2019-2020学年高中数学 2.1.1第2课时 类比推理练习 新人教A版选修2-2.doc

2.1.1 合情推理[A 基础达标]1．观察数列1，5，14，30，x，…，则x的值为( )A．22 B．33C．44 D．55解析：选D.观察归纳得出，从第2项起，每一项都等于它的前一项与它本身项数的平方的和，即a n＝a n－1＋n2，所以x＝30＋52＝55.2．如图，观察图形规律，在其右下角的空格处画上合适的图形，应为( )解析：选A.观察题图中每一行、每一列的规律，从形状和颜色入手，每一行、每一列中三种图形都有，故填长方形；又每一行、每一列中的图形的颜色应有二黑一白，故选A.3．把下列在平面内成立的结论类比到空间，结论不成立的是( )A．如果一条直线与两条平行线中的一条相交，则必与另一条相交B．如果一条直线与两条平行线中的一条垂直，则必与另一条垂直C．如果两条直线与第三条直线都不相交，则这两条直线不相交D．如果两条直线同时与第三条直线垂直，则这两条直线平行解析：选D.类比A的结论为：如果一个平面与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个相交，成立．类比B的结论为：如果一个平面与两个平行平面中的一个垂直，则必与另一个垂直，成立．类比C的结论为：如果两个平面与第三个平面都不相交，则这两个平面不相交，成立．类比D的结论为：如果两个平面同时与第三个平面垂直，则这两个平面平行，不成立．4．《聊斋志异》中有这样一首诗：“挑水砍柴不堪苦，请归但求穿墙术．得诀自诩无所阻，额上坟起终不悟．”在这里，我们称以下形式的等式具有“穿墙术”：223＝223，338＝338，4415＝4415，5524＝5524，….按照以上规律，若88n＝88n具有“穿墙术”，则n＝( )A．7 B．35C ．48D ．63解析：选D.223＝2222－1＝223，338＝3 332－1＝338，4415＝4442－1＝4415，5524＝5 552－1＝5524，…，按照以上规律可得n ＝82－1＝63. 5. 如图，椭圆的中心在坐标原点，F 为其左焦点，当FB →⊥AB →时，椭圆的离心率为5－12，此类椭圆被称为“黄金椭圆”．类比“黄金椭圆”可得“黄金双曲线”的离心率为( )A.5＋12B.5－12C.5－1D.5＋1解析：选A.设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，F (－c ，0)，B (0，b )，A (a ，0)，则FB→＝(c ，b )，AB →＝(－a ，b )．因为FB →⊥AB →，所以FB →·AB →＝－ac ＋b 2＝0.又b 2＝c 2－a 2，所以c 2－ac －a 2＝0，即e 2－e －1＝0，解得e ＝1±52.又e >1，所以e ＝1＋52.故选A. 6．在平面直角坐标系xOy 中，二元一次方程Ax ＋By ＝0(A ，B 不同时为0)表示过原点的直线．类似地，在空间直角坐标系Oxyz 中，三元一次方程Ax ＋By ＋Cz ＝0(A ，B ，C 不同时为0)表示________．解析：由方程的特点可知：平面几何中的直线类比到立体几何中应为平面，“过原点”类比仍为“过原点”，因此应得到：在空间直角坐标系Oxyz 中，三元一次方程Ax ＋By ＋Cz ＝0(A ，B ，C 不同时为0)表示过原点的平面．答案：过原点的平面 7．观察下列等式： 1＋1＝2×1，(2＋1)(2＋2)＝22×1×3，(3＋1)(3＋2)(3＋3)＝23×1×3×5， …照此规律，第n 个等式可为________________________．解析：观察规律可知，左边为n 项的积，最小项和最大项依次为(n ＋1)，(n ＋n )，右边为连续奇数之积乘以2n，则第n 个等式为：(n ＋1)(n ＋2)…(n ＋n )＝2n×1×3×…×(2n －1)．答案：(n ＋1)(n ＋2)…(n ＋n )＝2n×1×3×…×(2n －1) 8．根据图(1)的面积关系：S △PA ′B ′S △PAB ＝PA ′PA ·PB ′PB ，可猜想图(2)有体积关系：V P ­A ′B ′C ′V P ­ABC＝________．解析：题干两图中，与△PAB ，△PA ′B ′相对应的是三棱锥P ­ABC ，P ­A ′B ′C ′；与△PA ′B ′两边PA ′，PB ′相对应的是三棱锥P ­A ′B ′C ′的三条侧棱PA ′，PB ′，PC ′.与△PAB 的两条边PA ，PB 相对应的是三棱锥P ­ABC 的三条侧棱PA ，PB ，PC .由此，类比题图(1)的面积关系，得到题图(2)的体积关系为V P ­A ′B ′C ′V P ­ABC ＝PA ′PA ·PB ′PB ·PC ′PC. 答案：PA ′PA ·PB ′PB ·PC ′PC9．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2·a n (n ≥2)，而a 1＝1，通过计算a 2，a 3，a 4，猜想a n . 