第五讲--最大公约数与最小公倍数
- 格式：docx
- 大小：21.14 KB
- 文档页数：7
下载文档原格式
合集下载
最大公约数和最小公倍数
最大公约数和最小公倍数初中数学中，最大公约数和最小公倍数是非常重要的概念，它们在解决整数运算、分数化简、方程求解等问题中起着至关重要的作用。
本文将从实际问题出发，通过举例、分析和说明，详细介绍最大公约数和最小公倍数的概念、性质和应用，以帮助中学生和他们的父母更好地理解和运用这两个概念。
一、最大公约数最大公约数，简称最大公因数，是指两个或多个整数共有的最大的约数。
我们可以通过列举法、质因数分解法和辗转相除法等方法来求解最大公约数。
例如，我们要求解12和18的最大公约数。
首先，我们可以列举出12的因数为1、2、3、4、6、12，18的因数为1、2、3、6、9、18。
可以看出，它们的公因数有1、2、3、6，其中6是最大的，因此12和18的最大公约数为6。
又如，我们要求解24和36的最大公约数。
我们可以使用质因数分解法，将24分解为2^3 × 3，36分解为2^2 × 3^2。
可以看出，它们的公因数有2^2 × 3，即12，因此24和36的最大公约数为12。
最大公约数在分数化简、比例关系、方程求解等问题中都有广泛的应用。
例如，在分数化简中，我们可以通过求解分子和分母的最大公约数，将分数化简为最简形式；在比例关系中，我们可以通过求解比例中各个数的最大公约数，确定比例的最简形式；在方程求解中，我们可以通过求解方程中各个系数的最大公约数，将方程化简为最简形式。
二、最小公倍数最小公倍数，简称最小公倍数，是指两个或多个整数的公倍数中最小的一个。
我们可以通过列举法、质因数分解法和最大公约数的性质来求解最小公倍数。
例如，我们要求解6和9的最小公倍数。
通过列举法，我们可以找到它们的公倍数为6、12、18、24、30、36、42、48、54、60等，可以看出，它们的最小公倍数为18。
又如，我们要求解8和12的最小公倍数。
我们可以使用质因数分解法，将8分解为2^3，12分解为2^2 × 3。
最大公约数和最小公倍数的概念
最大公约数和最小公倍数的概念1. 引言大家好，今天我们来聊聊数学中那两个听起来有点拗口但其实很有意思的概念：最大公约数和最小公倍数。
你可能会想，这两个东西到底有什么用？别急，慢慢来，我会用简单易懂的语言把它们的秘密都告诉你。
2. 最大公约数（GCD）2.1 什么是最大公约数？最大公约数，听名字就知道，它是两个或多个数共有的最大因数。
比如说，你和你的朋友一起买了披萨，结果发现你们每个人都有不同的切法。
假设你有8片，他有12片，那么你们能找到的最大公约数就是4，因为4片正好能把这两种披萨都切得均匀。
是不是觉得很有趣？。
2.2 如何找到最大公约数？要找到最大公约数其实很简单，有几种方法。
最常见的就是列举法，你可以把每个数的因数都列出来，然后找出最大的那个。
就像在排队买奶茶，大家都想要最受欢迎的那一杯，最后找到的那个就是大家心中的“最大公约数”！当然，还有一种方法叫做辗转相除法，听起来好像很复杂，但其实就是不断用大的数去除小的数，直到余数为零为止。
是不是很神奇？3. 最小公倍数（LCM）3.1 什么是最小公倍数？接下来，我们说说最小公倍数。
这个概念听起来像是个“公车”，总是等着我们去追赶。
最小公倍数就是能够被所有这些数整除的最小的那个数。
就拿你和小伙伴一起约好看电影来说，如果你每3天去一次，他每4天去一次，那么你们能一起去的最小次数就是12天后。
没错，12就是你们的最小公倍数！3.2 如何找到最小公倍数？找到最小公倍数也不复杂。
你可以用列举法，把每个数的倍数列出来，然后找出最小的那个。
