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2 高中学业水平考试《数学》模拟试卷(二 )一、选择题 (本大题共 25 小题，第 1～ 15 题每题 2 分，第 16～ 25 题每题 3 分，共60 分．每题中只有一个选项是切合题意的，不选、多项选择、错选均不得分)1. 会合 M ＝{ a ， c ，d } ， N ＝ { b ， d } ，则 M ∩ N ＝ ()A. ?B.{ d } C. {} D. {}a ， c a ，b ，c ，d 2. 函数 y ＝ lg(1 －x)的定义域是 ( )A. { x | }B. { x |x<1 }C. { x | }D. {x |x>1 }x ≤ 1 x ≥ 13. 以下函数中，既是奇函数又是增函数的是( )311xA. y ＝ xB. y ＝ xC. y ＝ log 3xD. y ＝(2)4. 以下函数中只有一个零点的是 ( )－ 1B. y ＝ x 2－ 1C. y ＝2xD. y ＝ lg xA. y ＝ x5. 已知平面 α和直线 a ， b ， c ，以下条件中，能使 a ∥ b 的是 ()A. a ∥ α， b ∥ αB. a ⊥c ， b ⊥ cC. a ⊥ c ， c ⊥ α ，b ∥ αD. a ⊥ α，b ⊥ α(第 6题)6. 某长方体的正 (主 )视图、侧 ( 左)视图如下图，则该长方体的俯视图的面积是 ( )A. 6B. 8C. 12D. 167. 点 P(4， a)到直线 4x － 3y － 1＝0 的距离等于 3，则实数 a 的值是 ()1 A.2或 7B.0或 10C.7D.108. 圆 x 2＋ y 2－ 2x ＝0 与圆 x 2＋y 2＋ 4y ＝ 0 的地点关系是 ()A. 相离B. 外切C. 订交D. 内切9. 若直线 l 经过第二象限和第四象限，则直线l 的倾斜角的取值范围是()π π πA.[0，2) ，π ) C. (， π ) D. (0 ，π )B.[ 2210. 已知向量a ＝( x ， 1)，b ＝ (8， 4)，且 a ∥ b ，则 x 的值是 () 1 1A. 2B. 2C. －2D. －211.已知 cos θ＝－πθ等于 ( )3， θ∈ (， π )，则 tan524343A. 3B. 4C. －3D. －412. 函数 y ＝ 2cos x ， x ∈R 的一个单一递加区间是 ()π π π 3πA. (－ ， 2 )B. (0， π ) ，2 C.(2 2 ) D. ( π ， 2π )x 2 y 213. 椭圆 25＋ 9 ＝ 1 的焦点坐标是 ( )A. ( － 3， 0)， (3， 0)B. (－ 4，0)，(4， 0)C. (0，－ 4)， (0， 4)D. (0 ，－ 3)， (0， 3)14. sin 15 cos °75 ＋°cos 15 sin ° 75 等°于 ()13A. 0B. 2C. 2D. 1π15. 为了获得函数 y ＝ sin(2x － 3 )(x ∈ R )的图象，只要把函数 y ＝ sin 2x 的图象上全部的点 ()π个单位长度B. 向右平移 π个单位长度A. 向右平移 36π个单位长度D. 向左平移 π个单位长度C. 向左平移 3 6 16. 在△ ABC 中，若 a ＝ 5 2， c ＝ 10，∠ A ＝ 30°，则∠ B 等于 () A. 105 °B. 60 或° 120 ° C. 15 °D. 105 或° 15°17. 在△ ABC 中， a ＋ b ＝ 13，ab ＝ 40，∠ C ＝60°，则 c 等于 ( )A.129 B. 11 C. 69 D. 718. 不等式 4x 2－ 4x ＋ 1≥ 0 的解集为 ()A.1 B.x x ≥1C.RD. ?22y ≥ 1，19. 当 x ，y 知足条件x － y ≥ 0， 时，目标函数 z ＝x ＋ y 的最小值是 ()x ＋ 2y － 6≤0A. 0B. 2C. 4D. 520. 在等比数列 { a n } 中， S n 表示数列的前n 项和．若 a 3＝ 2S 2＋ 1， a 4＝ 2S 3＋ 1，则公比q 的值等于 ()A. 3B. －3C. －1D.121. 假如若干个函数的图象经过平移后可以重合，则它们为“互为生成”函数，以下函数：()① f 1 (x)＝ sinx ＋ cosx ；② f 2 (x)＝ 2sinx ＋ 2；③ f 3 (x)＝ sinx ；④ f 4 (x)＝ 2(sinx ＋ cosx)．此中“互为生成”函数有 A. ①②B. ①③C. ②④D. ①②④22. 在空间直角坐标系中，设A(1，2，a)，B(2，3，4)，若 |AB|＝3，则实数 a 的值是()A.3 或 5B. －3或－5C.3或－5D. －3或 523. 设 x ∈R ，则 “x>1”是 “x 2>x ”的 ( ) A. 充足不用要条件B. 必需不充足条件C. 充足必需条件D. 既不充足又不用要条件24. 已知 F 1，F 2 是双曲线x 2－ y 2＝ 1 的焦点，点 P 在双曲线上，若点 P 到焦点 F 1 的距16 20离等于 9，则点 P 到焦点 F 2 的距离为 ()A. 1B. 17C.1或 17D. 1625.x 2－ y 2＝ 1 的一条渐近线垂直，则实数k 的值是 ()直线 y ＝ kx ＋ 1 与双曲线 169A. 4或－ 4B. 5或－ 5C. 3或－34或－ 45 5 444 4 D. 3 3二、填空题 (本大题共 5小题，每题 2 分，共 10 分)26. 已知奇函数 f(x)的定义域是 R ，且当 x ∈ [1，5]时，f(x)＝ x 3＋ 1，则 f(－2) ＝________．27. 过点 (0 ，1)且与直线 3x ＋ 5y － 7＝ 0 垂直的直线方程是 ____________ ．π128. 函数 y ＝ 2sin( 3 x ＋ 2)的最小正周期是 ________．29. 若 x ，y 都是正实数，且 x ＋ y ＝ 20，则 xy 的最大值是 ________．x 2 y 230. 