二、无穷小量阶的比较解读

第三节无穷小量与无穷大量、无穷小的阶2012-9-23§2.3 无穷小量与无穷大量教学目的：掌握无穷小量与无穷大量的定义及性质；掌握无穷小量阶的概念，能正确判断所给两个无穷小量的关系；熟记常用的等价无穷小量，会灵活运用求极限．重难点：正确运用无穷小量与无穷大量的概念及性质，熟练运用等价无穷小量计算函数的极限，证明相关问题.教学过程:在极限的研究中，极限为零的函数发挥着重要的作用。

一、无穷大量1.引例：函数 11y x =-在1x →时的变化趋势. 当x 越来越接近1时，11y x =-越来越大，在x 无限接近1时，11x -可以任意大.“任意大”就是不论预先指定一个多么大的正数，总有那么一个时刻，在那个时刻以后，变量的绝对值就可以大于那个指定的正数.显然，对于0M ?>，要使 11M x >-，只要11x M -<就可以了，此时称1x →时，11y x =-是一个无穷大量.即 11lim 1x x →=∞-. 2.【定义2.8】对于0E ?>，变量y 在其变化过程中，总有那么一个时刻，在那个时刻以后，不等式 y E >恒成立，则称变量y 无穷大量，或称变量y 趋于无穷大.记作lim y =∞. 另一种定义：设)()(y D U ??λ (或x 大于某一正数时有定义), 0>?M ,0>?θ（或正数X ）,当),(θλ U x ∈（或x X >）时,恒有M y >||,则称y 当λ→x 时为无穷大量, 记作∞=→y x λlim . 注：① 无穷大量并不是很大数.② 将||y M >换成y M >,可定义lim x y λ→=+∞. ③ 将||y M >换成y M <-,可定义lim x y λ→=-∞.可以证明 1111lim ,lim 11x x x x +-→→=+∞=-∞--.二、无穷小量 1.【定义2.9】以0 为极限的变量称为无穷小量.即对于0ε?>，变量y 在其变化过程中，总有那么一个时刻，在那个时刻以后，不等式y ε<恒成立，则称变量y 无穷小量.另一种定义：若lim ()0x f x λ→=,称()f x 当x λ→时为无穷小量,记作()(1)f x o =,(x λ→).注意：无穷小量并不是很小数，而是某一过程中极限为０的量．常数中只有０是无穷小量．例1 讨论下列无穷小量：（1）lim 20n -→∞= n , ∴ n →∞时，变量2n n y -=是无穷小量；即n →∞时，2(1)n o -=；(2) 1lim(1)0x x →-= , ∴ 1→x 时， 1-x )1(o =； (3) 1lim 0x x →∞= , ∴ ∞→x 时，x1)1(o =；(4) 21lim 01n n →∞=+ , ∴∞→n 时， 112+n )1(o =. （5）20li m 0x x →= , ∴ 0x →时，2x (1)o =.2．性质【定理2.5】变量y 以A 为极限y A a ?=+，其中a 是一个无穷小量. 即lim ()x f x A λ→=?()(1)f x A o =+ ?()(1)f x A o -=,x λ→.证明：lim ()lim[()]0x x f x A f x A λλ→→=?-= ()(1)f x A o ?-=()(1),f x A o x λ?=+→.【定理2.6】如果变量a 是一个无穷小量，()y f x =是个有界变量，则变量ay 是无穷小量.即(1)(1)(1)O o o ?=, x λ→.证：设变量y 是某个时刻后的有界变量，所以存在正数M ，在这一刻后恒有y M ≤.又因为 a 是一个无穷小量，所以对于0ε?>，总有那么一个时刻，在那个时刻以后恒有a M ε<.从而在那个时刻以后，恒有ay a y M M εε=?<=成立.故变量ay 是无穷小量. 另证明：设)1(O u =,)(λU x ∈?10,0M δ?>> ..t s M u ≤||,1(,)x U λδ∈ ；又设)1(o v =,那么0>?ε,20δ?>..t s 2(,)x U λδ∈ 时,M v ε<||,取12min{,}δδδ= ..t s 当(,)x U λδ∈ 时,有M u ≤||,M v ε<||, 于是εε=?<?≤MM v u uv ||||||, 所以)1(o uv = 即)1()1()1(o o O =, )(λ→x .例2 证明 01lim sin0x x x→?=. 证因为1sin 1x≤，所以1sin x 是有界变量，又因为0lim 0x x →=；故01lim sin 0x x x →?=. 【推论1】常量与无穷小量的乘积还是无穷小量.即(1)(1)C o o ?=, x λ→.【推论2】两个无穷小量的和是无穷小量，即(1)(1)(1),o o o x λ±=→.