无穷小量及其应用

本科毕业论文（设计）( 2013届 )题目：无穷小量及其应用学院：数学与统计学院专业：数学与应用数学学生姓名：常晓晓学号： *********** 指导教师：李玲职称（学位）：合作导师：职称（学位）：完成时间： 2013年5月16日成绩：黄山学院教务处制学位论文原创性声明兹呈交的学位论文，是本人在指导老师指导下独立完成的研究成果.本人在论文写作中参考的其他个人或集体的研究成果，均在文中以明确方式标明.本人依法享有和承担由此论文而产生的权利和责任.声明人（签名）：2013年 5 月 16 日目录摘要 (1)英文摘要 (2)1引言 (3)2无穷小量的定义 (3)3无穷小量阶的比较 (3)4无穷小量的应用 (4)4.1利用无穷小量求极限 (4)4.1.1利用无穷小量的性质求极限 (4)4.1.2利用无穷小量与无穷大量的关系求极限 (5)4.1.3利用等价无穷小量作替换 (6)4.1.4利用无穷小量与函数极限的关系求极限 (11)4.2判别级数的敛散性 (12)4.3判别反常积分的敛散性 (13)4.4无穷小量在近似计算中的应用 (15)4.5求某些数项级数的和与幂级数的和函数 (16)结束语 (17)参考文献 (19)致谢 (20)无穷小量及其应用数学与统计学院数学与应用数学专业常晓晓（20905012002）指导老师：李玲（讲师）摘要：无穷小量是微积分中的非常重要的概念，它有着诸多良好的性质.微积分中的好多概念中处处都有无穷小量的身影.本文主要阐述了无穷小量在微积分当中的一些具体应用，例如，利用无穷小量求极限、判别级数和反常积分的敛散性、作近似计算、求某些数项级数的和与幂级数的和函数等等.关键词：无穷小量；等价无穷小量；极限；级数Functions of the InfinitesimalChang Xiaoxiao Director：Li Ling（Department of Mathematics and Statistics, Huangshan University, 245041, China）Abstract：Infinitesimal is a quite important conception in calculus. Infinitesimal itself has much good nature. Many concepts in calculus have infinitesimal’s figure everywhere. This dissertation mainly expounds the functions of the infinitesimal in calculus, such as pleasing limit by the infinitesimal, discriminating the convergence and divergence of several series and abnormal integral, for approximate calculation, pleasing the summation of some number items series and power series and so on.Key Words：infinitesimal；equivalent infinitesimal；limit；series1 引言曾在古希腊时期，阿基米德就利用过无限小量的相关知识，不过他觉得这么做还有些不合理. 在17世纪的下半叶，牛顿和莱布尼茨分别依据前人所做的各种工作，并且通过各自的不懈努力，两人均创立了微积分.而无穷小量就是他们创立微积分的重要基础，对微积分的发展起了非常重要的作用.因此，在早期，我们也将分析学称为无穷小分析.但因为那时的一些理论还不够严格，所以无穷小量还不能够用常量代数理论来解释、分析和演算.从此，无穷小量就成了既简单好用又说不清的一个概念. 直至19 世纪20 年代, 柯西才在他的《分析教程》中阐述了严格的无穷小量的的定义.2 无穷小量的定义定义1：设f 在当某邻域()0o U x 内有定义，如果()0lim 0x x f x →=， 那么称f 为当0x x →时的无穷小量.同样地，我们可以定义当0x x +→，0x x -→，x →+∞，x →-∞和当x →∞ 时的无穷小量的定义.3 无穷小量阶的比较设当0x x →时，()f x 与()g x 均为无穷小量.