解：因为S n ＝n 2·a n (n ≥2)，a 1＝1， 所以S 2＝4·a 2＝a 1＋a 2，a 2＝13＝23×2.S 3＝9a 3＝a 1＋a 2＋a 3，a 3＝a 1＋a 28＝16＝24×3.S 4＝16a 4＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4，a 4＝a 1＋a 2＋a 315＝110＝25×4.所以猜想a n ＝2n （n ＋1）.10．在公比为4的等比数列{b n }中，若T n 是数列{b n }的前n 项积，则有T 20T 10，T 30T 20，T 40T 30也是等比数列，且公比为4100；类比上述结论，相应地在公差为3的等差数列{a n }中，若S n 是{a n }的前n 项和，写出相应的结论，判断该结论是否正确，并加以证明．解：结论：S 20－S 10，S 30－S 20，S 40－S 30也是等差数列且公差为300.此结论是正确的，证明如下：因为数列{a n }的公差d ＝3.所以(S 30－S 20)－(S 20－S 10)＝(a 21＋a 22＋…＋a 30)－(a 11＋a 12＋…＋a 20)＝＝100d ＝300.同理：(S 40－S 30)－(S 30－S 20)＝300，所以S 20－S 10，S 30－S 20，S 40－S 30是等差数列且公差为300.[B 能力提升]11．将正奇数按如图所示的规律排列，则第21行从左向右的第5个数为( ) 1 3 5 79 11 13 15 1719 21 23 25 27 29 31 … A ．809 B ．853 C ．785D ．893解析：选A.前20行共有正奇数1＋3＋5＋…＋39＝202＝400(个)，则第21行从左向右的第5个数是第405个正奇数，所以这个数是2×405－1＝809.12．如图，在等腰直角三角形ABC 中，斜边BC ＝22，过点A 作BC 的垂线，垂足为A 1，过点A 1作AC 的垂线，垂足为A 2；过点A 2作A 1C 的垂线，垂足为A 3；…，以此类推，设BA ＝a 1，AA 1＝a 2，A 1A 2＝a 3，…，A 5A 6＝a 7，则a 7＝________．解析：根据题意易得a 1＝2，a 2＝2，a 3＝1， 所以{a n }构成以a 1＝2，q ＝22的等比数列， 所以a 7＝a 1q 6＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫226＝14.答案：1413．如图所示为m 行m ＋1列的士兵方阵(m ∈N *，m ≥2)．(1)写出一个数列，用它表示当m 分别是2，3，4，5，…时，方阵中士兵的人数； (2)若把(1)中的数列记为{a n }， ①归纳猜想该数列的通项公式； ②求a 10，并说明a 10表示的实际意义；③若a m ＝9 900，求a m 是数列{a n }的第几项，此时的方阵为几行几列．解：(1)当m ＝2时，表示一个2行3列的士兵方阵，共有6人，同理可以得到当m ＝3，4，5，…时的士兵人数分别为12，20，30，…，故所求数列为6，12，20，30，….(2)①因为a 1＝2×3，a 2＝3×4，a 3＝4×5，…， 所以猜想a n ＝(n ＋1)(n ＋2)，n ∈N *. ②a 10＝11×12＝132.a 10表示11行12列的士兵方阵的人数为132.③令(m ＋1)(m ＋2)＝9 900，所以m ＝98，即a m 是数列{a n }的第98项，此时的方阵为99行100列．14．(选做题)某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数： ①sin 213°＋cos 217°－sin 13°cos 17°； ②sin 215°＋cos 215°－sin 15°cos 15°； ③sin 218°＋cos 212°－sin 18°cos 12°； ④sin 2(－18°)＋cos 248°－sin (－18°)cos 48°； ⑤sin 2(－25°)＋cos 255°－sin (－25°)cos 55°. (1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论． 解：(1)选择②式，计算如下：sin 2 15°＋cos 215°－sin 15°cos 15°＝1－12sin 30°＝1－14＝34.(2)三角恒等式为sin 2 α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝34.证明如下：sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝sin 2α＋(cos 30°cos α＋sin 30° sin α)2－sin α(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)＝sin 2 α＋34cos 2 α＋32sin αcos α＋14sin 2 α－32sin αcos α－12sin 2 α＝sin 2α＋34cos 2 α－14sin 2 α＝34sin 2α＋34cos 2 α＝34.。