过椭圆 a 2＋ b 2＝ 1(a>b>0) 的左焦点 F 1 作 x 轴的垂线交椭圆于点P ，F 2 为右焦点． 若∠ F 1PF 2＝ 60°，则椭圆的离心率为 ________．三、解答题 (本大题共 4 小题，第 31， 32 题每题 7 分，第 33， 34 题每题 8 分，共 30分 )131. (此题 7 分 )已知 a ＝ (cos 2α，sin α－ 1)，b ＝ (1，2sin α )，且 a ·b ＝－ 5，求 sin α的值．32. (此题 7 分，有 A 、 B 两题，任选此中一题达成，两题都做，以A 题计分 )(A) 在四棱锥 S － ABCD 中，侧棱 SD 垂直于正方形 ABCD 所在的平面， E 是 SB 的中点． 求证： (1)SD ∥平面 EAC ； (2)AC ⊥ SB.(B)如图，四边形 ABCD 是正方形， PD ⊥平面 ABCD ， PD＝DC .(1) 求证： AC⊥ PB；(2)求二面角 P－ BC－ A 的大小．33.(此题 8 分 )已知抛物线 y2＝－ x 与直线 y＝ k(x＋ 1)订交于 A，B 两点．(1)求证： OA⊥ OB；(2) 当△ AOB 的面积等于10时，求 k 的值．34. (此题 8 分 )已知奇函数x＋ b的定义域为1. f( x)＝2R ，f(1)＝x ＋ a2(1)务实数 a，b 的值；(2)求证：函数 f(x)在区间 (－ 1， 1)上为增函数．2 2014 高中学业水平考试《数学》模拟试卷(二 )1. B2. B3.A4.D5.D6.B7. C8. C9. A 10. A 11. D 12. B 13. D 14. A15. B 16. D 17. D 18. C 19. B 20. A21. C 22. A 23. AF 1 的最小值为10，所以，点24. B [ 提示：假定 F 1 为左焦点，则双曲线右支上的点到 P 必在双曲线左支上，所以 P 到焦点 F 2 的距离为 9＋ 8＝ 17.]25. D 26. － 9 27. 5x － 3y ＋ 3＝ 0 28. 6 29. 10030.3 [ 提示：由题意，在 Rt △ PF 1F 2 中， |PF 1 |＝ 23c ，|PF 2|＝43c ，所以 23c33 33＋ 4c ＝ 333c ＝ 2a ，得 a3 .]12231. 解：a ·b ＝－ 5cos 2α＋ 2sin α (sin α－ 1)＝ 1－ 2sin α ＋ 2sin α － 2sin α ＝ 1－ 2sinα ＝－ 1，∴ sin α ＝ 3.5 532. (A) 证明： (1) 连结 BD 交 AC 于点 O ，连结 EO ，则 O 是 BD 的中点，∴ EO ∥ SD.∵ EO?平面 EAC ，∴ SD ∥平面 EAC. (2)∵ SD ⊥平面 ABCD ，∴ SD ⊥ AC ，又 BD ⊥ AC ， SD ∩ BD ＝ D ，∴ AC ⊥平面 SDB ，∴ AC ⊥ SB.(B)(1) ∵PD ⊥平面 ABCD ，∴ PD ⊥ AC.又∵ BD ⊥ AC ，PD ∩ BD ＝ D ，∴AC ⊥平面 PDB ，∴ AC ⊥ PB. (2) 以射线 DC ，DA ，DP 分别为 x ，y ，z 轴正方向，成立空间直角坐标系，令 AD→ →＝ 1，则 CB ＝ (0，1，0)，PC ＝ (1，0，－ 1)，∴平面 PBC 的一个法向量为 (1，0， 1)．又∵平面 ABCD 的一个法向量为 (0，0， 1)，∴ cos θ＝1 ＝2，∴二面角 P －BC －A 的大小为 45°.2 233. 解：(1) 设 A(x 1 ，y 1 ), B(x 2，y 2)， y 2＝－ x? ky 2＋ y － k ＝ 0? y 1＋ y 2＝－ 1，y 1·y 2y ＝ k （x ＋ 1） k2→ → (2)直线 y ＝ k(x＝－ 1，∴ x 1· x 2＝ (y 1y 2) ＝ 1，∴ x 1x 2＋ y 1y 2＝ 0，∴ OA · OB ＝ 0，即 OA ⊥ OB. 1 1 2＝ 1 1 1 ＋ 1)恒过定点 (－ 1， 0)，∴ S △AOB ＝ |y 1－ y 2|＝ 2（ y 1＋ y 2） － 4y 1y 2 2 2＋ 4＝ 10? k ＝ ± .2 k6 34. 1 ＝ 1，∴ a ＝ 1.解： (1) 由题意， f(0) ＝ 0，∴ b ＝ 0， f(1) ＝1＋ a 2(2) 证 明 ： 设 x 1 ， x 2 ∈ ( － 1 ， 1) ， 且 x 1<x 2 ， 则 f(x 1) － f(x 2) ＝ x 1 x 1 x 22＋ 1 －x 2 2＋1＝x 1（ x 22＋ 1）－ x 2（ x 12＋ 1） x 1 x 22－ x 2x 12＋ x 1－ x 2（ x 2＋ 1）（ x 2＋ 1） ＝ （ x 2＋ 1）（ x 2＋ 1）1 21 2（ 1－ x 1x 2）（ x 1－ x 2）22＝ （ x 2 ＋ 1）（ x 2＋ 1） .∵ x 1x 2∈ ( － 1，1)，∴ 1－ x 1x 2>0， x 1－ x 2<0， x 1 ＋ 1>0 ， x 2 ＋1 21>0 ，∴ f(x 1)－ f(x 2)<0，即 f(x 1)< f(x 2)，∴ f(x)在区间 (－1， 1)上为增函数．。