证明：设(1)u o =,(1)v o =，那么0ε?>,10δ?>..s t 1(,)x U λδ∈时,||2u ε<, 20δ?>..s t 2(,)x U λδ∈ 时,||2v ε<, 取{}12min ,δδδ= ..s t 当12(,)(,)(,)x U U U λδλδλδ∈= , 时, 同时有||2u ε<,||2v ε<,于是 ||||||22u v u v εε±≤+【推论3】有限个无穷小量的积仍是无穷小量.注意：无限个无穷小的和不一定是无穷小.例11lim()10n n n →∞++=≠ ；314lim()0325n n n n→∞++=-. 【推论4】有限个无穷小量的乘积仍是无穷小量.即(1)(1)(1),o o o x λ?=→. (可推广至有限项)例3计算极限(1) sin lim 0x x x→∞= (2) 201lim sin 0x x x→=. 解：因0lim 0x x →=,1sin 1x≤(0)x ≠, 所以 201lim sin 0x x x→=. (3) arctan lim x x x→∞. 解：因1lim 0x x →∞=,arctan 2π≤, 所以 arctan lim 0x x x→∞=. (4★)lim (sin 1sin )x x x →+∞+- 解：由于sin 1sin x x +-112cossin 22x x x x +++-=，而 1cos 2x x ++ 是有界函数，且 1l i m s i n 2x x x →+∞+- 1lim sin 02(1)x x x →+∞==++，故 l i m (s i n 1s i n )0x x x →+∞+-=． (2) 由于cos x 是有界函数，而2lim01x x x →+∞=+，故 2c o s l i m 01x x x x →+∞=+．三、无穷大与无穷小的关系【定理2.7】在变量y 的变化过程中，（1）如果y 是无穷大量，则 1y是无穷小量；（2）如果(0)y y ≠是无穷小量，则 1y是无穷大量.另一种形式：在自变量的同一变化过程中，若()f x 为无穷大，则1()f x 为无穷小；反之，若()f x 为无穷小且()0f x ≠，则1()f x 为无穷大. 分析：（1）0ε?>,欲使1()f x ε<, 只需1()f x ε>，取1E ε=即可；（2）0E ?>,欲使()f x E >, 只需11()f x E <，取1E ε=即可. 例如由于11lim 1x x →=∞-，所以1x →时，1x -是无穷小量且非零，所以 11x -是无穷大量. 例4 根据定义证明：(1) 1y x =-为当1x →时的无穷小；证明：0ε?>,取0δε=>,当0|1|x δ<-<时,恒有|||1|y x ε=-<,所以 1y x =-为当1x →时的无穷小. (2) 1cosy x x=为当0x →时的无穷小. 证明：0ε?>,取0δε=>,当0|0|x δ<-<时, 恒有 1|0|cos||0y x x x x ε-=≤=-<, 所以1cosy x x =为当0x →时的无穷小. 例5 函数12x y x+=是当0x →时的无穷大,问x 应满足什么条件,能使4||10y >？（1）证明：0E ?>,欲使1211||22||x y E x x x +==+≥->, 只需 10||2x E <<+ 即可. 取 102E δ=>+,则当0||x δ<<时, 恒有 12||x y E x+=>, 所以 0012lim lim x x x y x→→+==∞. (2) 欲使4||10y E >=,取41110210002δ==+, 则x 满足10||10002x << 即可. 例6 函数sin y x x =在区间(0,)+∞内是否有界?又当x →+∞时,这个函数是否为无穷大?为什么?解：(1)取22x k ππ=+,则(2)sin(2)2222y k k k ππππππ=++=+, 0,1,2,k =, 可见, 函数sin y x x =在区间(0,)+∞内无界.(2)取x k π=,则sin()0y k k ππ==,1,2,k = ,可见,当x →+∞时,函数sin y x x =不是无穷大.例7函数1siny x x=在区间(0,)+∞内是否有界?又当x →+∞时,这个函数是否为无穷大?为什么? 解：(1)当0x >时,111sin||sin ||1x x x x x x≤≤=, 可见, 函数1sin y x x=在区间(0,)+∞内有界. (2)因函数1sin y x x=在区间(0,)+∞内有界, 可见,当x →+∞时,函数sin y x x =不是无穷大.