就像是参加一个派对，大家都在炫耀自己的出场时间，最后最早到场的那位就是最小公倍数！还有一种更快的方法，就是用最大公约数来求最小公倍数，公式是：两个数相乘等于它们的最大公约数乘以最小公倍数。
是不是感觉一下子豁然开朗了？4. 最大公约数与最小公倍数的关系4.1 一对好朋友最大公约数和最小公倍数就像是一对好朋友，彼此之间有着密不可分的关系。
第五讲 最大公约数和最小公倍数
第五讲最大公约数和最小公倍数一、求下列每组数的最大公约数和最小公倍数1、｛24，60，45｝2、｛90，74，30｝3、｛1500，30，150｝4、｛56，36，384｝5、｛180，840，150｝二、求出最大公约数1、｛2700，7560，3960｝2、｛440，126，825｝3、｛6519，8733｝4、｛36963，59570｝三、公约和公倍1、将一块长90厘米，宽42厘米的长方形铁板，剪成面积相等的小正方形而没有剩余，问至少可以剪出多少块？2、今有语文课本42本，数学课本112册，自然课本70册，平均分成若干堆，每堆中这三种课本的数量分别相等，那么最多可分多少堆？3、把192支铅笔，128支练习本，96册故事会最多可分成几份同样的奖品？每种奖品各是多少？4、幼儿园的老师给班里的孩子送来40个橘子，200快饼干，120块奶糖平均分发完毕后还剩4个橘子，20块饼干，12块奶糖，这班共有多少个小朋友？5、苹果362个，梨234个，等分给若干个小朋友，最后多了5个苹果和3个梨，每人分到的苹果和梨的总数不超过30个，那么小朋友有多少人？6、有一个自然数，去除200余5，去除300余1，去除400也余10，求之歌自然数最大是多少？7、有一块三角形土地，三边的长度分别是126米，168米，210米，现在这三条边上等距离栽菊花，并且每两棵花之间的距离尽量大，问一共要栽多少颗花？8、一排电线杆有25根，原来每两根之间的距离是30米，现在改为45米，如果起点的一根不动，可以有几根不需要移动？9、有三根钢管，分别长200厘米，240厘米，360厘米。
现在要把这三根钢管接成尽可能长而且相等的小段，一共可以截成多少段？10、一种长方形木块，长9厘米，宽6厘米，高7厘米。
用这样的长方形堆成一个正方形，至少需要多少块？11、有一个自然数被3除余2，被4除余3，被5除余4，这个自然数最小是多少？12、有一盒乒乓球每次8个8个数，10个10个数，12个12个数，最后总是剩下3个，这盒乒乓球至少有多少个？13、一班的五十几个同学参加体育活动，每6人一组则少3人，每9人一组则多3人。
最大公约数和最小公倍数24页PPT
31、只有永远躺在泥坑里的人，才不会再掉进坑里。——黑格尔 32、希望的灯一旦熄灭，生活刹那间变成了一片黑暗。——普列姆昌德 33、希望是人生的乳母。——科策布 34、形成天才的决定因素应该是勤奋。——郭沫若 35、学到很多东西的诀窍，就是一下子不要学很多。——洛克
最大公约和最小公倍数
1、纪律是管理关系的形式。——阿法 纳西耶 夫 2、改革如果不讲纪律，就难以成功。
3、道德行为训练，不是通过语言影响 ，而是 让儿童 练习良 好道德 行为， 克服懒 惰、轻 率、不 守纪律 、颓废 等不良 行为。 4、学校没有纪律便如磨房里没有水。 ——夸 美纽斯
5、教导儿童服从真理、服从集体，养 成儿童 自觉的 纪律性 ，这是 儿童道 德教育 最重要 的部分 。—— 陈鹤琴
5年级奥数讲义(最大公约数最小公倍数)
第五讲最大公因数与最小公倍数 （教师版）例1、437与323的最大公约数是多少？基本概念：1、公约数和最大公约数 几个数公有的约数．．．．．．．．，叫做这几个数的公约数．．．．．．．．．．；其中最大的一个．．．．．．．，叫做这几个数的最大公约数．．．．．．．．．．．．。
例如：12的约数有1，2，3，4，6，12；30的约数有1，2，3，5，6，10，15，30。