2.1.1合情推理1、下面使用类比推理正确的是( )A.“若33a b ⋅=⋅,则a b =”类推出“若00a b ⋅=⋅,则a b =”B.“若()a b c ac bc +=+”类推出“()a b c ac bc ⋅=⋅”C.“若()a b c ac bc +=+”类推出“()0a b a b c ccc+=+≠”D.“() nn n ab a b =”类推出“()nn n a b a b +=+”2、观察下列各式：22334455134711a b a b a b a b a b ＋＝，＋＝，＋＝，＋＝，＋＝，…，则1010a b ＋＝（ ）A. 28B. 76C. 123D. 199 3、已知“整数对”按如下规律排成一列:()()()()()()()()()()1,1,1,2,2,1,1,3,2,2,3,1,1,4,2,3,3,2,4,1,,⋯则第60个“整数对”是( ) A.()7,5B.()5,7C.()2,10D.()10,14、设ABC △的三边长分别为,,,a b c ABC △的面积为S ,内切圆半径为r ,则2Sr a b c=++,类比这个结论可知:四面体S ABC -的四个面的面积分别为1234,,,S S S S ,内切球半径为R ,四面体S ABC -的体积为V ,则R 等于( ) A.1234VS S S S +++B.12342VS S S S +++C. 12343VS S S S +++D.12344VS S S S +++5、在平面几何中有如下结论:正三角形ABC 的内切圆面积为1S ,外接圆面积为2S ,则1214S S =,推广到空间可以得到类似结论,已知正四面体P ABC -的内切球体积为1V ,外接球体积为2V ,则12V V =( ) A.164B.127C.19D.186、观察图形规律,在其右下角的空格内画上合适的图形为( )A. B. C. D.7、已知数列{}n b 为等比数列, 52b =,则912392b b b b ⋅⋅=,若数列{}n a 为等差数列,52a =,则数列{}n a 的类似结论为( )A. 912392a a a a ⋅⋅=B. 912392a a a a ++++=C. 123929a a a a ⋅⋅=⨯D. 123929a a a a ++++=⨯8、下列平面图形中与空间的平行六面体作为类比对象较合适的是( ) A.三角形 B.梯形 C.平行四边形 D.矩形9、观察下列事实1x y +=的不同整数解(),x y 的个数为4,2x y +=的不同整数解(),x y 的个数为8?,3x y +=的不同整数解(),x y 的个数为12,则20x y +=的不同整数解(),x y 的个数为( ) A. 76 B. 80 C. 86 D. 9210、下面由火柴棒拼出的一列图形中,第n 个图形由n 个正方形组成.通过观察可以发现第10个图形中火柴棒的根数是( )A. 30B. 31C. 32D. 3411、如图所示,椭圆中心在坐标原点, F 为左焦点, A 为右顶点, B 为上顶点,当FB AB ⊥时,,此类椭圆被称为“黄金椭圆”.类比“黄金椭圆”,可推算出“黄金双曲线”的离心率e 等于_____.12、观察下列等式.11122-= 11111123434-+-=+11111111123456456-+-+-=++……据此规律,第n 个等式可为__________. 13、设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,则4841281612,,,S S S S S S S ---成等差数列。

同学们，你知道人造地球卫星在太空中是怎样运行与工作的吗？你知道人们怎样认识浩瀚无际的宇宙的吗？你看过《福尔摩斯探案集》吗？你了解哥德巴赫猜想吗？你知道考古学家怎样推断遗址的年代，医生怎样诊断病人的疾病，警察怎样破案,气象专家怎样预测天气,数学家怎样论证命题的真伪吗?这一切都离不开推理．而证明的过程更离不开推理．本章我们将学习两种基本推理——合情推理与演绎推理．学习数学证明的基本方法——分析法、综合法、反证法等．要通过本章的学习养成言之有据，证明过程语言条理、逻辑规范的好习惯。

2.1 合情推理与演绎推理2。

1。

1 合情推理Q错误!错误!《内经·针刺篇》记载了这样一个故事:有一个患头痛的樵夫上山砍柴，一次不慎碰破脚趾,出了一点血，但头不疼了．当时他没有注意．后来头疼复发,又偶然碰破同一脚趾,头疼又好了．这次引起了他的注意，以后每次头疼时,他就有意刺破该处,都有效应(这个樵夫碰的地方,即现在所称的“大敦穴"）．现在我们要问,为什么这个樵夫以后头疼时就想到要刺破原脚趾处呢？这里面有怎样的数学知识呢？X错误!错误!1．归纳推理和类比推理归纳推理类比推理定义由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理（简称归纳)由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理(简称类比)特征归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理类比推理是由特殊到特殊的推理2。

