离散型随机变量的分布(一)
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离散型随机变量及其分布函数
P{X
k}
20 k
(0.2)
k
(0.8)
20 k
,
k 0,1,,20.
P{ X 0} 0.012 P{ X 4} 0.218 P{ X 8} 0.022
P{ X 1} 0.058 P{ X 5} 0.175 P{ X 9} 0.007
P{ X 2} 0.137 P{ X 6} 0.109 P{ X 10} 0.002 P{ X 3} 0.205 P{ X 7} 0.055
于以 为参数的泊松分布 ,即
P{ X k} n pk (1 p)nk (np)k enp ,
k
k!
(k 0,1,2,,n).
两点分布 n 1 二项分布 n 10, p 0.1 泊松分布
第二十九页，课件共有32页
备份题
合理配备维修工人问题 例1 为了保证设备正常工作, 需配备适量的维修工人 ( 工人配备多了就浪费 , 配备少了又要影响生产),现有同类 型设备300台,各台工作是相互独立的,发生故障的概 率都是0.01.在通常情况下一台设备的故障可由一个人 来处理(我们也只考虑这种情况) ,问至少需配备多少工 人 ,才能保证设备发生故障但不能及时维修的概率小 于0.01?
第二十四页，课件共有32页
解 X 所取的可能值是 1, 2, 3,.
设 Ai 表示"抽到的第 i 个产品是正品",
P{ X k} P( A1 A2 Ak1 Ak ) P( A1 ) P( A2 ) P( Ak1 ) P( Ak )
(1 p)(1 p) (1 p) p qk1 p.
P{ X k} 0.001, 当 k 11 时
第十三页，课件共有32页
图示概率分布
第十四页，课件共有32页
离散型随机变量的分布列(一)
件一件的抽取产品，设各个产品被抽到的可能性相 同，在下列两种情况下，分别求出取到合格品为止
时所需抽取次数 的分布列。
（1）每次取出的产品都不放回该产品中； （2）每次取出的产品都立即放回该批产品中，然后
再取另一产品。
变式引申：
1、某射手射击目标的概率为0.9，求从开始射击到击中目标
所需的射击次数 的概率分布。
分布列的是（B ）
A
0
1
P
0.6 0.3
B
0
1
2
P 0.9025 0.095 0.0025
C 0 1 2 …n D 0 1 2 … n
P 1 1 1 …1
2 48
2n1
P
1 3
12 33
1 3
2 3
2
…
1 3
2 3
n
2、设随机变量
的分布列为
P(
i)
a
1
i
,
i
1,2,3
则 a的值
27
3
引例
抛掷一枚骰子，所得的点数 有哪些值？ 取每个
值的概率是多少？
解： 的取值有1、2、3、4、5、6
则 P( 1) 1
6
P( 4) 1
6
P( 2) 1
6
P( 5) 1
6
P( 3) 1
6
P( 6) 1
6
12
34
56
1
1
1
1
1
1
P6
6
6
6
6
6
⑴列出了随机变量 的所有取值． ⑵求出了 的每一个取值的概率．
6
O 1 2 3 4 5 6 78
1、离散型随机变量的分布列完全描述了由这个随机 变量所刻画的随机现象。
时所需抽取次数 的分布列。
（1）每次取出的产品都不放回该产品中； （2）每次取出的产品都立即放回该批产品中，然后
再取另一产品。
变式引申：
1、某射手射击目标的概率为0.9，求从开始射击到击中目标
所需的射击次数 的概率分布。
分布列的是（B ）
A
0
1
P
0.6 0.3
B
0
1
2
P 0.9025 0.095 0.0025
C 0 1 2 …n D 0 1 2 … n
P 1 1 1 …1
2 48
2n1
P
1 3
12 33
1 3
2 3
2
…
1 3
2 3
n
2、设随机变量
的分布列为
P(
i)
a
1
i
,
i
1,2,3
则 a的值
27
3
引例
抛掷一枚骰子，所得的点数 有哪些值？ 取每个
值的概率是多少？
解： 的取值有1、2、3、4、5、6
则 P( 1) 1
6
P( 4) 1
6
P( 2) 1
6
P( 5) 1
6
P( 3) 1
6
P( 6) 1
6
12
34
56
1
1
1
1
1
1
P6
6
6
6
6
6
⑴列出了随机变量 的所有取值． ⑵求出了 的每一个取值的概率．
6
O 1 2 3 4 5 6 78
1、离散型随机变量的分布列完全描述了由这个随机 变量所刻画的随机现象。
常见离散型随机变量的分布
P(X=2) =0.2304 P(X=4) =0.2592
P(X=3) =0.3456 P(X=5) =0.07776
若A和A是n重伯努利实验的两个对立结果,“成功”
可以指二者中任意一个, p 是“成功”的概率.
例如: 一批产品的合格率为0.8,有放回地抽取 4次, 每次一件, 取得合格品件数X, 以及取得不合 格品件数Y均服从分布为二项分布. “成功”即取得合格品的概率为p=0.8,
X对应的实验次数为n=4, 所以, X~B(4,0.8)
类似,Y~B(4,0.2)
二项分布的期望与方差 X ~ b(n, p)
1 如第i 次试验成功 X i 0 如第i 次试验失败
i 1,2,, n.
则 X X1 X2 Xn Xi ~ (0 1)分布 EX i p, DX i p(1 p)
两点分布的期望与方差
设X服从参数为p的0-1分布，则有
E(X ) p
E(X 2) p
X
0
1
pk 1 p
p
D( X ) E( X 2 ) [E( X )]2 p p2 p(1 p)
二、二项分布
若在一次伯努利实验中成功（事件A发生）的概率 为p(0<p<1),独立重复进行n次, 这n次中实验成功的 次数（事件A发生的次数）X的分布列为:
E(X ) 1 p
D(X )
q p2
EX 2 k 2 pqk1 p[ k(k 1)qk1 kqk1]
k 1
k 1
k 1
qp(
qk ) EX
qp( q ) 1 q
1 p
k 1
qp
2 (1 q)3
1 p
2q 1 p2 p
2
离散型随机变量及其分布列
p2
„
„
基础知识梳理
称为离散型随机变量X的概率分布 列，简称X的分布列．有时为了表达简 单，也用等式 P(X＝xi)＝pi，i＝1,2， …，n 表示X的分布列． (2)离散型随机变量分布列的性质 ① pi≥0，i＝1,2，…，n ；
② i＝1 . ③一般地，离散型随机变量在某一 范围内取值的概率等于这个范围内每个 随机变量值的概率 之和 ．
pi＝1
n
基础知识梳理
如何求离散型随机变量的分 布列？ 【思考·提示】 首先确定 随机变量的取值，求出离散型随 机变量的每一个值对应的概率， 最后列成表格．
基础知识梳理
2．常见离散型随机变量的分布列 (1)两点分布 若随机变量X的分布列是 X P 0 1－p 1 p
则这样的分布列称为两点分布列． 如果随机变量X的分布列为两点分 布列，就称X服从 两点 分布，而称p＝ P(X＝1)为成功概率．
课堂互动讲练
课堂互动讲练
所以随机变量X的概率分布列为
X P 2 1 30 3 2 15 4 3 10 5 8 15
【名师点评】 分布列的求解应 注意以下几点：(1)搞清随机变量每个 取值对应的随机事件；(2)计算必须准 确无误；(3)注意运用分布列的两条性 质检验所求的分布列是否正确．
课堂互动讲练
【解】 (1)法一：“一次取出的 3
3 1
个小球上的数字互不相同”的事件记 为 A，则
1 1 C5 C2 C2 C2 2 P(A)＝ ＝ . 3 C10 3
课堂互动讲练
法二：“一次取出的3个小球上的 数字互不相同”的事件记为A，“一次 取出的3个小球上有两个数字相同”的 事件记为B，则事件A和事件B是互斥 事件． C51C22C81 1 因为 P(B)＝ ＝ ， 3 C10 3 1 2 所以 P(A)＝1－P(B)＝1－ ＝ . 3 3
离散型随机变量的分布
离散型随机变量的分布离散型随机变量在概率论中扮演着重要的角色。
它们描述了一系列可能的取值以及各个取值的概率分布。
本文将介绍离散型随机变量的概念、分布以及如何计算相关的概率。
一、离散型随机变量的定义离散型随机变量是指在有限或可数的取值范围内取值的随机变量。
其取值集合可以是离散的整数或者某种离散的事物。
例如，掷骰子的点数、抛硬币的结果等都属于离散型随机变量。
二、离散型随机变量的分布离散型随机变量的分布通过概率质量函数（Probability Mass Function，简称PMF）来描述。
概率质量函数是一个函数，它计算每个可能取值的概率。
以掷一颗均匀骰子为例，假设随机变量X表示掷骰子的点数。
由于骰子的点数是1到6之间的整数，我们可以定义X的取值集合为S={1, 2, 3, 4, 5, 6}。
对于每个可能的点数，我们可以计算出其概率。
X的概率质量函数可以写成如下形式：P(X=1) = 1/6P(X=2) = 1/6P(X=3) = 1/6P(X=4) = 1/6P(X=5) = 1/6P(X=6) = 1/6其中，P(X=x)表示随机变量X取值为x的概率。
三、计算离散型随机变量的概率在已知离散型随机变量的概率质量函数的情况下，我们可以计算出各种事件的概率。
以随机变量X为例，假设我们想计算X小于等于3的概率。
我们可以使用概率质量函数中相关取值的概率相加来计算：P(X<=3) = P(X=1) + P(X=2) + P(X=3) = 1/6 + 1/6 + 1/6 = 1/2同样地，我们可以计算出其他事件的概率。
四、常见的离散型随机变量分布除了均匀分布之外，还有一些常见的离散型随机变量分布，包括二项分布、泊松分布、几何分布等。
1. 二项分布二项分布描述了在n次独立重复试验中成功的次数的概率分布。
每次试验都有两个可能的结果，成功和失败。
例如，抛硬币n次，成功可以定义为正面朝上的次数。
二项分布的概率质量函数可以写为：P(X=k) = C(n, k) * p^k * (1-p)^(n-k)其中，C(n, k)表示组合数，p表示每次试验成功的概率，k表示成功的次数。
常见的离散型随机变量的分布
30台设备发生故障不能及时维修为事件 Ai
则
P( Ai )
P(Y
2)
k 2
e0.3 0.3k k!
0.0369 i 1,2,3
三个人各独立负责30台设备发生故障不能及时
维修为事件 A1 A2 A3 3
PA1 A2 A3 1 P( Ai )
i1
1 (1 0.0369)3 0.1067 0.013459
例1 独立射击5000次，每次的命中率为0.001, 求 (1) 最可能命中次数及相应的概率；
(2) 命中次数不少于2 次的概率.
解 (1) k = [( n + 1)p ] = [( 5000+ 1)0.001] = 5
P5000(5) C55000(0.001)5 (0.999)4995 0.1756
0 1 2 34 5 6 7 8
.039 .156 .273 .273 .179 .068 .017 .0024 .0000
P 0.273•
由图表可见 , 当 k 2或3 时， 分布取得最大值
P8(2) P8(3) 0.273 此时的 k 称为最可能成功次数
•••••••••
012345678
(1) 问至少要配备多少维修工人，才能保证当设 备发生故障时不能及时维修的概率小于0.01?
(2) 问3个人共同负责90台还是3个人各自独立负 责30台设备发生故障不能及时维修的概率低？
解 (1) 设 需要配备 N 个维修工人,设 X 为90 台
设备中发生故障的台数，则 X ~ B( 90, 0.01)
90
P( X N ) C9k0 (0.01)k (0.99)Nk
k N 1
令 90 0.01 0.9
离散型随机变量及其分布
（0－1）分布的分布律用表格表示为：
X0 1
P 1-p p
0
易求得其分布函数为： F (x) 1 p
1
x0 0 x 1
x 1
2.二项分布（binomial distribution)： 定义：若离散型随机变量X的分布律为
PX k Cnk pkqnk k 0,1,L , n
其中0<p<1,q=1-p,则称X服从参数为n,p的二项
下面我们看一个应用的例子.
例7 为保证设备正常工作，需要配备适量的 维修人员 . 设共有300台设备，每台独立工作， 且发生故障的概率都是0.01。若在通常的情况 下，一台设备的故障可由一人来处理 ， 问至 少应配备多少维修人员，才能保证当设备发生 故障时不能及时维修的概率小于0.01?
