江苏省扬州中学2020届高三上学期1月月考试题数学Word版含答案

江苏省扬州中学2022-2023学年度1月月考试题 高三数学 2023.01试卷满分：150分， 考试时间：120分钟一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每题给出的四个选项中，只有一项是最符合题意的.（请将所有选择题答案填到答题卡的指定位置中.）1．已知复数3i z =（i 为虚数单位），则22z z-的共轭复数的模是（ ）A ．1B ．3C ．5D ．72．已知集合(){}{}ln 12,Z 3sin A x x B y y x =+<=∈=，则A B =（ ）A ．{}0,1,2,3B ．{}0,3C ．{}3D ．∅3．设123,,a a a ∈R ，则“123,,a a a 成等比数列”是“()()()2222212231223a a a a a a a a ++=+”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．某中学全体学生参加了数学竞赛，随机抽取了400名学生进行成绩统计，发现抽取的学生的成绩都在50分至100分之间，进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），画出频率分布直方图如图所示，每组数据以组中值（组中值=(区间上限+区间下限)/2）计算），下列说法正确的是（ ）A ．直方图中x 的值为0.035B ．在被抽取的学生中，成绩在区间[)70,80的学生数为30人C ．估计全校学生的平均成绩为83分D ．估计全校学生成绩的样本数据的80%分位数约为95分5．已知π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且tan 32πcos 4αα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin 2α=（ ）A ．13- B ．16 C ．13 D ．236.在平面直角坐标系xOv 中，M 为双曲线224x y -=右支上的一个动点，若点M 到直线20x y -+=的距离大于m 恒成立，则实数m 的最大值为（ ）A. 1B. 2C. 2D. 227．如图是一个由三根细棒PA 、PB 、PC 组成的支架，三根细棒PA 、PB 、PC 两两所成的角都为60︒，一个半径为1的小球放在支架上，则球心O 到点P 的距离是（ ）A ．32 B ．2 C ．3 D ．28．已知函数()f x 及其导函数()f x '的定义域均为R ，且()52f x +是偶函数，记()()g x f x '=，()1g x +也是偶函数，则()2022f '的值为（ ）A ．－2B ．－1C ．0D ．2二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.（请将所有选择题答案填到答题卡的指定位置中.） 9．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为1AA 的中点，则（ ） A ．11//A D 平面BEC B ．1AB ⊥平面BECC ．平面11AA B B ⊥平面BECD ．直线1DD 与平面BEC 所成角的余弦值为5510．已知函数()()2πsin 02f x x ϕϕ⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭的一条对称轴为π3x =，则（ ）A ．()f x 的最小正周期为πB ．()104f =C ．()f x 在π2π,33⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增 D ．π6x f x ⎛⎫≥- ⎪⎝⎭11．已知数列{}n a 中，12a =，()21212n n a a +=++-，则关于数列{}n a 的说法正确的是（ ）A ．25a =B ．数列{}n a 为递增数列C ．221n a n n =+- D ．数列11n a ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和小于3412．已知函数()sin f x x =，()()0g x kx k =>，若()f x 与()g x 图象的公共点个数为n ，且这些公共点的横坐标从小到大依次为1x ，2x ，…，n x ，则下列说法正确的有（ ）A ．若1n =，则1k >B ．若3n =，则33321sin 2x x x =+ C ．若4n =，则1423x x x x +<+ D ．若22023k π=，则2024n =三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.（请将所有填空题答案填到答题卡的指定位置中.）13．已知52212x ax ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式中的各项系数和为243，则其展开式中含2x 项的系数为_____.14．已知()()2,1,3,a b a b a ==--⊥,则a 与b 的夹角为__________．15．已知()()12,0,,0F c F c -为椭圆2222:1x y C a b+=的两个焦点，P 为椭圆C 上一点（P 不在y轴上），12PF F △的重心为G ，内心为M ，且12//GM F F ，则椭圆C 的离心率为___________．16．对于函数()f x 和()g x ，设{|()0}x f x α∈=，{|()0}x g x β∈=，若存在α、β，使得||1αβ-<，则称()f x 与()g x 互为“零点相邻函数”.若函数1()e 2-=+-x f x x 与2()3g x x ax a =--+互为“零点相邻函数”，则实数a 的取值范围为______.四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（请将所有解答题答案填到答题卡的指定位置中.）17．已知数列{}n a 满足，12(1)nn n a a +=+⋅-.(1)若11a =，数列{}2n a 的通项公式； (2)若数列{}n a 为等比数列，求1a .18．记锐角ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，sin sin tan cos cos A CB A C+=+．(1)求B ；(2)求()2a c ab -的取值范围．19．密室逃脱可以因不同的设计思路衍生出不同的主题，从古墓科考到蛮荒探险，从窃取密电到逃脱监笼，玩家可以选择自己喜好的主题场景在规定时间内完成任务，获取奖励．李华参加了一次密室逃脱游戏，他选择了其中一种模式，该游戏共有三关，分别记为A ，B ，C ，他们通过三关的概率依次为：211,,323．若其中某一关不通过，则游戏停止，游戏不通过．只有依次通过A ，B ，C 三道关卡才能顺利通关整个游戏，并拿到最终奖励．现已知参加一次游戏的报名费为150元，最终奖励为400元．为了吸引更多的玩家来挑战该游戏，商家推出了一项补救活动，可以在闯关前付费购买通关币．游戏中，若某关卡不通过，则自动使用一枚通关币通过该关卡进入下一关．购买一枚通关币需另付100元，游戏结束后，剩余的未使用的通关币半价回收．(1)若李华同学购买了一枚通关币，求他通过该游戏的概率． (2)若李华同学购买了两枚通关币，求他最终获得的收益期望值．（收益等于所得奖励减去报名费与购买通关币所需费用）．20．图1是直角梯形ABCD ，AB CD ，90D ∠=，2AB =，3DC =，3AD =，2CE ED =，以BE 为折痕将BCE 折起，使点C 到达1C 的位置，且16AC =，如图2. (1)求点D 到平面1BC E 的距离；(2)若113DP DC =，求二面角P BE A --的大小.21．已知点()1,2Q 是焦点为F 的抛物线C ：()220y px p =>上一点． (1)求抛物线C 的方程；(2)设点P 是该抛物线上一动点，点M ，N 是该抛物线准线上两个不同的点，且PMN 的内切圆方程为221x y +=，求PMN 面积的最小值．22．已知函数()ln f x x ax a =-+，其中R a ∈． (1)讨论函数()f x 的单调性；(2)若()f x 在(]0,1上的最大值为0， ①求a 的取值范围；①若2()31f x kx ax ≤-+恒成立，求正整数k 的最小值．参考答案： 1．C 【详解】因为3i i z ==-，所以22212i 112i i z z -=+=+=+-，所以22z z -的共轭复数为12i -，12i 5-=，所以22z z-52．A 【详解】由()ln 12x +<，可得201e x <+<，则{}21e 1A x x =-<<-∣ 又{}{}Z 3sin 3,2,1,0,1,2,3B y y x =∈==---，所以{}0,1,2,3A B =.3．A 【详解】①若123,,a a a 成等比数列，则2213a a a =⋅，所以()()22221223a a a a ++()()22113133a a a a a a =+⋅⋅+()()113133a a a a a a ⎡⎤⎡⎤=++⎣⎦⎣⎦()21313a a a a =+()22132a a a =+()2132a a a ⎡⎤=+⎣⎦()21223a a a a =+；①若1230a a a ===,满足()()()2222212231223a a a a a a a a ++=+，但是不满足123,,a a a 成等比数列（因为等比数列中不能含有0）“123,,a a a 成等比数列”是“()()()2222212231223a a a a a a a a ++=+”的充分不必要条件， 4．D 【详解】对于A ：根据学生的成绩都在50分到100分之间的频率和为1，可得10⨯(0.005+0.01+0.015+x +0.040)=1，解得x =0.03，故A 错误；对于B ：在被抽取的学生中，成绩在区间[)70,80的学生数为10⨯0.015⨯400=60人， 故B 错误；对于C ：估计全校学生的平均成绩为55⨯0.05+65⨯0.1+75⨯0.15+85⨯0.3+95⨯0.4=84分； 故C 错误.对于D ：全校学生成绩的样本数据的80%分位数约为0.29010950.4+⨯=分. 故D 正确.5．D 【详解】设π4αβ+=，π3π,44β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则π4αβ=-，tan 32πcos 4αα⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 即πtan 3cos 23sin 22βββ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，sin 6sin cos cos ββββ=，sin 0β≠， 故21cos 6β=，22sin 2sin 2cos 212cos 23παβββ⎛⎫=-=-=-= ⎪⎝⎭.6.B 【详解】由点M 到直线20x y -+=的距离大于m 恒成立，可得点M 到直线20x y -+=的最近距离大于m .因为双曲线的渐近线为y x =，则y x =与20x y -+=的距离222d ==即为最近距离，则2m ≤，即max 2m =.7．C 【详解】如图所示，连接,,AB AC BC ，作ABC 所在外接圆圆心1O ，连接1,AO AO ，设PA x =，由PA 、PB 、PC 两两所成的角都为60︒可得AB AC BC x ===，因为1O 为ABC 几何中心，所以132332333AO AB AB x =⋅⋅==，易知对1PAO △和POA ，1,90P P PO A PAO ∠=∠∠=∠=︒，所以1PAO POA △≌△，所以1PA PO AO AO =，即133xPOx =，解得3PO =.故选：C8．C 【详解】因为()52f x +是偶函数，所以(52)(52)f x f x -+=+ ，两边求导得5(52)5(52)f x f x ''--+=+ ，即(52)(52)f x f x ''--+=+，所以(52(52)g x g x +=--+），即()(4)g x g x =--+， 令2x = 可得(2)(2)g g =- ，即(2)0=g ， 因为()1g x +为偶函数，所以(1)(1)g x g x +=-+ ，即()(2)g x g x =-+ ， 所以(4)(2)g x g x --+=-+ ，即()(2)g x g x =-+ ，(4)(2)()g x g x g x ∴+=-+= ，所以4是函数()g x 的一个周期， 所以(2022)(2022)(50542)(2)0f g g g '==⨯+==, 9．