθθθ??=≤≤-≤≤??则, 故图9－41 ()cos 202cos 20322220 d d 2d d cos 2 d 03R DR r rr rR R r πθππθπσθθθθ-==??=--33332024 (sin )d ()333R R R πθθπ=--=-?.4．选择适当的坐标系，计算下列各题：()22(1) ()d d 30Dx y x y D y x y x a y a y a a +==+==>??，由、、、所围成;222(2) d d :,00;D y x y D x y a x y +=≥≥??，、 (3) d d 212D x y x y D y x y x x y x y ====??，由、、与围成 ()2(4) d d :1,2,,2.Dx xy x y D x y x y y x y x ++=+===??，解 (1) 令,y x u y v -=??=?得变换式x v uy v =-??=?则新积分区域D’由u = 0、u = a 、v = a 及v = 3a 所围成. D ’如图9－42所示.因为11(,)101(,)x y J u v -?===-?()22222'322032230 ()d d 1d d d (22)d 2(1882)d 14.3DD aaa x y x y v u u u vu v vu u va a u au u u a ??+=-+?-??=-+=-+-=故图9－42（2）积分区域D 如图9－43所示.令cos sin x r y r θθ=??=?(),0,02D r r a πθθ??=≤≤≤≤??则，故32d d d sin d .3aDa y x y r r r πθθ==图9－43（3）令y u xxy v ?==?.得变换式x y ?==?则新积分区域D’由u = 1、u = 2、v =1、 v = 2所围成.D’如图9－44所示.因为()(,)1,2x y J u v u===-图9－44故'2211113d d d d d d ln 2.224DD v xy x y v u v u v u u =-=?=（4）令x y u y v x +==??，得变换式11u x vuv y v ?=??+??=?+? 则新积分区域D’由u = 1、u = 2、v = 1、v =2所围成. D’如图9－44所示.因为 ()()()()()222111,,111uv v x y uJ v u u v v v v -++?===+++()'22()d d d d 11D D u ux xy x y u u v v v +=??++故 () 322233111525d d d .72961u u v u u v ===+ 5．试求区域D 的面积，其中D 为()()12,.r ?θ?θαθβ≤≤≤≤解积分区域D 如图9－45所示.21()()d d d d .D DS x y r r βθαθθ==图9－45习题 9－51．计算下列广义二重积分：{}()20(1) d d . (,),0 (2)d d x yy Dx yxe x y D x y y x x e x y-+-≤≤=≥≥解（1）积分区域D 如图9－46所示.2200 d d d d 1 d .2y y xDx xe x y x xe yxe x +∞+∞--+∞-===故（2）积分区域D 如图9－47所示. 图9－46 ()()020d d d d 1 d .2x yx y xDx e x y x e ye x +∞+∞-+-++∞-===故2．用极坐标计算下列广义积分：(){}2222()()22221224(1) d d (2) cos()d d d d (3) ,1.()x y x y De x y e x y x y x y D x y xy x y +∞+∞-+-∞-∞+∞+∞-+-∞-∞+=+≤+，图9－47解 (1)cos sin x r y r θθ=??=?令(){},0,02D r r θθπ=≤≤+∞≤≤则，故22222()1d d d d d .2x y re x y e r r ππθθπ+∞+∞+∞-+--∞-∞===(2)cos sin x r y r θθ=??=?令(){},0,02D r r θθπ=≤≤+∞≤≤则，故2222()222200222020cos()d d d cos d 1 sin cos d 041 d .42x y r r e x y x ye r r re r r πππθθπθ+∞+∞-+-∞-∞+∞--+=+∞=-==??(3) 积分区域D 如图9－48所示.cos sin x r y r θθ=??=?令(){},01,02D r r θθπ=≤≤≤≤则，故图9－4821210224d d 24 d d d 33()Dx yr r x y ππθθπ=?==+??.3.计算下列广义积分：()()224452(1) d (2)1d x x x ex x x e x+∞+∞-++--∞-∞++?解()()22445214(1) d d x x x ex ex+∞+∞-++-+--∞-∞=()2221441d(21)2121d ()212x t e e x t x e e t e +∞-+--∞+∞---∞-=+=+=??由普阿松积分()222222222212332 (2) 1d d d d d ,d ,d 0.x x x x x x x x x e x x e x xe x e x I x e x I xe x I exI I +∞+∞+∞+∞-----∞-∞-∞-∞+∞+∞+∞----∞-∞-∞++=++=====?。