合情推理含义归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理．我们把它们统称为合情推理．通俗地说，合情推理是指“合乎情理”的推理过程错误!→错误!→错误!→错误!Y错误!错误!1．(2019·周口期末)下列表述正确的是( A ）①归纳推理是由部分到整体的推理；②归纳推理是由一般到一般的推理;③类比推理是由特殊到一般的推理；④演绎推理是由一般到特殊的推理;⑤类比推理是由特殊到特殊的推理．A．①④⑤B．②③④C．②③⑤D．①⑤［解析] 根据题意，归纳推理,就是由部分到整体的推理．故①对②错；由所谓演绎推理是由一般到特殊的推理．故④对；类比推理是由特殊到特殊的推理．故⑤对③错，则正确的是①④⑤，故选A．2．鲁班发明锯子的思维过程为：带齿的草叶能割破行人的腿，“锯子”能“锯"开木材，它们在功能上是类似的．因此，它们在形状上也应该类似，“锯子”应该是齿形的．该过程体现了（ B ）A．归纳推理B．类比推理C．没有推理D．以上说法都不对[解析] 推理是根据一个或几个已知的判断来确定一个新的判断的思维过程，上述过程是推理，由性质类比可知是类比推理．3．等差数列｛a n｝中，a n>0,公差d〉0，则有a4·a6〉a3·a7，类比上述性质，在等比数列｛b n｝中，若b n>0，q〉1，写出b5，b7,b4，b8的一个不等关系b4＋b8〉b5＋b7.[解析］将乘积与和对应，再注意下标的对应，有b4＋b8>b5＋b7.4．观察下列等式：13＋23＝(1＋2)2,13＋23＋33＝(1＋2＋3）2，13＋23＋33＋43＝(1＋2＋3＋4）2，…，根据上述规律，第四个等式为13＋23＋33＋43＋53＝(1＋2＋3＋4＋5)2.［解析] 由前三个式子可得出如下规律：每个式子等号的左边是从1开始的连续正整数的立方和，且个数依次加1，等号的右边是从1开始的连续正整数和的完全平方,个数也依次加1,因此,第四个等式为13＋23＋33＋43＋53＝（1＋2＋3＋4＋5）2.H错误!错误!命题方向1 ⇨归纳推理典例1 已知下列等式成立：错误!＝错误!，错误!＋错误!＝错误!，错误!＋错误!＋错误!＝错误!，错误!＋错误!＋错误!＋错误!＝错误!，……，试根据以上几个等式，归纳出一个一般性结论，用等式表示，并用数列中的方法加以证明．［思路分析] 分析给出的各个等式左边的项数，各项的分母的取值特点,分析等号右边的结果与项数的关系,从而写出一般性的结果．[解析］从给出的各个等式可以看出：第1个等式左边有1项,右边为错误!，第2个等式左边有2项，右边为错误!，第3个等式左边有3项,右边为错误!，第4个等式左边有4项，右边为错误!，由此可以归纳出的一般性的结论为错误!＋错误!＋错误!＋…＋错误!＝错误!(n∈N*）．以下用数列的方法证明该等式成立．错误!＋错误!＋错误!＋…＋错误!＝错误!＋错误!＋错误!＋…＋错误!＝错误!（错误!－错误!＋错误!－错误!＋错误!－错误!＋…＋错误!－错误!）＝错误!（错误!－错误!）＝错误!。

姓名，年级：时间：第二章推理与证明2．1 合情推理与演绎推理课时作业16 合情推理知识点一归纳推理1。

观察下列不等式：1＋错误!＜错误!，1＋122＋错误!＜错误!，1＋错误!＋错误!＋错误!＜错误!，……照此规律，第五个不等式为( ）A．1＋错误!＋错误!＋错误!＋错误!＜错误!B．1＋错误!＋错误!＋错误!＋错误!＜错误!C．1＋错误!＋错误!＋错误!＋错误!＋错误!＜错误!D．1＋122＋错误!＋错误!＋错误!＋错误!＜错误!答案D解析观察每行不等式的特点，知第五个不等式为1＋错误!＋错误!＋错误!＋错误!＋错误!＜错误!。