§2.2 函数的单调性与最值1．函数的单调性 (1)(2)单调区间的定义如果函数y ＝f (x )在区间D 上是增函数或减函数，那么就说函数y ＝f (x )在这一区间具有(严格的)单调性，区间D 叫做函数y ＝f (x )的单调区间． 2．结论M 为最大值1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)函数y ＝1x的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．( × )(2)对于函数f (x )，x ∈D ，若x 1，x 2∈D ，且(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]>0，则函数f (x )在D 上是增函数．( √ )(3)函数y ＝|x |是R 上的增函数． ( × )(4)函数y ＝f (x )在[1，＋∞)上是增函数，则函数的单调递增区间是[1，＋∞)． ( × ) (5)函数f (x )＝log 5(2x ＋1)的单调增区间是(0，＋∞)．( × ) (6)函数y ＝1－x 21＋x 2的最大值为1.( √ ) 2．函数y ＝x 2－6x ＋10在区间(2,4)上是( )A ．递减函数B ．递增函数C ．先递减再递增D ．先递增再递减答案 C解析 作出函数y ＝x 2－6x ＋10的图象(图略)， 根据图象可知函数在(2,4)上是先递减再递增．3．(2013·安徽)“a ≤0”是“函数f (x )＝|(ax －1)x |在区间(0，＋∞)内单调递增”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件答案 C解析 本题利用函数的图象确定字母的取值范围，再利用充要条件的定义进行判断． 当a ＝0时，f (x )＝|(ax －1)x |＝|x |在区间(0，＋∞)上单调递增；当a <0时，结合函数f (x )＝|(ax －1)x |＝|ax 2－x |的图象知函数在(0，＋∞)上单调递增，如图(1)所示；当a >0时，结合函数f (x )＝|(ax －1)x |＝|ax 2－x |的图象知函数在(0，＋∞)上先增后减再增，不符合条件，如图(2)所示．所以，要使函数f (x )＝|(ax －1)x |在(0，＋∞)上单调递增只需a ≤0.即“a ≤0”是“函数f (x )＝|(ax －1)x |在(0，＋∞)上单调递增”的充要条件．4．函数f (x )＝2xx ＋1在[1,2]的最大值和最小值分别是________________________________________________________________________．答案 43，1解析 f (x )＝2x x ＋1＝2(x ＋1)－2x ＋1＝2－2x ＋1在[1,2]上是增函数，∴f (x )max ＝f (2)＝43，f (x )min ＝f (1)＝1.5．函数y ＝log 2112(2x 2－3x ＋1)的单调减区间为________．答案 (1，＋∞)解析 由2x 2－3x ＋1>0，得函数的定义域为(－∞，12)∪(1，＋∞)．令t ＝2x 2－3x ＋1，则y ＝log 21t ，∵t ＝2x 2－3x ＋1＝2(x －34)2－18，∴t ＝2x 2－3x ＋1的单调增区间为(1，＋∞)．又y ＝log 21t 在(1，＋∞)上是减函数，∴函数y ＝log 21 (2x 2－3x ＋1)的单调减区间为(1，＋∞).题型一 函数单调性的判断例1 讨论函数f (x )＝axx 2－1(a >0)在x ∈(－1,1)上的单调性．思维启迪 可根据定义，先设－1<x 1<x 2<1，然后作差、变形、定号、判断． 解 设－1<x 1<x 2<1，则f (x 1)－f (x 2)＝ax 1x 21－1－ax 2x 22－1＝ax 1x 22－ax 1－ax 2x 21＋ax 2(x 21－1)(x 22－1)＝a (x 2－x 1)(x 1x 2＋1)(x 21－1)(x 22－1). ∵－1<x 1<x 2<1，∴x 2－x 1>0，x 1x 2＋1>0，(x 21－1)(x 22－1)>0.又∵a >0，∴f (x 1)－f (x 2)>0， ∴函数f (x )在(－1,1)上为减函数．思维升华 利用定义法证明或判断函数单调性的步骤：(1)已知a >0，函数f (x )＝x ＋ax(x >0)，证明：函数f (x )在(0，a ]上是减函数，在[a ，＋∞)上是增函数；(2)求函数y ＝x 2＋x －6的单调区间．(1)证明 设x 1，x 2是任意两个正数，且0<x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝⎝⎛⎭⎫x 1＋a x 1－⎝⎛⎭⎫x 2＋a x 2 ＝x 1－x 2x 1x 2(x 1x 2－a )． 当0<x 1<x 2≤a 时，0<x 1x 2<a ，又x 1－x 2<0， 所以f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)， 所以函数f (x )在(0，a ]上是减函数； 当a ≤x 1<x 2时，x 1x 2>a ，又x 1－x 2<0， 所以f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)， 所以函数f (x )在[a ，＋∞)上是增函数．(2)解 令u ＝x 2＋x －6，y ＝x 2＋x －6可以看作有y ＝u 与u ＝x 2＋x －6的复合函数． 由u ＝x 2＋x －6≥0，得x ≤－3或x ≥2.∵u ＝x 2＋x －6在(－∞，－3]上是减函数，在[2，＋∞)上是增函数，而y ＝u 在(0，＋∞)上是增函数．∴y ＝x 2＋x －6的单调减区间为(－∞，－3]，单调增区间为[2，＋∞)． 题型二 利用函数的单调性求参数例2 (1)如果函数f (x )＝ax 2＋2x －3在区间(－∞，4)上是单调递增的，则实数a 的取值范围是( ) A ．a >－14 B ．a ≥－14C ．－14≤a <0D ．－14≤a ≤0(2)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(2－a )x ＋1，x <1，a x ，x ≥1，满足对任意x 1≠x 2，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0成立，那么a 的取值范围是________．思维启迪 利用函数的单调性求参数或参数的取值范围，解题思路为视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参．