无穷小量的比较

摘要无穷小量具有很好的性质,灵活运用这些性质,无论是在求极限的运算中,还是在正项级数的敛散性判断中,都可取到预想不到的效果,能达到罗比塔法则所不能取代的作用.通过举例,对比了不同情况下无穷小量的应用以及在应用过程中应注意的一些性质条件,不仅使这些原本复杂的问题简单化,而且可避免出现错误地应用无穷小量.关键词：无穷小量;极限;洛必达法则;比较审敛法;优越性ABSTRACTEquivalent Infinitesimal have good characters ,both in operation of test for Limit and determine whether the positive series converges or diverges , if these quality that apply flexibly can obtain more effect , the effection can not be replace by L'Hospital Rule. This paper give examples and compare some instance to pay attention to condition in application of Equivalent Limit , so the question can be simply and avoid error in application.Keywords:equivalent infinitesimal;limitation;l'hospital's rule;comparison test; superiority.目录1 引言 (1)2无穷小量的概念及其重要性质 (1)2.1无穷小量的概念 (1)2.2无穷小量的重要性质 (2)2.3无穷小量性质的推广 (2)3无穷小量的应用 (5)3.1求函数的极限 (5)3.2无穷小量在近似计算中的应用 (6)3.3利用无穷小量和泰勒公式求函数极限 (6)3.4无穷小量在判断级数收敛中的应用 (7)4无穷小量的优势 (8)4. 1运用无穷小量求函数极限的优势 (8)4. 2 无穷小量在求函数极限过程中的优势 (9)5结论....................................... 错误！未定义书签。

冲刺高考数学无穷小量与无穷大量的比较在高考数学的广袤知识海洋中，无穷小量与无穷大量的比较是一个颇为重要的考点，也是很多同学在学习和解题过程中容易感到困惑的地方。

让我们一起深入探讨这个有趣且关键的数学概念，为高考冲刺做好充分准备。

首先，我们要明白什么是无穷小量和无穷大量。

简单来说，无穷小量就是在某个变化过程中，极限为零的变量。

比如说，当 x 趋近于无穷大时，函数 f(x) ＝ 1/x 的值就越来越接近于零，那么 1/x 就是 x 趋近于无穷大时的无穷小量。

而无穷大量则是在某个变化过程中，绝对值无限增大的变量。

比如当 x 趋近于 0 时，函数 f(x) ＝ 1/x²的值就变得越来越大，趋向于无穷，那么 1/x²就是 x 趋近于 0 时的无穷大量。

理解了基本概念后，我们来看看无穷小量和无穷大量的性质。

对于无穷小量，有这么几个重要的性质。

其一，有限个无穷小量的和、差、积仍然是无穷小量。

但要注意，无限个无穷小量的和、差、积就不一定是无穷小量了。

其二，有界函数与无穷小量的乘积仍然是无穷小量。

接下来，我们讲讲无穷小量的比较。

在同一个变化过程中，设α和β都是无穷小量。

如果lim(β/α) ＝ 0，那么就说β是比α高阶的无穷小量，记作β ＝o(α)；如果lim(β/α) ＝∞，则说α是比β高阶的无穷小量；如果lim(β/α) ＝c（c 为非零常数），那么就说α和β是同阶无穷小量；特别地，如果 c ＝ 1，就称α和β是等价无穷小量，记作α ～β。

等价无穷小量在解题中有着非常重要的作用。

比如在求极限的时候，如果能够巧妙地运用等价无穷小量进行替换，往往可以使计算变得简单快捷。

常见的等价无穷小量有：当 x 趋近于 0 时，sin x ～ x，tanx ～ x，1 cos x ～ x²/2 等等。

再来说说无穷大量。

无穷大量也有相应的比较方法。

同样在某个变化过程中，如果lim(β/α) ＝ 0，那么α是比β更高阶的无穷大量；如果lim(β/α) ＝∞，则β是比α更高阶的无穷大量；如果lim(β/α) ＝ c（c 为非零常数），那么α和β是同阶无穷大量。

