《数学分析》无穷小量与无穷大量

数学分析数学与信息科学学院罗仕乐3.5 无穷小量与无穷大量本节讨论极限的求法。

利用极限的定义，从变量的变化趋势来观察函数的极限，对于比较复杂的函数难于实现。

为此需要介绍极限的运算法则。

首先来介绍无穷小。

一、无穷小在实际应用中，经常会遇到极限为0的变量。

对于这种变量不仅具有实际意义，而且更具有理论价值，值得我们单独给出定义1.定义:极限为零的变量称为无穷小.定义 1 如果对于任意给定的正数ε(不论它多么小),总存在正数δ(或正数X ),使得对于适合不等式δ<-<00x x (或>x X )的一切x ,对应的函数值)(x f 都满足不等式 ε<)(x f ,那末 称函数)(x f 当0x x →(或∞→x )时为无穷小,记作 ).0)(lim (0)(lim 0==∞→→x f x f x x x 或 例如,,0sin lim 0=→x x .0sin 时的无穷小是当函数→∴x x,01lim =∞→x x .1时的无穷小是当函数∞→∴x x,0)1(lim =-∞→n nn .})1({时的无穷小是当数列∞→-∴n n n 注意1.称函数为无穷小，必须指明自变量的变化过程；2.无穷小是变量,不能与很小的数混淆;3.零是可以作为无穷小的唯一的数.2.无穷小与函数极限的关系:定理1 ),()()(lim 0x A x f A x f x x α+=⇔=→其中)(x α是当0x x →时的无穷小.证必要性,)(lim 0A x f x x =→设,)()(A x f x -=α令,0)(lim 0=α→x x x 则有).()(x A x f α+=∴充分性),()(x A x f α+=设,)(0时的无穷小是当其中x x x →α))((lim )(lim 00x A x f x x x x α+=→→)(lim 0x A x x α+=→.A =意义1.将一般极限问题转化为特殊极限问题(无穷小);).(,)()(.20x A x f x x f α≈误差为附近的近似表达式在给出了函数3.无穷小的运算性质:定理2 在同一过程中,有限个无穷小的代数和仍是无穷小.证,时的两个无穷小是当及设∞→βαx 使得,0,0,021>>∃>ε∀N N;21ε<α>时恒有当N x ;22ε<β>时恒有当N x },,max{21N N N =取恒有时当,N x >β+α≤β±α22ε+ε<,ε=)(0∞→→β±α∴x 注意无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小.是无穷小，时例如n n 1,,∞→.11不是无穷小之和为个但n n定理3 有界函数与无穷小的乘积是无穷小.证内有界，在设函数),(100δx U u .0,0,0101M u x x M ≤δ<-<>δ>∃恒有时使得当则,0时的无穷小是当又设x x →α.0,0,0202Mx x ε<αδ<-<>δ∃>ε∀∴恒有时使得当},,min{21δδ=δ取恒有时则当,00δ<-<x x α⋅=α⋅u u MM ε⋅<,ε=.,0为无穷小时当α⋅→∴u x x 推论1 在同一过程中,有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小.推论2 常数与无穷小的乘积是无穷小.推论3 有限个无穷小的乘积也是无穷小.xx x x x 1arctan ,1sin ,0,2时当例如→都是无穷小二、无穷大绝对值无限增大的变量称为无穷大.定义 2 如果对于任意给定的正数M (不论它多么小),总存在正数δ(或正数X ),使得对于适合不等式δ<-<00x x (或>x X )的一切x ,所对应的函数值)(x f 都满足不等式 M x f >)(,则称函数)(x f 当0x x →(或∞→x )时为无穷小,记作 ).)(lim ()(lim 0∞=∞=∞→→x f x f x x x 或数学分析第3.5节特殊情形：正无穷大，负无穷大．))(lim ()(lim )()(00-∞=+∞=∞→→∞→→x f x f x x x x x x 或注意 1.无穷大是变量,不能与很大的数混淆;.)(lim .20认为极限存在切勿将∞=→x f x x 3. 无穷大是一种特殊的无界变量,但是无界变量未必是无穷大.数学分析第3.5节.,1sin 1,0,但不是无穷大是一个无界变量时当例如x x y x =→x x y 1sin 1=),3,2,1,0(221)1(0 =π+π=k k x 取,22)(0π+π=k x y .)(,0M x y k >充分大时当无界，),3,2,1,0(21)2(0 =π=k k x 取,,δ<k x k 充分大时当ππ=k k x y k 2sin 2)(但.0M <=不是无穷大．.11lim 1∞=-→x x 证明例证11-=x y .0>∀M ,11M x >-要使,11M x <-只要,1M=δ取,110时当M x =δ<-<.11M x >-就有.11lim 1∞=-∴→x x .)(,)(lim :00的图形的铅直渐近线是函数则直线如果定义x f y x x x f x x ==∞=→三、无穷小与无穷大的关系定理4 在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小;恒不为零的无穷小的倒数为无穷大.证.)(lim 0∞=→x f x x 设,1)(0,0,00ε>δ<-<>δ∃>ε∀∴x f x x 恒有时使得当.)(1,0为无穷小时当x f x x →∴.0)(,0)(lim ,0≠=→x f x f x x 且设反之,1)(0,0,00Mx f x x M <δ<-<>δ∃>∀∴恒有时使得当.)(1,0为无穷大时当x f x x →∴意义关于无穷大的讨论,都可归结为关于无穷小的讨论.极限运算法则的证明定理.0,)()(lim )3(;)]()(lim[)2(;)]()(lim[)1(,)(lim ,)(lim ≠=⋅=⋅±=±==B BA x g x fB A x g x f B A x g x f B x g A x f 其中则设证.)(lim ,)(lim B x g A x f == .0,0.)(,)(→β→αβ+=α+=∴其中B x g A x f 由无穷小运算法则,得)()]()([B A x g x f ±-±β±α=.0→.)1(成立∴)()]()([B A x g x f ⋅-⋅AB B A -β+α+=))((αβ+α+β=)(B A .0→.)2(成立∴B A x g x f -)()(B A B A -β+α+=)(β+β-α=B B A B .0→β-αA B ,0,0≠→βB 又,0>δ∃,00时当δ<-<x x ,2B <ββ-≥β+∴B B B B 21->B 21=,21)(2B B B >β+∴,2)(12B B B <β+故有界，.)3(成立∴注①此定理对于数列同样成立②此定理证明的基本原则：)()()(lim x A x f A x f α+=⇔=③(1),(2)可推广到任意有限个具有极限的函数④(2)有两个重要的推论四、无穷小的比较例如,.1sin ,sin ,,,022都是无穷小时当x x x x x x →观察各极限x x x 3lim 20→,0=;32要快得多比x x x x x sin lim 0→,1=;sin 大致相同与x x 2201sin lim x x x x →x x 1sin lim 0→=.不存在不可比.极限不同, 反映了趋向于零的“快慢”程度不同.定义:.0,,≠αβα且穷小是同一过程中的两个无设);(,,0lim )1(α=βαβ=αβo 记作高阶的无穷小是比就说如果;),0(lim )2(是同阶的无穷小与就说如果αβ≠=αβC C ;~;,1lim βααβ=αβ记作是等价的无穷小与则称如果特殊地.),0,0(lim )3(无穷小阶的的是就说如果k k C C k αβαβ>≠=例1.tan 4,0:3的四阶无穷小为时当证明x x x x →解430tan 4lim x x x x →30)tan (lim 4xx x →=,4=.tan 4,03的四阶无穷小为时故当x x x x →例2.sin tan ,0的阶数关于求时当x x x x -→解30sin tan lim x x x x -→ )cos 1tan (lim 20x x x x x -⋅=→,21=.sin tan 的三阶无穷小为x x x -∴常用等价无穷小:,0时当→x .21~cos 1,~1,~)1ln(,~arctan ,~tan ,~arcsin ,~sin 2x x x e x x x x x x x x x x x --+x x 21~11-+x n x n 1~11-+x x αα~1)1(-+注 1.上述10个等价无穷小（包括反、对、幂、指、三）必须熟练掌握都成立换成将0)(.2→∀x f x用等价无穷小可给出函数的近似表达式:,1lim =αβ ,0lim =αβ-α∴),(α=β-αo 即).(α+β=αo 于是有)(βαβo +=同理也有一般地有)(~ααββαo +=⇔即α与β等价⇔α与β互为主要部分例如,),(sin x o x x +=).(211cos 22x o x x +-=补充高阶无穷小的运算规律},min{)()()().1(n m k x o x o x o k n m ==±其中)()()().2(n m n m xo x o x o +=⋅)()().3(n m n m xo x o x +=⋅为有界其中)()()()().4(x x o x o x nn ϕϕ=⋅数学分析第3.5节五、等价无穷小替换定理(等价无穷小替换定理).lim lim ,lim ~,~αβαβαβββαα''=''''则存在且设证αβlim )lim(αα'⋅α'β'⋅β'β=αα'⋅α'β'⋅β'β=lim lim lim .lim α'β'=意义求两个无穷小之比的极限时，可将其中的分子或分母或乘积因子中的无穷小用与其等价的较简单的无穷小代替，以简化计算。

