青岛版七年级数学下册12.2完全平方公式课件

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青岛版七年级数学下册第十二章《12.2完全平方公式》优课件(共21张PPT)

第12章乘法公式与因式分解
12.2完全平方公式
聪明的同学们，口答下列式子是否相等： (3+8)² ≠ 3²+8² (4+6)² ≠ 4²+6² (8-3)² ≠ 8²-3² (6-4)² ≠ 6²-4²
判断：(x+y)2=x2+y2 ×
学生抢答：
(3+8)² =3² +8² +▁(2 ×3 ×8 ) (4+6)² =4² +6² +▁( 2 ×4 ×6 ) (8-3)² =8² +3² ▁－（2 ×8 ×3 ） (6-4)² =6² +4² ▁－（2 ×6 ×4 ）
几点注意：
1、项数：积的项数为三；
2、符号：特别是(a-b)2= a2 - 2ab+b2；
3、字母：不要漏写； 4、字母指数：当公式中的a、b所代表的
单项式字母指数不是1时，乘方时要记住字母指数需乘2。
作业：课本第ຫໍສະໝຸດ 14页习题12.2 第1、2题•不习惯读书进修的人，常会自满于现状，觉得再没有什么事情需要学习，于是他们不进则退。经验丰富的人读书用两只眼睛，一只眼睛看到纸面上的话，另一眼睛看到纸的背面。2022年4月4日星期一2022/4/42022/4/42022/4/4 •书籍是屹立在时间的汪洋大海中的灯塔。2022年4月2022/4/42022/4/42022/4/44/4/2022 •正确的略读可使人用很少的时间接触大量的文献，并挑选出有意义的部分。2022/4/42022/4/4April 4, 2022 •书籍是屹立在时间的汪洋大海中的灯塔。
( a - b )2= a2 - 2• a • b + b2
=4m2-20mn+ 25n2

七年级数学下册12.2完全平方公式“学”与“用”素材青岛版(new)

完全平方公式“学”与“用”完全平方公式222222)(,2)(b ab b a b ab a b a +--++=+是一组重要的乘法公式，是今后常用的数学工具，它的应用也非常广泛．本文从以下几个方面剖析完全平方公式，以帮助同学们理解、掌握和灵活应用这个公式．一、注意公式的几何意义如图(1）,大正方形面积为2)(b a +是两个小正方形的面积2a 、2b 之和，再加上两个长方形的面积2ab ，即得2222)(b ab a b a ++=+．如图（2）,把2)(b a -看作大正方形的面积2a 去两个有斜线的长方形面积之和2ab ，这样就多减去斜线重合部分的小正方形的面积2b ,在把它补上，即2222)(b ab a b a ++=-．二、注意公式的结构特征掌握公式的结构特点是正确使用公式的前提．完全平方公式的特征：左边是两数和（或差）的平方和，加上（或减去)它们积的２倍，公式等号左右两边符号是一致．可以简记为“右边展开后的项数为三项，即前平方（2a ），后平方（2b )，二倍之积在中央（2ab ）”希同学们熟记这一结构特征．三、注意公式的正确性要理解掌握公式之间的异同点，既要正确理解课本对每个公式的推导依据，每一个公式的作用,同时也要明白每个公式的语言表达方式、结构形式，以及掌握课本对公式的几何推导法,避免出现以下错误，如222)(b a b a +=+，222)(b a b a -=-，2222)(b ab a b a --=-等等．四、注意公式的代表性和广泛性a b ab ab 2b b a 图１ 2a完全平方公式是具有共同特征的某一类运算的概括总结，因而具有代表性，同时由于公式中字母代表的广泛含义,因而使完全平方公式具有广泛性．如字母不但可表示具体的数，还可表示单项式或多项式等代数式．例1．计算：2222)2(2)2(])2[()2(c c b a b a c b a c b a +---=--=--＝2abc ac ab c b a c bc ac b ab 4244424422222+--++=++-+-．说明:本题还可以进行如下变形：222]2)[()2(b c a c b a --=--或22)]2([)2(c b a c b a +-=--．五、注意公式之间的联系公式1:2222)(b ab a b a ++=+，公式2：2222)(b ab a b a +-=-．两式相加,得:)(2)()(2222b a b a b a +=-++．即2)()(2222b a b a b a -++=+，两式相减,得:ab b a b a 4)()(22=--+, 即22)2()2(b a b a ab --+=．六、注意公式的变形根据题意要善于对公式变形应用,在解题中充分体现应用公式的思维灵活性和开阔性．完全平方公式常用的变化形式有：①ab b a b a 2)(222-+=+;②ab b a b a 2)(222+-=+； ③2)()(2222b a b a b a -++=+；④22)2()2(b a b a ab --+=．同学们在运用公式时，不应拘泥于公式的形式，而要深刻理解、灵活应用．例2．已知a+b=6，ab=9．求222b a +．解：由ab b a b a 2)(222-+=+，∴ 222b a +＝21［ab b a 2)(2-+］＝91821)926(212=⨯=⨯-．例3．已知a ，b 为自然数且a+b=40，①求22b a +的最小值；②求ab 的最大值．解：①∵2)()(2222b a b a b a -++=+=])(40[2122b a -+，∵2)(b a -≥0，∴当a=b 时,22b a +的有最小值,最小值为80040212=⨯； ∵22)(41)(41b a b a ab --+==22)2(41)2(b a b a ab --+= =222)(41400)(414041b a b a --=--⨯， ∵2)(b a -≥0,∴当a=b 时，ab 有最大值，最大值为400．七、注意公式的逆用不仅会熟练地正用公式,而且也要求会逆用公式，乘法公式均可逆用，完全平方公式的逆用,就是配方，配方法是一种很重要的数学方法．例4．设a ，b ，c ，d 为四边形的四边长且abcd d c b a 44444=+++,试判别此四边形的形状．解:∵042222222242244224=-+++-++-abcd d c b a d d c c b b a a ,即0)(2)()(2222222=-+-+-cd ab d c b a ，∴022=-b a ，022=-d c ，0=-cd ab ,∴d c b a ===，∴以a,b ，c ，d 为四边的四边形为菱形．尊敬的读者：本文由我和我的同事在百忙中收集整编出来，本文档在发布之前我们对内容进行仔细校对，但是难免会有不尽如人意之处，如有疏漏之处请指正，希望本文能为您解开疑惑,引发思考。