无穷小的比较概述分布图示★ 无穷小的比较 ★ 例1-2 ★ 例3 ★ 常用等价无穷小 ★ 例4 ★ 等价无穷小替换定理 ★ 例5★ 例6 ★ 例7 ★ 例8 ★ 例9 ★ 例10 ★ 例11★ 例12★ 等价无穷小的充要条件 ★ 例13 ★ 内容小结 ★ 课堂练习 ★ 习题 1-9内容要点一、无穷小比较的概念：无穷小比的极限不同, 反映了无穷小趋向于零的快慢程度不同.二、常用等价无穷小关系：)0(~1)1()0(ln ~1~1~)1ln(21~cos 1~arctan ~arcsin ~tan ~sin 2是常数≠-+>--+-αααx x a a x a xe xx x x x x x x x x x x x x三、 关于等价无穷小的两个重要结论：定理1 设，是同一过程中的无穷小ββαα'',,,且ββαα''~,~，αβ''lim存在, 则 .lim limαβαβ''= 定理2 β与α是等价无穷小的充分必要条件是).(ααβo +=例题选讲无穷小比较概念的应用例1 (E01) 证明: 当0→x 时, x x 3tan 4为x 的四阶无穷小.解 430tan 4lim xx x x →30tan lim 4⎪⎭⎫ ⎝⎛=→x x x .4=故当0→x 时，x x 3tan 4为x 的四阶无穷小.例2 (E02) 当0→x 时, 求x x sin tan -关于x 的阶数.解 30sin tan lim x x x x -→ ⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅=→20cos 1tan lim x x x x x .21= ∴当0→x 时，x x sin tan -为x 的三阶无穷小.例3 当1→x 时，将下列各量与无穷小量1-x 进行比较.（1）;233+-x x （2）;lg x （3）.11sin )1(--x x 解 (1)因为,0)23(lim 31=+-→x x x 所以1→x 时，233+-x x 是无穷小量，又因为123lim 31-+-→x x x x )1()2()1(lim 21-+-=→x x x x 0= 所以233+-x x 是比1-x 较高阶的无穷小量. (2)因为,0lg lim 1=→x x 所以当1→x 时，x lg 是无穷小量，又1lg lim1-→x x x []10ln )1()1(1ln lim 1⋅--+=→x x x 10ln 1=所以x lg 是关于1-x 的同阶无穷小量.(3)由,011sin)1(lim 1=--→x x x 知当1→x 时，11sin)1(--x x 是无穷小量，但是 111sin )1(lim1--⋅-→x x x x 11sin lim 1-=→x x 不存在. 所以，11sin )1(--x x 与1-x 不能比较.例4 (E03) 证明).0(~1→-x x e x证 令,1-=x e y 则),1ln(y x +=且0→x 时，,0→y 因此x e x x 1lim 0-→)1ln(lim 0y y y +=→y y y 10)1ln(1lim +=→.1= 即有等价关系 ).0(~1→-x x e x上述证明同时也证明了等价关系 ).0(~)1ln(→+x x x例5 求极限.1211lim nn n ⎪⎭⎫ ⎝⎛+-∞→解 由于nn ⎪⎭⎫ ⎝⎛+-1211⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=1211ln n e n . 另外，当+∞→x 时，,121~1211ln ⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-x x则⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+∞→1211ln lim x x x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⋅=+∞→121lim x x x 21= 因数列极限可视为函数极限的子列，故可得nn n ⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+∞→1211lim ⎪⎭⎫⎝⎛+-+∞→=1211ln lim n n n e .21-=e例6 (E04) 求 xxx 5sin 2tan lim0→.解 当0→x 时，,2~2tan x x .5~5sin x x 故x x x 5sin 2tan lim 0→x x x 52lim 0→=.52=例7 (E05) 求 .2sin sin tan lim30xxx x -→错解 当0→x 时，,~tan x x ,~sin x x ∴原式30)2(limx xx x -=→.0=正解 当0→x 时，,2~2sin x x x x sin tan -)cos 1(tan x x -=,21~3x 故x x x x 2sin sin tan lim 30-→330)2(21lim x xx →=.161=例8 求 .1cos 1)1(lim3/120--+→x x x 解 当0→x 时，,31~1)1(2312x x -+,21~1cos 2x x -- 故1cos 1)1(lim 120--+→x x x 2202131lim x xx -=→.32-=例9 (E06) 求 121tan 1tan 1lim-+--+→x xx x .解 由于0→x 时，,~121x x -+,~tan x x 故121tan 1tan 1lim-+--+→x xx x )tan 1tan 1(tan 2limx x x xx -++=→)tan 1tan 1(2limx x x x -++=→.1=例10 计算 .)1ln(lim2cos 0x x e e xx x x +-→ 解 注意到当0→x 时，,~)1ln(22x x +1cos --x x x e ,cos ~x x x -所以)1ln(lim 2cos 0x x e e x x x x +-→)1ln()1(lim 2cos cos 0x x e e x x x x x x +-=-→2cos 0)cos (lim x x x x x e x x x ⋅-=→2cos 0)cos 1(lim xx e x x x -=→.21=例11 计算 .sin cos 12lim2xxx +-→ 解 原式xx x 220sin 2cos 22lim -→x x x 20sin 2cos1lim 2-=→220221lim 2x x x ⎪⎭⎫ ⎝⎛=→.82=例12 求 .cos sec )1ln()1ln(lim220xx x x x x x -+-+++→ 解 先用对数性质化简分子，得原式,cos sec )1ln(lim 420xx x x x -++=→因为当0→x 时，有,~)1ln(4242x x x x +++x x cos sec -x x cos cos 12-=x x cos sin 2=.~2x 所以原式2420lim xx x x +=→.1=例13 (E07) 求 xx x x 3sin 1cos 5tan lim0+-→.解 ),(55tan x o x x +=),(33sin x o x x +=),(2cos 122x o x x +=-∴原式)(3)(2)(5lim 220x o x x o x x o x x ++++=→xx o x x o x x x o x )(3)(2)(5lim20++++=→.35=。