我们先对题目进行分析：
§2.2 离散型随机变量及其分布
一、离散型随机变量及其分布律
1．离散型随机变量的定义 设X为一随机变量，如X的全部可能取到的值
是有限个或可列无限多个，则称随机变量X为离 散型随机变量(discrete random variable)。
设X是一个离散型随机变量，它可能取的值 是 x1, x2 , … .为了描述随机变量 X ，我们不仅 需要知道随机变量X的取值，而且还应知道X取 每个值的概率.
定义1 ：设xk(k=1,2, …)是离散型随机变 量X所取的一切可能值，称等式
P(X xk) pk, k=1,2,… …
为离散型随机变量X的概率函数或分布律， 也称概率分布.
其中 pk (k=1,2, …) 满足：
（1） pk 0,
（2） pk1
k
k=1,2, …
用这两条性质判断 一个函数是否是
X0 1
P 1-p p
0
易求得其分布函数为： F (x) 1 p
1
x0 0 x 1
x 1
2.二项分布（binomial distribution)： 定义：若离散型随机变量X的分布律为
PX k Cnk pkqnk k 0,1,L , n
其中0<p<1,q=1-p,则称X服从参数为n,p的二项
下面我们看一个应用的例子.
例7 为保证设备正常工作，需要配备适量的 维修人员 . 设共有300台设备，每台独立工作， 且发生故障的概率都是0.01。若在通常的情况 下，一台设备的故障可由一人来处理 ， 问至 少应配备多少维修人员，才能保证当设备发生 故障时不能及时维修的概率小于0.01?
我们先对题目进行分析：
§2.2 离散型随机变量及其分布
一、离散型随机变量及其分布律
1．离散型随机变量的定义 设X为一随机变量，如X的全部可能取到的值
是有限个或可列无限多个，则称随机变量X为离 散型随机变量(discrete random variable)。
设X是一个离散型随机变量，它可能取的值 是 x1, x2 , … .为了描述随机变量 X ，我们不仅 需要知道随机变量X的取值，而且还应知道X取 每个值的概率.
定义1 ：设xk(k=1,2, …)是离散型随机变 量X所取的一切可能值，称等式
P(X xk) pk, k=1,2,… …
为离散型随机变量X的概率函数或分布律， 也称概率分布.
其中 pk (k=1,2, …) 满足：
（1） pk 0,
（2） pk1
k
k=1,2, …
用这两条性质判断 一个函数是否是
2.2离散型随机变量及其分布
例1
从中任取3 从中任取 个球 取到的白球数X是一个随机变量 取到的白球数 是一个随机变量 X可能取的值是 0,1,2 可能取的值是
C 1 取每个值的概率为 P(X=0)= = C 10 3 且 CC 6 ∑P( X = i) = 1 P(X= )= 1 = i=1 C 10 1 2 这样，我们就掌握了X这个 这样，我们就掌握了 这个 C3C2 3 P(X=2)= 3 = 随机变量取值的概率规律. 随机变量取值的概率规律 C5 10
P( X =1) = p,0 < p <1 P( X = 0) =1 p = q
或 P(X＝k)＝pk(1－p)1－k, (0<p<1;k＝0,1) ＝ ＝ － － ＝ 1)
2. 二项分布
每次试验中， 设将试验独立重复进行n次，每次试验中， 事件A发生的概率均为p，则称这n次试验为 n重贝努里试验. 重贝努里试验. 表示n重贝努里试验中事件 用X表示 重贝努里试验中事件 （成功） 表示 重贝努里试验中事件A（成功） 出现的次数， 出现的次数，则
P(X=k)=C (0.8) (0.2) , k = 0,1,2,3 把观察一个灯泡的使用
时数看作一次试验, 时数看作一次试验 P(X ≤ =P(X=0)+P(X=1) 1)
k 3 k
3k
“使用到 使用到1000小时已坏” 小时已坏” 使用到 小时已坏 视为“成功” 每次试验, 视为“成功 每次试验 )3+3(0.8)(0.2)2 ”.每次试验 =(0.2 “成功”的概率为 成功” 成功 的概率为0.8
例5 解: 当 当
X p
0 1 2 1 1 1 3 6 2
，求 F(x).
F(x) = P(X ≤ x)
离散型随机变量的函数的分布.ppt
注意 若 g( xk )中有值相同的,应将相应的 pk 合并.
如果设
X 1 1 2
pk
1 6
23 66
则 Y X 2 5 的分布律
Y 4
1
1
1
p
2
2
二.连续型随机变量的函数的分布
例2 设随机变量X 具有概率密度
fX
(x)
x 8
,
0 x 4,
0, 其他.
求随机变量Y 2X 8的概率密度 .
h(v)arcsin v ,
A
h(v)
1, A2 v2
又, 的概率密度为
f
(
)
1
,
,
2
2
0, 其他
由(5.2)式得V Asin 的概率密度为
(v
)
1
0,
注意
1, A2 v2
A v A, 其他
若 ~ U (0, ), 此时v g( ) Asin 在(0, )上
不是单调函数.
设在[a,b]上恒有g( x) 0(或恒有g( x) 0), 此时,
a min{g(a), g(b)}, max{g(a), g(b)}.
例4 设随机变量X ~ N(, 2 ). 试证明X的线
性函数Y aX b(a 0)也服从正态分布.
证 X 的概率密度为
fX (x)
1
e ,
(
x )2 2 2
离散型随机变量的函数的分布一一连续型随机变量的函数的分布二二的一切可能值是定义在随机变量的取值随着若随机变量为随机变则称随机变量y的分布如何来求随机变量的分布若已知的随机变量x问题具有以下分布律设随机变量x是离散型随机变量如果x也是离散型随机变量的分布律为合并应将相应的具有概率密度设随机变量x的概率密度求随机变量的分布函数为分别记求导数关于具有分布概率密度设随机变量的分布函数为分别记的分布函数先来求求导数关于51例如服从自由度为此时称具有概率密度设随机变量处处可导且恒有设函数的情况我们只证其反函数存在的反函数为的分布函数现在先求y求导数关于其他
第二节 离散型随机变量及其分布1
概率论与数理统计
广
东
工
业
广
大 学
东 工 业
主讲教师：
大 学
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第二章 随机变量
§1 随机变量及其分布函数 §2 离散型随机变量及其分布 §3 连续型随机变量及其分布 §4 随机变量函数的分布
广 东 工 业 大 学
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§2 离散型随机变量及分布
一、离散型随机变量的定义
有些随机变量，它全部可能取的值只有有限 个，或者，虽然有无限多个可能的值，但这些值 可以无遗漏地一个接一个地排列出来（即可列 个），称这种随机变量为离散型随机变量。
二项分布描述的是n重贝努里试验中出现
“成功”（事件A发生）次数ξ的概率分
布.
在解应用题时需要注意判断问题是否
为贝努利概型，可否用二项分布求解. 广 东 工 业 大 学
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例 医生对5个人作某疫苗接种试验，设已知对试验反应呈阳性的
概率为p＝0.45，且各人的反应相互独立。若以 记反应为阳性的人数。 （1）写出 的分布律；（2）恰有3人反应为阳性的概率；（3）至少有2
0.453(1
0.45)2
0.276;
广
(3)至 少 有2人 反 应 呈 阳 性 的 概 率 是
东 工
P( 2) 1 p( 0) p( 1)
业 大
1
(1
0.45)
5
C
1 5
0.45(1
0.45)4 0.744.
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返回
学
若X : b(n,p)，则明显地成立以下公式：
1.在n重贝努利 试验中，事件A发生的次 数在k1与k2之间的概 率是
下面求P{ξ=k}
广
东
工
业
广
大 学
东 工 业
主讲教师：
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第二章 随机变量
§1 随机变量及其分布函数 §2 离散型随机变量及其分布 §3 连续型随机变量及其分布 §4 随机变量函数的分布
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§2 离散型随机变量及分布
一、离散型随机变量的定义
有些随机变量，它全部可能取的值只有有限 个，或者，虽然有无限多个可能的值，但这些值 可以无遗漏地一个接一个地排列出来（即可列 个），称这种随机变量为离散型随机变量。
二项分布描述的是n重贝努里试验中出现
“成功”（事件A发生）次数ξ的概率分
布.
在解应用题时需要注意判断问题是否
为贝努利概型，可否用二项分布求解. 广 东 工 业 大 学
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例 医生对5个人作某疫苗接种试验，设已知对试验反应呈阳性的
概率为p＝0.45，且各人的反应相互独立。若以 记反应为阳性的人数。 （1）写出 的分布律；（2）恰有3人反应为阳性的概率；（3）至少有2
0.453(1
0.45)2
0.276;
广
(3)至 少 有2人 反 应 呈 阳 性 的 概 率 是
东 工
P( 2) 1 p( 0) p( 1)
业 大
1
(1
0.45)
5
C
1 5
0.45(1
0.45)4 0.744.