12和30的公约数有1，2，3，6，其中6是12和30的最大公约数。
一般地我们用（a,b ）表示a,b 这两个自然数的最大公约数，如（12，30）=6。
如果（a,b ）=1,则a,b 两个数是互质数。
2、公倍数和最小公倍数几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数；其中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数。
例如：12的倍数有12，24，36，48，60，72，… 18的倍数有18，36，72，90，…12和18的公倍数有：36，72…其中36是12和 18的最小公倍数。
一般地，我们用[a,b]表示自然数，a,b 的最小公倍数，如[12，18]=36。
3、最大公约数与最小公倍数的求法A ．最大公约数求两个数的最大公约数一般有以下几种方法 （1）分解质因数法 （2）短除法 （3）辗转相除法 （4）小数缩倍法 （5）公式法前两种方法在数学课本中已经学过，在这里我们主要介绍辗转相除法。
当两个整数不容易看出公约数时（一般是数字比较大），我们可以合用辗转相除法。
B ．最小公倍数求几个数的最小公倍数的方法也有以下几种方法： （1）分解质因数法 （2）短除法 （3）大数翻倍法（4）a×b =（a,b ）×[a,b]上面的公式表示：两个数的乘积等于这两个数的最大公约数和最小公倍数的乘积。
例2、24871和3468的最小公倍数是多少？练习254216933的最简分数是多少？例3、把一块长90厘米，宽42厘米的长方形铁板剪成边长都是整厘米，面积都相等的小正方形铁板，恰无剩余。
最大公约数与最小公倍数
最大公约数与最小公倍数最大公约数（Greatest Common Divisor，简称GCD）与最小公倍数（Least Common Multiple，简称LCM）是数学中常用的概念。
它们在整数运算、分数化简、代数方程等方面起着重要的作用。
本文将介绍最大公约数与最小公倍数的定义、计算方法以及应用场景。
定义与计算方法最大公约数是指两个或多个整数共有的约数中最大的一个数。
例如，对于整数12和16，它们的公约数有1、2、4，其中最大的公约数为4。
用符号表示为GCD（12，16）= 4。
最小公倍数是指两个或多个整数的公倍数中最小的一个数。
例如，对于整数8和12，它们的公倍数有24、48、72，其中最小的公倍数为24。
用符号表示为LCM（8，12）= 24。
计算最大公约数可以通过因数分解、辗转相除法或欧几里得算法来进行。
其中，因数分解将给定的数进行质因数分解，然后取各质因数的幂次最小值进行乘积；辗转相除法是通过使用除法的余数来逐步缩小两个数的差距，直到找到最大公约数；欧几里得算法是将两个数取模并取余，然后再继续对除数和余数进行相同的操作，直到余数为零，此时除数即为最大公约数。
计算最小公倍数可以通过计算两个数的乘积，再除以最大公约数来得出。
应用场景最大公约数与最小公倍数在数学中有广泛的应用，下面将介绍一些常见的应用场景。
1. 分数化简当需要对分数进行化简时，常常需要求分子和分母的最大公约数，然后将其约分。
通过约分，可以使分数的表示更加简洁，更易于进行运算。
例如，对于分数18/24，可以求出分子和分母的最大公约数为6，然后分子和分母同时除以6，得到化简后的分数3/4。
2. 求解线性方程在求解线性方程时，通常需要根据方程中系数的最小公倍数来消去系数，以简化运算。
例如，对于方程2x + 3y = 12，需要消去系数2和3。
它们的最小公倍数为6，将方程两边同时乘以6，得到12x + 18y = 72。
3. 简化比例在数学与实际问题中，经常需要将给定的比例进行化简，以简化计算或比较。