青岛版七年级下册数学第12章12.2完全平方公式(共21张PPT)

公式推导
通过代数运算和因式分解，将完全平方公式进行推导，理解其结
构特点和内在规律。
理解意义
明确完全平方公式的几何意义，将其与实际图形相结合，加深对公式的理解。
公式变形
掌握完全平方公式的变形技巧，能够灵活运用公式进行计算和证明。
完全平方公式的应用
代数计算
利用完全平方公式进行代数式的化简和计算，简化复杂问题，提
完全平方公式可以用于解决代数问题，例如因式分解、求代数式的值等。
证明数学定理
完全平方公式是数学证明中的重要工具，可以用于证明一些数学定理和性质。
解决实际问题
在一些实际问题中，如物理、工程、经济等领域，完全平方公式可以用于建模和计算。
完全平方公式的推导
通过多项式展开和合并同类项，可以得到完全平方公式的形式。
通过展开 (a+b)^2 和 (a-b)^2 来证明完全平方公式。
证明方法二
利用多项式乘法法则来证明完全平方公式。
完全平方公式的应用实例
例子1
将表达式 x^2 + 4x + 4 化简为 (x+2)^2。
例子2
利用完全平方公式解决代数问题，例如求 (x+3)^2 的值。
04
完全平方公式的扩展
完全平方公式的推导
式方公式不成立，然后推导出矛盾，从而证明
完全平方公式的正确性。
完全平方公式的应用
解决代数问题
利用完全平方公式可以解决一些代数问题，如因式分解、求值等。
解决几何问题
利用完全平方公式可以将一些几何问题转化为代数问题，从而简化计算过程。
解决实际问题
在一些实际问题中，如建筑、物理等领域，可以利用完全平方公式进行计算和分析。