ACD10．ABD 【详解】因为函数21cos(22)11()sin ()cos(22)222x f x x x ϕϕϕ-+=+==-++， 因为函数()()2πsin 02f x x ϕϕ⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭的一条对称轴为3x π=，所以π22π,()3k k ϕ⨯+=∈Z ，解得：ππ,()23k k ϕ=-∈Z ， 又因为π02ϕ<<，所以π1,6k ϕ==，则1π1()cos(2)232f x x =-++，对于A ，函数()f x 的最小正周期πT =，故选项A 正确；对于B ，1111(0)2224f =-⨯+=，故选项B 正确；对于C ，因为π2π33x <<，所以π5ππ<2+33x <，因为函数cos y t =-在5π(π,)3上单调递减，故选项C 错误；对于D ，因为π11()cos 2622f x x -=-+，令π11()()cos 2622g x x f x x x =--=+-，当0x ≥时，11()cos 222g x x x =+-，则()1sin 20g x x ='-≥，所以()g x 在[0,)+∞上单调递增，则()(0)0g x g ≥=，也即π()6x f x ≥-，当0x <时，11()cos 222g x x x =-+-，则()1sin 20g x x ='--≤，所以()g x 在(,0)-∞上单调递减，则()(0)0g x g ≥=，也即π()6x f x -≥-，综上可知：6x f x π⎛⎫≥- ⎪⎝⎭恒成立，故选项D 正确，11．BCD 【详解】由)21212n n a a +=+-，得()21221n n a a ++=+1221n n a a +++，又12a =122a +所以{}2n a +是以2为首项，1为公差的等差数列，22(1)11n a n n ++-⨯=+，即221n a n n =+-， 所以27a =，故A 错误，C 正确；()212n a n =+-，所以{}n a 为递增数列，故B 正确；()211111112222n a n n n n n n ⎛⎫===- ⎪++++⎝⎭， 所以数列11n a ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和为11111111111...232435112n n n n ⎛⎫-+-+-++-+- ⎪-++⎝⎭ 1111311131221242124n n n n ⎛⎫⎛⎫=+--=-+< ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭，故D 正确. 12．BCD 【详解】对于A ：当1k =时，令sin y x x =-，则cos 10y x =-≤，即函数sin y x x =-有且仅有一个零点为0，同理易知函数sin y x x =--有且仅有一个零点为0，即()f x 与()g x 也恰有一个公共点，故A 错误； 对于B ：当3n =时，如下图：易知在3x x =，且()3,2x ππ∈，()f x 与()g x 图象相切，由当(),2x ∈ππ时，()sin f x x =-，则()cos f x x '=-，()g x k '=，故333cos sin k x x kx =-⎧⎨-=⎩，从而33tan x x =，所以()222333332333333cos 1tan 1tan 112tan tan tan cos tan sin 2x x x x x x x x x x x +++=+===，故B 正确； 对于C ：当4n =时，如下图：则10x =，42x ππ<<，所以142x x π+<，又()f x 图象关于x π=对称，结合图象有32x x ππ->-，即有32142x x x x π+>>+，故C 正确；对于D ：当22023k π=时，由20232023()122f g ππ⎛⎫== ⎪⎝⎭，()f x 与()g x 的图象在y 轴右侧的前1012个周期中，每个周期均有2个公共点，共有2024个公共点，故D 正确.13．80 14. π415.12【详解】设()()000,0P x y x ≠，由于G 是12PF F △的重心，由重心坐标公式可得00,33x y G ⎛⎫⎪⎝⎭，由于12//GM F F ，所以M 的纵坐标为03M y y =，由于M 是12PF F △的内心，所以12PF F △内切圆的半径为03y r =，由椭圆定义得12212,2PF PF a F F c +==， ()2121210120122111223PF F MF F MF P MPF y SSSSF F y F F PF F P =++⇒⋅=++， ()001222232y c y a c a c e =+⇒=⇒= 16．23a ≤<【详解】因为(1)0f =，且函数1()e 2-=+-x f x x 为单调递增函数，所以1为函数1()e 2-=+-x f x x 的唯一零点， 设函数2()3g x x ax a =--+的零点为b ，又因为函数1()e 2-=+-x f x x 与2()3g x x ax a =--+互为“零点相邻函数”， 所以|1|1b -<，解得02b <<，所以函数2()3g x x ax a =--+在(0,2)上有零点，所以(0)(2)0g g ⋅<或()2022Δ430a a a ⎧<<⎪⎨⎪=--+=⎩或()()()2022Δ4300020a a a g g ⎧<<⎪⎪⎪=--+>⎨⎪>⎪>⎪⎩， 即733a <<或2a =或23a <<，所以23a ≤<. 17．【详解】（1）由题意得()121nn n a a +-=⋅-，所以()()()22212122211n n n n n a a a a a a a a ---=-+-++-+()()()212212121211n n --=⋅-+⋅-++⨯-+211=-+=-.（2）设数列{}n a 的公比为q ，因为()121n n n a a +=+⋅-，所以212a a =-，322a a =+，两式相加得2311a a q a =⋅=，所以1q =±，当1q =时，2112a a a ==-不成立，所以1q =-，2112a a a =-=-，解得11a =.18．【详解】（1）因为sin sin tan cos cos A C B A C +=+，即sin sin sin cos cos cos B A CB A C+=+，所以sin cos sin cos cos sin cos sin B A B C B A B C +=+，即sin cos cos sin cos sin sin cos B A B A B C B C -=-，所以sin()sin()B A C B -=-，因为0πA <<，0πB <<，所以ππB A -<-<，同理得ππC B -<-<， 所以B A C B -=-或()()πB A C B -+-=±（不成立）， 所以2B A C =+，结合πA B C ++=得π3B =．（2）由余弦定理2221cos 22a c b B ac+-==得，222ac a c b =+-，所以222ac a c b -=-，则2222222()1a c a ac a c b c b b b b ---⎛⎫===- ⎪⎝⎭， 由正弦定理得，sin 23sin sin 3cC C bB ==， 因为π3B =，2π3A C +=，π02A <<，π02C <<，所以ππ62C <<，1sin 12C <<，所以32333c b ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭，，2()2133a c a b -⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，． 19.【详解】（1）由题意可知：这一枚通关币的使用情况有四种： ①在第一关使用；①在第二关使用；①在第三关使用；①没有使用.而通过三关的概率依次为：211,,323，则李华通过该游戏的概率11121121221113233233233232P =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=．（2）购买两枚通关币的费用为200元，报名费为150元，则收益可能为：1400(150200100)150x =-+-=（未使用通关币过关）， 2400(15020050)100x =-+-=（使用1枚通关币且过关）， 3400(15020050）x =-+=（使用2枚通关币且过关）， 4(150200350）x =-+=-（使用2枚通关币且未过关），则12111(150)3239p x ==⨯⨯=2117(100)2918p x ==-=31111122127(50)32332332318p x ==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=41121(350)3239p x =-=⨯⨯=则17()150100918E x =⨯+⨯13255035018997+⨯-⨯=. 所以他最终获得的收益期望值是3259元.20【详解】（1）解：如图所示： 连接AC ，交BE 于F ，因为90D ∠=，2AB =，3DC =，3AD =，2CE ED =，所以AE =2，又AB CD ，所以四边形ABCE 是菱形， 所以AC BE ⊥，在ACD 中，2223AC AD CD =+=，所以3AF CF ==，又16AC =，则2221AC AF CF =+， 所以1C F AF ⊥，又AF BE F ⋂=， 所以1C F ⊥平面ABED ，设点D 到平面1BC E 的距离为h ，因为1113233,13222C BE DBESS =⨯⨯==⨯⨯=，且11C DBE D C BE V V --=， 所以111133C BE DBE h S C F S ⨯⨯=⨯⨯，解得32h =；（2）由（1）建立如图所示空间直角坐标系：则()()()()133,,0,0,0,3,0,1,0,0,1,0,3,0,022D C B E A ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭， 所以()()3,1,0,0,2,0BA BE =-=-，因为113DP DC =，所以133,2,3133BP BD BD DP DC ⎛⎫=++=- ⎪ ⎪=⎝⎭， 设平面BEP 的一个法向量为(),,m x y z =， 则00m BE m BP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即20332033y x y z -=⎧⎪⎨-+=⎪⎩， 令1x =，得()1,0,1m =-，易知平面BEA 的一个法向量为()0,0,1n =， 所以2cos ,2m n m n m n⋅==-⋅，则3,4m n π=， 易知二面角P BE A --的平面角是锐角， 所以二面角P BE A --的大小为4π. 21.【详解】（1）因为点()1,2Q 是抛物线C ：()220y px p =>上一点， 所以42p =，解得：2p =， 所以24y x =.（2）设点()00,P x y ，点()1,M m -，点()1,N n -，直线PM 方程为：()0011y my m x x --=++，化简得()()()()0000110y m x x y y m m x --++-++=．PMN 的内切圆方程为221x y +=，∴圆心()0,0到直线PM 的距离为1，即()()()002200111y m m x y m x -++=-++．故()()()()()()222220000001211y m x y m m y m x m x -++=-+-+++．易知01x >，上式化简得，()()20001210x m y m x -+-+=．同理有()()20001210x n y n x -+-+=，∴m ，n 是关于t 的方程()()20001210x t y t x -+-+=的两根．∴0021y m n x -+=-，()0011x mn x -+=-．∴()()()()222200200414411x y MN m n m n mnx x +=-=+-=+--．