答案 (1)D (2)[32，2)解析 (1)当a ＝0时，f (x )＝2x －3，在定义域R 上是单调递增的，故在(－∞，4)上单调递增；当a ≠0时，二次函数f (x )的对称轴为x ＝－1a ，因为f (x )在(－∞，4)上单调递增，所以a <0，且－1a ≥4，解得0>a ≥－14.综合上述得－14≤a ≤0.(2)由已知条件得f (x )为增函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧2－a >0a >1(2－a )×1＋1≤a， 解得32≤a <2，∴a 的取值范围是[32，2)．思维升华 已知函数的单调性确定参数的值或范围要注意以下两点：①若函数在区间[a ，b ]上单调，则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的；②分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值．(1)函数y ＝x －5x －a －2在(－1，＋∞)上单调递增，则a 的取值范围是( )A ．a ＝－3B ．a <3C ．a ≤－3D ．a ≥－3 (2)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a x (x >1)，⎝⎛⎭⎫4－a 2x ＋2 (x ≤1)是R 上的单调递增函数，则实数a 的取值范围为( )A ．(1，＋∞)B ．[4,8)C ．(4,8)D ．(1,8)答案 (1)C (2)B 解析 (1)y ＝x －5x －a －2＝1＋a －3x －(a ＋2)，由函数在(－1，＋∞)上单调递增，有⎩⎪⎨⎪⎧a －3<0a ＋2≤－1，解得a ≤－3. (2)因为f (x )是R 上的单调递增函数，所以可得⎩⎪⎨⎪⎧a >1，4－a 2>0，a ≥4－a 2＋2.解得4≤a <8，故选B.题型三 函数的单调性和最值例3 已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f (x )满足f ⎝⎛⎭⎫x 1x 2＝f (x 1)－f (x 2)，且当x >1时，f (x )<0.(1)求f (1)的值；(2)证明：f (x )为单调递减函数；(3)若f (3)＝－1，求f (x )在[2,9]上的最小值．思维启迪 抽象函数的问题要根据题设及所求的结论来适当取特殊值，证明f (x )为单调减函数的首选方法是用单调性的定义来证．问题(3)用函数的单调性即可求最值． (1)解 令x 1＝x 2>0，代入得f (1)＝f (x 1)－f (x 1)＝0，故f (1)＝0.(2)证明 任取x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1>x 2，则x 1x 2>1，由于当x >1时，f (x )<0，所以f ⎝⎛⎭⎫x 1x 2<0， 即f (x 1)－f (x 2)<0，因此f (x 1)<f (x 2)，所以函数f (x )在区间(0，＋∞)上是单调递减函数． (3)解 ∵f (x )在(0，＋∞)上是单调递减函数． ∴f (x )在[2,9]上的最小值为f (9)．由f ⎝⎛⎭⎫x 1x 2＝f (x 1)－f (x 2)得， f ⎝⎛⎭⎫93＝f (9)－f (3)，而f (3)＝－1，所以f (9)＝－2. ∴f (x )在[2,9]上的最小值为－2.思维升华 (1)抽象函数的单调性的判断要紧扣单调性的定义，结合题目所给性质和相应的条件，对任意x 1，x 2在所给区间内比较f (x 1)－f (x 2)与0的大小，或f (x 1)f (x 2)与1的大小．有时根据需要，需作适当的变形：如x 1＝x 2·x 1x 2或x 1＝x 2＋x 1－x 2等；(2)利用函数单调性可以求函数最值，若函数f (x )在[a ，b ]上单调递增，则f (x )的最小值是f (a )，最大值是f (b )．(1)如果函数f (x )对任意的实数x ，都有f (1＋x )＝f (－x )，且当x ≥12时，f (x )＝log 2(3x－1)，那么函数f (x )在[－2,0]上的最大值与最小值之和为( )A ．2B ．3C ．4D ．－1(2)函数f (x )＝1x －1在区间[a ，b ]上的最大值是1，最小值是13，则a ＋b ＝________.答案 (1)C (2)6解析 (1)根据f (1＋x )＝f (－x )，可知函数f (x )的图象关于直线x ＝12对称．又函数f (x )在[12，＋∞)上单调递增，故f (x )在(－∞，12]上单调递减，则函数f (x )在[－2,0]上的最大值与最小值之和为f (－2)＋f (0)＝f (1＋2)＋f (1＋0)＝f (3)＋f (1)＝log 28＋log 22＝4. (2)易知f (x )在[a ，b ]上为减函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧f (a )＝1，f (b )＝13，即⎩⎨⎧1a －1＝1，1b －1＝13，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝4. ∴a ＋b ＝6.函数单调性的应用典例：(12分)函数f(x)对任意的m、n∈R，都有f(m＋n)＝f(m)＋f(n)－1，并且x>0时，恒有f(x)>1.(1)求证：f(x)在R上是增函数；(2)若f(3)＝4，解不等式f(a2＋a－5)<2.思维启迪(1)对于抽象函数的单调性的证明，只能用定义．应该构造出f(x2)－f(x1)并与0比较大小．(2)将函数不等式中的抽象函数符号“f”运用单调性“去掉”是本小题的切入点．要构造出f(M)<f(N)的形式．规范解答(1)证明设x1，x2∈R，且x1<x2，∴x2－x1>0，∵当x>0时，f(x)>1，∴f(x2－x1)>1. [2分]f(x2)＝f[(x2－x1)＋x1]＝f(x2－x1)＋f(x1)－1，[4分]∴f(x2)－f(x1)＝f(x2－x1)－1>0⇒f(x1)<f(x2)，∴f(x)在R上为增函数．