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第6节无穷小量的比较

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第6讲无穷小与无穷大

第6讲无穷小与无穷大

( 无穷大的倒数为无穷小, x 0 )
1 (2) lim . x 0 x
( 无穷小的倒数为无穷大, x 0 )
定理
在某一极限过程中
若 f ( x) 是一个无穷大,
1 则 为无穷小 . f ( x)
若 f ( x) 是一个无穷小且 f ( x) 0,
1 则 为无穷大 . f ( x)
证
设 , 为 x x0 时的两个无穷小量 , 则 0 , 1 0 , 当 0 | x x0 | 1 时, | | , 2 2 0 , 当 0 | x x0 | 2 时, | | , 2 取 min{1, 2} , 则当 0 | x x0 | 时, 有
例9
有界函数与无穷大的乘积
是否一定为无穷大？ 不一定再是无穷大！ 不着急, 看个例题:
1 当 x (不妨设 | x | 1) 时, | g ( x) | 2 1, x
f1 ( x) x ( x ) , f 2 ( x) x3 ( x ) ,
而 1 1 f1 ( x) g ( x) x 2 0 ( x ) . x x 3 1 f 2 ( x) g ( x) x 2 x ( x ) . x
证
设 lim f ( x) a , a 0 ; ( x) 0 ( x x0 ) .
x x0
|a| 取 , 则 0 0, 当 0 | x x0 | 0 时, 有 2 |a| | f ( x) a | , 2 |a| 1 2 故 | a | | f ( x) | x U( x0 , 0 ) , 2 f ( x) | a | 1 即 x x0 时, 有界 . f ( x) ( x) 有界函数与无穷小之积！ 故 lim 0. x x0 f ( x)

无穷小量与无穷大量 阶的比较

无穷小量与无穷大量 阶的比较

设 lim f ( x ) = ∞ .
x → x0
∴ ∀ε > 0, ∃δ > 0, 使得当0 < x − x 0 < δ时 1 恒有 f ( x ) > , ε 1 ∴ 当x → x 0时, 为无穷小. f ( x)
反之, 设 lim f ( x ) = 0, 且 f ( x ) ≠ 0.
x → x0
(1) lim[ f ( x) ± g( x)] = A ± B; (2) lim[ f ( x) ⋅ g( x)] = A⋅ B; f ( x) A (3) lim = , 其中B ≠ 0. g( x) B
证 Q lim f ( x ) = A, lim g ( x ) = B .
∴ f ( x ) = A + α,
1 2 1 2 < 2 , 有界， ∴ B( B + β ) > B , 故 有界， B( B + β ) B 2
∴ ( 3)成立.
注
①此定理对于数列同样成立 ②此定理证明的基本原则： 此定理证明的基本原则：
lim f ( x ) = A ⇔ f ( x ) = A + α ( x )
③(1),(2)可推广到任意有限个具有极限的函数 可推广到任意有限个具有极限的函数 ④ (2)有两个重要的推论 有两个重要的推论
g ( x ) = B + β. 其中α → 0, β → 0.
由无穷小运算法则,得 由无穷小运算法则 得
[ f ( x ) ± g ( x )] − ( A ± B ) = α ± β → 0. ∴ (1)成立. [ f ( x ) ⋅ g ( x )] − ( A ⋅ B ) = ( A + α )( B + β ) − AB = ( Aβ + Bα ) + αβ → 0.