第三章函数极限5 无穷小量与无穷大量一、无穷小量定义1：设f在U0(x0)内有定义，若limx→x0f(x)=0，则称f为当x→x0时的无穷小量. 记作f(x)=o(1) (x→x0).若函数g在U0(x0)内有界，则称g为当x→x0时的有界量. 记作f(x)=O(1) (x→x0).性质：1、两个(相同类型的)无穷小量之和、差、积仍为无穷小量.2、无穷小量与有界量的乘积为无穷小量.例：当x→0时，x2是无穷小量，sin1x 为有界量，所以limx→0x2sin1x=0.结论：limx→x0f x=A limx→x0(f x−A)=0.二、无穷小量阶的比较设x→x0时，f与g均为无穷小量.1、若limx→x0f(x)g(x)=0，则称当x→x0时，f为g的高阶无穷小量，或称g为f的低阶无穷小量. 记作f(x)=o(g(x)) (x→x0).2、若存在正数K和L，使得在某U0(x0)上有：K≤f(x)g(x)≤L或limx→x0f(x)g(x)=c≠0，则称f与g为当x→x0时的同阶无穷小量.例：(1)当x→0时，1-cos x与x2皆为无穷小量. 又limx→01−cos xx2=12. 所以1-cos x与x2为当x→0时的同阶无穷小量.(2)当x→0时，x与x2+sin1x 皆为无穷小量. 又1≤2+sin1x≤3. 所以x与x2+sin1x为当x→0时的同阶无穷小量.若无穷小量f与g满足关系式f(x)g(x)≤L，x∈U0(x0). 则记作f(x)=O(g(x)) (x→x0). 当f(x)=o(g(x)) (x→x0)时，也有f(x)=O(g(x)) (x→x0).o(g(x))=f|limx→x0f xg x=0；f(x)=o(g(x))，即f(x)∈f|limx→x0f xg x=0.3、若limx→x0f(x)g(x)=1，称f与g为当x→x0时的等阶无穷小量. 记作f(x)~g(x) (x→x0).注：不是任何两个无穷小量阶都可以进行比较，如：当x→0时，x sin1x和x2都是无穷小量，但它们的比1x sin1x或xsin1x当x→0时，都不是有界量，所以不能进行阶的比较。