[6分](2)解∵m，n∈R，不妨设m＝n＝1，∴f(1＋1)＝f(1)＋f(1)－1⇒f(2)＝2f(1)－1，[8分]f(3)＝4⇒f(2＋1)＝4⇒f(2)＋f(1)－1＝4⇒3f(1)－2＝4，∴f(1)＝2，∴f(a2＋a－5)<2＝f(1)，[10分]∵f(x)在R上为增函数，∴a2＋a－5<1⇒－3<a<2，即a∈(－3,2)．[12分]解函数不等式问题的一般步骤：第一步：确定函数f(x)在给定区间上的单调性；第二步：将函数不等式转化为f(M)<f(N)的形式；第三步：运用函数的单调性“去掉”函数的抽象符号“f”，转化成一般的不等式或不等式组；第四步：解不等式或不等式组确定解集；第五步：反思回顾．查看关键点，易错点及解题规范．温馨提醒本题对函数的单调性的判断是一个关键点．不会运用条件x>0时，f(x)>1.构造不出f(x2)－f(x1)＝f(x2－x1)－1的形式，找不到问题的突破口．第二个关键应该是将不等式化为f(M)<f(N)的形式．解决此类问题的易错点：忽视M、N的取值范围，即忽视f(x)所在的单调区间的约束.方法与技巧1．利用定义判断或证明函数的单调性 设任意x 1，x 2∈[a ，b ]且x 1<x 2，那么 ①f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0⇔f (x )在[a ，b ]上是增函数；f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<0⇔f (x )在[a ，b ]上是减函数．②(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]>0⇔f (x )在[a ，b ]上是增函数； (x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]<0⇔f (x )在[a ，b ]上是减函数． 函数的单调性是对某个区间而言的． 2．求函数的单调区间首先应注意函数的定义域，函数的单调区间都是其定义域的子集；其次掌握一次函数、二次函数等基本初等函数的单调区间．常用方法：根据定义、利用图象和单调函数的性质、利用导数的性质． 3．复合函数的单调性对于复合函数y ＝f [g (x )]，若t ＝g (x )在区间(a ，b )上是单调函数，且y ＝f (t )在区间(g (a )，g (b ))或者(g (b )，g (a ))上是单调函数，若t ＝g (x )与y ＝f (t )的单调性相同(同时为增或减)，则y ＝f [g (x )]为增函数；若t ＝g (x )与y ＝f (t )的单调性相反，则y ＝f [g (x )]为减函数． 简称：同增异减． 失误与防范函数的单调区间是指函数在定义域内的某个区间上单调递增或单调递减．单调区间要分开写，即使在两个区间上的单调性相同，也不能用并集表示.A 组 专项基础训练一、选择题1．函数f (x )中，满足“对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，当x 1<x 2时，都有f (x 1)>f (x 2)”的是( )A ．f (x )＝1x B ．f (x )＝(x －1)2C ．f (x )＝e xD ．f (x )＝ln(x ＋1)答案 A解析 由题意知f (x )在(0，＋∞)上是减函数．A 中，f (x )＝1x满足要求；B 中，f (x )＝(x －1)2在[0,1]上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数；C 中，f (x )＝e x 是增函数；D 中，f (x )＝ln(x ＋1)是增函数．2．若函数f (x )＝－x 2＋2ax 与g (x )＝(a ＋1)1－x 在区间[1,2]上都是减函数，则a 的取值范围是( )A ．(－1,0)B ．(－1,0)∪(0,1]C ．(0,1)D ．(0,1]答案 D解析 ∵f (x )＝－x 2＋2ax ＝－(x －a )2＋a 2在[1,2]上是减函数， ∴a ≤1.①又g (x )＝(a ＋1)1－x 在[1,2]上是减函数．∴a ＋1>1，∴a >0.② 由①、②知，0<a ≤1.3．已知函数f (x )＝2ax 2＋4(a －3)x ＋5在区间(－∞，3)上是减函数，则a 的取值范围是( )A ．(0，34)B ．(0，34]C ．[0，34)D ．[0，34]答案 D解析 当a ＝0时，f (x )＝－12x ＋5，在(－∞，3)上是减函数，当a ≠0时，由⎩⎪⎨⎪⎧a >0－4(a －3)4a ≥3，得0<a ≤34，综上a 的取值范围是0≤a ≤34.4．已知f (x )为R 上的减函数，则满足f (1x)>f (1)的实数x 的取值范围是( )A ．(－∞，1)B ．(1，＋∞)C ．(－∞，0)∪(0,1)D ．(－∞，0)∪(1，＋∞)答案 D解析 依题意得1x <1，即x －1x >0，所以x 的取值范围是x >1或x <0.5．定义新运算“”：当a ≥b 时，a b ＝a ；当a <b 时，a b ＝b 2，则函数f (x )＝x )x －x )，x ∈[－2,2]的最大值等于( )A ．－1B ．1C ．6D ．12 答案 C解析 由已知得当－2≤x ≤1时，f (x )＝x －2， 当1<x ≤2时，f (x )＝x 3－2，∵f (x )＝x －2，f (x )＝x 3－2在定义域内都为增函数． ∴f (x )的最大值为f (2)＝23－2＝6. 二、填空题6．函数f (x )＝ln(4＋3x －x 2)的单调递减区间是__________．答案 ⎣⎡⎭⎫32，4解析 函数f (x )的定义域是(－1,4)，u (x )＝－x 2＋3x ＋4＝－⎝⎛⎭⎫x －322＋254的减区间为⎣⎡⎭⎫32，4，∵e>1，∴函数f (x )的单调递减区间为⎣⎡⎭⎫32，4.7．设函数f (x )＝ax ＋1x ＋2a 在区间(－2，＋∞)上是增函数，那么a 的取值范围是__________．