第六节 无穷小的比较

第六节 无穷小的比较
1 x sin x Cx x 不存在 = C , lim 2 = ∞，lim 例如, 不存在. 例如 lim x →0 x x →0 x x →0 x
另外, 且不恒等于1), 另外 对幂指函数 f ( x ) g ( x ) ( f ( x ) > 0 且不恒等于 由
f ( x ) g ( x ) = e g ( x ) ln f ( x ) ,
及指数函数与对数函数的连续性, 及指数函数与对数函数的连续性 有
lim f ( x )
x →a
g( x )
=e
x →a
lim g ( x ) ln f ( x )
为未定式的极限, 如果 lim g ( x ) ln f ( x ) 为未定式的极限 即 g ( x ) ln f ( x ) x→a
0 型未定式, 也是未定式, 为 型未定式 则 lim f ( x ) g ( x ) 也是未定式 0 x →a
tan x − sin x 1 当 k − 1 = 2, 即 k = 3 时. lim = ≠0 k x →0 2 x
∴ tan x − sin x为 x 的 3 阶无穷小 .
x 时 常用等价无穷小: 常用等价无穷小 当 →0
arcsin x ~ x , tan x ~ x 1 2 arctan x ~ x , 1 − cos x ~ x , ln(1 + x ) ~ x , 2 x a − 1 ~ x ln a , (1 + x )α − 1 ~ αx , α > 0
2
作业
习题1.6 (67页 习题1.6 (67页)
1 3 4 1；3；4 偶数；5 (3)；6 5 (3) 6 7 奇数；10 (1)
sin x ~ x ,

两个重要极限无穷小比较

两个重要极限无穷小比较

注1：无穷小量与极限过程分不开, 不能脱离极限过程 谈无穷小量,如sinx是x0时的无穷小量, 但 lim sin x 1.因此，它不是 x 时的无穷小 . 2 x
2
39
例1
(1) lim x2 0, x 0 时, x2 是一个无穷小量 .
x0
(2) limsin x 0, x 0 时, sin x 是一个无穷小量 .
( k为常数 )
3. lim f ( x ) g ( x ) lim f ( x ) lim g ( x )
f ( x ) lim f ( x ) 4. lim g ( x ) lim g ( x ) ( lim g ( x ) 0 )
5. lim[ f ( x )]n [lim f ( x )]n
( 即 k = 2 的情形)
29
对于 ( 1 )型 极限问题中常使用指数公式
(i)
a xy a

x y
a

kx

y k
(ii)
a a
x
xk k
a xk a k
1 化为 lim 1 e型极限 x x
x
30
例12
x 1 求 lim x x 1
y g ( x)
O
x0
x0 x0
x
8
例1
2 求 lim x . x 0 x
由取整函数的定义, 有 2 2 2 1 , x x x
解
故当 x 0 时, 当 x 0 时,
2 2 x x 2; x 2 2 x x 2, x
x

极限存在准则两个重要极限17无穷小的比较资料

极限存在准则两个重要极限17无穷小的比较资料

e
(2) (1 )
(3)互倒
1
注意： lim1 x x e, x
lim
x0

1

1 x
x

e
练习 1
1. lim(1 tan x)5cot x ;
lim [1 ( x)]( x) e
x0
( x )0 1
解 lim(1 tan x)5cotx lim [(1 tan x)tan x ]5 e5
若
lim
k
C
0,则称 是关于 的k 阶无穷小;
若 lim
1,
则称是
的等价无穷小,记作 或
~ ~
定理2 设当x x0 时 , ( x) ~ ( x) , ( x) ~ ( x)
且 lim x x0

( (
x)存在(
x)
或)
tg2x ~ 2x.
sin x
x
lim lim
x x x x
Q x 时，sinx 是无穷小，而 x不是无穷. 小
正确的解法如下.
sin x lim
x x
lim sin( x) x x
1
例2
求 lim tan x0
x sin x3
(2) lim g( x) A, lim h( x) A,
x x0 ( x )
x x0 ( x )
那末 lim f ( x)存在, 且等于 A. x x0 ( x)
上述两个准则称为夹逼准则.
注: 利用夹逼准则求极限关键是构造出数列
yn 和 zn 并且他们的极限是容易. 求出且相等。
lim

夹逼定理

夹逼定理

第六节 夹逼定理 无穷小的比较一． 夹逼定理定理1：如果数列{}n x 、{}n y 及{}n z 满足下列条件：（1）n n n z x y ≤≤,(Λ,3,2,1=n )。