2004y x =，∴()20000220004116412(1)1(1)x x x x MN x x x ++-=+---点(00,P x y 到直线=1x -的距离为01d x =+，所以PMN 面积为()())()()()22200000022004114111212211xx x x x S MN d xx x +-++-=⋅=⨯+=-- 令()010x t t -=>，则()()22222444640161032tt t tS t t t t t++++==++++ 因为2222161628t t t t +≥⋅，4040101040t t t t+≥⋅=， 当且仅当2t =取等，所以840325S ≥++= 故PMN 面积的最小值为4522.【详解】（1）()'1f x a x =- ，若0a ≤ ，则有()'0f x ＞ ，()f x 单调递增；若0a ＞ ，()'11a x a f x a x x⎛⎫- ⎪⎝⎭=-= ，当10x a＜＜ 时，()'0f x ＞ ，()f x 单调递增， 当1x a ＞ 时，()'0f x ＜ ，()f x 单调递减；（2）①由（1）的讨论可知，当0a ≤ 时，()f x 单调递增，在(]0,1x ∈ ，()()max 10f x f == ，满足题意； 当11a≥ 时，在(]0,1x ∈ ，()()max 10f x f ==，满足题意； 当101a ＜＜ 时，即1a ＞，在(]0,1x ∈，()max 11ln 1ln 1f x f a a a a a ⎛⎫==-+=-- ⎪⎝⎭， 令()ln 1g x x x =-- ，则()'111x g x x x-=-= ，当1x ＞时，()'g x ＞0 ，()g x 单调递增， ()()10g x g ∴=＞ ，即ln 10a a --＞ ，不满足题意； 综上，a 的取值范围是1a ≤ ；①由题意，1k ≥ ，2ln 31x ax a kx ax -+≤-+ ，即()2ln 121kx x a x -+≥+ ，考虑直线()21y a x =+ 的极端情况a =1，则2ln 2kx x x ≥+ ，即2ln 2x x k x +≥ ，令()2ln 2x x h x x += ，()'3122ln x x h x x --= ，显然()122ln k x x x =-- 是减函数， 333222471033e e e k ⎛⎫== ，44302e e k = ，①存在唯一的0432e ex ⎛⎫∈ 使得()'00h x = ，当0x x ＞ 时，()'h x ＜0 ，当0x x ＜ 时，()'h x ＞0 ，00122ln 0x x --= ，()()002max 012x h x h x x +== ，()max 432e e h h x h ⎛⎫∴＜＜ ， 即()max 24h x ＜＜ ，故k 的最小值可能是3或4，验算23ln 20x x x --≥ ， 由于ln 1≤-x x ，223ln 2331x x x x x ∴--≥-+ ，23340∆=-⨯＜ ， 223ln 23310x x x x x ∴--≥-+＞ ，满足题意； 综上，a 的取值范围是1a ≤ ，k 的最小值是3.。

江苏省扬州中学2024届高三年级阶段性检测数学 2024.1.15一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合{}52A x x =-<<，{}33B x x =+<，则A B ⋃=（ ）A. ()5,0- B. ()6,2- C.()6,0- D. ()5,2-2. (2＋3i)(2－3i)＝A.5B. －1C. 1D.73. 已知向量()()1,2,3,1a b == ，则a 在a b +上的投影向量为（）A.B. C.24,55⎛⎫⎪⎝⎭ D. 86,55⎛⎫ ⎪⎝⎭4. 已知函数()1,0sgn 0,01,0x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩，则“()()sgn ln sgn 11x x ⨯+=”是“1x >”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件5. 已知()()6221x x a x ++-展开式中各项系数之和为3，则展开式中x 的系数为（）A. 10- B. 11- C. 13- D. 15-6. 刍薨是《九章算术》中出现的一种几何体，如图所示，其底面ABCD 为矩形，顶棱PQ 和底面平行，书中描述了刍薨的体积计算方法：求积术曰，倍下袤，上袤从之，以广乘之，又以高乘之，六而一，即()126V AB PQ BC h =+⋅（其中h 是刍薨的高，即顶棱PQ 到底面ABCD 的距离），已知24,AB BC PAD ==△和QBC △均为等边三角形，若二面角P AD B --和Q BC A --的大小均为150︒，则该刍薨的体积为（ ）A.B.C.D. 7．已知抛物线24y x =的焦点为F ，(1,0)A -，点P 是抛物线上的动点，则当PFPA的值最小时，PF =（ ）A. 1B. 2C. D. 48. 已知函数()πsin (0)3f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在区间π,π2⎛⎫ ⎪⎝⎭内不存在最值，且在区间ππ,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦上，满足()f x ≥恒成立，则ω的取值范围是（ ）A. 1250,,336⎛⎤⎡⎤ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦ B. 120,,133⎛⎤⎡⎤⋃ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦C.1150,,636⎛⎤⎡⎤ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦ D. 110,,163⎛⎤⎡⎤⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 对于下列概率统计相关知识，说法正确的是（ ）A. 数据1，2，3，4，5，6，8，9，11第75百分位数是7B. 若事件M ，N 的概率满足()()0,1P M ∈，()()0,1P N ∈且M ，N 相互独立，则()()1P N M P N +=C. 由两个分类变量X ，Y 的成对样本数据计算得到28.612χ=，依据0.001α=的独立性检验()0.00110.828x =，可判断X ，Y 独立D. 若一组样本数据()(),1,2,,i i x y i n = 的对应样本点都在直线47y x =-+上，则这组样本数据的相关系数为1-10. 已知圆O ：224x y +=，过直线l ：60x y +-=上一点P 作圆O 的两条切线，切点分别为A ，B ，则（ ）A. 若点P 的坐标为(1,5)，则PA = B. PAO面积的最小值为C. 直线AB 过定点22,33⎛⎫⎪⎝⎭D. 4AB ⎫∈⎪⎪⎭11. 已知()()2log ,2xf x x xg x x =+=+，若()()2f a g b ==，则（ ）A. 2b a = B. 2a b += C. 1a b ->D.324ab <<-12. 如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点P 在侧面11AA D D 内运动（包括边界），Q 为棱DC 中点，则下列说法正确的有（ ）A. 存在点P 满足平面//PBD 平面11B D CB. 当P 为线段1DA 中点时，三棱锥111P A B D -的外接球体积为C. 若()101DP DA λλ=≤≤ ，则PQ PB -最小值为32D. 若QPD BPA ∠∠=，则点P 的轨迹长为2π9三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知1sin cos 5αα+=-，()0,πα∈，则tan α=__________.14.数列{}n a 满足11a =，且()22*113202,n n n n a a a a n n ---+=≥∈N ，则该数列前5项和可能是___________(填一个值即可）15. 请写出一个同时满足下列两个条件的函数：()f x =__________.①()()2f x f x x ⋅-=-；②函数()f x y x=在()0,∞+上单调递增.16．已知双曲线C ：2213y x -=的左、右焦点分别为1F ，2F ，右顶点为E ，过2F 的直线交双曲线C 的右支于A ，B 两点（其中点A 在第一象限内），设M ，N 分别为12AF F △，12BF F △的内心，则当1F A AB ⊥时，1AF =____________；1ABF 内切圆的半径为____________.的四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知数列{}n a 前n 项和为n S ，且满足__________.①*n ∀∈N ，均有0n a >且()214n n a S +=，②首项11a =，*,m n ∀∈N 均有22m n n S S mn m +=++；从条件①和②中选一个填到题目条件下划线上（若两个都填，以第一个为准），并回答下面问题：（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求数列{}2na na⋅前n 项和n T 的表达式.18. 如图，在四棱锥P ABCD -中，,,22AB CD AB BC AB BC CD PD PC ⊥====∥，设,,E F M 分列为棱,,AB PC CD 的中点．（1）证明：//EF 平面PAM ；（2）若PA PM =，求EF 与平面PCD 所成角的正弦值．19. 如图，在ABC 中，BAC ∠，点P 在边BC 上，且,2AP AB AP ⊥=．（1）若PC =，求PB ﹔（2）求ABC 面积的最小值．20．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>，斜率为2的直线l 与x 轴交于点M ，l 与C 交于A ，B 两点，D 是A 关于y 轴的对称点．当M 与原点O 重合时，ABD △面积为169．（1）求C 的方程；（2）当M 异于O 点时，记直线BD 与y 轴交于点N ，求OMN 周长的最小值．21. 杭州亚运会的三个吉祥物是琮琮、宸宸和莲莲，他们分别代表了世界遗产良渚古城遗址、京杭大运河和西湖，分别展现了不屈不挠、坚强刚毅的拼搏精神，海纳百川的时代精神和精致和谐的人文精神。

江苏省扬州市新华中学2020-2021学年高三上学期第一次月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．设集合{}16U x Z x =∈<<，{}3,5A =，{}2340B x x x =--<，则()U A B =（ ）A ．{}2,4,5B ．{}2,3,4,5C ．{}2,4D ．{}2,3,4,6 2．若函数()1313log f x x x =+，则()27f =（ ）A ．2B ．1C ．-1D ．03．函数ππln cos 22y x x ⎛⎫=-<< ⎪⎝⎭的图象是( ) A ． B ．C ．D ．4．2021年6月25日是中国的传统佳节“端午节”，这天人们会悬菖蒲，吃粽子，赛龙舟，喝雄黄酒．现有7个粽子，其中三个是腊肉馅，四个是豆沙馅，小明随机取两个，事件A 为“取到的两个为同一种馅”，事件B 为“取到的两个都是豆沙馅”，则()P B A =（ ） A ．12 B ．23C ．34D ．45 5．已知函数()()2ln 1f x x ax =-+-在[]2,3上单调递减，则a 的取值范围是（ ）A ．(],4-∞B ．[)6,+∞C ．10,43⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．10,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦6．已知1sin 35πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin 26πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ） A ．225- B ．2325- C ．225 D ．23257．已知函数()ln f x x x =-，()f x 的图像在点P 处的切线1l 与y 轴交于点A ，过点P 与y 轴垂直的直线2l 与y 轴交于点B ，则线段AB 中点M 的纵坐标的最大值是（ ） A ．12e - B ．