最大公约数与最小公倍数
最大公约数与最小公倍数最大公约数（GCD）和最小公倍数（LCM）是数学中常见的概念。
它们在数论、代数和几何等领域中有广泛的应用。
本文将介绍最大公约数和最小公倍数的定义、计算方法以及它们在实际问题中的应用。
一、最大公约数的定义和计算方法最大公约数是指两个或多个整数共有的约数中最大的一个。
例如，整数12和18的约数有1、2、3、6，其中最大的一个就是6，所以12和18的最大公约数是6。
最大公约数通常用缩写形式GCD表示。
1. 辗转相除法辗转相除法（Euclidean algorithm）是求解两个整数最大公约数的常用方法。
它的基本思想是通过反复用较大的数除以较小的数，直到余数为0为止。
余数为0时，最后一个被除数即为最大公约数。
假设要求解整数a和b的最大公约数，其中a大于等于b。
具体的计算步骤如下：1）用a除以b，得到商q和余数r。
2）如果余数r等于0，则b即为最大公约数。
3）如果余数r不等于0，则重复步骤1，用b除以r，得到商q1和余数r1。
4）重复上述过程，直到余数为0，最后一个被除数即为最大公约数。
2. 更相减损术更相减损术是另一种求解最大公约数的方法。
它的基本思想是通过反复用较大的数减去较小的数，直到两个数相等为止。
相等的数即为最大公约数。
假设要求解整数a和b的最大公约数，其中a大于等于b。
具体的计算步骤如下：1）如果a等于b，那么a即为最大公约数。
2）如果a不等于b，则计算它们的差d=a-b。
3）将差d和较小的数再次进行步骤1和步骤2的操作，直到两个数相等为止。
二、最小公倍数的定义和计算方法最小公倍数是指两个或多个整数公有的倍数中最小的一个。
例如，整数4和6的倍数有4、8、12、16、...以及6、12、18、...其中最小的一个是12，所以4和6的最小公倍数是12。
最小公倍数通常用缩写形式LCM表示。
最小公倍数可以通过最大公约数来计算，公式如下：LCM(a, b) = a * b / GCD(a, b)三、最大公约数和最小公倍数的应用最大公约数和最小公倍数在实际问题中有广泛的应用。
最大公约数与最小公倍数
最大公约数与最小公倍数最大公约数和最小公倍数是数学中常见的概念，用于计算两个或多个数的公共因数和公共倍数。
本文将详细介绍最大公约数和最小公倍数的定义、计算方法以及它们在实际问题中的应用。
一、最大公约数（Greatest Common Divisor，简称GCD）最大公约数指的是两个或多个数中能够同时整除的最大的正整数。
在计算最大公约数时，我们常用到欧几里得算法。
这个算法基于一个简单的原理：两个整数的最大公约数等于其中较小数和两数相除余数的最大公约数。
例如，如果要计算30和45的最大公约数，首先用较大的数除以较小的数：45 ÷ 30 = 1 余 15然后将较小的数（30）与余数（15）进行计算：30 ÷ 15 = 2 余 0余数为0时，计算结束。
此时，最大公约数为较小的数（15）。
当涉及到多个数的最大公约数计算时，可以逐一计算两个数的最大公约数，得到的结果再与下一个数计算最大公约数，以此类推直到最后一个数。
最大公约数在实际问题中常用于简化分数、约简比例以及计算整数倍等方面。
它也是许多算法和数学问题的重要组成部分。
二、最小公倍数（Least Common Multiple，简称LCM）最小公倍数指的是两个或多个数中能够被它们同时整除的最小正整数。
计算最小公倍数时，我们可以使用最大公约数来简化计算。
最小公倍数可以通过以下公式计算得到：最小公倍数 = 两数的乘积 / 最大公约数例如，如果要计算12和15的最小公倍数，首先计算它们的最大公约数：12的因数为1、2、3、4、6、1215的因数为1、3、5、15可以看出，它们的最大公约数为3。
