高中数学 第一章 推理与证明章末归纳总结课件 北师大版选修2-2

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∵ PD⊥AC,PD⊥BD,AC∩BD=D,∴ PD⊥平面 ABC.
-8-
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专题探究
专题一
专题二
专题三
专题四
【例题 2】 求证:当一个圆与一个正方形的周长相等时,这个圆的面积 比正方形的面积大. 证明:设圆和正方形的周长均为 l,则 圆的面积为 π 立, 即证 成立. 因此,如果一个圆和一个正方形的周长相等,那么这个圆的面积比正方 形的面积大.
2π 3
4π 3
+
+(4x-z2-2π)=-[(x-2)2+(y-2)2+(z-2)2]-4π+12≥0.
因为-[(x-2)2+(y-2)2+(z-2)2]≤0, 所以-4π+12≥0, 即 4π≤12,这与基本事实 4π>12 矛盾. 故 a,b,c 中至少有一个小于零.
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【例题 1】 如图,已知两直线 l∩m=O,l⫋ α,m⫋ α,l⊈ β,m⊈ β,α∩β=a.求 证:l 与 m 中至少有一条与 β 相交.
思路分析:结论中以“至少”形式出现,直接证明较困难,可考虑用反证 法.
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专题四
专题二 分析法与综合法
分析法与综合法各有其特点.有些具体的证明题,用分析法或综合法都 可以证明出来,人们往往选择比较简单的一种. 事实上,在解决问题时,我们经常把综合法和分析法结合起来使用:根据 条件的结构特点去转化结论,得到中间结论 Q;根据结论的结构特点去转化 条件,得到中间结论 P.若由 Q 可以推出 P 成立,就可以证明结论成立.

只需证明 (a b)(a b)2 0 ，
只需证明 (a b) 0且(a b)2 0 。 由于命题的条件“a，b是不相等的正数”，它保
证上式成立。这样就证明了命题的结论。
5
从要证明的结论出发，逐步寻求推证过程中，使 每一步结论成立的充分条件，直至最后，把要 证明的结论归结为判定一个明显成立的条件为 止，这种证明的方法叫做分析法．
x 只需证明对任意的 x1> 2 >3，有
f (x1 ) f (x2 ) (2x12 12x1 16)(2x22 12x2 16)

2 x12

2
x
2 2

(12x1

12 x2
)
2(x1 x2 )(x1 x2 ) 12(x1 x2 )
2(x1 x2 )(x1 x2 6) 0
8
x x ∵ x1> 2 >3 ∴ x1- 2 >0，且
x1+ x2 >6，它保证上式成立。
这样就证明了：函数 f (x) 2x2 12x 16
在区间（3，+∞）上是增加的。
例4、如图,SA⊥平面ABC,AB⊥BC,过A作SB 的垂线,垂足为E,过E作SC的垂线,垂足为F, 求证AF⊥SC
9
证明:要证AF⊥SC
只需证:SC⊥平面AEF
只需证:AE⊥SC 只需证:AE⊥平面SBC
只需证:AE⊥BC 只需证:BC⊥平面SAB 只需证:BC⊥SA 只需证:SA⊥平面ABC
S
F E
A
C
B
因为:SA⊥平面ABC成立 所以.AF⊥SC成立
10
用P表示已知条件,定义,定理, 公理等,用Q表示要证的结论,则 上述过程可用框图表示为:

则只能有2as＝ar＋at成立．
∴2·14·(23)s－1＝14·(23)r－1＋14·(23)t－1.
两边同乘以3t－121－r，化简得3t－r＋2t－r＝2·2s－r3t－r.
由于r<s<t， 所以上式左边为奇数，右边为偶数， 故上式不可能成立，导致矛盾， 故数列{an}中任意三项不可能成等差数列．
∴①式成立，这就证明了log2(x2y2＋1)－log2x－ log2y≥log217－2成立．
法二 (综合法) 由条件知log2(x2y2＋1)－log2x－log2y ＝log2x2yx2y＋1. 设u＝xyx2y＋1，t＝xy. 由x＋y＝1，得xy≤(x＋2 y)2＝14. ∴t∈(0，14]．
【思路点拨】 观察等式两边各变量和常量，并归纳 变量变化的规律．
【规范解答】 ∵2＝21,8＝23,32＝25,128＝27， ∴m＝29＝512；p＝5×10＝50，m－1 280＋1 120＋n ＋p－1＝1. ∴m＋n＋p＝162，∴n＝－400. ∴m－n＋p＝962. 【答案】 962
对命题“正三角形的内切圆切于三边的中点”，可类 比猜想出：正四面体的内切球切于四面各正三角形的位置 是( )
设实数a，b，c成等比数列，非零实数x，y分别为a与 b，b与c的等差中项，试证ax＋cy＝2.
【证明】 由已知条件得b2＝ac，① 2x＝a＋b,2y＝b＋c.② 要证ax＋cy＝2，只需证ay＋cx＝2xy， 只需证2ay＋2cx＝4xy， 由①②得2ay＋2cx＝a(b＋c)＋c(a＋b)＝ab＋2ac＋bc， 4xy＝(a＋b)(b＋c)＝ab＋b2＋ac＋bc＝ab＋2ac＋bc， 所以2ay＋2cx＝4xy.命题得证．
知条件矛盾，可以是与某个事实、定理、公理相矛盾，也 可以是自身相矛盾．反证法的使用范围：唯一性问题， “至少”“至多”问题，问题本身是否定语气提出的问 题．

A.1
B.1+a
C.1+a+a2
解:(1)令
n=2,得
S2=
2×(2+1) 2
������2,
即 a1+a2=3a2,解得 a2= 112.
令
n=3,得
S3=
3×(3+1) 2
������3,
即 a1+a2+a3=6a3,解得 a3= 210.
令
n=4,得
S4=
4×(4+1) 2
������4,
即 a1+a2+a3+a4=10a4,解得 a4= 310.
时,命题成立.
根据①②可以断定命题对一切从n0开始的正整数n都成立.
(2)基本原理:数学归纳法能保证命题对所有的正整数都成立.因
为根据①,验证了当n=1时命题成立;根据②可知,当n=1+1=2时命 题成立.由于n=2时命题成立,再根据②可知,当n=2+1=3时命题也
成立,这样递推下去,就可以知道当n=4,5,…时命题成立,即命题对任 意正整数n都成立.
=2k·1·3·…·(2k-1)(2k+1)·2 =2k+1·1·3·…·(2k-1)·[2(k+1)-1]=右边, 故当n=k+1时等式成立. 根据(1)和(2),可知等式对任意正整数n都成立.
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Z 知识梳理 HISHI SHULI
D 典例透析 IANLI TOUXI
=
1 (1+1)(1+2)
,
结论成立.
②假设当
n=k(k≥1,k∈N+)时,结论成立,即

姓名：陈景润 （1933—1996） 国家或地区：中国 身份：数学家
K12课件
16
“是不是所有不小于6的偶数，都可以表示为两个素数的和呢？” 6＝3＋3 8＝3＋5
10＝5＋5 12＝5＋7 14＝7＋7
…… 1 000＝29＋971 1 002＝139＋863
…… 归纳出：偶数（不小于6）＝素数＋素数
华罗庚教授曾举过一个例子：
从一个袋子里摸出来一个红玻璃球，第二个是红玻璃球，甚至 第三个、第四个、第五个都是红玻璃球的时候，我们立刻会出现一 种猜想：“是不是袋里的东西全部都是红玻璃球？”但是，当我们 有一次摸出一个白玻璃球的时候，这个猜想失败了；这时我们会出 现另外一个猜想：“是不是袋里的东西全部都是玻璃球？”但是， 当我们有一次摸出一个木球的时候，这个猜想又失败了；那时我们 又会出现第三个猜想：“是不是袋里的东西全部都是球？”这个猜 想对不对，还必须加以检验……
8＝3＋5
10＝5＋5
12＝5＋7
14＝7＋7
……
1 000＝29＋971
1 002＝139＋863
……
归纳出：偶数（不小于6）＝素数＋素数
K12课件
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想一想：上述3个问题的推理有什么共同特征？
部分
整体
个别 一般
【抽象概括】
根据一类事物中的部分对象具有某种属性，推断该
类事物中的全部对象都具有这种属性,或者由个别事实概
11
【想一想，辨一辩】 既然利用归纳推理的结论不一定正确，那我们还有
必要进行归纳推理吗？
K12课件
12
【情景2】永动机 历史上，人们曾经有过制造永动机的美好愿望， 希望制造出一种不消耗能量的机器，永无休止地 为人类服务.人们提出过 许多永动机的设计方案.最早 永动机的设计方案是13世纪 的法国人亨内考提出的，后 来人们又提出了各种永动机 的设计方案.

