专题62 离散型随机变量的均值和方差、正态分布(PPT)-2020年新高考数学一轮复习之考点题型深度剖析

D 四个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者．设随机变
量 X 为这 5 名志愿者中参加 A 岗位服务的人数，则 X 的数学期
5
望为__4__．
解析：根据题意，5 名志愿者被随机分配到 A，B，C，D 四个 不同岗位，每个岗位至少一人，共有 C25A44＝240 种，而 X＝1,2， 则 P(X＝1)＝C512C4240A33＝128400＝34，P(X＝2)＝C2254A033＝26400＝14，故
(× )
(2)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的
平均程度，方差或标准差越小，则偏离均值的平均程度越小
(√ )
(3)若X～B(n，p)，则E(X)＝np(1－p)
(×)
(4) DX 是随机变量的标准差，在统计中常用它来描述X的分
)＝aE(X)，D(Y)＝a2D(X)
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考点一 离散型随机变量的均值 (基础送分型考点——自主练透)
1．定义
[必备知识]
一般地，若离散型随机变量 X 的分布列为
X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 称 E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn 为随机变量 X 的均值 或数学期望．它反映了离散型随机变量取值的平均水平．
识分析分数减少的原因．
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解：(1)X 可能的取值为：10,20,100，－200.根据题意，有
P(X＝10)＝C13×121×1－122＝38，
P(X＝20)＝C23×122×1－121＝38，
P(X＝100)＝C33×123×1－120＝18，
P(X＝－200)＝C03×120×1－123＝18. 所以 X 的分布列为

2．正态分布
(1)正态曲线的性质
①曲线位于x轴 □13 上方 ，与x轴不相交； ②曲线是单峰的，它关于直线 □14 x＝μ 对称；
③曲线在 □15 x＝μ
处达到峰值σ
1； 2π
④曲线与x轴之间的面积为 □16 1 ；
⑤当σ一定时，曲线随着 □17 μ 的变化而沿x轴平移，如图甲所示； ⑥当μ一定时，曲线的形状由σ确定．σ □18 越小 ，曲线越“瘦高”，表 示总体的分布越集中；σ □19 越大 ，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越
的数学期望E(ξ)＝0×17＋1×27＋4×27＋9×17＋16×71＝5.故选B.
答案
解析
4．(2019·孝感模拟)已知袋中有3个白球、2个红球，现从中随机取出3
个球，其中取出1个白球计1分，取出1个红球计2分，记X为取出3个球的总
分值，则E(X)＝( )
18 A. 5
21 B. 5
C．4
24 D. 5
答案
故P(X＝3)＝C34C51C＋49C33C61＝2102＋66＝1633； 于是P(X＝2)＝1－P(X＝3)－P(X＝4)＝1－1633－1126＝1114. 所以随机变量X的概率分布如下表：
解 (1)取到2个颜色相同的球可能是2个红球、2个黄球或2个绿球， 所以P＝C42＋CC9232＋C22＝6＋336＋1＝158. (2)随机变量X所有可能的取值为2,3,4，{X＝4}表示的随机事件是“取到 的4个球是4个红球”， 故P(X＝4)＝CC4449＝1126； {X＝3}表示的随机事件是“取到的4个球是3个红球和1个其他颜色的 球，或3个黄球和1个其他颜色的球”，
称D(X)＝
i＝1
为随机变量X的方差，它刻画了随机

A1 )
1 2
,
P ( B2
)
1 3
,
P(C3 )
1 6
.
(1)他们选择旳项目所属类别互不相同旳概率
P=3！P(A1B2C3)=6P(A1)P(B2)P(C3)
6 11 1 1. (2)设32名工3 人6中选6 择旳项目属于民生工程旳人数为
η,由已知, ~ B(3, 1), 且 3 ,
所以P(
解析 X ~ B(3, 1), D( X ) 3 1 3 9 .
4
4 4 16
题型分类 深度剖析
题型一 离散型随机变量旳均值与方差旳求法 【例1】 (2023·湖南理,17)为拉动经济增长,某市决
定新建一批要点工程,分为基础设施工程、民生工程 和产业建设工程三类,这三类工程所含项目旳个数分 别占总数旳 1 , 1 , 1 , 既有3名工人独立地从中任选一
解 (1)ξ旳全部可能取值有6,2,1,-2.
P( 6) 126 0.63, P( 2) 50 0.25,
200
200
P( 1) 20 0.1, P( 2) 4 0.02.
200
200
故ξ旳分布列为
6
2
1
-2
P 0.63 0.25 0.1 0.02
(2)E(ξ)=6×0.63+2×0.25+1×0.1+(-2)×0.02
随机变量ξ1、ξ2分别表达对甲、乙两项目各投资
10万元一年后旳利润.
(1)求ξ1、ξ2旳概率分布和数学期望E(ξ1)、 E(ξ2); (2)当E(ξ1)<E(ξ2)时,求p旳取值范围. 解 (1)措施一 ξ1旳概率分布列为
1 1.2 1.18 1.17

1随机变量的方差与标准差都反映了随机变量取值的稳定与波 动、集中与离散的程度.DX越大，表明平均偏离程度越大，X 的 取值越分散.反之，DX越小，X 的取值越集中在 EX附近. 2方差也是一个常数，它不具有随机性，方差的值一定是非负.
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3.两个特殊分布的期望与方差
分布 两点分布 二项分布
第八节 离散型随机变量的均值与方差、正态分布
目录
基础——在批注中理解透
单纯识记无意义，深刻理解提能力
课时跟踪检测
考点——在细解中明规律
题目千变总有根，梳干理枝究其本
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基础——在批注中理解透
单纯识记无意义，深刻理解提能力
1.均值
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一般地，若离散型随机变量 X 的分布列为：
X
x1
x2
…
xi
…
xn
任取 3 件，若 X 表示取到次品的次数，则 D(X)＝___1_6____. 解析：∵X～B3，14，∴D(X)＝3×14×34＝196.
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5.一个正四面体 ABCD 的四个顶点上分别标有 1 分，2 分，3
分和 4 分，往地面抛掷一次记不在地面上的顶点的分数为 X，
5 则 X 的均值为____2____.
D.12－p
解析：因为随机变量 X 服从正态分布 N(0,1)，所以正态分布曲线
关于直线 x＝0 对称，
所以 P(X＞0)＝P(X＜0)＝12，P(X＞1)＝P(X＜－1)＝p，
所以 P(－1＜X＜0)＝P(X＜0)－P(X＜－1)＝12－p.
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4.有一批产品，其中有 12 件正品和 4 件次品，从中有放回地 9
雪促销活动.该滑雪场的收费标准是：滑雪时间不超过 1 小时