第六讲 两个重要极限 无穷小量的比较一、回顾上一讲的内容1.极限的运算法则；2.极限准则.二、本节教学内容：1、无穷小的比较； 2. 两个重要极限；[教学目的与要求]1. 熟练掌握用两个重要极限求极限；2. 熟练掌握无穷小的比较、等价无穷小量的性质及一些常见的等价无穷小.[教学重点与难点]无穷小比较阶的概念，两个重要极限的应用§1.6 极限存在准则、两个重要极限（下）一、0sin lim1x xx→= 利用准则Ⅰ可以证明下面的第一重要极限：1sin lim0=→xxx .证 先证1sin lim 0=+→xxx .由于+→0x ，不妨设02x π<<.作单位圆并设圆心角x AOB =∠则 AOB AOD AOB S S S ∆∆<<扇形∵ x BC OA S AOB sin 2121=⋅=∆， x x OA OA AB OA S AOD 212121=⋅⋅=⋂⋅=扇形， 11tan 22AOD S OA AD x ∆=⋅=，∴tgx x x 2121sin 21 ，即 sin tan x x x <<， 从而有 11sin cos x x x <<或sin cos 1xx x<<.∵ 22201cos 2sin 20(0)222x x x x x +⎛⎫<-=⋅=→→ ⎪⎝⎭，，∴ 1cos lim 0=+→x x ∴ 1sin lim 0=+→xxx 又 1sin lim sin lim 00=---=+-→→t t t x x x t x ∴ 1sin lim 0=→xxx .一般有公式： 1)()(sin lim 0)(=→x x x ϕϕϕ （表面特性[]sin[]，本质特性“”0）例1 0tan limx x x →=1)cos 1sin (lim 0=⋅→xx x x .例2 0tan sin limx x x →=1)sin sin sin (lim 0=⋅→xxx x tg x .例3 =-→20cos 1lim x x x =→2202sin 2limx x x 2122sin lim 2120=⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→x x x . （或者原式＝21)cos 11sin (lim 220=+⋅→x xx x ）. 例4 x x x xxnn n n n n =⋅=∞→∞→22sinlim 2sin2lim ，但 1sin lim ≠∞→xx x .二、1lim 1xx e x →+∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭令t x=1，可得另外一种形式 ()e x x x =+→101lim一般情况，e x h x h x h =⎪⎪⎭⎫⎝⎛+∞→)()()(11lim ，()e x x x =+→)(10)()(1lim ϕϕϕ.例1 x x x 21lim 0-→()xx x 1021lim -=→()22210)2(1lim ---→=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=e x x x .例2 21)11()11(lim 11lim e e e xx x x x xx xx ==-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-∞→∞→. k xx e x k =⎪⎭⎫⎝⎛+∞→1lim 例3 1)11()11(lim 11lim 1=⋅=+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛--+∞→+∞→e e xxx xx x xx .或者原式xx x x x --+∞→⎪⎭⎫ ⎝⎛-=)11(lim 10)(lim ===-+∞→e e xxx .例4 已知4lim e c x c x xx =⎪⎭⎫⎝⎛-+∞→，则?=c . 左==c e 2右，所以2=c .§1.7 无穷小的比较三、无穷小的比较已知极限为0的函数为无穷小量，但它们趋于0的快慢程度往往不同，如,03lim 0=→x x ,0sin lim 0=→x x ,0lim 20=→x x但 ,03lim 20=→xx x ,313sin lim0=→x x x ∞=→203lim x xx故有必要比较一下它们的快慢，这里用阶的概念来表示. 1. 定义：设0lim =α，0lim =β 若 0lim=αβ，则称β是比α高阶无穷小，记)(0αβ=； 若 0lim≠=c αβ，则称β与α同阶；若 )0(0lim≠=k k αβ，则称β是α的k 阶无穷小； 若 1lim =αβ，则称β与α等价，记β～α.如：0→x 时，)3(02x x =， x sin 与x 3同阶， x sin ～x2. 等价无穷小在求极限中可作代换以简化计算 定理：若α～'α，β～'β，且''lim αβ存在，则=αβlim ''lim αβ . 证 =αβlim=⋅⋅αααβββ''''lim ''lim αβ .在使用中要注意：（1）要记准一些函数的等价无穷小；（2）代换时要么分子、分母一起换，要么只换分子或者分母，要么代换分子或分母中的部分因子，不可代换加式.0→x 时，x ～x sin ～tgx ～x arcsin ～)1ln(x +～1-x e ～)11(2-+x ，x cos 1-～221x 等.例1 )1ln(11lim 20x x x x +-++→x x x x 2lim 20+=→2121lim 0=+=→x x . 或者原式21)11(lim 22=++++=→x x x x x x . 例2 x x tgx x 30sin sin lim-→0lim 30=-=→xxx x （×）. 应该是 原式=-=→x x x x 20sin cos cos 1lim 21cos 21lim 220=→x x xx . 例3 当0→x 时,x x x tan ,sin ,都是无穷小, 因为1sin lim0=→x x x ,以及1cos 1sin lim tan lim 00==→→xx x x x x x ,所以, 当0→x 时, x ~x sin ~x tan .例4 当0→x 时,1ln )1ln(lim )1ln(lim100==+=+→→e x xx x x x ，1)1ln(lim )1(1lim 00=+=-==-→→u ue u x e u x x x 令.所以, 当0→x 时, x ~)1ln(x +~1-x e . 例5 设α为实数,容易验证,()ln 100(1)11lim lim x x x x e x x αα+→→+--==()()()ln 10ln 11lim .ln 1xx x e x xαααα+→+-=+所以, 当0→x 时, x x αα~1)1(-+.小结1、两个重要极限； 2. 无穷小的比较.作业作业: p24 习题 1.6: 1 (1),(3),(5)；2 (2),(4),(6). p26 习题 1.7: 3，4 (2),(4),(6)，5， 预习：第一章1.8，1.9。

