2.1.1离散型随机变量(上课用)

13
例1：某一射手射击所得环数ξ 某一射手射击所得环数ξ
ξ P 4
0.02
的分布列如下: 的分布列如下:
5
0.04
6
0.06
7
0.09
8
0.28
9
0.29
10
0.22
求此射手”射击一次命中环数≥ 的概率 的概率. 求此射手”射击一次命中环数≥7”的概率. 分析: 射击一次命中环数 射击一次命中环数≥ 是指互斥事 分析: ”射击一次命中环数≥7”是指互斥事 ξ=7”, ”ξ=8 ξ=8”, ”ξ=9 ξ=9”, ”ξ=10 的和. ξ=10” 件”ξ=7”, ”ξ=8”, ”ξ=9”, ”ξ=10” 的和.
例2.随机变量ξ的分布列为 随机变量ξ
ξ p 求常数a 求常数 -1 0.16 0 a/10 1 a2 2 a/5 3 0.3
14
一袋中装有6个同样大小的小球 编号为1、 、 、 、 、 个同样大小的小球， 一袋中装有 个同样大小的小球，编号为 、2、3、4、5、 例3： ξ 6，现从中随机取出 个小球，以 表示取出球的最大号码， 个小球， 表示取出球的最大号码， ，现从中随机取出3个小球
12
例如：抛掷两枚骰子，点数之和为 ， 例如：抛掷两枚骰子，点数之和为ξ，则ξ可 可 能取的值有： ， ， ， 能取的值有：2，3，4，……，12. ， ξ的概率分布为： 的概率分布为： 的概率分布为
ξ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
1 2 3 4 5 6 5 4 3 2 1 ｐ 36 36 36 36 36 36 36 36 36 36 36
6
2、离散型随机变量 、
所有取值可以一一列出的随机变量，称为离 所有取值可以一一列出的随机变量，称为离 散型随机变量。 散型随机变量。 如果随机变量可能取的值是某个区间的一切 这样的随机变量叫做连续型随机变量 连续型随机变量. 值，这样的随机变量叫做连续型随机变量.
思考3： 思考 ：
是离散型随机变量吗？ （1）电灯泡的寿命 是离散型随机变量吗？ ）电灯泡的寿命X是离散型随机变量吗 小时以上的灯泡为一等品， （2）如果规定寿命在 ）如果规定寿命在1500小时以上的灯泡为一等品， 小时以上的灯泡为一等品 寿命在1000到1500小时之间的为二等品，寿命在 小时之间的为二等品， 寿命在 到 小时之间的为二等品 寿命在1000 小时以下的为不合格品。 小时以下的为不合格品。如果我们关心灯泡是否为合 格品，应如何定义随机变量？ 格品，应如何定义随机变量？如果我们关心灯泡是否 7 为一等品或二等品，又如何定义随机变量？ 为一等品或二等品，又如何定义随机变量？
2
思考1： 思考 ：
掷一枚骰子，出现的点数可以用数字 ， ， ， 掷一枚骰子，出现的点数可以用数字1，2，3， 4，5，6来表示，那么掷一枚硬币的结果是否也可 来表示， ， ， 来表示 以用数字来表示呢？ 以用数字来表示呢？ 0 1 正面向上 反面向上 又如：一位篮球运动员3次投罚球的得分结果可以 又如：一位篮球运动员 次投罚球的得分结果可以 用数字表示吗？ 用数字表示吗？
例1、(1)某座大桥一天经过的中华轿车的辆数为 ξ ； (2)某 、 某座大桥一天经过的中华轿车的辆数为 某 网站中歌曲《爱我中华》 网站中歌曲《爱我中华》一天内被点击的次数为 ξ ；(3)一 一 射手对目标进行射击， 天内的温度为 ξ ；(4)射手对目标进行射击，击中目标得 分， 射手对目标进行射击 击中目标得1分 ξ 未击中目标得0分 表示该射手在一次射击中的得分。 未击中目标得 分，用 表示该射手在一次射击中的得分。 ξ 上述问题中的 是离散型随机变量的是（ ） 是离散型随机变量的是（ A.(1)(2)(3)(4) B.(1)(2)(4) C.(1)(3)(4) D.(2)(3)(4)
ξ
P 0 0.6 1 0.3
B
ξ
P
0 0.9025
1 0.095
2 0.0025
C
ξ
0 1 2 … n
1 2 1 1 4 8
D
ξ
0
1 3
1
2
…
n
P
…
1 2n+1
P
1 2 1 2 2 … 1 2 n ⋅ ⋅ ⋅ 3 3 3 3 3 3
二、离散型随机变量的分布列
1、设随机变量 ξ 的所有可能的取值为 x 1 , x 2 , x 3 , ⋅ ⋅ ⋅ , x i , ⋅ ⋅ ⋅ , 、 ξ 的每一个取值 xi (i = 1, 2, ⋅⋅⋅, n) 的概率为 P (ξ = xi ) = p i，则称表格
xn
ξ
P
x1
p1
x2
p2
··· ···
选修2-3 高二数学 选修
2.1.2离散型随机变 离散型随机变 量的分布列(1) 量的分布列
9
引例
