微积分：无穷小量及其比较

《微积分》讲义第一章极限一、函数极限的概念：f＝A要点：⑴x 为变量；⑵A 为一常量。

二、函数极限存在的充分必要条件：f＝A f＝A，f＝A 例：判定是否存在？三、极限的四则运算法则⑴＝f±g⑵＝f·g⑶＝……g≠0⑷k·f＝k·f四、例：⑴⑵⑶⑷五、两个重要极限⑴＝1 ＝1⑵＝e ＝e ………型理论依据：⑴两边夹法则：若f≤g≤h，且limf＝limh＝A，则：limg＝A⑵单调有界数列必有极限。

例题：⑴＝⑵＝⑶＝⑷＝⑸＝六、无穷小量及其比较1、无穷小量定义：在某个变化过程中趋向于零的变量。

2、无穷大量定义：在某个变化过程中绝对值无限增大的变量。

3、高阶无穷小，低阶无穷小，同阶无穷小，等价无穷小。

4、定理：f＝A f＝A＋a （a＝0）七、函数的连续性1、定义：函数y＝f在点处连续……在点处给自变量x一改变量x：⑴x0时，y0。

即：y＝0⑵f＝f⑶左连续：f＝f右连续：f＝f2、函数y＝f在区间上连续。

3、连续函数的性质：⑴若函数f和g都有在点处连续，则：f±g、f·g、（g()≠0）在点处连续。

⑵若函数u＝j在点处连续，而函数y＝f在点＝j()处连续，则复合函数f(j(x)) 在点处连续。

例：＝＝＝4、函数的间断点：⑴可去间断点：f＝A，但f不存在。

⑵跳跃间断点：f＝A ，f＝B，但A≠B。

⑶无穷间断点：函数在此区间上没有定义。

5、闭区间上连续函数的性质：若函数f在闭区间上连续，则：⑴f在闭区间上必有最大值和最小值。

⑵若f与f异号，则方程f＝0 在内至少有一根。

例：证明方程式－4＋1＝0在区间内至少有一个根。

第二章一元函数微分学一、导数1、函数y＝f在点处导数的定义：x y＝f－f＝A f'＝A ……y'，，。

2、函数y＝f在区间上可导的定义：f'，y'，，。

3、基本初等函数的导数公式：⑴＝0⑵＝n·⑶＝，＝⑷＝·lnɑ，＝⑸＝cosx，＝－sinx＝x，＝－＝secx·tanx，＝－cscx·cotx⑹＝－＝－4、导数的运算：⑴、四则运算法则：＝±＝·g(x)＋f(x)·＝例：求下列函数的导数y＝2－5＋3x－7f(x)＝＋4cosx－siny＝⑵、复合函数的求导法则：y u，u v，v w，w x y x'＝''''例：y＝lntanxy＝lny＝arcsin⑶、隐函数的求导法则：把y看成是x的复合函数，即遇到含有y 的式子，先对y求导，然后y再对x求导。

无穷小量概念无穷小量是微积分中的重要概念之一，它在求解极限、微分和微分方程等方面有着广泛的应用。

本文将介绍无穷小量的定义、性质以及相关的应用。

1. 无穷小量的定义在数学中，无穷小量是指当自变量趋向于某一特定值时，函数值趋于零的量。

更加形式化地说，对于函数f(x)而言，当x趋近于x0时，若存在一个函数ε(x)，满足lim(ε(x)) = 0，使得f(x) = ε(x)，则称f(x)是x趋近于x0时的无穷小量。

2. 无穷小量的性质（1）线性性质：若f(x)和g(x)是x趋近于x0时的无穷小量，那么对于任意的实数a和b，af(x)+bg(x)也是x趋近于x0时的无穷小量。

