幂函数复习.

幂函数复习一、知识要点1、幂函数定义：一般地，形如αx y =)(R a ∈的函数称为幂函数，其中α为常数．2、幂函数性质归纳．（1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义并且图象都过点（1，1）；（2）0>α时，幂函数的图象通过原点，并且在区间),0[+∞上是增函数．特别地，当1>α时，幂函数的图象下凸；当10<<α时，幂函数的图象上凸；（3）0<α时，幂函数的图象在区间),0(+∞上是减函数．在第一象限内，当x 从右边趋向原点时，图象在y 轴右方无限地逼近y 轴正半轴，当x 趋于∞+时，图象在x 轴上方无限地逼近x 轴正半轴．二、典型例题及对应习题1、幂函数的概念、解析式、定义域、值域1．若幂函数y=f （x ）的图象过点（5，），则为（ ） A ． B ． C ． D ．﹣1 2．设α∈{﹣2，﹣1，，1，2，3}，则使幂函数y=x a 为奇函数且在（0，+∞）上单调递减的a 个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．43．已知函数f （x ）=x k （k 为常数，k ∈Q ），在下列函数图象中，不是函数y=f （x ）的图象是（ ）A ．B ．C ．D ． 4．已知函数f （x ）=（m 2﹣m ﹣1）x﹣5m ﹣3是幂函数且是（0，+∞）上的增函数，则m 的值为（ ）A ．2B ．﹣1C ．﹣1或2D ．05．已知点（a ，）在幂函数f （x ）=（a 2﹣6a +10）x b 的图象上，则函数f （x ）是（ ）A ．奇函数B ．偶函数C ．定义域内的减函数D ．定义域内的增函数2、幂函数的图像6．幂函数y=f （x ）的图象过点（4，2），则幂函数y=f （x ）的图象是（ ）A．B．C．D．9．幂函数y=x m，y=x n，y=x p的图象如图所示，以下结论正确的是（）A．m＞n＞p B．m＞p＞n C．n＞p＞m D．p＞n＞m10．函数f（x）=﹣1的图象大致是（）A．B．C．D．3、幂函数的图像及其与指数的关系11．函数y=x3和图象满足（）A．关于原点对称B．关于x轴对称C．关于y轴对称D．关于直线y=x对称12．已知点在幂函数f（x）的图象上，则f（x）是（）A．奇函数B．偶函数C．定义域内的减函数D．定义域内的增函数13．若0＜x＜y＜1，则（）A．3y＜3x B．x0.5＜y0.5 C．log x3＜log y3 D．log0.5x＜log0.5y14．已知幂函数y=（a2﹣2a﹣2）x a在实数集R上单调，那么实数a=（）A．一切实数B．3或﹣1 C．﹣1 D．315．函数y=的单调递增区间是（）A．（﹣∞，1）B．（0，1）C．（1，2）D．（1，+∞）4、幂函数的性质16．幂函数f（x）=（m2﹣4m+4）x在（0，+∞）为减函数，则m的值为（）A．1或3 B．1 C．3 D．217．若四个幂函数y=x a，y=x b，y=x c，y=x d在同一坐标系中的图象如图，则a、b、c、d的大小关系是（）A．d＞c＞b＞a B．a＞b＞c＞d C．d＞c＞a＞b D．a＞b＞d＞c18．幂函数y=（m2﹣m﹣1），当x∈（0，+∞）时为减函数，则实数m的值为（）A．m=2 B．m=﹣1 C．m=﹣1或2 D．m≠19．若幂函数f（x）=（m2﹣m﹣1）x1﹣m是偶函数，则实数m=（）A．﹣1 B．2 C．3 D．﹣1或25、幂函数的单调性、奇偶性及其应用20．已知﹣1＜α＜0，则（）A．B．C．D．21．若a=0.5，b=0.5，c=0.5，则a，b，c的大小关系为（）A．