1e - C ．2ln 23- D ．3ln 22- 8．已知偶函数()f x 满足(3)(3)f x f x +=-，且当[0,3]x ∈时，2()xf x xe-=，若关于x 的不等式2()()0f x tf x ->在[150,150]-上有且只有150个整数解，则实数t 的取值范围是（ ）A ．120,e -⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．1322,3e e --⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．3123,2e e --⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．112,2e e --⎡⎫⎪⎢⎣⎭二、多选题 9．关于函数()sin f x x x =+，下列说法正确的是（ ）A ．()f x 是奇函数B ．()f x 是周期函数C ．()f x 有零点D ．()f x 在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增 10．函数()sin()0,0,||2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>><⎪⎝⎭的部分图像如图所示，将函数()f x 的图像向左平移3π个单位长度后得到()y g x =的图像，则下列说法正确的是（ ）A ．函数()g x 为奇函数B ．函数()g x 的最小正周期为πC ．函数()g x 的图像的对称轴为直线()6x k k ππ=+∈ZD ．函数()g x 的单调递增区间为5,()1212k k k ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦Z 11．太极图被称为“中华第一图”，闪烁着中华文明进程的光辉，它是由黑白两个鱼形纹组成的图案，俗称阴阳鱼，太极图展现了一种相互转化，相对统一的和谐美.定义：能够将圆O 的周长和面积同时等分成两个部分的函数称为圆O 的一个“太极函数”，设圆O ：221x y +=，则下列说法中正确的是( )A ．函数3y x =是圆O 的一个太极函数B ．圆O 的所有非常数函数的太极函数都不能为偶函数C ．函数sin y x =是圆O 的一个太极函数D ．函数()f x 的图象关于原点对称是()f x 为圆O 的太极函数的充要条件12．对于函数()2ln x f x x =，下列说法正确的是（ ）A ．()f x 在x =12eB ．()f x 有两个不同的零点C ．f f f <<D ．若()21f x k x <-在()0,∞+恒成立，则2e k >三、填空题13．已知函数3()3=+++c f x ax bx x，若()4f t =，则()f t -=________. 14．设(),0ln ,0x e x g x x x ⎧≤=⎨>⎩，则12g g ⎡⎤⎛⎫= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦___________. 15．函数()f x 的导函数为()'f x ，对任意x ∈R ，都有()()f x f x '>成立，若()ln 22f =，则满足不等式()x f x e >的x 的范围是___________.16．已知正数a ，b 满足2a b +=，则2238a b ⎛⎫⎛⎫++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的最小值为__________．四、解答题17．记函数()2()lg 1f x ax=-的定义域、值域分别为集合A ，B . （1）当1a =时，求A B ；（2）若“x A ∈”是“x B ∈”的必要不充分条件，求实数a 的取值范围.18．设函数()213f x x a x =++--.（1）当4a =时,求不等式()6f x ≤的解集；（2）若关于x 的不等式()2f x ≥恒成立，求实数a 的取值范围．19．已知函数()21cos 2cos f x x x x m =--+在R 上的最大值为3.（1）求m 的值及函数()f x 的单调递增区间；（2）若锐角ABC 中角A 、B 、C 所对边分别为a 、b 、c ，且()0f A =，求sin sin B C的取值范围.20．如图，已知多面体ABCDE 中，AB ⊥平面ACD ，//AB DE ，△ACD 是等边三角形，且AD=DE=2AB ，F 为CD 的中点.（1）求证：AF //平面BCE ；（2）求直线BF 与平面BCE 所成角的正弦值.21．携号转网，也称作号码携带、移机不改号，即无需改变自己的手机号码，就能转换运营商，并享受其提供的各种服务．2021年11月27日，工信部宣布携号转网在全国范围正式启动．某运营商为提质量保客户，从运营系统中选出300名客户，对业务水平和服务水平的评价进行统计，其中业务水平的满意率为1315，服务水平的满意率为23，对业务水平和服务水平都满意的客户有180人．（Ⅰ）完成下面22⨯列联表，并分析是否有97.5%的把握认为业务水平与服务水平有关；（Ⅱ）为进一步提高服务质量，在选出的对服务水平不满意的客户中，抽取2名征求改进意见，用X 表示对业务水平不满意的人数，求X 的分布列与期望；（Ⅲ）若用频率代替概率，假定在业务服务协议终止时，对业务水平和服务水平两项都满意的客户流失率为5%，只对其中一项不满意的客户流失率为34%，对两项都不满意的客户流失率为85%，从该运营系统中任选4名客户，则在业务服务协议终止时至少有2名客户流失的概率为多少？附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，n a b c d =+++．22．已知函数()()()[]321,12.0,12x x f x x eg x ax xcosx x -=+=+++∈当时， （I ）求证()11;1x f x x-≤≤+ （II ）若()()f x g x ≥恒成立，a 求实数的取值范围.参考答案1．A【分析】求出集合U 、B ，利用交集和补集的定义可求得集合()U A B .【详解】 {}{}162,3,4,5U x Z x =∈<<=，{}{}234014B x x x x x =--<=-<<，{}3,5A =，所以，{}3A B ⋂=，因此，(){}2,4,5U A B =. 故选：A.【点睛】本题考查交集和补集的混合运算，同时也考查了一元二次不等式的求解，考查计算能力，属于基础题.2．D【分析】根据指数与对数的运算性质即可求解.【详解】由()1313log f x x x =+，则()13132727log 27330f =+=-=.故选：D【点睛】本题考查了指数与对数的运算性质，考查了基本运算求解能力，属于基础题.3．A【详解】试题分析：由偶函数排除B 、D,排除C.故选A.考点：函数的图象与性质．4．B【分析】利用条件概率的计算公式即可求解.【详解】()()()24223423n AB C P B A n A C C ===+． 故选：B【点睛】本小题以中国传统节日为背景，考查条件概率等基础知识，考查逻辑思维能力、运算求解能力，考查统计与概率思想，考查数学建模、数学运算等核心素养，体现基础性和应用性． 5．C【分析】根据复合函数的单调性法则“同增异减”求解即可.【详解】解：由于函数()()2ln 1f x x ax =-+-在[]2,3上单调递减，ln y x =在定义域内是增函数， 所以根据复合函数的单调性法则“同增异减”得：21y x ax =-+-在[]2,3上单调递减，且0y >， 所以22a ≤且9310a -+->，解得：1043a <≤. 故a 的取值范围是10,43⎛⎤⎥⎝⎦ 故选：C.【点睛】本题考查根据对数型复合函数单调性求参数问题，是中档题.6．D【分析】利用诱导公式及二倍角余弦公式求值即可.【详解】22223sin 2sin 2cos 212sin 6323325πππππθθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=-=--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭．故选：D【点睛】本题考查了诱导公式、倍角余弦公式转化函数式，结合已知函数值求值，属于简单题. 7．D【解析】设点0000(,ln )(0)P x x x x ->，∵()ln f x x x =-，∴()111x f x x x-'=-=， ∴()0001x f x x ='-， ∴切线1l 的方程为000001(ln )()x y x x x x x ---=-， 令0x =，得0ln 1y x =-，故0(0,ln 1)A x -，又点00(0,ln )B x x -，∴线段AB 中点M 的纵坐标0000011[(ln 1)(ln )](2ln 1)22t x x x x x =-+-=--， 设1()(2ln 1)(0)2g x x x x =-->， 则122()(1)22x g x x x--='=， 故当02x <<时，()0,()'>g x g x 单调递增；当2x >时，()0,()g x g x '<单调递减． ∴min 13()(2)(2ln 23)ln 222g x g ==-=-．选D ． 8．B【分析】利用导函数讨论当时的单调性，结合对称性周期性数形结合求解.【详解】当[0,3]x ∈时，2()xf x xe =，22211122()x x x f x e e e x x ---⎛⎫-=- ⎪⎝⎭'=， 当(2,3]x ∈时，()0f x '<，当[0,2)x ∈时，()0f x '>，所以函数()f x 在(2,3]x ∈单调递减，在2(]0,x ∈单调递增，(0)0f =，32(3)30f e -=>，又(3)(3)f x f x +=-，函数()f x 关于3x =对称，且是偶函数，所以()()f x f x =-，所以(3)(3)(3)f x f x f x +=-=-，所以函数周期6T =，关于x 的不等式2()()0f x tf x ->在[150,150]-上有且只有150个整数解，即()f x t >在[150,150]-上有且只有150个整数解，所以每个周期内恰有三个整数解结合草图可得：1322,3t e e --⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭.故选：B.【点睛】此题考查函数单调性与周期性的综合应用，利用导函数讨论函数单调性，结合图象处理整数解问题.9．ACD【分析】根据题意，求得()f x 的定义域为R ，根据定义法判断函数的奇偶性，求得()()sin f x x x f x -=--=-，即可判断A 选项；根据周期的定义，即可判断B 选项；由()00sin00f =+=，可知()f x 有零点，即可判断C 选项；利用导数研究函数的单调性，求导得出()1cos 0f x x '=+≥在R 上恒成立，可知()f x 在R 上单调递增，即可判断D 选项，从而得出答案.【详解】解：由题可知，函数()f x 的定义域为R ，而()()sin f x x x f x -=--=-，则()f x 为奇函数，故A 正确； 根据周期的定义，可知()f x 一定不是周期函数，故B 错误； 因为()00sin00f =+=，所以()f x 有零点，故C 正确； 对()f x 求导，得()1cos 0f x x '=+≥在R 上恒成立， 故()f x 在(),-∞+∞上单调递增，故D 正确． 故选：ACD . 【点睛】本题考查函数的性质，利用定义法判断函数的奇偶性和周期性，还涉及函数的零点以及利用导数研究函数的单调性． 10．BD 【分析】根据图象得到函数()f x 解析式，将函数()f x 的图象向左平移3π个单位长度后得到()y g x =的图象，可得()y g x =解析式，分别根据正弦函数的奇偶性、单调性、周期性与对称性，对选项中的结论判断，从而可得结论. 【详解】 由图象可知3A =，33253441234ππππω⎛⎫=⋅=--= ⎪⎝⎭T ， ∴2ω=，则()3sin(2)f x x ϕ=+.将点5,312π⎛⎫ ⎪⎝⎭的坐标代入()3sin(2)f x x ϕ=+中，整理得5sin 2112πϕ⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭， ∴522,Z 122k k ππϕπ⨯+=+∈，即2,Z 3k k πϕπ=-∈.