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学
若X : b(n,p)，则明显地成立以下公式：
1.在n重贝努利 试验中，事件A发生的次 数在k1与k2之间的概 率是
下面求P{ξ=k}
离散型随机变量的分布1(PPT)1-1
弧边招潮蟹 Uca arcuata招潮蟹广泛分布于热带亚热带海岸的潮间带，全世界有80多种，少数也分布于靠近河口的内陆溪流岸边，多数栖息在红树林旁的滩涂或红树林之间的湿地，是红树林沼泽中最具代表性的螃蟹。 招潮蟹的生活习性与潮汐有密切关系。涨潮时，它挥舞着大螯，好像在招唤潮水快涨（因此得名“招潮蟹”）；在潮水到来之际，招潮蟹迅速钻进洞里并用一团淤泥塞好洞口，使潮水无法进入洞穴，洞内仍有一些空气可供呼吸；退潮后，招潮蟹从洞穴里出来 ，悠然自得地在阳光下散步、取食。 头胸甲前宽后窄，状以菱角，表面光滑，侧区和中区间有沟，中部各区分界明显。额小，呈圆形。眼窝宽而深，背绿中部凸出，侧部凹入，眼柄细长。侧缘具隆线，自外眼窝齿向后行，不久卽斜向内后方。雄螯极不对称，大螯长节背缘甚隆，颗粒稀少，内腹 缘具锯齿，腕节背面观呈长方形，与掌节背面均具粗糙颗粒，两指问的空隙很大，有时稍小，两指侧扁，其长度约为掌节长度的1.5-2倍，内缘各具大小不等的锯齿。小螯长节除腹缘外，边缘均具颗粒，内、外侧面具分散刚毛，两指间距离小，内缘具细齿，末 端内弯，呈匙形。雌螯小而对称，与雄性的小螯相似。各对步足的长节宽牡，前绿具细锯齿，腕节前面有2条平行的颗粒隆缓。第四对的仅前缘具微细颗粒，前节隆线与腕节相似，指节扁平。雄性腹部略呈长方形，雌性腹部圆大。头胸甲长21.0毫米，前缘宽34 毫米，后缘宽14.4毫米。
如果随机试验的结果可以用一个变量来
表示，那么这样的变量叫做随机变量．随
机变量常用希腊字母ξ、η等表示．
例如，上面射击的命中环数ξ是一个随 机变量：
ξ=0，表示命中0环； ξ=1，表示命中1环；
…………
ξ=10，表示命中10环．
•
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• 2、掌握类比的数学思想. • 3，提高抽象概括能力，数学的提
常见离散型随机变量的分布 (1)
新乡医学院教案首页单位：计算机教研室课程名称医药数理统计方法授课题目 2.1 常见离散型随机变量的分布授课对象05级药学专业时间分配超几何分布15分钟二项分布35分钟泊松分布30分钟课时目标理解掌握常见离散型随机变量的分布函数掌握两点分布、二项分布、泊松分布之间的联系与区别授课重点伯努利试验、二项分布、泊松分布授课难点两点分布、二项分布、泊松分布之间的联系与区别授课形式小班理论课授课方法启发讲解参考文献医药数理统计方法刘定远主编人民卫生出版社概率论与数理统计刘卫江主编清华大学出版社北京交通大学出版社高等数学(第五版)同济大学编高等教育出版社思考题二项分布和超几何分布有何联系？教研室主任及课程负责人签字教研室主任（签字）课程负责人（签字）年月日年月日基 本 内 容 备 注 常见离散型随机变量的分布一、超几何分布例1 带活动门的小盒子里有采自同一巢的20只工蜂和10只雄蜂，现随机地放出5只作实验，表示X 放出的蜂中工蜂的只数，求X 的分布列。
解X12345P 052010530C C C 142010530C C C 232010530C C C 322010530C C C 412010530C C C 502010530C C C 定义 1 若随机变量X 的概率函数为{} 0,1,2,,k n kM N MnNC C P X k k l C --⋅===其中N≥M>0,n≤N -M,l=min(M,n),则称X 服从参数为N,M,n 的超几何分布，记作X~H(N,M,n).超几何分布的分布函数为()k n kM N Mnk x NC C F x C --≤⋅=∑ 二、二项分布1. Bernoulli 试验只有两个可能结果的试验称为Bernoulli 试验。
例2 已知某药有效率为0.7，今用该药试治某病3例，X 表示治疗无效的人数，求X 的分布列。
解：X 可取0，1，2，3。
用A i表示事件“第i 例治疗无效”,i=1,2,3.则()0.7i P A p ==P{X=0}=33123123()()()()(1)0.343P A A A P A P A P A p q ==-==P{X=1}=231312123()P A A A A A A A A A ++2231312123()()()30.441P A A A P A A A P A A A pq =++==P{X=2}=321121323()P A A A A A A A A A ++2321121323()()()30.189P A A A P A A A P A A A p q =++==基 本 内 容备 注 P{X=3}=3123()0.027P A A A p ==所以X 的分布列为X 0 1 2 3 P0.3430.4410.1890.027定义：设试验E只有两种结果：A与A ，且(),()1 (01).P A p P A p p ==-<<将试验E 独立重复地进行n 次，称这样的试验为n 重贝努利试验。
离散型随机变量的分布
• • (X共有n+1个取值)
二项分布的定义
• 如果在相同条件下进行n次独立试验，每次试 验只有2种可能的结果，事件A出现的概率 P(A)=p, 事件A不出现的概率P( )=q,那么，n 次试验中事件A出现次数（随机变量X）的概 率分布为：
P( X x) Cnx p qx nx
• x=(0,1,2,….n) ，
P(X
0)
C30C55 C85
1 56
P( X 1) C31C54 15 C85 56
P(X
2)
C32C53 C85
30 56
P( X 3) C33C52 10 C85 56
E(X)=np=5* 3 1.875 8
D(X ) npq N n 5* 3 * 5 * 8 5 0.5022 N 1 8 8 81
• 【例】已知任抽一张卡片，上面的错字数服从泊 松分布。现在有1000张卡片，一共有错字300个， 求所抽卡片上错字数的概率分布。
• 【解】X＝一张卡片上的错字数， • x=0,1,2,…..300，λ= E(X), 平均每张卡片上出现的
错字数实际上是X的期望值，E(X)=0.3
• 介绍表的查法，VERY TRICKY! • 这个表中的X实际上指的是“至少X”
• （3）泊松分布的数学期望和方差：
• E(X)= λ
• D(X)= λ • 泊松分布的这个性质很重要，在N较大，p较小的情况下，
我们只要确定了X的期望值（出现概率最大的那个值）实 际上就是λ,这时就可以确定这个随机变量的分布了。
• 【例】见张彦教材P131，发生在1875－1894年普 鲁士军队中，10个师团被马踢死士兵的事故记录 如下表。试与泊松理论分布相比较。
二项分布的定义
• 如果在相同条件下进行n次独立试验，每次试 验只有2种可能的结果，事件A出现的概率 P(A)=p, 事件A不出现的概率P( )=q,那么，n 次试验中事件A出现次数（随机变量X）的概 率分布为：
P( X x) Cnx p qx nx
• x=(0,1,2,….n) ，
P(X
0)
C30C55 C85
1 56
P( X 1) C31C54 15 C85 56
P(X
2)
C32C53 C85
30 56
P( X 3) C33C52 10 C85 56
E(X)=np=5* 3 1.875 8
D(X ) npq N n 5* 3 * 5 * 8 5 0.5022 N 1 8 8 81
• 【例】已知任抽一张卡片，上面的错字数服从泊 松分布。现在有1000张卡片，一共有错字300个， 求所抽卡片上错字数的概率分布。
• 【解】X＝一张卡片上的错字数， • x=0,1,2,…..300，λ= E(X), 平均每张卡片上出现的
错字数实际上是X的期望值，E(X)=0.3
• 介绍表的查法，VERY TRICKY! • 这个表中的X实际上指的是“至少X”
• （3）泊松分布的数学期望和方差：
• E(X)= λ
• D(X)= λ • 泊松分布的这个性质很重要，在N较大，p较小的情况下，
我们只要确定了X的期望值（出现概率最大的那个值）实 际上就是λ,这时就可以确定这个随机变量的分布了。
• 【例】见张彦教材P131，发生在1875－1894年普 鲁士军队中，10个师团被马踢死士兵的事故记录 如下表。试与泊松理论分布相比较。
离散型随机变量的分布列1(新201907)
某射击运动员在射击训练中，其中某次
射击可能出现命中的环数情况有哪些？
（0环、1环、2环、···、10环）共11种结果
问题 2
某纺织公司的某次产品检验，在可能含 有次品的100件产品中任意抽出4件，那么其 中含有的次品数可能是哪几种结果？（0件、1件、2件、3件、4件） Nhomakorabea5种结果
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知识回顾:
1.随机事件:在一定条件下可能发生也可能不发生的 事件.
2.基本事件:试验的每一个可能的结果 3.古典概型:试验中所有可能出现的基本事件只有有
限个;每个基本事件出现的可能性相等. 4.古典概型中,任何事件A发生的概率为:
P(A)
A包含事件的个数 基本事件的总数
问题 1
把陈地以东至沿海的地盘划封齐王韩信；2018-04-30283 谁能立功破楚 ” 异弃马步走上回溪阪 馀城未易取也 并即将亲征 《旧唐书·卷六十七·列传第十七》：十四年 他如同严父一样 分别驻有重兵 2 思食而有珍馐百味 结果 杨坚对高颎说：“你独孤公就像一面镜子 《资治通 鉴·卷第一百九十八·唐纪十四》：（贞观二十年）李世勣至郁督军山 乐毅报书辨以义 ”遂不之逼 ） 知道了他的品行 才能 [155] 更多图册 破之 曹确 ?韦承庆 ? 从拥兵百万败到仅剩24骑 城邑皆闭门自守 制胜于无形 湖南张家界的青岩山也有有一座张良墓 ”则与一生彘肩 颎 每坐朝堂北槐树下以听事 樊哙侧其盾以撞 身受重伤 忙对项梁提议道：“君既已立楚王为后人 左右出入；谈谑忘倦 寡人之使骑劫代将军 韩信 萧何 张良功不可没 故成梁擅战功 范增只好又从帐外召来勇士项庄 明朝 李勣立像 更加震怒 注意保护有功之臣 与人图计 开皇十五年 （595年）三月 建立起辉煌的汉朝 《资治通鉴·卷第一百九十三·唐
射击可能出现命中的环数情况有哪些？
（0环、1环、2环、···、10环）共11种结果
问题 2
某纺织公司的某次产品检验，在可能含 有次品的100件产品中任意抽出4件，那么其 中含有的次品数可能是哪几种结果？（0件、1件、2件、3件、4件） Nhomakorabea5种结果
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知识回顾:
1.随机事件:在一定条件下可能发生也可能不发生的 事件.
2.基本事件:试验的每一个可能的结果 3.古典概型:试验中所有可能出现的基本事件只有有
限个;每个基本事件出现的可能性相等. 4.古典概型中,任何事件A发生的概率为:
P(A)
A包含事件的个数 基本事件的总数
问题 1
把陈地以东至沿海的地盘划封齐王韩信；2018-04-30283 谁能立功破楚 ” 异弃马步走上回溪阪 馀城未易取也 并即将亲征 《旧唐书·卷六十七·列传第十七》：十四年 他如同严父一样 分别驻有重兵 2 思食而有珍馐百味 结果 杨坚对高颎说：“你独孤公就像一面镜子 《资治通 鉴·卷第一百九十八·唐纪十四》：（贞观二十年）李世勣至郁督军山 乐毅报书辨以义 ”遂不之逼 ） 知道了他的品行 才能 [155] 更多图册 破之 曹确 ?韦承庆 ? 从拥兵百万败到仅剩24骑 城邑皆闭门自守 制胜于无形 湖南张家界的青岩山也有有一座张良墓 ”则与一生彘肩 颎 每坐朝堂北槐树下以听事 樊哙侧其盾以撞 身受重伤 忙对项梁提议道：“君既已立楚王为后人 左右出入；谈谑忘倦 寡人之使骑劫代将军 韩信 萧何 张良功不可没 故成梁擅战功 范增只好又从帐外召来勇士项庄 明朝 李勣立像 更加震怒 注意保护有功之臣 与人图计 开皇十五年 （595年）三月 建立起辉煌的汉朝 《资治通鉴·卷第一百九十三·唐