提问：当0x →时,下列变量中哪些是无穷小量？22223221100,,,,,,0,0.1,0.012x x x x x x x x x x x x +-解 222231100,,,,0,0.1,0.012x x x x x x x x x +-是无穷小量. 若改为x →∞时，回答上述提问.提问1：函数21(1)y x =-在什么变化过程中是无穷大量？又在什么变化过程中是无穷小量？解2111lim lim (1)x x y x →→==∞?-21(1)y x =-是1x →时的无穷大量；21lim lim 0(1)x x y x →∞→∞==?-,21(1)y x =-是x →∞时的无穷小量. 提问2：下列极限不正确的是( ).(A )e 10lim x x →=∞； (B )e 10lim 0xx -→=；(C )e 10lim x x +→=+∞； (D )e 1lim 1xx →∞=. 提问3：若lim (),lim ()x a x af xg x →→=∞=∞，则必有( D ). (A )lim[()()]x a f x g x →+=∞；(B )lim[()()]x af xg x →-=∞ (C )1lim0()()x a f x g x →=+；(D )lim ()x a kf x →=∞(k 为非零常数) 四、无穷小量的阶无穷小量虽然都是趋于0的变量，但不同的无穷小量趋于0的速度却不一定相同，有时可能差别很大.例如当0x →时，2,2x x x 都是无穷小量，它们趋于0的速度的差别可以通过下表体现：x 1 0.5 0.1 0.01 0.001 → 0 2x2 1 0.2 0.02 0.002 → 0 2x 1 0.25 0.01 0.0001 0.000001 → 0【定义2 .10】(无穷小的比较)设(),()x x ααββ==,为同一极限过程中的无穷小,且0α≠.则1)β是比α高阶的无穷小—— lim0x λβα→=, 记作()o βα=,()x λ→；2) β是比α低阶的无穷小—— lim x λβα→=∞；3) β与α是同阶无穷小——lim 0x C λβα→=≠, (C 为常数)；4)β是关于α的k 阶无穷小—— lim0kx C λβα→=≠, (C 为常数, 0k >)；5)β与α是等价无穷小—— lim 1x λβα→=,记作~αβ,()x λ→. 例8 (1) 203lim 0x x x→=, ∴23()x o x =, (0)x →. (2) 21lim 1n n n→∞=∞, ∴ 当n →∞时,1n 是比21n低阶的无穷小. (3) 239lim 63x x x →-=-, ∴当3x →时,29x -与3x -是同阶无穷小.(4) 2x x +；解： 200lim lim(1)1x x x x x x→→+=+=?2~x x x +,(0)x →. (等价无穷小)例9 当0x →时证明下列结论正确：(1) 22211~x x x +--.证明：因为 2222200112lim lim 11x x x x x x x→→+--=++- 211010==++-, 所以22211~x x x +--（当0x →时）.（2）111~n x x n+-,(0)x →.（常用作代换）证明：因 011lim 1n x x x n→+- 012(1)1lim 1[(1)(1)1]n n x n n n n x x x x n→--+-=+++++ 120lim (1)(1)1n n x n n n x x --→=+++++ 1111n n n ===+++所以 111~n x x n+-,(0)x →. 例10 (89.3) 设()232x x f x =+-.则当0x →时( B ).(A) ()f x 与x 是等价无穷小量(B) ()f x 与x 是同阶但非等价无穷小量(C) ()f x 比x 较高阶的无穷小量(D) ()f x 比x 较低阶的无穷小量答选(B).因0000lim ()lim(232)2320x x x x f x →→=+-=+-=, 又 00()232lim lim x x x x f x x x →→+-=00(21)(31)lim lim x x x x x x →→--=+ln 2ln 31=+≠,小结: 1.弄清无穷大和无穷小的概念；注意无穷小量并不是很小数，常数只有零为无穷小量.无穷大量不是很大的数.2.在自变量的同一变化过程中，两个无穷大相加或相减的结果是不确定的.但是可以将无穷大的问题转化为无穷小，利用无穷小的性质解决无穷大问题.课后记：利用极限的性质求函数极限时概念不熟悉. 不能灵活运用等价无穷小量计算极限．。