【最新】青岛版七年级数学下册第十二章《12.2完全平方公式》公开课课件(22张PPT).ppt

完全平方公式的文字叙述：
两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍。
(a+b)2= a2 +2ab+b2
(a-b)2= a2 - 2ab+b2
❖ 观察这两个公式，它们有什么特点？
(1) 公式左边是两个数的和（差）的平方。特征 (2) 公式右边是两个数的平方和，再加上结构（减去）两数积的2倍。结果是三项式。
学习目标
❖ 1、能推导完全平方公式，会说出公式的结构特征,知道公式的几何背景。（重点）
❖ 2、熟练运用完全平方公式进行简单计算. （难点）
❖ 3、通过把公式运用到数的速算，让学生进一步体会乘法公式的价值，提高学生学习数学的兴趣。
完全平方公式 (a+b)2= a2 +2ab+b2
的数学表达式： (a-b)2= a2 - 2ab+b2
(-a-b)2 =(a+b)2
❖ 9、春去春又回，新桃换旧符。在那桃花盛开的地方，在这醉人芬芳的季节，愿你生活像春天一样阳光，心情像桃花一样美丽，日子像桃子一样甜蜜。 2020/12/172020/12/17Thursday, December 17, 2020
❖ 10、人的志向通常和他们的能力成正比例。2020/12/172020/12/172020/12/1712/17/2020 8:10:16 AM ❖ 11、夫学须志也，才须学也，非学无以广才，非志无以成学。2020/12/172020/12/172020/12/17Dec-2017-Dec-20 ❖ 12、越是无能的人，越喜欢挑剔别人的错儿。2020/12/172020/12/172020/12/17Thursday, December 17, 2020 ❖ 13、志不立，天下无可成之事。2020/12/172020/12/172020/12/172020/12/1712/17/2020

初中数学：完全平方公式课件

12 义务教育教科书青岛版七年级下册
12.2 完全平方公式
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0 学习目标
1、掌握完全平方公式 2、能利用完全平方公式化简计算
1 复习旧知
课前一题
（1）（a+b)(a-b)= a²-b² （2）（a+b)(a+b)= a²+2ab+b²
(3) (a-b)(a-b) = a²-2ab+b²
总结：（-a-b）²=（a+b）² （-b+a）²=(a-b) ²
学习目标
评价任务
教学活动
（1）初始完全平方公式：
（a+b）²=a²+2ab+b²
（a-b）²=a²-2ab+b²
目标3：归纳总结完全平方公式并会用文字语言叙述
（1）归纳总结完全平方公式
（2）文字描述：两数和（或差）的平方，等于这两个数的平方和，加上
②
3 典例精讲
（1）（3a+2b)²是哪两个数和的平方？（3a+2b）²=(3a)²+2(3a)(2b)+(2b)²
（2）（-2x+y）²是哪两个数和的平方？（-2x+y）²=(-2x )²+2(-2x)( y)+( y)²
变式：（-2x+y）²还能写成哪两个数的差？
（-2x+y）²=（y-2x）²
6 公式及文字描述
完全平方公式：（a+b）²=a²+2ab+b² （a-b）²=a²-2ab+b²
口诀：首平方，尾平方，两数乘积的两倍中间放，
符号看前方
文字描述：两数和（或差）的平方，等于这两个数的平方和，加上

青岛版七年级下册数学1完全平方公式第1课时课件

b a 图2
学习目标
概念剖析
典型例题
当堂检测
课堂总结
（a+b）2=a2+2ab+b2
（a-b）2=a2-2ab+b2
上面两个公式今后可以直接应用于计算，称为完全平方公式.
文字叙述：两数和（差）的平方，等于它们的平方和，加上（减去）它们的积的2倍.
学习目标
概念剖析
典型例题
当堂检测
课堂总结
例1.利用完全平方公式计算. （1）（4m+n）2 ;
所以，对于这种情势的多项式相乘，我们可以直接写出运算结果，即
（a+b）2=a2+2ab+b2 （a-b）2=a2-2ab+b2
学习目标
概念剖析
典型例题
当堂检测
课堂总结
思考：你能根据下面两幅图的面积验证两个公式吗？
图1的大正方形面积计算方式有两种，将它看作整体的面积为：（a+b）（a+b）=（a+b）2 将它看作4个矩形拼成面积为： a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2 故（a+b）2=a2+2ab+b2.
思考：老人前两天加起来给的糖果多，还是第三天给的糖果多？
学习目标
概念剖析
典型例题
当堂检测
课堂总结
做一做：计算下列多项式的积，你能发现什么规律？（1）（p+1）2=（p+1）（p+1） = p2+2p+1 . （2）（m+2）2=（m+2）（m+2）= m2+4m+4 . （3）（p-1）2=（p-1）（p-1）= p2-2p+1 . （4）（m-2）2 =（m-2）（m-2）= m2-4m+4 .