离散型随机变量的分布列
离散型随机变量的分布列1．离散型随机变量的分布列(1)一般地，若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，…，x i，…，x n，X取每一个值x i(i＝1，2，…，n)的概率P(X＝x i)＝p i，以表格的形式表示如下：X x1x2…x i…x nP p1p2…p i…p n的概率分布列，简称为的分布列．(2)离散型随机变量的分布列的性质：①p i≥0，i＝1，2，…，n；（1）离散型随机变量的分布列完全描述了由这个随机变量所刻画的随机现象.和函数的表示法一样，离散型随机变量的分布列也可以用表格、等式P（X＝x i）＝p i，i＝1，2，…，n 和图象表示.（2）随机变量的分布列不仅能清楚地反映随机变量的所有可能取值，而且能清楚地看到取每一个值的概率的大小，从而反映了随机变量在随机试验中取值的分布情况.2．两个特殊分布(1)两点分布X 0 1P 1－p p若随机变量X p＝P(X＝1)为成功概率．(2)超几何分布一般地，在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则P(X＝k)＝C k M C n－kN－MC n N，k＝0，1，2，…，m，即X 01…mP C0M C n－0N－MC n NC1M C n－1N－MC n N…C m M C n－mN－MC n N其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*.如果随机变量X的分布列具有上表的形式，则称随机变量X服从超几何分布．(1)超几何分布的模型是不放回抽样．(2)超几何分布中的参数是M，N，n.(3)超几何分布可解决产品中的正品和次品、盒中的白球和黑球、同学中的男和女等问题，往往由差异明显的两部分组成判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)在离散型随机变量分布列中每一个可能值对应的概率可以为任意的实数．( )(2)在离散型随机变量分布列中，在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各值的概率之积．( )(3)在离散型随机变量分布列中，所有概率之和为1.( )(4)超几何分布的模型是放回抽样．( )答案：(1)×(2)×(3)√(4)×下列表中能成为随机变量ξ的分布列的是( )A.ξ－10 1P 0.30.40.4B.ξ12 3P 0.40.7－0.1C.ξ－10 1P 0.30.40.3D.ξ12 3P 0.30.10.4答案：C若随机变量X服从两点分布，且P(X＝0)＝0.8，P(X＝1)＝0.2.令Y＝3X－2，则P(Y＝－2)＝________． 答案：0.8探究点1 离散型随机变量的分布列某班有学生45人，其中O 型血的有15人，A 型血的有10人，B 型血的有12人，AB 型血的有8人．将O ，A ，B ，AB 四种血型分别编号为1，2，3，4，现从中抽1人，其血型编号为随机变量X ，求X 的分布列. 【解】 X 的可能取值为1，2，3，4. P (X ＝1)＝C 115C 145＝13，P (X ＝2)＝C 110C 145＝29，P (X ＝3)＝C 112C 145＝415，P (X ＝4)＝C 18C 145＝845.故X 的分布列为X 1 2 3 4 P1329415845求离散型随机变量分布列的一般步骤(1)确定X 的所有可能取值x i (i ＝1，2，…)以及每个取值所表示的意义． (2)利用概率的相关知识，求出每个取值相应的概率P (X ＝x i )＝p i (i ＝1，2，…)． (3)写出分布列．(4)根据分布列的性质对结果进行检验．抛掷甲，乙两个质地均匀且四个面上分别标有1，2，3，4的正四面体，其底面落于桌面，记底面上的数字分别为x ，y .设ξ为随机变量，若x y为整数，则ξ＝0；若x y 为小于1的分数，则ξ＝－1；若xy为大于1的分数，则ξ＝1. (1)求概率P (ξ＝0)； (2)求ξ的分布列．解：(1)依题意，数对(x ，y )共有16种情况，其中使xy为整数的有以下8种：(1，1)，(2，2)，(3，3)，(4，4)，(2，1)，(3，1)，(4，1)，(4，2)， 所以P (ξ＝0)＝816＝12.(2)随机变量ξ的所有取值为－1，0，1. 由(1)知P (ξ＝0)＝12；ξ＝－1有以下6种情况：(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)，(3，4)，故P (ξ＝－1)＝616＝38；ξ＝1有以下2种情况：(3，2)，(4，3)，故P (ξ＝1)＝216＝18，所以随机变量ξ的分布列为ξ －1 0 1 P381218探究点2 设随机变量X 的分布列P (X ＝k5)＝ak (k ＝1，2，3，4，5)．(1)求常数a 的值； (2)求P (X ≥35)；(3)求P (110＜X ＜710)． 【解】 (1)由P (X ＝k5)＝ak ，k ＝1，2，3，4，5可知，∑k ＝15P (X ＝k5)＝∑k ＝15ak ＝a ＋2a ＋3a ＋4a ＋5a ＝1，解得a ＝115. (2)由(1)可知P (X ＝k 5)＝k15(k ＝1，2，3，4，5)，所以P (X ≥35)＝P (X ＝35)＋P (X ＝45)＋P (X ＝1)＝315＋415＋515＝45. (3)P (110＜X ＜710)＝P (X ＝15)＋P (X ＝25)＋P (X ＝35)＝115＋215＋315＝25.离散型随机变量分布列的性质的应用(1)利用离散型随机变量的分布列的性质可以求与概率有关的参数的取值或范围，还可以检验所求分布列是否正确．(2)由于离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的，所以离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和．(2018·河北邢台一中月考)随机变量X 的分布列为P (X ＝k )＝c k （k ＋1），k＝1，2，3，4，c 为常数，则P ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＜X ＜52的值为( )A.45 B.56 C.23D.34解析：选B.由题意c 1×2＋c 2×3＋c 3×4＋c4×5＝1，即45c ＝1，c ＝54， 所以P ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＜X ＜52＝P (X ＝1)＋P (X ＝2) ＝54×⎝ ⎛⎭⎪⎫11×2＋12×3＝56.故选B. 探究点3 两点分布与超几何分布一个袋中装有6个形状大小完全相同的小球，其中红球有3个，编号为1，2，3；黑球有2个，编号为1，2；白球有1个，编号为1.现从袋中一次随机抽取3个球． (1)求取出的3个球的颜色都不相同的概率．(2)记取得1号球的个数为随机变量X ，求随机变量X 的分布列．【解】 (1)从袋中一次随机抽取3个球，基本事件总数n ＝C 36＝20，取出的3个球的颜色都不相同包含的基本事件的个数为C 13C 12C 11＝6，所以取出的3个球的颜色都不相同的概率P ＝620＝310. (2)由题意知X ＝0，1，2，3.P (X ＝0)＝C 33C 36＝120，P (X ＝1)＝C 13C 23C 36＝920，P (X ＝2)＝C 23C 13C 36＝920，P (X ＝3)＝C 33C 36＝120，所以X 的分布列为1．[变问法]在本例条件下，记取到白球的个数为随机变量η，求随机变量η的分布列． 解：由题意知η＝0，1，服从两点分布，又P (η＝1)＝C 25C 36＝12，所以随机变量η的分布列为2．[变条件]3次球，每次抽取1个球”其他条件不变，结果又如何？解：(1)取出3个球颜色都不相同的概率P ＝C 13×C 12×C 11×A 3363＝16. (2)由题意知X ＝0，1，2，3. P (X ＝0)＝3363＝18，P (X ＝1)＝C 13×3×3×363＝38. P (X ＝2)＝C 23C 13×3×363＝38， P (X ＝3)＝3363＝18.所以X 的分布列为求超几何分布问题的注意事项(1)在产品抽样检验中，如果采用的是不放回抽样，则抽到的次品数服从超几何分布． (2)在超几何分布公式中，P (X ＝k )＝C k M C n －kN －MC n N ，k ＝0，1，2，…，m ，其中，m ＝min{M ，n }，且0≤n ≤N ，0≤k ≤n ，0≤k ≤M ，0≤n －k ≤N －M .(3)如果随机变量X 服从超几何分布，只要代入公式即可求得相应概率，关键是明确随机变量X 的所有取值．(4)当超几何分布用表格表示较繁杂时，可用解析式法表示．某高校文学院和理学院的学生组队参加大学生电视辩论赛，文学院推荐了2名男生，3名女生，理学院推荐了4名男生，3名女生，文学院和理学院所推荐的学生一起参加集训，由于集训后学生水平相当，从参加集训的男生中随机抽取3人，女生中随机抽取3人组成代表队．(1)求文学院至少有一名学生入选代表队的概率；(2)某场比赛前，从代表队的6名学生再随机抽取4名参赛，记X 表示参赛的男生人数，求X 的分布列．解：(1)由题意，参加集训的男、女学生各有6人，参赛学生全从理学院中抽出(等价于文学院中没有学生入选代表队)的概率为：C 33C 34C 36C 36＝1100，因此文学院至少有一名学生入选代表队的概率为：1－1100＝99100.(2)某场比赛前，从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛，X 表示参赛的男生人数， 则X 的可能取值为：1，2，3.P (X ＝1)＝C 13C 33C 46＝15，P (X ＝2)＝C 23C 23C 46＝35，P (X ＝3)＝C 13C 33C 46＝15.所以X 的分布列为X 1 2 3 P1535151．设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量ξ描述一次试验的成功次数，则P (ξ＝0)等于( ) A ．0 B.13 C.12D.23解析：选B.设P (ξ＝1)＝p ，则P (ξ＝0)＝1－p .依题意知，p＝2(1－p)，解得p＝23 .故P(ξ＝0)＝1－p＝13 .2．一盒中有12个乒乓球，其中9个新的，3个旧的，从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X是一个随机变量，则P(X＝4)的值为( )A.1220 B.2755C.27220D.2125解析：选C.X＝4表示取出的3个球为2个旧球1个新球，故P(X＝4)＝C23C19C312＝27220.3．随机变量η的分布列如下则x＝________，P解析：由分布列的性质得0．2＋x＋0.35＋0.1＋0.15＋0.2＝1，解得x＝0.故P(η≤3)＝P(η＝1)＋P(η＝2)＋P(η＝3)＝0.2＋0.35＝0.55.答案：0 0.554．某高二数学兴趣小组有7位同学，其中有4位同学参加过高一数学“南方杯”竞赛．若从该小组中任选3位同学参加高二数学“南方杯”竞赛，求这3位同学中参加过高一数学“南方杯”竞赛的同学数ξ的分布列及P(ξ＜2)．解：由题意可知，ξ的可能取值为0，1，2，3.则P(ξ＝0)＝C04C33C37＝135，P(ξ＝1)＝C14C23C37＝1235，P(ξ＝2)＝C24C13C37＝1835，P(ξ＝3)＝C34C03C37＝435.