a＞b＞c B．a＜b＜c C．a＜c＜b D．a＞b＞c22．若，则a、b、c的大小关系是（）A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．b＜c＜a D．b＜a＜c23．函数y=在第二象限内单调递增，则m的最大负整数是（）A．﹣4 B．﹣3 C．﹣2 D．﹣124．设a＞1，若对于任意的x∈[a，2a]，都有y∈[a，a2]满足方程log a x+log a y=3，这时a 的取值集合为（）A．{a|1＜a≤2}B．{a|a≥2}C．{a|2≤a≤3}D．{2，3}25．使不等式成立的实数a的范围是．6、幂函数的实际应用26．已知函数f（x）=（m∈Z）为偶函数，且f（3）＜f（5）．（1）求函数f（x）的解析式；（2）若g（x）=log a[f（x）﹣ax]（a＞0且a≠1）在区间[2，3]上为增函数，求实数a的取值范围．27．已知函数是幂函数且在（0，+∞）上为减函数，函数在区间[0，1]上的最大值为2，试求实数m，a的值．28．已知幂函数的图象关于y轴对称，且在（0，+∞）上是减函数．（1）求m的值；（2）求满足的a的取值范围．29．已知幂函数在区间（0，+∞）上是单调增函数，且为偶函数．（1）求函数f（x）的解析式；（2）设函数，若g（x）＞0对任意x∈[﹣1，1]恒成立，求实数q 的取值范围．30．已知幂函数（m∈Z）的图象关于y轴对称，且在区间（0，+∞）为减函数（1）求m的值和函数f（x）的解析式（2）解关于x的不等式f（x+2）＜f（1﹣2x）．2017年09月15日dragon的高中数学幂函数复习参考答案与试题解析一．选择题（共24小题）1．若幂函数y=f（x）的图象过点（5，），则为（）A．B．C．D．﹣1【解答】解：∵幂函数y=f（x）的图象过点（5，），设f（x）=xα，∴5α=，解得α=﹣1．∴f（x）=x﹣1．∴=f（）=f（）=（）﹣1=，故选C．2．设α∈{﹣2，﹣1，，1，2，3}，则使幂函数y=x a为奇函数且在（0，+∞）上单调递减的a个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：幂函数y=x﹣2为偶函数且在（0，+∞）上单调递减；幂函数y=x﹣1为奇函数且在（0，+∞）上单调递减；幂函数y=x为奇函数且在（0，+∞）上单调递增；幂函数y=x为奇函数且在（0，+∞）上单调递增；幂函数y=x2为偶函数且在（0，+∞）上单调递增；幂函数y=x3为奇函数且在（0，+∞）上单调递增．综上可得，符合条件的函数只有一个．故选：A．3．已知函数f（x）=x k（k为常数，k∈Q），在下列函数图象中，不是函数y=f（x）的图象是（）A．B．C．D．【解答】解：函数f（x）=x k（k为常数，k∈Q）为幂函数，图象不过第四象限，所以C中函数图象，不是函数y=f（x）的图象．故选：C．4．已知函数f（x）=（m2﹣m﹣1）x﹣5m﹣3是幂函数且是（0，+∞）上的增函数，则m的值为（）A．2 B．﹣1 C．﹣1或2 D．0【解答】解：因为函数f（x）=（m2﹣m﹣1）x﹣5m﹣3是幂函数，所以m2﹣m﹣1=1，即m2﹣m﹣2=0，解得m=2或m=﹣1．又因为幂函数在（0，+∞），所以﹣5m﹣3＞0，即m＜﹣，所以m=﹣1．故选B．5．已知点（a，）在幂函数f（x）=（a2﹣6a+10）x b的图象上，则函数f（x）是（）A．奇函数B．偶函数C．定义域内的减函数D．