||2ϕπ<，∴3πϕ=-，∴()3sin 23f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭. ∵将函数()f x 的图象向左平移3π个单位长度后得到()y g x =的图象，∴()3sin 23sin 2,333πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-=+∈ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦g x x x x R . ∴()g x 既不是奇函数也不是偶函数，故A 错误； ∴()g x 的最小正周期22T ππ==，故B 正确. 令2,32x k k πππ+=+∈Z ，解得,122k x k ππ=+∈Z .则函数()g x 图像的对称轴为直线,122k x k ππ=+∈Z .故C 错误； 由222,232k x k k πππππ-++∈Z ，可得5,1212k x k k ππππ-+∈Z ，∴函数()g x 的单调递增区间为5,,1212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦.故D 正确. 故选：BD. 【点睛】本题主要考查三角函数的图象与性质，考查了正弦函数的奇偶性、单调性、周期性与对称性，属于综合题. 11．AC 【分析】根据题中所给的定义对四个选项逐一判断即可. 【详解】选项A ：因为33()()()f x x x f x -=-=-=-，所以函数3y x =是奇函数，它的图象关于原点对称，如下图所示：所以函数3y x =是圆O 的一个太极函数，故本说法正确；选项B ：如下图所示：函数()y g x =是偶函数，()y g x =也是圆O 的一个太极函数，故本说法不正确；选项C ：因为sin y x =是奇函数，所以它的图象关于原点对称，而圆221x y +=也关于原 点对称，如下图所示：因此函数sin y x =是圆O 的一个太极函数，故本说法是正确的；选项D ：根据选项B 的分析，圆O 的太极函数可以是偶函数不一定关于原点对称，故本说法不正确.故选：AC 【点睛】本题考查了数学阅读能力，考查了函数对称性的应用和圆的对称性的应用，属于中档题. 12．ACD 【分析】对选项A ，求出函数的单调区间，再求出极大值即可判断A 正确，对选项B ，利用函数的单调性和最值即可判断B 错误，对选项C ，首先利用函数的单调性即可得到f f <，再构造函数()ln xg x x=，利用()g x的单调性即可得到f f <，最后即可判断C 正确，对选项D ，转化为2ln 1x k x +>在在()0,∞+恒成立，构造函数()2ln 1x h x x +=，求出最大值即可判断D 正确. 【详解】对选项A ，()24312ln 12ln x x xx x f x x x ⋅-⋅-'==，0x >. 令()0f x '=，x =(x ∈，()0f x '>，()f x 为增函数，)x ∈+∞，()0f x '<，()f x 为减函数.所以x =12fe =，故A 正确.对选项B ，当0x →时，()f x →-∞，当1x =时，()0f x =， 当1x >时，()0f x >，又因为()max 12f x e=>0， 所以()f x 只有一个零点，故B 错误. 对选项C ，因为()f x在区间)+∞<<，所以ff <.1ln 21ln 422224f==⋅=⋅，ln 1ln 2f πππ==⋅.设()ln x g x x =，()21ln xg x x -'=. 令()0g x '=，x e =.所以(),x e ∈+∞时，()0g x '<，()g x 为减函数. 又因为4e π<<，所以()()4g g π>，1ln 1ln 4224ππ⋅>⋅.即ff <，所以f f f <<，故C 正确.对选项D ，()221ln 1x f x k k x x+<-⇔>在在()0,∞+恒成立. 设()2ln 1x h x x +=，()312ln xh x x+'=-，令()0h x '=，x =当x⎛∈ ⎝，()0h x '>，()h x 为增函数， 当x⎫∈+∞⎪⎭，()0h x '<，()h x 为减函数. 所以()max 2e h x h ==，即2ek >，故D 正确. 故答案为：ACD 【点睛】本题主要考查了利用导数求函数的单调区间，极值和最值，同时考查了利用导数研究函数的零点问题，属于中档题. 13．2 【分析】得出()()6f x f x +-=即可 【详解】因为3()3cf x ax bx x--=--+ 所以()()6f x f x +-=即()()6f t f t +-=，因为()4f t =，所以()2f t -= 故答案为：2 【点睛】若()f x 是奇函数，则()()g x f x a =+的图象关于()0,a 对称，满足()()2g x g x a -+=. 14．12【分析】根据指数与对数的运算性质以及分段函数求函数值即可求解. 【详解】由(),0ln ,0x e x g x x x ⎧≤=⎨>⎩，则()()1ln 2ln 211ln 222g g g e e --⎡⎤⎛⎫=-===⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦. 故答案为：12【点睛】本题考查了对数的运算性质以及分段函数求函数值，考查了基本运算求解能力，属于基础题. 15．()ln 2,+∞ 【分析】 构造函数()()x f x g x e=，利用导数判断出函数的单调性，根据函数的单调性即可求解. 【详解】x R ∴∀∈，都有()()f x f x '>成立，()()0f x f x '∴->，令()()xf xg x e=，则()()ln 2ln 2ln 21f g e ==， ()()()()()()20x xxx f x e f x e f x f x g x e e ''--'==>，则()g x 在R 上单调递增，不等式()xf x e >，则()1xf x e >， 即()()ln 2g x g >，ln 2x ∴>. 故答案为：()ln 2,+∞. 【点睛】本题考查了构造函数判断函数的单调性，考查了基本知识的掌握情况，属于中档题. 16．49 【分析】根据正数a ，b 满足2a b +=，由223849⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=++ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭b a a b a b ，利用基本不等式求解. 【详解】因为正数a ，b 满足2a b +=，所以229438493749b a b a a b a b a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=++=++ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 当且仅当64,55a b ==时，等号成立． 故答案为：49 【点睛】本题主要考查基本不等式的应用，属于基础题. 17．（1）(1,0]-；（2）(,0]-∞． 【分析】（1）由对数函数的定义域和值域求得集合A ，B .根据集合的交集运算可得答案； （2）由已知条件可得B 是A 的真子集，从而可求得a 的取值范围． 【详解】（1）1a =时，()2()lg 1f x x=-，由210x->得11x -<<，即(1,1)A =-，由2011x <-≤得(,0]B =-∞， ∴(1,0]AB =-；（2）“x A ∈”是“x B ∈”的必要不充分条件，则B 是A 的真子集，若0a >， 则由210ax ->得x <<(A =，与（1）类似得(,0]B =-∞，不合题意，若0a =，则()lg10f x ==，即,{0}A R B ==，满足题意， 若0a <，则211ax -≥，A R =，[0,)B =+∞，满足题意． 综上a 的取值范围是(,0]-∞． 【点睛】本题考查对数函数的值域和定义域，以及集合间的交集运算，充分必要条件，属于基础题. 18．(1) [4,2]- (2) (,12][8,)-∞-⋃+∞ 【分析】（1）把4a =代入，利用分类讨论法去掉绝对值求解；（2）先求()f x 的最小值，然后利用这个最小值不小于2可得实数a 的取值范围． 【详解】解：（1）当4a =时，不等式()6f x 化为2|2||1|9x x ++-当2x -时，不等式为2(2)19x x -+-+，即4x ≥-，有42x -≤-； 当21x -<<时，不等式为2(2)19x x +-+，即4x ，有21x -<<； 当1≥x 时，不等式为2(2)19x x ++-，即2x ，有12x ≤； 综上所述，当4a =时，求不等式()6f x ≤的解集为[4,2]-.（2）()|2||1|32f x x a x =++--，即()|2||1|5g x x a x =++-. 当2a =-时，()3|1|5g x x =-≥不恒成立；当2a <-时，31,1,()1,1,231,,2x a x a g x x a x a x a x ⎧⎪-+-<⎪⎪=---≤-⎨⎪⎪+->-⎪⎩，有min ()1522a a g x g ⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭，即12a -. 当2a >-时，31,,2()1,1,231,1,a x a x a g x x a x x a x ⎧-+-<-⎪⎪⎪=++-≤≤⎨⎪+->⎪⎪⎩有()min 1522a ag x g ⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭，即8a . 综上所述，a 的取值范围为(,12][8,)-∞-⋃+∞. 【点睛】本题主要考查含有绝对值不等式的解法及恒成立问题，绝对值不等式的解法一般是利用分类讨论来解决.19．（1）1m =，单调递增区间为()2,63k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦；（2）1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭.【分析】（1）利用三角恒等变换思想化简函数()y f x =的解析式为()2sin 26f x x m π⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭，由该函数的最大值可求得m 的值，然后解不等式()3222262k x k k Z πππππ+≤+≤+∈可得出函数()y f x =的单调递增区间；（2）由()0f A =结合角A 的取值范围可求得3A π=，由ABC 为锐角三角形可得出62C ππ<<，可得出tan 3C >，由两角和的正弦公式化简得出sin 1sin 2tan 2B C C =+，由此可求得sin sin BC的取值范围. 【详解】 （1）()21cos 21cos 2cos 2122xf x x x x m x m +=--+=+-⨯+2cos 22sin 26x x m x m π⎛⎫=-+=-++ ⎪⎝⎭，()max 23f x m ∴=+=，解得1m =，()12sin 26f x x π⎛⎫∴=-+ ⎪⎝⎭.令()3222262k x k k Z πππππ+≤+≤+∈，解得()263k x k k Z ππππ+≤≤+∈， 所以，函数()y f x =的单调递增区间为()2,63k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦； （2）()12sin 206f A A π⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭，可得1sin 262A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，02A π<<，则72666A πππ<+<，则5266A ππ+=，3A π∴=， ABC 为锐角三角形，可得0202B C ππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<<⎪⎩，即203202C C πππ⎧<-<⎪⎪⎨⎪<<⎪⎩，解得62C ππ<<， 则()1sin sin sin sin 1322sin sin sin sin 2C C C A C B C C C C π⎛⎫++ ⎪+⎝⎭====， 62C ππ<<，则tan C >，所以，10tan C <<所以，sin 11,2sin 22B C ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭.因此，sin sin B C 的取值范围是1,22⎛⎫⎪⎝⎭.【点睛】本题考查三角函数最值、单调区间的求解，同时也考查了三角形中代数式取值范围的求解，考查计算能力，属于中等题. 20．（1）证明见详解；（2）4【分析】（1）取CE 的中点M ，连接,BM MF ，证出//AF BM ，再利用线面平行的判定定理即可证出.（2）以A 为坐标原点，AF 为x 轴，过点A 作CD 的平行线作为y 轴，建立空间直角坐标系，求出平面BCE 的一个法向量，根据sin cos ,n BF n BF n BFθ⋅==即可求解.【详解】（1）取CE 的中点M ，连接,BM MF ，由 F 为CD 的中点， 则//MF DE 且12MF DE =， 因为//AB DE 且DE=2AB ， 所以//AB MF 且AB MF =， 所以四边形ABMF 为平行四边形， 则//AF BM ,又因为BM ⊂平面BCE ，AF ⊄平面BCE ， 所以AF //平面BCE .（2）以A 为坐标原点，AF 为x 轴，过点A 作CD 的平行线作为y 轴， 建立空间直角坐标系，设1AB =，则AD=DE=2，ACD △是等边三角形，()0,0,0A ，)F，()0,0,1B ，)1,0C-，)E()3,0,1BF =-，()0,2,2=CE ，()3,1,1BC =--，设平面BCE 的法向量为(),,n x y z =，则00n BC n CE ⎧⋅=⎨⋅=⎩ ，即0220y z y z --=+=⎪⎩，令1y =，则1z =-，0x =，所以()0,1,1n =-，设直线BF 与平面BCE 所成角为θ，所以sin cos ,42n BF n BF n BFθ⋅====【点睛】本题考查了线面平行的判定定理、空间向量法求线面角，考查了逻辑推理能力以及运算求解能力，属于基础题.21．（Ⅰ）列联表详见解析，有97.5%的把握认为业务水平满意与服务水平满意有关；（Ⅱ）分布列详见解析，期望为25；（Ⅲ）113625． 【分析】（Ⅰ）根据所给数据列表，计算2K 后比较临界值即可得出结论； （Ⅱ）根据超几何分布得出随机变量的概率，列出分布列求期望即可； （Ⅲ）由互斥事件和的概率公式计算运营系统中任选一名客户流失的概率15，从运营系统中任选4名客户流失人数服从二项分布14,5B ⎛⎫ ⎪⎝⎭,根据二项分布求解即可. 【详解】（Ⅰ）由题意知对业务满意的有260人，对服务不满意的有100人，得22⨯列联表经计算得22300(180208020)755.77 5.0242001002604013K ⨯⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯，所以有97.5%的把握认为业务水平满意与服务水平满意有关． （Ⅱ）X 的可能值为0，1，2．则0220802100316(0)495C C P X C ===，1120802100160(1)495C C P X C ===，220210019(2)495C P X C ===，316160192()0124954954955E X =⨯+⨯+⨯=． （Ⅲ）在业务服务协议终止时，对业务水平和服务水平都满意的客户流失的概率为18095%300300⨯=，只有一项满意的客户流失的概率为1003434%300300⨯=，对二者都不满意的客户流失的概率为201785%300300⨯=． 所以从运营系统中任选一名客户流失的概率为9173413005++=， 故在业务服务协议终止时，从运营系统中任选4名客户，至少有2名客户流失的概率为4301444411131555625P C C ⎛⎫⎛⎫=--⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 【点睛】本题主要考查了独立性检验，离散型随机变量的分布列与期望，互斥事件的和，二项分布，考查了推理能力与运算能力，属于较难题目.22．（I ）见解析（II ）,3]-∞-（ 【解析】试题分析：（1）将问题转化为证明(1)(1)xx x ex e -+≥-与1x e x ≥+，从而令()(1)(1)x x h x x e x e -=+--、()1x K x e x =--，然后利用导数求得(),()h x K x 的单调性即可使问题得证；（2）由（1）中的结论得()()f x g x -≥2(12cos )2x x a x -+++，从而令2()2cos 2x G x x =+，通过多次求导得出其单调性即可求出a 的取值范围．试题解析：（1）要证[0,1]x ∈时，2(1)1xx e x -+≥-，只需证明(1)(1)x x x e x e -+≥-.记()(1)(1)xx h x x ex e -=+--，则()()x x h x x e e -=-'，当(0,1)x ∈时，()0h x '>，因此()h x 在[0,1]上是增函数，故()(0)0h x h ≥=， 所以()1,[0,1]f x x x ≥-∈. 要证[0,1]x ∈时，21(1)1xx ex-+≤+，只需证明1x e x ≥+， 记()1xK x e x =--，则()1xK x e =-'，当(0,1)x ∈时，()0k x '>，因此()K x 在[0,1]上是增函数，故()(0)0K x K ≥=，所以1()1f x x≤+，[0,1]x ∈. 综上，11()1x f x x-≤≤+，[0,1]x ∈.（2）（解法一）32()()(1)(12cos )2xx f x g x x eax x x --=+-+++3112cos 2x x ax x x ≥-----2(12cos )2x x a x =-+++.设2()2cos 2x G x x =+，则()2sin G x x x -'=，记()2sin H x x x =-，则()12cos H x x -'=，当(0,1)x ∈时，()0H x '<，于是()G x '在[0,1]上是减函数，从而当(0,1)x ∈时，()(0)0G x G ''<=，故()G x 在[0,1]上是减函数，于是()(0)2G x G ≤=，从而1()3a G x a ++≤+，所以，当3a ≤-时，()()f x g x ≥在[0,1]上恒成立. 下面证明，当3a >-时，()()f x g x ≥在[0,1]上不恒成立，31()()12cos 12x f x g x ax x x x -≤----+32cos 12x x ax x xx -=---+21(2cos )12x x a x x =-++++.记211()2cos ()121x I x a x a G x x x=+++=++++，则21()()(1)I x G x x -=++''， 当(0,1)x ∈时，()0I x '<，故()I x 在[0,1]上是减函数. 于是()I x 在[0,1]上的值域为[12cos1,3]a a +++.因为当3a >-时，30a +>，所以存在0(0,1)x ∈，使得0()0I x >此时00()()f x g x <，即()()f x g x ≥在[0,1]上不恒成立.综上，实数a 的取值范围是(,3]-∞-. （解法二）先证当[0,1]x ∈时，22111cos 124x x x -≤≤-. 记21()cos 12F x x x =-+，则()sin F x x x =-+'， 记()sin G x x x =-+，则()cos 1G x x =-+'，当(0,1)x ∈时，()0G x '>，于是()G x 在[0,1]上是增函数，因此当(0,1)x ∈时，()(0)0G x G >=，从而()F x 在[0,1]上是增函数，因此()(0)0F x F ≥=.所以当[0,1]x ∈时，211cos 2x x -≤. 同理可证，当[0,1]x ∈时，21cos 14x x ≤-. 综上，当[0,1]x ∈时，22111cos 124x x x -≤≤-.因为当[0,1]x ∈时，22()()(1)(12cos )2xx f x g x x e ax x x --=+-+++221(1)12(1)24x x ax x x ≥------(3)a x =-+，所以当3a ≤-时，()()f x g x ≥在[0,1]上恒成立.下面证明，当3a >-时，()()f x g x ≥在[0,1]上不恒成立，因为22()()(1)(12cos )2xx f x g x x eax x x --=+-+++321112(1)122x ax x x x ≤-----+23(3)12x x a x x =+-++32[(3)]23x x a ≤-+.所以存在0(0,1)x ∈（例如0x 取33a +和12中的较小值）满足00()()f x g x <. 即()()f x g x ≥在[0,1]上不恒成立. 综上，实数a 的取值范围是(,3]-∞-.考点：1、利用导数研究函数的单调性；2、不等式恒成立问题．【方法点睛】求证不等式()()f x g x ≥，一种常见思路是用图像法来说明函数()f x 的图像在函数()g x 图像的上方，但通常不易说明．于是通常构造函数()()()F x f x g x ＝－，通过导数研究函数()F x 的性质，进而证明欲证不等式．。

2019-2020学年江苏省扬州市树人学校高三（上）第一次月考数学试卷2一、填空题（本大题共14小题，共70.0分）1. 已知集合A ={x|(x 2+ax +b )(x −1)=0}，集合B 满足条件A ∩B ={1,2}，且A ∩(∁U B)={3}，U =R ，则a +b =________． 2. 函数f(x)=ln(2−x)x−1的定义域为______．3. 复数3−4i i(i 为虚数单位)的模为______．4. 已知△ABC 中，角A 、B 、C 所对边分别为a ，b ，c ，若1+tanAtanB =2cb，则a 2bc的最小值为______ ． 5. 已知函数则f (f (14))的值是________．6. 若′′|x −1|<3′′是“(x +2)(x +a)<0”的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是________．7. 若曲线y =x 4的一条切线l 与直线x +4y −8=0垂直，则l 的方程为 ________．8. 函数y =sin x3的单调增区间为________．9. 已知sin α=3sin (α+π6)，则tan (α+π12)=________．10. 若a ，b ，c 分别是△ABC 的内角A ，B ，C 的对边，且满足cosAsinBsinC +cosBsinAsinC =2cosCsinAsinB ，则C 的最大值为________．11. 如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，E ，F 是AD 上的两个三等分点，BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =4，BF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =−1，则BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CE ⃗⃗⃗⃗⃗ 的值是________．12. 在平面直角坐标系xOy 中，过点P(−5,a)作圆x 2+y 2−2ax +2y −1=0的两条切线，切点分别为M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，且y 2−y 1x2−x 1+x 1+x 2−2y 1+y 2=0，则实数a = ．13. 已知三次函数f(x)=a3x 3+b 2x 2+cd +d(a <b)的导函数为f ′(x)，导函数f ′(x)的导函数为f ′′(x)，如果对任意的x ∈R ，不等式f ′(x)≥f ′′(x)恒成立，则b 2a 2+2c 2的最大值为______．14. 已知函数f(x)={x 2+5x +4,x ≤02|x −2|,x >0，若函数y =f(x)−a|x|恰有4个零点，则实数a 的取值范围为______ ．二、解答题（本大题共10小题，共138.0分）15. 已知向量a ⃗ =(sinθ,−√55)与b ⃗ =(1,cosθ)(Ⅰ)若a ⃗ 与b ⃗ 互相垂直，求tanθ的值+2θ)的值．(Ⅱ)若|a⃗|=|b⃗ |，求sin(π216.已知集合A为函数f(x)=log2(1−x)的定义域，集合B为函数g(x)=32x−x2−3的值域．√x+1(Ⅰ)求A∩B；(Ⅱ)若C={x|a−1<x<1−2a}，且C⊆(A∩B)，求实数a的取值范围．17.