2．如图所示，图1是棱长为1的小正方体，图2、图3是由这样的小正方体摆放而成．按照这样的方法继续摆放，自上而下分别叫第1层，第2层，……，第n层，第n层的小正方体的个数记为S n。

解答下列问题：(1)按照要求填表：n1234…S n136…(2)S10＝________答案（1)10 (2)55解析S1＝1，S2＝3＝1＋2，S3＝6＝1＋2＋3,推测S4＝1＋2＋3＋4＝10，S10＝1＋2＋3＋…＋10＝55。

知识点二类比推理3。

在公比为4的等比数列{b n}中，若T n是数列{b n｝的前n项积，则有错误!，错误!，错误!也成等比数列，且公比为4100；类比上述结论,相应地，在公差为3的等差数列{a n}中，若S n是｛a n｝的前n项和．可类比得到的结论是______________________．答案数列S20－S10，S30－S20，S40－S30也是等差数列，且公差为300解析因为等差数列{a n}的公差d＝3,所以（S30－S20）－(S20－S10）＝(a21＋a22＋…＋a30)－(a11＋a12＋…＋a20)＝100d＝300，同理可得：（S40－S30）－(S30－S20)＝300，所以数列S20－S10，S30－S20,S40－S30是等差数列，且公差为300.即结论为：数列S20－S10，S30－S20，S40－S30也是等差数列，且公差为300.4．在Rt△ABC中,AB⊥AC，AD⊥BC于D,求证:错误!＝错误!＋错误!，那么在四面体ABCD中，类比上述结论，你能得到怎样的猜想,并说明理由．解如图①所示，由射影定理得AD2＝BD·DC,AB2＝BD·BC，AC2＝CD·BC，所以错误!＝错误!＝错误!＝错误!。

2.1.1 合情推理课时达标训练1.下面使用类比推理恰当的是( )A.“若a·3=b·3,则a=b”类比出“若a·0=b·0,则a=b”B.“(a+b)c=ac+bc”类比出“(a·b)c=ac·bc”C.“(a+b)c=ac+bc”类比出“=+(c≠0)”D.“(ab)n=a n b n”类比出“(a+b)n=a n+b n”【解析】选C.A项,结论“若a·0=b·0,则a=b”错误,故A项不符合题意;B项,结论“(a·b)c=ac·bc”错误,故B项不符合题意;C项,结论“=+(c≠0)”正确,且推理前后形式类似,是恰当的类比推理,故C项符合题意;D 项,结论“(a+b)n=a n+b n”错误,故D项不符合题意.2.命题“在平行四边形ABCD中,=+”,据此,运用类比推理在平行六面体ABCD-A′B′C′D′中,可得出结论为________.【解析】根据类比推理的原则,平行四边形类比为平行六面体,对角线类比为体对角线,即向量,+可类比成++,故结论为=++.答案:=++3.顺次计算数列:1,1+2+1,1+2+3+2+1,1+2+3+4+3+2+1,…的前4项的值,由此猜测:a n=1+2+3+…+(n-1)+n+(n-1)+…+3+2+1的结果.【解析】1=12,1+2+1=4=22,1+2+3+2+1=9=32,1+2+3+4+3+2+1=16=42.从而猜想:a n=1+2+3+…+(n-1)+n+(n-1)+…+3+2+1=n2.4.如图所示,在三棱锥S-ABC中,SA⊥SB,SB⊥SC,SA⊥SC,且SA,SB,SC和底面ABC所成的角分别为α1,α2,α3,三个侧面△SBC,△SAC,△S AB的面积分别为S1,S2,S3,类比三角形中的正弦定理,给出空间情形的一个猜想.在三棱锥中,各侧面的面积和它所对角α1,α2,α3的正弦的比相等,即==.。