反证法
反证法是假设原命题不成立，经过正确的推理最后推 出矛盾，由此说明假设错误，从而证明了原命题成立．理 论根据是互为逆否命题的两个命题是等价命题，即若p⇒q 成立，则綈q⇒綈p成立，这里得出的矛盾可以是与某个已 知条件矛盾，可以是与某个事实、定理、公理相矛盾，也 可以是自身相矛盾．反证法的使用范围：唯一性问题， “至少”“至多”问题，问题本身是否定语气提出的问 题．
k－k－1a ＝ 2[k－k－1a]－[k－1－k－2a] k－k－1a ＝ . k＋1－ka 故当n＝k＋1时，结论成立． n－1－n－2a 由(1)(2)可知，对n∈N 都有an＝ . n－n－1a
*
转化与化归思想
转化与化归的思想就是在处理问题时，通过某种转化 过程，化归为一类已经解决或比较容易解决的问题，最终 使问题化繁为简化难为易． 本章内容中转化与化归思想主要应用于以下几个方 面：归纳推理中特殊到一般的转化；演绎推理中一般到特 殊的转化；分析法中结论与条件的转化；反证法中正难则 反的转化；数学归纳法中无限与有限的转化等．
设f(x)＝2x2＋1，a＋b＝1，且a，b同号，求证对任 意实数p，q恒有af(p)＋bf(q)≥f(ap＋bq)成立． 【思路点拨】 的符号． 【证明】 把要证明的不等式转化为判断两边差
由题意知af(p)＋bf(q)－f(ap＋bq)
＝a(2p2＋1)＋b(2q2＋1)－2(ap＋bq)2－1 ＝2ap2＋2bq2－2a2p2－4abpq－2q2b2 ＝2ap2(1－a)＋2bq2(1－b)－4abpq ＝2abp2＋2abq2－4abpq＝2ab(p－q)2. 因为a，b同号，所以2ab(p－q)2≥0. 所以原不等式成立．
(2)证明
(反证法)
假设{an}存在三项ar，as，at(r<s<t)按某种顺序成等差数 1 2 列．由于数列{an}是首项为 ，公比为 的等比数列，所以有 4 3 ar>as>at， 则只能有2as＝ar＋at成立． 1 2 s－1 1 2 r－1 1 2 t－1 ∴2·· ( ) ＝ · ( ) ＋ · ( ) . 4 3 4 3 4 3 两边同乘以3t－121－r，化简得3t－r＋2t－r＝2· 2s－r3t－r.

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9
15 15
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小结： 归纳推理的特点：
(1)归纳推理的前提是几个已知的特殊现象，归纳所得的结 论是尚属未知的一般现象,该结论超越了前提所包容的范围.
(2)由归纳推理得到的结论具有猜测的性质，结论是否真实 还需经过逻辑证明和实践检验.因此，它不能作为数学证明 的工具.
(3)归纳推理是一种具有创造性的推理。通过归纳法得到的 猜想，可以作为进一步研究的起点，帮助人们发现问题和 16 提出问题.
上述3个案例的推理各有什么特点
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二.新课： 1.推理 从一个或几个已知命题得出另一个新命题的思维过程称为 推理.任何推理都包含前提和结论两个部分.
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2.例题： 例1.前提：蛇是用肺呼吸的，鳄鱼是用肺呼吸的，海龟 是用肺呼吸的，蜥蜴是用肺呼吸的。蛇、鳄鱼、海龟、蜥蜴 都是爬行动物，
结论： 所有的爬行动物都是用肺呼吸的.
北师大版高中数学选修2-2 第一章《推理与证明》
§1归纳与类比
1
Ⅰ、教学目标 1．知识与技能：（1）结合已学过的数学实例，了解归纳推 理的含义；（2）能利用归纳进行简单的推理；（3）体会并认 识归纳推理在数学发现中的作用. 2．方法与过程：归纳推理是从特殊到一般的一种推理方法， 通常归纳的个体数目越多，越具有代表性，那么推广的一般性 命题也会越可靠，它是一种发现一般性规律的重要方法。 3．情感态度与价值观：通过本节学习正确认识合情推理在数 学中的重要作用，养成从小开始认真观察事物、分析事物、发 现事物之间的质的联系的良好品质， 善于发现问题，探求新知识。 Ⅱ、教学重点：了解归纳推理的含义，能利用归纳进行简单 的推理。 教学难点：培养学生“发现—猜想—证明”的归纳推理能力。 Ⅲ、教学方法：探析归纳，讲练结合 Ⅳ、教学过程