第⼋章⼆重积分习题答案第⼋章⼆重积分习题答案练习题8.11.设D：0y ≤0x a ≤≤，由⼆重积分的⼏何意义计算d Dx y解：d Dx y=20rd πθ??=22201()2d a r πθ=--??2. 设⼆重积分的积分区域为2214x y ≤+≤，则2dxdy =?? 解：2dxdy =??22 126d rdr πθπ=?练习题8.21.2d Dx σ??其中D 是两个圆,y x 122=+与,y x 422=+围成的环型区域.解：2d Dx σ??=22222301001515cos [cos2]84d r dr d d πππθθθθθπ=+= 2计算⼆重积分σd yx D)341(--，其中D 是由直线2,,2=-=x x ；1,1=-=y y 围成的矩形。

解：σd y x D)341(--??= 221211212(1)[(1)]4346x y x y dx dy y dx ------=--=222(1)84xdx --=?3. 应⽤⼆重积分，求在xy 平⾯上由曲线224x x y x y -==与所围成的区域D 的⾯积.解：22242202320(42)28(2)|33x x xDA dxdy dx dy x x x x -===-=-=4. 求旋转抛物⾯224z x y =--与xy 平⾯所围成的⽴体体积解： 2222220(4)(4)48DV x y d d r rdr d ππσθθπ=--=-==习题⼋⼀．判断题1.d Dσ??等于平⾯区域D 的⾯积.（√）2.⼆重积分 100f(x,y)d ydy x ??交换积分次序后为11f(x,y)d xdx x ?（×）⼆．填空题1.⼆重积分的积分区域为2214x y ≤+≤，则4dxdy =12π12π.2.⼆重积分d d Dxy x y ??的值为112，其中2:0D y x ≤≤，01x ≤≤.1123.⼆重积分1(,)ydy f x y dx ?交换积分次序后为11(,)xdx f x y dy. 11(,)xdx f x y dy ?4.设区域D 为1x ≤，1y ≤，则??（sin x x -）d d x y =0.05.交换积分次序1d (,)y f x y dx ?=211(,)(,)x dx f x y dy f x y dy +??.211(,)(,)x dx f x y dy f x y dy +??6.设D 是由221x y +≤所确定的区域。

二重积分的例题及解析二重积分是微积分中的重要概念，用来计算平面区域上的某些特性，比如面积、质量、质心等。

在本文中，我们将介绍一些二重积分的例题，并给出相应的解析。

例题一：计算二重积分 D (x^2 + y^2) dA，其中 D 是由曲线 y = x^2 和 y = 2x - 1 所围成的区域。

解析：首先我们需要确定积分的变量范围。

根据题目的条件，我们可以得到 x 的取值范围为 0 ≤ x ≤ 1，y 的取值范围为 x^2 ≤ y ≤ 2x - 1。

接下来，我们将二重积分转化为两个单重积分。

先对 y 进行积分，再对 x 进行积分。

对 y 进行积分时，积分的上下限根据 y 的取值范围确定，即从 x^2 到 2x - 1。

所以我们得到∫(x^2,2x-1) (x^2 + y^2) dy = [x^2y + (1/3)y^3] |_(x^2,2x-1) = x^2(2x-1) + (1/3)(2x-1)^3 - x^2(x^2) - (1/3)(x^2)^3对 x 进行积分时，积分的上下限根据 x 的取值范围确定，即从 0 到1。

所以我们得到∫(0,1) [x^2(2x-1) + (1/3)(2x-1)^3 - x^2(x^2) - (1/3)(x^2)^3] dx= ∫(0,1) (2x^3 - x^2 + 2x - 1/3) dx= [1/2x^4 - 1/3x^3 + x^2 - 1/3x] |_(0,1)= 1/2 - 1/3 + 1 - 1/3 = 1/6所以二重积分的结果为 1/6。

例题二：计算二重积分 D e^(x+y) dA，其中 D 是由直线 x = 0、y = 0 和 x + y = 1 所围成的区域。

解析：同样，我们首先需要确定积分的变量范围。

根据题目的条件，我们可以得到 x 的取值范围为 0 ≤ x ≤ 1，y 的取值范围为 0 ≤y ≤ 1 - x。

接下来，我们将二重积分转化为两个单重积分。