（1）如果()()0lim 0x x f x g x →=，那么称()f x 为()g x 当0x x →时的高阶无穷小量，或称()g x 为()f x 当0x x →时的低阶无穷小量，记作()()()0()f x o g x x x =→.这说明：当0x x →时，()f x 收敛于零的速度要比()g x 收敛于零的速度慢.（2）如果()()0lim 0x x f x c g x →=≠，那么称()f x 为()g x 当0x x →时的同阶无穷小量. 这说明：当0x x →时，()f x 收敛于零的速度与()g x 收敛于零的速度差不多. （3）如果()()lim1x x f x g x →=，那么称()f x 与()g x 是当0x x →时的等价无穷小量.事实上，等价无穷小量的定义就是同阶无穷小量的定义中当1c =时的情形，即等价无穷小量就是同阶无穷小量的一个特例.因此，在这里当0x x →时，()f x 收敛于零的速度与()g x 收敛于零的速度也是一样的.4 无穷小量的应用4.1 利用无穷小量求极限4.11 利用无穷小量的性质求极限 由定义1可以得到它的以下几条性质：（1）有限个相同类型的无穷小量之和、差、积仍为无穷小量； （2）无穷小量与有界量的乘积为无穷小量；证明：设函数()f x 在0x 的某邻域()01,o U x δ内. 所以()010,,,o M x U x δ∃>∀∈恒有()f x M ≤. 设α是0x x →时的无穷小量.()2020,0,,,o x U x εδδ∀>∃>∀∈所以恒有Mεα<.取{}12min ,,δδδ=则当00x x δ<-<时，有()()M f x f x Mεααε⋅=⋅<=. 所以此结论成立.（3）无穷小量除以极限不为0的量仍为无穷小量. 例1：求极限()0lim sin x x x →+.解：因为0lim 0x x →=，0limsin 0x x →=.所以由性质（1）可得：原式=0lim limsin x x x x →→+=00+=0.例2：求极限()0lim tan x x x →-.解：因为0lim 0x x →=,0lim tan 0x x →=，所以由性质（1）可得：原式=0lim lim tan x x x x →→-=00+=0.例3：求极限01lim sinx x x→. 解:因为1sin1x≤，所以1sin x 是有界量.又因为0lim 0x x →=.所以由性质（2）可得原式=0.例4：求极限0lim1x x x →+. 解：因为0lim 0x x →=，又()0lim 110x x →+=≠，所以由性质（3）可得：原式=0.4.12 利用无穷小量与无穷大量的关系求极限定理1：在同一极限过程中，恒不为零的无穷小量的倒数为无穷大量，无穷大量的倒数为无穷小量.证明：（仅以0x x →为例） （1）如果()0lim x x f x →=∞，那么()1lim0x x f x →=，即证： 0,0M δ∀>∃>，使得当00x x δ<-<时，有()()110f x f x ε-=<. 因为()0lim x x f x →=∞.所以对于10,0M δε∀=>∃>，使得当00x x δ<-<时，有()f x M >.因此()11Mf x ε<=，即()01lim0x x f x →=. （2）如果()0lim 0x x g x →=，()0g x ≠，那么()1limx x g x →=∞，即证： 0,0M δ∀>∃>，使得当00x x δ<-<时，()1M g x >. 因为()0lim 0x x g x →=且()0g x ≠.所以10,0,0M Mεδ∀>=>∃>，使得当00x x δ<-<时，()()11M g x g x =>，所以()01limx x g x →=∞. 例5：求下列极限：（1）21lim x x→∞；（2）31lim 3x x x →+-.解：（1）因为2lim x x →∞=∞,所以由定理1可得：原式=0.（2）因为3lim 30x x →-=，3lim 140x x →+=≠，所以由性质（3）可得33lim01x x x →-=+.因此由定理1可得：原式=∞.4.13 利用等价无穷小量作替换定理2：设函数()()(),,f x g x h x 在()0o U x 内有定义，且()()0()f x g x x x →.（1）如果()()0lim x x f x h x A →=，那么()()0lim x x g x h x A →=. （2）如果()()limx x h x B f x →=，那么()()0lim x x h x B g x →=.