然后，将两个数的乘积除以最大公约数得到最小公倍数：（12 × 15）÷ 3 = 60因此，12和15的最小公倍数为60。
最小公倍数在实际问题中常用于解决时间、速度、周期等相关计算。
例如，计算两个车辆同时从起点出发，分别以不同速度绕圈行进，要求它们再次同时回到起点的最短时间，即可使用最小公倍数来得到答案。
最大公约数与最小公倍数的计算
最大公约数与最小公倍数的计算两个整数的最大公约数（Greatest Common Divisor，简称GCD）指的是能够同时整除这两个数的最大正整数。
而最小公倍数（Least Common Multiple，简称LCM）则指的是能够同时被这两个数整除的最小正整数。
在数学和计算中，求解最大公约数和最小公倍数是一项基础且常用的运算。
1. 最大公约数的计算最大公约数可以通过辗转相除法来求解。
该方法基于以下定理：两个正整数a和b（a>b）的最大公约数等于a除以b的余数r和较小数b 之间的最大公约数。
具体求解步骤如下：（1）将a除以b，得到商q和余数r。
（2）若r等于0，则最大公约数为b。
（3）若r不等于0，则用b替换a，用r替换b，然后返回步骤（1）。
以下是一个求解最大公约数的例子：假设要求解45和75的最大公约数。
45 ÷ 75 = 0 (45)75 ÷ 45 = 1 (30)45 ÷ 30 = 1 (15)30 ÷ 15 = 2 0因此，45和75的最大公约数为15。
2. 最小公倍数的计算最小公倍数可以通过两个数的乘积除以它们的最大公约数来求解。
即最小公倍数等于（a*b）/GCD(a,b)。
以下是一个求解最小公倍数的例子：假设要求解6和9的最小公倍数。
首先，计算出它们的最大公约数：6 ÷ 9 = 0 (6)9 ÷ 6 = 1 (3)6 ÷ 3 = 2 0因此，6和9的最大公约数为3。
接下来，计算最小公倍数：LCM(6, 9) = (6 * 9) / GCD(6, 9) = 54 / 3 = 18因此，6和9的最小公倍数为18。
除了使用辗转相除法和相乘相除法，还可以使用质因数分解法求解最大公约数和最小公倍数。
质因数分解法通过将两个数分解为质数的乘积，然后求取它们的公共质数，并将这些公共质数相乘，得到最大公约数或最小公倍数。
综上所述，最大公约数和最小公倍数的计算可以通过辗转相除法、相乘相除法或质因数分解法等多种方法进行。
小学数学中的最小公倍数与最大公约数
小学数学中的最小公倍数与最大公约数最小公倍数（LCM）和最大公约数（GCD）是小学数学中的重要概念，它们在整数运算和分数化简等方面起着关键作用。
本文将介绍最小公倍数与最大公约数的定义、计算方法以及应用场景。
一、最小公倍数（LCM）最小公倍数是指两个或多个数中能被所有这些数整除的最小的正整数。
用符号LCM表示。
计算最小公倍数的方法有两种常见的途径：质因数分解法和公式法。
1. 质因数分解法通过对每个数的质因数分解，求得各个数中所有质因数的最高次幂，然后将这些最高次幂相乘，即可得到最小公倍数。
举例说明：求16和24的最小公倍数。
首先，对16和24进行质因数分解：16 = 2^424 = 2^3 × 3^1接下来，取所有质因数的最高次幂相乘：最小公倍数 = 2^4 × 3^1 = 48因此，16和24的最小公倍数为48。
2. 公式法对于两个数a和b，其最小公倍数可通过以下公式来计算：最小公倍数 = |a × b| / GCD(a, b)其中，GCD(a, b)表示a和b的最大公约数。
举例说明：求28和42的最小公倍数。
首先，计算28和42的最大公约数：28 = 2^2 × 7^142 = 2^1 × 3^1 × 7^1最大公约数为2^1 × 7^1 = 14。