（2）乘积性质：若f(x)是x趋近于x0时的无穷小量，g(x)是x趋近于x0时的有界量，则f(x)g(x)是x趋近于x0时的无穷小量。

（3）比值性质：若f(x)是x趋近于x0时的无穷小量，且g(x)是x 趋近于x0时的无穷小量，那么f(x)/g(x)的极限存在且不为零。

3. 无穷小量的应用（1）极限计算：无穷小量在极限计算中有重要作用。

通过将复杂函数转化为无穷小量之比，可以简化极限的计算过程。

（2）微分：微分的定义中包含了无穷小量的概念。

微分可以看作是函数在某一点处的局部线性近似，其中通过使用无穷小量来表示函数的变化量。

（3）微分方程：微分方程描述了自变量与函数及其导数之间的关系。

通过引入无穷小量的概念，可以将微分方程转化为更简单的形式，进而求解出函数的解。

总结：无穷小量是微积分中的重要概念，它在极限计算、微分和微分方程等方面有着重要的应用。

理解无穷小量的定义和性质对于深入理解微积分的原理和应用非常重要。

因此，在学习微积分时，我们需要充分理解无穷小量的概念，并能够熟练地运用它们解决相关问题。

无穷小量的性质及其在微积分中的应用无穷小量是微积分中的重要概念之一，它在描述变化率和极限的过程中起到了关键作用。

无穷小量可以帮助我们更好地理解函数的性质，而微积分则让我们能够推导方程、计算曲线的斜率以及求解面积和体积等问题。

本文将介绍无穷小量的基本定义和性质，并探讨它在微积分中的应用。

在微积分中，我们经常遇到那些随着自变量无限接近某一点时趋于零的量，这就是无穷小量。

无穷小量通常用符号$\delta x$或者dx来表示，其中dx表示自变量x的无穷小增量。

无穷小量有以下几个基本性质：1.乘法性质：若f(x)是一个有界函数，$\delta x$是一个无穷小量，那么f(x) * $\delta x$也是一个无穷小量。

这一性质说明了无穷小量的乘法具有自由度，可以与任何有界函数相乘。

2.加法性质：若$\delta x$和$\delta y$都是无穷小量，那么$\deltax$ + $\delta y$也是一个无穷小量。

这一性质说明了无穷小量的加法也保持了无穷小量的性质。

3.极限性质：无穷小量的极限总是为零。

当自变量趋近于某一点时，无穷小量的变化幅度趋于零，这使得我们能够更好地描述函数在某一点附近的行为。

无穷小量在微积分中的应用十分广泛。

在求导过程中，我们将差分化为无穷小量，从而能够推导出函数在某一点的斜率，即导数。

例如，对于函数$f(x)$，我们可以使用差商$\frac{f(x+\delta x)-f(x)}{\deltax}$来求解其导数。

当$\delta x$趋近于零时，此差商将近似于函数在点x处的斜率。

另一个重要的应用是在曲线的切线和法线的求解中。

通过将无穷小量引入到切线和法线的公式中，我们可以更好地理解曲线在某点的局部特征。

对于曲线$y=f(x)$，在点(x, y)处的切线方程可以表示为$y-f(x)=f'(x)(x-x_0)$，其中$f'(x)$是函数f(x)在点x处的导数，$x-x_0$表示无穷小增量。

无穷小的比较是两个数都是无穷小，可以比较相对大小。

无穷小量是数学分析中的一个概念，在经典的微积分或数学分析中，无穷小量通常以函数，序列等形式出现，无穷小量即以数0为极限的变量，无限接近于0。

确切地说，当自变量x无限接近x0或x的绝对值无限增大时，函数值fx与0无限接近，即fx，0或fx等于0，则称fx为当x，x0或x，∞时的无穷小量，特别要指出的是，切不可把很小的数与无穷小量混为一谈。

无穷小的性质无穷小量不是一个数，它是一个变量，零可以作为无穷小量的唯一一个常量，无穷小量与自变量的趋势相关，若函数在某的空心邻域内有界，则称g 为当时的有界量。

有限个无穷小量之和仍是无穷小量，有限个无穷小量之积仍是无穷小量，有界函数与无穷小量之积为无穷小量，特别地，常数和无穷小量的乘积也为无穷小量，恒不为零的无穷小量的倒数为无穷大，无穷大的倒数为无穷小。

工具/原料
笔（各种笔均可）纸（各种纸均可）
方法/步骤1 引例无穷小的多样性，如何比较？ 2 回顾无穷小的定义明确多阶无穷小和等价无穷小的定义 3 学习无穷小的定理1 基于等价无穷小 4 学习无穷小的定理2 基于等价无穷小 5 由等价无穷小，简化的极限运算规则。

和差取大规则，和差替代规则 6 由等价无穷小，简化的极限运算规则。

因式替代规则7 学习例题，反复联系。

8 仔细认真，举一反三！。