答案 [1，＋∞)解析 f (x )＝ax ＋2a 2－2a 2＋1x ＋2a ＝a －2a 2－1x ＋2a，∵函数f (x )在区间(－2，＋∞)上是增函数．∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2a 2－1>0－2a ≤－2⇒⎩⎪⎨⎪⎧2a 2－1>0a ≥1⇒a ≥1. 8．已知f (x )为R 上的减函数，则满足f ⎝⎛⎭⎫⎪⎪⎪⎪1x <f (1)的实数x 的取值范围是______________． 答案 (－1,0)∪(0,1)解析 由f ⎝⎛⎭⎫⎪⎪⎪⎪1x <f (1)，得⎪⎪⎪⎪1x >1， ∴1x >1或1x <－1，∴0<x <1或－1<x <0. 三、解答题9．函数f (x )＝x 2－4x －4在闭区间[t ，t ＋1](t ∈R )上的最小值记为g (t )． (1)试写出g (t )的函数表达式； (2)求g (t )的最小值．解 (1)f (x )＝x 2－4x －4＝(x －2)2－8. 当t >2时，f (x )在[t ，t ＋1]上是增函数， ∴g (t )＝f (t )＝t 2－4t －4；当t ≤2≤t ＋1，即1≤t ≤2时，g (t )＝f (2)＝－8； 当t ＋1<2，即t <1时，f (x )在[t ，t ＋1]上是减函数， ∴g (t )＝f (t ＋1)＝t 2－2t －7.从而g (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧t 2－2t －7 (t <1)，－8 (1≤t ≤2)，t 2－4t －4 (t >2).(2)g (t )的图象如图所示，由图象易知g (t )的最小值为－8.10．已知函数f (x )＝－2x ＋1，x ∈[0,2]，求函数的最大值和最小值．解 设x 1，x 2是区间[0,2]上的任意两个实数，且x 1＜x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝－2x 1＋1－(－2x 2＋1) ＝－2(x 2＋1－x 1－1)(x 1＋1)(x 2＋1)＝－2(x 2－x 1)(x 1＋1)(x 2＋1). 由0≤x 1＜x 2≤2，得x 2－x 1＞0，(x 1＋1)(x 2＋1)＞0，所以f (x 1)－f (x 2)＜0，即f (x 1)＜f (x 2)，故f (x )在区间[0,2]上是增函数．因此，函数f (x )＝－2x ＋1在区间[0,2]的左端点取得最小值，右端点取得最大值，即最小值是f (0)＝－2，最大值是f (2)＝－23. B 组 专项能力提升1．已知函数f (x )＝x 2－2ax ＋a 在区间(－∞，1)上有最小值，则函数g (x )＝f (x )x在区间(1，＋∞)上一定( ) A ．有最小值B ．有最大值C ．是减函数D ．是增函数答案 D 解析 由题意知a <1，∴g (x )＝f (x )x ＝x ＋a x－2a ， 当a <0时，g (x )在(1，＋∞)上是增函数，当a >0时，g (x )在[a ，＋∞)上是增函数，故在(1，＋∞)上为增函数，∴g (x )在(1，＋∞)上一定是增函数．2．已知函数f (x )＝e |x －a |(a 为常数)．若f (x )在区间[1，＋∞)上是增函数，则a 的取值范围是________．答案 (－∞，1]解析 ∵f (x )＝e |x －a |＝⎩⎪⎨⎪⎧e x －a (x ≥a )，e －x ＋a (x <a )， ∴f (x )在[a ，＋∞)上为增函数，则[1，＋∞)⊆[a ，＋∞)，∴a ≤1.3．对于任意实数a ，b ，定义min{a ，b }＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≤b ，b ，a >b .设函数f (x )＝－x ＋3，g (x )＝log 2x ，则函数h (x )＝min{f (x )，g (x )}的最大值是________．答案 1解析 依题意，h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，0<x ≤2，－x ＋3，x >2. 当0<x ≤2时，h (x )＝log 2x 是增函数；当x >2时，h (x )＝3－x 是减函数，∴h (x )在x ＝2时，取得最大值h (2)＝1.4．已知函数f (x )＝lg(x ＋a x－2)，其中a 是大于0的常数． (1)求函数f (x )的定义域；(2)当a ∈(1,4)时，求函数f (x )在[2，＋∞)上的最小值；(3)若对任意x ∈[2，＋∞)恒有f (x )>0，试确定a 的取值范围．解 (1)由x ＋a x －2>0，得x 2－2x ＋a x>0， a >1时，x 2－2x ＋a >0恒成立，定义域为(0，＋∞)， a ＝1时，定义域为{x |x >0且x ≠1}，0<a <1时，定义域为{x |0<x <1－1－a 或x >1＋1－a }．(2)设g (x )＝x ＋a x－2，当a ∈(1,4)，x ∈[2，＋∞)时， g ′(x )＝1－a x 2＝x 2－a x 2>0恒成立， ∴g (x )＝x ＋a x－2在[2，＋∞)上是增函数． ∴f (x )＝lg(x ＋a x－2)在[2，＋∞)上是增函数． ∴f (x )＝lg(x ＋a x－2)在[2，＋∞)上的最小值为 f (2)＝lg a 2. (3)对任意x ∈[2，＋∞)恒有f (x )>0，即x ＋a x－2>1对x ∈[2，＋∞)恒成立． ∴a >3x －x 2，而h (x )＝3x －x 2＝－(x －32)2＋94在x ∈[2，＋∞)上是减函数， ∴h (x )max ＝h (2)＝2.∴a >2.5．已知f (x )＝x x －a(x ≠a )． (1)若a ＝－2，试证f (x )在(－∞，－2)内单调递增；(2)若a >0且f (x )在(1，＋∞)内单调递减，求a 的取值范围．(1)证明 任取x 1<x 2<－2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1＋2－x 2x 2＋2＝2(x 1－x 2)(x 1＋2)(x 2＋2). ∵(x 1＋2)(x 2＋2)>0，x 1－x 2<0，∴f (x 1)<f (x 2)，∴f (x )在(－∞，－2)内单调递增．(2)解 任设1<x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1－a －x 2x 2－a ＝a (x 2－x 1)(x 1－a )(x 2－a ).∵a>0，x2－x1>0，∴要使f(x1)－f(x2)>0，只需(x1－a)(x2－a)>0恒成立，∴a≤1. 综上所述知a的取值范围是(0,1]．。