抛掷一枚骰子，所得的点数 ξ 有哪些值？ ξ 取每个 抛掷一枚骰子， 有哪些值？ 值的概率是多少？ 值的概率是多少？ 的取值有1、 、 、 、 、 解： ξ 的取值有 、2、3、4、5、6 则
1 6 1 P (ξ = 4) = 6
P (ξ = 1) =
P (ξ = 2) =
1 6 1 P (ξ = 5) = 6
1 6 1 P (ξ = 6) = 6
P (ξ = 3) =
ξ
1
1 6
2
1 6
3
1 6
4
1 6
5
1 6
6
1 6
P
的所有取值． ⑴列出了随机变量ξ 的所有取值． 的每一个取值的概率． ⑵求出了ξ 的每一个取值的些事件。 利用随机变量可以表达一些事件。 例如{X=0}表示“抽出0件次品”；{X=4}表示 表示“抽出 件次品 件次品” 例如 表示 表示 抽出4件次品 件次品” “抽出 件次品”；
你能说出{X<3}在这里表示什么事件吗？ 在这里表示什么事件吗？ 你能说出 在这里表示什么事件吗 抽出3件以上次品 又如何用X表示呢 件以上次品” 表示呢？ “抽出 件以上次品”又如何用 表示呢？
选修2-3 高二数学 选修
2.1.1离散型随机变量 离散型随机变量
1
复习引入： 复习引入：
1、什么是随机事件？什么是基本事件？ 、什么是随机事件？什么是基本事件？
在一定条件下可能发生也可能不发生的事件， 在一定条件下可能发生也可能不发生的事件，叫做 随机事件。试验的每一个可能的结果称为基本事件。 随机事件。试验的每一个可能的结果称为基本事件。
4
思考2： 思考 ：
随机变量与函数有类似的地方吗？ 随机变量与函数有类似的地方吗？
随机变量和函数都是一种映射， 随机变量和函数都是一种映射，随机变量把随 机试验的结果映为实数，函数把实数映为实数。 机试验的结果映为实数，函数把实数映为实数。在 这两种映射之间， 这两种映射之间，试验结果的范围相当于函数的定 义域，随机变量的取值范围相当于函数的值域。 义域，随机变量的取值范围相当于函数的值域。我 们把随机变量的取值范围叫做随机变量的值域。 们把随机变量的取值范围叫做随机变量的值域。 例如，在含有 件次品的 件次品的100件产品中，任意抽取 件产品中， 例如，在含有10件次品的 件产品中 4件，可能含有的次品件数 将随着抽取结果的变化而 件 可能含有的次品件数X将随着抽取结果的变化而 变化，是一个随机变量。其值域是{0,1,2,3,4}. 变化，是一个随机变量。其值域是
问题： 问题：
1、对于掷骰子试验，可以定义不同的随机变量来表 、对于掷骰子试验， 示这个试验结果吗？ 示这个试验结果吗？ 2、在掷骰子试验中，如果我们仅关心掷出的点数是 、在掷骰子试验中， 否为偶数，应如何定义随机变量？ 否为偶数，应如何定义随机变量？
Y=
{
0,掷出奇数点 掷出奇数点 1,掷出偶数点 掷出偶数点
CC 1 “ξ = 3” 表示其中一个球号码等于 P (ξ = 3) = 1 3 2 = ∴ 20 C6 “3”，另两个都比“3”小 ，另两个都比“ 小 1 2 C1 C 3 3 表示其中一个球号码等于“ ， “ξ = 4” 表示其中一个球号码等于“4”， ∴ P(ξ = 4) = 3 = 20 另两个都比“4”小 另两个都比“ 小
∴ 随机变量ξ 的分布列为： 的分布列为：
ξ
P
3
1 20
4
3 20
5
3 10
6
1 2
15
说明：在写出 的分布列后 要及时检查所有的概率之和是否为1． 的分布列后， 说明：在写出ξ的分布列后，要及时检查所有的概率之和是否为 ．
课堂练习：
1、下列A、B、C、D四个表，其中能成为随机变量 ξ 的 、下列 、 、 、 四个表 四个表， 分布列的是（ 分布列的是（B ） A
例2、写出下列随机变量可能的取值，并说明随机变量所取 、写出下列随机变量可能的取值， 的值表示的随机试验的结果： 的值表示的随机试验的结果： 个白球和5个黑球 （1）一个袋中装有 个白球和 个黑球，从中任取 个，其 ）一个袋中装有2个白球和 个黑球，从中任取3个 中所含白球的个数 ξ ； 个同样大小的球， （2）一个袋中装有 个同样大小的球，编号为 ，2，3，4， ）一个袋中装有5个同样大小的球 编号为1， ， ， ， 5，现从中随机取出 个球，被取出的球的最大号码数 个球， ，现从中随机取出3个球 。 8
xi
pi
··· ···
概率分布，简称 分布列． 为随机变量 ξ 的概率分布 简称 ξ 的分布列． 分布列的构成 注： 1、分布列的构成 的所有取值． ⑴列出了随机变量 ξ 的所有取值． 每一个取值的概率． ⑵求出了 ξ 的每一个取值的概率． 2、分布列的性质 分布列的性质 ⑴ p i ≥ 0 , i = 1, 2 ,⋅ ⋅ ⋅ ⑵ p1 + p 2 + ⋅ ⋅ ⋅ = 1 有时为了表达简单， 有时为了表达简单，也用等式 P(ξ = xi ) = pi , i = 1, 2,3,..., n 表示