2019-2020年高中数学 2.1.1第1课时 归纳推理练习 新人教A 版选修2-2一、选择题1.观察图形规律，在其右下角的空格内画上合适的图形为( ) A. B ．△ C ．▭ D ．○[答案] A[解析] 观察可发现规律：①每行、每列中，方、圆、三角三种形状均各出现一次，②每行、每列有两阴影一空白，即得结果．2．在数列{a n }中，a 1＝0，a n ＋1＝2a n ＋2，则猜想a n ＝( ) A ．2n －2－12B ．2n －2C ．2n －1＋1 D ．2n ＋1－4[答案] B[解析] ∵a 1＝0＝21－2， ∴a 2＝2a 1＋2＝2＝22－2， a 3＝2a 2＋2＝4＋2＝6＝23－2， a 4＝2a 3＋2＝12＋2＝14＝24－2， ……猜想a n ＝2n －2.故应选B.3．平面内的小圆形按照下图中的规律排列，每个图中的圆的个数构成一个数列{a n }，则下列结论正确的是( )①a 5＝15；②数列{a n }是一个等差数列； ③数列{a n }是一个等比数列；④数列{a n }的递推关系是a n ＝a n －1＋n (n ∈N *)． A ．①②④ B ．①③④ C ．①② D ．①④[答案] D[解析] 由于a 1＝1，a 2＝3，a 3＝6，a 4＝10，所以有a 2－a 1＝2，a 3－a 2＝3，a 4－a 3＝4.因此必有a 5－a 4＝5，即a 5＝15，故①正确．同时④正确，而{a n }显然不是等差数列也不是等比数列，故②③错误，故选D.4．用火柴棒摆“金鱼”，如图所示，按照上面的规律，第n个“金鱼”图需要火柴棒的根数为()A．6n－2 B．8n－2C．6n＋2 D．8n＋2[答案]C[解析]从①②③可以看出，从第②个图开始每个图中的火柴棒都比前一个图中的火柴棒多6根，故火柴棒数成等差数列，第一个图中火柴棒为8根，故可归纳出第n个“金鱼”图需火柴棒的根数为6n＋2.5．图(1)、图(2)、图(3)、图(4)分别包含1、5、13和25个互不重叠的单位正方形，按同样的方式构造图形，则第n个图包含________________个互不重叠的单位正方形．()A．n2－2n＋1 B．2n2－2n＋1C．2n2＋2 D．2n2－n＋1[答案]B[解析]观察题中给出的四个图形，图(1)共有12个正方形，图(2)共有12＋22个正方形；图(3)共有22＋32个正方形；图(4)共有32＋42个正方形；则第n个图中共有(n－1)2＋n2，即2n2－2n＋1个正方形．6．(xx·隆化县存瑞中学高二期中)把正整数按图所示的规律排序，则从xx到xx的箭头方向依次为()[答案]A[解析]∵1和5的位置相同，∴图中排序每四个一组循环，而xx除以4的余数为1，∴xx的位置和1的位置相同，∴xx的位置和2的位置相同，xx的位置和3的位置相同，故选A.[点评] 位置相同的数字都是以4为公差的等差数列，xx ＝4×503＋2，因此xx 的箭头方向应与2的相同．二、填空题 7．观察下列等式： 12＝1， 12－22＝－3， 12－22＋32＝6， 12－22＋32－42＝－10， ……由以上等式推测到一个一般的结论：对于n ∈N *,12－22＋32－42＋…＋(－1)n ＋1n 2＝________________.[答案] (－1)n ＋1n 2＋n2[解析] 注意到第n 个等式的左边有n 项，右边的结果的绝对值恰好等于左边的各项的所有底数的和，即右边的结果的绝对值等于1＋2＋3＋…＋n ＝nn ＋12＝n 2＋n2，注意到右边的结果的符号的规律是：当n 为奇数时，符号为正；当n 为偶数时，符号为负，因此所填的结果是(－1)n ＋1n 2＋n2. 8．(xx·陕西文，13)观察下列等式： (1＋1)＝2×1；(2＋1)(2＋2)＝22×1×3； (3＋1)(3＋2)(3＋3)＝23×1×3×5； ……照此规律，第n 个等式可为______________________________． [答案] (n ＋1)(n ＋2)…(n ＋n )＝2n ×1×3×…×(2n －1)[解析] 观察规律，等号左侧第n 个等式共有n 项相乘，从n ＋1到n ＋n ，等式右端是2n 与等差数列{2n －1}前n 项的乘积，故第n 个等式为(n ＋1)(n ＋2)…(n ＋n )＝2n ×1×3×…×(2n －1)．9．观察下图中各正方形图案，每条边上有n (n ≥2)个圆圈，每个图案中圆圈的总数是S ，按此规律推出S 与n 的关系式为________________．[答案] S ＝4(n －1)(n ≥2)[解析] 每条边上有2个圆圈时共有S ＝4个；每条边上有3个圆圈时，共有S ＝8个；每条边上有4个圆圈时，共有S ＝12个．可见每条边上增加一个点，则S 增加4，∴S 与n 的关系为S ＝4(n －1)(n ≥2)．三、解答题10．证明下列等式，并从中归纳出一个一般性的结论． 2cos π4＝2，2cos π8＝2＋2，2cos π16＝2＋2＋2，……[证明] 2cos π4＝2·22＝2，2cos π8＝21＋cosπ42＝2·1＋222＝2＋2，2cos π16＝21＋cosπ82＝21＋122＋22＝2＋2＋2…观察上述等式可以发现，第n 个等式右端有n 个根号，n 个2，左端“角”的分母为22,23,24，…，故第n 个等式的左端应为2cos π2n ＋1，由此可归纳出一般性的结论为：2cos π2n ＋1＝2＋2＋2＋…n 个根号一、选择题11．(xx·锦州一中高二期中)根据给出的数塔猜测123456×9＋7等于( ) 1×9＋2＝11 12×9＋3＝111 123×9＋4＝1111 1234×9＋5＝11111 12345×9＋6＝111111 ……A ．1111110B ．