然后，应用公式法计算最小公倍数：最小公倍数 = |28 × 42| / 14 = 84因此，28和42的最小公倍数为84。
最小公倍数的应用：最小公倍数常用于解决关于分数化简、有理数比较和约分等问题。
例如，在分数的加减乘除运算中，需要将分母化为相同的最小公倍数，以便进行运算。
此外，在化简分数时，最小公倍数可以帮助我们找到最简形式的分数。
二、最大公约数（GCD）最大公约数是指两个或多个数中能整除它们的最大的正整数。
用符号GCD表示。
计算最大公约数的方法有两种主要的途径：欧几里得算法和质因数分解法。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第五讲--最大公约数与最小公倍数第五讲最大公约数与最小公倍数【知识导引】一、约数的概念与最大公约数约数又叫因数（在正整数范围内）整数a能被整数b整除，a叫做b的倍数，b就叫做a 的约数。
最大公约数：如果一个数既是数a的约数，又是数b的约数，称为[a,b] 的约数。
几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数,其中最大的一个叫做这几个数的最大公因数。
1.求最大公约数的方法①分解质因数法：先分解质因数，然后把相同的因数连乘起来。
例如：231 3 7 11， 252 223" 7，所以（231,252） 3 7 21 ；21812②短除法：先找出所有共有的约数，然后相乘。
例如：暮6，所以3 2（12,18） 2 3 6 ；③辗转相除法：每一次都用除数和余数相除，能够整除的那个余数，就是所求的最大公约数。
用辗转相除法求两个数的最大公约数的步骤如下：先用小的一个数除大的一个数，得第一个余数；再用第一个余数除小的一个数，得第二个余数；又用第二个余数除第一个余数，得第三个余数；这样逐次用后一个余数去除前一个余数，直到余数是0为止。
那么，最后一个除数就是所求的最大公约数（如果最后的除数是1,那么原来的两个数是互质的）。
例如，求600和1515的最大公约数：1515 600 2L 315 ；600 315 1L 285 ； 315 285 1L 30 ； 285 30 9L 15 ； 30 15 2L 0 ;所以1515 和600的最大公约数是15。
2.最大公约数的性质①几个数都除以它们的最大公约数，所得的几个商是互质数；②几个数的公约数，都是这几个数的最大公约数的约数；③几个数都乘以一个自然数n，所得的积的最大公约数等于这几个数的最大公约数乘以n。
3.求一组分数的最大公约数先把带分数化成假分数，其他分数不变；求出各个分数的分母的最小公倍数a；求出各个分数的分子的最大公约数b；b即为所求。
a二、倍数的概念与最小公倍数对于整数m能被n整除(n/m),那么m就是n的倍数。
女口15能够被3或5整除, 我们就说15是3的倍数，也是5的倍数。
几个数公有的倍数叫做这几个数的公倍数，其中最小的一个叫做这几个数的最小公倍数。
1.求最小公倍数的方法①分解质因数法求最小公倍数例如：231 3 7 11， 252 22327，所以 231,252 22 32 7 11 2772 ；②短除法求最小公倍数218 12例如：3L_6，所以18,12 2 3 3 2 36 ；3 2③公式法：［a,b］弭(a,b)2.最小公倍数的性质①两个数的任意公倍数都是它们最小公倍数的倍数。
②两个互质的数的最小公倍数是这两个数的乘积。
③两个数具有倍数关系，则它们的最大公约数是其中较小的数，最小公倍数是较大的数。
3.求一组分数的最小公倍数方法步骤先将各个分数化为假分数；求出各个分数分子的最小公倍数 a ;求出各个分数分母的最大公约数b ；b即为所求。
例如：［3,色］15a 4 12 (4,12) 4注意：两个最简分数的最大公约数不能是整数，最小公倍数可以是整数。