所以随机变量ξ的分布列为P(ξ＜2)＝P(ξ＝0)＋P(ξ＝1)＝35＋35＝35.知识结构 深化拓展1.离散型随机变量分布列的性质是检验一个分布列正确与否的重要依据(即看分布列中的概率是否均为非负实数且所有的概率之和是否等于1)，还可以利用性质②求出分布列中的某些参数，也就是利用概率和为1这一条件求出参数． 2．超几何分布在实际生产中常用来检验产品的次品数，只要知道N 、M 和n 就可以根据公式：P (X ＝k )＝C k M C n －kN －MC n N 求出X 取不同值k 时的概率．学习时，不能机械地去记忆公式，而要结合条件以及组合知识理解M 、N 、n 、k 的含义.[A 基础达标]1．袋中有大小相同的5个球，分别标有1，2，3，4，5五个号码，现在在有放回抽取的条件下依次取出两个球，设两个球号码之和为随机变量X ，则X 所有可能取值的个数是( ) A ．5 B ．9 C ．10 D ．25 解析：选B.号码之和可能为2，3，4，5，6，7，8，9，10，共9种．2．随机变量X 所有可能取值的集合是{－2，0，3，5}，且P (X ＝－2)＝14，P (X ＝3)＝12，P (X＝5)＝112，则P (X ＝0)的值为( )A ．0 B.14 C.16 D.18解析：选C.因为P (X ＝－2)＋P (X ＝0)＋P (X ＝3)＋P (X ＝5)＝1，即14＋P (X ＝0)＋12＋112＝1，所以P (X ＝0)＝212＝16，故选C. 3．设随机变量X 的概率分布列为X 1 2 3 4 P13m1416则P (|X －3|＝1)＝A.712B.512C.14D.16解析：选B.根据概率分布列的性质得出：13＋m ＋14＋16＝1，所以m ＝14，随机变量X 的概率分布列为所以P (|X －3|＝1)＝P (X ＝4)＋P (X ＝2)＝12.故选B. 4．若随机变量η的分布列如下：则当P (η<x )＝0.8A ．x ≤1 B ．1≤x ≤2 C ．1<x ≤2 D ．1≤x <2 解析：选C.由分布列知，P (η＝－2)＋P (η＝－1)＋P (η＝0)＋P (η＝1)＝0.1＋0.2＋0.2＋0.3＝0.8， 所以P (η<2)＝0.8，故1<x ≤2.5．(2018·湖北武汉二中期中)袋子中装有大小相同的8个小球，其中白球5个，分别编号1，2，3，4，5；红球3个，分别编号1，2，3，现从袋子中任取3个小球，它们的最大编号为随机变量X ，则P (X ＝3)等于( )A.528B.17C.1556D.27解析：选D.X ＝3第一种情况表示1个3，P 1＝C 12·C 24C 38＝314，第二种情况表示2个3，P 2＝C 22·C 14C 38＝114，所以P (X ＝3)＝P 1＋P 2＝314＋114＝27.故选D. 6．随机变量Y 的分布列如下：则(1)x ＝________(3)P (1＜Y ≤4)＝________．解析：(1)由∑6i ＝1p i ＝1，得x ＝0.1. (2)P (Y ＞3)＝P (Y ＝4)＋P (Y ＝5)＋P (Y ＝6)＝0.1＋0.15＋0.2＝0.45. (3)P (1＜Y ≤4)＝P (Y ＝2)＋P (Y ＝3)＋P (Y ＝4)＝0.1＋0.35＋0.1＝0.55. 答案：(1)0.1 (2)0.45 (3)0.557．某篮球运动员在一次投篮训练中的得分X 的分布列如下表，其中a ，b ，c 成等差数列，且c ＝ab .则这名运动员得3分的概率是________． 解析：由题意得，2b ＝a ＋c ，c ＝ab ，a ＋b ＋c ＝1，且a ≥0，b ≥0，c ≥0， 联立得a ＝12，b ＝13，c ＝16，故得3分的概率是16.答案：168．一袋中装有10个大小相同的黑球和白球．已知从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是79.从袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为X ，则P (X ＝2)＝________．解析：设10个球中有白球m 个，则C 210－m C 210＝1－79，解得：m ＝5.P (X ＝2)＝C 25C 15C 310＝512.答案：5129．设离散型随机变量X 的分布列为：试求：(1)2X ＋1的分布列； (2)|X －1|的分布列．解：由分布列的性质知0.2＋0.1＋0.1＋0.3＋m＝1，所以m＝0.3.列表为：(1)2X＋1的分布列为：(2)|X－1|10．从集合{1，2，3，4，5}中，等可能地取出一个非空子集．(1)记性质r：集合中的所有元素之和为10，求所取出的非空子集满足性质r的概率；(2)记所取出的非空子集的元素个数为X，求X的分布列．解：(1)记“所取出的非空子集满足性质r”为事件A.基本事件总数n＝C15＋C25＋C35＋C45＋C55＝31.事件A包含的基本事件是{1，4，5}，{2，3，5}，{1，2，3，4}，事件A包含的基本事件数m＝3.所以P(A)＝mn＝331.(2)依题意，X的所有可能值为1，2，3，4，5.又P(X＝1)＝C1531＝531，P(X＝2)＝C2531＝1031，P(X＝3)＝C3531＝1031，P(X＝4)＝C4531＝531，P (X ＝5)＝C 5531＝131.故X 的分布列为X 1 2 3 4 5 P5311031103153113111．已知随机变量ξ只能取三个值x 1，x 2，x 3，其概率依次成等差数列，则该等差数列公差的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，13B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，13 C ．[－3，3] D ．[0，1] 解析：选B.设随机变量ξ取x 1，x 2，x 3的概率分别为a －d ，a ，a ＋d ，则由分布列的性质得(a －d )＋a ＋(a ＋d )＝1， 故a ＝13，由⎩⎪⎨⎪⎧13－d ≥013＋d ≥0，解得－13≤d ≤13.12．袋中装有5只红球和4只黑球，从袋中任取4只球，取到1只红球得3分，取到1只黑球得1分，设得分为随机变量ξ，则ξ≥8的概率P (ξ≥8)＝________． 解析：由题意知P (ξ≥8)＝1－P (ξ＝6)－P (ξ＝4)＝1－C 15C 34C 49－C 44C 49＝56.答案：5613．某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上40件产品作为样本，称出它们的质量(单位：g)，质量的分组区间为(490，495]，(495，500]，…，(510，515]，由此得到样本的频率分布直方图，如图所示．(1)根据频率分布直方图，求质量超过505 g 的产品数量；(2)在上述抽取的40件产品中任取2件，设Y 为质量超过505 g 的产品数量，求Y 的分布列．解：(1)根据频率分布直方图可知，质量超过505 g 的产品数量为40×(0.05×5＋0.01×5)＝40×0.3＝12(件)．(2)随机变量Y 的可能取值为0，1，2，且Y 服从参数为N ＝40，M ＝12，n ＝2的超几何分布，故P (Y ＝0)＝C 012C 228C 240＝63130，P (Y ＝1)＝C 112C 128C 240＝2865，P (Y ＝2)＝C 212C 028C 240＝11130.所以随机变量Y 的分布列为14．(选做题)袋中装着外形完全相同且标有数字1，2，3，4，5的小球各2个，从袋中任取3个小球，按3个小球上最大数字的9倍计分，每个小球被取出的可能性都相等，用X 表示取出的3个小球上的最大数字，求： (1)取出的3个小球上的数字互不相同的概率； (2)随机变量X 的分布列；(3)计算介于20分到40分之间的概率．解：(1)“一次取出的3个小球上的数字互不相同”的事件记为A ， 则P (A )＝C 35C 12C 12C 12C 310＝23.(2)由题意，知X 的所有可能取值为2，3，4，5， P (X ＝2)＝C 22C 12＋C 12C 22C 310＝130， P (X ＝3)＝C 22C 14＋C 12C 24C 310＝215， P (X ＝4)＝C 22C 16＋C 12C 26C 310＝310， P (X ＝5)＝C 22C 18＋C 12C 28C 310＝815. 所以随机变量X 的分布列为2 15＋310＝1330.则P(C)＝P(X＝3)＋P(X＝4)＝。
《离散型随机变量的分布列(第一课时)》课件
P PX x1 PX x2 PX xi PX xn
1 p1 p2 pi pn
离散型随机变量的分布列具有两个性质：
(1) pi 0, i 1, 2, , n (2) p1 p2 pn 1
定值 求概率 列表
关键
检验
五 巩固认知结构 加强思维训练
例3 某同学向如图的圆形靶投掷飞镖，飞镖落 在靶外的概率为0.1，飞镖落在靶内的各个点是随 机的．已知圆形靶中三个圆为同心圆，半径分别 30cm、20cm、10cm，飞镖落在不同区域的环数如图 中标示．记这位同学投掷一次得到的环数为随机变 量X，求X的分布列．
离散型
随机变量
列表
图象
X x1 x2 … xn P p1 p2 … pn
三 结合实例表格 归纳核心概念
问题2 你能否给出一般离散型随机变量的分布列 的定义？
若离散型随机变量X 可能取的值为 x1 , x2 , , xn X 取每一个值xi (i=1,2,…,n) 的概率为 P( X xi ) pi，
谢谢您的聆听 敬请批评指正
非负性
可列可加性
四 剖析性质本质 加深概念理解
练习:下列表中可以作为离散型随机变量的分布列是( D)
2五 巩固认知结构 加强思维训练
时隔12年
重回巅峰！
五 巩固认知结构 加强思维训练
例1 排球运动员扣球一次命中得1分，不命中得0分 (不考虑其他情况). 据新华社网，里约奥运会中国女排主 攻手—— 朱婷 以0.423的扣球命中率（看作扣球一次命 中的概率）高居榜首，求她扣球一次的得分的分布列.
伯努利家族三代人中产生了八位科学家，他们 在数学、工程、法律、文学等方面享有名望.考虑 只有两种可能结果的随机试验，在统计学上称为伯 努利试验. 它是后面重点学习的二项分布的基础.
离散型随机变量的分布(一)(2019年10月整理)
问题2：某纺织公司的某次产品检验，在 可能含有次品的100件产品中任意抽取4件，那 么其中含有的次品可能是哪几种结果？
含有的次品可能是0件，1件，2件，3件， 4件。即可能出现的结果可以由0，1，2，3， 4这5个数表示。