无穷小阶的比较的讲授方法作者：曹志杰来源：《科技风》2018年第32期摘要：对无穷小和无穷小阶的比较的理解是掌握极限理论的关键对同一极限过程下的一组无穷小，抽象的阶的比较往往使初学者难以接受。

本文考虑在课堂上讲授这一部分时运用类比，力图将無穷小阶的比较过程形象地呈现出来。

这一类比也可用于对无穷大及其阶的比较的课堂讲授。

关键词：无穷小阶的比较；类比一、无穷小及其阶的比较无穷小量，即无穷小，指在自变量的某一变化过程下趋于零的函数。

在微积分的发展过程中，人们对无穷小量的认识经历了一个漫长的过程，这与极限理论的遭遇密切相关：无穷小是极限理论中最使人难以接受的部分，对当时的人们来说，它似乎带有某种“神秘气氛”，见[1]。

无穷小的定义是“如果一个量的绝对值能变得小于任意选定的无论怎样小的量，则说它能变为无穷小”，正是这个说法，引出了一般极限定义的ε.δ语言，毋庸讳言，”某量的绝对值小于任意选定的无论怎样小的量”表达成的数学语言（即无穷小的ε.δ定义）仍困扰着今天的初学者，而无穷小阶的比较，则是在自变量的某变化过程下，比较出不同无穷小趋于零的相对快慢。

这个比较过程，在教科书中是考虑这些无穷小量的比值在自变量的该变化过程下的极限（可参见任一本微积分教材，如文献[2]）：二、用类比法讲授“无穷小量阶的比较”过程极限理论对初学者往往较难理解，这源于极限概念（ε.δ语言）的抽象性和高度的动态性：据说这是一个有四个逻辑层次的杂逻辑结构，[3]而中学的数学对象多是静态的，即使略显抽象，也可在数次”亲密”接触后形成印象.但对于ε.δ语言，即使靠”死记硬背闯关了”，理解起来仍无所适从，基于此，人们曾改造极限概念的表达方式，提出所谓非ε语言定义来代替ε.δ语言，[3]这种做法，不会降低学生的理解难度，甚至可以说，有意绕开极限理论的精髓反而加大了以后学习的难度，最终还是要返回去重新理解ε.δ语言。

那么，怎样才能让初学者对ε.δ语言形成一个基本印象呢？由前述的极限定义的ε.δ语言和无穷小之间的关联，即正是无穷小的定义，引出了极限定义的ε.δ语言，笔者认为，讲授这一部分时，通过对某一动态过程的类比考察，形象的再现无穷小及其阶的比较经过，对于初步理解极限定义的ε.δ语言大有裨益。