（2） a y n n =∞→lim ，a z n n =∞→lim 。

则数列{}n x 的极限存在，且a x n n =∞→lim 定理2：设函数)(x f 在点a 的的某一去心邻域),(δ∧a U 内（或X x ≥时） 满足条件：（1）)()()(x h x f x g ≤≤。

（2） A x g a x =→)(lim ，A x h a x =→)(lim （或A x g x =∞→)(lim ，A x h x =∞→)(lim ）。

则)(lim x f a x →存在，且A x f a x =→)(lim （（或)(lim x f x ∞→存在，且A x f x =∞→)(lim ）。

注：（1）夹逼定理不仅说明了极限存在，而且给出了求极限的方法。

（2） 定理1中的条件（1）改为：n n n z x y ≤≤,(Λ,3,2,1=n )，结论仍然成立。

例1： 求下列极限（1）n n n 11lim +∞→ （2）)1...2111(lim 222nn n n n ++++++∞→ 二．两个重要极限（1）1sin lim 0=→xx x 。

（2）e x x x =+∞→)11(lim ，（e x x x =+→10)1(lim ，e nn n =+∞→)11(lim ）。

例2：求下列极限（1） x x x tan lim 0→ （2） 30sin tan lim xx x x -→（3）203cos cos lim x x x x -→ 例3：求下列极限（1） x x x 2)21(lim -∞→ （2） 212)2(lim -→x x x （3）x x x x )55(lim -+∞→三． 无穷小的比较在极限的运算法则中，我们讨论了两个基本点无穷小的和、差及乘积仍是无穷小。

第六节--无穷小的比较精选全文完整版


例2 当x 0时,求 tan x sin x关于x的阶数.
解 tan x sin x tanx(1 cos x) tan x 2sin2 x .
lim
x0
tan
x x3
sin
x
tan x lim( x0 x
2 s in2 x2
x 2
)
1, 2
2
tan x sin x为x的三阶无穷小.
(1 x)a 1 ~ a x (a 0), (n 1 x 1 ~ 1 x ) n
二、等价无穷小替换
定理(等价无穷小替换定理)
设
~ ,
~
且
lim
存在
,则
lim
lim
.
证 lim lim( )
lim
lim lim
lim
.
类似地，乘法也有等价无穷小替换定理，即 若 ~ ,
(2) 若是 x 的无穷小 , 常取 1 为基本无穷小 ; x
如果 lim x0
xk
C(C
0, k
0) , 就说当 x
0时
是 x 的 k 阶无穷小.
例1 证明 :当x 0时,4x tan 3 x为x的四阶无穷小.
解
lim
x0
4x
tan3 x4
x
4 lim x0
tan x
x
3
4,
故当x 0时,4x tan 3 x为x的四阶无穷小.
解 原式 lim
1 cos x
x0 x(1 cos x )(1 cos x )
1
1 cos x
lim
2 x0 x(1 cos x )
1 lim
1 x2 2
2 x0 x 1 x

无穷小比较定理

无穷小比较定理
本节开始介绍无穷小的比较，主要包括无穷小比较的相关概念，例如
高阶无穷小、同阶无穷小、等价无穷小的定义，以及关于等价无穷小的两
个重要定理，关于等价无穷小的总结以及利用等价无穷小替换求极限的方
法我们以后再介绍。