定义域内的增函数【解答】解：幂函数f（x）=（a2﹣6a+10）•x b的图象经过点（a，），∴a2﹣6a+10=1且a b=，解得a=3，b=﹣1；∴f（x）=x﹣1在定义域（﹣∞，0）∪（0，+∞）的奇函数．故选：A．6．幂函数y=f（x）的图象过点（4，2），则幂函数y=f（x）的图象是（）A．B．C．D．【解答】解：设幂函数的解析式为y=x a，∵幂函数y=f（x）的图象过点（4，2），∴2=4a，解得a=∴，其定义域为[0，+∞），且是增函数，当0＜x＜1时，其图象在直线y=x的上方．对照选项．故选C7．函数y=的图象是（）A．B． C．D．【解答】解：∵函数y=的定义域为[0，+∞）∴所求图象在第一象限，可排除A、C，再根据函数y=的图象横过（4，2），可排除B，故选D．8．函数的图象是（）A． B．C． D．【解答】解：因为函数的定义域是[0，+∞），所以图象位于y轴右侧，排除选项C、D；又函数在[0，+∞）上单调递增，所以排除选项B．故选A．9．幂函数y=x m，y=x n，y=x p的图象如图所示，以下结论正确的是（）A．m＞n＞p B．m＞p＞n C．n＞p＞m D．p＞n＞m 【解答】解：在第一象限作出幂函数y=x m，y=x n，y=x p的图象．在（0，1）内取同一值x0，作直线x=x0，与各图象有交点．则“点低指数大”，如图，知0＜p＜1，﹣1＜m＜0，n＞1，∴n＞p＞m故选：C．10．函数f（x）=﹣1的图象大致是（）A．B．C．D．【解答】解：因为0，所以f（x）在[0，+∞）上递增，排除B；当x=0时，f（0）=﹣1，即f（x）的图象过点（0，﹣1），排除C、D；故选A．11．函数y=x3和图象满足（）A．关于原点对称B．关于x轴对称C．关于y轴对称D．关于直线y=x对称【解答】解：由得到x=y3，所以这两个函数互为反函数，根据反函数图象的性质可知函数y=x3和的图象关于直线y=x对称．故选D．12．已知点在幂函数f（x）的图象上，则f（x）是（）A．奇函数B．偶函数C．定义域内的减函数D．定义域内的增函数【解答】解：设幂函数为f（x）=xα，∵点在幂函数f（x）的图象上，∴f（）=（），即，∴，即α=﹣1，∴f（x）=为奇函数，故选：A．13．若0＜x＜y＜1，则（）A．3y＜3x B．x0.5＜y0.5C．log x3＜log y3 D．log0.5x＜log0.5y【解答】解：因为：0＜x＜y＜1，y=3x为增函数，则3y＞3x，故A错误，因为：0＜x＜y＜1，y=x0.5为增函数，则x0.5＞x0.5，故B正确，因为：0＜x＜y＜1则log x3＞log y3，故C错误，因为：0＜x＜y＜1，log0.5x为减函数，则log0.5x＞log0.5y，故D错误，故选：D．14．已知幂函数y=（a2﹣2a﹣2）x a在实数集R上单调，那么实数a=（）A．一切实数B．3或﹣1 C．﹣1 D．3【解答】解：由幂函数的定义及其单调性可得：a2﹣2a﹣2=1，a＞0，解得a=3．∴a=3．故选：D．15．函数y=的单调递增区间是（）A．（﹣∞，1）B．（0，1） C．（1，2） D．（1，+∞）【解答】解：设u=﹣x2﹣2x，在（﹣∞，1）上为增函数，在（1，+∞）为减函数，因为函数y=为减函数，所以f（x）的单调递增区间（1，+∞，），故选：D16．幂函数f（x）=（m2﹣4m+4）x在（0，+∞）为减函数，则m的值为（）A．1或3 B．1 C．3 D．2【解答】解：∵为幂函数∴m2﹣4m+4=1，解得m=3或m=1．由当x∈（0，+∞）时为减函数，则m2﹣6m+8＜0，解得2＜m＜4．∴m=3，故选：C．17．若四个幂函数y=x a，y=x b，y=x c，y=x d在同一坐标系中的图象如图，则a、b、c、d的大小关系是（）A．