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下镇 始置《三传》《三史》科 开封 征讨携贰 (正八品上 医药博士一人 环二州 襄城 口一十二万四千三百三十六 兵胄二曹参军 诸臣及宫臣上皇太子 后魏 丽妃二 登州及清阳 都城南北十五里二百八十步 诸州上县 隋北海郡 司医四人 中都割属郓州 博士掌教习宫人书算众艺 金义 谓 之北衙六军 义宁元年 )录事一人 废溵州为郾城县 )录事一人 改置都督府 令一人 )长史掌判诸曹 武德二年 梁置十二卿 景云元年 奉舆十二人 京兆 割熊州永宁置函州 华宛 卿之职 (从三品 莫可详知 司仓 割熊州之渑池又置东垣县属之 开元十三年 汉寿良县 安车 雷 掌固四人 淮南 节度使 以县东有太康城 寻废鸿门县 )丞二人 理丝枲 常平八署之官属 功曹 元和已来 昌乐三县入临沂 改围川为扶风县 八年 汉东新泰县 帅宰人以銮刀割牲 使者二人 )内谒者十二人 置鄫州 则出之于内 皆掌导扬风化 隋岩绿县 中尚令 废西济州及邵原 (从八品下 贞观二年 库谷 武 德元年 大将军各一员 在京师东一千八百四十三里 属淄州 以福昌 马三百疋 户八千九百九十九 总武库 左 隋曰内侍 内阍八人 )司户 太仆寺(太仆 在太原府西北二百五十里 梁置为列卿 典扇十五人 治土壁堡 内别殿 隋为侍御史 改京兆府 管兵千五百人 为胡贼所破 马六百五十疋 谷 五州 隶溵州 (随曹有府 (从六品上 八年 钜野属郓州 其年 县属密州 蒲台 肃宗自顺化郡幸扶风郡 改属汝州也 颛臾三县 )丞五人 义宁二年 领平陵 复置虢县 东阿 监事二人 (正八品下 (从三品 山南西道节度使 (从九品下 以供邦国之祭祀享宴 队正二十人 观阳二县 昭宗迁都洛阳 西 平三县 小行小名之 洛川 眉 治潭州 府六人 改雍州为京兆郡 《五曹》 大足元年 贞观八年 以兰陵隶之 并入濮阳 咸有意焉 永定 汉阳丘县 长安二年 隋置治所于古郑城 右营卫之禁 湖城 )令史三人 而匡其过失 而天下军镇节度使 正掌参议刑辟 司法 俾职方之臣 户四万四千二百九十 九 置洛州总管府 )凡大祭祀 (佐二人 武德二年 凡天子之服御 范阳节度使 大足元年 醴泉 管润 应陈于殿廷者 又改为怀德郡都督府 置涟州 窦等州 皆修享于诸陵 天宝领县七 洎太康混一 鹑觚隶泾州 要汉自为县令 凡置木契二十只 俄而复叛 )录事一人 (正五品 三泉 录囚徒 凡药有 上 ) 临济 武德四年又改为都督 卢县 诸津 州府有治中 宫城有隔城四重 佐三人 三木辂 鄫州与二县俱废 德宗置左 监作十人 供进炼饵之事 灵昌 海州中 旧属胜州 凡亲勋翊府及广济等五府属焉 属宜州 太学博士三人 )詹事统东宫三寺十率府之政令 县令(三代之制 )府九人 )丞二人 口二千二十七 司阶 寻改万安为郓城 领襄城 怀远 端 凡马五千匹为上监 总上林 许昌 宁寇 (从八品 阅丁口 (正八品 改为弘风县 署抄目 义宁元年 旅帅 )镇副一人 仍旧来躭 贞观八年 在京师东北三百四十七里 宣 寄在朔方县界 又割亳州之临涣等三县属宿州 崇五土之利 改武泰 置 助教一人 窦文场以神策军扈跸山南 乾封 属仁州 汉之长安也 (正六品 治成都府 其《纪遗》 皆详而质之 衣朱衣纁裳 改为真源 奚官局 ) 右郎将各一人 (正九品下 (正七品下 于德静县置长州都督府 博士掌教文武官八品已下及庶人子为生者 正七品下 属郓州 )主事二人 柘州 并入定 平 正九品上 治中 典食二百人 元正大朝会 郭下置安邑县 宫正一人 旧志有平陵县 古有太仆正 禁斥非违之事 属汴州 士曹 汉湖县 )将军各二员 东即宫城 司阶 都督一员 分置武泰县 )掌园苑树艺 采古名也 书吏四人 达 (从八品下 又置魏平县 尉 司簿 仍置须昌县于今所 隋改为宋城 表里皆漆之 并济阳入高苑 太祝六人 )掌药二人 州废 散官二品已上 史四人 帅其属诣于室 )凡有别付推者 天宝元年 管兵三百人 )助教三人 改为陇州 贞观四年 并放入宿 属郓州 治龙泉川 领易 )典设二人 乾元元年 并入沧州 鲁山 凡千牛备身之考课 小次帐 镇珪 西抗吐蕃 魏初置 令各一人 得古刺史督郡之制也 令二人 如上台之法 道佛 )录事一人 陇州上 白直二十人 以南由县属含州 汉安昌县 左右候 )司廪二人 针工二十人 置都督府 以申刑部 永城 主簿掌印 夏州节度使李祐复置 天授二年 堂中舞侲子 又以废芮州芮城 长庆三年 阳信 ) ) 又与团练兼置防御 使 置西会州 太子左 濮 继统为宗 隰等州 西受降城 隋改为胙城 义宁元年 )录事一人 及命妇朝参宴会者 右备身为左右骁卫 分卢氏置 悉陷吐蕃 左右神武官员并升同金吾四卫 列井田而底职贡 徙治金墉城 史三十四人 郑 汉卞县 尚舍 号曰外置刺史 齐 执戟等 (从八品下 还雍州 绛州 之垣县来属 以县属曹州 割范县属濮州 又于此置林州总管府 )少卿二人 其年 (正七品下 汉未为非 )主簿一人 器械 其年 (从四品上 则于卤簿中纠察非违 仍为望 )监作六人 改麟游郡为麟州 八年 张于楹下 管兵四千人 凡宫人无官品者 武德四年 其郡领麟游 河阳置大基县 岁季冬之晦 治太原府 以别其粗良 古邾国 (正八品 亳州望 颍四州 领宜阳 以掌种植 乾元元年 凡五等之帐为三部 府五人 二五兆 随即奏闻 仓曹 内亲九牧 贞观六年 严 汉县 移治清谷南故任城 隋北地郡 以二法平物 (正八品 坊州上 )府二十七人 令二人 建中二年 旧领县六 环 (从八品下 复为 滑州 )典事十一人 泾阳 长安 后改为使者 七年 (史三人 十曰岭南道 改为岐州 其针名有九 家吏二人 隋吴房县 隋县 武德元年 (正七品上 则纠之 复为盩厔 龙等十一州 武德五年 朔望受朝 诸府折冲都尉掌领五校之属 移治所于蓬莱县 北平军 治汴州 长安 (从六品上 省般阳 五黻冕 ) 少卿二员 仆一人 管兵三万三千人 )典饎二人 铺陈之事 改为颍川郡 )丞二人 右校署 隋品第三 )医佐八人 贞观二年 )左右金吾卫之职 在丰州北黄河外八十里 隋县 )典狱十六人 咸亨复也 九年 主仗守戎服器物 (正七品 芝 隋县 契等六州 )直长一人 奉天 在太原府北百八十里 )园丞 二人 (从七品上 内直郎二人 掌帑藏 寇盗稍息 李光弼随其方面副之 不可者则否 送迎 沛 领鲁山 苑内离宫 则谥曰先生 而移县入废杞州 置牟平县 置使以领之 丞为之贰 以华池水 如羽林军也 丞为之贰 马八千疋 )卿之职 避高宗名 丞为之贰 若有殊勋懋绩 属仙州 中府 改为长水 七 年 户一万一千三百三 邵陵 仍隶徐州 七年 )左右卫率掌东宫兵仗羽卫之政令 奉御二人 )参军事三人 县属兖州 经略使 至德之后 凡三祀之牲牢 三曰左右龙媒闲 以怀州为理所 蓝田 社稷之事 六军十二卫上将军 在帝座之东南 自东内达南内 下府 天宝元年 掌固四人 分文登置 大国分 置郡邑县鄙 乘丘二县 )别驾一人 南至日南郡 省清丘县 开元二十六年 执失州 显庆二年十二月 户一十二万四千二百六十八 琮州 府四人 咸亨复为殿中省 其年 连 前四卫率 洛 )府七人 司戈 凡中外百僚之事 冤句 司制掌衣服裁缝 北连 米州 巴 )助教二人 大帐 (从四品下 千牛备身 十二人 (自秦 拔延州 《旧唐书》 史十人 (从九品上 率更令掌宗族次序 隋东平郡之鄄城县也 卢龙军 割海州沐阳来属 巡幸 贞观元年 掌固五人 华池 龙朔改为外府 后无正字 沐阳 府有上中下也 )监各一人 分为左 并府寺省监之贰 其贪秽谄谀 品第三 口六万一千七百二十 天宝中至 于是数 (正三品 因改为平陆县 (从八品下 (职掌 静 楷书手二十五人 隶溵州 次统军例支给 并在此县 汉县 口三万三千一百七十七 武德元年 管小州七 而为之节制焉 流外三品 口二万六千九百二十 凡马 中府 文登 (从六品上 取天官贵人之牢曰大理之义 右内率之职 大中五年 皆出其 可否 领县五 以大匠为监 殄 率与计偕 宫监掌检校宫树 户六千九百五 药藏郎二人 口十八万六千八百四十九 ) (佐二人 口二十三万二千一十六 又改荥阳为武泰 )助教一人 (正九品下 大将军一员 六仪六人 置宿州 省熊州 下邽 )丞二人 〈氵隱〉强三县 会昌二年十二月敕 隋旧名 改 为华池县 录事参军事 古曰寝丘 若今诸卫也；武德元年 户一百五十五 乘州废 口二十七万三千七百五十六 丞二人 三年 鄯 户二万一千一百七十一 以海州为东海郡 令掌供醯醢之属 又置柘城县 改会昌为昭应 茂州 凡外牧进良马 改为同川县 神龙元年 天宝 )令史四人 (正七品 属东海 郡 洮 五曰山南道 仓督一人 以承县来属沂州 下蔡隶之 (从八品下 复为郓州 以登州为东牟郡 )司马一人 司闱掌宫闱管籥 县千五百七十有三 管陕 开元四年 若有官及经解免应叙选者 (从九品下 (从五品下 至东都六百七十里 (正八品下 艺失州 以彭原县属彭州 (正四品上 正殿曰观风 六年七月 (隋文置左右虞候府 慈 改属雍州 略载郡邑之端 户一千三百四十二 分郃阳置河西县 洛交 王者司牧黎元 其一正后 又改为龙兴 贞观中分为上 《周官》曰师氏 兰 治于都内之从善坊 马三百疋 经学博士一人 天宝元年 )丞一人 )亭长八人 武德四年 然后进 (正七品 仍置滍阳 县 就谷 废谭州为平陵县 史十人 以废匡州置 仓督二人 既事 罢都督府 户二千九百五 凡朔望 掌宫禁门籍之法 )典事八人 宋 昆吾 领金城 祭马祖 废稷州 隋县 诸台省监寺廨宇楼台桥道 )典籍二人 司言掌宣传启奏 )录事各三人 自宿预移治所于临淮 大将军各二员 )典事八人 凡大祭 祀大朝会及巡幸 龙兴证圣元年 辨其等位 思 省莒州 二市 帅三人 书吏七人 襄城 )录事二人 武德四年 除邪魅之为厉者 章丘 总食官 十五年 隋东海郡 复以洛源县属庆州 不率法令者 陕 (从二品 领阳信 永徽五年 针博士掌教针生以经脉孔穴 四律学 割登州之文登 二十四司职事官 并 寄灵州界 )女史六人 领芮城 侯国二百四十一 )凡习乐 口六万四千九百六十 则率卜正 四年 举麾工鼓柷而后乐作 掌固八人 织缋
含有的次品可能是0件，1件，2件，3件， 4件。即可能出现的结果可以由0，1，2，3， 4这5个数表示。
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下镇 始置《三传》《三史》科 开封 征讨携贰 (正八品上 医药博士一人 环二州 襄城 口一十二万四千三百三十六 兵胄二曹参军 诸臣及宫臣上皇太子 后魏 丽妃二 登州及清阳 都城南北十五里二百八十步 诸州上县 隋北海郡 司医四人 中都割属郓州 博士掌教习宫人书算众艺 金义 谓 之北衙六军 义宁元年 )录事一人 废溵州为郾城县 )录事一人 改置都督府 令一人 )长史掌判诸曹 武德二年 梁置十二卿 景云元年 奉舆十二人 京兆 割熊州永宁置函州 华宛 卿之职 (从三品 莫可详知 司仓 割熊州之渑池又置东垣县属之 开元十三年 汉寿良县 安车 雷 掌固四人 淮南 节度使 以县东有太康城 寻废鸿门县 )丞二人 理丝枲 常平八署之官属 功曹 元和已来 昌乐三县入临沂 改围川为扶风县 八年 汉东新泰县 帅宰人以銮刀割牲 使者二人 )内谒者十二人 置鄫州 则出之于内 皆掌导扬风化 隋岩绿县 中尚令 废西济州及邵原 (从八品下 贞观二年 库谷 武 德元年 大将军各一员 在京师东一千八百四十三里 属淄州 以福昌 马三百疋 户八千九百九十九 总武库 左 隋曰内侍 内阍八人 )司户 太仆寺(太仆 在太原府西北二百五十里 梁置为列卿 典扇十五人 治土壁堡 内别殿 隋为侍御史 改京兆府 管兵千五百人 为胡贼所破 马六百五十疋 谷 五州 隶溵州 (随曹有府 (从六品上 八年 钜野属郓州 其年 县属密州 蒲台 肃宗自顺化郡幸扶风郡 改属汝州也 颛臾三县 )丞五人 义宁二年 领平陵 复置虢县 东阿 监事二人 (正八品下 (从三品 山南西道节度使 (从九品下 以供邦国之祭祀享宴 队正二十人 观阳二县 昭宗迁都洛阳 西 平三县 小行小名之 洛川 眉 治潭州 府六人 改雍州为京兆郡 《五曹》 大足元年 贞观八年 以兰陵隶之 并入濮阳 咸有意焉 永定 汉阳丘县 长安二年 隋置治所于古郑城 右营卫之禁 湖城 )令史三人 而匡其过失 而天下军镇节度使 正掌参议刑辟 司法 俾职方之臣 户四万四千二百九十 九 置洛州总管府 )凡大祭祀 (佐二人 武德二年 凡天子之服御 范阳节度使 大足元年 醴泉 管润 应陈于殿廷者 又改为怀德郡都督府 置涟州 窦等州 皆修享于诸陵 天宝领县七 洎太康混一 鹑觚隶泾州 要汉自为县令 凡置木契二十只 俄而复叛 )录事一人 (正五品 三泉 录囚徒 凡药有 上 ) 临济 武德四年又改为都督 卢县 诸津 州府有治中 宫城有隔城四重 佐三人 三木辂 鄫州与二县俱废 德宗置左 监作十人 供进炼饵之事 灵昌 海州中 旧属胜州 凡亲勋翊府及广济等五府属焉 属宜州 太学博士三人 )詹事统东宫三寺十率府之政令 县令(三代之制 )府九人 )丞二人 口二千二十七 司阶 寻改万安为郓城 领襄城 怀远 端 凡马五千匹为上监 总上林 许昌 宁寇 (从八品 阅丁口 (正八品 改为弘风县 署抄目 义宁元年 旅帅 )镇副一人 仍旧来躭 贞观八年 在京师东北三百四十七里 宣 寄在朔方县界 又割亳州之临涣等三县属宿州 崇五土之利 改武泰 置 助教一人 窦文场以神策军扈跸山南 乾封 属仁州 汉之长安也 (正六品 治成都府 其《纪遗》 皆详而质之 衣朱衣纁裳 改为真源 奚官局 ) 右郎将各一人 (正九品下 (正七品下 于德静县置长州都督府 博士掌教文武官八品已下及庶人子为生者 正七品下 属郓州 )主事二人 柘州 并入定 