1111111C ．1111112D ．1111113[答案] B[分析] 根据已知的式子归纳出规律：第n 个等式是从1到n 的自然数构成的n 位数与9相乘加上n ＋1的结果是(n ＋1)个1，即可求出结论．[解析] 由题意得，1×9＋2＝11,12×9＋3＝111,123×9＋4＝1111,1234×9＋5＝11111,12345×9＋6＝111111，可得n 位数与9相乘加上n ＋1的结果是(n ＋1)个1， ∴123456×9＋7＝1111111，故选B.12．观察(x 2)′＝2x ，(x 4)′＝4x 3，(cos x )′＝－sin x ，由归纳推理可得：若定义在R 上的函数f (x )满足f (－x )＝f (x )，记g (x )为f (x )的导函数，则g (－x )＝( )A ．f (x )B ．－f (x )C ．g (x )D ．－g (x )[答案] D[解析] 本题考查了推理证明及函数的奇偶性内容，由例子可看出偶函数求导后都变成了奇函数，∴g (－x )＝－g (x )，选D ，体现了对学生观察能力，概括归纳推理能力的考查． 13．把1、3、6、10、15、21、…这些数叫做三角形数，这是因为这些数目的点子可以排成一个正三角形(如下图)，试求第七个三角形数是( ) A ．27 B ．28 C ．29 D ．30[答案] B[解析] 观察归纳可知第n 个三角形数共有点数：1＋2＋3＋4＋…＋n ＝n n ＋12个，∴第七个三角形数为7×7＋12＝28.14．(xx·隆化县存瑞中学高二期中)观察下列式子：1＋122<32，1＋122＋132<53，1＋122＋132＋142<74，…，根据以上式子可以猜想：1＋122＋132＋…＋120142<( ) A.40252014B ．40262014C.40272014 D ．40282014[答案] C[解析] 本题考查了归纳的思想方法．观察可以发现，第n (n ≥2)个不等式左端有n ＋1项，分子为1，分母依次为12、22、32、…、(n ＋1)2；右端分母为n ＋1，分子成等差数列，首项为3，公差为2，因此第n 个不等式为1＋122＋132＋…＋1n ＋12<2n ＋1n ＋1，所以当n ＝xx 时不等式为： 1＋122＋132＋…＋120142<40272014. 二、填空题15．下面是一系列有机物的结构简图，图中的“小黑点”表示原子，两黑点间的“连线”表示化学键，按图中结构第n 个图有________个原子，有_______个化学键．[答案] 4n ＋2,5n ＋1[解析] 第1、2、3个图形中分别有原子个数为6,6＋4,6＋4×2，故第n 个图形有原子6＋4×(n －1)＝4n ＋2个．第1、2、3个图形中，化学键个数依次为6、6＋5、6＋5×2、… ∴第n 个图形化学键个数为 6＋5×(n －1)＝5n ＋1.16．在△ABC 中，不等式1A ＋1B ＋1C ≥9π成立，在四边形ABCD 中，不等式1A ＋1B ＋1C ＋1D ≥162π成立，在五边形ABCDE 中，不等式1A ＋1B ＋1C ＋1D ＋1E ≥253π成立，猜想在n 边形A 1A 2…A n 中，有不等式_______________成立．[答案] 1A 1＋1A 2＋…＋1A n ≥n 2n －2π(n ≥3)[解析] 根据已知特殊的数值：9π、162π、253π，…，总结归纳出一般性的规律：n 2n －2π(n ≥3)．∴在n 边形A 1A 2…A n 中：1A 1＋1A 2＋…＋1A n ≥n 2n －2π(n ≥3)．三、解答题17．(xx·西宁质检)已知等式sin 210°＋cos 240°＋sin10°cos40°＝34，sin 26°＋cos 236°＋sin6°cos36°＝34.请写出一个具有一般性的等式，使你写出的等式包含已知的等式，并证明结论的正确性．[解析] 等式为sin 2α＋cos 2(30°＋α)＋sin αcos(30°＋α)＝34.证明如下：sin 2α＋cos 2(30°＋α)＋sin αcos(30°＋α) ＝sin 2α＋1＋cos 60°＋2a2＋sin α(cos30°·cos α－sin30°·sin α)＝12＋sin 2α＋cos 60°＋2α2＋34sin2α－12sin 2α＝12＋sin 2α＋12(12cos2α－32sin2α)＋34sin2α－12sin 2α＝12＋sin 2α＋14cos2α－34sin2α＋34sin2α－12sin 2α＝12＋12sin 2α＋14(1－2sin 2α)＝34.18．在一容器内装有浓度为r %的溶液a 升，注入浓度为p %的溶液14a 升，搅匀后再倒出溶液14a 升，这叫一次操作，设第n 次操作后容器内溶液的浓度为b n (每次注入的溶液浓度都是p %)，计算b 1、b 2、b 3，并归纳出b n 的计算公式．[解析] b 1＝a ·r 100＋a 4·p 100a ＋a 4＝1100⎝⎛⎭⎫45r ＋15p ，b 2＝ab 1＋a 4·p 100a ＋a 4＝1100⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫452r ＋15p ＋452p . b 3＝a ·b 2＋a 4·p 100a ＋a 4＝1100⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫453r ＋15p ＋452p ＋4253p ， ∴归纳得b n ＝1100⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫45n r ＋15p ＋452p ＋…＋4n －15n p ..。