8 高中学业水平考试《数学》模拟试卷(八)一、选择题(本大题共25小题，第1～15题每小题2分，第16～25题每小题3分，共60分．每小题中只有一个选项是符合题意的，不选、多选、错选均不得分)1. 设全集U ＝{1，2，3，4，5}，已知集合A ＝{1，3}，B ＝{3，4，5}，则集合∁U (A ∩B )＝( )A. {3}B. {4，5}C. {3，4，5}D. {1，2，4，5}2. 函数f (x )＝sin(2x ＋π3)(x ∈R )的最小正周期为( )A. π2B. πC. 2πD. 4π3. 若x ＝1满足不等式ax 2＋2x ＋1<0，则实数a 的取值范围是( )A. (－3，＋∞)B. (－∞，－3)C. (1，＋∞)D. (－∞，1)4. 圆x 2＋y 2－2x ＋2y ＝0的周长是( ) A. 2 2π B. 2π C. 2π D. 4π5. 设平面向量a ＝(3，5)，b ＝(－2，1)，则a －2b ＝( )A. (7，3)B. (7，7)C. (1，7)D. (1，3)6. 若直线l 1：y ＝(3a ＋2)x ＋3与直线l 2：y ＝3x ＋2垂直，则实数a 的值为( )A. －79B. 79C. 13D. －137. 不等式|x －1|<2的解集是( )A. x <3B. x >－1C. x <－1或x >3D. －1<x <38. 下列函数中，在(0，＋∞)上是减函数的是( )A. y ＝1xB. y ＝x 2＋1C. y ＝2xD. y ＝log 3x9. 若600°角终边上有一点(－4，a )，则a 的值是( ) A. 4 3 B. －4 3 C. ±4 3 D. 310. 已知角α的终边经过点P (4，－3)，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2＋α的值为( )A. 35B. －35C. 45D. －45(第11题)11. 一个几何体的三视图如图，其中正视图与侧视图都是边长为2的正三角形，则这个几何体的侧面积为( )A. 33πB. 2πC. 3πD. 4π12. 已知tan x ＝2，则sin x －cos x sin x ＋cos x＝( ) A. 12 B. 13 C. 14 D. 1513. 不等式x 2－y 2≥0所表示的平面区域(阴影部分)是( )14. 已知椭圆x 210－m ＋y 2m －2＝1，若其长轴在y 轴上，焦距为4，则m 等于( )A. 4B. 5C. 7D. 815. 已知等比数列{a n }满足a 1＋a 2＝3，a 2＋a 3＝6，则a 7＝( )A. 64B. 81C. 128D. 24316. 已知a ＝(2，3)，b ＝(－4，7)，则a 在b 方向上的投影为( ) A. 13 B. 135 C. 655 D. 65(第17题)17. 将函数y ＝sin ωx (ω>0)的图象向左平移π6个单位，平移后的图象如图所示，则平移后的图象所对应函数的解析式是( )A. y ＝sin(x ＋π6)B. y ＝sin(x －π6)C. y ＝sin(2x ＋π3)D. y ＝sin(2x －π3)18. 在△ABC 中，a 2＝b 2＋c 2＋bc ，则∠A 的大小为( )A. 30°B. 45°C. 120°D. 150°19. 若a ，b 是异面直线，则一定存在两个平行平面α，β，使( )A. a ⊂α，b ⊂βB. a ⊥α，b ⊥βC. a ∥α，b ⊥βD. a ⊂α，b ⊥β20. 若方程x 2＋(m ＋2)x ＋m ＋5＝0只有正根，则m 的取值范围是( )A. m ≤－4或m ≥4B. －5＜m ≤－4C. －5≤m ≤－4D. －5＜m ＜－221. 圆x 2＋y 2－2x ＋4y －20＝0截直线5x －12y ＋c ＝0所得弦长为8，则c 的值为( )A. 10B. －68C. 12D. 10或－6822. 已知点P (x ，y )在不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －2≤0，y －1≤0，x ＋2y －2≥0表示的平面区域上运动，则z ＝－12x ＋y 的取值范围是( )A. [－1，0]B. [－1，1]C. [0，1]D. [1，2]23. 在正方体中ABCD －A 1B 1C 1D 1，E 是棱A 1B 1的中点，则A 1B 与D 1E 所成角的余弦值为( )A. 510B. 1010C. 55D. 10524. “α＝k π＋512π，k ∈Z ”是“sin2α＝12”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件25. 双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别是F 1，F 2，过F 1作倾斜角为30°的直线交双曲线右支于M 点，若MF 2垂直于x 轴，则双曲线的离心率为( )A. 6B. 5C. 3D. 2二、填空题(本大题共5小题，每小题2分，共10分)26. 命题“至少有一个偶数是素数”的否命题为_________________．27. 点(－2，1)到直线3x－4y－2＝0的距离等于________．28. 函数y＝x＋1x的值域是________．29. 