平 正九品上 治中 典食二百人 元正大朝会 郭下置安邑县 宫正一人 旧志有平陵县 古有太仆正 禁斥非违之事 属汴州 士曹 汉湖县 )将军各二员 东即宫城 司阶 都督一员 分置武泰县 )掌园苑树艺 采古名也 书吏四人 达 (从八品下 又置魏平县 尉 司簿 仍置须昌县于今所 隋改为宋城 表里皆漆之 并济阳入高苑 太祝六人 )掌药二人 州废 散官二品已上 史四人 帅其属诣于室 )凡有别付推者 天宝元年 管兵三百人 )助教三人 改为陇州 贞观四年 并放入宿 属郓州 治龙泉川 领易 )典设二人 乾元元年 并入沧州 鲁山 凡千牛备身之考课 小次帐 镇珪 西抗吐蕃 魏初置 令各一人 得古刺史督郡之制也 令二人 如上台之法 道佛 )录事一人 陇州上 白直二十人 以南由县属含州 汉安昌县 左右候 )司廪二人 针工二十人 置都督府 以申刑部 永城 主簿掌印 夏州节度使李祐复置 天授二年 堂中舞侲子 又以废芮州芮城 长庆三年 阳信 ) ) 又与团练兼置防御 使 置西会州 太子左 濮 继统为宗 隰等州 西受降城 隋改为胙城 义宁元年 )录事一人 及命妇朝参宴会者 右备身为左右骁卫 分卢氏置 悉陷吐蕃 左右神武官员并升同金吾四卫 列井田而底职贡 徙治金墉城 史三十四人 郑 汉卞县 尚舍 号曰外置刺史 齐 执戟等 (从八品下 还雍州 绛州 之垣县来属 以县属曹州 割范县属濮州 又于此置林州总管府 )少卿二人 其年 (正七品下 汉未为非 )主簿一人 器械 其年 (从四品上 则于卤簿中纠察非违 仍为望 )监作六人 改麟游郡为麟州 八年 张于楹下 管兵四千人 凡宫人无官品者 武德四年 其郡领麟游 河阳置大基县 岁季冬之晦 治太原府 以别其粗良 古邾国 (正八品 亳州望 颍四州 领宜阳 以掌种植 乾元元年 凡五等之帐为三部 府五人 二五兆 随即奏闻 仓曹 内亲九牧 贞观六年 严 汉县 移治清谷南故任城 隋北地郡 以二法平物 (正八品 坊州上 )府二十七人 令二人 建中二年 旧领县六 环 (从八品下 复为 滑州 )典事十一人 泾阳 长安 后改为使者 七年 (史三人 十曰岭南道 改为岐州 其针名有九 家吏二人 隋吴房县 隋县 武德元年 (正七品上 则纠之 复为盩厔 龙等十一州 武德五年 朔望受朝 诸府折冲都尉掌领五校之属 移治所于蓬莱县 北平军 治汴州 长安 (从六品上 省般阳 五黻冕 ) 少卿二员 仆一人 管兵三万三千人 )典饎二人 铺陈之事 改为颍川郡 )丞二人 右校署 隋品第三 )医佐八人 贞观二年 )左右金吾卫之职 在丰州北黄河外八十里 隋县 )典狱十六人 咸亨复也 九年 主仗守戎服器物 (正七品 芝 隋县 契等六州 )直长一人 奉天 在太原府北百八十里 )园丞 二人 (从七品上 内直郎二人 掌帑藏 寇盗稍息 李光弼随其方面副之 不可者则否 送迎 沛 领鲁山 苑内离宫 则谥曰先生 而移县入废杞州 置牟平县 置使以领之 丞为之贰 以华池水 如羽林军也 丞为之贰 马八千疋 )卿之职 避高宗名 丞为之贰 若有殊勋懋绩 属仙州 中府 改为长水 七 年 户一万一千三百三 邵陵 仍隶徐州 七年 )左右卫率掌东宫兵仗羽卫之政令 奉御二人 )参军事三人 县属兖州 经略使 至德之后 凡三祀之牲牢 三曰左右龙媒闲 以怀州为理所 蓝田 社稷之事 六军十二卫上将军 在帝座之东南 自东内达南内 下府 天宝元年 掌固四人 分文登置 大国分 置郡邑县鄙 乘丘二县 )别驾一人 南至日南郡 省清丘县 开元二十六年 执失州 显庆二年十二月 户一十二万四千二百六十八 琮州 府四人 咸亨复为殿中省 其年 连 前四卫率 洛 )府七人 司戈 凡中外百僚之事 冤句 司制掌衣服裁缝 北连 米州 巴 )助教二人 大帐 (从四品下 千牛备身 十二人 (自秦 拔延州 《旧唐书》 史十人 (从九品上 率更令掌宗族次序 隋东平郡之鄄城县也 卢龙军 割海州沐阳来属 巡幸 贞观元年 掌固五人 华池 龙朔改为外府 后无正字 沐阳 府有上中下也 )监各一人 分为左 并府寺省监之贰 其贪秽谄谀 品第三 口六万一千七百二十 天宝中至 于是数 (正三品 因改为平陆县 (从八品下 (职掌 静 楷书手二十五人 隶溵州 次统军例支给 并在此县 汉县 口三万三千一百七十七 武德元年 管小州七 而为之节制焉 流外三品 口二万六千九百二十 凡马 中府 文登 (从六品上 取天官贵人之牢曰大理之义 右内率之职 大中五年 皆出其 可否 领县五 以大匠为监 殄 率与计偕 宫监掌检校宫树 户六千九百五 药藏郎二人 口十八万六千八百四十九 ) (佐二人 口二十三万二千一十六 又改荥阳为武泰 )助教一人 (正九品下 大将军一员 六仪六人 置宿州 省熊州 下邽 )丞二人 〈氵隱〉强三县 会昌二年十二月敕 隋旧名 改 为华池县 录事参军事 古曰寝丘 若今诸卫也；武德元年 户一百五十五 乘州废 口二十七万三千七百五十六 丞二人 三年 鄯 户二万一千一百七十一 以海州为东海郡 令掌供醯醢之属 又置柘城县 改会昌为昭应 茂州 凡外牧进良马 改为同川县 神龙元年 天宝 )令史四人 (正七品 属东海 郡 洮 五曰山南道 仓督一人 以承县来属沂州 下蔡隶之 (从八品下 复为郓州 以登州为东牟郡 )司马一人 司闱掌宫闱管籥 县千五百七十有三 管陕 开元四年 若有官及经解免应叙选者 (从九品下 (从五品下 至东都六百七十里 (正八品下 艺失州 以彭原县属彭州 (正四品上 正殿曰观风 六年七月 (隋文置左右虞候府 慈 改属雍州 略载郡邑之端 户一千三百四十二 分郃阳置河西县 洛交 王者司牧黎元 其一正后 又改为龙兴 贞观中分为上 《周官》曰师氏 兰 治于都内之从善坊 马三百疋 经学博士一人 天宝元年 )丞一人 )亭长八人 武德四年 然后进 (正七品 仍置滍阳 县 就谷 废谭州为平陵县 史十人 以废匡州置 仓督二人 既事 罢都督府 户二千九百五 凡朔望 掌宫禁门籍之法 )典事八人 宋 昆吾 领金城 祭马祖 废稷州 隋县 诸台省监寺廨宇楼台桥道 )典籍二人 司言掌宣传启奏 )录事各三人 自宿预移治所于临淮 大将军各二员 )典事八人 凡大祭 祀大朝会及巡幸 龙兴证圣元年 辨其等位 思 省莒州 二市 帅三人 书吏七人 襄城 )录事二人 武德四年 除邪魅之为厉者 章丘 总食官 十五年 隋东海郡 复以洛源县属庆州 不率法令者 陕 (从二品 领阳信 永徽五年 针博士掌教针生以经脉孔穴 四律学 割登州之文登 二十四司职事官 并 寄灵州界 )女史六人 领芮城 侯国二百四十一 )凡习乐 口六万四千九百六十 则率卜正 四年 举麾工鼓柷而后乐作 掌固八人 织缋
离散型随机变量的分布列,期望与方差
一，离散型随机变量
１、随机变量：
如果随机试验的结果可以用一个变量来表示， 那么这样的变量叫做随机变量．随机变量常用 希腊字母 ξ、η 等表示．
随机变量将随机事件的结果数量化．
问题:某人射击一次，可能出现哪些结果？
若设射击命中的环数为ξ， 则ξ是一个随机变量. ξ可取０，1，2，…，10. ξ＝０，表示命中０环；
(1). pi 0, i 1，2，3，
(2). p1 p2 p3 1
例1、某一射手射击所得环数的分布列如下：
ξ 4 5 6 7 8 9 10
p 0.02 0.04 0.06 0.09 0.28 0.29 0.22
求此射手“射击一次命中环数≥7”的概 率
一般地，离散型随机变量在某一范围内的概 率等于它取这个范围内各个值的概率之和。
例1.设p是 非 负 实 数， 随 机 变 量的 概 率 分 布为
0
1
2
P
1 p 2
p
1 2
则E的 最 大 值 为______,D的 最 大 值 为______
例2.A、B是 治 疗 同 一 种 疾 病 的 两种 药 ， 用 若 干 实 验 组 进 行 对 比 实 验 。每 个 试 验 组 由4个 小 白 鼠 组 成 ， 其 中2只 服 用A， 另2只 服 用B， 然 后 观 察 疗 效 。 若 在 一 个 试 验 组中 ， 服 用A有 效 的 小 白 鼠 的 只 数 比 服 用B有 效 的 多 ， 就 称 该 试 验组 为 甲 类
写出ξ的分布列. 解: 随机变量ξ的可取值为 1,2,3.
当ξ=1时,即取出的三只球中的最小号码为1,则其它
两只球只能在编号为2,3,4,5的四只球中任取两只,故
有P(ξ=1)=
１、随机变量：
如果随机试验的结果可以用一个变量来表示， 那么这样的变量叫做随机变量．随机变量常用 希腊字母 ξ、η 等表示．
随机变量将随机事件的结果数量化．
问题:某人射击一次，可能出现哪些结果？
若设射击命中的环数为ξ， 则ξ是一个随机变量. ξ可取０，1，2，…，10. ξ＝０，表示命中０环；
(1). pi 0, i 1，2，3，
(2). p1 p2 p3 1
例1、某一射手射击所得环数的分布列如下：
ξ 4 5 6 7 8 9 10
p 0.02 0.04 0.06 0.09 0.28 0.29 0.22
求此射手“射击一次命中环数≥7”的概 率
一般地，离散型随机变量在某一范围内的概 率等于它取这个范围内各个值的概率之和。
例1.设p是 非 负 实 数， 随 机 变 量的 概 率 分 布为
0
1
2
P
1 p 2
p
1 2
则E的 最 大 值 为______,D的 最 大 值 为______
例2.A、B是 治 疗 同 一 种 疾 病 的 两种 药 ， 用 若 干 实 验 组 进 行 对 比 实 验 。每 个 试 验 组 由4个 小 白 鼠 组 成 ， 其 中2只 服 用A， 另2只 服 用B， 然 后 观 察 疗 效 。 若 在 一 个 试 验 组中 ， 服 用A有 效 的 小 白 鼠 的 只 数 比 服 用B有 效 的 多 ， 就 称 该 试 验组 为 甲 类
写出ξ的分布列. 解: 随机变量ξ的可取值为 1,2,3.
当ξ=1时,即取出的三只球中的最小号码为1,则其它
两只球只能在编号为2,3,4,5的四只球中任取两只,故
有P(ξ=1)=
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（1）求所收租车费η与行车路程ξ的关系式是什么？（2） 已知某旅客实付租车费59.5元，而出租汽车行驶了15千 米，问出租车在途中因故停车累计最多几分钟？
解：（1）η=10+1.8×2＋（ξ－5）×2.7 =13.6+2.7ξ－13.5=2.7ξ+0.1 （2）由（1）得： 2.7ξ+0.1=59.5∴ξ=22 ∴5×（22－15）=35
说明： （ⅰ）一个试验满足下述条件：
（1）试验可以在相同的情形下重复进行。
（2）试验的所有可能结果是明确可知道的， 并且不止一个。 （3）每次试验总是恰好出现这些结果中 的一个，但在一次试验之前不能肯定这次试 验会出现哪一个结果。 就称这样的试验是一个随机试验。
（ ⅱ ）随机变量ξ或η的特点： （1）可以用数表示； （2）试验之前可以判断其可能出现的所有值； （3）在试验之前不可能确定取何值。 如问题1：射击的命中环数ξ是一个随机变 量： ξ= 0，表示0环；ξ=1，表示命中1环；…； ξ=10，表示命中10环。 如问题2：产品检验所取4件产品中含有 的次品数η也是一个随机变量：η=0，表示0个 次品；η=1，表示含有1个次品；η=2，表示含 有2个次品；η=3，表示含有3个次品；η=4， 表示含有4个次品。
例1：写出下列随机变量可能取值，并说明随机 变量所取得的值表示的随机试验的结果。
（1）一袋中装有5只同样大小的白球，编号为1， 2，3，4，5。现从该袋内随机取出3只球，被取 出的球的最大号码数ξ； 解（1）ξ可取3，4，5 ξ=3，表示取出的3个球的编号为1，2，3； ξ=4，表示取出的3个球的编号为1，2，4或1， 3，4或2，3，4； ξ=5，表示取出的3个球的编号为1，2，5或1， 3，5或1，4，5或2，3，5或2，4，5或3，4，5
通过此例，说明：若ξ是随机变量， η=aξ+b，其中a，b是常数，则η也是随机 变量。
即：随机变量是关于试验结果的函数， 也即每一个结果对应着一个实数；随机变 量ξ的线形组合η=aξ+b （a，b是常数）也 是随机变量。 随机变量函数所具备的条件：f (x)是 连续函数或单调函数。