已知不等式ax2−3x+2<0的解集为A={x|1<x<b}．(1)求a，b的值；(x∈A)的最小值．(2)求函数f(x)=(2a+b)x−9(a−b)x18.已知圆C：x 2+y 2−2x+4y−4=0.问在圆C上是否存在两点A、B关于直线y=kx−1对称，且以AB为直径的圆经过原点？若存在，写出直线AB的方程；若不存在，说明理由．19.如图所示，在斜度一定的山坡上的一点A测得山顶上一建筑物顶端C对于山坡的斜度为15°，向山顶前进100米后到达点B，又从点B 测得斜度为45°，建筑物的高CD为50米．求此山对于地平面的倾斜角θ的余弦值．20.已知函数f(x)=e xx −ax−alnx．(1)当a=0时，求函数f(x)的单调区间；(2)若函数f(x)在x=1处取得极大值，求实数a的取值范围．21. 已知a,b ∈R ，向量α⃗ =[1a]是矩阵A =[130b]的属于特征值−2的一个特征向量．求矩阵A −1．22. 为了分流地铁高峰的压力，某市发改委通过听众会，决定实施低峰优惠票价制度．不超过22公里的地铁票价如下表： 乘坐里程x(单位：km) 0<x ≤66<x ≤1212<x ≤22票价(单位：元)345分别为14，13，甲、乙乘车超过6公里且不超过12公里的概率分别为12，13． (Ⅰ)求甲、乙两人所付乘车费用不相同的概率；(Ⅱ)设甲、乙两人所付乘车费用之和为随机变量ξ，求ξ的分布列与数学期望．23. 如图，在四棱锥P −ABCD 中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，PA =AD =2，AB =√2，M 是棱PD 上一点，且DM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λDP ⃗⃗⃗⃗⃗ ，0≤λ≤1．(1)当λ=13时，求直线AM 与PC 所成角的余弦值； (2)当CM ⊥BD 时，求二面角M −AC −B 的大小．24. 设(1− 12x) n =a 0+a 1x +a 2x 2+a 3x 3+⋯+a n x n (n ∈N ∗)． (1)求a 1+a 2+a 3+⋯+a n (用n 表示)；(2)证明：当n ≥3时，∑(m k=1k ·2k a k )=(−1)m n C n−2m−1(m ∈N ∗,m ≤n −1)．-------- 答案与解析 --------1.答案：1解析：【分析】本题考查集合中的参数问题，先根据条件A ∩B ={1,2}，且A ∩(∁U B)={3}，确定集合A 的元素，然后代入方程求解a ，b ．【解答】解：由题意知，1∈A,2∈A,3∈A ，因此有−a =2+3，b =2×3， 即a =−5，b =6，∴a +b =1． 故答案为1．2.答案：(−∞,1)∪(1,2)解析：解：由函数f(x)=ln(2−x)x−1，得{2−x >0x −1≠0， 解得x <2且x ≠1，所以函数f(x)的定义域为(−∞,1)∪(1,2)． 故答案为：(−∞,1)∪(1,2)．由函数f(x)的解析式，列出使解析式有意义的不等式组，求出解集即可． 本题考查了利用函数解析式求定义域的应用问题，3.答案：5解析：解：3−4i i=3i −4=−4−3i ，则|−4−3i|=√(−4)2+(−3)2=5， 故答案为：5．根据复数的运算法则进行化简即可．本题主要考查复数模长的计算，根据复数的运算法则进行化简是解决本题的关键．4.答案：1解析：解：∵A 、B 、C 为△ABC 中的角，角A 、B 、C 所对边分别为a ，b ，c ， 又1+tanA tanB =tanB+tanAtanB=sinB cosB +sinAcosAsinB cosB=sin(A+B)cosAcosB ×cosB sinB=sinC sinBcosA由正弦定理得：sinCsinBcosA =cbcosA ， ∴1+tanA tanB =c bcosA，而1+tanAtanB =2c b，∴cosA =12，又A 为△ABC 中的内角， ∴A =π3；∴由余弦定理得：a 2=b 2+c 2−2bccosA =b 2+c 2−2bc ×12≥2bc −bc =bc(当且仅当b =c 时取“=”)， ∴a 2bc的最小值为1．故答案为：1．利用正弦定理将1+tanAtanB =2cb转化为cosA =12，求得A ，再利用余弦定理结合基本不等式即可求得答案．本题考查正弦定理与余弦定理的应用，考查三角函数中的恒等变换应用，考查基本不等式，求得cosA =12是关键，属于中档题．5.答案：109解析： 【分析】本题考查分段函数求值的运算，属于基础题． 将自变量代入相应的函数解析式即可求得结果． 【解答】解：∴f(14)=log 214=−2，∴f(f(14))=3−2+1=109．故答案为109．6.答案：(−∞,−4)解析：【分析】本题考查由充分必要条件求参数的取值范围，难度一般.由|x−1|<3得−2<x<4，因为|x−1|<3是(x+2)(x+a)<0的充分不必要条件，所以(4+2)×(4+a)<0，解得a<−4．【解答】解：由|x−1|<3得−2<x<4，因为|x−1|<3是(x+2)(x+a)<0的充分不必要条件，所以(4+2)×(4+a)<0，解得a<−4．故答案为．7.答案：y=4x−3解析：【分析】本题考查导数的几何意义，基础题目.根据两直线垂直，求出切线的斜率，从而确定切点的坐标，写出切线方程．【解答】解：由直线l与直线x+4y−8=0垂直，则l的斜率为4．∵y=x4，∴y′=4x3，设切点为(x0,x04)，则4x03=4，x0=1，则切点为(1,1)，∴切线l的方程为y−1=4(x−1)，即y=4x−3．故答案为y=4x−3．8.答案：[−3π2+6kπ,3π2+6kπ](k∈Z)解析：【分析】本题主要考查了三角函数的单调性的应用，常考题型．根据正弦函数的单调增区间，直接求出函数的单调增区间即可．【解答】解：因为函数y =sin x 3，由−π2+2kπ≤x 3≤π2+2kπ,k ∈Z ，即−3π2+6kπ≤x ≤3π2+6kπ,k ∈Z ，所以函数的单调增区间为[−3π2+6kπ,3π2+6kπ](k ∈Z ).故答案为[−3π2+6kπ,3π2+6kπ](k ∈Z ).9.答案：2√3−4解析： 【分析】本题主要考查了两角和与差的三角公式以及特殊角的三角函数值，熟练掌握公式是解决此类问题的关键． 【解答】解：∵sin α=3sin(α+π6)，∴sin [(α+π12)−π12]=3sin [(α+π12)+π12]， ∴sin (α+π12)cos π12−cos (α+π12)sin π12=3sin (α+π12)cos π12+3cos (α+π12)sin π12， ∴−2sin (α+π12)cos π12=4cos (α+π12)sin π12， ∵cos (α+π12)≠0，cos π12≠0，∴tan (α+π12)=sin (α+π12)cos (α+π12)=−2tan π12=−2tan 15° =−2tan(45°−30°) =−2×tan 45∘−tan 30∘1+tan 45∘tan 30∘ =−2×1−√331+√33=−2×1−23 √3+131−13 =−2(2−√3)=2√3−4． 故答案为2√3−4．10.答案：π3解析：【分析】本题考查运用正余弦定理及基本不等式的应用，属于中档题．对条件运用正余弦定理化成边的关系，得到a 2+b 2=2c 2，然后运用余弦定理及基本不等式即可．【解答】解：由正弦定理得bccosA +accosB =2abcosC ， 由余弦定理得bc ⋅b 2+c 2−a 22bc+ac ⋅c 2+a 2−b 22ac=2ab ⋅a 2+b 2−c 22ab，所以a 2+b 2=2c 2， 所以cosC =a 2+b 2−c 22ab =a 2+b 2−12(a 2+b 2)2ab=a 2+b 24ab≥2ab 4ab=12，当且仅当a =b 时，取等号．因为0<C <π，所以0<C ≤π3，所以C 的最大值为π3．11.答案：78解析：【分析】本题考查了向量的数量积，属于基础题.根据向量积的运算法则结合图形进行计算即可；【解答】解： 以D 为坐标原点，BC 所在的直线为x 轴建立直角坐标系， 则设B(−a,0)，C(a,0)，A(b,c)，则由题意得BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(b +a,c)，CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(b −a,c)， BF⃗⃗⃗⃗⃗ =(b 3+a,c 3)，CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(b 3−a,c 3)， 由BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =4，BF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CF⃗⃗⃗⃗⃗ =−1得b 2+c 2−a 2=4，b 29+c 29−a 2=−1， 解得b 2+c 2=458，a 2=138，又BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2b 3+a,2c3)，CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2b 3−a,2c 3)， 所以BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =4b 29+4c 29−a 2=78． 12.答案：3或−2解析： 【分析】本题考查直线与圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力． 【解答】解：设MN中点为Q(x0,y0)，T(1,0)，圆心R(a,−1)，根据对称性，MN⊥PR，x1+x2−2 y1+y2=2x0−22y0=x0−1y0=1k TQ，∵k MN=y2−y1x2−x1，y2−y1x2−x1+x1+x2−2y1+y2=0∴k MN⋅k TQ=−1，∴MN⊥TQ，∴P，Q，R，T共线，∴k PT=k RT，即a−6=11−a，∴a2−a−6=0，∴a=3或−2.故答案为3或−2．13.答案：√6√6−2解析：【分析】本题考查了一元二次不等式恒成立问题，基本不等式的应用，属于中档题．由已知可得ax2+(b−2a)x+(c−b)≥0恒成立，即△=(b−2a)2−4a(c−b)=b2+4a2−4ac≤0，且a>0，进而利用基本不等式可得最大值．【解答】解：∵f′(x)=ax2+bx+c，∴f′′(x)=2ax+b，∵对任意x∈R，不等式f′(x)≥f′′(x)恒成立，∴ax2+bx+c≥2ax+b恒成立，即ax2+(b−2a)x+(c−b)≥0恒成立，故△=(b−2a)2−4a(c−b)=b2+4a2−4ac≤0，且a>0，即b2≤4ac−4a2，∴4ac−4a2≥0，∴c≥a>0，⇒b2a+2c ≤4ac−4a2a+2c=4(ca−1)1+2(ca)=4(ca−1)2(ca−1)+4(ca−1)+3∴当ca −1=0时,即a=c,b=0，则b2a2+2c2=0，c a −1>0时，b2a2+2c2≤42(ca−1)+3ca−1+4≤42√6+4=√6−2，故答案为√6−2．14.答案：(0,2)解析：解：由y=f(x)−a|x|=0得f(x)=a|x|，作出函数y=f(x)，y=a|x|的图象，当a=0时，两个函数的交点有3个，不满足条件，当a<0时，两个函数的交点最多有2个，不满足条件，当a>0时，当x≤0时，两个函数一定有2个交点，要使两个函数有4个交点，则只需要当x>0时，两个函数有2个交点即可，当a≥2时，此时y=a|x|与f(x)有三个交点，∴要使y=a|x|与f(x)有4个交点，则0<a<2，故答案为：(0,2)由y=f(x)−a|x|=0得f(x)=a|x|，分别作出函数f(x)和y=a|x|的图象，利用数形结合即可得到结论．本题主要考查函数零点个数的应用，利用数形结合是解决本题的关键，综合性较强，难度较大．15.答案：解：(Ⅰ)∵a⃗=(sinθ，−√55)与b⃗ =(1,cosθ)，且a⃗与b⃗ 互相垂直，∴a⃗⋅b⃗ =sinθ−√55cosθ=0，∴tanθ=sinθcosθ=√55(Ⅱ)∵|a⃗|=|b⃗ |，∴√sin2θ+15=√1+cos2θ，∴sin2θ+15=1+cos2θ，∴cos2θ−sin2θ=15−1=−45，cos2θ=−45，∴sin(π2+2θ)=cos2θ=−45解析：(Ⅰ)由向量垂直可得a⃗⋅b⃗ =sinθ−√55cosθ=0，由三角函数公式变形可得；(Ⅱ)由模长公式可得θ的方程，由二倍角公式和诱导公式可得．