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证明
规律与方法
1.归纳和类比都是合情推理，前者是由特殊到一般，部分到整体的推理， 后者是由特殊到特殊的推理，但二者都能由已知推测未知，都能用于猜想， 推理的结论不一定为真，有待进一步证明. 2.演绎推理与合情推理不同，是由一般到特殊的推理，是数学中证明的基 本推理形式.也是公理化体系所采用的推理形式，另一方面，合情推理与 演绎推理又是相辅相成的，前者是后者的前提，后者论证前者的可靠性. 3.综合法是从已知条件推导出结论的证明方法；分析法是由结论追溯到条 件的证明方法，在解决数学问题时，常把它们结合起来使用.反证法是从 结论反面成立出发，推出矛盾的证明方法.
√B.9(n－1)＋n＝10n－9
C.9n＋(n－1)＝10n－1
D.9(n－1)＋(n－1)＝10n－10
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解析 答案
2.在平面直角坐标系中，方程 ax＋by ＝1表示在x，y轴上的截距分别为a，b 的直线，类比到空间直角坐标系中，在x，y，z轴上截距分别为a，b，
c(abc≠0)的平面方程为
跟踪训练3 已知：ac≥2(b＋d). 求证：方程x2＋ax＋b＝0与方程x2＋cx＋d＝0中至少有一个方程有实数根. 证明 假设两方程都没有实数根， 则Δ1＝a2－4b<0与Δ2＝c2－4d<0，有a2＋c2<4(b＋d)，而a2＋c2≥2ac， 从而有4(b＋d)>2ac，即ac<2(b＋d)，与已知矛盾，故原命题成立.
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解析 答案
4.如图，这是一个正六边形的序列：
则第n个图形的边数为_5_n_＋__1__. 解析 图(1)共6条边，图(2)共11条边，图(3)共16条边，其边数构成以6为 首项，5为公差的等差数列，则图(n)的边数为an＝6＋(n－1)×5＝5n＋1.

本章整合
归纳推理
合情推理
推理
类比推理
演绎推理
推理与证明
综合法
直接证明
分析法
证明
间接证明:反证法
数学归纳法
专题一 专题二 专题三 专题四
专题一 归纳与类比 归纳推理和类比推理都是根据已有的事实,经过观察、分析、比 较、联想,再进行归纳、类比,然后提出猜想的推理.虽然猜想是否 正确还有待严格的证明,但是这个猜想可以为我们的研究提供一种 方向.
专题一 专题二 专题三 专题四
应用 2 观察下列等式:
������
1
1
∑ ������
i=1
=
2
������2
+
2
������,
������
1
1
1
∑ ������2
������=1
=
3
������3
+
2
������2
+
6
������,
������
1
1
1
∑ ������3
������=1
=
4
������4
专题一 专题二 专题三 专题四
证明:∵tan(α+β)=2tan β,
sin(������ + ������) 2sin������ ∴ cos(������ + ������) = cos������ .
∴sin(α+β)cos β=2cos(α+β)sin β. ∴sin(α+β)cos β-cos(α+β)sin β
提示:由最后一个等式可知,ak-1是第三项的系数,ak-2是第四项的 系数,可观察系数的特点.