证明：（1）因为()()0lim x x f x h x A →=，所以()()0lim x x g x h x →=()()()()0limx x g x f x h x h x →⋅⋅ =()()()()0limlim x x x x g x f x h x h x →→⋅⋅ =1A ⋅=A .（2）因为()()limx x h x B f x →=， 所以()()limx x h x g x →=()()()()0lim x x h x f x f x g x →⋅ =()()()()00limlimx x x x h x f x f x g x →→⋅ =()()limx x h x B f x →=. 例6：求下列极限：（1）0arcsin limsin 2x x x x →；（2）0sin lim 1sin x ax bx →⎛⎫+ ⎪⎝⎭，其中，0a ≠，0b ≠. 解：（1）因为当0x →时，arcsin xx ,sin 22x x .所以由定理2可得：原式=0lim 2x x x →=12.（2）因为当0x →时，sin ax ax ,sin bx bx . 所以由定理2可得：原式=00sin lim1lim sin x x ax bx →→+=0sin 1lim sin x ax bx →+=0lim1x ax bx →+=1ab+.例7：求极限21lim sin nn k ka n →∞=⎛⎫ ⎪⎝⎭∑.解：因为0sin lim1x x x→=，2lim 0n kan →∞=.所以22sin lim 1n ka n kan →∞=. 因此由定理2可得：原式=21lim nn k kan→∞=∑=()212limn a n n →∞+++=2a. 例8：求极限20sin tan limsin x x xx x→-. 解：因为当0x →时，tan x x ，21cos 2x x-，sin x x .所以由定理2得：原式=20tan (1cos )lim x x x x x →--⋅ =2302lim x x x x →-⋅=12-. 错误解法：因为sin x x ，tan x x .所以原式=20lim 0x x xx x →-=⋅.定理3：设','ααββ，当limnB mαβ=≠-时，''m n m n αβαβ++.其中，,m n 均为非零实数（上述等价无穷小量和极限是在同一极限趋向下的表达式）.证明：因为lim ''m n m n αβαβ++=''lim '1'n m n m αβααβα+⋅+⋅=''lim '1'n m n m αβααααβαβαβα+⋅⋅+⋅⋅⋅=lim lim lim '''1lim lim lim 'n m n m αβααααβαβαβα+⋅⋅+⋅⋅⋅ =11lim 11n m B n m B+⋅+⋅=1.所以''m n m n αβαβ++.例9：求极限0tan 4sin lim sin 5x x xx →-.解：因为00tan 44lim lim 4sin x x x x x x →→==，14nm-=≠.由定理3知，当0x →时，tan 4sin 4x x x x --.所以原式=043lim 55x x x x →-=.例10：求极限：()0ln 14tan limarctan 3sin x x xx x→++-.解：因为当0x →时，()ln 144x x +，tan xx ，arctan33x x ，sin x x ，且()00ln 144limlim 41tan x x x x x x →→+==≠-，00arctan 33lim lim 31sin x x x xxx →→==≠-.所以由定理3可得：原式=045lim 32x x x x x →+=-.定理4：设','ααββ，'lim 'A βα=，则'lim 'lim ββαα=.（在同一极限趋向下）证明：因为lim βα=''lim ''βββααα⋅⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭=''''lim 'lim 'ββββββααα⋅⋅⎛⎫ ⎪⎝⎭=()''''lim 'lim 'ββββββααα⋅⋅⎛⎫ ⎪⎝⎭=A .所以'lim 'lim ββαα=.定理5：设'αα且()lim 1'A βα+=存在，则有()()lim 1'lim 1ββαα+=+.（在同一极限趋向下）证明：因为'αα,且()lim 1'A βα+=存在.