一、无穷小比较概念的引入。

二、关于无穷小比较的若干定义。

（高阶无穷小、低阶无穷小、同阶
无穷小、k阶无穷小和等价无穷小的定义非常重要，读者务必熟记。

）关于无穷小比较的若干定义
三、无穷小比较的若干例子及一些补充说明。

（注意与函数极限类似，在涉及无穷小比较的问题中也必须指明极限过程。

）
四、关于无穷小比较的各概念之间的简单关系。

各概念之间的简单关系
五、等价无穷小的充要条件（关于o的运算性质以后会专门介绍）。

等价无穷小的充要条件
六、等价无穷小替换定理。

（在求极限中使用等价无穷小替换通常可
以大幅降低计算量，以后我们会总结常见的等价无穷小，并详细介绍利用
等价无穷小求极限的方法。

）
等价无穷小替换定理
七、关于无穷小比较的基础例题。

关于无穷小比较的基础例题。

无穷小量和无穷大量


课堂练习
n2 1 n2 1 3.求 lim n 1 n sin 2 n
3 4.求 lim ( x 1 x sin 2 ) x x
2
e tan x esin x 5.求 lim 3 x 0 8 x3 2
6.求 lim n ( a
2 n n
时的无穷小量 .
x x0
lim f ( x) A
0 , 0 , 当 0 x x0 时,有 f ( x) A
f ( x) A
x x0
lim 0
对自变量的其它变化过程类似可证 .
定理4. 2 在自变量的同一变化过程中, (1) 有限个无穷小量的代数和仍是无穷小量; (2) 无穷小量与有界变量的乘积是无穷小量;
( f ( x) M ) ,
( lim f ( x) )
注意:
1. 无穷大不是很大的数, 它是描述函数的一种状态.
2. 函数为无穷大 , 必定无界 . 但反之不真 !
例如, 函数
当
但
所以
时,
不是无穷大 !
例 . 证明
证: 任给正数 M , 要使 即
1 只要取 , 则对满足 M
设 , 对同一自变量的变化过程为无穷小, 且 0
是 的高阶无穷小 是 的低阶无穷小 是 的同阶无穷小 是 的等价无穷小 是 的 k 阶无穷小
常用等价无穷小 :
～
～
～ ～ ～ ～
～
～
～
2. 等价无穷小替换定理
作业：p-69 习题1.4 1; 2; 3; 4 (1), (2) ,(3); B组-1
arcsin x ～ x

高等数学-无穷小量与无穷大量


8
02 无穷大量
定义1.22 在自变量某一变化趋势下，变量的绝对值
无限增大，则称为自变量在此变化趋势下的无穷大量
（简称无穷大），记作 = ∞.
自变量的变化趋势可为 → ∞， → 0 （或 → 0 + ，
→ 0 − ）， → ∞（或 → +∞， → −∞）等.
9
02 无穷大量
性质1.3 有界变量与无穷小的乘积仍是无穷小.
推论 常数与无穷小的乘积是无穷小.
注 (1)无穷多个无穷小的代数和不一定是无穷小.
(2) 两个无穷小的商的极限没有确定的结果，对于这
类问题，要针对具体情况具体分析.
6
01 无穷小量

1
.
例1 求
2
→0 + 1

解 当 →
穷大量.
（2）在自变量的同一变化过程中，两个无穷大的和、差、
商，以及有界函数与无穷大的乘积，没有确定的结果.
12
01 无穷小量
本节内容
02 无穷大量
03 无穷大量与无穷小量的关系
04 无穷小的比较
05 等价无穷小的替换
13
03 无穷大量与无穷小量的关系
定理1.13 在自变量同一变化过程中：
1
1

→∞
= 0知，当 →
1
但是
→1
1
∞时， 为无穷小；

= 1 ≠ 0 ，所以 →
1
1时， 不是无穷小.