例如：1 4 1,4_,_ ------- 42 3 2,3三、最大公约数与最小公倍数的常用性质1.两个自然数分别除以它们的最大公约数，所得的商互质。
如果m为A、B的最大公约数，且A ma，B mb，那么a、b互质，所以A、B的最小公倍数为mab，所以最大公约数与最小公倍数有如下一些基本关系：M A Ba b①AB ma mb m mab ，即两个数的最大公约数与最小公倍数之积等于这两个 数的积； ②最大公约数是A 、B 、A B 、A B 及最小公倍数的约数。
2.两个数的最大公约和最小公倍的乘积等于这两个数的乘积，即 （a,b ） [a,b] a b 3. 对于任意3个连续的自然数，如果三个连续数的奇偶性为：① 奇偶奇，那么这三个数的乘积等于这三个数的最小公倍数, 210就是567的最小公倍数。
② 偶奇偶，那么这三个数的乘积等于这三个数最小公倍数的6 7 8 336，而6,7,8的最小公倍数为336 2 168③ 几个数最小公倍数一定不会比他们的乘积大。
【例题解析】 【A 组一一基础夯实】例1两个数的最大公约数是 4,最小公倍数是252,其中一个数是28，另一个数是 多少？ 解：由 ab=[a , b] x （ a , b ）可得：另一个数为， 252x4-28=36答：另一个数是36。
例2求437与323最大公约数是多少？解：运用辗转相除法： 437*323=1 …114; 323- 114=2-95; 114-95=1 …19,95 - 19=5,那么（437,323 ） =19答：437与323的最大公约数是19。
例3已知两个数的最大公约数是20，最小公倍数560,符合条件的两个数中差最 小的两个数各是多少？解：由题意可得：560*20=28=1 X 28=4X 7,显然4与7之间差最小，20X 7=140,20 X 4=80答：符合条件的两个数中差最小的数是 80和140。
例4有336个苹果，252个桔子，210个梨，用这些水果最多可以分成多少份同样 的礼物？在每份礼物中，三样水果各多少？解：最多可以分成 （336,252,210） 42 （份）每份中有苹果336* 42=8 （个）每份中有桔子252* 42=6 （个）例如：5 6 7210，每份中有梨210*42=5 （个）答：最多可以分成42份，每份中有苹果8个，有桔子6个，有梨5个 【B 组一一能力提升】例1已知两个自然数的差为 2,它们的最小公倍数与最大公约数之间差为 142,求 解：由题意可得：两个自然数的差为 2的自然数的最大公约数只有两种可能：一个 为1，一个为2（1） 当两个数互质时，1 X （ 1+142） =1X 143=11 X 13;（2） 当两个自然数最大公约数为 2时，2X （ 142+2） =2X 144=16X18, 所以这两个自然数是11和13或者16和18。
答：略。
例2已知两个自然数的和是 60,它们的最大公约数与最小公倍数之和是 84,求这 两个自然数。
由 a b mq 1 mq 2 m(q 1 q 2) 60,答：这两个自然数分别是 24和36。
例3把一张长1米3分米5厘米、宽1米5厘米的纸裁成同样大小的正方形纸块， 而没有剩余，问：能裁成最大的正方形纸块的边长是多少？共可裁成几块？解：要把一张长方形的纸裁成同样大小的正方形纸块， 还不能有剩余，这个正方形 纸块的边长应该是长方形的长和宽的公约数。
由于题目要求的是最大的正方形纸块， 所 以正方形纸块的边长是长方形的长和宽的最大公约数， 1米3分米5厘米=135厘米，1 米5厘米=105厘米，正方形的边长为（135,105） 15 ,长方形纸块的面积为 135 105 14175 （平方厘米），正方形纸块的面积为 15 15 225 （平方厘米），共可裁 成正方形纸块14175 225 63 （块）。