所以()lim 1βα+=()lim ln 1eβα+=()()()ln 1lim ln 1'ln 1'e αβαα+++ =()()()ln 1lim ln 1'limln 1'eαβαα++⋅+=()lim ln 1'lim'eαβαα+⋅=A . 即结论成立. 例11：求下列极限:（1）()12sin 0lim 21xx x x →-+；（2）21sin lim(1)x x x x-→+. 解：（1）法一：原式=()22122sin 20lim 21x xx x x x x x -⋅-→-+=()2221sin 220lim 21x x xx x x x x --→⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦=()2022lim1sin 220lim 21x x x x x x x x x →--→⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦=22limsin 0x x xx e -→=22lim 0x x xx e -→=21e . 法二：因为()sin 0xx x →，所以由定理5可得：原式=()120lim 21xx x x →-+=()22122sin 20lim 21x xx x x x x x -⋅-→-+ =21e . （2）由定理5可得：原式=()21lim 11x x -→+=210lim2x x -→=2.定理6：设()()()12,,...,n x x x ααα是同一变化过程中的无穷小量，且()x α=()()()12...n x x x ααα+++，如果对其中的某一个()i x α，有()()lim0.(1,2,...,1,1,...,)j i x j i i n x αα==-+，那么()()i x x αα. 由定理6我们可以得到：在有限个无穷小量的和中，如果有些是关于某一项的高阶无穷小量，那么这些项是可以忽略不计的.例12：求极限3230sin lim tan x x x x x x →+-+. 解：因为332000sin limlim lim 0x x x x x x xx →→→===，200lim lim 0x x x x x →→-=-=， 332000limlim lim 0tan x x x x x x x x →→→===. 所以由定理6可得：原式=0lim1tan x xx→=.定理7：当0x →时，()x α与()'x α均是无穷小量，并且()()'x x αα，在[]0,x 上()x α与()'x α都是连续的，那么有()00()xxt dtt dt αα'⎰⎰.证明：因为()()0lim xxx t dt t dtαα→'⎰⎰=()()0lim 'x x x αα→=1.所以()0()xxt dtt dt αα'⎰⎰.例13：求极限2sin 010sin 0sin lim (1)x x xt t dtt t dt→+⎰⎰. 解：因为当0x →时，2sin 0x →,sin 0x →,且sin 1xx,1(1)tt e +.所以定理7可得:原式=2sin 0sin 01lim xx x dtedt→⎰⎰=02sin limsin x x e x →=2e.定理8：如果()0lim (0)x f x A A →=≠，且在[]0,x 上()f x 与()g x 都是连续的，那么有()()()0xxf tg t dtA g t dt ⋅⋅⎰⎰.证明：因为()()()0lim x xx f t g t dt A g t dt→⋅⋅⎰⎰=()()()0lim x f x g x A g x →⋅⋅=1. 所以()()()0xxf tg t dtA g t dt ⋅⋅⎰⎰.例14：求极限()22limxx xx t e dt te dt→⎰⎰.解：因为2lim 1,lim 1x x x x e e →→==，且当0x →时，01xxx e dxdx x =⎰⎰，2212xxt te dttdt x =⎰⎰. 所以由定理8可得：原式=20lim2x x xx →⋅=2. 定理9：设()(),x x αβ是同一变化过程中的无穷小量，且()()x x αβ，()0lim 0u f u →=，()f u u ，那么有()()()()f x f x αβ.例15：求下列极限：（1）()0sin sin limx x x →；（2）()0ln 1tan 2limtan(tan )x x x →+.解：（1）因为sin (0)x x x →，所以由定理9可得：原式=00sin lim lim 1x x x xxx →→==.