12.2完全平方公式(青岛版)(1)

记忆口诀：首平方，尾平方，首尾乘积的2倍在中央。
学一学

例题解析
(3) (mn−a)2
例1 利用完全平方公式计算： (1) (2x−3)2 ； (2) (4x+5y)2 ;
注意
使用完全平方公式与平方差公式的使用一样, 先把要计算的式子与完全平方公式对照, 明确个是 a , 哪个是 b. 做题时要边念边写：首的平方,
加上 (减去) 这两数乘积的两倍.
用自己的语言叙述上面的公式
能不能从运算的角度得到： (a+b)2 = a2+2ab+b2
---------- 幂的意义 (a+b)2 = (a+b)(a+b) = a(a+b)+b(a+b) = a2+ab+ab+b2 ----------多项式乘法法则 = a2+2ab+b2
理由: (1) 由加法交换律 4a+l＝l−4a.
(2) (4a−1)2＝[(4a+1)]2＝(4a+1)2. (3) (4a−1)(1−4a)＝(4a−1)· [(4a−1)] ＝(4a−1)(4a−1)＝(4a−1)2. (4) 右边应为: (4a−1)(4a+1).
所以
：
(a+b)2 = a2+2· b+b2 a·
平方
平方
( a b ) 等于什么？
2
变形：根据：
(a b) (a b)
2
[ a ( b )] a
2
2
2
2 ab b
2
2
可得：
(a b)
2
[ a ( b )] a 2 2 a ( b ) ( b ) 2

七年级数学下册 12.2完全平方公式课件 (新版)青岛版

•
15、一个人炫耀什么，说明他内心缺少什么。。2022年2月 2022/2/172022/2/172022/2/172/17/2022
•
16、业余生活要有意义，不要越轨。2022/2/172022/2/17Februar y 17, 2022
•
17、一个人即使已登上顶峰，也仍要自强不息。2022/2/172022/2/172022/2/172022/2/17
【课前延伸】（回顾多项式乘多项式法则和合并同类项法则）
• （1）（2a+b）(a+2b)= • (2) (3m-n) (m-2n)=
【情景导入】
想一想,议一议
一块边长为a米的正方形实验田，因需要
将其边长增加b米，形成四块实验田，以种植不同的新品种，如图1。
b
用不同的形式表示实验田的总积，
• 两数差的平方，等于它们平方的和，减去它们乘积的两倍。
• (a-b) ²=a²-2ab+ b² • 这两个公式统称为完全平方公式
即：两数和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或者减去)它们的积的2倍.
(a+b)2= a2 +2ab+b2
公式特点： (a-b)2= a2 - 2ab+b2
1、积为二次三项式； 2、积中两项为两数的平方和； 3、另一项是两数积的2倍，且与乘式中
(x -y)2 =x2 -2xy +y2
(4) (x+y)2 =x2 +xy +y2 错 (x +y)2 =x2+2xy +y2
【精讲点拨】
• 例1n) 2
• 2、（-0.5a+0.1b）2

完全平方公式课件青岛版数学七年级下册

由此得到公式：
(a－b)2＝a2－2ab ＋b2
12.2 完全平方公式
你能用一个几何图形的面积关系说明这个公式吗?
这就是说，两数和(差)的平方等于这两个数的平方和加上(减去)它们乘积的2倍.
这两个公式统称完全平方公式. 完全平方公式与平方差公式都叫做乘法公式.
12.2 完全平方公式例1
利用完全平方公式计算：
12.2 完全平方公式
12.2 完全平方公式
3. 利用完全平方公式计算：
(1) 542；
(2) 9972.
12.2 完全平方公式例3
12.2 完全平方公式可以把 (a＋2b)看做平方差公式中的a.
12.2 完全平方公式例4
计算： (a＋b)3.
12.2 完全平方公式
挑战自我
计算：152＝__2_2_5___，252＝__6_2_5___， 352＝__2_0_2_5__，452＝__2_0_2_5___.
(1) 912；
习题 12.2 (2) －1982
习题 12.2 3.计算：
(1) 3(2－y)2－4(y＋5)；
习题 12.2 (2) (m－n－1)·(m－n＋1).
习题 12.2
4. 回答下列问题： (1) a＋b 加上什么式子可以得到 (a＋b)2? 2ab (2) a2＋ab＋b2 加上什么式子可以得到 (a－b)2? －3ab
12.2 完全平方公式 (3) 每行中的数字呈左右对称，由1开始由小变大，然后由大变小，最后回到1. (4)“三角形”两腰上的数字都是“1”. 除1之外，其余每个数字都是它“双肩” 上的两个数字之和，如2＝1＋1， 10＝4＋6，35＝15＋20.
12.2 完全平方公式不仅如此，这个“三角形”第n＋1行中的数竟与(a＋ b)”(n是正整数)展开式各项的系数完全吻合. 例如，当n 为2，3 时，