答：正方形的边长是15厘米，一共可以裁成 63块。
例4两个自然数的和是 50,它们的最大公约数是 5，试求这两个数的差。
解：设这两个自然数为： 5a 、5b ，其中a 与b 互质，则有5a 5b 50 , a b 10 , 所以a=9, b=1或a=7, b=3,所以这两个两个自然数为 5X 9=45, 5 X 1=5或5X 7=35, 5 解：设这两个数为a,b,若（a,b ） =m,则a mq 1,b mq 2（q 1,q 2 互质），则a, mq^, (a,b ) + a,b m mqq 2 m ( 1 qe 2) 84,由此可知，m 为60和84的公约数， 而（ 60,84) =12，所以 m 只能取1、2 当m 取1、2、3、4、6时均不满足mG q 2) 60和 m (1 qm) 84,所以m 取12,当m 12时，q 1 q 2 60 12 51 7, qq ? 6。
所以当 q 1 2, q 2 3, a 12 2 24,b 12 3 36、3、4、6、12,X 3=15。
它们的差分别是：45—5= 40, 35- 15 = 20答：所求这两个数的差是40或者20。
例5大雪后的一天，小明和爸爸同时步测一个圆形花圃的周长，他俩的起点和步行方向完全相同，小明每步长54厘米，爸爸每步长72厘米，由于两人脚印有重合的，所以各走完一圈后，雪地上留下60个脚印，求圆形花圃的周长。
解:两人从起点出发到第一次脚印重合所走的路程是相同的，是两人步长的最小公倍数，为54,72 216厘米，在216厘米里，两人留下的脚印数分别是：216 54 4 （个），216 72 3 （个）,由于两人有1个脚印重合，所以实际上只有 4 3 16 （个）脚印。
60 6 10，即走完全程共重合10次，因此，花圃周长为：216 10 2160 （厘米）答：花圃周长是2160厘米。
【习题精选】【A组一一基础夯实】1.①用短除法求120、48和56的最小公倍数；②用分解质因数法求35、98、112的最大公约数和最小公倍数。
2.已知a=44, b=12, c=82，求（a, b, c）和［a , b, c］。
3.两个自然数的最大公约数是6，最小公倍数是504,如果其中一个数是42,那么另一个数是___________ 。
4.8路车每隔8分钟发一次车，12路每隔6分钟发一次车，在某一时刻这两路车同时从一个车站发车，至少再过________ 分钟这两路车才又同时发车。
5.甲数是36，甲、乙两数最大公约数是4,最小公倍数是288,那么乙数是。
6.四个连续自然数的和等于54,那么这四个连续自然数的最小公倍数是_____________ o7.一个房间长450厘米，宽330厘米。
现计划用方砖铺地，需要用边长最大为________ 厘米的方砖________ 块（整块），才能正好把房间地面铺满。
8.教师节那天，某校工会买了320个苹果、240个桔子、200个鸭梨，用来慰问退休的教职工，问用这些果品，最多可以分成___________ 份同样的礼物（同样的礼物指的是每份礼物中苹果、桔子、鸭梨的个数彼此相等）。
在每份礼物中，苹果有____________ 个，桔子有________ 个，鸭梨有________ 个。
9.三个质数的和是62,这三个质数的积是____________ 。
10.一包糖，平均分给2人，3人，4人，或5人，正好都余一块，这包糖至少有块。
【B组一一能力提升】1.有三根绳子，第一根长12米，第二根长18米，第三根长24米，现在要把它们剪成同样长的小段，每段最长_________ 米。
2.有一批树苗，9棵一捆多7棵，10棵一捆多8棵，12棵一捆多10棵，这批树苗在150-200之间。