（2）因为当0x →时，tan 22x x ，()ln 1x x +.所以由定理9可得：原式=()0ln 12lim tan x x x→+=02lim x xx →=2.4.14 利用无穷小量与函数极限的关系求极限定理10：在自变量的同一变化过程0x x →中，函数()f x 有极限()A f x A α⇔=+.其中，α是当0x x →时的无穷小量.（我们在这里仅以0x x →时为例，其他的情况可类比此定理得出.）证明：“⇒”设()0lim x x f x A →=，则对0ε∀>,0δ∃>,使得当00x x δ<→<时，有 ()f x A ε-<. 令(),f x A α=-则()0lim lim 0x x x x f x A α→→-==，()f x A α=+.这就证明了()f x A α=+.“⇐”设()f x A α=+，其中A 是常数，0lim 0x x α→=，于是，()f x A α-=.因为α是0x x →时的无穷小量，所以0ε∀>,0δ∃>,使得当00x x δ<-<时，有αε<或()f x A ε-<. 因此结论成立.例16：计算331lim 3x x x →∞+的值.解：因为333111333x x x +=+. 又31lim03x x →∞=，所以由定理10可得:原式=311limlim 33x x x →∞→∞+=103+=13. 4.2 判别级数的敛散性在利用比较判别法的极限形式来判别正项级数的敛散性时，最大的困难是要找到能与所要求的级数n u ∑相比较的已知敛散性的基本级数n u ∑，我们可以利用无穷小量比较的观点理解比较判别法的极限形式. 例17：判别下列正项级数的敛散性.（1）11ln 13n n ∞=⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑；（2）712ln 2n n n∞=∑.解：（1）当n →∞时，11ln 133n n ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，所以1ln 13n ⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑与13n ∑的收敛性相同，又因为13n ∑发散，因此正项级数11ln 12n n ∞=⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑也是发散的.（2）当n →∞时，72ln 20n n u n=→,21n v n=. 因为72322ln 2ln 2limlim lim 01n n n n nnu nn v n n→∞→∞→∞===.所以当n →∞时，72ln 2n n u n=是比21n v n=高阶的无穷小量. 又因为级数211n n ∞=∑收敛，因此正项级数712ln 2n nn ∞=∑也是收敛的.4.3 判别反常积分的敛散性从无穷积分到反常积分，事实上是一种从离散到连续的转化.所以，由正项级数的比较判别法推广，自然得到无穷积分的敛散性判别法.定理11：设f 定义于[),a +∞，在任何有限区间[],a u 上可积，且()lim p x x f x λ→+∞=，则有：（1）当1p >,0λ≤<+∞时，无穷积分()a f x dx +∞⎰收敛； （2）当1p ≤,0λ<≤+∞时，无穷积分()af x dx +∞⎰发散.这个定理实际上是构造无穷小量1p x与函数()()f x x →+∞作比较，相当于正项级数与p 级数11p n n ∞=∑作比较.在这个定理中，当1p >，函数()f x 是1p x 的高阶无穷小量或同阶无穷小量时，无穷积分收敛；当1p ≤，函数()f x 1p x是低阶无穷小量或同阶无穷小量时，无穷积分发散.而我们根据函数()f x 的无穷小量的级别，就可以确定λ的取值.例18：判别无穷积分121arctan 1x xdx x+∞+⎰的收敛性.解：因为当x →+∞时，121211x xx+,arctan 2x π→.所以12arctan 1x xx+与12x 是同阶的.故取12p =，因为1122arctan arctan lim lim 112x x x x x x xx x π→+∞→+∞==++. 所以无穷积分121arctan 1x xdx x+∞+⎰发散.例19：判别无穷积分2+∞⎰的收敛性.解：因为当x →+∞时，21x e 是()10xαα>的高阶无穷小量.()210x αα>的高阶无穷小量.故应取12αλ=>即可.