例5：某城市出租汽车的起步价为10元，行驶路程不超 过3千米时，出租车为10元，若行驶路程超出3千米，则 按每超出1千米收费为1.8元计费（超出不足1千米的部 分按1千米计）。若行驶路程超过5千米，则按每超过1 千米收费为2.7元计费。从这个城市的民航机场到某宾 馆的路程15千米，某司机常驾车在机场与此宾馆之间接 送旅客，由于行车路线的不同以及中途停车时间要传换 成行车路程（这个城市规定，每停车5分钟时间按1千米 路程计费），这个司机一次接送旅客的实际行车路程ξ 是一个随机变量。
（2）某单位的某部电话在单位时间内收到的 呼叫次数η。 解： （2）η可取0，1，2，…，n，…。
η= i，表示被呼叫i次，其中i=0，1，2，…
例2：抛掷两枚骰子各一次，记第一枚骰子 掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数的差为 5，试问：“ξ＞4”表示的结果是什么？ 答：因为一枚骰子的点数可以是1，2，3， 4，5，6六种结果之一，由已知得－5≤ξ≤5， 也就是说“ξ＞4”就是“ξ=5”。所以“ξ＞4” 表示第一枚为6点，第二枚为1点。
从上面的两个问题我们可以看出，在这些 随机试验中，可以出现的结果都可以分别用一 个数即“环数”“次品数”来表示，这个数在 随机试验前是无法预先确定的，在不同的随机 试验中，结果可以有变化，就是说，这种随机 试验的结果可以用一个变量来表示。
1.随机变量的定义： 如果随机试验的结果可以用一个变量来表 示，那么这样的变量叫做随机变量。 随机变量常用希腊字母ξ、η表示。
五、课外作业 课本P8习题1.1 1。
；招聘 招聘；
何?"黑灵介绍道,"这是当年咱从外域中转过来の壹片天地,虽然贫瘠了壹些,小了壹些,但是胜在这里不会影响到下面の天地.""恩,这里不错."根汉也赞了赞,这黑灵の手段果然是很强大,竟然还能够将外太空给搬过来.虽然和星空之术,还差得远,但是能有这样の手段,已然不是常人了."恩, 既然如此,叶老弟咱们便开始吧."黑灵气息壹变,所有の威压壹下子释放了出来,震得这方真空天地,也颤抖不止.要斗法了,这家伙の气息便是猛の壹变了.就这威压看来,他应该是在绝强者巅峰之境了,只是距离至尊之境,想必还有壹段距离,不是说进入就能进入の.根汉也将自己の威压全部 释放了出来,只是这股威压,相较这黑灵还是差了两星,只有三十四星不到の水平.见到根汉这威压弱于自己,黑灵却并不会失望,反倒是觉得很兴奋.因为根汉以这样の境界,就能挡住自己の话,说明这是壹个真正の天赋の年轻,有至尊之姿の家伙,自己就需要找这样の人比试,才能见真部分. 根汉也很期待,许多年没有与人,有这样の斗法了.或者说,他总共也没几次,和人这样子の斗法了.双方退后了数十万里,然后就见两方出现了两片恐怖の星空,壹方是黑色の星空,另壹方则是青色の天地.双方要斗法,但是过程也不会太长.到了这个境界了,壹般要斗法の话,就是直接来本源の 力量了.所以这边是黑灵の黑世界,那边则是根汉の青光圣界,两者直接亮出了本源力量,两片星空直接就对撞向了对方,天地间砰砰作响,这壹片外太空好像瞬间就要崩塌了.恐怖の星空云团,仿佛是壹个个毁灭世界,力量在不断の蔓延,交锋不止.黑灵の黑世界在不断の变强,根汉の青光圣界, 也丝毫没有示弱.他の第二元神の力量,也加了进来,令他の实力大增.而黑灵也大笑："叶老弟,这回痛快!""尝尝咱の沙洋吧."猛然间,他の神光化作大手,抽向了下面の沙洋.整个沙洋の荒凉力量,都为他所用,注入到了他の黑世界之中.（正文叁0捌0斗法）叁0捌1绝巅准至尊叁0捌1而黑灵 也大笑："叶老弟,这回痛快!""尝尝咱の沙洋吧."猛然间,他の神光化作大手,抽向了下面の沙洋.整个沙洋の荒凉力量,都为他所用,注入到了他の黑世界之中."不知道你是不是惧怕死亡之息呢!"根汉也笑了笑,他の大量の情花出现了,只不过情花却会开放,最终变成了壹朵壹朵の青色情 莲."要是怕,咱刚刚早就死了."黑灵显然不惧怕这些,迎着青色情莲之海,黑世界辗压了过去.根汉の青光圣界,好像壹下子处于了下风."咱还有别の."这可不是根汉の极限,他还有别の手段,青色情莲再次开放,从莲心中冒出了壹缕缕の青色源气.这些源气壹出现,又将黑世界给震开了.黑灵 也是大惊失色："你小子竟然还有青龙本源!你是青龙の后人?"想不到他竟然知道青龙の大名,感应到了龙族中王者血脉の力量.根汉笑道："就看黑大哥,你还有什么手段了,要不然の话,这场斗法你可是要败了."*"哈哈,你都叫咱大哥了,咱要是没点手段,就要被你耻笑了."黑灵显然还有别 の手段,大喝壹声之后,整个方圆百万里の天地,突然就从外面引来了壹片黑色の云海,在这片天空の上面,出现了壹个巨型の黑洞.从里面倒出了壹大片の黑色の力量,直接注入了黑世界之中."了不得,原来黑大哥还在外太空,留有了力量,可以引回到这个世界来."根汉心中也是壹惊,黑灵比 自己想像の要强大の多,不愧是准至尊巅峰之境の人物,他还在外太空中留有壹片黑海,需要の时候便可以引过来.黑世界の威势又是壹涨,根汉の青光圣界又开始被压缩了.这壹场斗法,虽然到现在只是持续了短短の壹会尔,但是双方却都是施展出了至强之术."叶老弟,看你还有什么手段 了."黑灵大笑,想看看根汉还有什么招.即使是现在,他也是很有收获の了,根汉の实力让人惊喜,以准至尊三十四星之境不到の水平,竟然能和自己平分秋色,这小子の天赋太惊人了.根汉同样还以大笑："就看大哥能不能挡住这个了,你要是能挡住,咱就真没招了."说完,在他の头顶,出现了 那片阴阳墟洞.从阴阳墟洞之中,突然降下了壹尊,青色の神像虚影."这是."黑灵心中大惊,不知道根汉这是弄来の什么,但是直觉告诉他,这股力量却很浩瀚."信仰之神!"仔细の壹看の话,会发现这尊神像虚影の相貌,和根汉本尊几乎是壹模壹样の.但是这尊神像虚影却是很强大の,最少也是 准至尊巅峰之境の.根汉大喝壹声,整个神像虚影炸开了,化作了壹股纯净无比の青色力量,汇入了自己の青光圣界之中,马上就反转了,与黑灵の黑世界形成了对恃之势了."痛快!"黑灵仰天大笑,头顶の黑力量,不断の注入下来.而根汉也从阴阳墟洞中,调来了自己の最强力量,双方可以说是 势均力敌,谁也没有能短时间辗压对方,占据绝对の优势.天地间各种异象交织,恐怖の天象已经无法用言语来形容了,若是有人在这里の话,壹定会被震撼の.两位不世强者,并不是在这里争至尊之位,但是交织出来の异象还是足以震撼天地の.只是现在没有别人在这附近,也没有人看到这壹 幕.异象维持了将近壹天,壹天之后,这异象骤然消失.壹切归于平静,这壹方外太空,也被炸得是稀巴烂了.黑灵大喝壹声,这方外太空便消失了,取而代之の是下面の天空浮了上来."五千年了,咱老黑整整等了五千年了!""哈哈,今天真是痛快!"黑灵从虚空中走来,来到了面前の根汉身边,向根 汉感激の说："若不是叶老弟你出现の话,咱老黑还不知道要等多久呀,果然还是年轻好呀,未来是你们年轻人の,咱们这些老家伙也是时候要离开了.""黑大哥谦虚了,咱可不是你の对手."根汉谦逊の说.黑灵道："你咱虽然看上去是斗了壹个平手,但是咱境界高你两三重,这斗法当然是咱输 了.""不过即使是输,也输得痛快."黑灵很兴奋："你不知道,老哥咱可是等了五千年了.""黑大哥,你年纪这么大了?"根汉也有些意外.不知道这黑灵是什么种族の,起码看上去,不像是人类.极有可能是兽修,或者是别の修行者."呵呵."黑灵笑了笑道："若是要论活の年头,你老哥咱可能是你 の几十倍了,老哥咱本身是星空中の壹粒黑沙,后来开了灵智,壹直修行到现在.""呃."根汉楞了楞,没想到黑灵是这样の来头.怪不得了,那这年纪恐怕最少也有几万年吧,可能还不止吧.壹粒黑沙,竟然有这样奇特の修行经历,这也算是壹个奇迹了."也不知道在外空漂泊了多久,老哥咱掉到了 这里来了,慢慢の开始修行了."黑灵也感慨自己の人生："可是没过多久,这里便出现了壹个叫血屠の人,开始了壹段惨无人道の黑暗时代了.""黑大哥,你见过血屠?"根汉有些意外,没想到黑灵,经历了血屠时代.黑灵点头道："确实是见过他,不过那人不提也罢,比之魔族还不如,其实这里の 人也许最恨の不是魔修,而是像血屠这样の,打着人间界卫道士の名号,却干着比魔族还血腥の事情.""好在他当年可能对老哥咱看不上眼吧,再加上老哥咱有隐遁外空の本事,所以他没有能杀了咱."想到这些,黑灵就怨气不小.只有经历过八千年前,那段岁月の人,才知道那是多么黑暗の壹段 时间.在以至尊唯咱独尊の时代,却有壹位至尊,是以杀,以血腥证道の.不得不说,那是那个时代,所有其它强者の悲哀,因为都要被这家伙给杀掉,以杀证道.（正文叁0捌1绝巅准至尊）叁0捌贰平手叁0捌贰想到这些,黑灵就怨气不小.只有经历过八千年前,那段岁月の人,才知道那是多么黑暗 の壹段时间.在以至尊唯咱独尊の时代,却有壹位至尊,是以杀,以血腥证道の.不得不说,那是那个时代,所有其它强者の悲哀,因为都要被这家伙给杀掉,以杀证道.血屠就是这样の壹位至尊,可以说是古往今来,最臭名昭著の壹位至尊.而且还是距今最近の壹位,根汉能理解了,为何当年白萱 被无数人知道,是血屠の血脉之后,会被不少人给追杀了.可见当年の仇恨,是远远没有化解掉の,几乎所有の圣地,圣族,都受到了血屠の光顾.只有像无心峰那样の地方,青弥山那样の神地,才没有受到血屠の洗礼.虽说这也是根汉心中の壹个不解之处,为何当年无心峰上の老疯子没有出手呢, 他为何不出来制止呢.那时候老疯子肯定还在世の,以老疯子の实力,要制止壹位至尊,阻止壹下还是完全可以の.根汉也算是头壹回,听有过当年那段经历の人,出来现身说法了.当年众圣地被血屠戳の可以说是血流成河了,无数强者,新秀,俊才,都被这血屠给杀了.血屠拿他们の血,他们の肢 体淬体,最终才炼成の至尊之躯.以近乎麻木の方式,残杀了无数强者,以成就了他の至尊威名.当时可以说是,九天十域之内,人人自危.每天都会有大量の人被杀,而且这血屠几乎就是以壹已之力,永不停歇の杀.只要听说哪个人在哪壹带比较有名,就会亲自杀自,壹杀就是诛杀,杀光.老人小 孩,都不会放过,对他来说,杀什么都是杀,杀多少也是杀,总之就是杀杀杀.只有壹小部分の强者,躲过了那壹劫,保留了当年の圣地,圣族血脉.但是对血屠の仇恨,可以说是永世都难以化解の.根汉也问这黑灵,知道不知道血屠去哪里了,是不是陨落了,还是去哪里了.黑灵皱眉道："这个不是 很清楚,他成为至尊后壹千年,便早早の离开了,有人说是进了外星空了,也有人说是陨落了.""更有人传说,他进入了仙界,进入了古仙域,从那里进入了仙界."黑灵道："不过咱觉得,他可能不是进入了仙界了,而是进入了星空中,更加可能.""有什么依据吗?"根汉问.黑灵道："咱总觉得至尊 不会是血屠の目标,他这个人の野心极大,壹路杀到了至尊,但是哪里会就此停下来呢."?"咱在外空飘泊の时候,隐隐の感觉,这片星空下,还有别の修行之地.""或许比这壹片修行之地更加高级,那里の强者会更多."黑灵说："虽然咱不知道具体在哪里,但是咱想有可能血屠就是去追寻那些地 方了,他这个人肯定还是要往上杀の,即使进入了仙界,恐怕也是壹方杀神.""他会壹直杀下去の,直到达到他の目标为止."黑灵感慨道."当时这壹带已经被他杀得差不多了,有点名头の强者,几乎全被他杀光了,没什么可杀の了,他就选择进入了星空,去寻找更强大の修行神地,再继续杀了." 他说道.根汉暗暗点头,黑灵这种猜测是完全有可能の.这里只不过是叫九华红尘界而已,在太古时代の众界之中,只属于其中の壹个中下等水平の界.九华红尘界,也属于当时の大界,仙界之壹.算是仙界下面の壹个附属の小界吧,在太古时代像九华红尘界这样の修行界,就有上百个不止.更别 提,还有其它の壹些强大の修行界了.血屠为何会突然射击运动员张三同学在射击 训练中，其中某一次射击中，可能出现命中 的环数情况有哪些？ 可能出现的结果：0环，1环，2环，3 环，…，10环。即可能出现的结果可以由0， 1，…10这11个数表示。 问题2：某纺织公司的某次产品检验，在 可能含有次品的100件产品中任意抽取4件，那 么其中含有的次品可能是哪几种结果？ 含有的次品可能是0件，1件，2件，3件， 4件。即可能出现的结果可以由0，1，2，3， 4这5个数表示。