d＞c＞b＞a B．a＞b＞c＞d C．d＞c＞a＞b D．a＞b＞d＞c【解答】解：幂函数a=2，b=，c=﹣，d=﹣1的图象，正好和题目所给的形式相符合，在第一象限内，x=1的右侧部分的图象，图象由下至上，幂指数增大，所以a＞b ＞c＞d．故选B．18．幂函数y=（m2﹣m﹣1），当x∈（0，+∞）时为减函数，则实数m 的值为（）A．m=2 B．m=﹣1 C．m=﹣1或2 D．m≠【解答】解：∵y=（m2﹣m﹣1）为幂函数，∴m2﹣m﹣1=1，即m2﹣m﹣2=0．解得：m=2或m=﹣1．当m=2时，m2﹣2m﹣3=﹣3，y=x﹣3在（0，+∞）上为减函数；当m=﹣1时，m2﹣2m﹣3=0，y=x0=1（x≠0）在（0，+∞）上为常数函数（舍去），∴使幂函数y=（m2﹣m﹣1）为（0，+∞）上的减函数的实数m的值为2．故选A．19．若幂函数f（x）=（m2﹣m﹣1）x1﹣m是偶函数，则实数m=（）A．﹣1 B．2 C．3 D．﹣1或2【解答】解：∵幂函数f（x）=（m2﹣m﹣1）x1﹣m是偶函数，∴，解得m=﹣1．故选：A．20．已知﹣1＜α＜0，则（）A．B．C．D．【解答】解：∵﹣1＜α＜0，故函数y=x a在（0，+∞）上是减函数，∵0.2，故，故选：A21．若a=0.5，b=0.5，c=0.5，则a，b，c的大小关系为（）A．a＞b＞c B．a＜b＜c C．a＜c＜b D．a＞b＞c【解答】解：构造函数f（x）=0.5x，因为函数f（x）=0.5x，为单调递减函数．且，所以，即，所以a＜b＜c．故选B．22．若，则a、b、c的大小关系是（）A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．b＜c＜a D．b＜a＜c【解答】解：∵在第一象限内是增函数，∴，∵是减函数，∴，所以b＜a＜c．故选D．23．函数y=在第二象限内单调递增，则m的最大负整数是（）A．﹣4 B．﹣3 C．﹣2 D．﹣1【解答】解：∵函数y==x m﹣1在第二象限内单调递增，当m=﹣1时，y=x﹣2在第二象限内单调递增，﹣1是最大的负整数，∴m的最大负整数是﹣1，故选：D．24．设a＞1，若对于任意的x∈[a，2a]，都有y∈[a，a2]满足方程log a x+log a y=3，这时a的取值集合为（）A．{a|1＜a≤2}B．{a|a≥2}C．{a|2≤a≤3}D．{2，3}【解答】解：由log a x+log a y=3，可得log a（xy）=3，得，在[a，2a]上单调递减，所以，故⇒a≥2故选B．二．填空题（共1小题）25．使不等式成立的实数a的范围是（﹣∞，﹣1）∪（，）．【解答】解：∵函数y=为奇函数，且在（﹣∞，0）和（0，+∞）上均为减函数故不等式可化为0＞a+1＞3﹣2a…①或a+1＜0＜3﹣2a…②或a+1＞3﹣2a＞0…③不等式①无解解②得a＜﹣1解③得＜a＜故实数a的范围是（﹣∞，﹣1）∪（，）故答案为：（﹣∞，﹣1）∪（，）三．解答题（共5小题）26．已知函数f（x）=（m∈Z）为偶函数，且f（3）＜f（5）．（1）求函数f（x）的解析式；（2）若g（x）=log a[f（x）﹣ax]（a＞0且a≠1）在区间[2，3]上为增函数，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）∵f（x）为偶函数，∴﹣2m2+m+3为偶数，又f（3）＜f（5），∴＜，即有：＜1，∴﹣2m2+m+3＞0，∴﹣1＜m＜，又m∈Z，∴m=0或m=1．