例如取21λ=>，有2lim 0x x →+∞=.因此无穷积分2+∞⎰收敛.定理12：设()f x 是定义在区间[)(),0a a +∞>内的一个连续函数，则当x →+∞时，有：（1） 当()()()()1ln 1f x O xx αα--=>时，广义积分()a f x dx +∞⎰收敛； （2） 当()()()()1ln 1f x O xx αα--=≤时，广义积分()af x dx +∞⎰发散.例20：判别无穷积分21111ln 11dx x x x +∞⎡⎤⎛⎫+-+ ⎪⎢⎥+⎝⎭⎣⎦⎰的敛散性.解：对于[)1,x ∀∈+∞，有()21111110ln 1111x x x x x x x⎛⎫≤+-≤-=≤ ⎪+++⎝⎭.则2222111112ln 11x x xx x x ⎛⎫+-+≤+= ⎪+⎝⎭. 所以2111ln 11x x x⎛⎫+-+ ⎪+⎝⎭是22x 的同阶无穷小量或高阶无穷小量. 因此无穷积分21111ln 11dx x x x +∞⎡⎤⎛⎫+-+ ⎪⎢⎥+⎝⎭⎣⎦⎰收敛.至于瑕积分，由于可以和无穷积分相互转化，关于其敛散性，相应地也有比较判别法.定理13：设f 定义于(],a b ，a 为其瑕点，且在任何[](],,u b a b ⊂上可积，且()()lim px ax a f x λ+→-=，则有：（1）当01p <<,0λ≤<+∞时，无穷积分()baf x dx ⎰收敛；（2）当1p ≥,0λ<≤+∞时，无穷积分()baf x dx ⎰发散.例21：判别瑕积分1⎰的敛散性. 解：0x =是被积函数. 当0x +→时，tan xx ，则1tan x 与1x是同阶无穷大量.121x 是同阶无穷大量，令12p =，则120lim 2x x +→=. 又112p =<，因此瑕积分10⎰收敛. 例22：判别瑕积分()221ln dxx ⎰的收敛性.解：1x =是被积函数()21ln x 的瑕点.当1x +→时，()ln ln 111x x x =+--⎡⎤⎣⎦.所以()21ln x 与()211x -是同阶无穷大量，故可取2λ=.所以()()2211lim 1ln x x x +→-=211lim ln x x x +→-⎛⎫⎪⎝⎭=1. 因为21λ=>，所偶一瑕积分()221ln dxx ⎰发散.4.4 无穷小量在近似计算中的应用无穷小量的概念是近似计算的重要理论依据，即略去高阶无穷小量原则.在工程问题中，经常会遇到一些复杂的问题，这届计算很费力，甚至非常困难，常利用无穷小量作近似计算.因为()()0'y f x x o x ∆=∆+∆，当1x∆时，x ∆的高阶无穷小量()o x ∆可以忽略不计，即y dy ∆≈，所以有()()()00'f x f x f x x ≈+∆.我们知道，有些无穷级数（如泰勒公式）的余项为高阶无穷小量.所以在近似计算中如果要求精度较高且要估计误差时，可以用无穷级数进行近似计算.例23：求sin 2o 的近似值. 解：令00,290o x x π=∆==.所以sin 2sinsin 0cos00.034907909090o πππ=≈+⋅=≈.例24：求sin18o 的近似值，要求误差不超过41.010-⨯. 解：令()sin f x x =.因为180.410o x π==<，取00x =，有()()()352112sin 13!5!21!n n n x x x x x R x n --=-+-+-+-.其中，()()()()212sin 2120121!n n x n R x x n πθθ+⎡⎤++⎢⎥⎣⎦=<<-，()()21221!n n x R x n +≤+. 又当1n =时，sin x x ≈，即为微分的计算公式，它的误差精度是()33420.40.4, 1.0103!3!n R x -<>⨯，不满足要求.当2n =时，3sin 3!x x x ≈-，误差精度是()55420.40.4, 1.0105!5!n R x -<<⨯. 所以310sin180.308992103!oππ⎛⎫⎪⎝⎭≈-≈. 容易知道，微分的近似计算公式精度比较低，它其实就是泰勒公式当1n =时的情形.4.5 求某些数项级数的和与幂级数的和函数定义2：设有两个实数序列}{n λA =与}{n M u =，如果lim 0lim 0n n n n u λ→∞→∞=⇔=，那么称A 与M 是同类无穷小量.定理14：如果12112(0)n n n y C x C x C C -=+>>，那么当n →∞时，n y 有极限A ⇔n x 有极限B ，且12AB C C =+.