青岛版七年级数学下册.完全平方公式(共8张PPT)

2 2 2 在解题过程中要准确确定a和b、对照公式原形的两边, 做到不弄错符号、当第一(二)数是乘积且被平方时要注意添括号, 是运用平方差公式进行多项式乘法的关键。
( a○- b ) == a ○-- 2ab + b （2）公式中的a,b可以表示任意的代数式
2
（首平方尾平方，积的成绩放中央。
(a+b)(a−b)=
12.2 完全平方公式
平方差公式 (a+b)(a−b)= a2 − b2;
公式的结构特征: 左边是两个二项式的乘积, 即两数和与这两数差的积. 右边是两数的平方差.
应用平方差公式的注意事项:
☾ 弄清在什么情况下才能使用平方差公式:
对于一般两个二项式的积, 看准有无相等的“项”和符号相反的 “项”;仅当把两个二项式的积变成公式标准形式后，才能使用平方差公式。
式对照,明确个是 a , 哪个是 b.
2
(a+b)
=
a2 + 2 a b
+ b2
请你仔细观察公式,看看公式有怎样的结构特征
= a + 2ab + b
2 2 2 平方差公式的结果是两项，
( a○+ b ) = a ○+ 2ab + b 请你仔细观察公式,看看公式有怎样的结构特征
=+
2
2
2 =(a+b)(a+b)
在解题过程中要准确确定a和b、对照公式原形的两边, 做
到不弄错符号、当第一(二)数是乘积且被平方时要注意添括号, 是运用平方差公式进行多项式乘法的关键。
2
(a+b)=(a+b) (a+b) =a2+ab+ ab+b2 =a2+2ab+ b2;

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在解题过程中要准确确定a和b、对照公式原形的两边, 做到不弄错符号、当第一(二)数是乘积且被平方时要注意添括号, 是运用平方差公式进行多项式乘法的关键。
(a+b)=(a+b) (a+b) =a2+ab+ ab+b2 =a2+2ab+ b2 ;
2
(a + b) 2 =
2 a
+ 2ab +
2 b
平方差公式
(a+b)(a−b)= a2 − b2;
公式的结构特征: 左边是两个二项式的乘积, 即两数和与这两数差的积.右边是两数的平方差.
应用平方差公式:
对于一般两个二项式的积, 看准有无相等的“项”和符号相反的“项” ; 仅当把两个二项式的积变成公式标准形式后，才能使用平方差公式。
( a + b )
2
=
a
2
+ 2 a b
+
b
2
请你仔细观察公式,看看公式有怎样的结构特征
2 2 2 ( a○ + b) = + 2ab + b =a ○ + 2 2 2 ( a○ - b) = =a ○ -- 2ab + b
a、b表示：数、单项式、多项式首平方，尾平方，首尾 2倍放中间, 中间符号看左边，就是完全平方式。
注意完全平方公式和平方差公式不同：
形式不同．
结果不同：
完全平方公式的结果是三项，即 (a b)2＝a2 2ab+b2; 平方差公式的结果是两项，即 (a+b)(a−b)＝a2−b2.
在解题过程中要准确确定a和b、对照公式原形的两边, 做到不丢项、不弄错符号、2ab时不少乘2；第一(二)数是乘积被平方时要注意添括号, 是运用完全平方公式进行多项式乘法的关键有时需要进行变形，使变形后的式子符合应用完全方公式的条件，即为“两数和(或差)的平方”，然后应用公式计算.
完全平方公式的几何证明 s1
a
s2
a2
ab
2
S1+s2+s3+s4 =ab+ a 2+ b 2 +ab
=a2+2ab+b2
b
b
ab s3
a
S1+s2+s3+s4 =(a+b)(a+b)
(a+b)2= a2+2ab+b2
b
s4
完全平方公式的应用
分析：使用完全平方公式与平方差公式的使用一样,先把要计算的式子与完全平方公式对照,明确个是 a , 哪个是 b.
两数和的平方,等于它们的平方和,加上它们的乘积的2倍。
完全平方公式的特点
（1）左边两数的和，右边是一个二次三项式，其中有两项是公式左边二项式中的每一项的平方，另一项是左边二项式中两项乘积的两倍。（首平方尾平方，积的成绩放中央。）（2）公式中的a,b可以表示任意的代数式（3）对于两数的和的平方，都可以用此公式。

青岛版12.2完全平方公式第二课时

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