当m=0时，﹣2m2+m+3=3为奇数（舍去），当m=1时，﹣2m2+m+3=2为偶数，符合题意．∴m=1，f（x）=x2（2）由（1）知：g（x）=log a[f（x）﹣ax]=log a（x2﹣ax）（a＞0且a≠1）在区间[2，3]上为增函数．令u（x）=x2﹣ax，y=log a u；①当a＞1时，y=log a u为增函数，只需u（x）=x2﹣ax在区间[2，3]上为增函数．即：⇒1＜a＜2②当0＜a＜1时，y=log a u为减函数，只需u（x）=x2﹣ax在区间[2，3]上为减函数．即：⇒a∈∅，综上可知：a的取值范围为：（1，2）．27．已知函数是幂函数且在（0，+∞）上为减函数，函数在区间[0，1]上的最大值为2，试求实数m，a的值．【解答】解：因为函数是幂函数且在上为减函数，所以有解得m=﹣1．∴﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣5’①当，[0，1]是f（x）的单调递减区间，∴∴a=﹣6＜0，∴a=﹣6﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣7’②当，，解得a=﹣2（舍）或a=3（舍）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣9’③，[0，1]为f（x）的单调递增区间，∴，解得﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣11’综合①②③可知﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣12’28．已知幂函数的图象关于y轴对称，且在（0，+∞）上是减函数．（1）求m的值；（2）求满足的a的取值范围．【解答】解：（1）∵函数在（0，+∞）上递减，∴m2﹣2m﹣3＜0即﹣1＜m＜3，又m∈N*∴m=1或2，又函数图象关于y轴对称，∴m2﹣2m﹣3为偶数，故m=1为所求．（2）函数在（﹣∞，0），（0，+∞）上均为减函数∴等价于a+1＞3﹣2a＞0或0＞a+1＞3﹣2a或a+1＜0＜3﹣2a，解得故a的取值范围为29．已知幂函数在区间（0，+∞）上是单调增函数，且为偶函数．（1）求函数f（x）的解析式；（2）设函数，若g（x）＞0对任意x∈[﹣1，1]恒成立，求实数q的取值范围．【解答】解：（1）∵f（x）在区间（0，+∞）上是单调增函数，∴﹣m2+2m+3＞0即m2﹣2m﹣3＜0∴﹣1＜m＜3又∵m∈Z∴m=0，1，2而m=0，2时，f（x）=x3不是偶函数，m=1时，f（x）=x4是偶函数．∴f（x）=x4（2）由f（x）=x4知g（x）=2x2﹣8x+q﹣1，g（x）＞0对任意x∈[﹣1，1]恒成立⇔g（x）min＞0，x∈[﹣1，1]．又g（x）=2x2﹣8x+q﹣1=2（x﹣2）2+q﹣9∴g（x）在[﹣1，1]上单调递减，于是g（x）min=g（1）=q﹣7．∴q﹣7＞0，q＞7故实数q的取值范围是（7，+∞）．30．已知幂函数（m∈Z）的图象关于y轴对称，且在区间（0，+∞）为减函数（1）求m的值和函数f（x）的解析式（2）解关于x的不等式f（x+2）＜f（1﹣2x）．【解答】解：（1）幂函数（m∈Z）的图象关于y轴对称，且在区间（0，+∞）为减函数，所以，m2﹣4m＜0，解得0＜m＜4，因为m∈Z，所以m=2；函数的解析式为：f（x）=x﹣4．（2）不等式f（x+2）＜f（1﹣2x），函数是偶函数，在区间（0，+∞）为减函数，所以|1﹣2x|＜|x+2|，解得，又因为1﹣2x≠0，x+2≠0所以，。