例25：求级数()1112n n n n+∞=-∑的和.解：设()12341234...122222n n nnS +=-+-++-. 则()123123421...12222n n n nS +-=-+-++-. ()1234112341 (122222)n n n S ---=-+-++-.所以12n n S S -+=()1234111111...122222n n +-+-+-+-=1114211212n⎡⎤⎛⎫--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦++.令12n n n y S S -=+，满足定理15的条件.因为112lim 263n n y →∞=+=，所以由定理15知，223lim 219n n S →∞==+.因此级数()112129n n n n +∞=-=∑. 例26：求()1211n n n nx ∞+=-∑的和函数()S x .解：易求()1211n n n nx ∞+=-∑的收敛域为()1,1-.设()()124682234...1n n n S x x x x x nx +=-+-++-.则()()()2124681234...1nn n S x x x x x nx --=-+-++-.所以()()21n n S x x S x -+=()24682...1nn x x x x x -+-++-=()222212(1)1n x x x x ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦<+. 令()()()21n n n y x S x x S x -=+，满足定理15的条件.因为()222lim 1n n x y x x →∞=+，所以由定理15知，()()222222221lim 11n n x x x S x x x →∞+==++. 因此()1211n nn nx ∞+=-∑的和函数为()()22221x S x x =+.结束语严格的无穷小量的定义的给出基本上解决了微积分学的矛盾，使得微积分学作为数学分析的理论更加具有严密性.我在这篇论文中介绍了无穷小量的定义、性质以及无穷小量在微积分中的一些具体的应用，即我们可以利用无穷小量求极限、判别级数和反常积分的敛散性、作近似计算、求某些数项级数的和与幂级数的和函数等等.由此可见，无穷小量作为一个历史的概念，对微积分的发展起到了非常重要的作用.参考文献[1]华东师范大学数学系.数学分析上册[M].北京：高等教育出版社，2001:59-68.[2]文丽，吴良大等.高等数学（物理类）第一册[M].北京：北京大学出版社，1999:104-110.[3]赵学军，傅强，于光磊等.高等数学[M].重庆：重庆大学出版社，1997:77-80.[4]吴钦宽，孙福树等.高等数学上册[M].北京：科学出版社，2010:30-32.[5]陈付贵，宋贵海等.高等数学[M].天津：天津大学出版社，1998:14-20.[6]牛铭，刘青桂.无穷小量及其应用[J].石家庄职业技术学院学报，2011，23（2）:47-50.[7]张焕玮，刘文.阶的估计在技术收敛上的应用[J].辽宁师范大学学院学报（自然科学版），1996,19（1）：74-77.[8]山其骞.关于无穷小量的一个命题及其应用[J].工科数学，1995,11（2）：266-268.[9]李树华.无穷小量在一些证明问题中的应用[J].高等数学研究，2012,15（3）：20-21.[10]王建平等.无穷小玲的等价代换在代数和的极限运算中的应用[J].河南教育学院学报（自然科学版），2005,14(4):4-5.[11]刘红丽.有关等价无穷小玲代换问题的讨论[J].考试周刊，2011,87:61-62.[12]尤青.无穷小性质与应用研究[J].连云港职业技术学院学报，2010,23（2）：10-11.[13]凌寿铨.无穷小在极限及正项级数方面的应用[J].河北北方学院学报（自然科学版），2008,24（6）：12-14.致谢我的这篇论文在完成的过程中遇到了一些困难和障碍，但在这个过程中我曾得到很多人的关心与支持，这包括我的论文指导老师李玲老师、图书管理员、舍友及同窗们的帮助.其中，我的毕业论文指导老师李玲老师对我的关心与支持尤为重要.她在忙碌的教学工作中挤出宝贵的时间一次又一次地不厌其烦地审查、修改我的论文.在此，我想向李老师真诚地说一句：李老师，您辛苦了，谢谢您！此外，我还要感谢所有在我在完成这篇毕业论文的过程中给予过我关心与支持的人，谢谢你们！。