4
01 无穷小量
定理1.12 当 → 0 时，函数()以为极限的充分必
要条件是() = + ，其中 = ()是 → 0 的无穷
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第六节 无穷小量的比较
引 两个无穷小量的和、差与乘积仍是无穷小量， 但是两个无穷小量的商，会出现什么情况？
一、无穷小量的比较 二、等价无穷小量代换
一、无穷小量的比较 观察下列极限
当 x 0时, 3x, x2, sinx都是无穷小,
lim x 2 0, x0 3x
lim sin x 1, x0 x
lim
t 0
t 2
t 3
tn1
t n
1 n!
.
x0
x sin x
例10. 求 解
作业 P57 3, 4
例11. I lim x ln1 2x tan 3x2 1 u 1 ~ 1 u
x0 1 x2 x3 1
2
解
I
2
lim
x0
x
ln1 2x
x2
tan x3
3x2
ln1 2x ~ 2x
tan 3x2 ~ 3x2
x ln 1 2x tan 3x2
x 0,
1 cos x3 ~
x6 2
x 0时，
பைடு நூலகம்
5 1 3x3 2x2
1 ~
1 5
(3x3
2x2)
二、等价无穷小量代换
定理1 在自变量的同一变化过程中, , ,
且 lim 存在，则 lim lim .
证
lim
lim(
)
lim lim lim
lim
ln(1 x) ~ x ex 1 ~ x
例3. 证明: 当
时,
～
证:
an bn (a b) (an1 an2b bn1)
n
1
x
1
～
1 n
x
常用的等价无穷小：当x 0时
sin x ~ x, arcsin x ~ x,
tan x ~ x, arctan x ~ x,
1 cos x ~ 1 x2, 2
例6
求
tan x sin x
lim
x0
x3
.
解 x 0时,1 cos x ~ 1 x2, 2
原式
lim
x0
x x3
x
故
lim
x0
tan
x sin x3
x
lim
x0
tan
x 1 cos
x3
x
x 1 x2
lim x0
2 x3
1. 2
注意：等价无穷小替换忌“加减”。即对于代数和
各
无穷小不能分别替换。
1
例7. 求 lim (1 x2 )3 1. x0 cos x 1
解:
例8
lim
x0
(1 cos x2)(2x 1) ln(1 x2) sin x3
lim
x0
x4 2
x
ln
2
x2 x3
ln 2 2
.
例9. 求 I lim ex esin x . x0 x sin x
解: I limesin x exsin x 1. 1
又如 ，
lim1
x0
cos x2
x
lim
x0
2
sin
2
x 2
4( 2x ) 2
1 2
故
时
是关于 x 的二阶无穷小, 且
1
cos
x
～
1 2
x
2
例1. 求 解: 原式
例2. 求
解: 令 t a x 1, 则 x loga (1 t), 原式 lim t t0 loga (1 t)
说明: 当
时, 有
2lim [ x0
x2 x3
x2 x3 ]
2lim [ x0
2x2 x2 x3
3x2 x2 x3
]
2 lim [ 2 x0 1 x
3] 1 x
2(2 3) 10
例12
lim (
x1
x 1)(3 x 1)(n x 1) (x 1)n1
令x
1t
lim
(
t 0
1 t 1)(3 1 t 1)(n 1 t 1) tn1
.
例4 求 lim sin x . x0 tan 2x
解 因为当 x 0时,sin x ~ x, tan 2x ~ 2x, 所以 lim sin x lim x 1 .
x0 tan 2x x0 2x 2
例5
求
lim
x0
tan x x2 3x .
解
lim tan x lim x 1 . x0 x2 3x x0 x2 3x 3
（3）若
lim C 0,
则称 是
的同阶无穷小;
若 lim 1, 则称 是 的等价无穷小, 记作 ~
或 ~
（4）若 lim C 0, (k 0) 则称 是 的k阶无穷小. k
例如 , 当 x 0 时
x3 o( 6x2 ) ; sin x～ x ; tan x ～ x arcsin x～x
lim
x0
3x x2
,
上述极限中, 分子、分母都是无穷小, 但不同比的极
限各不相同, 反映了不同的无穷小趋于零的“快慢”程度.
下面给出无穷小量比较的几个概念.
定义1 设 , 是自变量同一变化过程中的无穷小,
（1）若
lim
0,
则称
是比
高阶的无穷小, 记作
o()
（2）若 lim , 则称 是比 低阶的无穷小;
2 x2
2
ln(1 x) ~ x,
loga (1
x)
~
x ln a
,
e x 1 ~ x, a x 1 ~ x ln a
n 1 x 1 ~ 1 x, 1 x 1 ~ x. n
一般形式
如 ln(1 f (x)) ~ f (x) ( f (x) 0)
其他公式类似
如 x 0 asinx 1 ~ sin x lna