选修22 第二章 第2课时1．已知整数的数列如下：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，(1,5)，(2,4)，…则第60个数对是( )A ．(3,8)B ．(4,7)C ．(4,8)D ．(5,7)[答案] D[解析] 观察可知横坐标与纵坐标之和为2的数对有1个，和为3的数对有2个，和为4的数对有3个，和为5的数对有4个，…，依此类推和为n ＋1的数对有n 个，和相同的数对的排序是按照横坐标依次增大的顺序来排的，由n (n ＋1)2＝60⇒n (n ＋1)＝120，n ∈N ，n ＝10时，n (n ＋1)2＝55个数对，还差5个数对，且这5个数对的横、纵坐标之和为12，它们依次是(1,11)，(2,10)，(3,9)，(4,8)，(5,7)，所以第60个数对是(5,7)．2．若数列{a n }是等差数列，b n ＝1n(a 1＋a 2＋…＋a n )，则数列{b n }也是等差数列．类比上述性质，若数列{c n }是各项都为正数的等比数列，则d n ＝________时，数列{d n }也是等比数列．[答案] n c 1·c 2·…·c n[解析] 可类比为d n ＝n c 1·c 2·…·c n ，证明如下：设等比数列{c n }的首项为c 1，公比为q ，则d n ＝n c 1·c 2·…·c n ＝(c 1·c 1q ·…·c 1q n －1)1n＝[c n 1·q (1＋n －1)·(n －1)2]1n ＝c 1·q n －12① d n ＋1＝n ＋1c 1·c 2·…·c n ＋1＝(c 1·c 1q ·…·c 1q n )1n ＋1＝[c n ＋11·q (1＋n )n 2]1n ＋1＝c 1·q n 2 ②由②÷①得d n ＋1d n ＝c 1·q n 2c 1·q n －12＝q 12为常数， 所以数列{d n }也为等比数列．3．可以运用下面的原理解决一些相关图形的面积问题：如果与一固定直线平行的直线被甲、乙两个封闭的图形所截得的线段的比都为k ，那么甲的面积是乙的面积的k 倍．你可以从给出的简单图形①、②中体会这个原理．现在图③中的两个曲线的方程分别是x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)与x 2＋y 2＝a 2，运用上面的原理，图③中椭圆的面积为________．[答案] πab[解析] 由于椭圆与圆截y 轴所得线段之比为b a ，即k ＝b a ，∴椭圆面积S ＝πa 2·b a＝πab . 4．已知命题：平面直角坐标系xOy 中，△ABC 顶点A (－p,0)和C (p,0)，顶点B 在椭圆x 2m2＋y 2n 2＝1(m >n >0，p ＝m 2－n 2)上，椭圆的离心率是e ，则sin A ＋sin C sin B ＝1e，试将该命题类比到双曲线中，给出一个结论．[解析] 平面直角坐标系xOy 中，△ABC 顶点A (－p,0)和C (p,0)，顶点B 在双曲线x 2m 2－y 2n 2＝1(m >0，n >0，p ＝m 2＋n 2)上，双曲线的离心率是e ，则|sin A －sin C |sin B ＝1e.。