在等差数列{a n}中，若a n<0，且a32＋a82＋2a3a8＝9，则其前10项和为________．30. 已知M是椭圆x225＋y29＝1上的点，F1，F2是椭圆的两个焦点，∠F1MF2＝60°，则△F1MF2的面积等于________．三、解答题(本大题共4小题，第31，32题每题7分，第33，34题每题8分，共30分)31. (本题7分)在△ABC中，若cos Bcos C＝－b2a＋c.(1)求∠B的大小；(2)若b＝13，a＋c＝4，求△ABC的面积．32. (本题7分，有A、B两题，任选其中一题完成，两题都做，以A题计分)(A)如图，在四面体ABCD中，CB＝CD，AD⊥BD，点E，F分别是AB，BD的中点．求证：(1)直线EF∥平面ACD；(2)平面EFC⊥平面BCD.,[第32题(A)]),[第32题(B)])(B)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，已知E，F分别是A1D1，A1C1的中点．(1)求证：BD⊥CF；(2)求异面直线AE与CF所成角的余弦值．33. (本题8分)已知圆C1：x2＋y2＋2x＋2－8＝0与C2：x2＋y2－2x＋10y－24＝0相交于A，B两点．(1)求公共弦AB的长；(2)求经过A，B两点且面积最小的圆的方程．34. (本题8分)设数列{a n}中a1＝3，a n＋1－a n＝3·2n －1.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)令b n＝na n，求数列{b n}的前n项和S n.8 2014高中学业水平考试《数学》模拟试卷(八)1. D2. B3. B4. A5. A6. A7. D8. A 9. B 10. C 11. B 12. B 13. C 14. D15. A 16. C 17. C 18. C 19. A 20. B21. D 22. B 23. B 24. B25. C [提示：M ⎝⎛⎭⎪⎪⎫c ，b 2a ，|MF 2|＝b 2a ，|F 1F 2|＝2c ，∴2c ＝3b 2a ，2ac ＝3(c 2－a 2)，∴3e 2－2e －3＝0，e ＝ 3.]26. 所有的偶数都不是素数27. 125 28. (－∞，－2]∪[2，＋∞)29. －15 [提示：(a 3＋a 8)2＝9，∴a 3＋a 8＝－3，S 10＝（a 1＋a 10）·102＝－15.] 30. 33 [提示：设|MF 1|＝m ，|MF 2|＝n ，则m ＋n＝10，∵cos 60°＝m 2＋n 2－（2c ）22mn＝（m ＋n ）2－2mn －4c 22mn ＝12，∴mn ＝12，S ＝12mn sin60°＝3 3.]31. (1)由余弦定理得a 2＋c 2－b 22ac a 2＋b 2－c 22ab＝－b 2a ＋c，化简得a 2＋c 2－b 2＝－ac ，∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝－ac 2ac ＝－12，∴∠B ＝120°.(2)b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，∴13＝(a ＋c )2－2ac －2ac ·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12，∴ac ＝3，∴S △ABC ＝12ac sin B ＝334. 32. (A)证明：(1)∵E ，F 分别是AB ，BD 的中点，∴EF 是△ABD 的中位线，∴EF ∥AD .∵AD ⊂平面ACD ，∴直线EF ∥平面ACD .(2)∵AD ⊥BD ，EF ∥AD ，∴EF ⊥BD .∵CB ＝CD ，F 是BD 的中点，∴CF ⊥BD .又EF ∩CF ＝F ，∴BD ⊥平面EFC .∵BD ⊂平面BCD ，∴平面EFC ⊥平面BCD .(第32题)(B)(1)证明：∵BD ⊥CA ，BD ⊥A 1A ，∴BD ⊥平面ACC 1A 1，∴BD ⊥CF .(2)解：设正方体棱长为2，分别取DA ，DC ，DD 1所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示空间直角坐标系，则A (2，0，0)，C (0，2，0)，E (1，0，2)，F (1，1，2)，则AE→＝(－1，0，2)，CF →＝(1，－1，2)，∴|AE →|＝5，|CF→|＝ 6. AE→·CF →＝－1＋0＋4＝3.又∵AE →·CF →＝ |AE →||CF →|cos 〈AE →，CF →〉＝30cos 〈AE →，CF →〉，∴cos 〈AE →，CF →〉＝3010，∴所求角的余弦值为3010.33. 解：(1)由两圆的方程组成的方程组相减即得x －2y ＋4＝0，此为公共弦AB 所在的直线方程．圆心C 1(－1，－1)，半径r 1＝10，C 1到直线AB 的距离为d ＝|－1＋2＋4|5＝5，故公共弦长|AB |＝2r 12－d 2＝2 5. (2)圆心C 2(1，－5)，过C 1，C 2的直线方程为y ＋1－5＋1＝x ＋11＋1，即2x ＋y ＋3＝0，过A ，B 且面积最小的圆就是以AB 为直径的圆，由⎩⎨⎧x －2y ＋4＝02x ＋y ＋3＝0得圆心(－2，1)，半径r ＝5，所以所求圆方程(x ＋2)2＋(y －1)2＝5.34. 解：(1)a 2－a 1＝3·20，a 3－a 2＝3·21，a 4－a 3＝3·22，…a n－a n－1＝3·2n－2，以上各式相加得a n－a1＝3(20＋21＋22＋…＋2n－2)，∴a n＝3＋3×1×（1－2n－1）1－2＝3·2n－1.(2)b n＝3n·2n－1，S n＝3[20＋2·21＋3·22＋…＋(n－1)·2n－2＋n·2n－1]，2S n＝3[1·21＋2·22＋…＋(n－1)·2n－1＋n·2n]－S n＝3[20＋21＋22＋…＋2n－1－n·2n]＝3·[1·（1－2n）1－2－n·2n]，∴S n＝(n－3)·2n＋3.。