本题考查平面向量的数量积与垂直关系，涉及三角函数的运算，属基础题．16.答案：解：(Ⅰ)由函数f(x)的定义域需满足{1−x >0,x +1>0,解得−1<x <1，所以A ={x|−1<x <1}． 设t =2x −x 2，则t =2x −x 2∈(−∞,1]， 所以3t ∈(0,3]，所以B ={y|−3<y ≤0}． 所以A ∩B ={x|−1<x ≤0}． (Ⅱ)由于C ⊆(A ∩B)，若C =⌀，则需a −1≥1−2a ，解得a ≥23；若C ≠⌀，则需{a <23,a −1≥−1,1−2a ≤0,解得12≤a <23． 综上，实数a 的取值范围为[12,+∞)．解析：本题考查函数的定义域与值域的求法、集合运算与集合关系．属于基础题目． (I)先求出f(x)的定义域与g(x)的值域，再由交集的定义得出即可； (II)由C ⊆(A ∩B)，分C 是否为⌀求出即可．17.答案：解：(Ⅰ)根据题意，不等式ax 2−3x +2<0的解集为A ={x|1<x <b}，则方程ax 2−3x +2=0的两个根为1和b ，(b ≠1) 则有{a −3+2=0ab 2−3b +2=0，解可得a =1，b =2；(Ⅱ)由(Ⅰ)的结论，a =1，b =2，则f(x)=(2a +b)x −9(a−b)x =4x +9x ，且x ∈(1,2)，又由f(x)=4x +9x≥2×√4x ×9x=12，当且仅当x =32时，等号成立，即f(x)的最小值为12．解析：(Ⅰ)根据题意，由一元二次不等式的解集与方程的根的关系，分析可得方程ax 2−3x +2=0的两个根为1和b ，(b ≠1)，则有{a −3+2=0ab 2−3b +2=0，解可得a 、b 的值，即可得答案；(Ⅱ)由(Ⅰ)的结论，可得f(x)=4x +9x ，且x ∈(1,2)，结合基本不等式的性质分析可得答案． 本题考查基本不等式的性质以及一元二次不等式的解法，关键是求出a 、b 的值．18.答案：解：圆C ：x 2+y 2−2x +4y −4=0的圆心坐标(1,−2)，因为圆上存在点A 、B 关于直线y =kx −1对称， 所以直线经过圆的圆心， 所以−2=k −1， k =−1，则直线AB 的斜率为1；设直线AB 的方程为x −y +b =0； 对称轴方程为：x +y +1=0， 设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)， {x −y +b =0x 2+y 2−2x +4y −4=0， 可得2x 2+2(b +1)x +b 2+4b −4=0， x 1x 2=b 2+4b−42，x 1+x 2=−b −1，因为以AB 为直径的圆经过原点， 故x 1x 2+y 1y 2=0， 则2×b 2+4b−42+b 2+b(−b −1)=0，解得b =1或b =−4，所以所求直线AB 的方程为x −y +1=0或x −y −4=0．解析：本题考查圆的方程及直线与圆的位置关系，及两直线垂直的斜率关系．由已知可知直线y =kx −1经过圆心，先求出圆的圆心坐标，代入直线方程即可求出直线的斜率，利用垂直推出AB 的斜率，设出AB 的方程，联立AB 与圆的方程，利用x 1x 2+y 1y 2=0，即可求出b 的值，即可求出直线AB 的方程．19.答案：解：在△ABC中，∠BAC=15°，AB=100米，∠ACB=45°−15°=30°.(3分)根据正弦定理有100sin30∘=BCsin15∘，∴BC=100sin15°sin30∘.(6分)又在△BCD中，∵CD=50，BC=100sin15°sin30∘，∠CBD=45°，∠CDB=90°+θ，根据正弦定理有50sin45∘=100sin15°sin30∘sin(90∘+θ).(10分)解得cosθ=√3−1(12分)解析：在△ABC中，根据正弦定理求出BC，在△BCD中，推出∠CDB=90°+θ，通过正弦定理转化求解即可．本题考查正弦定理的实际应用，解三角形的方法，考查计算能力．20.答案：解：(1)f(x)定义域为(0,+∞)，当a=0时，f(x)=e xx ，f′(x)=e x(x−1)x2，令fˈ(x)>0得x>1，令fˈ(x)<0得0<x<1．所以f(x)的增区间为(1,+∞)，减区间为(0,1)．(2)f′(x)=(e x−a)(x−1)x2．①当a≤e时，若x∈(1,+∞)，则e x−a≥e x−e>0．此时f′(x)=(e x−a)(x−1)x2>0，函数f(x)在x=1处不可能取得极大值．②当a>e时，lna>1．综上可知，a的取值范围是(e,+∞)．解析：本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．(1)先求出f(x)的定义域，当a=0时，f(x)=e xx，求出函数的导数，即可求出函数f(x)的单调区间；(2)通过讨论a的范围，得到函数f(x)的单调区间，结合函数的极大值，求出a的范围即可．21.答案：解：因为向量α⃗ =[1a]是矩阵A =[130b]的属于特征值−2的一个特征向量， 所以[130b ][1a ]=−2[1a ]，即 [1+3a ab ]=[−2−2a ]， 则{1+3a =−2ab =−2a ，解得{a =−1b =−2， 所以矩阵A =[130−2]． 又因为1×(−2)−3×0=−2≠0， 所以A −1=[1320−12]．解析：本题考查矩阵特征向量及逆矩阵的计算，属基础题目.根据矩阵特征值及特征向量的概念计算a ，b ，进而得矩阵A ，再进一步求A 的逆矩阵．22.答案：解：(Ⅰ)由题意可知，甲、乙乘车超过12公里且不超过22公里的概率分别为14，13;则甲、乙两人所付乘车费用相同的概率P 1=14×13+12×13+14×13=13; 所以甲、乙两人所付乘车费用不相同的概率P =1−P 1=1−13=23． (Ⅱ)由题意可知，ξ=6，7，8，9，10; 则P (ξ=6)=14×13=112;P (ξ=7)=14×13+12×13=14; P (ξ=8)=14×13+14×13+12×13=13;P (ξ=9)=12×13+14×13=14;P (ξ=10)=14×13=112． 所以ξ的分布列为则E(ξ)=6×112+7×14+8×13+ 9×14+10×112=8．解析：本题考查离散型随机变量的分布列期望的求法，考查计算能力，为中档题．(Ⅰ)求出甲、乙乘车超过12公里且不超过22公里的概率分别为14，13，求出甲、乙两人所付乘车费用相同的概率，即可求解甲、乙两人所付乘车费用不相同的概率．(Ⅱ)求出ξ=6，7，8，9，10，求出概率，得到ξ的分布列，然后求解数学期望即可．23.答案：解：(1)由题意可以A 为原点，AB ，AD ，AP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，则A(0,0，0)，B(√2,0，0)，C(√2,2,0)，D(0,2，0)，P(0,0，2)， 设M(x,y ，z)，则DM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λDP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,−2λ,2λ)(0≤λ≤1)， AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +DM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2−2λ,2λ)， 当λ=13时，AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,43,23)，PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√2,2,−2)， ∴cos <AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,PC ⃗⃗⃗⃗⃗ >=AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·PC ⃗⃗⃗⃗⃗|AM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||PC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√25， ∴直线AM 与PC 所成角的余弦值为√25．(2)DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(√2,−2,0)，CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =CD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√2,−2λ,2λ)， 当CM ⊥BD 时，CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−2+4λ=0，解得λ=12， 此时AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1，1)，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√2,2,0)， 设平面MAC 的一个法向量n⃗ =(x,y ，z)， 则{n⃗ ·AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =y +z =0n ⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =√2x +2y =0，取z =1，得n ⃗ =(√2,−1,1)，又平面BAC 的一个法向量AP⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,0，2)， ∴cos <n ⃗ ,AP ⃗⃗⃗⃗⃗ >=n ⃗⃗ ·AP ⃗⃗⃗⃗⃗ |n ⃗⃗ |·|AP ⃗⃗⃗⃗⃗ |=22×2=12， 由图得二面角M −AC −B 是钝二面角， ∴二面角M −AC −B 的大小为120°．解析：本题考查空间几何体的线面角和二面角，属于中档题． (1)建立空间坐标系，求出相关向量的坐标，根据公式计算结果； (2)求出两个平面的法向量，判断二面角是钝角，根据公式计算结果． 24.答案：解：(1)∵(1− 12x)n =a 0+a 1x +a 2x 2+a 3x 3+⋯+a n x n ， 令x =0，得a 0=1，令x =1，得a 0+a 1+a 2+a 3+⋯+a n =( 12)n ，∴a 1+a 2+a 3+⋯+a n =( 12)n −1.(2)证明：∵(1− 12x)n =a 0+a 1x +a 2x 2+a 3x 3+⋯+a n x n ， ∴a k =C n k (− 12)k ，∵k C n k =k n ！k!(n−k)!=n (n−1)！(k−1)!(n−k)!=n C n−1k−1，当m ，n ∈N ∗时，C n m−1+C n m =n!(m−1)!(n−m+1)!+ n!m!(n−m)!= n!(m+n−m+1)m!(n−m+1)!= (n+1)!m!(n−m+1)!=C n+1m ，∴∑(m k=1k ·2k a k )=∑(m k=1k ·2k C n k (− 12)k )=∑(m k=1k C n k (−1)k ) =∑(m k=1n C n−1k−1 (−1)k )=−n +∑(m k=2n C n−1k−1 (−1)k)=−n +n ∑[mk=2( C n−2k−1+C n−2k−2)(−1)k]=−n +n [(C n−20+C n−21)−( C n−21+C n−22)+(C n−22+C n−23)+⋯+(−1)m (C n−2m−2+C n−2m−1)]=(−1)m nC n−2m−1.解析：本题考查二项式定理的应用和组合数公式、性质的应用，考查计算能力，属中档题． (1)分别令x =0，x =1即可求得a 1+a 2+a 3+⋯+a n ；(2)先利用组合数公式证k C n k =n C n−1k−1，C n m−1+C n m =C n+1m ，则∑(m k=1k ·2k a k )= ∑(m k=1k ·2k C n k (− 12)k )=∑(m k=1k C n k (−1)k )=∑(m k=1n C n−1k−1 (−1)k ) =−n +∑(m k=2n C n−1k−1 (−1)k)，再利用二项式定理即可证得．。