可编辑修改精选全文完整版第八节 无穷小的比较内容分布图示★ 无穷小的比较 ★ 例1-2 ★ 例3 ★ 常用等价无穷小 ★ 例4 ★ 等价无穷小替换定理 ★ 例5★ 例6 ★ 例7 ★ 例8 ★ 例9 ★ 例10 ★ 例11★ 例12★ 等价无穷小的充要条件 ★ 例13 ★ 内容小结 ★ 课堂练习 ★ 习题 1-8 ★ 返回内容要点：一、 无穷小比较的概念：无穷小比的极限不同, 反映了无穷小趋向于零的快慢程度不同.二、常用等价无穷小关系：)0(~1)1()0(ln ~1~1~)1ln(21~cos 1~arctan ~arcsin ~tan ~sin 2是常数≠-+>--+-αααx x a a x a xe xx x x x x x x x x x x xx三、 关于等价无穷小的两个重要结论：定理1 设，是同一过程中的无穷小ββαα'',,,且ββαα''~,~，αβ''lim存在, 则 .lim limαβαβ''= 定理2 β与α是等价无穷小的充分必要条件是).(ααβo +=例题选讲：无穷小比较概念的应用：例1（讲义例1）证明: 当0→x 时, x x 3tan 4为x 的四阶无穷小. 例2（讲义例2）当0→x 时, 求x x sin tan -关于x 的阶数.例3 当1→x 时，将下列各量与无穷小量1-x 进行比较.（1）;233+-x x （2）;lg x （3）.11sin )1(--x x 例4 （讲义例3）证明.~1x e x -例5 （讲义例4）求极限.1211lim nn n ⎪⎭⎫ ⎝⎛+-∞→例6（讲义例5）求 xxx 5sin 2tan lim0→.例7（讲义例6）求 .2sin sin tan lim30xxx x -→ 例8 求 .1cos 1)1(lim3/120--+→x x x 例9（讲义例7）求 121tan 1tan 1lim-+--+→x xx x例10计算 .)1ln(lim2cos 0x x e e xx x x +-→ 例11 计算 .sin cos 12lim20xxx +-→例12 求 .cos sec )1ln()1ln(lim220xx x x x x x -+-+++→ 例13（讲义例8）求 xx x x 3sin 1cos 5tan lim 0+-→.课堂练习1. 求极限 βαβαβα--→e e lim .2. 任何两个无穷小量都可以比较吗?。